Die Zufallsvariable x hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte. Mathematische Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen. Lösungsbeispiel. Wahrscheinlichkeitsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

1. Die Wahreiner kontinuierlichen Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist ihre erschöpfende probabilistische Eigenschaft. Aber es hat einen Nachteil, der darin besteht, dass es schwierig ist, die Art der Verteilung einer Zufallsvariablen in einer kleinen Umgebung von dem einen oder anderen Punkt der numerischen Achse zu beurteilen. Eine anschaulichere Darstellung der Art der Verteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen in der Nähe verschiedener Punkte wird durch eine Funktion gegeben, die als Wahroder Differentialverteilungsgesetz einer Zufallsvariablen bezeichnet wird. In dieser Frage betrachten wir die Wahund ihre Eigenschaften.

Es gebe eine stetige Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit berechnen, diese Zufallsvariable auf dem elementaren Segment zu treffen
:

Setzen Sie das Verhältnis dieser Wahrscheinlichkeit zur Länge des Abschnitts zusammen
:

Das resultierende Verhältnis wird aufgerufen durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, das ist pro Längeneinheit dieses Abschnitts.

Berücksichtigung der Verteilungsfunktion F(X) differenzierbar, gehen wir in Gleichheit (1) bis zum Grenzwert bei über
; dann bekommen wir:

Die Grenze des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeit, eine stetige Zufallsvariable auf einem Elementarabschnitt von x bis x + ∆x zu treffen, zur Länge dieses Abschnitts ∆x, wenn ∆x gegen Null geht, heißt Verteilungsdichte der Zufallsvariablen im Punkt x und wird mit bezeichnetF (X).

Aufgrund der Gleichheit (2) die Verteilungsdichte F(X) gleich der Ableitung der Verteilungsfunktion F(X), d.h.

.

Die Bedeutung der Verteilungsdichte F(X) ist, dass es angibt, wie oft die Zufallsvariable vorkommt X in irgendeiner Nachbarschaft des Punktes X beim Wiederholen von Experimenten.

Kurve, die die Verteilungsdichte darstellt F(X) Zufallsvariable aufgerufen wird Verteilungskurve. Eine ungefähre Darstellung der Verteilungskurve ist in Abb. 1 dargestellt.

Beachten Sie, dass, wenn die möglichen Werte einer Zufallsvariablen ein endliches Intervall füllen, die Verteilungsdichte F(X) = 0 außerhalb dieses Intervalls.

Heben wir auf der Abszissenachse einen elementaren Abschnitt ∆ hervor X, neben dem Punkt X(Abb. 2) und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X zu diesem Bereich. Einerseits ist diese Wahrscheinlichkeit gleich dem Inkrement
Verteilungsfunktionen F(X), entsprechende Erhöhung ∆ X= dx Streit X. MIT andererseits die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen X zum elementaren Bereich dxMit zu Infinitesimalen höherer Ordnung als ∆ X ist gleich F(X) dx (als ∆ F(X)≈ dF(x) =F (X) dx). Geometrisch ist dies die Fläche eines elementaren Rechtecks ​​mit Höhe F(X) und Stiftung dx (Abb. 2). Wert F (X) dx genannt Element der Wahrscheinlichkeit.

Dabei ist zu beachten, dass nicht alle Zufallsvariablen, deren mögliche Werte kontinuierlich ein bestimmtes Intervall ausfüllen, kontinuierliche Zufallsvariablen sind. Es gibt solche Zufallsvariablen, deren mögliche Werte kontinuierlich ein bestimmtes Intervall ausfüllen, bei denen aber die Verteilungsfunktion nicht überall stetig ist, sondern an bestimmten Stellen Unstetigkeiten erleidet. Solche Zufallsvariablen werden aufgerufen gemischt. So ist beispielsweise beim Problem der Detektion eines Signals im Rauschen die Nutzsignalamplitude eine gemischte Zufallsvariable X, die einen beliebigen positiven oder negativen Wert annehmen kann.

Lassen Sie uns nun eine strengere Definition einer kontinuierlichen Zufallsvariablen geben.

