Osnovna svojstva integrala. Osnovna svojstva neodređenog integrala. Promjena varijable u određenom integralu

Osnovne integracijske formule dobivaju se invertiranjem formula za derivate, stoga, prije nego što počnete proučavati temu koja se razmatra, treba ponoviti formule diferencijacije za 1 osnovne funkcije (to jest, sjetiti se tablice derivata).

Upoznavajući se s pojmom antiderivacije, definicijom neodređenog integrala i uspoređujući operacije diferenciranja i integracije, učenici trebaju obratiti pozornost na činjenicu da je operacija integracije višeznačna, jer daje beskonačan skup antiderivacija na intervalu koji razmatramo. Međutim, zapravo je problem pronalaženja samo jedne antiderivacije riješen, jer sve antiderivacije date funkcije razlikuju se jedna od druge za konstantnu vrijednost

gdje C– proizvoljna vrijednost 2 .

Pitanja za samoispitivanje.

Definirajte antiderivativnu funkciju.

Što je neodređeni integral?

Što je integrand?

Navedite geometrijsko značenje obitelji antiderivacijskih funkcija.

6. U obitelji pronađite krivulju koja prolazi točkom

2. Svojstva neodređenog integrala.

TABLICA PROSTIH INTEGRALA

Ovdje bi studenti trebali naučiti sljedeća svojstva neodređenog integrala.

Vlasništvo 1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu 3. funkcije (po definiciji)

Vlasništvo 2. Diferencijal integrala jednak je integrandu

oni. ako je predznak diferencijala ispred predznaka integrala, tada se međusobno poništavaju.

Vlasništvo 3. Ako je predznak integrala ispred predznaka diferencijala, tada se oni međusobno poništavaju, a funkciji se dodaje proizvoljna konstantna vrijednost

Vlasništvo 4. Razlika dviju antiderivacija iste funkcije je konstantna vrijednost.

Vlasništvo 5. Konstantni faktor može se izvući ispod predznaka integrala

gdje ALI je konstantan broj.

Uzgred rečeno, ovo se svojstvo može lako dokazati diferenciranjem oba dijela jednakosti (2.4) uzimajući u obzir svojstvo 2.

Vlasništvo 6. Integral zbroja (razlike) funkcije jednak je zbroju (razlici) integrala tih funkcija (ako postoje zasebno)

Ovo se svojstvo također lako dokazuje diferenciranjem.

Prirodna generalizacija svojstva 6

. (2.6)

Promatrajući integraciju kao akciju inverznu diferencijaciji, izravno iz tablice najjednostavnijih izvoda, može se dobiti sljedeća tablica najjednostavnijih integrala.

Tablica jednostavnih neodređenih integrala

1. , gdje je, (2.7)

2. , gdje je, (2.8)

4. , gdje je, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

Formule (2.7) - (2.16) najjednostavnijih neodređenih integrala treba naučiti napamet. Poznavati ih je potrebno, ali daleko od dovoljnog, da bismo naučili kako se integrirati. Održive vještine integracije postižu se samo rješavanjem dovoljno velikog broja problema (obično oko 150 - 200 primjera raznih vrsta).

Ispod su primjeri pojednostavljenja integrala njihovim pretvaranjem u zbroj poznatih integrala (2.7) - (2.16) iz gornje tablice.

Primjer 1.

Ova svojstva se koriste za provođenje transformacija integrala kako bi se on doveo do jednog od elementarnih integrala i daljnji izračun.

1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:

2. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu:

3. Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je zbroju te funkcije i proizvoljne konstante:

4. Iz predznaka integrala može se izdvojiti konstantni faktor:

Štoviše, a ≠ 0

5. Integral zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlici) integrala:

6. Svojstvo je kombinacija svojstava 4 i 5:

Štoviše, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Svojstvo invarijantnosti neodređenog integrala:

Ako tada

8. Svojstvo:

Ako tada

Zapravo, ovo svojstvo je poseban slučaj integracije korištenjem metode promjene varijable, o čemu se detaljnije raspravlja u sljedećem odjeljku.

