Wie stellt man 10 als Dezimalzahl dar? Wie man einen Bruch als Dezimalzahl darstellt. Welche Brüche gibt es

In diesem Artikel werden wir analysieren, wie gewöhnliche Brüche umwandeln in Dezimalstellen , und betrachten Sie auch den umgekehrten Vorgang - die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche. Hier nennen wir die Regeln für das Umkehren von Brüchen und geben detaillierte Lösungen für typische Beispiele.

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Gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die Reihenfolge angeben, in der wir uns damit befassen werden gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Zuerst schauen wir uns an, wie man gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000, ... als Dezimalbrüche darstellt. Denn Dezimalbrüche sind im Wesentlichen eine kompakte Form gewöhnlicher Brüche mit den Nennern 10, 100, ....

Danach gehen wir weiter und zeigen, wie jeder gewöhnliche Bruch (nicht nur mit den Nennern 10, 100, ...) als Dezimalbruch geschrieben werden kann. Bei dieser Umwandlung gewöhnlicher Brüche erhält man sowohl endliche Dezimalbrüche als auch unendliche periodische Dezimalbrüche.

Jetzt über alles in Ordnung.

Gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche umwandeln

Einige reguläre Brüche müssen vor der Umwandlung in Dezimalzahlen „vorbereitet“ werden. Dies gilt für gewöhnliche Brüche, deren Anzahl an Stellen im Zähler kleiner ist als die Anzahl an Nullen im Nenner. Zum Beispiel muss der gewöhnliche Bruch 2/100 zuerst für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden, aber der Bruch 9/10 muss nicht vorbereitet werden.

Die „Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, im Zähler links so viele Nullen hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Zum Beispiel sieht ein Bruch nach dem Hinzufügen von Nullen so aus.

Nachdem du den richtigen gewöhnlichen Bruch vorbereitet hast, kannst du damit beginnen, ihn in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

Geben wir Regel zur Umwandlung eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von 10 oder 100 oder 1.000, ... in einen Dezimalbruch. Es besteht aus drei Schritten:

notiere 0 ;
setze einen Dezimalpunkt dahinter;
notieren Sie die Zahl aus dem Zähler (zusammen mit hinzugefügten Nullen, falls wir sie hinzugefügt haben).

Betrachten Sie die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen.

Beispiel.

Wandle den richtigen Bruch 37/100 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl 100, die zwei Nullen in ihrem Eintrag hat. Der Zähler enthält die Zahl 37, es gibt zwei Ziffern in seinem Datensatz, daher muss dieser Bruch nicht für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden.

Jetzt schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl 37 aus dem Zähler, während wir den Dezimalbruch 0,37 erhalten.

Antworten:

0,37 .

Um die Fähigkeiten zum Übersetzen regelmäßiger gewöhnlicher Brüche mit den Zählern 10, 100, ... in Dezimalbrüche zu festigen, analysieren wir die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Schreibe den richtigen Bruch 107/10.000.000 als Dezimalzahl.

Lösung.

Die Anzahl der Ziffern im Zähler ist 3 und die Anzahl der Nullen im Nenner ist 7, also muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in Dezimalzahlen vorbereitet werden. Wir müssen links im Zähler 7-3=4 Nullen hinzufügen, damit die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Wir bekommen .

Es bleibt der gewünschte Dezimalbruch zu bilden. Dazu schreiben wir erstens 0 auf, zweitens setzen wir ein Komma, drittens schreiben wir die Zahl aus dem Zähler samt Nullen auf 0000107 , als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 0.0000107 .

Antworten:

0,0000107 .

Unechte gemeinsame Brüche müssen nicht vorbereitet werden, wenn sie in Dezimalbrüche umgewandelt werden. Folgendes sollte eingehalten werden Regeln zur Umwandlung von unechten gemeinsamen Brüchen mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche:

notieren Sie die Zahl vom Zähler;
Wir trennen mit einem Dezimalpunkt so viele Ziffern rechts, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Analysieren wir die Anwendung dieser Regel beim Lösen eines Beispiels.

Beispiel.

Wandeln Sie unechten gemeinsamen Bruch 56 888 038 009/100 000 in Dezimalzahl um.

Lösung.

Erstens schreiben wir die Zahl vom Zähler 56888038009 auf und zweitens trennen wir 5 Ziffern rechts mit einem Dezimalpunkt, da im Nenner des ursprünglichen Bruchs 5 Nullen stehen. Als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 568 880,38009.

Antworten:

568 880,38009 .

Um eine gemischte Zahl in einen Dezimalbruch umzuwandeln, dessen Nenner die Zahl 10 oder 100 oder 1.000, ... ist, können Sie die gemischte Zahl in einen unechten gewöhnlichen Bruch umwandeln, wonach der resultierende Bruch kann in einen Dezimalbruch umgewandelt werden. Sie können aber auch Folgendes verwenden die Regel zum Umwandeln von gemischten Zahlen mit einem Nenner des Bruchteils 10, oder 100, oder 1.000, ... in Dezimalbrüche:

gegebenenfalls führen wir eine „Vorbereitung“ des Bruchteils der ursprünglichen gemischten Zahl durch, indem wir links im Zähler die erforderliche Anzahl von Nullen hinzufügen;
notieren Sie den ganzzahligen Teil der ursprünglichen gemischten Zahl;
setze einen Dezimalpunkt;
Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen.

Betrachten wir ein Beispiel, bei dessen Lösung wir alle notwendigen Schritte ausführen, um eine gemischte Zahl als Dezimalbruch darzustellen.

Beispiel.

Konvertiere gemischte Zahlen in Dezimalzahlen.

Lösung.

Es gibt 4 Nullen im Nenner des Bruchteils und die Zahl 17 im Zähler, die aus 2 Ziffern besteht, daher müssen wir zwei Nullen links im Zähler hinzufügen, damit die Anzahl der Zeichen dort gleich wird Anzahl Nullen im Nenner. Dadurch wird der Zähler 0017 .

Jetzt schreiben wir den ganzzahligen Teil der ursprünglichen Zahl auf, dh die Zahl 23, setzen einen Dezimalpunkt, danach schreiben wir die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen, dh 0017, während wir die gewünschte Dezimalzahl erhalten Bruchteil 23.0017.

