Beispiele in einer Spalte für 4. Subtraktion in einer Spalte. Division natürlicher Zahlen

Anweisungen

Testen Sie zunächst die Multiplikationsfähigkeiten Ihres Kindes. Wenn ein Kind das Einmaleins nicht genau kennt, kann es auch Probleme mit der Division haben. Wenn Sie dann die Division erklären, können Sie einen Blick auf den Spickzettel werfen, müssen aber trotzdem die Tabelle lernen.

Schreiben Sie Dividend und Divisor mit einem vertikalen Trennbalken. Unter dem Divisor notieren Sie die Antwort – den Quotienten – und trennen ihn durch eine horizontale Linie. Nehmen Sie die erste Ziffer von 372 und fragen Sie Ihr Kind, wie oft die Zahl sechs in drei „passt“. Das stimmt, überhaupt nicht.

Nehmen Sie dann zwei Zahlen – 37. Der Übersichtlichkeit halber können Sie sie mit einer Ecke hervorheben. Wiederholen Sie die Frage noch einmal – wie oft ist die Zahl Sechs in 37 enthalten. Um schnell zu zählen, wird es nützlich sein. Setzen Sie die Antwort zusammen: 6*4 = 24 – überhaupt nicht ähnlich; 6*5 = 30 – fast 37. Aber 37-30 = 7 – sechs wird wieder „passen“. Schließlich ist 6*6 = 36, 37-36 = 1 – passend. Die erste Ziffer des gefundenen Quotienten ist 6. Schreiben Sie sie unter den Divisor.

Schreiben Sie 36 unter die Zahl 37 und zeichnen Sie eine Linie. Zur Verdeutlichung können Sie das Zeichen in der Aufnahme verwenden. Tragen Sie unter die Linie den Rest ein – 1. Senken Sie nun die nächste Ziffer der Zahl, zwei, auf eins ab – es stellt sich heraus, dass sie 12 ist. Erklären Sie dem Kind, dass Zahlen immer eine nach der anderen „absteigen“. Fragen Sie noch einmal, wie viele „Sechser“ es in 12 gibt. Die Antwort ist 2, dieses Mal ohne Rest. Schreiben Sie die zweite Ziffer des Quotienten neben die erste. Das Endergebnis ist 62.

Betrachten Sie auch den Fall der Teilung im Detail. Beispiel: 167/6 = 27, Rest 5. Höchstwahrscheinlich hat Ihr Kind noch nichts über einfache Brüche gehört. Stellt er aber Fragen, lässt sich anhand des Beispiels Äpfel erklären, wie es mit dem Rest weitergeht. 167 Äpfel wurden auf sechs Personen verteilt. Jeder bekam 27 Stück und fünf Äpfel blieben ungeteilt. Sie können sie auch teilen, indem Sie jede in sechs Scheiben schneiden und gleichmäßig verteilen. Jede Person bekam von jedem Apfel eine Scheibe – 1/6. Und da es fünf Äpfel gab, hatte jeder fünf Scheiben – 5/6. Das heißt, das Ergebnis kann wie folgt geschrieben werden: 27 5/6.

Einstellige natürliche Zahlen lassen sich leicht im Kopf dividieren. Aber wie dividiert man mehrstellige Zahlen? Wenn eine Zahl bereits mehr als zwei Ziffern hat, kann das mentale Zählen viel Zeit in Anspruch nehmen und die Fehleranfälligkeit beim Arbeiten mit mehrstelligen Zahlen steigt.

Die Spaltendivision ist eine praktische Methode, die häufig zum Dividieren mehrstelliger natürlicher Zahlen verwendet wird. Dieser Methode ist dieser Artikel gewidmet. Im Folgenden sehen wir uns an, wie man eine lange Division durchführt. Schauen wir uns zunächst den Algorithmus zum Teilen einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl in eine Spalte und dann einer mehrstelligen durch eine mehrstellige Zahl an. Neben der Theorie liefert der Artikel praktische Beispiele zur Langdivision.

Am bequemsten ist es, Notizen auf kariertem Papier zu machen, da die Linien bei Berechnungen verhindern, dass Sie sich bei den Ziffern verwirren. Zuerst werden Dividend und Divisor von links nach rechts in einer Zeile geschrieben und dann durch ein spezielles Divisionszeichen in einer Spalte getrennt, die wie folgt aussieht:

Nehmen wir an, wir müssen 6105 durch 55 teilen. Schreiben wir:

Unter dem Dividenden schreiben wir Zwischenberechnungen und unter dem Divisor das Ergebnis. Im Allgemeinen sieht das Spaltenaufteilungsschema so aus:

Bitte beachten Sie, dass Berechnungen freien Platz auf der Seite benötigen. Darüber hinaus sind die Berechnungen umso umfangreicher, je größer der Unterschied in den Ziffern von Dividende und Divisor ist.

Beispielsweise benötigt die Division der Zahlen 614.808 und 51.234 weniger Platz als die Division der Zahl 8.058 durch 4. Auch wenn im zweiten Fall die Zahlen kleiner sind, ist der Unterschied in der Anzahl der Ziffern größer und die Berechnungen werden umständlicher. Lassen Sie uns dies veranschaulichen:

Praktische Fertigkeiten lassen sich am bequemsten anhand einfacher Beispiele üben. Teilen wir daher die Zahlen 8 und 2 in eine Spalte auf. Natürlich lässt sich diese Operation leicht im Kopf oder mit der Multiplikationstabelle durchführen, aber eine detaillierte Analyse wird der Klarheit dienen, auch wenn wir bereits wissen, dass 8 ÷ 2 = 4.

Also schreiben wir zunächst den Dividenden und den Divisor nach der Spaltenteilungsmethode auf.

Im nächsten Schritt gilt es herauszufinden, wie viele Teiler die Dividende enthält. Wie kann man das machen? Wir multiplizieren den Divisor nacheinander mit 0, 1, 2, 3. . Dies machen wir so lange, bis das Ergebnis eine Zahl ist, die gleich oder größer als die Dividende ist. Wenn das Ergebnis sofort eine Zahl ergibt, die dem Dividenden entspricht, schreiben wir unter den Divisor die Zahl, mit der der Divisor multipliziert wurde.

Andernfalls, wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als der Dividend ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl. Anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Kehren wir zum Beispiel zurück.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 4 = 8

Wir erhielten also sofort eine Zahl, die der Dividende entspricht. Wir schreiben es unter den Dividenden und schreiben an die Stelle des Quotienten die Zahl 4, mit der wir den Divisor multipliziert haben.

