Primjeri u stupcu za 4. Oduzimanje stupcem. Dijeljenje prirodnih brojeva

Uputa

Prvo testirajte djetetove vještine množenja. Ako dijete ne zna čvrsto tablicu množenja, onda može imati problema i s dijeljenjem. Zatim, kada objašnjavate podjelu, možete dopustiti da zavirite u varalicu, ali još morate naučiti tablicu.

Kroz razdjelnu okomitu crtu upiši djelitelj i djelitelj. Ispod djelitelja napisat ćete odgovor – količnik odvajajući ga vodoravnom crtom. Uzmite prvu znamenku od 372 i pitajte svoje dijete koliko puta broj šest "stane" u trojku. Tako je, nikako.

Zatim već uzmite dva broja - 37. Radi jasnoće, možete ih istaknuti kutom. Ponovno ponovite pitanje - koliko se puta broj šest nalazi u 37. Za brzo brojanje, dobro će vam doći. Zajedno odaberite odgovor: 6 * 4 = 24 - nimalo slično; 6*5 = 30 - blizu 37. Ali 37-30 = 7 - šest će opet "stati". Konačno, 6*6 = 36, 37-36 = 1 je u redu. Prvi pronađeni količnik je 6. Upiši ga ispod djelitelja.

Ispod broja 37 upiši 36, povuci crtu. Radi jasnoće, znak se može koristiti u zapisniku. Ostatak stavite ispod crte - 1. Sada sljedeću znamenku broja, dvojku, "spustite" na jedan - ispalo je 12. Objasnite djetetu da se brojevi uvijek "spuštaju" jedan po jedan. Opet pitajte koliko "šestica" ima u 12. Odgovor je 2, ovaj put bez traga. Napišite drugi privatni broj pored prvog. Konačni rezultat je 62.

Također detaljno razmotrite slučaj podjele. Na primjer, 167/6 \u003d 27, ostatak je 5. Najvjerojatnije vaš potomak još nije čuo ništa o jednostavnim razlomcima. Ali ako postavlja pitanja o tome što učiniti s ostatkom, to se može objasniti na primjeru jabuka. 167 jabuka podijeljeno je na šest ljudi. Svaki je dobio 27 komada, a pet jabuka ostalo je nepodijeljeno. Možete ih i podijeliti tako da svaku narežete na šest kriški i ravnomjerno rasporedite. Svaka osoba je dobila jednu krišku od svake jabuke - 1/6. A kako je bilo pet jabuka, svaka je imala pet kriški - 5/6. To jest, rezultat se može napisati na sljedeći način: 27 5/6.

Jednoznamenkaste prirodne brojeve lako je mentalno podijeliti. Ali kako dijeliti višeznamenkaste brojeve? Ako broj već ima više od dvije znamenke, mentalno brojanje može potrajati dugo, a povećava se i vjerojatnost pogreške u operacijama s višeznamenkastim brojevima.

Dijeljenje stupcem prikladna je metoda koja se često koristi za operaciju dijeljenja višeznačnih prirodnih brojeva. Ovaj je članak posvećen ovoj metodi. U nastavku ćemo pogledati kako izvesti dijeljenje po stupcu. Najprije razmotrite algoritam za dijeljenje broja s više vrijednosti u broj s jednom vrijednošću, a zatim broja s više vrijednosti brojem s više vrijednosti. Osim teorije, u članku se daju praktični primjeri podjele u stupac.

Najprikladnije je držati bilješke na papiru u kavezu, jer prilikom izračuna linija neće dopustiti da se zbunite u ispuštanjima. Najprije se djelitelj i djelitelj pišu s lijeva na desno u jednom retku, a zatim odvajaju posebnim znakom dijeljenja u stupcu koji izgleda ovako:

Pretpostavimo da trebamo podijeliti 6105 sa 55, napišite:

Ispod dividende ćemo napisati međuizračune, a ispod djelitelja rezultat. Općenito, shema podjele stupaca izgleda ovako:

Treba imati na umu da će vam za izračune trebati slobodan prostor na stranici. Štoviše, što je veća razlika u znamenkama dividende i djelitelja, to će biti više izračuna.

Primjerice, dijeljenje brojeva 614808 i 51234 zahtijevat će manje prostora nego dijeljenje broja 8058 s 4. Iako su u drugom slučaju brojevi manji, razlika u broju njihovih znamenki je veća, a izračuni će biti glomazniji. Ilustrirajmo ovo:

Praktične vještine najbolje je vježbati na jednostavnim primjerima. Stoga brojeve 8 i 2 dijelimo u stupac. Naravno, ovu operaciju je lako izvesti u umu ili pomoću tablice množenja, ali bit će korisno provesti detaljnu analizu radi jasnoće, iako već znamo da je 8 ÷ 2 = 4.

Dakle, prvo u stupac ispisujemo dividendu i djelitelj prema načinu dijeljenja.

Sljedeći korak je saznati koliko djelitelja sadrži dividenda. Kako to učiniti? Djelitelj uzastopno množimo s 0, 1, 2, 3. . To radimo sve dok rezultat ne bude broj jednak ili veći od djeljivog. Ako se rezultat odmah pokaže kao broj jednak dividendi, tada ispod djelitelja upisujemo broj s kojim je djelitelj pomnožen.

Inače, kada se dobije broj veći od djeljivog, ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku.Umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen na pretposljednjem koraku.

Vratimo se primjeru.

