Stellt einen gewöhnlichen Bruch dar. Wie man einen Bruch als Dezimalzahl darstellt. Was ist "Fraktion"

Dezimal Fraktion- Vielfalt Brüche, die eine "runde" Zahl im Nenner hat: 10, 100, 1000 usw., zum Beispiel, Fraktion 5/10 hat eine Dezimalschreibweise von 0,5. Basierend auf diesem Prinzip, Fraktion kann präsentiert werden bilden Dezimal Brüche.

Anweisung

Angenommen, wir müssen uns vorstellen bilden Dezimal Fraktion 18/25.
Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass eine der "runden" Zahlen im Nenner erscheint: 100, 1000 usw. Dazu musst du den Nenner mit 4 multiplizieren. Aber mit 4 musst du sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren.

Zähler und Nenner multiplizieren Brüche 18/25 mal 4 ist 72/100. Dies wird aufgezeichnet Fraktion in dezimal bilden also: 0,72.

Ein Bruch in der Mathematik heißt Rationale Zahl, gleich einem oder mehreren Teilen, in die die Einheit unterteilt ist. In diesem Fall muss die Aufzeichnung des Bruchteils die Angabe von zwei Zahlen enthalten: Eine davon gibt genau an, in wie viele Anteile die Einheit bei der Erstellung dieses Bruchs aufgeteilt wurde, und die andere - wie viele dieser Anteile eine Bruchzahl enthalten. Schreibt man diese beiden Zahlen als Zähler und Nenner getrennt durch einen Strich, dann nennt man diese Schreibweise einen „gewöhnlichen“ Bruch. Es gibt jedoch ein anderes Format zum Schreiben von Brüchen, das als "Dezimal" bezeichnet wird.

Nicht immer bequem ist die dreistöckige Schreibweise von Zahlen, bei der der Nenner über dem Zähler steht und dazwischen noch ein Trennstrich. Besonders diese Unannehmlichkeit begann sich mit der Massenverteilung von Personalcomputern zu manifestieren. Die dezimale Darstellungsform von Brüchen hat diesen Nachteil nicht - es ist nicht erforderlich, den Zähler darin anzugeben, da er per Definition immer gleich einer negativen Potenz von zehn ist. Daher kann eine Bruchzahl in eine Zeile geschrieben werden, obwohl ihre Länge in den meisten Fällen viel größer ist als die Länge des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Ein weiterer Vorteil, Zahlen im Dezimalformat zu schreiben, ist, dass sie viel einfacher zu vergleichen sind. Da der Nenner jeder Ziffer zweier solcher Zahlen gleich ist, reicht es aus, nur zwei Ziffern der entsprechenden Ziffern zu vergleichen, während beim Vergleich gewöhnlicher Brüche sowohl der Zähler als auch der Nenner von jeder von ihnen berücksichtigt werden müssen. Dieser Vorteil ist nicht nur für Menschen wichtig, sondern auch für Computer – der Vergleich von Zahlen im Dezimalformat ist einfach zu programmieren.

Es gibt jahrhundertealte Regeln für Addition, Multiplikation und andere mathematische Operationen, die es Ihnen ermöglichen, Berechnungen auf Papier oder in Gedanken mit Zahlen im Dezimalformat durchzuführen. Dies ist ein weiterer Vorteil dieses Formats gegenüber gewöhnlichen Brüchen. Obwohl mit der Entwicklung der Computertechnologie, wenn der Taschenrechner sogar in der Uhr ist, es immer weniger auffällt.

Die beschriebenen Vorteile des Dezimalformats für die Aufzeichnung von Bruchzahlen zeigen, dass es hauptsächlich dazu dient, das Arbeiten zu vereinfachen mathematische Größen. Dieses Format hat auch Nachteile - um beispielsweise periodische Brüche in einen Dezimalbruch zu schreiben, muss man auch eine Zahl in Klammern hinzufügen, und irrationale Zahlen im Dezimalformat haben immer einen ungefähren Wert. Beim derzeitigen Entwicklungsstand der Menschen und ihrer Technologien ist es jedoch viel bequemer zu verwenden als das übliche Format zum Aufzeichnen von Brüchen.

Um eine rationale Zahl m / n als Dezimalbruch zu schreiben, müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren. In diesem Fall wird der Quotient als endlicher oder unendlicher Dezimalbruch geschrieben.