Schreiben wir kurz die ganze Lösung auf: .

Zweifellos war es möglich, die gemischte Zahl zunächst als unechten Bruch darzustellen und dann in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Mit diesem Ansatz sieht die Lösung so aus:

Antworten:

23,0017 .

Konvertieren gewöhnlicher Brüche in endliche und unendliche periodische Dezimalbrüche

Nicht nur gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... können in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, sondern auch gewöhnliche Brüche mit anderen Nennern. Jetzt werden wir herausfinden, wie das gemacht wird.

In einigen Fällen lässt sich der ursprüngliche gewöhnliche Bruch leicht auf einen der Nenner 10 oder 100 oder 1000, ... kürzen (siehe die Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs auf einen neuen Nenner), wonach es nicht schwierig ist, den zu präsentieren resultierender Bruch als Dezimalbruch. Zum Beispiel ist es offensichtlich, dass der Bruch 2/5 auf einen Bruch mit einem Nenner 10 reduziert werden kann, dazu müssen Sie den Zähler und den Nenner mit 2 multiplizieren, was einen Bruch 4/10 ergibt, was laut Regeln, die im vorherigen Absatz besprochen wurden, können leicht in einen Dezimalbruch 0, vier umgewandelt werden.

In anderen Fällen müssen Sie einen gewöhnlichen Bruch auf eine andere Weise in einen Dezimalbruch umwandeln, was wir jetzt betrachten werden.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird der Zähler des Bruchs durch den Nenner dividiert, der Zähler wird zunächst durch einen gleichen Dezimalbruch mit beliebig vielen Nullen nach dem Komma ersetzt (darüber haben wir im Abschnitt gleich und gesprochen ungleiche Dezimalbrüche). In diesem Fall wird die Division wie die Division durch eine Spalte mit natürlichen Zahlen durchgeführt, und ein Dezimalpunkt wird in den Quotienten gesetzt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Dividenden endet. All dies wird aus den Lösungen der unten angegebenen Beispiele deutlich.

Beispiel.

Wandeln Sie den gewöhnlichen Bruch 621/4 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Wir stellen die Zahl im Zähler 621 als Dezimalbruch dar, indem wir einen Dezimalpunkt und ein paar Nullen dahinter setzen. Zu Beginn fügen wir 2 Ziffern 0 hinzu, später können wir bei Bedarf immer noch weitere Nullen hinzufügen. Wir haben also 621,00 .

Teilen wir nun die Zahl 621.000 durch 4 durch eine Spalte. Die ersten drei Schritte unterscheiden sich nicht von der Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen, wonach wir zu folgendem Bild gelangen:

Wir sind also beim Dividenden bis zum Dezimalpunkt gekommen, und der Rest ist von Null verschieden. In diesem Fall setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und setzen die Division durch eine Spalte fort, wobei wir die Kommas ignorieren:

Diese Division ist abgeschlossen und als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 155,25, der dem ursprünglichen gewöhnlichen Bruch entspricht.

Antworten:

155,25 .

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Wandle den gemeinsamen Bruch 21/800 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Um diesen gemeinsamen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilen wir den Dezimalbruch 21.000 ... durch 800 durch eine Spalte. Nach dem ersten Schritt müssen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten setzen und dann mit der Division fortfahren:

Schließlich haben wir den Rest 0 erhalten, damit ist die Umwandlung des gewöhnlichen Bruchs 21/400 in den Dezimalbruch abgeschlossen, und wir sind beim Dezimalbruch 0,02625 angelangt.

Antworten:

0,02625 .

Es kann vorkommen, dass wir bei der Division des Zählers durch den Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nie einen Rest von 0 erhalten. In diesen Fällen kann die Teilung beliebig lange fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt beginnen sich die Reste jedoch periodisch zu wiederholen, während sich die Ziffern im Quotienten ebenfalls wiederholen. Dies bedeutet, dass der ursprüngliche gemeinsame Bruch in eine unendliche periodische Dezimalzahl übersetzt wird. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel.

Schreibe den gemeinsamen Bruch 19/44 als Dezimalzahl.

Lösung.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, führen wir eine Division durch eine Spalte durch:

Es ist bereits klar, dass sich beim Dividieren die Reste 8 und 36 zu wiederholen begannen, während sich im Quotienten die Zahlen 1 und 8 wiederholen. Somit wird der ursprüngliche gewöhnliche Bruch 19/44 in einen periodischen Dezimalbruch 0,43181818…=0,43(18) übersetzt.

Antworten:

0,43(18) .

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir herausfinden, welche gewöhnlichen Brüche in endgültige Dezimalbrüche umgewandelt werden können und welche nur in periodische Brüche.

Lassen Sie uns einen irreduziblen gewöhnlichen Bruch vor uns haben (wenn der Bruch reduzierbar ist, führen wir zuerst die Kürzung des Bruchs durch), und wir müssen herausfinden, in welchen Dezimalbruch er umgewandelt werden kann - endlich oder periodisch.

Es ist klar, dass, wenn ein gewöhnlicher Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... reduziert werden kann, der resultierende Bruch gemäß den im vorherigen Absatz besprochenen Regeln leicht in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden kann. Aber zu den Nennern 10, 100, 1.000 usw. nicht alle gewöhnlichen Brüche sind angegeben. Nur Brüche lassen sich auf solche Nenner kürzen, deren Nenner mindestens eine der Zahlen 10, 100, ... ist. Und welche Zahlen können Teiler von 10, 100, ... sein? Die Zahlen 10, 100, … erlauben uns, diese Frage zu beantworten, und sie lauten wie folgt: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Daraus folgt, dass die Teiler von 10, 100, 1000 usw. es kann nur Zahlen geben, deren Zerlegung in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 enthalten.

Jetzt können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Umwandlung von gewöhnlichen Brüchen in Dezimalbrüche ziehen:

wenn bei der Zerlegung des Nenners in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 vorhanden sind, dann kann dieser Bruch in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden;
wenn es neben zwei und fünf noch andere in der Erweiterung des Nenners gibt Primzahlen, dann wird dieser Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch übersetzt.

Beispiel.