Jetzt müssen nur noch die Zahlen unter dem Divisor subtrahiert werden (ebenfalls mit der Spaltenmethode). In unserem Fall ist 8 - 8 = 0.

In diesem Beispiel werden Zahlen ohne Rest dividiert. Die nach der Subtraktion erhaltene Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die Zahlen ohne Rest dividiert.

Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem Zahlen durch einen Rest dividiert werden. Teilen Sie die natürliche Zahl 7 durch die natürliche Zahl 3.

In diesem Fall die sequentielle Multiplikation von drei mit 0, 1, 2, 3. . wir erhalten als Ergebnis:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Unter die Dividende schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl. Mit dem Divisor schreiben wir die Zahl 2 auf – den unvollständigen Quotienten, den wir im vorletzten Schritt erhalten haben. Mit zwei multiplizierten wir den Divisor, als wir 6 erhielten.

Um die Operation abzuschließen, subtrahieren Sie 6 von 7 und erhalten:

In diesem Beispiel werden Zahlen durch einen Rest dividiert. Der Teilquotient ist 2 und der Rest ist 1.

Nachdem wir nun elementare Beispiele betrachtet haben, gehen wir nun zur Aufteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen in einstellige Zahlen über.

Wir betrachten den Spaltenteilungsalgorithmus am Beispiel der Division der mehrstelligen Zahl 140288 durch die Zahl 4. Sagen wir gleich, dass es viel einfacher ist, das Wesen der Methode anhand praktischer Beispiele zu verstehen, und dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da es alle möglichen Nuancen der Division natürlicher Zahlen in einer Spalte veranschaulicht.

1. Schreiben Sie die Zahlen zusammen mit dem Divisionszeichen in eine Spalte. Schauen Sie sich nun die erste Ziffer links in der Dividendennotation an. Zwei Fälle sind möglich: Die durch diese Ziffer definierte Zahl ist größer als der Teiler und umgekehrt. Im ersten Fall arbeiten wir mit dieser Zahl, im zweiten Fall nehmen wir zusätzlich die nächste Ziffer in der Dividendenschreibweise und arbeiten mit der entsprechenden zweistelligen Zahl. In Übereinstimmung mit diesem Punkt markieren wir im Beispieldatensatz die Nummer, mit der wir zunächst arbeiten werden. Diese Zahl ist 14, weil die erste Ziffer des Dividenden 1 kleiner ist als der Divisor 4.

2. Bestimmen Sie, wie oft der Zähler in der resultierenden Zahl enthalten ist. Bezeichnen wir diese Zahl als x = 14. Wir multiplizieren nacheinander den Teiler 4 mit jedem Mitglied der Reihe natürlicher Zahlen ℕ, einschließlich Null: 0, 1, 2, 3 und so weiter. Dies machen wir so lange, bis wir als Ergebnis x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn das Ergebnis der Multiplikation die Zahl 14 ist, schreiben wir sie gemäß den Regeln für das Schreiben von Subtraktionen in eine Spalte unter die hervorgehobene Zahl. Der Faktor, mit dem der Divisor multipliziert wurde, steht unter dem Divisor. Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl größer als x ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten (unter dem Divisor) den Faktor, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde im vorletzten Schritt.

Gemäß dem Algorithmus haben wir:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Unter die hervorgehobene Zahl schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl 12. Anstelle des Quotienten schreiben wir den Faktor 3.

3. Subtrahieren Sie mithilfe einer Spalte 12 von 14 und schreiben Sie das Ergebnis unter die horizontale Linie. Analog zum ersten Punkt vergleichen wir die resultierende Zahl mit dem Divisor.

4. Die Zahl 2 ist kleiner als die Zahl 4, also notieren wir unter der horizontalen Linie nach den beiden die Zahl, die sich in der nächsten Ziffer des Dividenden befindet. Wenn der Dividend keine weiteren Ziffern mehr enthält, endet die Division. In unserem Beispiel schreiben wir nach der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl 2 die nächste Ziffer der Dividende – 0. Als Ergebnis notieren wir eine neue Arbeitsnummer - 20.

Wichtig!

Die Punkte 2 - 4 werden zyklisch wiederholt, bis die Operation der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

2. Zählen wir noch einmal, wie viele Teiler die Zahl 20 enthält. 4 mit 0, 1, 2, 3 multiplizieren. . wir bekommen:

Da wir als Ergebnis eine Zahl gleich 20 erhalten haben, schreiben wir diese unter die markierte Zahl und anstelle des Quotienten schreiben wir in die nächste Ziffer 5 – den Faktor, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde.

3. Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da die Zahlen gleich sind, ergibt sich die Zahl Null: 20 - 20 = 0.

4. Wir werden die Zahl Null nicht aufschreiben, da diese Phase- noch nicht das Ende der Teilung. Erinnern wir uns einfach an die Stelle, an der wir es aufschreiben könnten, und schreiben wir daneben die Zahl ab der nächsten Ziffer der Dividende. In unserem Fall ist die Zahl 2.

Wir nehmen diese Zahl als Arbeitszahl und führen erneut die Schritte des Algorithmus aus.

2. Multiplizieren Sie den Divisor mit 0, 1, 2, 3. . und vergleichen Sie das Ergebnis mit der markierten Zahl.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Dementsprechend schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 und unter den Divisor in der nächsten Ziffer des Quotienten schreiben wir ebenfalls 0.

3. Führen Sie die Subtraktionsoperation durch und schreiben Sie das Ergebnis unter die Zeile.

4. Fügen Sie rechts unter der Zeile die Zahl 8 hinzu, da dies die nächste Ziffer der zu dividierenden Zahl ist.

Somit erhalten wir eine neue Arbeitsnummer - 28. Wir wiederholen die Punkte des Algorithmus noch einmal.

Nachdem wir alles nach den Regeln gemacht haben, erhalten wir das Ergebnis:

Wir verschieben die letzte Ziffer der Dividende unter die Linie - 8. Wir wiederholen die Algorithmuspunkte 2 – 4 ein letztes Mal und erhalten:

Ganz unten in der Zeile schreiben wir die Zahl 0. Diese Nummer wird erst in der letzten Phase der Division geschrieben, wenn der Vorgang abgeschlossen ist.

Das Ergebnis der Division der Zahl 140228 durch 4 ist also die Zahl 35072. Dieses Beispiel wurde sehr detailliert analysiert und bei der Lösung praktischer Aufgaben ist es nicht erforderlich, alle Aktionen so ausführlich zu beschreiben.

Wir geben weitere Beispiele für die Aufteilung von Zahlen in eine Spalte und Beispiele für das Schreiben von Lösungen.