Schreiben Sie die angegebene Zahl als Dezimalzahl.

Lösung. Teilen Sie den Zähler jedes Bruchs durch seinen Nenner: a) teile 6 durch 25; b) dividiere 2 durch 3; in) Teilen Sie 1 durch 2 und addieren Sie dann den resultierenden Bruch zur Einheit - den ganzzahligen Teil dieser gemischten Zahl.

Nicht reduzierbare gewöhnliche Brüche, deren Nenner keine anderen Primteiler enthalten als 2 und 5 , werden als letzter Dezimalbruch geschrieben.

BEI Beispiel 1 im Fall von a) Nenner 25=5 5; im Fall von in) der Nenner ist 2, also haben wir das Finale Dezimalstellen 0,24 und 1,5. Im Fall von b) der Nenner ist 3, also kann das Ergebnis nicht als letzte Dezimalzahl geschrieben werden.

Ist es möglich, ohne in eine Spalte zu dividieren, einen solchen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, dessen Nenner außer 2 und 5 keine anderen Teiler enthält? Finden wir es heraus! Welcher Bruch heißt Dezimalzahl und wird ohne Bruchstrich geschrieben? Antwort: ein Bruch mit einem Nenner von 10; 100; 1000 usw. Und jede dieser Zahlen ist ein Produkt gleich Anzahl Zweier und Fünfer. Eigentlich: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 usw.

Daher muss der Nenner eines irreduziblen gewöhnlichen Bruchs als Produkt von Zweien und Fünfen dargestellt und dann mit 2 und (oder) 5 multipliziert werden, sodass die Zweien und Fünfen gleich werden. Dann ist der Nenner des Bruchs gleich 10 oder 100 oder 1000 usw. Damit sich der Wert des Bruchs nicht ändert, multiplizieren wir den Zähler des Bruchs mit derselben Zahl, mit der der Nenner multipliziert wurde.

Drücken Sie die folgenden Brüche als Dezimalzahl aus:

Lösung. Jeder dieser Brüche ist irreduzibel. Lassen Sie uns den Nenner jedes Bruchs in Primfaktoren zerlegen.

20=2 2 5. Fazit: Eine "Fünf" fehlt.

8=2 2 2. Fazit: Drei „Fünfer“ reichen nicht aus.

25=5 5. Fazit: zwei "Zweier" fehlen.

Kommentar. In der Praxis verwenden sie oft nicht die Faktorisierung des Nenners, sondern stellen einfach die Frage: Mit wie viel muss der Nenner multipliziert werden, damit das Ergebnis eine Einheit mit Nullen ist (10 oder 100 oder 1000 usw.). Und dann wird der Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.

Also für den Fall a)(Beispiel 2) aus der Zahl 20 können Sie 100 erhalten, indem Sie mit 5 multiplizieren, also müssen Sie Zähler und Nenner mit 5 multiplizieren.

Im Fall von b)(Beispiel 2) aus der Zahl 8 wird die Zahl 100 nicht funktionieren, aber die Zahl 1000 wird durch Multiplikation mit 125 erhalten. Sowohl der Zähler (3) als auch der Nenner (8) des Bruchs werden mit 125 multipliziert.

Im Fall von in)(Beispiel 2) aus 25 ergibt 100 multipliziert mit 4. Das bedeutet, dass der Zähler 8 auch mit 4 multipliziert werden muss.

Ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem sich eine oder mehrere Ziffern immer in derselben Reihenfolge wiederholen, wird aufgerufen Zeitschrift Dezimalbruch. Die Menge der sich wiederholenden Ziffern wird als Periode dieses Bruchs bezeichnet. Der Kürze halber wird der Punkt eines Bruchs einmal geschrieben und in Klammern eingeschlossen.

Im Fall von b)(Beispiel 1) die sich wiederholende Ziffer ist eins und gleich 6. Daher wird unser Ergebnis 0,66... ​​​​wie folgt geschrieben: 0,(6) . Sie lauten: null ganze Zahlen, sechs im Punkt.

Stehen zwischen dem Komma und dem ersten Punkt eine oder mehrere nicht wiederkehrende Ziffern, so wird ein solcher periodischer Bruch als gemischter periodischer Bruch bezeichnet.