Sagen Sie mir, ohne gewöhnliche Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln, welche der Brüche 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden können und welche nur in einen periodischen Bruch umgewandelt werden können.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 47/20 hat die Form 20=2 2 5 . Da es in dieser Erweiterung nur Zweier und Fünfer gibt, kann dieser Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... (in diesem Beispiel auf den Nenner 100) reduziert werden, kann also in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden Fraktion.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 7/12 hat die Form 12=2 2 3 . Da er einen von 2 und 5 verschiedenen einfachen Faktor 3 enthält, kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt, sondern in einen periodischen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Fraktion 21/56 - kontrahierbar, nach Reduktion nimmt es die Form 3/8 an. Die Zerlegung des Nenners in Primfaktoren enthält drei Faktoren gleich 2, daher kann der gewöhnliche Bruch 3/8 und damit der Bruch gleich 21/56 in einen endgültigen Dezimalbruch übersetzt werden.

Schließlich ist die Erweiterung des Nenners des Bruchs 31/17 selbst 17, daher kann dieser Bruch nicht in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden, aber er kann in einen unendlich periodischen umgewandelt werden.

Antworten:

47/20 und 21/56 können in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden, während 7/12 und 31/17 nur in eine periodische Dezimalzahl umgewandelt werden können.

Gewöhnliche Brüche werden nicht in unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahlen umgewandelt

Die Informationen des vorherigen Absatzes werfen die Frage auf: „Kann man einen unendlichen nicht periodischen Bruch erhalten, wenn man den Zähler eines Bruchs durch den Nenner dividiert“?

Antwort: nein. Beim Übersetzen eines gewöhnlichen Bruchs kann entweder ein endlicher Dezimalbruch oder ein unendlicher periodischer Dezimalbruch erhalten werden. Lassen Sie uns erklären, warum das so ist.

Aus dem Teilbarkeitssatz mit Rest geht hervor, dass der Rest immer kleiner als der Teiler ist, das heißt, wenn wir eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl q teilen, dann nur eine der Zahlen 0, 1, 2, ..., q −1 kann der Rest sein. Daraus folgt, dass nach der Division des ganzzahligen Teils des Zählers eines gewöhnlichen Bruchs durch den Nenner q nach nicht mehr als q Schritten eine der beiden folgenden Situationen eintritt:

Entweder wir erhalten den Rest 0 , dies beendet die Division und wir erhalten den letzten Dezimalbruch;
oder wir erhalten einen Rest, der bereits zuvor aufgetreten ist, wonach sich die Reste wie im vorherigen Beispiel zu wiederholen beginnen (da beim Teilen gleicher Zahlen durch q gleiche Reste erhalten werden, was aus dem bereits erwähnten Teilbarkeitssatz folgt), so ein unendlicher periodischer Dezimalbruch wird erhalten.

Es kann keine anderen Optionen geben, daher kann bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch kein unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch erhalten werden.

Aus der Begründung in diesem Absatz folgt auch, dass die Länge der Periode eines Dezimalbruchs immer kleiner ist als der Wert des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Wandeln Sie Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandelt. Beginnen wir damit, letzte Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Betrachten Sie danach die Methode zum Invertieren unendlicher periodischer Dezimalbrüche. Lassen Sie uns abschließend sagen, dass es unmöglich ist, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln.

Konvertieren von Enddezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Einen gewöhnlichen Bruch zu erhalten, der als letzter Dezimalbruch geschrieben wird, ist ziemlich einfach. Die Regel zum Umwandeln eines letzten Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch besteht aus drei Schritten:

Schreiben Sie zuerst den angegebenen Dezimalbruch in den Zähler, nachdem Sie zuvor den Dezimalpunkt und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden, verworfen haben.
zweitens schreibe eins in den Nenner und füge so viele Nullen hinzu, wie es Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch gibt;
Drittens reduzieren Sie gegebenenfalls den resultierenden Bruch.

Betrachten wir Beispiele.

Beispiel.

Wandle die Dezimalzahl 3,025 in einen gewöhnlichen Bruch um.

Lösung.

Wenn wir den Dezimalpunkt im ursprünglichen Dezimalbruch entfernen, erhalten wir die Zahl 3025. Es hat links keine Nullen, die wir verwerfen würden. Also schreiben wir in den Zähler des erforderlichen Bruchs 3025.

Wir schreiben die Zahl 1 in den Nenner und fügen rechts davon 3 Nullen hinzu, da im ursprünglichen Dezimalbruch 3 Stellen nach dem Komma stehen.

Wir haben also einen gewöhnlichen Bruchteil 3 025/1 000. Dieser Bruch kann um 25 reduziert werden, erhalten wir .

Antworten:

Beispiel.

Konvertieren Sie die Dezimalzahl 0,0017 in einen gewöhnlichen Bruch.

Lösung.

Ohne Dezimalpunkt sieht der ursprüngliche Dezimalbruch wie 00017 aus, wenn wir die Nullen links weglassen, erhalten wir die Zahl 17, die der Zähler des gewünschten gewöhnlichen Bruchs ist.

In den Nenner schreiben wir eine Einheit mit vier Nullen, da im ursprünglichen Dezimalbruch 4 Nachkommastellen stehen.

Als Ergebnis haben wir einen gewöhnlichen Bruchteil 17/10.000. Dieser Bruch ist irreduzibel, und die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch ist abgeschlossen.

Antworten:

Wenn der ganzzahlige Teil des ursprünglichen letzten Dezimalbruchs von Null verschieden ist, kann er sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden, wobei der gewöhnliche Bruch umgangen wird. Geben wir Regel zur Umwandlung einer letzten Dezimalzahl in eine gemischte Zahl:

die Zahl vor dem Komma muss als ganzzahliger Teil der gewünschten gemischten Zahl geschrieben werden;
in den Zähler des Bruchteils müssen Sie die aus dem Bruchteil des ursprünglichen Dezimalbruchs erhaltene Zahl schreiben, nachdem Sie alle Nullen links darin verworfen haben;
in den Nenner des Bruchteils müssen Sie die Zahl 1 schreiben, zu der rechts so viele Nullen hinzugefügt werden, wie Ziffern in der Eingabe des ursprünglichen Dezimalbruchs nach dem Dezimalpunkt vorhanden sind.
kürzen Sie gegebenenfalls den Bruchteil der resultierenden gemischten Zahl.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl.

Beispiel.