Beispiel 1. Spaltenteilung natürlicher Zahlen

Teilen Sie die natürliche Zahl 7136 durch die natürliche Zahl 9.

Nach dem zweiten, dritten und vierten Schritt des Algorithmus hat der Datensatz die Form:

Wiederholen wir den Zyklus:

Der letzte Durchgang, und wir lesen das Ergebnis:

Antwort: Der Teilquotient von 7136 und 9 ist 792 und der Rest ist 8.

Bei der Lösung praktischer Beispiele ist es ideal, auf Erläuterungen in Form von verbalen Kommentaren gänzlich zu verzichten.

Beispiel 2. Aufteilen natürlicher Zahlen in eine Spalte

Teilen Sie die Zahl 7042035 durch 7.

Antwort: 1006005

Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen

Der Algorithmus zum Teilen mehrstelliger Zahlen in eine Spalte ist dem zuvor diskutierten Algorithmus zum Teilen einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl sehr ähnlich. Genauer gesagt betreffen die Änderungen nur den ersten Punkt, während die Punkte 2 – 4 unverändert bleiben.
Wenn wir bei der Division durch eine einstellige Zahl nur auf die erste Ziffer des Dividenden geschaut haben, schauen wir uns jetzt so viele Ziffern an, wie der Divisor enthält. Wenn die durch diese Ziffern bestimmte Zahl größer als der Divisor ist, Wir nehmen es als Arbeitsnummer. Andernfalls fügen wir eine weitere Ziffer von der nächsten Ziffer des Dividenden hinzu. Dann folgen wir den Schritten des oben beschriebenen Algorithmus.

Die Division natürlicher Zahlen, insbesondere mehrstelliger Zahlen, erfolgt zweckmäßigerweise nach einer speziellen Methode, die aufgerufen wird Division durch eine Spalte (in einer Spalte). Dort finden Sie auch den Namen Eckteilung. Beachten wir gleich, dass die Spalte sowohl zur Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch zur Division natürlicher Zahlen mit Rest verwendet werden kann.

In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie lange die Division durchgeführt wird. Hier werden wir über die Aufzeichnungsregeln und alle Zwischenberechnungen sprechen. Konzentrieren wir uns zunächst auf die Division einer mehrstelligen natürlichen Zahl durch eine einstellige Zahl mit einer Spalte. Danach konzentrieren wir uns auf Fälle, in denen sowohl der Dividend als auch der Divisor mehrwertige natürliche Zahlen sind. Die gesamte Theorie dieses Artikels wird mit typischen Beispielen der Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen mit detaillierten Erklärungen zur Lösung und Abbildungen versehen.

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Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte

Beginnen wir mit dem Studium der Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse bei der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Nehmen wir gleich an, dass es am bequemsten ist, die Spalteneinteilung beim Schreiben auf Papier mit einer karierten Linie vorzunehmen – auf diese Weise ist die Wahrscheinlichkeit geringer, dass man von der gewünschten Zeile und Spalte abweicht.

Zuerst werden Dividend und Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach wird ein Symbol der Form zwischen die geschriebenen Zahlen gezeichnet. Wenn der Dividend beispielsweise die Zahl 6 105 und der Divisor 5 5 ist, dann sieht ihre korrekte Aufzeichnung bei der Aufteilung in eine Spalte wie folgt aus:

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an, um zu veranschaulichen, wo die Dividenden-, Divisor-, Quotienten-, Rest- und Zwischenberechnungen bei der langen Division geschrieben werden müssen.

Aus dem obigen Diagramm geht hervor, dass der erforderliche Quotient (oder der unvollständige Quotient bei Division mit Rest) unterhalb des Divisors unter der horizontalen Linie geschrieben wird. Und Zwischenberechnungen werden unterhalb der Dividende durchgeführt, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. In diesem Fall sollten Sie sich an der Regel orientieren: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Einträgen von Dividend und Divisor ist, desto mehr Platz wird benötigt. Wenn Sie beispielsweise die natürliche Zahl 614.808 durch 51.234 durch eine Spalte dividieren (614.808 ist eine sechsstellige Zahl, 51.234 ist eine fünfstellige Zahl, beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen 6 − 5 = 1), mittel Berechnungen benötigen weniger Platz als bei der Division der Zahlen 8 058 und 4 (hier beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen 4 − 1 = 3). Um unsere Worte zu bestätigen, präsentieren wir vollständige Aufzeichnungen der Division durch eine Spalte dieser natürlichen Zahlen:

Jetzt können Sie direkt mit der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte fortfahren.

Spaltendivision einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Spaltendivisionsalgorithmus

Es ist klar, dass die Division einer einstelligen natürlichen Zahl durch eine andere recht einfach ist und es keinen Grund gibt, diese Zahlen in eine Spalte aufzuteilen. Es wird jedoch hilfreich sein, Ihre anfänglichen Fähigkeiten im Bereich der Langdivision anhand dieser einfachen Beispiele zu üben.

Beispiel.

Wir müssen mit einer Spalte von 8 durch 2 dividieren.

Lösung.

Natürlich können wir eine Division mithilfe der Multiplikationstabelle durchführen und sofort die Antwort 8:2=4 aufschreiben.

Uns interessiert aber, wie man diese Zahlen durch eine Spalte dividiert.

Zuerst schreiben wir den Dividenden 8 und den Divisor 2 auf, wie es die Methode erfordert:

Jetzt beginnen wir herauszufinden, wie oft der Divisor im Dividenden enthalten ist. Dazu multiplizieren wir den Divisor nacheinander mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis das Ergebnis eine Zahl ist, die dem Dividenden entspricht (oder eine Zahl größer als der Dividenden, wenn es sich um eine Division mit Rest handelt). ). Wenn wir eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, schreiben wir sie sofort unter den Dividenden und an die Stelle des Quotienten schreiben wir die Zahl, mit der wir den Divisor multipliziert haben. Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als der Dividend ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Los geht's: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2·4=8. Wir haben eine Zahl erhalten, die dem Dividenden entspricht, also schreiben wir sie unter den Dividenden und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 4. In diesem Fall hat die Aufzeichnung folgende Form:

Der letzte Schritt der Division einstelliger natürlicher Zahlen mit einer Spalte bleibt bestehen. Unter der unter dem Dividenden geschriebenen Zahl müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen und die Zahlen über dieser Linie auf die gleiche Weise subtrahieren, wie Sie es beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte tun. Die aus der Subtraktion resultierende Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest dividiert.

