3 visine trokuta. Sažetak lekcije "teorem o sjecištu visina trokuta." Omjer elemenata u pravokutnom trokutu

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut- ovo je lik koji se sastoji od tri segmenta i tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, i bodova vrhovi.

Zbroj kutova trokut je jednak 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta je okomica povučena iz vrha na suprotnu stranu.

U šiljastokutnom trokutu visina je sadržana unutar trokuta (slika 1).

U pravokutnom trokutu katete su visine trokuta (slika 2).

Kod tupokutnog trokuta visina prolazi izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta- ovo je segment koji prepolovljuje kut vrha i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trokuta.

Medijan trokuta- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Duljina medijana može se izračunati pomoću formule: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Gdje m a- sredina povučena u stranu A. U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu je polovica hipotenuze: c mc = — 2 Gdje mc je medijan povučen na hipotenuzu c(Slika 9c) Medijani trokuta sijeku se u jednoj točki (u središtu mase trokuta) i tom su točkom podijeljeni u omjeru 2:1, računajući od vrha. To jest, odsječak od vrha do središta dvostruko je veći od odsječka od središta do stranice trokuta (slika 9c). Tri središnje strane trokuta dijele ga na šest trokuta jednakih površina.

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta- ovo je segment koji povezuje središnje točke njegovih dviju strana (slika 10).

Sredina trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici.

Vanjski kut trokuta.

vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva nesusjedna unutarnja kuta (sl. 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut- ovo je trokut koji ima pravi kut (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane su tzv noge.

Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu visina povučena iz pravog kuta tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, kutovi koje čini visina jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut- ovo je trokut u kojem su dvije strane jednake (slika 13).

Te jednake strane nazivaju se strane, i treći osnova trokut.

U jednakokračnom trokutu kutovi na osnovici su jednaki. (U našem trokutu kut A jednak je kutu C).

U jednakokračnom trokutu, središnja povučena na osnovicu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju izvorna svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme povezane s tim oblicima. Neka od ovih svojstava navedena su gore. Ali mi ih opet ponavljamo, dodajući im još nekoliko sjajnih značajki:

1) U pravokutnom trokutu s kutovima 90º, 30º i 60º krak je b, koji leži nasuprot kutu od 30º, jednako je polovica hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (Sl. 15 A). Na primjer, ako je krak od b 5, tada je hipotenuza c nužno jednak 10, a kat A jednako 5√3. 2) U pravokutnom jednakokračnom trokutu s kutovima od 90º, 45º i 45º, hipotenuza je √2 puta krak (sl. 15 b). Na primjer, ako su katete 5, tada je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trokuta jednaka je polovici paralelne stranice (sl. 15. S). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja linija paralelna s njom 5. 4) U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je polovici hipotenuze (slika 9c): mc= c/2. 5) Medijane trokuta, koje se sijeku u jednoj točki, dijele se ovom točkom u omjeru 2:1. Odnosno, segment od vrha do točke presjeka medijana dvostruko je duži od segmenta od točke presjeka medijana do stranice trokuta (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu polovište hipotenuze je središte opisane kružnice (sl. 15. d).

Znakovi jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti: Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i kutovi uz nju jednog trokuta jednaki stranici i kutovima uz nju drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka je stranica manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa kuta između njih:

1
S = — AB · AC · grijeh A
2

Trokut opisan krugu.

Kružnicu nazivamo upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (sl. 16 A).

Trokut upisan u krug.

Trokut se naziva upisanim u krug ako ga dodiruje svim vrhovima (slika 17. a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotan kateter na hipotenuzu.
Označava se ovako: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutni trokut je omjer susjedni kateter na hipotenuzu.
Označava se na sljedeći način: cos x.

Tangens oštar kut x je omjer suprotnog kraka prema susjednom kraku.
Označava se ovako: tgx.

Kotangens oštar kut x je omjer susjednog i suprotnog kraka.
Označava se ovako: ctgx.

Pravila:

Noga suprotni kut x, jednak je umnošku hipotenuze i sin x:

b=c grijeh x

Noga uz kut x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga suprotni kut x, jednak je umnošku drugog kraka i tg x:

b = a tg x

Noga uz kut x, jednak je umnošku drugog kraka i ctg x:

a = b ctg x.

Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x

Gotovo nikada neće biti moguće odrediti sve parametre trokuta bez dodatnih konstrukcija. Ove konstrukcije su vrsta grafičkih karakteristika trokuta koje pomažu odrediti veličinu stranica i kutova.

Definicija

Jedna od tih karakteristika je visina trokuta. Visina je okomica povučena iz vrha trokuta na njegovu suprotnu stranicu. Vrh je jedna od tri točke koje zajedno s trima stranicama čine trokut.

Definicija visine trokuta može zvučati ovako: visina je okomica povučena iz vrha trokuta na crtu koja sadrži suprotnu stranicu.

Ova definicija zvuči kompliciranije, ali točnije odražava situaciju. Činjenica je da u tupokutnom trokutu neće biti moguće nacrtati visinu unutar trokuta. Kao što možete vidjeti na slici 1, visina je u ovom slučaju vanjska. Osim toga, nestandardna situacija je konstrukcija visine u pravokutnom trokutu. U tom će slučaju dvije od tri visine trokuta proći kroz noge, a treća od vrha do hipotenuze.