Drücken Sie die Dezimalzahl 152,06005 als gemischte Zahl aus

Zu Rationale Zahl m / n wird als Dezimalbruch geschrieben, Sie müssen den Zähler durch den Nenner teilen. In diesem Fall wird der Quotient als endlicher oder unendlicher Dezimalbruch geschrieben.

Schreiben Sie die angegebene Zahl als Dezimalzahl.

Lösung. Teilen Sie den Zähler jedes Bruchs durch seinen Nenner: a) teile 6 durch 25; b) dividiere 2 durch 3; in) Teilen Sie 1 durch 2 und addieren Sie dann den resultierenden Bruch zur Einheit - den ganzzahligen Teil dieser gemischten Zahl.

Nicht reduzierbare gewöhnliche Brüche, deren Nenner keine anderen Primteiler enthalten als 2 und 5 , werden als letzter Dezimalbruch geschrieben.

BEI Beispiel 1 im Fall von a) Nenner 25=5 5; im Fall von in) der Nenner ist 2, also haben wir die letzten Dezimalstellen 0,24 und 1,5. Im Fall von b) der Nenner ist 3, also kann das Ergebnis nicht als letzte Dezimalzahl geschrieben werden.

Ist es möglich, ohne in eine Spalte zu dividieren, einen solchen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, dessen Nenner außer 2 und 5 keine anderen Teiler enthält? Finden wir es heraus! Welcher Bruch heißt Dezimalzahl und wird ohne Bruchstrich geschrieben? Antwort: ein Bruch mit einem Nenner von 10; 100; 1000 usw. Und jede dieser Zahlen ist ein Produkt gleich Anzahl Zweier und Fünfer. Eigentlich: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 usw.

Daher muss der Nenner eines irreduziblen gewöhnlichen Bruchs als Produkt von Zweien und Fünfen dargestellt und dann mit 2 und (oder) 5 multipliziert werden, sodass die Zweien und Fünfen gleich werden. Dann ist der Nenner des Bruchs gleich 10 oder 100 oder 1000 usw. Damit sich der Wert des Bruchs nicht ändert, multiplizieren wir den Zähler des Bruchs mit derselben Zahl, mit der der Nenner multipliziert wurde.

Drücken Sie die folgenden Brüche als Dezimalzahl aus:

Lösung. Jeder dieser Brüche ist irreduzibel. Lassen Sie uns den Nenner jedes Bruchs in Primfaktoren zerlegen.

20=2 2 5. Fazit: Eine "Fünf" fehlt.

8=2 2 2. Fazit: Drei „Fünfer“ reichen nicht aus.

25=5 5. Fazit: zwei "Zweier" fehlen.

Kommentar. In der Praxis verwenden sie oft nicht die Faktorisierung des Nenners, sondern stellen einfach die Frage: Mit wie viel muss der Nenner multipliziert werden, damit das Ergebnis eine Einheit mit Nullen ist (10 oder 100 oder 1000 usw.). Und dann wird der Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.

Also für den Fall a)(Beispiel 2) aus der Zahl 20 können Sie 100 erhalten, indem Sie mit 5 multiplizieren, also müssen Sie Zähler und Nenner mit 5 multiplizieren.

Im Fall von b)(Beispiel 2) aus der Zahl 8 wird die Zahl 100 nicht funktionieren, aber die Zahl 1000 wird durch Multiplikation mit 125 erhalten. Sowohl der Zähler (3) als auch der Nenner (8) des Bruchs werden mit 125 multipliziert.

Im Fall von in)(Beispiel 2) aus 25 ergibt 100 multipliziert mit 4. Das bedeutet, dass der Zähler 8 auch mit 4 multipliziert werden muss.

Ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem sich eine oder mehrere Ziffern immer in derselben Reihenfolge wiederholen, wird aufgerufen Zeitschrift Dezimalbruch. Die Menge der sich wiederholenden Ziffern wird als Periode dieses Bruchs bezeichnet. Der Kürze halber wird der Punkt eines Bruchs einmal geschrieben und in Klammern eingeschlossen.

Im Fall von b)(Beispiel 1) die sich wiederholende Ziffer ist eins und gleich 6. Daher wird unser Ergebnis 0,66... wie folgt geschrieben: 0,(6) . Sie lauten: null ganze Zahlen, sechs im Punkt.

Stehen zwischen dem Komma und dem ersten Punkt eine oder mehrere nicht wiederkehrende Ziffern, so wird ein solcher periodischer Bruch als gemischter periodischer Bruch bezeichnet.

Ein irreduzibler gemeinsamer Bruch, dessen Nenner zusammen mit anderen Multiplikator enthält Multiplikator 2 oder 5 , wird gemischt periodischer Bruch.

Schreibe die Zahl als Dezimalzahl.

Dezimal Fraktion- Vielfalt Brüche, die eine "runde" Zahl im Nenner hat: 10, 100, 1000 usw., zum Beispiel, Fraktion 5/10 hat eine Dezimalschreibweise von 0,5. Basierend auf diesem Prinzip, Fraktion kann präsentiert werden bilden Dezimal Brüche.

Anweisung

Angenommen, wir müssen uns vorstellen bilden Dezimal Fraktion 18/25.
Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass eine der "runden" Zahlen im Nenner erscheint: 100, 1000 usw. Dazu musst du den Nenner mit 4 multiplizieren. Aber mit 4 musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren.

Zähler und Nenner multiplizieren Brüche 18/25 mal 4 ist 72/100. Dies wird aufgezeichnet Fraktion in dezimal bilden also: 0,72.

Ein Bruch in der Mathematik ist eine rationale Zahl gleich einem oder mehreren Teilen, in die eine Einheit unterteilt ist. In diesem Fall muss die Aufzeichnung des Bruchteils die Angabe von zwei Zahlen enthalten: Eine davon gibt genau an, in wie viele Anteile die Einheit bei der Erstellung dieses Bruchs aufgeteilt wurde, und die andere - wie viele dieser Anteile eine Bruchzahl enthalten. Schreibt man diese beiden Zahlen als Zähler und Nenner getrennt durch einen Strich, dann nennt man diese Schreibweise einen „gewöhnlichen“ Bruch. Es gibt jedoch ein anderes Format zum Schreiben von Brüchen, das als "Dezimal" bezeichnet wird.