2 0 = 0; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8

Dakle, odmah smo dobili broj jednak djeljivom. Zapisujemo ga ispod djelitelja, a broj 4, kojim smo pomnožili djelitelj, upisujemo umjesto količnika.

Sada ostaje oduzeti brojeve ispod djelitelja (također metodom stupca). U našem slučaju 8 - 8 = 0 .

Ovaj primjer je dijeljenje brojeva bez ostatka. Broj nakon oduzimanja je ostatak dijeljenja. Ako je jednak nuli, tada se brojevi dijele bez ostatka.

Sada razmotrite primjer kada se brojevi dijele s ostatkom. Prirodni broj 7 podijelimo s prirodnim brojem 3 .

U ovom slučaju, uzastopno množenje trostruke s 0 , 1 , 2 , 3 . . kao rezultat dobivamo:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Ispod dividende upisujemo broj dobiven u pretposljednjem koraku. Prema djelitelju zapisujemo broj 2 - nepotpuni kvocijent dobiven na pretposljednjem koraku. S dva smo pomnožili djelitelj kad smo dobili 6.

Na kraju operacije oduzmite 6 od 7 i dobijete:

Ovaj primjer je dijeljenje brojeva s ostatkom. Parcijalni kvocijent je 2, a ostatak je 1.

Sada, nakon razmatranja elementarnih primjera, prijeđimo na dijeljenje prirodnih brojeva s više vrijednosti jednoznačnima.

Razmotrit ćemo algoritam dijeljenja stupcem na primjeru dijeljenja višeznamenkastog broja 140288 s brojem 4. Recimo odmah da je mnogo lakše razumjeti bit metode koristeći praktične primjere, a ovaj primjer nije odabran slučajno, jer ilustrira sve moguće nijanse dijeljenja prirodnih brojeva stupcem.

1. Zapišimo brojeve zajedno sa simbolom dijeljenja u stupac. Sada gledamo prvu znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. Moguća su dva slučaja: broj određen tom znamenkom veći je od djelitelja i obrnuto. U prvom slučaju radimo s ovim brojem, u drugom dodatno uzimamo sljedeću znamenku u unosu dividende i radimo s pripadajućim dvoznamenkastim brojem. U skladu s ovim odlomkom, u primjeru zapisa odabiremo broj s kojim ćemo raditi na početku. Ovaj broj je 14 jer je prva znamenka djelitelja 1 manja od djelitelja 4.

2. Odredite koliko se puta brojnik nalazi u dobivenom broju. Označimo ovaj broj kao x = 14 . Djelitelj 4 uzastopno množimo sa svakim članom niza prirodnih brojeva ℕ uključujući i nulu: 0 , 1 , 2 , 3 i tako dalje. To radimo sve dok kao rezultat ne dobijemo x ili broj veći od x. Kada se kao rezultat množenja dobije broj 14, upisujemo ga ispod odabranog broja prema pravilima za pisanje oduzimanja u stupac. Ispod djelitelja upisuje se faktor kojim je djelitelj pomnožen. Ako je rezultat množenja broj veći od x, tada ispod odabranog broja upisujemo broj dobiven u pretposljednjem koraku, a umjesto nepotpunog količnika (ispod djelitelja) upisujemo faktor kojim je izvršeno množenje. na pretposljednjem koraku.

Prema algoritmu imamo:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Ispod odabranog broja upisujemo broj 12 dobiven u pretposljednjem koraku. Umjesto količnika upisujemo faktor 3.

3. Oduzmite stupac od 14 12, napišite rezultat ispod vodoravne crte. Po analogiji s prvim odlomkom, uspoređujemo dobiveni broj s djeliteljem.

4. Broj 2 manji je od broja 4, pa ispod vodoravne crte iza dvojke upisujemo broj koji se nalazi na sljedećoj znamenki djelitelja. Ako više nema znamenki u dividendi, tada operacija dijeljenja završava. U našem primjeru, nakon broja 2 dobivenog u prethodnom paragrafu, pišemo sljedeću znamenku dividende - 0. Kao rezultat toga, označavamo novi radni broj - 20.

Važno!

Točke 2 - 4 ponavljaju se ciklički do završetka operacije dijeljenja prirodnih brojeva stupcem.

2. Izračunajmo opet koliko djelitelja sadrži broj 20. Množenje 4 s 0, 1, 2, 3. . dobivamo:

Budući da smo kao rezultat dobili broj jednak 20, zapisujemo ga ispod označenog broja, a umjesto količnika, u sljedećem bitu, upisujemo 5 - množitelj kojim je izvršeno množenje.

3. Oduzimanje izvodimo u stupcu. Kako su brojevi jednaki, kao rezultat dobivamo broj nula: 20 - 20 = 0.

4. Nećemo pisati broj nula, jer ovoj fazi- još nije kraj podjele. Sjetimo se samo mjesta gdje bismo ga mogli zapisati i pored njega napišimo broj sa sljedeće znamenke dividende. U našem slučaju, broj 2.

Ovaj broj uzimamo kao radni broj i ponovno izvodimo korake algoritma.

2. Pomnožite djelitelj s 0, 1, 2, 3. . te rezultat usporediti s označenim brojem.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

U skladu s tim, ispod označenog broja upisujemo broj 0, a ispod djelitelja u sljedećem bitu količnika također upisujemo 0.

3. Izvodimo operaciju oduzimanja i rezultat upisujemo ispod crte.

4. Desno ispod crte dodajte broj 8 jer je to sljedeća znamenka djeljivog broja.

Tako dobivamo novi radni broj - 28. Ponovno ponavljamo točke algoritma.