In unserem Beispiel erhalten wir

Jetzt haben wir eine fertige Aufzeichnung der Spaltenteilung der Zahl 8 durch 2 vor uns. Wir sehen, dass der Quotient von 8:2 4 ist (und der Rest 0 ist).

Antwort:

8:2=4 .

Schauen wir uns nun an, wie eine Spalte einstellige natürliche Zahlen durch einen Rest dividiert.

Beispiel.

Teilen Sie mit einer Spalte 7 durch 3.

Lösung.

Im Anfangsstadium sieht der Eintrag so aus:

Wir beginnen herauszufinden, wie oft die Dividende den Divisor enthält. Wir multiplizieren 3 mit 0, 1, 2, 3 usw. bis wir eine Zahl erhalten, die gleich oder größer als die Dividende 7 ist. Wir erhalten 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen). Unter den Dividenden schreiben wir die Zahl 6 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (die Multiplikation wurde damit im vorletzten Schritt durchgeführt).

Es bleibt noch die Subtraktion durchzuführen und die Division durch eine Spalte der einstelligen natürlichen Zahlen 7 und 3 ist abgeschlossen.

Somit ist der Teilquotient 2 und der Rest ist 1.

Antwort:

7:3=2 (Rest. 1) .

Jetzt können Sie mit der Division mehrstelliger natürlicher Zahlen durch Spalten in einstellige natürliche Zahlen fortfahren.

Jetzt werden wir es herausfinden Langdivisionsalgorithmus. In jeder Phase präsentieren wir die Ergebnisse, die wir durch Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 erhalten. Dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da wir bei der Lösung auf alle möglichen Nuancen stoßen und diese im Detail analysieren können.

Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer links in der Dividendenschreibweise an. Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Teiler ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden zur Betrachtung hinzufügen und mit der Zahl weiterarbeiten, die durch die beiden betrachteten Ziffern bestimmt wird. Der Einfachheit halber heben wir in unserer Notation die Zahl hervor, mit der wir arbeiten werden.

Die erste Ziffer von links in der Notation des Dividenden 140288 ist die Ziffer 1. Die Zahl 1 ist kleiner als der Teiler 4, daher schauen wir uns auch die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden an. Gleichzeitig sehen wir die Zahl 14, mit der wir weiter arbeiten müssen. Wir heben diese Zahl in der Notation der Dividende hervor.

Die folgenden Schritte vom zweiten bis zum vierten werden zyklisch wiederholt, bis die Division der natürlichen Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

Jetzt müssen wir bestimmen, wie oft der Divisor in der Zahl enthalten ist, mit der wir arbeiten (der Einfachheit halber bezeichnen wir diese Zahl als x). Dazu multiplizieren wir den Teiler nacheinander mit 0, 1, 2, 3, ..., bis wir die Zahl x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn wir die Zahl x erhalten haben, schreiben wir sie gemäß den Aufzeichnungsregeln, die beim Subtrahieren natürlicher Zahlen in einer Spalte verwendet werden, unter die hervorgehobene Zahl. Anstelle des Quotienten wird beim ersten Durchlauf des Algorithmus die Zahl geschrieben, mit der die Multiplikation durchgeführt wurde (in nachfolgenden Durchgängen von 2-4 Punkten des Algorithmus wird diese Zahl rechts von den bereits vorhandenen Zahlen geschrieben). Wenn eine Zahl erhalten wird, die größer als die Zahl x ist, schreiben wir unter die markierte Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des Quotienten (oder rechts von den bereits vorhandenen Zahlen) schreiben wir die Zahl von wobei die Multiplikation im vorletzten Schritt durchgeführt wurde. (In den beiden oben besprochenen Beispielen haben wir ähnliche Aktionen durchgeführt).

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die gleich 14 oder größer als 14 ist. Wir haben 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Da wir im letzten Schritt die Zahl 16 erhalten haben, die größer als 14 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 12, die wir im vorletzten Schritt erhalten haben, und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 3, da in am vorletzten Punkt wurde die Multiplikation genau dadurch durchgeführt.

Subtrahieren Sie zu diesem Zeitpunkt mithilfe einer Spalte die darunter liegende Zahl von der ausgewählten Zahl. Das Ergebnis der Subtraktion wird unter die horizontale Linie geschrieben. Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion an diesem Punkt ist die allerletzte Aktion, die den Prozess der langen Division vollständig abschließt). Hier wäre es zur eigenen Kontrolle nicht verkehrt, das Ergebnis der Subtraktion mit dem Divisor zu vergleichen und darauf zu achten, dass dieser kleiner als der Divisor ist. Ansonsten ist irgendwo ein Fehler passiert.

Wir müssen die Zahl 12 mit einer Spalte von der Zahl 14 subtrahieren (für die Richtigkeit der Aufzeichnung müssen wir daran denken, links von den zu subtrahierenden Zahlen ein Minuszeichen zu setzen). Nach Abschluss dieser Aktion erschien die Nummer 2 unter der horizontalen Linie. Nun überprüfen wir unsere Berechnungen, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor vergleichen. Da die Zahl 2 kleiner als der Teiler 4 ist, können Sie sicher zum nächsten Punkt übergehen.

Nun schreiben wir unter der horizontalen Linie rechts von den dort stehenden Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir die Null nicht notiert haben) die Zahl, die sich in derselben Spalte in der Notation des Dividenden befindet. Wenn in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Zahlen vorhanden sind, endet die Division durch die Spalte dort. Danach wählen wir die unter der horizontalen Linie gebildete Zahl aus, akzeptieren sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Punkte 2 bis 4 des Algorithmus.

Unter der horizontalen Linie rechts neben der bereits vorhandenen Zahl 2 schreiben wir die Zahl 0, da es sich bei der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte um die Zahl 0 handelt. Somit wird unter der horizontalen Linie die Zahl 20 gebildet.

Wir wählen diese Zahl 20, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Aktionen des zweiten, dritten und vierten Punktes des Algorithmus.

Multiplizieren Sie den Teiler 4 mit 0, 1, 2, ..., bis wir die Zahl 20 oder eine Zahl größer als 20 erhalten. Wir haben 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da wir gleiche natürliche Zahlen subtrahieren, ist das Ergebnis aufgrund der Eigenschaft, gleiche natürliche Zahlen zu subtrahieren, Null. Wir schreiben die Null nicht auf (da dies nicht die letzte Stufe der Division mit einer Spalte ist), aber wir merken uns die Stelle, an der wir sie schreiben könnten (der Einfachheit halber markieren wir diese Stelle mit einem schwarzen Rechteck).

Unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Stelle schreiben wir die Zahl 2, da genau diese in der Aufzeichnung der Dividende 140.288 in dieser Spalte steht. Unter der horizontalen Linie haben wir also die Zahl 2.

Wir nehmen die Zahl 2 als Arbeitszahl, markieren sie und müssen erneut die Aktionen von 2-4 Punkten des Algorithmus ausführen.

Wir multiplizieren den Teiler mit 0, 1, 2 usw. und vergleichen die resultierenden Zahlen mit der markierten Zahl 2. Wir haben 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Daher schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und an die Stelle des Quotienten rechts von der bereits vorhandenen Zahl schreiben wir die Zahl 0 (wir haben im vorletzten Schritt mit 0 multipliziert). ).

Führen wir die Subtraktion in einer Spalte durch, erhalten wir die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Wir überprüfen uns selbst, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor 4 vergleichen. Seit 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

Fügen Sie unter der horizontalen Linie rechts neben der Zahl 2 die Zahl 8 hinzu (da sie in dieser Spalte im Eintrag für die Dividende 140 288 steht). Somit erscheint die Zahl 28 unter der horizontalen Linie.

Wir nehmen diese Nummer als Arbeitsnummer, markieren sie und wiederholen die Schritte 2-4.

Wenn Sie bisher vorsichtig vorgegangen sind, sollte es hier keine Probleme geben. Nach Abschluss aller notwendigen Schritte erhält man das folgende Ergebnis.

Jetzt müssen Sie nur noch die Schritte aus den Punkten 2, 3, 4 ein letztes Mal ausführen (das überlassen wir Ihnen), danach erhalten Sie ein vollständiges Bild der Aufteilung der natürlichen Zahlen 140,288 und 4 in eine Spalte:

Bitte beachten Sie, dass ganz unten in der Zeile die Zahl 0 steht. Wenn dies nicht der letzte Schritt der Division durch eine Spalte wäre (das heißt, wenn in der Aufzeichnung des Dividenden noch Zahlen in den rechten Spalten vorhanden wären), würden wir diese Null nicht schreiben.

Wenn wir uns also die vollständige Aufzeichnung der Division der mehrstelligen natürlichen Zahl 140.288 durch die einstellige natürliche Zahl 4 ansehen, sehen wir, dass der Quotient die Zahl 35.072 ist (und der Rest der Division ist Null, er steht ganz unten). Linie).

Wenn Sie natürliche Zahlen durch eine Spalte dividieren, werden Sie natürlich nicht alle Ihre Aktionen so detailliert beschreiben. Ihre Lösungen werden in etwa wie die folgenden Beispiele aussehen.

Beispiel.

Führen Sie eine lange Division durch, wenn der Dividend 7 136 beträgt und der Divisor eine einstellige natürliche Zahl 9 ist.

Lösung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zur Division natürlicher Zahlen durch Spalten erhalten wir eine Aufzeichnung der Form

Nachdem die Aktionen aus dem zweiten, dritten und vierten Punkt des Algorithmus ausgeführt wurden, nimmt der Spaltenteilungsdatensatz die Form an

Wir werden den Zyklus wiederholen

Ein weiterer Durchgang wird uns ein vollständiges Bild der Spalteneinteilung der natürlichen Zahlen 7.136 und 9 geben

Somit beträgt der Teilquotient 792 und der Rest 8.

Antwort:

7 136:9=792 (Rest. 8) .

Und dieses Beispiel zeigt, wie eine lange Division aussehen sollte.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 7.042.035 durch die einstellige natürliche Zahl 7.

Lösung.

Die bequemste Art der Aufteilung ist die Aufteilung nach Spalten.

Antwort:

7 042 035:7=1 006 005 .

Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen

Wir beeilen uns, Ihnen eine Freude zu machen: Wenn Sie den Spaltenteilungsalgorithmus aus dem vorherigen Absatz dieses Artikels gründlich beherrschen, wissen Sie fast schon, wie er vorgeht Spaltenteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen. Dies ist richtig, da die Stufen 2 bis 4 des Algorithmus unverändert bleiben und im ersten Punkt nur geringfügige Änderungen auftreten.

Im ersten Schritt der Aufteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen in eine Spalte müssen Sie nicht auf die erste Ziffer links in der Notation des Dividenden achten, sondern auf deren Anzahl, die der Anzahl der in der Notation enthaltenen Ziffern entspricht des Divisors. Wenn die durch diese Zahlen definierte Zahl größer als der Teiler ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links in der Notation des Dividenden in die Betrachtung einbeziehen. Danach werden die in den Absätzen 2, 3 und 4 des Algorithmus genannten Aktionen ausgeführt, bis das Endergebnis vorliegt.

Bleibt nur noch, die Anwendung des Spaltenteilungsalgorithmus für mehrwertige natürliche Zahlen in der Praxis beim Lösen von Beispielen zu sehen.

Beispiel.

Führen wir eine Spaltendivision der mehrstelligen natürlichen Zahlen 5.562 und 206 durch.

Lösung.

Da der Divisor 206 drei Ziffern enthält, betrachten wir die ersten drei Ziffern links im Dividenden 5.562. Diese Zahlen entsprechen der Zahl 556. Da 556 größer als der Teiler 206 ist, nehmen wir die Zahl 556 als Arbeitszahl, wählen sie aus und fahren mit der nächsten Stufe des Algorithmus fort.

Nun multiplizieren wir den Teiler 206 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die entweder gleich 556 oder größer als 556 ist. Wir haben (wenn die Multiplikation schwierig ist, dann ist es besser, natürliche Zahlen in einer Spalte zu multiplizieren): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Da wir eine Zahl erhalten haben, die größer als die Zahl 556 ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die Zahl 412 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (da wir damit multipliziert haben). im vorletzten Schritt). Der Spalteneinteilungseintrag hat folgende Form:

Wir führen eine Spaltensubtraktion durch. Wir erhalten die Differenz 144, diese Zahl ist kleiner als der Divisor, sodass Sie die erforderlichen Aktionen sicher weiter ausführen können.

Unter der horizontalen Linie rechts von der dortigen Zahl schreiben wir die Zahl 2, da sie im Datensatz der Dividende 5562 in dieser Spalte steht:

Nun arbeiten wir mit der Zahl 1.442, wählen sie aus und gehen die Schritte zwei bis vier noch einmal durch.