Nicht immer bequem ist die dreistöckige Schreibweise von Zahlen, bei der der Nenner über dem Zähler steht und dazwischen noch ein Trennstrich. Besonders diese Unannehmlichkeit begann sich mit der Massenverteilung von Personalcomputern zu manifestieren. Die dezimale Darstellungsform von Brüchen hat diesen Nachteil nicht - es ist nicht erforderlich, den Zähler darin anzugeben, da er per Definition immer gleich einer negativen Potenz von zehn ist. Daher kann eine Bruchzahl in eine Zeile geschrieben werden, obwohl ihre Länge in den meisten Fällen viel größer ist als die Länge des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Ein weiterer Vorteil, Zahlen im Dezimalformat zu schreiben, ist, dass sie viel einfacher zu vergleichen sind. Da der Nenner jeder Ziffer zweier solcher Zahlen gleich ist, reicht es aus, nur zwei Ziffern der entsprechenden Ziffern zu vergleichen, während beim Vergleich gewöhnlicher Brüche sowohl der Zähler als auch der Nenner von jeder von ihnen berücksichtigt werden müssen. Dieser Vorteil ist nicht nur für Menschen wichtig, sondern auch für Computer – der Vergleich von Zahlen im Dezimalformat ist einfach zu programmieren.

Es gibt jahrhundertealte Regeln für Addition, Multiplikation und andere mathematische Operationen, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen auf Papier oder in Gedanken mit Zahlen im Dezimalformat durchzuführen. Dies ist ein weiterer Vorteil dieses Formats gegenüber gewöhnlichen Brüchen. Obwohl mit der Entwicklung der Computertechnologie, wenn der Taschenrechner sogar in der Uhr ist, es immer weniger auffällt.

Die beschriebenen Vorteile des Dezimalformats für die Aufzeichnung von Bruchzahlen zeigen, dass es hauptsächlich dazu dient, das Arbeiten zu vereinfachen mathematische Größen. Dieses Format hat auch Nachteile - um beispielsweise periodische Brüche in einen Dezimalbruch zu schreiben, muss man auch eine Zahl in Klammern hinzufügen, und irrationale Zahlen im Dezimalformat haben immer einen ungefähren Wert. Beim derzeitigen Entwicklungsstand der Menschen und ihrer Technologien ist es jedoch viel bequemer zu verwenden als das übliche Format zum Aufzeichnen von Brüchen.

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, bei dem der Nenner eine natürliche Potenz von 10 ist.Ein solcher stellt zum Beispiel ein Bruch dar. Dieser Bruch kann in folgender Form geschrieben werden: Schreibe die Zahlen des Zählers in einer Zeile und trenne mit a Komma rechts davon so viele wie Nullen im Nenner stehen, nämlich :

In einem solchen Satz bilden die Zahlen links vom Dezimalpunkt den ganzzahligen Teil und die Zahlen rechts vom Dezimalpunkt den Bruchteil dieses Dezimalbruchs.

Sei p/q eine positive rationale Zahl. Aus der Arithmetik ist das Divisionsverfahren bekannt, mit dem man eine Zahl als Dezimalbruch darstellen kann. Die Essenz des Divisionsprozesses besteht darin, dass zuerst die größte ganzzahlige Anzahl von Malen gefunden wird, mit denen q in p enthalten ist; wenn p ein Vielfaches von q ist, dann endet hier der Divisionsprozess. Andernfalls erscheint ein Rest. Als nächstes finden sie heraus, wie viele Zehntel von q in diesem Rest enthalten sind, und bei diesem Schritt kann der Prozess enden oder ein neuer Rest erscheint. Finden Sie im letzteren Fall heraus, wie viele Hundertstel von q darin enthalten sind, und so weiter.

Wenn der Nenner q keine anderen Primteiler als 2 oder 5 hat, dann ist der Rest nach einer endlichen Anzahl von Schritten gleich Null, der Divisionsprozess endet und der gegebene gewöhnliche Bruch wird zu einem endgültigen Dezimalbruch. Tatsächlich können Sie in diesem Fall immer eine solche Ganzzahl wählen, dass Sie nach der Multiplikation des Zählers und Nenners des angegebenen Bruchs damit einen Bruch erhalten, der diesem entspricht, wobei der Nenner eine natürliche Zehnerpotenz ist. Das ist zum Beispiel ein Bruch

die sich wie folgt darstellen lässt:

Ohne diese Transformationen zu machen und den Zähler durch den Nenner zu dividieren, erhält der Leser jedoch dasselbe Ergebnis:

Wenn der Nenner eines irreduziblen Bruchs mindestens einen anderen Primteiler als 2 oder 5 hat, endet der Prozess der Division durch q nie (keiner der nachfolgenden Reste wird zu Null).

Nach dem Teilen finden wir

Um das in diesem Beispiel erhaltene Ergebnis zu schreiben, werden die sich periodisch wiederholenden Zahlen 0 und 6 in Klammern gesetzt und geschrieben:

In diesem Beispiel und in anderen ähnlichen Fällen führt die Divisionsoperation nicht zu einem endgültigen Dezimalergebnis. Es ist möglich, das Konzept eines Dezimalbruchs zu verallgemeinern, um immer noch zu sagen, dass der Quotient 965/132 durch einen unendlichen periodischen Bruch dargestellt wird.Wiederkehrende Zahlen 06 werden als Periode dieses Bruchs bezeichnet, und ihre Anzahl, in unserem Beispiel gleich, ist die Länge des Zeitraums.

Um den Grund für das Phänomen der Periodizität eines Bruchs zu verstehen, analysieren wir zum Beispiel den Prozess der Division durch 7. Wenn die Division nicht vollständig durchgeführt wird, erscheint ein Rest, der nur einen der folgenden Werte haben kann : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Und bei jedem der nächsten Schritte wird der Rest wieder einen dieser sechs Werte haben. Spätestens im siebten Schritt werden wir daher zwangsläufig auf einen der bereits zuvor aufgetretenen Restwerte stoßen.Ab diesem Punkt wird der Teilungsvorgang periodisch. In regelmäßigen Abständen werden sowohl die Werte der Reste als auch die Zahlen des Quotienten wiederholt. Diese Argumentation gilt für jeden anderen Divisor.