Nakon što sve učinimo prema pravilima, dobivamo rezultat:

Zadnju znamenku dividende - 8 pomičemo niz liniju. Posljednji put ponavljamo korake algoritma 2 - 4 i dobivamo:

U donjem redu upisujemo broj 0 . Ovaj broj se upisuje samo u posljednjoj fazi dijeljenja, kada je operacija završena.

Dakle, rezultat dijeljenja broja 140228 sa 4 je broj 35072. Ovaj primjer je vrlo detaljno analiziran, a pri rješavanju praktičnih zadataka nije potrebno tako temeljito oslikavati sve radnje.

Dajemo druge primjere dijeljenja brojeva u stupac i primjere pisanja rješenja.

Primjer 1. Dijeljenje prirodnih brojeva u stupac

Prirodni broj 7136 podijelimo s prirodnim brojem 9 .

Nakon drugog, trećeg i četvrtog koraka algoritma, unos će imati oblik:

Ponovimo ciklus:

Zadnji prolaz, a mi učimo rezultat:

Odgovor: Nepuni dio brojeva 7136 i 9 je 792, a ostatak je 8.

Prilikom rješavanja praktičnih primjera u idealu nikako nemojte koristiti objašnjenja u obliku usmenih komentara.

Primjer 2. Dijeljenje prirodnih brojeva u stupac

Podijelite broj 7042035 sa 7.

Odgovor: 1006005

Dijeljenje višeznačnih prirodnih brojeva stupcem

Algoritam za dijeljenje višeznamenkastih brojeva u stupac vrlo je sličan prethodno razmatranom algoritmu za dijeljenje višeznamenkastih brojeva s jednim. Točnije, izmjene se odnose samo na prvi stavak, dok stavci 2. - 4. ostaju nepromijenjeni.
Ako smo pri dijeljenju s jednoznamenkastim brojem gledali samo prvu znamenku djelitelja, sada ćemo gledati onoliko znamenki koliko ih ima u djelitelju.Kada je broj određen tim znamenkama veći od djelitelja, uzimamo kao radni broj. U protivnom dodajemo još jednu znamenku od sljedeće znamenke dividende. Zatim slijedimo korake gore opisanog algoritma.

Dijeljenje prirodnih brojeva, osobito višeznačnih, zgodno se provodi posebnom metodom, koja se zove dijeljenje stupcem (u stupcu). Također možete vidjeti ime kutna podjela. Odmah napominjemo da se u stupcu može izvršiti i dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka i dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

U ovom članku ćemo razumjeti kako se izvodi dijeljenje po stupcu. Ovdje ćemo govoriti o pravilima pisanja, te o svim međuizračunima. Najprije se zadržimo na dijeljenju višeznačnog prirodnog broja s jednoznamenkastim brojem pomoću stupca. Nakon toga ćemo se usredotočiti na slučajeve u kojima su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cijela teorija ovog članka opskrbljena je karakterističnim primjerima dijeljenja stupcem prirodnih brojeva s detaljnim objašnjenjima rješenja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje kod dijeljenja stupcem

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih srednjih izračuna i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je najprikladnije podijeliti u stupac u pisanom obliku na papiru s kockastom linijom - tako da je manje šanse da zalutate iz željenog retka i stupca.

Najprije se u jednom retku slijeva na desno ispisuju djelitelj i djelitelj, nakon čega se između napisanih brojeva ispisuje simbol oblika. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihov ispravan zapis kada se podijeli u stupac biti:

Pogledajte sljedeći dijagram koji ilustrira mjesta za pisanje dividende, djelitelja, kvocijenta, ostatka i međuizračune pri dijeljenju stupcem.

Iz gornjeg dijagrama je vidljivo da će željeni količnik (ili nepotpuni kvocijent kod dijeljenja s ostatkom) biti upisan ispod djelitelja ispod vodoravne crte. I međuizračuni će se provesti ispod dividende, a morate unaprijed voditi računa o dostupnosti prostora na stranici. U tom slučaju treba se voditi pravilom: što je veća razlika u broju znakova u unosima djelitelja i djelitelja, potrebno je više prostora. Na primjer, pri dijeljenju prirodnog broja 614.808 s 51.234 stupcem (614.808 je šesteroznamenkasti broj, 51.234 je peteroznamenkasti broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5=1), među izračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znakova 4−1=3 ). Za potvrdu naših riječi donosimo dovršene zapise dijeljenja stupcem ovih prirodnih brojeva:

Sada možete ići izravno na proces dijeljenja prirodnih brojeva stupcem.

Dijeljenje stupcem prirodnog broja jednoznamenkastim prirodnim brojem, algoritam dijeljenja stupcem

Jasno je da je dijeljenje jednog jednoznamenkastog prirodnog broja drugim sasvim jednostavno i nema razloga dijeliti te brojeve u stupac. Međutim, bit će korisno vježbati početne vještine dijeljenja stupcem na ovim jednostavnim primjerima.

Primjer.

Neka trebamo podijeliti stupcem 8 sa 2.

Riješenje.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako te brojeve podijeliti stupcem.

Prvo pišemo dividendu 8 i djelitelj 2 kako zahtijeva metoda:

Sada počinjemo računati koliko je puta djelitelj u dividendi. Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... sve dok rezultat ne bude broj jednak djelitelju (ili broj veći od djelitelja, ako postoji dijeljenje s ostatkom). ). Ako dobijemo broj jednak djelitelju, tada ga odmah upišemo ispod djelitelja, a umjesto privatnog upišemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od djeljivog, tada ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a na mjesto nepunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen na pretposljednjem koraku.