Razmotrite primjer:

Prvo smo primijenili svojstvo 5, zatim svojstvo 4, zatim smo upotrijebili tablicu antiderivacija i dobili rezultat.

Algoritam našeg online integralnog kalkulatora podržava sva gore navedena svojstva i lako će pronaći detaljno rješenje za vaš integral.

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 使网站更加您正使用旧的这将来连接维基百科百科您的或您的管理员提供更，英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语或或或或或或或或您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您您，，. bok).

španjolski: Wikipedia je na sigurnom mjestu. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティをています。ご利用のはバージョン古く、今後、ウィキペディアウィキペディア接続なく可能性がますを、、管理面面面面面面技術技術技術面のののののののののののののののの性性性性性性性管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理の面面面面のの更新更新更新更新更新更新更新更新更新管理管理管理.更新更新更新詳しい詳しい詳しい詳しい HIP情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švedska: Wikipedia je pogledala stranicu više. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.

Ovaj članak detaljno govori o glavnim svojstvima određenog integrala. Oni se dokazuju korištenjem koncepta Riemannova i Darbouxova integrala. Izračun određenog integrala prolazi zahvaljujući 5 svojstava. Ostatak se koristi za procjenu različitih izraza.

Prije prelaska na glavna svojstva određenog integrala potrebno je osigurati da a ne prelazi b .

Osnovna svojstva određenog integrala

Definicija 1

Funkcija y \u003d f (x) , definirana za x \u003d a, slična je pravednoj jednakosti ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Dokaz 1

Odavde vidimo da je vrijednost integrala s podudarnim granicama jednaka nuli. Ovo je posljedica Riemannova integrala, jer svaki integral zbroji σ za bilo koju particiju na intervalu [ a ; a ] i svaki izbor točaka ζ i jednak je nuli, jer je x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , pa dobivamo da je limit integralnih funkcija nula.

Definicija 2

Za funkciju integrabilnu na segmentu [ a ; b ] , uvjet ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x je zadovoljen.

Dokaz 2

Drugim riječima, ako mjestimično promijenite gornju i donju granicu integracije, tada će vrijednost integrala promijeniti vrijednost na suprotnu. Ovo svojstvo je preuzeto iz Riemannova integrala. Međutim, numeriranje podjele segmenta počinje od točke x = b.

Definicija 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x koristi se za integrabilne funkcije tipa y = f (x) i y = g (x) definirane na intervalu [ a ; b] .

Dokaz 3

Napišite integralni zbroj funkcije y = f (x) ± g (x) za rastavljanje na segmente sa zadanim izborom točaka ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

gdje su σ f i σ g integralni zbroji funkcija y = f (x) i y = g (x) za cijepanje segmenta. Nakon prelaska na granicu pri λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 dobivamo da je lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Prema Riemannovoj definiciji, ovaj izraz je ekvivalentan.

Definicija 4

Izuzimanje konstantnog faktora iz predznaka određenog integrala. Integrabilna funkcija iz intervala [ a ; b ] s proizvoljnom vrijednošću k ima valjanu nejednakost oblika ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 4

Dokaz svojstva određenog integrala sličan je prethodnom:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definicija 5

Ako je funkcija oblika y = f (x) integrabilna na intervalu x s a ∈ x , b ∈ x , dobivamo ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Dokaz 5

Svojstvo se smatra važećim za c ∈ a ; b , za c ≤ a i c ≥ b . Dokaz se provodi slično prethodnim svojstvima.

Definicija 6

Kada funkcija ima sposobnost da bude integrabilna iz segmenta [ a ; b ] , onda je to izvedivo za bilo koji unutarnji segment c ; d ∈ a; b.

Dokaz 6

Dokaz se temelji na Darbouxovom svojstvu: ako se postojećoj particiji segmenta dodaju točke, tada se donji Darbouxov zbroj neće smanjivati, a gornji neće povećavati.