Ein irreduzibler gemeinsamer Bruch, dessen Nenner zusammen mit anderen Multiplikator enthält Multiplikator 2 oder 5 , wird gemischt periodischer Bruch.

Schreibe die Zahl als Dezimalzahl.

In diesem Artikel werden wir analysieren, wie gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln, und betrachten Sie auch den umgekehrten Vorgang - die Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche. Hier nennen wir die Regeln für das Umkehren von Brüchen und geben detaillierte Lösungen für typische Beispiele.

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Gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Lassen Sie uns die Reihenfolge angeben, in der wir uns damit befassen werden gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

Wir werden uns zuerst ansehen, wie gemeinsame Brüche mit den Nennern 10, 100, 1.000, … darstellen als Dezimalbrüche. Denn Dezimalbrüche sind im Wesentlichen eine kompakte Form gewöhnlicher Brüche mit den Nennern 10, 100, ....

Danach gehen wir weiter und zeigen, wie jeder gewöhnliche Bruch (nicht nur mit den Nennern 10, 100, ...) als Dezimalbruch geschrieben werden kann. Bei dieser Umwandlung gewöhnlicher Brüche erhält man sowohl endliche Dezimalbrüche als auch unendliche periodische Dezimalbrüche.

Jetzt über alles in Ordnung.

Gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche umwandeln

Einige reguläre Brüche müssen vor der Umwandlung in Dezimalzahlen „vorbereitet“ werden. Dies gilt für gewöhnliche Brüche, deren Anzahl an Stellen im Zähler kleiner ist als die Anzahl an Nullen im Nenner. Zum Beispiel muss der gewöhnliche Bruch 2/100 zuerst für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden, aber der Bruch 9/10 muss nicht vorbereitet werden.

Die „Vorbereitung“ richtiger gewöhnlicher Brüche für die Umwandlung in Dezimalbrüche besteht darin, im Zähler links so viele Nullen hinzuzufügen, dass die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Zum Beispiel sieht ein Bruch nach dem Hinzufügen von Nullen so aus.

Nachdem du den richtigen gewöhnlichen Bruch vorbereitet hast, kannst du damit beginnen, ihn in einen Dezimalbruch umzuwandeln.

Geben wir Regel zur Umwandlung eines echten gemeinsamen Bruchs mit einem Nenner von 10 oder 100 oder 1.000, ... in einen Dezimalbruch. Es besteht aus drei Schritten:

• notiere 0 ;
• setze einen Dezimalpunkt dahinter;
• notieren Sie die Zahl aus dem Zähler (zusammen mit hinzugefügten Nullen, falls wir sie hinzugefügt haben).

Betrachten Sie die Anwendung dieser Regel beim Lösen von Beispielen.

Beispiel.

Wandle den richtigen Bruch 37/100 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Der Nenner enthält die Zahl 100, die zwei Nullen in ihrem Eintrag hat. Der Zähler enthält die Zahl 37, es gibt zwei Ziffern in seinem Datensatz, daher muss dieser Bruch nicht für die Umwandlung in einen Dezimalbruch vorbereitet werden.

Jetzt schreiben wir 0, setzen einen Dezimalpunkt und schreiben die Zahl 37 aus dem Zähler, während wir den Dezimalbruch 0,37 erhalten.

Antworten:

0,37 .

Um die Fähigkeiten zum Übersetzen regelmäßiger gewöhnlicher Brüche mit den Zählern 10, 100, ... in Dezimalbrüche zu festigen, analysieren wir die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Schreibe den richtigen Bruch 107/10.000.000 als Dezimalzahl.

Lösung.

Die Anzahl der Ziffern im Zähler ist 3 und die Anzahl der Nullen im Nenner ist 7, also muss dieser gewöhnliche Bruch für die Umwandlung in Dezimalzahlen vorbereitet werden. Wir müssen links im Zähler 7-3=4 Nullen hinzufügen, damit die Gesamtzahl der Ziffern dort gleich der Anzahl der Nullen im Nenner wird. Wir bekommen .

Es bleibt der gewünschte Dezimalbruch zu bilden. Dazu schreiben wir erstens 0 auf, zweitens setzen wir ein Komma, drittens schreiben wir die Zahl aus dem Zähler samt Nullen auf 0000107 , als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 0.0000107 .