ZufallswertXheißt stetig, wenn ihre VerteilungsfunktionF(x\ ist stetig auf der gesamten x-Achse, und die VerteilungsdichteF (X) existiert überall, außer vielleicht für eine endliche Anzahl von Punkten.

Betrachten Sie die Eigenschaften der Verteilungsdichte.

Eigentum 1.Die Verteilungsdichte ist nicht negativ, d.h.

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Tatsache, dass die Verteilungsdichte
ist die Ableitung der nicht abnehmenden Verteilungsfunktion F(X).

Eigenschaft 2. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist gleich dem Integral der Dichte im Bereich von –∞ bis x, d.h.

. (3)

Eigenschaft 3.Wahrscheinlichkeit, eine kontinuierliche Zufallsvariable zu treffenXzum Grundstück
ist gleich dem Integral der über diesen Abschnitt genommenen Verteilungsdichte, d.h.

. (4)

Eigenschaft 4. Das Integral in unendlichen Grenzen der Verteilungsdichte ist gleich Eins:

.

Wenn das Intervall möglicher Werte einer Zufallsvariablen endliche Grenzen hat A Und B, dann die Verteilungsdichte F(X)= 0 außerhalb des Bereichs
und Eigenschaft 4 kann dann geschrieben werden als:

.

Beispiel. Zufallswert X gehorcht dem Verteilungsgesetz mit der Dichte

.

Erforderlich:

1) Finden Sie den Koeffizienten A.

2) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable im Bereich von 0 bis zu treffen.

Lösung. 1) Um den Koeffizienten zu bestimmen A wir verwenden Eigenschaft 4 der Verteilungsdichte:

,

Wo .

2) Nach Formel (4) gilt:

.

Mode
stetige Zufallsvariable X heißt der Wert, bei dem die Verteilungsdichte maximal ist.

Median stetige Zufallsvariable X wird ihr Wert genannt, für den es gleich wahrscheinlich ist, ob die Zufallsvariable kleiner oder größer sein wird , also:

Geometrisch ist der Modus die Abszisse desjenigen Punktes der Verteilungskurve, dessen Ordinate maximal ist (bei einer diskreten Zufallsvariablen ist der Modus die Abszisse des Polygonpunktes mit der maximalen Ordinate).

Geometrisch ist der Median die Abszisse des Punktes, an dem die von der Verteilungskurve begrenzte Fläche halbiert wird.

Beachten Sie, dass bei einer unimodalen und symmetrischen Verteilung Mittelwert, Modus und Median gleich sind.

Beachten Sie auch das dritte zentrale Moment oder Schiefe ist ein Merkmal der "Schiefe" der Verteilung. Ist die Verteilung symmetrisch zum mathematischen Erwartungswert, dann gilt für die Verteilungskurve (Histogramm)
. Vierter zentraler Moment dient zur Charakterisierung der Peak- oder Flat-Top-Verteilung. Diese Verteilungseigenschaften werden mit den sog Kurtosis. Die Formeln zum Finden von Schiefe und Kurtosis wurden von uns in der vorherigen Vorlesung besprochen.

2. Normalverteilung

Unter den Verteilungen kontinuierlicher Zufallsvariablen nimmt das Normalgesetz oder das Gaußsche Verteilungsgesetz den zentralen Platz ein, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:

, (5)

Wo
sind die Parameter der Normalverteilung.

Da die Normalverteilung von zwei Parametern abhängt Und
, dann heißt es auch Zwei-Parameter-Verteilung.

Das Normalverteilungsgesetz wird in Fällen angewendet, in denen die Zufallsvariable X ist das Ergebnis einer Vielzahl unterschiedlicher Faktoren. Jeder Faktor separat nach dem Wert X geringfügig beeinflusst, und es ist unmöglich zu spezifizieren, welcher stärker als die anderen ist. Beispiele für normalverteilte Zufallsvariablen sind: die Abweichung der Istmaße von auf der Maschine bearbeiteten Teilen von den Sollmaßen, Messfehler, Abweichungen beim Schießen und andere.

Lassen Sie uns beweisen, dass in Formel (5) der Parameter A ist die mathematische Erwartung und der Parameter
- Standardabweichung:

.