Somit wird jeder gewöhnliche Bruch durch einen endlichen oder unendlichen periodischen Dezimalbruch dargestellt. Bemerkenswert ist, dass umgekehrt jeder periodische Dezimalbruch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Aktion ausgeführt wird. In diesem Fall wird die Formel für die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge verwendet (Absatz 92).

kann so verstanden werden:

hier bilden die Glieder der rechten Seite, ausgehend vom zweiten, mit dem Nenner und dem ersten Glied eine unendliche geometrische Folge

Mit Formel (92.2):

Es ist klar, dass der gleiche Prozess es erlaubt, jeden gegebenen unendlichen periodischen Bruch in Form eines gewöhnlichen Bruchs darzustellen (und, wie gezeigt werden kann, genau der, aus dem wiederum der gegebene unendliche periodische Bruch im Prozess von gewonnen wird Aufteilung). Allerdings gibt es hier eine Ausnahme. Betrachten Sie einen Bruchteil

und wenden Sie darauf den Prozess der Umwandlung in einen gewöhnlichen Bruch an:

Wir sind bei der Zahl 1/2 angelangt, die durch den letzten Dezimalbruch dargestellt wird

Ein ähnliches Ergebnis erhält man immer dann, wenn die Periode eines gegebenen unendlichen Bruchs die Form (9) hat. Daher kennzeichnen wir solche Zahlenpaare, wie zum Beispiel

Manchmal ist es auch sinnvoll, Aufzeichnungen des Formulars zuzulassen

Darstellen formal endlicher Dezimalbrüche als unendlich mit einem Punkt (0).

Alles, was über die Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen periodischen Dezimalbruch und umgekehrt gesagt wurde, gilt für positive rationale Zahlen. Bei einer negativen Zahl können Sie zwei Dinge tun.

1) Nehmen Sie eine positive Zahl gegenüber einer gegebenen negativen Zahl, wandeln Sie sie in einen Dezimalbruch um und setzen Sie dann ein Minuszeichen davor. Zum Beispiel für - 5/3 bekommen wir

2) Stellen Sie diese negative rationale Zahl als Summe ihres ganzzahligen Teils (negativ) und ihres Bruchteils (nicht negativ) dar und wandeln Sie dann nur diesen Bruchteil der Zahl in einen Dezimalbruch um. Zum Beispiel:

Um Zahlen zu schreiben, die als Summe ihres negativen ganzzahligen Teils und eines endlichen oder unendlichen Dezimalbruchs dargestellt werden, wird die folgende Bezeichnung verwendet (eine künstliche Schreibweise einer negativen Zahl):

Hier steht das Minuszeichen nicht vor dem ganzen Bruch, sondern über seinem ganzzahligen Teil, um zu betonen, dass nur der ganzzahlige Teil negativ und der dem Komma folgende Bruchteil positiv ist.

Eine solche Schreibweise schafft Einheitlichkeit in der Schreibweise positiver und negativer Dezimalbrüche und wird zukünftig in der Theorie der Dezimallogarithmen verwendet (Abschnitt 28). Wir empfehlen dem Leser zur Übung, den Übergang von einem Datensatz zum anderen in den Beispielen zu überprüfen:

Nun ist es bereits möglich, die endgültige Schlussfolgerung zu formulieren: Jede rationale Zahl kann durch einen unendlichen dezimalen periodischen Bruch dargestellt werden, und umgekehrt definiert jeder solche Bruch eine rationale Zahl. Der endliche Dezimalbruch erlaubt auch zwei Schreibweisen in Form eines unendlichen Dezimalbruchs: mit einem Punkt (0) und mit einem Punkt (9).

Bereits in Grundschule Schüler beschäftigen sich mit Brüchen. Und dann erscheinen sie in jedem Thema. Es ist unmöglich, Aktionen mit diesen Zahlen zu vergessen. Daher müssen Sie alle Informationen über gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche kennen. Diese Konzepte sind einfach, die Hauptsache ist, alles in Ordnung zu verstehen.

Warum braucht man Brüche?

Die Welt um uns herum besteht aus ganzen Objekten. Es besteht daher keine Notwendigkeit für Aktien. Aber Das alltägliche Leben drängt die Menschen ständig dazu, mit Teilen von Objekten und Dingen zu arbeiten.

Schokolade besteht beispielsweise aus mehreren Scheiben. Betrachten Sie die Situation, in der seine Kachel aus zwölf Rechtecken besteht. Wenn Sie es in zwei Teile teilen, erhalten Sie 6 Teile. Es wird gut dreigeteilt. Aber die fünf werden nicht in der Lage sein, eine ganze Anzahl von Schokoladenscheiben zu geben.

Diese Scheiben sind übrigens schon Bruchteile. Und ihre weitere Unterteilung führt zum Auftreten komplexerer Zahlen.

Was ist ein „Bruch“?

Dies ist eine Zahl, die aus Teilen von Eins besteht. Äußerlich sieht es aus wie zwei Zahlen, die durch einen horizontalen oder Schrägstrich getrennt sind. Diese Funktion wird als fraktioniert bezeichnet. Die oben (links) geschriebene Zahl heißt Zähler. Der untere (rechts) ist der Nenner.

Tatsächlich entpuppt sich der Bruchstrich als Divisionszeichen. Das heißt, der Zähler kann als Dividende und der Nenner als Divisor bezeichnet werden.

Was sind die Brüche?

In der Mathematik gibt es nur zwei Arten davon: gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche. Schulkinder lernen die ersten in den Grundschulklassen kennen und nennen sie einfach „Brüche“. Die zweiten lernen in der 5. Klasse. Dann tauchen diese Namen auf.

Gemeinsame Brüche sind alle Brüche, die als zwei durch einen Strich getrennte Zahlen geschrieben werden. Zum Beispiel 4/7. Dezimal ist eine Zahl, bei der der Bruchteil eine Stellenschreibweise hat und durch ein Komma von der ganzen Zahl getrennt ist. Zum Beispiel 4.7. Den Schülern muss klar sein, dass es sich bei den beiden angegebenen Beispielen um völlig unterschiedliche Zahlen handelt.

Jeder einfache Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden. Diese Aussage gilt fast immer auch umgekehrt. Es gibt Regeln, die es dir erlauben, einen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch zu schreiben.

Welche Unterarten haben diese Arten von Fraktionen?