Idemo: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upisujemo ispod dividende, a umjesto privatnog upisujemo broj 4. Zapis će tada izgledati ovako:

Preostaje završna faza dijeljenja jednoznamenkastih prirodnih brojeva stupcem. Ispod broja koji je napisan ispod dividende potrebno je povući vodoravnu crtu, a brojeve iznad te crte oduzimati na isti način kao što se radi kod oduzimanja prirodnih brojeva stupcem. Broj dobiven nakon oduzimanja bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednak nuli, tada se izvorni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobivamo

Sada imamo gotov zapis dijeljenja stupcem broja 8 sa 2. Vidimo da je kvocijent 8:2 4 (a ostatak je 0 ).

Odgovor:

8:2=4 .

Sada razmotrite kako se provodi dijeljenje stupcem jednoznamenkastih prirodnih brojeva s ostatkom.

Primjer.

Podijelite stupcem 7 sa 3.

Riješenje.

U početnoj fazi unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožit ćemo 3 s 0, 1, 2, 3 itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobivamo 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (po potrebi pogledati članak Usporedba prirodnih brojeva). Ispod dividende upišemo broj 6 (dobiven je na pretposljednjem koraku), a na mjesto nepunog količnika upišemo broj 2 (pomnožen je na pretposljednjem koraku).

Preostaje još izvršiti oduzimanje i dijeljenje stupcem jednoznamenkastih prirodnih brojeva 7 i 3 bit će završeno.

Dakle, djelomični kvocijent je 2, a ostatak je 1.

Odgovor:

7:3=2 (odmor. 1) .

Sada možemo prijeći na dijeljenje prirodnih brojeva s više vrijednosti jednoznamenkastim prirodnim brojevima stupcem.

Sada ćemo analizirati algoritam dijeljenja stupaca. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višeznačnog prirodnog broja 140 288 s jednoznačnim prirodnim brojem 4 . Ovaj primjer nije odabran slučajno, jer ćemo se prilikom njegovog rješavanja susresti sa svim mogućim nijansama, moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo gledamo prvu znamenku slijeva u unosu dividende. Ako je broj definiran ovim brojem veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada trebamo dodati sljedeću znamenku lijevo u zapisu dividende i dalje raditi s brojem koji je određen dvjema dotičnim znamenkama. Radi praktičnosti, u našem zapisu odabiremo broj s kojim ćemo raditi.

Prva znamenka slijeva u dividendi 140,288 je broj 1. Broj 1 manji je od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Taj broj odabiremo u oznaci dividende.

Sljedeće točke od druge do četvrte ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva stupcem.

Sada moramo odrediti koliko je puta djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (radi praktičnosti, označimo ovaj broj kao x). Da bismo to učinili, uzastopno množimo djelitelj s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kada dobijemo broj x, tada ga upisujemo ispod odabranog broja prema pravilima zapisa koja se koriste pri oduzimanju po stupcu prirodnih brojeva. Broj kojim je izvršeno množenje zapisuje se umjesto kvocijenta tijekom prvog prolaza algoritma (tijekom sljedećih prolaza 2-4 točke algoritma, ovaj broj se piše desno od brojeva koji se već nalaze). Kada se dobije broj koji je veći od broja x, tada ispod odabranog broja upisujemo broj dobiven u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji već postoje) upisujemo broj tako da pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Izveli smo slične akcije u dva gore razmotrena primjera).

Množimo djelitelj broja 4 s brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj koji je jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>četrnaest . Budući da smo u zadnjem koraku dobili broj 16, koji je veći od 14, tada ispod odabranog broja upisujemo broj 12, koji je ispao u pretposljednjem koraku, a umjesto kvocijenta upisujemo broj 3, jer u pretposljednji odlomak množenje je izvršeno upravo na njemu.

U ovoj fazi od odabranog broja oduzmite broj ispod njega u stupcu. Ispod vodoravne crte nalazi se rezultat oduzimanja. Međutim, ako je rezultat oduzimanja jednak nuli, tada ga ne treba zapisivati (osim ako je oduzimanje u ovom trenutku posljednja radnja koja u potpunosti dovršava dijeljenje stupcem). Ovdje, za vašu kontrolu, neće biti suvišno usporediti rezultat oduzimanja s djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 u stupcu trebamo oduzeti broj 12 (za ispravan zapis ne smijete zaboraviti staviti znak minus lijevo od oduzetih brojeva). Nakon završetka ove radnje ispod vodoravne crte pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem. Budući da je broj 2 manji od djelitelja 4, možete sigurno prijeći na sljedeću stavku.

Sada ispod vodoravne crte desno od brojeva koji se tamo nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo upisali nulu) upisujemo broj koji se nalazi u istom stupcu u zapisu o dividendi. Ako u zapisu dividende u ovom stupcu nema brojeva, ovdje završava dijeljenje po stupcu. Nakon toga odabiremo broj formiran ispod vodoravne crte, uzimamo ga kao radni broj i s njim ponavljamo od 2 do 4 točke algoritma.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 koji već postoji, upisujemo broj 0, budući da se upravo broj 0 nalazi u zapisu dividende 140 288 u ovom stupcu. Tako se ispod vodoravne crte formira broj 20.

Odaberemo ovaj broj 20, uzmemo ga kao radni broj i s njim ponovimo radnje druge, treće i četvrte točke algoritma.