Multiplizieren Sie den Teiler 206 mit 0, 1, 2, 3, ..., bis Sie die Zahl 1442 oder eine Zahl größer als 1442 erhalten. Los geht's: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch, wir erhalten Null, aber wir schreiben sie nicht gleich auf, sondern merken uns nur ihre Position, weil wir nicht wissen, ob die Division hier endet oder ob wir sie wiederholen müssen noch einmal die Schritte des Algorithmus:

Jetzt sehen wir, dass wir unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Position keine Zahl schreiben können, da in der Aufzeichnung des Dividenden in dieser Spalte keine Ziffern vorhanden sind. Damit ist die Division nach Spalte abgeschlossen und wir vervollständigen den Eintrag:

Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.

Ein Säulenrechner für Android-Geräte wird zu einem wunderbaren Assistenten für moderne Schulkinder. Das Programm gibt nicht nur die richtige Antwort auf eine mathematische Operation, sondern demonstriert auch anschaulich deren schrittweise Lösung. Wenn Sie komplexere Rechner benötigen, können Sie sich einen fortgeschrittenen technischen Rechner ansehen.

Besonderheiten

Das Hauptmerkmal des Programms ist die Einzigartigkeit der Berechnung mathematischer Operationen. Durch die Darstellung des Berechnungsvorgangs in einer Spalte können sich Studierende detaillierter damit vertraut machen, den Lösungsalgorithmus verstehen und nicht nur das fertige Ergebnis erhalten und in ein Notizbuch kopieren. Diese Funktion hat einen großen Vorteil gegenüber anderen Taschenrechnern, weil... In der Schule verlangen Lehrer häufig, dass Zwischenberechnungen aufgeschrieben werden, um sicherzustellen, dass der Schüler sie im Kopf durchführt und den Algorithmus zur Lösung von Problemen wirklich versteht. Übrigens haben wir ein anderes Programm ähnlicher Art –.

Um das Programm verwenden zu können, müssen Sie einen Spaltenrechner für Android herunterladen. Dies können Sie auf unserer Website völlig kostenlos ohne zusätzliche Registrierungen oder SMS tun. Nach der Installation öffnet sich die Hauptseite in Form eines Notizbuchblatts in einem Käfig, auf dem tatsächlich die Ergebnisse der Berechnungen und deren detaillierte Lösung angezeigt werden. Unten befindet sich ein Panel mit Schaltflächen:

Zahlen.
Zeichen arithmetischer Operationen.
Zuvor eingegebene Zeichen löschen.

Die Eingabe erfolgt nach dem gleichen Prinzip wie bei. Der einzige Unterschied besteht in der Anwendungsoberfläche – alle mathematischen Berechnungen und ihre Ergebnisse werden in einem virtuellen Schülernotizbuch angezeigt.

Mit der Anwendung können Sie für ein Schulkind schnell und korrekt mathematische Standardberechnungen durchführen:

Multiplikation;
Aufteilung;
Zusatz;
Subtraktion.

Eine nette Ergänzung der App ist die tägliche Erinnerungsfunktion für Mathe-Hausaufgaben. Wenn Sie möchten, machen Sie Ihre Hausaufgaben. Um es zu aktivieren, gehen Sie zu den Einstellungen (klicken Sie auf die zahnradförmige Schaltfläche) und aktivieren Sie das Erinnerungskästchen.

Vorteile und Nachteile

Hilft dem Schüler nicht nur, schnell das richtige Ergebnis mathematischer Berechnungen zu erhalten, sondern auch das Berechnungsprinzip selbst zu verstehen.
Eine sehr einfache, intuitive Benutzeroberfläche für jeden Benutzer.
Sie können die Anwendung sogar auf dem preisgünstigsten Android-Gerät mit Betriebssystem 2.2 und höher installieren.
Der Rechner speichert einen Verlauf der durchgeführten mathematischen Berechnungen, der jederzeit gelöscht werden kann.

Der Rechner ist in seinen mathematischen Operationen eingeschränkt und kann daher nicht für komplexe Berechnungen verwendet werden, die ein technischer Rechner bewältigen könnte. Angesichts des Zwecks der Anwendung selbst, Grundschülern das Prinzip der Spaltenrechnung anschaulich zu veranschaulichen, sollte dies jedoch nicht als Nachteil angesehen werden.

Die Anwendung wird auch ein hervorragender Helfer nicht nur für Schulkinder sein, sondern auch für Eltern, die ihr Kind für Mathematik interessieren und ihm beibringen möchten, Berechnungen korrekt und konsistent durchzuführen. Wenn Sie die Column Calculator-Anwendung bereits verwendet haben, hinterlassen Sie Ihre Eindrücke unten in den Kommentaren.

In der Schule werden diese Handlungen von einfach bis komplex gelernt. Daher ist es unbedingt erforderlich, den Algorithmus zur Durchführung dieser Operationen anhand einfacher Beispiele gründlich zu verstehen. Damit es später keine Schwierigkeiten gibt, Dezimalbrüche in eine Spalte aufzuteilen. Schließlich ist dies die schwierigste Variante solcher Aufgaben.

Dieses Thema erfordert ein konsequentes Studium. Wissenslücken sind hier nicht akzeptabel. Diesen Grundsatz sollte jeder Schüler bereits in der ersten Klasse erlernen. Wenn Sie also mehrere Lektionen hintereinander verpassen, müssen Sie sich den Stoff selbst aneignen. Ansonsten kommt es später nicht nur in der Mathematik zu Problemen, sondern auch in anderen damit zusammenhängenden Fächern.

Die zweite Voraussetzung für ein erfolgreiches Mathematikstudium besteht darin, erst dann mit Beispielen der langen Division fortzufahren, wenn Addition, Subtraktion und Multiplikation beherrscht werden.

Für ein Kind wird es schwierig sein, zu dividieren, wenn es das Einmaleins nicht gelernt hat. Übrigens ist es besser, es anhand der Pythagoras-Tabelle zu lehren. Es gibt nichts Überflüssiges und die Multiplikation ist in diesem Fall einfacher zu erlernen.

Wie werden natürliche Zahlen in einer Spalte multipliziert?

Wenn beim Lösen von Beispielen in einer Spalte für Division und Multiplikation Schwierigkeiten auftreten, sollten Sie beginnen, das Problem mit der Multiplikation zu lösen. Da die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist:

Bevor Sie zwei Zahlen multiplizieren, müssen Sie sie sorgfältig betrachten. Wählen Sie diejenige mit mehr Ziffern (länger) und schreiben Sie sie zuerst auf. Legen Sie den zweiten darunter. Darüber hinaus müssen die Nummern der entsprechenden Kategorie derselben Kategorie zugeordnet sein. Das heißt, die Ziffer ganz rechts der ersten Zahl sollte über der Ziffer ganz rechts der zweiten liegen.
Multiplizieren Sie die Ziffer ganz rechts der unteren Zahl mit jeder Ziffer der oberen Zahl, beginnend von rechts. Schreiben Sie die Antwort so unter die Zeile, dass die letzte Ziffer unter der Zahl liegt, mit der Sie multipliziert haben.
Wiederholen Sie dasselbe mit einer weiteren Ziffer der niedrigeren Zahl. Das Ergebnis der Multiplikation muss jedoch um eine Ziffer nach links verschoben werden. In diesem Fall liegt die letzte Ziffer unter derjenigen, mit der sie multipliziert wurde.