Antworten:

0,0000107 .

Unechte gemeinsame Brüche müssen nicht vorbereitet werden, wenn sie in Dezimalbrüche umgewandelt werden. Folgendes sollte eingehalten werden Regeln zur Umwandlung von unechten gemeinsamen Brüchen mit den Nennern 10, 100, ... in Dezimalbrüche:

• notieren Sie die Zahl vom Zähler;
• Wir trennen mit einem Dezimalpunkt so viele Ziffern rechts, wie Nullen im Nenner des ursprünglichen Bruchs vorhanden sind.

Analysieren wir die Anwendung dieser Regel beim Lösen eines Beispiels.

Beispiel.

Wandeln Sie unechten gemeinsamen Bruch 56 888 038 009/100 000 in Dezimalzahl um.

Lösung.

Erstens schreiben wir die Zahl vom Zähler 56888038009 auf und zweitens trennen wir 5 Ziffern rechts mit einem Dezimalpunkt, da im Nenner des ursprünglichen Bruchs 5 Nullen stehen. Als Ergebnis haben wir einen Dezimalbruch 568 880,38009.

Antworten:

568 880,38009 .

In Dezimalzahl umwandeln gemischte Zahl, deren Nenner der Bruchteil die Zahl 10 oder 100 oder 1000, ... ist, können Sie die gemischte Zahl in einen unechten gewöhnlichen Bruch umwandeln, wonach der resultierende Bruch in einen Dezimalbruch umgewandelt wird. Sie können aber auch Folgendes verwenden die Regel zum Umwandeln von gemischten Zahlen mit einem Nenner des Bruchteils 10, oder 100, oder 1.000, ... in Dezimalbrüche:

• gegebenenfalls führen wir eine „Vorbereitung“ des Bruchteils der ursprünglichen gemischten Zahl durch, indem wir links im Zähler die erforderliche Anzahl von Nullen hinzufügen;
• notieren Sie den ganzzahligen Teil der ursprünglichen gemischten Zahl;
• setze einen Dezimalpunkt;
• Wir schreiben die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen.

Betrachten wir ein Beispiel, bei dessen Lösung wir alle notwendigen Schritte ausführen, um eine gemischte Zahl als Dezimalbruch darzustellen.

Beispiel.

Konvertiere gemischte Zahlen in Dezimalzahlen.

Lösung.

Es gibt 4 Nullen im Nenner des Bruchteils und die Zahl 17 im Zähler, die aus 2 Ziffern besteht, daher müssen wir zwei Nullen links im Zähler hinzufügen, damit die Anzahl der Zeichen dort gleich wird Anzahl Nullen im Nenner. Dadurch wird der Zähler 0017 .

Jetzt schreiben wir den ganzzahligen Teil der ursprünglichen Zahl auf, dh die Zahl 23, setzen einen Dezimalpunkt, danach schreiben wir die Zahl aus dem Zähler zusammen mit den hinzugefügten Nullen, dh 0017, während wir die gewünschte Dezimalzahl erhalten Bruchteil 23.0017.

Schreiben wir kurz die ganze Lösung auf: .

Zweifellos war es möglich, die gemischte Zahl zunächst als unechten Bruch darzustellen und dann in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Mit diesem Ansatz sieht die Lösung so aus:

Antworten:

23,0017 .

Konvertieren gewöhnlicher Brüche in endliche und unendliche periodische Dezimalbrüche

Nicht nur gewöhnliche Brüche mit den Nennern 10, 100, ... können in einen Dezimalbruch umgewandelt werden, sondern auch gewöhnliche Brüche mit anderen Nennern. Jetzt werden wir herausfinden, wie das gemacht wird.

In einigen Fällen lässt sich der ursprüngliche gemeinsame Bruch leicht auf einen der Nenner 10 oder 100 oder 1.000, ... reduzieren (siehe einen gemeinsamen Bruch in einen neuen Nenner umwandeln), wonach es nicht schwierig ist, den resultierenden Bruch als Dezimalbruch darzustellen. Zum Beispiel ist es offensichtlich, dass der Bruch 2/5 auf einen Bruch mit einem Nenner 10 reduziert werden kann, dazu müssen Sie den Zähler und den Nenner mit 2 multiplizieren, was einen Bruch 4/10 ergibt, was laut Regeln, die im vorherigen Absatz besprochen wurden, können leicht in einen Dezimalbruch 0, vier umgewandelt werden.