Es ist besser, in chronologischer Reihenfolge zu beginnen, da sie studiert werden. Gemeinsame Brüche kommen zuerst. Unter ihnen können 5 Unterarten unterschieden werden.

Richtig. Sein Zähler ist immer kleiner als der Nenner.

Falsch. Sein Zähler ist größer oder gleich dem Nenner.

Reduzierbar / irreduzibel. Es kann entweder richtig oder falsch sein. Eine andere Sache ist wichtig, ob Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben. Wenn ja, dann sollen sie beide Teile des Bruchs teilen, also kürzen.

Gemischt. Eine ganze Zahl wird ihrem üblichen richtigen (falschen) Bruchteil zugeordnet. Und es steht immer auf der linken Seite.

Zusammengesetzt. Es wird aus zwei ineinander geteilten Fraktionen gebildet. Das heißt, es hat drei Bruchmerkmale gleichzeitig.

Dezimalzahlen haben nur zwei Unterarten:

final, dh einer, bei dem der Bruchteil begrenzt ist (ein Ende hat);

unendlich - eine Zahl, deren Nachkommastellen nicht enden (sie können endlos geschrieben werden).

Wie konvertiere ich Dezimalzahlen in gewöhnliche Zahlen?

Wenn dies eine endliche Zahl ist, dann wird eine Assoziation nach der Regel angewendet - wie ich höre, so schreibe ich. Das heißt, Sie müssen es richtig lesen und aufschreiben, aber ohne Komma, aber mit einem Bruchstrich.

Als Hinweis auf den benötigten Nenner sei daran erinnert, dass es sich immer um eine Eins und ein paar Nullen handelt. Letztere müssen so viele geschrieben werden wie die Ziffern im Bruchteil der betreffenden Zahl.

Wie konvertiert man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche, wenn ihr ganzer Teil fehlt, dh gleich Null ist? Zum Beispiel 0,9 oder 0,05. Nachdem Sie die angegebene Regel angewendet haben, stellt sich heraus, dass Sie null ganze Zahlen schreiben müssen. Aber es wird nicht angezeigt. Es bleibt nur die Bruchteile aufzuschreiben. Für die erste Zahl ist der Nenner 10, für die zweite - 100. Das heißt, die angegebenen Beispiele haben Zahlen als Antworten: 9/10, 5/100. Außerdem stellt sich heraus, dass letzteres um 5 reduziert werden kann. Daher muss das Ergebnis dafür 1/20 geschrieben werden.

Wie macht man einen gewöhnlichen Bruch aus einer Dezimalzahl, wenn ihr ganzzahliger Teil von Null verschieden ist? Beispiel: 5,23 oder 13,00108. Beide Beispiele lesen den ganzzahligen Teil und schreiben seinen Wert. Im ersten Fall ist dies 5, im zweiten 13. Dann müssen Sie zum Bruchteil übergehen. Mit ihnen muss man die gleiche Operation durchführen. Die erste Zahl hat 23/100, die zweite 108/100000. Der zweite Wert muss wieder reduziert werden. Die Antwort sind gemischte Brüche: 5 23/100 und 13 27/25000.

Wie konvertiert man eine unendliche Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch?

Wenn es nicht periodisch ist, kann eine solche Operation nicht ausgeführt werden. Diese Tatsache ist darauf zurückzuführen, dass jeder Dezimalbruch immer entweder in einen endgültigen oder einen periodischen Bruch umgewandelt wird.

Mit einem solchen Bruch darf man nur runden. Aber dann wird die Dezimalzahl ungefähr gleich dieser Unendlichkeit sein. Es kann bereits in ein gewöhnliches verwandelt werden. Aber der umgekehrte Vorgang: Umwandeln in Dezimalzahlen - wird niemals den Anfangswert ergeben. Das heißt, unendliche nicht periodische Brüche werden nicht in gewöhnliche Brüche übersetzt. Daran muss erinnert werden.

Wie schreibt man einen unendlichen periodischen Bruch in Form eines gewöhnlichen?

Bei diesen Zahlen stehen immer eine oder mehrere Ziffern hinter dem Komma, die sich wiederholen. Sie werden Perioden genannt. Zum Beispiel 0,3(3). Hier "3" im Punkt. Sie werden als rational klassifiziert, da sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden können.

Diejenigen, die periodischen Brüchen begegnet sind, wissen, dass sie rein oder gemischt sein können. Im ersten Fall beginnt der Punkt direkt mit dem Komma. Im zweiten beginnt der Bruchteil mit beliebigen Zahlen, und dann beginnt die Wiederholung.

Die Regel, nach der Sie eine unendliche Dezimalzahl in Form eines gewöhnlichen Bruchs schreiben müssen, ist für diese beiden Arten von Zahlen unterschiedlich. Es ist ziemlich einfach, reine periodische Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben. Wie bei den letzten müssen sie umgewandelt werden: Schreiben Sie den Punkt in den Zähler, und die Zahl 9 wird der Nenner, der so oft wiederholt wird, wie der Punkt Ziffern enthält.

Zum Beispiel 0,(5). Die Zahl hat keinen ganzzahligen Teil, daher müssen Sie sofort mit dem Bruchteil fortfahren. Schreibe in den Zähler 5 und in den Nenner 9. Das heißt, das Ergebnis ist der Bruch 5/9.

Eine Regel zum Schreiben eines gewöhnlichen Dezimalbruchs, der ein gemischter Bruch ist.

Sehen Sie sich die Länge der Periode an. So viel 9 wird einen Nenner haben.

Nenner notieren: Erst Neunen, dann Nullen.

Um den Zähler zu bestimmen, müssen Sie die Differenz zweier Zahlen schreiben. Alle Nachkommastellen werden zusammen mit dem Punkt gekürzt. Subtrahierbar - es ist ohne Punkt.

Zum Beispiel 0,5 (8) - schreiben Sie den periodischen Dezimalbruch als gemeinsamen Bruch. Der Bruchteil vor dem Punkt ist eine Ziffer. Null wird also eins sein. Es gibt auch nur eine Ziffer im Punkt - 8. Das heißt, es gibt nur eine Neun. Das heißt, Sie müssen 90 in den Nenner schreiben.