Množimo djelitelj broja 4 s 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj veći od 20. Imamo 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

Oduzimanje vršimo stupcem. Budući da oduzimamo jednake prirodne brojeve, tada, zbog svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva, kao rezultat dobivamo nulu. Ne pišemo nulu (budući da ovo nije posljednja faza dijeljenja stupcem), ali pamtimo mjesto gdje bismo je mogli zapisati (radi praktičnosti, to ćemo mjesto označiti crnim pravokutnikom).

Ispod vodoravne crte desno od memoriranog mjesta upisujemo broj 2 jer se upravo ona nalazi u zapisu dividende 140 288 u ovom stupcu. Dakle, ispod vodoravne crte imamo broj 2 .

Uzimamo broj 2 kao radni broj, označavamo ga i još jednom ćemo morati izvršiti korake iz 2-4 točke algoritma.

Množimo djelitelj s 0 , 1 , 2 i tako dalje te dobivene brojeve uspoređujemo s označenim brojem 2 . Imamo 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Dakle, ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobio se na pretposljednjem koraku), a umjesto kvocijenta desno od broja koji već postoji upisujemo broj 0 (pomnožili smo s 0 na pretposljednjem korak).

Izvodimo oduzimanje stupcem, dobivamo broj 2 ispod vodoravne crte. Provjeravamo se uspoređujući dobiveni broj s djeliteljem 4 . Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

Ispod vodoravne crte desno od broja 2 dodajemo broj 8 (budući da je u ovom stupcu u evidenciji dividende 140 288). Dakle, ispod vodoravne crte nalazi se broj 28.

Ovaj broj prihvaćamo kao radnik, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4 paragrafa.

Ovdje ne bi trebalo biti problema ako ste do sada bili oprezni. Provodeći sve potrebne radnje, dobiva se sljedeći rezultat.

Ostalo je još posljednji put izvršiti radnje iz točaka 2, 3, 4 (mi vam ih dostavljamo), nakon čega ćete dobiti cjelovitu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140 288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan na samom dnu retka. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja stupcem (odnosno da u zapisu dividende u desnim stupcima stoje brojevi), onda ne bismo pisali ovu nulu.

Dakle, gledajući završeni zapis dijeljenja višeznačnog prirodnog broja 140 288 jednoznačnim prirodnim brojem 4, vidimo da je broj 35 072 privatan (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom Poanta).

Naravno, kada prirodne brojeve dijelite stupcem, nećete tako detaljno opisati sve svoje radnje. Vaša će rješenja izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7136, a djelitelj jedan prirodni broj 9.

Riješenje.

Na prvom koraku algoritma dijeljenja prirodnih brojeva stupcem dobivamo zapis oblika

Nakon izvršenja radnji iz druge, treće i četvrte točke algoritma, zapis dijeljenja po stupcu poprimit će oblik

Ponavljajući ciklus, imat ćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku dijeljenja stupcem prirodnih brojeva 7 136 i 9

Dakle, djelomični kvocijent je 792 , a ostatak dijeljenja je 8 .

Odgovor:

7 136:9=792 (ostatak 8) .

A ovaj primjer pokazuje kako bi trebalo izgledati dugo dijeljenje.

Primjer.

Prirodni broj 7 042 035 podijeli jednoznamenkastim prirodnim brojem 7 .

Riješenje.

Najprikladnije je izvršiti dijeljenje stupcem.

Odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva

Žurimo vas zadovoljiti: ako ste dobro savladali algoritam za dijeljenje stupcem iz prethodnog odlomka ovog članka, tada već gotovo znate kako to izvesti dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva. To je istina, budući da koraci od 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjeni, au prvom koraku pojavljuju se samo manje promjene.

U prvoj fazi dijeljenja u stupac višeznačnih prirodnih brojeva, ne morate gledati prvu znamenku s lijeve strane u unosu djelitelja, već onoliko njih koliko ima znamenki u unosu djelitelja. Ako je broj definiran ovim brojevima veći od djelitelja, tada u sljedećem odlomku moramo raditi s tim brojem. Ako je taj broj manji od djelitelja, tada razmatranju trebamo dodati sljedeću znamenku s lijeve strane u zapisu dividende. Nakon toga se izvode radnje navedene u stavcima 2, 3 i 4 algoritma do dobivanja konačnog rezultata.

Ostaje samo vidjeti primjenu algoritma za dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva u praksi pri rješavanju primjera.

Primjer.

Izvršimo dijeljenje stupcem višeznačnih prirodnih brojeva 5562 i 206.

Riješenje.

Budući da su 3 znaka uključena u zapis djelitelja 206, gledamo prve 3 znamenke s lijeve strane u zapisu djelitelja 5 562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Budući da je 556 veći od djelitelja 206, broj 556 uzimamo kao radni, odabiremo ga i nastavljamo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje množenje prirodnih brojeva izvoditi u stupcu): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Pošto smo dobili broj koji je veći od 556, tada ispod odabranog broja upisujemo broj 412 (dobiven je u pretposljednjem koraku), a umjesto kvocijenta upisujemo broj 2 (jer je pomnožen u pretposljednjem korak). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Izvršite oduzimanje stupca. Dobivamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti s izvođenjem potrebnih radnji.