Das erste der Integrale ist gleich Null, da der Integrand ungerade ist. Das zweite Integral ist als Poisson-Integral bekannt:

.

Lassen Sie uns die Varianz berechnen:

.

Der Wahrscheinlichkeitsdichtegraph einer Normalverteilung wird als Gauß-Normalkurve bezeichnet (Abb. 3).

Wir notieren einige Eigenschaften der Kurve:

1. Die Wist auf der gesamten numerischen Achse definiert, das heißt
.

2. Funktionsumfang
, das heißt, die Gaußsche Kurve liegt oberhalb der x-Achse und schneidet diese nicht.

3. Äste der Gaußschen Kurve tendieren asymptotisch zur Achse
, also

4. Die Kurve ist symmetrisch zu einer Geraden
. Somit stimmt bei einer Normalverteilung die mathematische Erwartung mit dem Modus und dem Median der Verteilung überein.

5. Die Funktion hat ein Maximum an der Stelle mit der Abszisse
, gleich
. Mit ansteigender
die Gaußsche Kurve wird flacher und nimmt ab
- mehr "spitz".

6. Die Gaußsche Kurve hat zwei Wendepunkte mit Koordinaten
Und
.

7.If bei einer Konstante
Ändern Sie die mathematische Erwartung, dann verschiebt sich die Gaußsche Kurve entlang der Achse
: rechts - beim Erhöhen A, und nach links - beim Abnehmen.

8. Schiefe und Kurtosis für eine Normalverteilung sind Null.

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable zu treffen, die gemäß dem Normalgesetz auf dem Diagramm verteilt ist
. Es ist bekannt, dass

.

.

Verwendung der Variablenänderung

,

. (6)

Integral
wird nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt, daher verwenden sie zur Berechnung des Integrals (6) Wertetabellen einer speziellen Funktion namens Laplace-Funktion, und sieht so aus:

.

Nach einfachen Umformungen erhalten wir eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in ein gegebenes Intervall fällt
:

. (7)

Die Laplace-Funktion hat folgende Eigenschaften:

1.
.

2.
ist eine ungerade Funktion.

3.
.

Der Graph der Verteilungsfunktion ist in Abb. 4 dargestellt.

Es sei erforderlich, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die Abweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen X im absoluten Wert eine gegebene positive Zahl nicht überschreitet , also die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit
.

Wir verwenden Formel (7) und die Oddity-Eigenschaft der Laplace-Funktion:

.

Lasst uns
und wähle
. Dann bekommen wir:

.

Das bedeutet für eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern A Und
Erfüllung der Ungleichheit
ist ein fast sicheres Ereignis. Dies ist die sogenannte „Drei-Sigma“-Regel.

Erwarteter Wert

Streuung kontinuierliche Zufallsvariable X, deren mögliche Werte zur gesamten Achse Ox gehören, wird durch die Gleichheit bestimmt:

Dienstzuweisung. Online-Rechner entwickelt, um Probleme zu lösen, bei denen entweder Verteilungsdichte f(x) , oder Verteilungsfunktion F(x) (siehe Beispiel). Normalerweise muss man bei solchen Aufgaben finden mathematischer Erwartungswert, Standardabweichung, graphische Darstellung der Funktionen f(x) und F(x).

Anweisung. Wählen Sie den Typ der Eingabedaten aus: Verteilungsdichte f(x) oder Verteilungsfunktion F(x) .

Die Verteilungsdichte f(x) ist gegeben zu:

Die Verteilungsfunktion F(x) ist gegeben:

Eine kontinuierliche Zufallsvariable wird durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte definiert
(Rayleigh-Verteilungsgesetz - verwendet in der Funktechnik). Finde M(x) , D(x) .

Die Zufallsvariable X wird aufgerufen kontinuierlich , wenn ihre Verteilungsfunktion F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, dass eine Zufallsvariable in ein bestimmtes Intervall fällt:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
außerdem spielt es für eine kontinuierliche Zufallsvariable keine Rolle, ob ihre Grenzen in diesem Intervall enthalten sind oder nicht:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Verteilungsdichte kontinuierliche Zufallsvariable heißt Funktion
f(x)=F'(x) , Ableitung der Verteilungsfunktion.