Um den Zähler von 58 zu bestimmen, müssen Sie 5 subtrahieren. Es ergibt sich 53. Zum Beispiel müssen Sie 53/90 als Antwort schreiben.

Wie werden gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umgewandelt?

Die einfachste Möglichkeit ist eine Zahl, deren Nenner die Zahl 10, 100 usw. ist. Dann wird der Nenner einfach verworfen und ein Komma zwischen den Bruch- und Ganzzahlteilen gesetzt.

Es gibt Situationen, in denen sich der Nenner leicht in 10, 100 usw. verwandelt. Zum Beispiel die Zahlen 5, 20, 25. Es reicht aus, sie mit 2, 5 bzw. 4 zu multiplizieren. Nur muss nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler mit derselben Zahl multipliziert werden.

Für alle anderen Fälle hilft eine einfache Regel: Teile den Zähler durch den Nenner. In diesem Fall erhalten Sie möglicherweise zwei Antworten: einen endgültigen oder einen periodischen Dezimalbruch.

Operationen mit gemeinsamen Brüchen

Addition und Subtraktion

Die Schüler lernen sie früher kennen als andere. Und zuerst haben die Brüche die gleichen Nenner und dann verschiedene. Allgemeine Regeln kann auf einen solchen Plan reduziert werden.

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

Schreiben Sie zusätzliche Faktoren zu allen gewöhnlichen Brüchen.

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner mit den dafür definierten Faktoren.

Addiere (subtrahiere) die Zähler von Brüchen und lasse den gemeinsamen Nenner unverändert.

Wenn der Zähler des Minuends kleiner als der Subtrahend ist, musst du herausfinden, ob es sich um eine gemischte Zahl oder einen echten Bruch handelt.

Im ersten Fall muss der ganzzahlige Teil eins annehmen. Addiere einen Nenner zum Zähler eines Bruchs. Und dann die Subtraktion machen.

Im zweiten Fall ist es notwendig, die Subtraktionsregel von einer kleineren Zahl auf eine größere anzuwenden. Das heißt, subtrahieren Sie den Modulus des Minuends vom Modulus des Subtrahends und setzen Sie das „-“-Zeichen als Antwort.

Sehen Sie sich das Ergebnis der Addition (Subtraktion) genau an. Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, soll er den ganzen Teil auswählen. Das heißt, den Zähler durch den Nenner dividieren.

Multiplikation und Division

Brüche müssen zu ihrer Umsetzung nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Dies erleichtert das Handeln. Aber sie müssen sich trotzdem an die Regeln halten.

Beim Multiplizieren gewöhnlicher Brüche müssen die Zahlen in Zähler und Nenner berücksichtigt werden. Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, können sie gekürzt werden.

Zähler multiplizieren.

Multipliziere die Nenner.

Wenn du einen reduzierbaren Bruch bekommst, dann soll er wieder vereinfacht werden.

Beim Dividieren müssen Sie zuerst die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor (zweiter Bruch) durch einen Kehrwert (Zähler und Nenner vertauschen).

Dann verfahren Sie wie beim Multiplizieren (ab Punkt 1).

Bei Aufgaben, bei denen Sie mit einer ganzen Zahl multiplizieren (dividieren) müssen, soll letztere als unechter Bruch geschrieben werden. Also mit Nenner 1. Gehen Sie dann wie oben beschrieben vor.

Operationen mit Dezimalstellen

Addition und Subtraktion

Natürlich kannst du eine Dezimalzahl immer in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln. Und handeln Sie nach dem bereits beschriebenen Plan. Aber manchmal ist es bequemer, ohne diese Übersetzung zu handeln. Dann sind die Regeln für ihre Addition und Subtraktion genau gleich.

Gleichen Sie die Anzahl der Ziffern im Bruchteil der Zahl aus, dh nach dem Dezimalkomma. Weisen Sie darin die fehlende Anzahl von Nullen zu.

Schreibe Brüche so, dass das Komma unter dem Komma steht.

Addiere (subtrahiere) wie natürliche Zahlen.

Entfernen Sie das Komma.

Multiplikation und Division

Wichtig ist, dass Sie hier keine Nullen anhängen müssen. Brüche sollen so belassen werden, wie sie im Beispiel angegeben sind. Und dann geht es nach Plan weiter.

Für die Multiplikation müssen Sie Brüche untereinander schreiben, ohne auf Kommas zu achten.

Multiplizieren wie natürliche Zahlen.

Setzen Sie ein Komma in die Antwort und zählen Sie vom rechten Ende der Antwort so viele Ziffern, wie sie in den Bruchteilen beider Faktoren enthalten sind.

Um zu dividieren, müssen Sie zuerst den Divisor umwandeln: Machen Sie es natürliche Zahl. Das heißt, multiplizieren Sie es mit 10, 100 usw., je nachdem, wie viele Ziffern der Bruchteil des Divisors enthält.

Multipliziere den Dividenden mit der gleichen Zahl.

Dividiere eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl.

Setzen Sie ein Komma in die Antwort in dem Moment, in dem die Teilung des ganzen Teils endet.

Was ist, wenn es in einem Beispiel beide Arten von Brüchen gibt?

Ja, in der Mathematik gibt es oft Beispiele, in denen Sie Operationen mit gewöhnlichen und Dezimalbrüchen durchführen müssen. Es gibt zwei mögliche Lösungen für diese Probleme. Sie müssen die Zahlen objektiv abwägen und die beste auswählen.

Erster Weg: Stellen Sie gewöhnliche Dezimalzahlen dar

Es ist zweckmäßig, wenn beim Teilen oder Umwandeln Endfraktionen anfallen. Wenn mindestens eine Zahl einen periodischen Teil angibt, ist diese Technik verboten. Daher müssen Sie, selbst wenn Sie nicht gerne mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten, diese zählen.

Der zweite Weg: Dezimalbrüche ganz normal schreiben

Diese Technik ist praktisch, wenn der Teil nach dem Dezimalkomma 1-2 Ziffern enthält. Wenn es mehr davon gibt, kann ein sehr großer gewöhnlicher Bruch herauskommen, und durch Dezimaleingaben können Sie die Aufgabe schneller und einfacher berechnen. Daher gilt es immer, die Aufgabenstellung nüchtern zu bewerten und den einfachsten Lösungsweg zu wählen.