Setzen Sie diese Multiplikation in einer Spalte fort, bis die Zahlen im zweiten Faktor aufgebraucht sind. Jetzt müssen sie gefaltet werden. Dies wird die Antwort sein, nach der Sie suchen.

Algorithmus zur Multiplikation von Dezimalzahlen

Zunächst müssen Sie sich vorstellen, dass die angegebenen Brüche keine Dezimalzahlen, sondern natürliche Brüche sind. Entfernen Sie also die Kommas und verfahren Sie dann wie im vorherigen Fall beschrieben.

Der Unterschied beginnt, wenn die Antwort niedergeschrieben wird. In diesem Moment ist es notwendig, alle Zahlen zu zählen, die in beiden Brüchen nach dem Komma erscheinen. Genau so viele davon müssen vom Ende der Antwort an gezählt und dort ein Komma gesetzt werden.

Es ist praktisch, diesen Algorithmus anhand eines Beispiels zu veranschaulichen: 0,25 x 0,33:

Wo fange ich an, Division zu lernen?

Bevor Sie Beispiele für lange Divisionen lösen, müssen Sie sich die Namen der Zahlen merken, die im Beispiel für lange Divisionen vorkommen. Der erste von ihnen (derjenige, der geteilt wird) ist teilbar. Der zweite (geteilt durch) ist der Divisor. Die Antwort ist privat.

Anschließend erklären wir anhand eines einfachen Alltagsbeispiels die Essenz dieser mathematischen Operation. Wenn Sie beispielsweise 10 Süßigkeiten nehmen, können Sie diese problemlos gleichmäßig zwischen Mama und Papa aufteilen. Aber was ist, wenn Sie sie Ihren Eltern und Ihrem Bruder geben müssen?

Anschließend können Sie sich mit den Teilungsregeln vertraut machen und diese anhand konkreter Beispiele erlernen. Zuerst einfache, dann gehen wir zu immer komplexeren über.

Algorithmus zum Aufteilen von Zahlen in eine Spalte

Zunächst stellen wir das Verfahren für natürliche Zahlen vor, die durch eine einstellige Zahl teilbar sind. Sie bilden auch die Grundlage für mehrstellige Teiler oder Dezimalbrüche. Erst dann sollten Sie kleine Änderungen vornehmen, aber dazu später mehr:

Bevor Sie eine lange Division durchführen, müssen Sie herausfinden, wo sich Dividend und Divisor befinden.
Notieren Sie die Dividende. Rechts davon befindet sich der Teiler.
Zeichnen Sie links und unten eine Ecke in der Nähe der letzten Ecke.
Bestimmen Sie den unvollständigen Dividenden, also die Zahl, die für die Division minimal ist. Normalerweise besteht es aus einer Ziffer, maximal aus zwei.
Wählen Sie die Zahl aus, die in der Antwort zuerst geschrieben wird. Es sollte die Häufigkeit sein, mit der der Divisor in den Dividenden passt.
Notieren Sie das Ergebnis der Multiplikation dieser Zahl mit dem Divisor.
Schreiben Sie es unter die unvollständige Dividende. Führen Sie eine Subtraktion durch.
Addiere zum Rest die erste Ziffer nach dem bereits geteilten Teil.
Wählen Sie erneut die Nummer für die Antwort.
Wiederholen Sie die Multiplikation und Subtraktion. Wenn der Rest Null ist und die Dividende vorbei ist, ist das Beispiel beendet. Andernfalls wiederholen Sie die Schritte: Zahl entfernen, Zahl aufnehmen, multiplizieren, subtrahieren.

Wie löst man eine lange Division, wenn der Divisor mehr als eine Ziffer hat?

Der Algorithmus selbst stimmt vollständig mit dem oben Beschriebenen überein. Die Differenz entspricht der Anzahl der Stellen der unvollständigen Dividende. Jetzt sollten es mindestens zwei sein, aber wenn sie kleiner als der Divisor sind, müssen Sie mit den ersten drei Ziffern arbeiten.

In dieser Unterteilung gibt es noch eine weitere Nuance. Tatsache ist, dass der Rest und die dazu addierte Zahl manchmal nicht durch den Divisor teilbar sind. Dann müssen Sie der Reihe nach eine weitere Nummer hinzufügen. Aber die Antwort muss Null sein. Wenn Sie dreistellige Zahlen in eine Spalte unterteilen, müssen Sie möglicherweise mehr als zwei Ziffern entfernen. Dann wird eine Regel eingeführt: Die Antwort sollte eine Null weniger enthalten als die Anzahl der entfernten Ziffern.

Sie können diese Aufteilung am Beispiel 12082:863 betrachten.

Es stellt sich heraus, dass der darin enthaltene unvollständige Dividend die Zahl 1208 ist. Die Zahl 863 kommt darin nur einmal vor. Daher soll die Antwort 1 sein und unter 1208 863 schreiben.
Nach der Subtraktion beträgt der Rest 345.
Sie müssen die Nummer 2 hinzufügen.
Die Zahl 3452 enthält viermal 863.
Vier müssen als Antwort aufgeschrieben werden. Darüber hinaus ist dies genau die Zahl, die man erhält, wenn man sie mit 4 multipliziert.
Der Rest nach der Subtraktion ist Null. Das heißt, die Teilung ist abgeschlossen.

Die Antwort im Beispiel wäre die Zahl 14.

Was passiert, wenn die Dividende bei Null endet?

Oder ein paar Nullen? In diesem Fall ist der Rest Null, der Dividend enthält aber immer noch Nullen. Es besteht kein Grund zur Verzweiflung, alles ist einfacher, als es scheint. Es reicht aus, einfach alle Nullen, die ungeteilt bleiben, zur Antwort hinzuzufügen.

Beispielsweise müssen Sie 400 durch 5 teilen. Die unvollständige Dividende ist 40. Fünf passt achtmal hinein. Das bedeutet, dass die Antwort als 8 geschrieben werden sollte. Beim Subtrahieren bleibt kein Rest übrig. Das heißt, die Division ist abgeschlossen, es verbleibt aber eine Null im Dividenden. Es muss der Antwort hinzugefügt werden. Die Division von 400 durch 5 ergibt also 80.

