Ist gültig, aber keine rationalen Beispiele. Rationale Zahlen: Definitionen, Beispiele. Rationale Zahlen. Definitionen

10 - Mathematische Logik i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; b) x ~ y; l) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; c) * xy ; m) (x ∨ y) x ∨ z ; d) xyz; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. Erhalten Sie SDNF und gehen Sie dann zu SCNF: b) * (x → y) → (y → x); 18.* Es sei eine Funktion f (komplexe Aussage) aus drei Argumenten (elementaren Aussagen) x, y, z und f (x, y, z)= x gegeben. Erstellen Sie eine SDNF für diese Funktion. 19. Holen Sie sich SCNF und gehen Sie dann zu SDNF: d) * (x | y) xy ; 20. Ermitteln Sie MDNF für die Formeln: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; h) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* Konstruieren Sie aus den Kontakten x, y, z einen Stromkreis, der genau dann schließt, wenn zwei der drei Kontakte x, y, z geschlossen sind. 24.* Vereinfachen Sie die Diagramme in Abb. 1, a und b. a) b) Abb. 1 - 11 - Mathematische Logik 25.* Schreiben Sie in der Sprache der Prädikate: a) alle Schüler lernen; b) einige Studierende sind ausgezeichnete Studierende; c) für jede Zahl können Sie eine größere Zahl finden; d) x + y = z; e) jedes Objekt hat die Eigenschaft A; f) etwas hat die Eigenschaft A; g) nicht jedes Objekt besitzt die Eigenschaft A; h) etwas hat keine Eigenschaft A; i) jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl; j) einige reelle Zahlen sind rational; k) keine rationale Zahl ist reell; m) Einige rationale Zahlen sind nicht reell. 26.* Versuchen Sie zu erklären, warum in den Übungen 25a und 25i Implikationen und in den Übungen 25b und 25k Konjunktionen verwendet wurden. 27.* Schreiben Sie in der Sprache der Prädikate: a) Kindern unter 16 Jahren (D(x)) und Robotern (R(x)) ist der Zutritt zu (B(x)) verboten; b) alle Kinder unter 16 Jahren (D(x)) und Roboter (R(x)) müssen Zertifikate (C(x)) erwerben. 28.* Schreiben Sie in der Sprache der Prädikate: a) Jedes durch 12 teilbare N ist durch 2, 4 und 6 teilbar; b) jeder Studierende hat mindestens eine Laborarbeit abgeschlossen; c) Eine einzelne Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte. 29. Schreiben Sie in der Sprache der Prädikate: e)* jeder Schüler (C(x)) - Athlet (S(x)) hat ein Idol (y) (B(x,y)) unter Filmkünstlern (K(y) ); e)* wenn einige große Computer (B(x)) mit einem anderen großen Computer (B(y)) verbunden sind (C(x,y)), dann bedeutet das, dass es keine Minicomputer (M(x)) gibt, die dies getan haben Schnittstellenmittel (S(x)); dreißig. * Unter welchen Bedingungen: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ O, a ∀x P(x) ≡ 1; 33.* Dies ist ein inzwischen klassisches Beispiel, das die zusätzlichen Schwierigkeiten verdeutlicht, die mit der Verneinung verbunden sind: Der Satz „Der derzeitige König von Frankreich hat eine Glatze“ ist bekanntermaßen unwahr. Wie schreibe ich das in der Prädikatsprache? LÖSUNGEN UND ANTWORTEN. - 12 - Mathematische Logik 1a. Wählen wir elementare Aussagen auf formale Weise aus: A – der Schüler ist ein ausgezeichneter Schüler; B – der Student engagiert sich in der Sozialarbeit; C – der Student hat Beeinträchtigungen; D – der Student erhält ein Stipendium. Dann ist die symbolische Form der komplexen Aussage A ⋅B⋅C → D. 1b. Eine symbolische Notation kann wie folgt aussehen: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. In der Aussagenlogik sollten Aussagen wie „Es stimmt nicht, dass Petya studiert hat“ als richtig angesehen werden, da Aussagen nicht teilbar sind. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC oder dasselbe, aber in einer einfacheren Form AB ∨ AC ∨ BC. 11b. A B ∨ BC ∨ AC. 13a. xy z . 13. Jahrhundert Die Formel ist bereits in DNF enthalten. Warum? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. Die Formel ist bereits im KNF. Warum? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16a. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16. Jahrhundert (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF fehlt, weil das ist eine Tautologie. - 13 - Mathematische Logik 17b. Dies ist eine Tautologie, daher gibt es kein SKNF dafür. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 Das ist ein Widerspruch, weshalb es dafür kein SKNF gibt. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ y z ∨ y z - SKDNF und MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ y z ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20. Jahrhundert xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20d. A∨C∨ D. 20. x∨z . 20g. x∨z . 20z. xy ∨ x y ∨ xz oder xy ∨ x y ∨ yz. 21. Jahrhundert xy ∨ xz. 21 1. 22. Siehe Abb. 2. - 14 - Mathematische Logik Abb. 2 23a. Siehe Abb. 3. a) b) Abb. 3 23. Vereinfachte Diagramme sehen wie in Abb. aus. 4. a) b) Abb. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), wobei C(x) „x ist ein Student“ und Y(x) „x ist ein Student“ ist. 25b. ∃x (C(x) & O(x)) . 25. Jahrhundert Schreiben wir das zweistellige Prädikat in Form einer gewöhnlichen Relation: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает folgende Lösungen: a) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , was äquivalent ist zu ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; b) Es wäre ein Fehler, ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) zu schreiben, da D(x) & R(x) leer ist. Die richtige Lösung ist ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) oder ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (A(x) → D(x) & H(x) & W(x)). 28b. ∀x ∃y B(x,y) . 28. Jahrhundert ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29d . ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29e. ∃x B(x) & ∀y (C(x,y) → B(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) 30a Wenn x auf einer Domäne eines Elements definiert ist 30b Wenn die Domäne leer ist (aber man kann hier argumentieren) 31. Durch Negationen wird es so sein seien Sätze c und d. Die Antwort kann formal erhalten werden, wenn wir für das Prädikat ∀x ∃y B(x,y) die Negation nehmen und eine äquivalente Transformation durchführen: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Der ursprüngliche Satz selbst in der Sprache der Prädikate wird wie folgt geschrieben: ∃x K(x) & ∀x (K(x )→Ë(x)). In der Literatur wird die Option der „pauschalen“ Verleugnung normalerweise nicht diskutiert, d geklärt werden, was geleugnet wird: die Tatsache der Kahlköpfigkeit des Königs oder die Tatsache der Existenz eines Königs in Frankreich. In diesem Zusammenhang werden zwei Möglichkeiten der Leugnung vorgeschlagen: - 16 - Mathematische Logik ∃x K(x) & ∀x (K(x) → ¬ L(x)); ¬ ∃x K(x) & ∀x (K(x) → L(x)) LITERATUR 1. Kleene S. Mathematische Logik. – M.: Mir, 1973, S. 11 – 126. 2. Stoll R. Sets. Logiken. Axiomatische Theorien. – M.: Bildung, 1968, S. 71 – 93, 108 – 132. 3. Kolmogorov A.N., Dragalin A.G. Einführung in die mathematische Logik. – M.: MSU, 1982, p. 1 – 95. 4. Gilberg D., Bernays P. Grundlagen der Mathematik. Logische Analysis und Formalisierung der Arithmetik. – M.: Science, Bd. 1, S. 23 – 45, 74 – 141. 5. Novikov P.S. Elemente der mathematischen Logik. – M.: Nauka, 1973, S. 36 – 65, 123 – 135. 6. Gindikin S.G. Algebra der Logik in Problemen. – M.: Nauka, 1972.