Eigenschaften der Verteilungsdichte

1. Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen ist für alle Werte von x nichtnegativ (f(x) ≥ 0).
2. Normalisierungsbedingung:

Die geometrische Bedeutung der Normierungsbedingung: Die Fläche unter der Verteilungsdichtekurve ist gleich eins.
3. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable X im Intervall von α bis β zu treffen, kann mit der Formel berechnet werden

Geometrisch gesehen ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X in das Intervall (α, β) fällt, gleich der Fläche des krummlinigen Trapezes unter der auf diesem Intervall basierenden Verteilungsdichtekurve.
4. Die Verteilungsfunktion wird in Bezug auf die Dichte wie folgt ausgedrückt:

Der Verteilungsdichtewert am Punkt x ist nicht gleich der Wahrscheinlichkeit, diesen Wert anzunehmen; für eine kontinuierliche Zufallsvariable können wir nur von der Wahrscheinlichkeit sprechen, in ein bestimmtes Intervall zu fallen. Sei , wenn seine Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer gleichverteilten Zufallsvariablen werden durch die Ausdrücke definiert

3.8. Zufallswert X gleichmäßig über das Segment verteilt. Verteilungsfunktion finden F(X), mathematischer Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Wertes.

Lösung. Wahrscheinlichkeitsdichte für Menge X sieht aus wie:

Daher die Verteilungsfunktion, berechnet nach der Formel:

,

wird wie folgt geschrieben:

Die mathematische Erwartung wird sein Mx= (1 + 6)/2 = 3,5. Finden Sie die Varianz und die Standardabweichung:

Dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Normalverteilung

Zufallswert X ist normalverteilt, wenn ihre Wdie Form hat:

Wo Mx- erwarteter Wert;

ist die Standardabweichung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in das Intervall ( A, B) wird durch die Formel gefunden

R(A < X < B) = F – F = F ( z 2) – F( z 1), (5)

wo F ( z) = ist die Laplace-Funktion.

Die Werte der Laplace-Funktion für unterschiedliche Bedeutungen z sind in Anhang 2 angegeben.

3.9. Mathematischer Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen X gleich Mx= 5, die Varianz ist Dx= 9. Schreiben Sie einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte.

3.10. Mathematischer Erwartungswert und Standardabweichung einer normalverteilten Zufallsvariablen X sind 12 bzw. 2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den im Intervall (14; 16) enthaltenen Wert annimmt.

Lösung. Unter Berücksichtigung dessen verwenden wir Formel (21.2). Mx = 12, = 2:

R(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Gemäß der Wertetabelle der Laplace-Funktion finden wir Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772. Nach Substitution erhalten wir den Wert der gesuchten Wahrscheinlichkeit:

R(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Es gibt eine Zufallsvariable X, verteilt nach dem Normalgesetz, deren mathematischer Erwartungswert gleich 20 ist, die Standardabweichung gleich 3 ist. Finden Sie ein Intervall, das symmetrisch zum mathematischen Erwartungswert ist, in dem mit Wahrscheinlichkeit R= 0,9972 erhält eine Zufallsvariable.

Lösung. Als R(X 1 < X < X 2) = R= 2Ä(( X 2 – Mx)/ ), dann Ф( z) = R/2 = 0,4986. Gemäß der Tabelle der Laplace-Funktion finden wir den Wert z, entsprechend dem erhaltenen Wert der Funktion Ф( z) = 0,4986: z= 2,98. Angesichts der Tatsache, dass z = (X 2 – Mx)/ , definieren wir = X 2 – Mx = z= 3 2,98 = 8,94. Das gewünschte Intervall sieht so aus (11.06; 28.94).

Das berücksichtigen wir F(X) = F"(X). Dann bekommen wir:

Ersetzen Sie im Ausdruck die mathematische Erwartung

.

Durch partielle Integration erhalten wir Mx= 1/ , oder Mx = 1/0,1.

Zur Bestimmung der Streuung integrieren wir den ersten Term partiell. Als Ergebnis erhalten wir:

.