In anderen Fällen müssen Sie einen gewöhnlichen Bruch auf eine andere Weise in einen Dezimalbruch umwandeln, was wir jetzt betrachten werden.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, wird der Zähler des Bruchs durch den Nenner dividiert, der Zähler wird zuvor durch einen ihm gleichen Dezimalbruch mit einer beliebigen Anzahl von Nullen nach dem Dezimalpunkt ersetzt (darüber haben wir im Abschnitt gesprochen gleiche und ungleiche Dezimalstellen). In diesem Fall wird die Division auf die gleiche Weise wie durchgeführt Division durch eine Spalte mit natürlichen Zahlen, und in den Quotienten wird ein Dezimalpunkt gesetzt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Dividenden endet. All dies wird aus den Lösungen der unten angegebenen Beispiele deutlich.

Beispiel.

Wandeln Sie den gewöhnlichen Bruch 621/4 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Wir stellen die Zahl im Zähler 621 als Dezimalbruch dar, indem wir einen Dezimalpunkt und ein paar Nullen dahinter setzen. Zu Beginn fügen wir 2 Ziffern 0 hinzu, später können wir bei Bedarf immer noch weitere Nullen hinzufügen. Wir haben also 621,00 .

Teilen wir nun die Zahl 621.000 durch 4 durch eine Spalte. Die ersten drei Schritte unterscheiden sich nicht von der Division durch eine Spalte natürliche Zahlen, danach kommen wir zu folgendem Bild:

Wir sind also beim Dividenden bis zum Dezimalpunkt gekommen, und der Rest ist von Null verschieden. In diesem Fall setzen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten und setzen die Division durch eine Spalte fort, wobei wir die Kommas ignorieren:

Diese Division ist abgeschlossen und als Ergebnis erhalten wir den Dezimalbruch 155,25, der dem ursprünglichen gewöhnlichen Bruch entspricht.

Antworten:

155,25 .

Um das Material zu konsolidieren, betrachten Sie die Lösung eines anderen Beispiels.

Beispiel.

Wandle den gemeinsamen Bruch 21/800 in eine Dezimalzahl um.

Lösung.

Um diesen gemeinsamen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilen wir den Dezimalbruch 21.000 ... durch 800 durch eine Spalte. Nach dem ersten Schritt müssen wir einen Dezimalpunkt in den Quotienten setzen und dann mit der Division fortfahren:

Schließlich haben wir den Rest 0 erhalten, damit ist die Umwandlung des gewöhnlichen Bruchs 21/400 in den Dezimalbruch abgeschlossen, und wir sind beim Dezimalbruch 0,02625 angelangt.

Antworten:

0,02625 .

Es kann vorkommen, dass wir bei der Division des Zählers durch den Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nie einen Rest von 0 erhalten. In diesen Fällen kann die Teilung beliebig lange fortgesetzt werden. Ab einem bestimmten Schritt beginnen sich die Reste jedoch periodisch zu wiederholen, während sich die Ziffern im Quotienten ebenfalls wiederholen. Das bedeutet, dass in den ursprünglichen gemeinsamen Bruch umgewandelt wird unendlich periodisch dezimal. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel.

Schreibe den gemeinsamen Bruch 19/44 als Dezimalzahl.

Lösung.

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, führen wir eine Division durch eine Spalte durch:

Es ist bereits klar, dass sich beim Dividieren die Reste 8 und 36 zu wiederholen begannen, während sich im Quotienten die Zahlen 1 und 8 wiederholen. Somit wird der ursprüngliche gewöhnliche Bruch 19/44 in einen periodischen Dezimalbruch 0,43181818…=0,43(18) übersetzt.

Antworten:

0,43(18) .

Zum Abschluss dieses Absatzes werden wir herausfinden, welche gewöhnlichen Brüche in endgültige Dezimalbrüche umgewandelt werden können und welche nur in periodische Brüche.

Lass es vor uns sein irreduzibler gemeinsamer Bruch(Wenn der Bruch gekürzt wird, führen wir zuerst aus Fraktionsreduktion), und wir müssen herausfinden, in welchen Dezimalbruch er umgewandelt werden kann - einen endlichen oder einen periodischen.