Definicija 7

Kada je funkcija integrabilna na [ a ; b ] iz f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b , tada dobivamo da je ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Svojstvo se može dokazati korištenjem definicije Riemannova integrala: svaki integralni zbroj za bilo koji izbor točaka cijepanja segmenta i točaka ζ i uz uvjet da je f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 je nenegativan.

Dokaz 7

Ako su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne na segmentu [ a ; b ], tada se sljedeće nejednakosti smatraju važećim:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Zahvaljujući tvrdnji znamo da je integracija dopustiva. Ovaj korolar će se koristiti u dokazu drugih svojstava.

Definicija 8

Za integrabilnu funkciju y = f (x) iz segmenta [ a ; b ] vrijedi nejednakost oblika ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dokaz 8

Imamo da je - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Iz prethodnog svojstva dobili smo da se nejednadžba može integrirati član po član i odgovara nejednadžbi oblika - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Ova dvostruka nejednakost može se napisati u drugom obliku: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definicija 9

Kada se funkcije y = f (x) i y = g (x) integriraju iz segmenta [ a ; b ] za g (x) ≥ 0 za bilo koji x ∈ a ; b , dobivamo nejednadžbu oblika m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , gdje je m = m i n x ∈ a ; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Dokaz 9

Dokaz se izvodi na sličan način. M i m smatraju se najvećim i najmanja vrijednost funkcija y = f (x) , definirana iz segmenta [ a ; b ], tada je m ≤ f (x) ≤ M . Dvostruku nejednadžbu potrebno je pomnožiti s funkcijom y = g (x) , čime ćemo dobiti vrijednost dvostruke nejednadžbe oblika m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . Potrebno ga je integrirati na segment [ a ; b ] , tada dobivamo tvrdnju koju treba dokazati.

Posljedica: Za g (x) = 1, nejednadžba postaje m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Prva prosječna formula

Definicija 10

Za y = f (x) integrabilan na intervalu [ a ; b] s m = m i n x ∈ a; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) postoji broj μ ∈ m ; M , koji odgovara ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Posljedica: Kada je funkcija y = f (x) neprekidna iz segmenta [ a ; b ] , tada postoji takav broj c ∈ a ; b , što zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Prva formula prosječne vrijednosti u generaliziranom obliku

Definicija 11

Kada su funkcije y = f (x) i y = g (x) integrabilne iz segmenta [ a ; b] s m = m i n x ∈ a; b f (x) i M = m a x x ∈ a ; b f (x) , i g (x) > 0 za bilo koju vrijednost x ∈ a ; b. Stoga imamo da postoji broj μ ∈ m ; M , koji zadovoljava jednakost ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Druga formula srednje vrijednosti

Definicija 12

Kada je funkcija y = f (x) integrabilna iz segmenta [ a ; b ] , a y = g (x) je monoton, tada postoji broj koji c ∈ a ; b , gdje dobivamo poštenu jednakost oblika ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Antiderivacija i neodređeni integral.

Antiderivativna funkcija f(x) na intervalu (a; b) je takva funkcija F(x) da jednakost vrijedi za bilo koji x iz danog intervala.

Ako uzmemo u obzir činjenicu da je derivacija konstante C jednaka nuli, onda jednakost . Dakle, funkcija f(x) ima skup antiderivacija F(x)+C, za proizvoljnu konstantu C, a te se antiderivacije međusobno razlikuju po proizvoljnoj konstantnoj vrijednosti.

Cijeli skup antiderivacija funkcije f(x) naziva se neodređeni integral te funkcije i označava se .

Izraz se naziva integrand, a f(x) se naziva integrand. Integrand je diferencijal funkcije f(x).

Radnja pronalaženja nepoznate funkcije po zadanom diferencijalu naziva se neodređena integracija, jer rezultat integracije nije jedna funkcija F(x), već skup njezinih antiderivacija F(x)+C.

Tablični integrali

Najjednostavnija svojstva integrala

1. Derivacija rezultata integracije jednaka je integrandu.

2. Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je zbroju same funkcije i proizvoljne konstante.