Riža. 1. Visina tupokutnog trokuta.

U pravilu se visina trokuta označava slovom h. Visina je također naznačena na drugim slikama.

Kako pronaći visinu trokuta?

Postoje tri standardna načina za pronalaženje visine trokuta:

Kroz Pitagorin teorem

Ova se metoda koristi za jednakostranične i jednakokračne trokute. Analizirat ćemo rješenje za jednakokračni trokut, a zatim ćemo reći zašto isto rješenje vrijedi i za jednakostranični trokut.

S obzirom: jednakokračni trokut ABC s osnovicom AC. AB=5, AC=8. Nađi visinu trokuta.

Riža. 2. Crtanje za problem.

Za jednakokračni trokut važno je znati koja mu je stranica osnovica. Time se definiraju stranice koje moraju biti jednake, kao i visina na koju djeluju neka svojstva.

Svojstva visine jednakokračnog trokuta povučene na osnovicu:

• Visina je jednaka središnjici i simetrali
• Dijeli bazu na dva jednaka dijela.

Visinu ćemo označiti sa BD. DS se nalazi kao pola od baze, jer visina točke D dijeli bazu na pola. DC=4

Visina je okomica, pa je BDC pravokutni trokut, a visina BH krak tog trokuta.

Pronađite visinu pomoću Pitagorinog poučka: $$VD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Svaki jednakostranični trokut je jednakokračan, samo mu je osnovica jednaka stranicama. Odnosno, možete koristiti isti postupak.

Kroz područje trokuta

Ova metoda se može koristiti za bilo koji trokut. Da biste ga koristili, morate znati vrijednost površine trokuta i stranu na koju je nacrtana visina.

Visine u trokutu nisu jednake, pa će se za pripadnu stranicu moći izračunati pripadna visina.

Formula za površinu trokuta je $$S=(1\over2)*bh$$, gdje je b stranica trokuta, a h visina povučena na tu stranicu. Izrazite visinu iz formule:

$$h=2*(S\preko b)$$

Ako je površina 15, strana 5, tada je visina $$h=2*(15\over5)=6$$

Preko trigonometrijske funkcije

Treća metoda je prikladna ako su poznata stranica i kut na bazi. Da biste to učinili, morat ćete koristiti trigonometrijsku funkciju.

Riža. 3. Crtanje za problem.

Kut BCH=300 i stranica BC=8. Još uvijek imamo isti pravokutni trokut BCH. Upotrijebimo sinus. Sinus je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, što znači: BH/BC=cos BCH.

Kut je poznat, kao i stranica. Izrazi visinu trokuta:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Vrijednost kosinusa općenito se uzima iz Bradisovih tablica, ali trigonometrijske funkcije za 30,45 i 60 stupnjeva tablični su brojevi.

Što smo naučili?

Naučili smo što je visina trokuta, što su visine i kako se označavaju. Odgonetnuli smo tipične zadatke i zapisali tri formule za visinu trokuta.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.6. Ukupno primljenih ocjena: 137.

Pri rješavanju raznih vrsta problema, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (osobito u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati zadanu vrijednost (visinu) u trokutu?

Ako kombiniramo 3 točke u parovima koji se ne nalaze na jednoj ravnoj liniji, tada će rezultirajuća figura biti trokut. Nadmorska visina je dio linije od bilo kojeg vrha figure koji, kada se presječe sa suprotnom stranom, tvori kut od 90°.

Pronađite visinu u razmjernom trokutu

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada lik ima proizvoljne kutove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje

p - polovica opsega figure, h (a) - segment stranice a, nacrtan pod pravim kutom na nju,

p=(a+b+c)/2 – izračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, za određivanje njene visine, možete koristiti omjer h(a)=2S/a.

Trigonometrijske funkcije

Da biste odredili duljinu segmenta koji čini pravi kut u sjecištu sa stranicom a, možete koristiti sljedeće odnose: ako su stranica b i kut γ ili stranica c i kut β poznati, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
Gdje:
γ je kut između stranica b i a,
β je kut između stranica c i a.

Odnos s radijusom

Ako je izvorni trokut upisan u krug, možete koristiti polumjer takvog kruga za određivanje visine. Središte mu se nalazi u točki gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je radijus.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c - 2 druge strane trokuta,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovom obliku geometrijske figure, 2 strane na raskrižju čine pravi kut - 90 °. Stoga, ako je potrebno odrediti vrijednost visine u njemu, tada je potrebno izračunati ili veličinu jedne od nogu ili vrijednost segmenta koji čini 90 ° s hipotenuzom. Prilikom označavanja:
a, b - noge,
c je hipotenuza,
h(c) je okomica na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne izračune pomoću sljedećih omjera:

• Pitagorin poučak:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, tada je h(c)=ab/c .

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Nađi visinu u jednakokračnom trokutu

Ovaj geometrijski lik razlikuje se u prisutnosti dviju strana jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene na treću, drugu stranu, u pomoć dolazi Pitagorin poučak. S oznakama
a - strana,
c - baza,
h(c) je segment na c pod kutom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).