Es ist klar, dass, wenn ein gewöhnlicher Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... reduziert werden kann, der resultierende Bruch gemäß den im vorherigen Absatz besprochenen Regeln leicht in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden kann. Aber zu den Nennern 10, 100, 1.000 usw. nicht alle gewöhnlichen Brüche sind angegeben. Nur Brüche lassen sich auf solche Nenner kürzen, deren Nenner mindestens eine der Zahlen 10, 100, ... ist. Und welche Zahlen können Teiler von 10, 100, ... sein? Die Zahlen 10, 100, … erlauben uns, diese Frage zu beantworten, und sie lauten wie folgt: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Daraus folgt, dass die Teiler von 10, 100, 1000 usw. es kann nur Zahlen geben, deren Zerlegung in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 enthalten.

Jetzt können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Umwandlung von gewöhnlichen Brüchen in Dezimalbrüche ziehen:

• wenn bei der Zerlegung des Nenners in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und (oder) 5 vorhanden sind, dann kann dieser Bruch in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden;
• wenn es neben zwei und fünf noch andere in der Erweiterung des Nenners gibt Primzahlen, dann wird dieser Bruch in einen unendlichen periodischen Dezimalbruch übersetzt.

Beispiel.

Sagen Sie mir, ohne gewöhnliche Brüche in Dezimalbrüche umzuwandeln, welche der Brüche 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden können und welche nur in einen periodischen Bruch umgewandelt werden können.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 47/20 hat die Form 20=2 2 5 . Da es in dieser Erweiterung nur Zweier und Fünfer gibt, kann dieser Bruch auf einen der Nenner 10, 100, 1000, ... (in diesem Beispiel auf den Nenner 100) reduziert werden, kann also in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden Fraktion.

Die Primfaktorzerlegung des Nenners des Bruchs 7/12 hat die Form 12=2 2 3 . Da er einen von 2 und 5 verschiedenen einfachen Faktor 3 enthält, kann dieser Bruch nicht als endlicher Dezimalbruch dargestellt, sondern in einen periodischen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Fraktion 21/56 - kontrahierbar, nach Reduktion nimmt es die Form 3/8 an. Die Zerlegung des Nenners in Primfaktoren enthält drei Faktoren gleich 2, daher kann der gewöhnliche Bruch 3/8 und damit der Bruch gleich 21/56 in einen endgültigen Dezimalbruch übersetzt werden.

Schließlich ist die Erweiterung des Nenners des Bruchs 31/17 selbst 17, daher kann dieser Bruch nicht in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden, aber er kann in einen unendlich periodischen umgewandelt werden.

Antworten:

47/20 und 21/56 können in eine letzte Dezimalzahl umgewandelt werden, während 7/12 und 31/17 nur in eine periodische Dezimalzahl umgewandelt werden können.

Gewöhnliche Brüche werden nicht in unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahlen umgewandelt

Die Informationen des vorherigen Absatzes werfen die Frage auf: „Kann man einen unendlichen nicht periodischen Bruch erhalten, wenn man den Zähler eines Bruchs durch den Nenner dividiert“?

Antwort: nein. Beim Übersetzen eines gewöhnlichen Bruchs kann entweder ein endlicher Dezimalbruch oder ein unendlicher periodischer Dezimalbruch erhalten werden. Lassen Sie uns erklären, warum das so ist.

Aus Teilbarkeitssätze mit Rest Es ist klar, dass der Rest immer kleiner als der Divisor ist, das heißt, wenn wir eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl q teilen, dann kann nur eine der Zahlen 0, 1, 2, ..., q−1 der Rest sein. Daraus folgt, dass nach der Division des ganzzahligen Teils des Zählers eines gewöhnlichen Bruchs durch den Nenner q nach nicht mehr als q Schritten eine der beiden folgenden Situationen eintritt:

• Entweder wir erhalten den Rest 0 , dies beendet die Division und wir erhalten den letzten Dezimalbruch;
• oder wir erhalten einen Rest, der bereits zuvor aufgetreten ist, wonach sich die Reste wie im vorherigen Beispiel zu wiederholen beginnen (da beim Teilen gleicher Zahlen durch q gleiche Reste erhalten werden, was aus dem bereits erwähnten Teilbarkeitssatz folgt), so ein unendlicher periodischer Dezimalbruch wird erhalten.