Betrachten wir den gefundenen Ausdruck for Mx. Wo

.

In diesem Fall Mx = 10, Dx = 100.

SYSTEME VON ZUFÄLLIGEN VARIABLEN

Sei $X$ eine kontinuierliche Zufallsvariable mit einer Wahrsc$F(x)$. Erinnern Sie sich an die Definition der Verteilungsfunktion:

Bestimmung 1

Eine Verteilungsfunktion ist eine Funktion $F(x)$, die die Bedingung $F\left(x\right)=P(X) erfüllt

Da die Zufallsvariable stetig ist, wird, wie wir bereits wissen, die Wahrsc$F(x)$ eine stetige Funktion sein. Sei $F\left(x\right)$ auch auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar.

Betrachten Sie das Intervall $(x,x+\triangle x)$ (wobei $\triangle x$ das Inkrement von $x$ ist). Auf ihm

Wenn wir nun die Werte des Inkrements $\triangle x$ gegen Null tendieren lassen, erhalten wir:

Bild 1.

Somit erhalten wir:

Die Verteilungsdichte ist wie die Verteilungsfunktion eine der Formen des Verteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen. Das Verteilungsgesetz kann jedoch nur für kontinuierliche Zufallsvariablen in Bezug auf die Verteilungsdichte geschrieben werden.

Bestimmung 3

Die Verteilungskurve ist ein Graph der Funktion $\varphi \left(x\right)$, der Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen (Abb. 1).

Abbildung 2. Diagramm der Verteilungsdichte.

Geometrischer Sinn 1: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable in das Intervall $(\alpha ,\beta)$ fällt, ist gleich der Fläche des krummlinigen Trapezes, die durch den Verteilungsfunktionsgraphen $\varphi \left(x\right)$ begrenzt ist und die Geraden $x=\alpha ,$ $x=\beta $ und $y=0$ (Abb. 2).

Abbildung 3. Geometrische Darstellung der Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable in das Intervall $(\alpha ,\beta)$ fällt.

Geometrischer Sinn 2: Die Fläche eines unendlichen krummlinigen Trapezes, begrenzt durch den Graphen der Verteilungsfunktion $\varphi \left(x\right)$, der Linie $y=0$ und der variablen Linie $x$ ist nichts anderes als die Verteilungsfunktion $ F(x)$ (Abb. 3 ).

Abbildung 4. Geometrische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion $F(x)$ in Bezug auf die Verteilungsdichte $\varphi \left(x\right)$.

Beispiel 1

Die Verteilungsfunktion $F(x)$ der Zufallsvariablen $X$ habe folgende Form.

4. Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Mit der Verteilungsfunktion kann eine stetige Zufallsvariable angegeben werden F(X) . Diese Art der Einstellung ist nicht die einzige. Eine kontinuierliche Zufallsvariable kann auch mit einer anderen Funktion angegeben werden, die als Verteilungsdichte oder Wahrscheinlichkeitsdichte (manchmal auch als Differentialfunktion bezeichnet) bezeichnet wird.

Definition 4.1: Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X Rufen Sie die Funktion auf F (X) - die erste Ableitung der Verteilungsfunktion F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Aus dieser Definition folgt, dass die Verteilungsfunktion die Stammfunktion der Verteilungsdichte ist. Beachten Sie, dass zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen die Verteilungsdichte nicht anwendbar ist.

Wahrscheinlichkeit, eine kontinuierliche Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall zu treffen

Wenn wir die Verteilungsdichte kennen, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zu einem bestimmten Intervall gehört.

Satz: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable X Werte annimmt, die zum Intervall (A, B), ist gleich einem bestimmten Integral der Verteilungsdichte, genommen im Bereich vonAVorB :

Nachweisen: Wir verwenden das Verhältnis

P(A ≤ XB) = F(B) – F(A).

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist

Auf diese Weise,

.

Als P(A ≤ X B)= P(A X B) , dann bekommen wir endlich

.

Geometrisch lässt sich das Ergebnis wie folgt interpretieren: die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (A, B), ist gleich der Fläche des krummlinigen Trapezes, das von der Achse begrenzt wirdOchse, VerteilungskurveF(X) und direktX = AUndX = B.