3. Koeficijent se može uzeti iz predznaka neodređenog integrala.

4. Neodređeni integral zbroja/razlike funkcija jednak je zbroju/razlici neodređenih integrala funkcija.

Radi pojašnjenja date su međujednakosti prvog i drugog svojstva neodređenog integrala.

Za dokaz trećeg i četvrtog svojstva dovoljno je pronaći derivacije desnih strana jednakosti:

Ove derivacije su jednake integrandima, što je dokaz na temelju prvog svojstva. Također se koristi u posljednjim prijelazima.

Dakle, problem integracije je obrnuti problem diferencijacije, a postoji vrlo bliska veza između ovih problema:

prvo svojstvo omogućuje provjeru integracije. Za provjeru ispravnosti provedene integracije dovoljno je izračunati derivaciju dobivenog rezultata. Ako se funkcija dobivena kao rezultat diferenciranja pokaže jednakom integrandu, to će značiti da je integracija izvršena ispravno;

drugo svojstvo neodređenog integrala omogućuje nam da pronađemo njegovu antiderivaciju iz poznatog diferencijala funkcije. Na ovom se svojstvu temelji izravan izračun neodređenih integrala.

1.4 Invarijantnost oblika integracije.

Invarijantna integracija je vrsta integracije za funkcije čiji su argumenti elementi skupine ili točke homogenog prostora (svaka točka takvog prostora može se prenijeti u drugu navedena radnja skupine).

funkcija f(x) svodi se na izračun integrala diferencijalnog oblika f.w, gdje

Ispod je dana eksplicitna formula za r(x). Ugovorni uvjet ima oblik .

ovdje Tg znači operator posmaka na X koristeći gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Neka je X=G topologija, grupa koja djeluje na sebe pomacima ulijevo. I. i. postoji ako i samo ako je G lokalno kompaktan (osobito, na beskonačnodimenzionalnim grupama, int. ne postoji). Za podskup I. i. karakteristična funkcija cA (jednaka 1 na A i 0 izvan A) definira lijevu Haarovu mjeru m(A). Definirajuće svojstvo ove mjere je njena invarijantnost prema pomacima ulijevo: m(g-1A)=m(A) za sve gOG. Lijeva Haarova mjera na grupi jedinstveno je definirana do postavljenog skalarnog faktora. Ako je poznata Haarova mjera m, onda I. i. funkcija f dana je formulom . Prava Haarova mjera ima slična svojstva. Postoji kontinuirani homomorfizam (preslikavanje koje čuva svojstvo grupe) DG grupe G u grupu (s obzirom na množenje) put. brojevi za koje

gdje su dmr i dmi desna i lijeva Haarova mjera. Poziva se funkcija DG(g). modul grupe G. Ako je , tada se grupa G naziva. unimodularan; u ovom slučaju, desna i lijeva Haarova mjera su iste. Kompaktne, polujednostavne i nilpotentne (osobito komutativne) grupe su unimodularne. Ako je G n-dimenzionalna Liejeva grupa i q1,...,qn je baza u prostoru lijevo-invarijantnih 1-formi na G, tada je lijeva Haarova mjera na G dana n-formom. U lokalnim koordinatama za izračun

forme qi, možete koristiti bilo koju matričnu implementaciju grupe G: matrična 1-forma g-1dg je lijevo invarijantna, a njen koef. su lijevo-invarijantne skalarne 1-forme, iz kojih se bira željena baza. Na primjer, puna grupa matrica GL(n, R) je unimodularna i Haarova mjera na njoj dana je formom. Neka X=G/H je homogeni prostor za koji je lokalno kompaktna grupa G transformacijska grupa, a zatvorena podgrupa H stabilizator neke točke. Da bi na X postojao I.I., potrebno je i dovoljno da za sve hOH vrijedi jednakost DG(h)=DH(h). To posebno vrijedi kada je H kompaktan ili poluprost. Cjelovita teorija I. i. ne postoji na beskonačnodimenzionalnim mnogostrukostima.

Promjena varijabli.