Es kann keine anderen Optionen geben, daher kann bei der Umwandlung eines gewöhnlichen Bruchs in einen Dezimalbruch kein unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch erhalten werden.

Aus der Begründung in diesem Absatz folgt auch, dass die Länge der Periode eines Dezimalbruchs immer kleiner ist als der Wert des Nenners des entsprechenden gewöhnlichen Bruchs.

Wandeln Sie Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie man einen Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandelt. Beginnen wir damit, letzte Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Betrachten Sie danach die Methode zum Invertieren unendlicher periodischer Dezimalbrüche. Lassen Sie uns abschließend sagen, dass es unmöglich ist, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln.

Konvertieren von Enddezimalzahlen in gewöhnliche Brüche

Einen gewöhnlichen Bruch zu erhalten, der als letzter Dezimalbruch geschrieben wird, ist ziemlich einfach. Die Regel zum Umwandeln eines letzten Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch besteht aus drei Schritten:

• Schreiben Sie zuerst den angegebenen Dezimalbruch in den Zähler, nachdem Sie zuvor den Dezimalpunkt und alle Nullen auf der linken Seite, falls vorhanden, verworfen haben.
• zweitens schreibe eins in den Nenner und füge so viele Nullen hinzu, wie es Nachkommastellen im ursprünglichen Dezimalbruch gibt;
• Drittens reduzieren Sie gegebenenfalls den resultierenden Bruch.

Betrachten wir Beispiele.

Beispiel.

Wandle die Dezimalzahl 3,025 in einen gewöhnlichen Bruch um.

Lösung.

Wenn wir den Dezimalpunkt im ursprünglichen Dezimalbruch entfernen, erhalten wir die Zahl 3025. Es hat links keine Nullen, die wir verwerfen würden. Also schreiben wir in den Zähler des erforderlichen Bruchs 3025.

Wir schreiben die Zahl 1 in den Nenner und fügen rechts davon 3 Nullen hinzu, da im ursprünglichen Dezimalbruch 3 Stellen nach dem Komma stehen.

Wir haben also einen gewöhnlichen Bruchteil 3 025/1 000. Dieser Bruch kann um 25 reduziert werden, erhalten wir .

Antworten:

.

Beispiel.

Konvertieren Sie die Dezimalzahl 0,0017 in einen gewöhnlichen Bruch.

Lösung.

Ohne Dezimalpunkt sieht der ursprüngliche Dezimalbruch wie 00017 aus, wenn wir die Nullen links weglassen, erhalten wir die Zahl 17, die der Zähler des gewünschten gewöhnlichen Bruchs ist.

In den Nenner schreiben wir eine Einheit mit vier Nullen, da im ursprünglichen Dezimalbruch 4 Nachkommastellen stehen.

Als Ergebnis haben wir einen gewöhnlichen Bruchteil 17/10.000. Dieser Bruch ist irreduzibel, und die Umwandlung eines Dezimalbruchs in einen gewöhnlichen Bruch ist abgeschlossen.

Antworten:

.

Wenn der ganzzahlige Teil des ursprünglichen letzten Dezimalbruchs von Null verschieden ist, kann er sofort in eine gemischte Zahl umgewandelt werden, wobei der gewöhnliche Bruch umgangen wird. Geben wir Regel zur Umwandlung einer letzten Dezimalzahl in eine gemischte Zahl:

• die Zahl vor dem Komma muss als ganzzahliger Teil der gewünschten gemischten Zahl geschrieben werden;
• in den Zähler des Bruchteils müssen Sie die aus dem Bruchteil des ursprünglichen Dezimalbruchs erhaltene Zahl schreiben, nachdem Sie alle Nullen links darin verworfen haben;
• in den Nenner des Bruchteils müssen Sie die Zahl 1 schreiben, zu der rechts so viele Nullen hinzugefügt werden, wie Ziffern in der Eingabe des ursprünglichen Dezimalbruchs nach dem Dezimalpunkt vorhanden sind.
• kürzen Sie gegebenenfalls den Bruchteil der resultierenden gemischten Zahl.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Umwandlung eines Dezimalbruchs in eine gemischte Zahl.

Beispiel.

Drücken Sie die Dezimalzahl 152,06005 als gemischte Zahl aus