Kommentar: Insbesondere wenn F(X) eine gerade Funktion ist und die Enden des Intervalls symmetrisch zum Ursprung sind, dann

.

Beispiel. Gegeben sei die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen X

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass als Ergebnis des Tests X nimmt Werte an, die zum Intervall (0,5; 1) gehören.

Lösung: Gewünschte Wahrscheinlichkeit

.

Bestimmung der Verteilungsfunktion aus einer bekannten Verteilungsdichte

Kenntnis der Verteilungsdichte F(X) , können wir die Verteilungsfunktion finden F(X) laut Formel

.

Wirklich, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Somit,

.

Auf diese Weise, Wenn Sie die Verteilungsdichte kennen, können Sie die Verteilungsfunktion finden. Aus der bekannten Verteilungsfunktion kann man natürlich die Verteilungsdichte finden, nämlich:

F(X) = F"(X).

Beispiel. Finden Sie die Verteilungsfunktion für eine gegebene Verteilungsdichte:

Lösung: Lassen Sie uns die Formel verwenden

Wenn X ≤ A, Das F(X) = 0 , somit, F(X) = 0 . Wenn a, dann f(x) = 1/(b-a),

somit,

.

Wenn X > B, Das

.

Also die gewünschte Verteilungsfunktion

Kommentar: Wir haben die Verteilungsfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariablen erhalten (siehe Gleichverteilung).

Eigenschaften der Verteilungsdichte

Eigenschaft 1: Die Verteilungsdichte ist eine nicht negative Funktion:

F ( X ) ≥ 0 .

Eigenschaft 2: Das uneigentliche Integral der Verteilungsdichte im Bereich von -∞ bis ∞ ist gleich eins:

.

Kommentar: Der Plot der Verteilungsdichte wird aufgerufen Verteilungskurve.

Kommentar: Die Verteilungsdichte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird auch als Verteilungsgesetz bezeichnet.

Beispiel. Die Verteilungsdichte einer Zufallsvariablen hat folgende Form:

Konstanten Parameter finden A.

Lösung: Die Verteilungsdichte muss die Bedingung erfüllen, also fordern wir die Gleichheit

.

Von hier
. Finden wir das unbestimmte Integral:

.

Wir berechnen das uneigentliche Integral:

Also der benötigte Parameter

.

Wahrscheinliche Bedeutung der Verteilungsdichte

Lassen F(X) ist die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X. Per Definition der Verteilungsdichte F(X) = F"(X) , oder

.

Unterschied F(X+∆х) -F(X) bestimmt die Wahrscheinlichkeit dafür X nimmt den zum Intervall gehörenden Wert (X, X+∆х). Also die Grenze des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen zum Intervall gehörenden Wert annimmt (X, X+∆х), auf die Länge dieses Intervalls (at ∆х→0) ist gleich dem Wert der Verteilungsdichte am Punkt X.

Also die Funktion F(X) bestimmt die Wahrfür jeden Punkt X. Aus der Differentialrechnung ist bekannt, dass das Inkrement einer Funktion ungefähr gleich dem Differential der Funktion ist, d.h.

Als F"(X) = F(X) Und dx = ∆ X, Das F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

Die probabilistische Bedeutung dieser Gleichheit ist wie folgt: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (X, X+∆ X) , ist ungefähr gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeitsdichte am Punkt x und der Länge des Intervalls ∆х.

Geometrisch kann dieses Ergebnis interpretiert werden als: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der zum Intervall (X, X+∆ X), ungefähr gleich der Fläche eines Rechtecks ​​mit Basis ∆х und HöheF(X).

5. Typische Verteilungen diskreter Zufallsvariablen

5.1. Bernoulli-Verteilung

Definition 5.1: Zufallswert X, die zwei Werte annimmt 1 Und 0 mit Wahrscheinlichkeiten („Erfolg“) P und („Fehler“) Q, wird genannt Bernoulli:

, Wo k=0,1.