Was tun, wenn Sie einen Dezimalbruch dividieren müssen?

Auch diese Zahl sieht wie eine natürliche Zahl aus, wenn da nicht das Komma wäre, das den ganzen Teil vom Bruchteil trennt. Dies legt nahe, dass die Aufteilung von Dezimalbrüchen in eine Spalte der oben beschriebenen ähnelt.

Der einzige Unterschied wird das Semikolon sein. Es soll in die Antwort eingefügt werden, sobald die erste Ziffer aus dem Bruchteil entfernt wird. Anders ausgedrückt: Wenn Sie mit dem Teilen des gesamten Teils fertig sind, setzen Sie ein Komma und fahren Sie mit der Lösung fort.

Wenn Sie Beispiele für lange Divisionen mit Dezimalbrüchen lösen, müssen Sie bedenken, dass dem Teil nach dem Dezimalpunkt beliebig viele Nullen hinzugefügt werden können. Manchmal ist dies notwendig, um die Zahlen zu vervollständigen.

Division zweier Dezimalstellen

Es mag kompliziert erscheinen. Aber nur am Anfang. Schließlich ist bereits klar, wie man eine Spalte mit Brüchen durch eine natürliche Zahl dividiert. Das bedeutet, dass wir dieses Beispiel auf eine bereits bekannte Form reduzieren müssen.

Es ist einfach zu machen. Sie müssen beide Brüche mit 10, 100, 1.000 oder 10.000 multiplizieren, und vielleicht auch mit einer Million, wenn das Problem dies erfordert. Der Multiplikator soll basierend auf der Anzahl der Nullen im Dezimalteil des Divisors ausgewählt werden. Das heißt, das Ergebnis ist, dass Sie den Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren müssen.

Und das wird das Worst-Case-Szenario sein. Schließlich kann es vorkommen, dass der Dividend aus dieser Operation eine ganze Zahl wird. Dann wird die Lösung des Beispiels mit Spaltenteilung von Brüchen auf die einfachste Option reduziert: Operationen mit natürlichen Zahlen.

Als Beispiel: 28,4 durch 3,2 dividieren:

Sie müssen zunächst mit 10 multipliziert werden, da die zweite Zahl nur eine Nachkommastelle hat. Durch Multiplikation erhält man 284 und 32.
Sie sollen getrennt werden. Darüber hinaus beträgt die ganze Zahl 284 mal 32.
Die erste für die Antwort gewählte Zahl ist 8. Die Multiplikation ergibt 256. Der Rest ist 28.
Die Aufteilung des gesamten Teils ist beendet und in der Antwort ist ein Komma erforderlich.
Entfernen bis zum Rest 0.
Nimm wieder 8.
Rest: 24. Addiere eine weitere 0 dazu.
Jetzt müssen Sie 7 nehmen.
Das Ergebnis der Multiplikation ist 224, der Rest ist 16.
Nimm eine weitere 0. Nimm jeweils 5 und du erhältst genau 160. Der Rest ist 0.

Die Teilung ist abgeschlossen. Das Ergebnis von Beispiel 28.4:3.2 ist 8,875.

Was ist, wenn der Teiler 10, 100, 0,1 oder 0,01 ist?

Genau wie bei der Multiplikation ist hier keine lange Division erforderlich. Es reicht aus, das Komma für eine bestimmte Anzahl von Ziffern einfach in die gewünschte Richtung zu verschieben. Darüber hinaus können Sie mit diesem Prinzip Beispiele sowohl mit ganzen Zahlen als auch mit Dezimalbrüchen lösen.

Wenn Sie also durch 10, 100 oder 1.000 dividieren müssen, wird der Dezimalpunkt um die gleiche Anzahl an Stellen nach links verschoben, wie der Divisor Nullen enthält. Das heißt, wenn eine Zahl durch 100 teilbar ist, muss der Dezimalpunkt um zwei Stellen nach links verschoben werden. Wenn der Dividend eine natürliche Zahl ist, wird davon ausgegangen, dass das Komma am Ende steht.

Diese Aktion führt zum gleichen Ergebnis, als ob die Zahl mit 0,1, 0,01 oder 0,001 multipliziert würde. In diesen Beispielen wird das Komma auch um eine Anzahl von Ziffern nach links verschoben, die der Länge des Nachkommateils entspricht.

Bei der Division durch 0,1 (usw.) oder der Multiplikation mit 10 (usw.) sollte sich der Dezimalpunkt um eine Ziffer (oder zwei, drei, abhängig von der Anzahl der Nullen oder der Länge des Nachkommateils) nach rechts verschieben.

Es ist zu beachten, dass die Anzahl der im Dividenden angegebenen Ziffern möglicherweise nicht ausreicht. Dann können die fehlenden Nullen links (im ganzen Teil) oder rechts (nach dem Komma) hinzugefügt werden.

Division periodischer Brüche

In diesem Fall ist es nicht möglich, bei der Aufteilung in eine Spalte eine genaue Antwort zu erhalten. Wie löst man ein Beispiel, wenn man auf einen Bruch mit Punkt stößt? Hier müssen wir zu gewöhnlichen Brüchen übergehen. Und teilen Sie sie dann nach den zuvor erlernten Regeln auf.

Beispielsweise müssen Sie 0,(3) durch 0,6 teilen. Der erste Bruch ist periodisch. Es wird in den Bruch 3/9 umgewandelt, der reduziert 1/3 ergibt. Der zweite Bruch ist die letzte Dezimalzahl. Es ist noch einfacher, es wie gewohnt aufzuschreiben: 6/10, was 3/5 entspricht. Die Regel für die Division gewöhnlicher Brüche erfordert, dass die Division durch Multiplikation und der Divisor durch den Kehrwert ersetzt wird. Das heißt, das Beispiel läuft darauf hinaus, 1/3 mit 5/3 zu multiplizieren. Die Antwort wird 5/9 sein.

Wenn das Beispiel verschiedene Brüche enthält ...

Dann sind mehrere Lösungen möglich. Zunächst können Sie versuchen, einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln. Teilen Sie dann zwei Dezimalzahlen mit dem obigen Algorithmus.

Zweitens kann jeder letzte Dezimalbruch als gemeinsamer Bruch geschrieben werden. Dies ist jedoch nicht immer bequem. Meistens erweisen sich solche Brüche als riesig. Und die Antworten sind umständlich. Daher wird der erste Ansatz als vorzuziehen angesehen.