Ispod vodoravne crte desno od broja koji je tamo dostupan, upisujemo broj 2, jer se nalazi u zapisu dividende 5 562 u ovom stupcu:

Sada radimo s brojem 1442, odabiremo ga i ponovno prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množimo djelitelj 206 s 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj 1442 ili broj veći od 1442. Idemo: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimamo po stupcu, dobijemo nulu, ali je ne zapisujemo odmah, nego samo pamtimo njen položaj, jer ne znamo da li dijeljenje ovdje završava ili ćemo morati ponoviti korake algoritma opet:

Sada vidimo da ispod vodoravne crte desno od memoriranog mjesta ne možemo upisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovom stupcu nema brojeva. Dakle, ova podjela po stupcima je gotova i dovršavamo unos:

Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede obrazovnih ustanova.
Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

Kalkulator stupaca za Android uređaje bit će izvrstan pomoćnik modernim školarcima. Program ne samo da daje točan odgovor na matematičku radnju, već i jasno pokazuje njezino rješenje korak po korak. Ako trebate složenije kalkulatore, možete pogledati napredni inženjerski kalkulator.

Osobitosti

Glavna značajka programa je jedinstvenost izračuna matematičkih operacija. Prikaz postupka izračuna u stupcu omogućuje učenicima da ga detaljnije upoznaju, razumiju algoritam rješenja, a ne samo da dobiju gotov rezultat i prepišu ga u bilježnicu. Ova značajka ima veliku prednost u odnosu na druge kalkulatore. prilično često u školi učitelji zahtijevaju da se međuizračuni zapišu kako bi bili sigurni da ih učenik radi u mislima i da stvarno razumije algoritam za rješavanje problema. Usput, imamo još jedan program slične vrste - .

Da biste počeli koristiti program, morate preuzeti kalkulator u stupcu na Androidu. To možete učiniti na našoj web stranici potpuno besplatno bez dodatnih registracija i SMS-a. Nakon instalacije otvorit će se glavna stranica u obliku bilježnice u kavezu, na kojoj će se zapravo prikazati rezultati izračuna i njihovo detaljno rješenje. Na dnu se nalazi ploča s gumbima:

Brojke.
Znakovi aritmetičkih operacija.
Brisanje prethodno unesenih znakova.

Unos se provodi prema istom principu kao na. Sva razlika je samo u sučelju aplikacije - svi matematički izračuni i njihovi rezultati prikazani su u virtualnoj učeničkoj bilježnici.

Aplikacija vam omogućuje brzo i ispravno izvođenje standardnih matematičkih izračuna za učenika u stupcu:

množenje;
podjela;
dodatak;
oduzimanje.

Dobar dodatak aplikaciji je značajka dnevnog podsjetnika za zadaću iz matematike. Ako želiš, uradi svoju zadaću. Da biste ga omogućili, idite na postavke (pritisnite gumb u obliku zupčanika) i označite okvir podsjetnika.

Prednosti i nedostatci

Pomaže učeniku ne samo da brzo dobije točan rezultat matematičkih izračuna, već i da razumije sam princip izračuna.
Vrlo jednostavno, intuitivno sučelje za svakog korisnika.
Aplikaciju možete instalirati čak i na najproračunskijem Android uređaju s operativnim sustavom 2.2 i novijim.
Kalkulator sprema povijest matematičkih izračuna, koja se može obrisati u bilo kojem trenutku.

Kalkulator je ograničen u matematičkim operacijama, tako da neće raditi za složene izračune koje inženjerski kalkulator može obraditi. No, s obzirom na svrhu same aplikacije - da osnovnoškolcima jasno demonstrira princip računanja u stupac, to ne treba smatrati nedostatkom.

Aplikacija će također biti izvrstan pomoćnik ne samo školarcima, već i roditeljima koji žele zainteresirati svoje dijete za matematiku i naučiti ga kako pravilno i dosljedno izvoditi izračune. Ako ste već koristili aplikaciju Stacked Calculator, svoje dojmove ostavite ispod u komentarima.

U školi se te radnje proučavaju od jednostavnih do složenih. Stoga je svakako potrebno svladati algoritam izvođenja navedenih operacija na jednostavnim primjerima. Tako da kasnije neće biti poteškoća s dijeljenjem decimalnih frakcija u stupac. Uostalom, ovo je najteža verzija takvih zadataka.

Ova tema zahtijeva dosljedno proučavanje. Praznine u znanju su ovdje nedopustive. Ovo bi načelo svaki učenik trebao naučiti već u prvom razredu. Stoga, ako preskočite nekoliko lekcija za redom, morat ćete sami svladati gradivo. Inače će kasnije biti problema ne samo s matematikom, već i s drugim predmetima vezanim uz nju.

Drugi preduvjet za uspješno učenje matematike je da se na primjere dijeljenja u stupac prijeđe tek nakon savladavanja zbrajanja, oduzimanja i množenja.

Djetetu će biti teško dijeliti ako nije naučilo tablicu množenja. Usput, bolje je to naučiti iz Pitagorine tablice. Nema ništa suvišno, a množenje je u ovom slučaju lakše probavljivo.

Kako se prirodni brojevi množe u stupcu?