5.2. Binomialverteilung

Lass es produzieren N unabhängigen Studien, in denen jeweils ein Ereignis A kann erscheinen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in allen Versuchen eintritt, ist konstant und gleich P(daher die Wahrscheinlichkeit des Nichterscheinens Q = 1 - P).

Betrachten Sie eine Zufallsvariable X– Häufigkeit des Ereignisses A bei diesen Prüfungen. Zufallswert X nimmt Werte an 0,1,2,… N mit nach der Bernoulli-Formel berechneten Wahrscheinlichkeiten: , Wo k = 0,1,2,… N.

Definition 5.2: Binomial wird die durch die Bernoulli-Formel bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Beispiel. Es werden drei Schüsse auf das Ziel abgefeuert, und die Wahrscheinlichkeit, jeden Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Wir betrachten eine Zufallsvariable X- die Anzahl der Treffer auf dem Ziel. Finden Sie die Distributionsserie.

Lösung: Zufallswert X nimmt Werte an 0,1,2,3 mit Wahrscheinlichkeiten berechnet durch die Bernoulli-Formel, wobei N = 3, P = 0,8 (Trefferwahrscheinlichkeit), Q = 1 - 0,8 = = 0,2 (Wahrscheinlichkeit des Fehlens).

Damit hat die Verteilungsreihe folgende Form:

Verwenden Sie die Bernoulli-Formel für große Werte N ziemlich schwierig, daher die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird das lokale Laplace-Theorem verwendet, das es erlaubt, die Wahrscheinlichkeit des genauen Eintretens eines Ereignisses näherungsweise zu finden k einmal N Versuche, wenn die Anzahl der Versuche groß genug ist.

Lokales Laplace-Theorem: Wenn Wahrscheinlichkeit P Auftreten eines Ereignisses A
dass die Veranstaltung A wird darin erscheinen N testet genau k mal ungefähr gleich (je genauer, desto mehr N) Funktionswert
, Wo
,
.

Anmerkung 1: Tabellen mit Funktionswerten
, sind in Anhang 1 angegeben, und
. Funktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung (siehe Normalverteilung).

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A kommt genau 80 einmal 400 Versuche, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit dieses Ereignisses in jedem Versuch gleich ist 0,2.

Lösung: Nach Zustand N = 400, k = 80, P = 0,2 , Q = 0,8 . Lassen Sie uns den durch die Problemdaten bestimmten Wert berechnen X:
. Gemäß der Tabelle in Anhang 1 finden wir
. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, dass ein Ereignis eintritt A wird darin erscheinen N Tests zumindest k 1 einmal und nicht mehr k 2 mal, dann müssen Sie den Integralsatz von Laplace verwenden:

Integralsatz von Laplace: Wenn Wahrscheinlichkeit P Auftreten eines Ereignisses A in jedem Test konstant und von Null und Eins verschieden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit
dass die Veranstaltung A wird darin erscheinen N Prüfungen ab k 1 Vor k 2 mal ungefähr gleich dem bestimmten Integral

, Wo
Und
.

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt A wird darin erscheinen N Prüfungen ab k 1 Vor k 2 mal ungefähr gleich

Wo
, Und .

Bemerkung2: Funktion
die Laplace-Funktion genannt wird (siehe Normalverteilung). Tabellen mit Funktionswerten , sind in Anhang 2 angegeben, und
.

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 400 zufällig ausgewählte Teile werden von 70 bis 100 Teile ungeprüft, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil die Qualitätskontrolle nicht bestanden hat, gleich ist 0,2.

Lösung: Nach Zustand N = 400, P = 0,2 , Q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Berechnen wir die untere und obere Integrationsgrenze:

;
.

Somit haben wir:

Gemäß der Tabelle in Anhang 2 finden wir das
Und
. Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Bemerkung3: In einer Reihe unabhängiger Versuche (wenn n groß, p klein ist) wird die Poisson-Formel genau k-mal verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu berechnen (siehe Poisson-Verteilung).

5.3. Poisson-Verteilung

Definition 5.3: Eine diskrete Zufallsvariable wird aufgerufen Gift, wenn sein Vertriebsrecht folgende Form hat:

, Wo
Und
(konstanter Wert).