Ako postoji poteškoća u rješavanju primjera u stupcu za dijeljenje i množenje, tada je potrebno započeti rješavanje zadatka s množenjem. Budući da je dijeljenje obrnuto od množenja:

Prije nego što pomnožite dva broja, morate ih pažljivo pogledati. Odaberite onaj s više znamenki (duži), prvo ga zapišite. Stavite drugi ispod njega. Štoviše, brojevi odgovarajuće kategorije trebaju biti pod istom kategorijom. Odnosno, krajnja desna znamenka prvog broja mora biti iznad krajnje desne znamenke drugog.
Pomnožite krajnju desnu znamenku donjeg broja sa svakom znamenkom gornjeg broja, počevši s desne strane. Odgovor upišite ispod crte tako da mu zadnja znamenka bude ispod one s kojom je pomnožen.
Ponovite isto s drugom znamenkom donjeg broja. Ali rezultat množenja mora biti pomaknut jednu znamenku ulijevo. U ovom slučaju, njegova posljednja znamenka bit će ispod one s kojom je pomnožena.

Nastavite ovo množenje u stupcu dok ne ponestane brojeva u drugom množitelju. Sada ih treba presavijati. Ovo će biti željeni odgovor.

Algoritam za množenje u stupac decimalnih razlomaka

Prvo, treba zamisliti da nisu zadani decimalni razlomci, nego prirodni. Odnosno, uklonite zareze iz njih i zatim postupite kao što je opisano u prethodnom slučaju.

Razlika počinje kada je odgovor napisan. U ovom trenutku potrebno je prebrojati sve brojeve koji se nalaze iza decimalnih točaka u oba razlomka. Toliko ih treba prebrojati od kraja odgovora i tamo staviti zarez.

Zgodno je ilustrirati ovaj algoritam primjerom: 0,25 x 0,33:

Kako početi učiti dijeljenje?

Prije rješavanja primjera za dijeljenje u stupac, potrebno je zapamtiti nazive brojeva koji se nalaze u primjeru za dijeljenje. Prvi od njih (onaj koji dijeli) je djeljiv. Sekunda (njome podijeljena) je djelitelj. Odgovor je privatan.

Nakon toga ćemo na jednostavnom svakodnevnom primjeru objasniti bit ove matematičke operacije. Na primjer, ako uzmete 10 slatkiša, lako ih je jednako podijeliti između mame i tate. Ali što ako ih trebate podijeliti roditeljima i bratu?

Nakon toga možete se upoznati s pravilima dijeljenja i svladati ih na konkretnim primjerima. Najprije jednostavne, a onda sve složenije.

Algoritam za dijeljenje brojeva u stupac

Prvo ćemo prikazati postupak za prirodne brojeve djeljive jednoznamenkastim brojem. Oni će također biti osnova za višeznamenkaste djelitelje ili decimalne razlomke. Tek tada treba napraviti male izmjene, ali o tome kasnije:

Prije nego što počnete dijeliti u stupac, morate saznati gdje su dividenda i djelitelj.
Zapišite dividendu. Desno od njega je razdjelnik.
Nacrtajte kut lijevo i dolje blizu zadnjeg kuta.
Odredite nepotpunu dividendu, odnosno broj koji će biti najmanji za dijeljenje. Obično se sastoji od jedne znamenke, najviše dvije.
Odaberite broj koji će biti prvi upisan u odgovoru. To mora biti broj koliko puta djelitelj stane u dividendu.
Zapiši rezultat množenja tog broja djeliteljem.
Napiši ga ispod nepotpunog djelitelja. Izvršite oduzimanje.
Prenesite u ostatak prvu znamenku nakon dijela koji je već podijeljen.
Ponovo odaberite broj za odgovor.
Ponoviti množenje i oduzimanje. Ako je ostatak nula i dividenda je gotova, tada je primjer gotov. U suprotnom, ponovite korake: srušite broj, pokupite broj, pomnožite, oduzmite.

Kako riješiti dugo dijeljenje ako je u djelitelju više od jedne znamenke?

Sam algoritam u potpunosti se podudara s gore opisanim. Razlika će biti broj znamenki u nepotpunoj dividendi. Sada bi ih trebalo biti najmanje dva, ali ako se ispostavi da su manji od djelitelja, onda bi trebalo raditi s prve tri znamenke.

Postoji još jedna nijansa u ovoj podjeli. Činjenica je da ostatak i figura koja mu pripada ponekad nisu djeljivi djeliteljem. Zatim treba pripisati još jednu figuru po redu. Ali u isto vrijeme, odgovor mora biti nula. Ako su troznamenkasti brojevi podijeljeni u stupac, tada će možda biti potrebno ukloniti više od dvije znamenke. Zatim se uvodi pravilo: nule u odgovoru trebaju biti za jednu manje od broja uklonjenih znamenki.

Takvu podjelu možete razmotriti na primjeru - 12082: 863.

Nepotpuni djeljiv u njemu je broj 1208. Broj 863 u njemu se nalazi samo jednom. Dakle, u odgovoru treba staviti 1, a ispod 1208 napisati 863.
Nakon oduzimanja, ostatak je 345.
Njemu trebate srušiti broj 2.
U broj 3452 863 stane četiri puta.
Kao odgovor mora biti napisano četiri. Štoviše, kada se pomnoži s 4, dobiva se ovaj broj.
Ostatak nakon oduzimanja je nula. Odnosno, podjela je završena.

Odgovor u primjeru je 14.

Što ako dividenda završi na nuli?

Ili nekoliko nula? U tom slučaju dobije se nula ostataka, au dividendi još ima nula. Ne očajavajte, sve je lakše nego što se čini. Dovoljno je samo pripisati odgovoru sve nule koje su ostale nepodijeljene.

Na primjer, trebate podijeliti 400 s 5. Nepotpuna dividenda je 40. Pet je u njoj 8 puta. To znači da bi odgovor trebao biti napisan 8. Kod oduzimanja nema ostatka. Odnosno, podjela je gotova, ali u dividendi ostaje nula. Morat će se dodati odgovoru. Dakle, dijeljenje 400 sa 5 daje 80.