Beispiele für Poisson-Zufallsvariablen:

Anzahl der Anrufe an eine Automatikstation in einem Zeitintervall T.

Die Anzahl der Zerfallsteilchen einer radioaktiven Substanz über einen bestimmten Zeitraum T.

Die Anzahl der Fernseher, die in einem bestimmten Zeitraum in die Werkstatt kommen T in der Großstadt .

Die Anzahl der Autos, die an der Haltelinie einer Kreuzung in einer Großstadt ankommen .

Anmerkung 1: Spezielle Tabellen zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten sind in Anhang 3 angegeben.

Bemerkung2: In einer Reihe von unabhängigen Studien (wann N Großartig, P klein), um die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses exakt zu berechnen k Sobald die Poisson-Formel verwendet wird:
, Wo
, das heißt, die durchschnittliche Anzahl des Auftretens von Ereignissen bleibt konstant.

Bemerkung3: Wenn es eine Zufallsvariable gibt, die nach dem Poisson-Gesetz verteilt ist, dann gibt es zwangsläufig auch eine Zufallsvariable, die nach dem Exponentialgesetz verteilt ist und umgekehrt (siehe Exponentialverteilung).

Beispiel. Die Fabrik an die Basis geschickt 5000 Produkte von guter Qualität. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt beim Transport beschädigt wird, ist gleich 0,0002 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei unbrauchbare Gegenstände an der Basis ankommen.

Lösung: Nach Zustand N = 5000, P = 0,0002, k = 3. Lass uns finden λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Nach der Poisson-Formel ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich:

, wo Zufallsvariable X- die Anzahl fehlerhafter Produkte.

5.4. Geometrische Verteilung

Lassen Sie unabhängige Versuche machen, in denen jeweils die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermittelt wird A ist gleich P(0p

Q = 1 - P. Trials enden, sobald das Event erscheint A. Also, wenn ein Ereignis A erschien in k-ten Test, dann im vorherigen k – 1 In den Tests ist es nicht aufgetaucht.

Bezeichne mit X diskrete Zufallsvariable - die Anzahl der Versuche, die vor dem ersten Auftreten des Ereignisses durchgeführt werden sollen A. Offensichtlich die möglichen Werte X sind natürliche Zahlen x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Lassen Sie die erste k-1 Testveranstaltung A kam nicht, aber k Prüfung erschien. Die Wahrscheinlichkeit dieses „komplexen Ereignisses“ nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse, P (X = k) = Q k -1 P.

Definition 5.4: Eine diskrete Zufallsvariable hat geometrische Verteilung wenn sein Vertriebsrecht folgende Form hat:

P ( X = k ) = Q k -1 P , Wo
.

Anmerkung 1: Vorausgesetzt k = 1,2,… erhalten wir mit dem ersten Term eine geometrische Progression P und Nenner Q (0Q. Aus diesem Grund wird die Verteilung als geometrisch bezeichnet.

Bemerkung2: Reihe
konvergiert und ihre Summe gleich eins ist. In der Tat ist die Summe der Reihe
.

Beispiel. Die Waffe schießt bis zum ersten Treffer auf das Ziel. Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen P = 0,6 . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.

Lösung: Nach Zustand P = 0,6, Q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Hypergeometrische Verteilung

Betrachten Sie das folgende Problem. Lass die Party aus N Produkte verfügbar M Standard (MN). zufällig aus der Partei ausgewählt N Produkte (jedes Produkt kann mit der gleichen Wahrscheinlichkeit entfernt werden), und das ausgewählte Produkt wird nicht vor der Auswahl des nächsten in die Charge zurückgeführt (daher ist die Bernoulli-Formel hier nicht anwendbar).

Bezeichne mit X Zufallsvariable - Zahl M Standardprodukte unter N ausgewählt. Dann die möglichen Werte X wird 0, 1, 2, … sein, Mindest ; Beschriften wir sie und... Von Werte der unabhängigen Variablen (Fonds), verwenden Sie die Schaltfläche ( Kapitel ...

Pädagogischer und methodischer Komplex für die Disziplin "Allgemeine psychologische Werkstatt"

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