Što ako trebate podijeliti decimalu?

Opet, ovaj broj izgleda kao prirodan broj, ako nema zareza koji odvaja cijeli broj od razlomka. Ovo sugerira da je podjela decimalnih razlomaka u stupac slična onoj gore opisanoj.

Jedina razlika bit će točka-zarez. Trebalo bi odgovoriti odmah, čim se skine prva znamenka iz razlomka. Na drugi način, može se reći ovako: dijeljenje cijelog dijela je završeno - stavite zarez i nastavite rješenje dalje.

Prilikom rješavanja primjera za dijeljenje u stupac s decimalnim razlomcima, morate imati na umu da se dijelu nakon decimalne točke može dodijeliti bilo koji broj nula. Ponekad je to potrebno kako bi se brojevi završili do kraja.

Dijeljenje dvije decimale

Možda se čini komplicirano. Ali samo na početku. Uostalom, kako izvršiti dijeljenje u stupcu razlomaka prirodnim brojem već je jasno. Dakle, ovaj primjer moramo svesti na već poznati oblik.

Učini to lakšim. Trebate pomnožiti oba razlomka s 10, 100, 1000 ili 10 000, ili možda s milijunom ako zadatak to zahtijeva. Pretpostavlja se da se množitelj bira na temelju toga koliko nula ima decimalni dio djelitelja. To jest, kao rezultat toga, ispada da ćete morati podijeliti razlomak prirodnim brojem.

I bit će u najgorem slučaju. Uostalom, može se ispostaviti da dividenda od ove operacije postaje cijeli broj. Tada će se rješenje primjera s dijeljenjem u stupac razlomaka svesti na najjednostavniju opciju: operacije s prirodnim brojevima.

Kao primjer: 28,4 podijeljeno s 3,2:

Prvo ih je potrebno pomnožiti s 10, jer u drugom broju postoji samo jedna znamenka nakon decimalne točke. Množenje će dati 284 i 32.
Oni bi trebali biti podijeljeni. I odjednom je cijeli broj 284 sa 32.
Prvi odgovarajući broj za odgovor je 8. Množenje daje 256. Ostatak je 28.
Dijeljenje cijelog dijela je završeno, au odgovoru treba staviti zarez.
Srušiti do ostatka 0.
Ponovno uzmite 8.
Ostatak: 24. Dodajte mu još 0.
Sada morate uzeti 7.
Rezultat množenja je 224, ostatak je 16.
Uništi još 0. Uzmi 5 i dobiješ točno 160. Ostatak je 0.

Podjela završena. Rezultat primjera 28,4:3,2 je 8,875.

Što ako je djelitelj 10, 100, 0,1 ili 0,01?

Kao i kod množenja, ovdje nije potrebno dugo dijeljenje. Dovoljno je samo pomaknuti zarez u pravom smjeru za određeni broj znamenki. Štoviše, prema ovom principu možete rješavati primjere i s cijelim brojevima i s decimalnim razlomcima.

Dakle, ako treba podijeliti s 10, 100 ili 1000, tada se zarez pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju. Odnosno, kada je broj djeljiv sa 100, zarez bi se trebao pomaknuti ulijevo za dvije znamenke. Ako je dividenda prirodan broj, tada se pretpostavlja da je zarez na njegovom kraju.

Ova radnja daje isti rezultat kao da se broj pomnoži s 0,1, 0,01 ili 0,001. U ovim primjerima zarez je također pomaknut ulijevo za broj znamenki jednak duljini razlomka.

Prilikom dijeljenja s 0,1 (itd.) ili množenja s 10 (itd.), zarez se treba pomaknuti udesno za jednu znamenku (ili dvije, tri, ovisno o broju nula ili duljini razlomka).

Vrijedno je napomenuti da broj znamenki navedenih u dividendi možda neće biti dovoljan. Zatim se nule koje nedostaju mogu dodijeliti lijevo (u cjelobrojnom dijelu) ili desno (iza decimalne točke).

Dijeljenje periodičkih razlomaka

U tom slučaju nećete moći dobiti točan odgovor prilikom podjele u stupac. Kako riješiti primjer ako se naiđe na razlomak s točkom? Ovdje je potrebno prijeći na obične razlomke. A zatim izvršite njihovu podjelu prema prethodno proučenim pravilima.

Na primjer, trebate podijeliti 0, (3) s 0,6. Prvi razlomak je periodičan. Pretvara se u razlomak 3/9, koji će nakon redukcije dati 1/3. Drugi razlomak je zadnja decimala. Još je lakše zapisati obični: 6/10, što je jednako 3/5. Pravilo dijeljenja običnih razlomaka nalaže da se dijeljenje zamijeni množenjem, a djelitelj recipročnom vrijednošću broja. Odnosno, primjer se svodi na množenje 1/3 sa 5/3. Odgovor je 5/9.

Ako primjer ima različite razlomke...

Tada postoji nekoliko mogućih rješenja. Prvo, možete pokušati pretvoriti obični razlomak u decimalu. Zatim podijelite već dvije decimale prema gornjem algoritmu.

Drugo, svaki krajnji decimalni razlomak može se napisati kao obični razlomak. Samo nije uvijek zgodno. Najčešće se takve frakcije pokažu ogromnima. Da, a odgovori su glomazni. Stoga se prvi pristup smatra poželjnijim.