Praktische Aufgaben für Abschnitt 3

Das Konzept eines Prädikats und Operationen auf ihnen.

3.1. Welche der folgenden Ausdrücke sind Prädikate:

A) " X teilbar durch 5" ( X Î N);

b) „Fluss“ X fließt in den Baikalsee“ ( X verläuft durch viele Namen aller Arten von Flüssen);

V)“ x2 + 2X+ 4" ( XÎ R) ;

G) "( X + bei)2 = x2 + 2Xj + j 2" ( X, jÎ R);

D) " X habe einen Bruder bei» ( x, y viele Leute rennen vorbei);

e)“ X Und bei» ( X, bei die Menge aller Schüler einer bestimmten Gruppe durchgehen);

Und) " X Und bei auf gegenüberliegenden Seiten liegen z» ( X, bei die Menge aller Punkte durchlaufen und z - alle Linien einer Ebene);

h) „ctg 45° = 1“;

Und) " X aufrecht bei» ( X, bei durch die Menge aller Geraden einer Ebene laufen).

3.2. Suchen Sie für jede der folgenden Aussagen ein Prädikat (Einzel oder Plural), das sich in eine gegebene Aussage verwandelt, wenn Sie die Subjektvariablen durch geeignete Werte aus den entsprechenden Domänen ersetzen:

a) „3 + 4 = 7“;

b) „Glaube und Hoffnung sind Schwestern“;

c) „Heute ist Dienstag“;

d) „Die Stadt Saratow liegt am Ufer der Wolga;

e) „sin 30° = 1/2“;

f) „-großer russischer Dichter“;

g) „32 + 42= 52;

h) „Der Fluss Indigirka mündet in den Baikalsee“;

Nachdem Sie ein solches Prädikat konstruiert haben, versuchen Sie, entweder seinen Wahrheitsbereich genau anzugeben oder ihn irgendwie zu umreißen.

Lösung. i) Es können drei Prädikate angegeben werden, von denen jedes durch entsprechende Substitution zu einer gegebenen Aussage wird. Das erste Prädikat ist unär:

"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. Bei der Ersetzung wird daraus diese Aussage. Die resultierende Aussage ist wahr. Der angegebene Wert erschöpft nicht die Mengenwahrheit des konstruierten Prädikats. Wie leicht festzustellen ist, ist diese Menge wie folgt: . Das zweite Prädikat ist ebenfalls unär: „“ (jÎ R). Beim Ersetzen wird daraus diese Aussage y = 1. Es ist klar, dass dieser Wert die Wahrheitsmenge dieses Prädikats erschöpft..png" width="240" height="48">. Bei der Ersetzung wird es zu dieser Aussage: bei= 1. Sein Wahrheitsbereich ist eine Menge geordneter Paare, deren Sammlung grafisch als eine unendliche Familie von Kurven dargestellt wird, die als Tangentenoide bezeichnet werden.

3.3. Lesen Sie die folgenden Aussagen und bestimmen Sie, welche davon wahr und welche falsch sind, unter der Annahme, dass alle Variablen die Menge der reellen Zahlen durchlaufen:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">

l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" relativ zur Variablen X, die durch die Menge R läuft. Man sagt, dass im resultierenden Ausdruck die Variable bei verbunden ist, und die Variable X frei. Anstelle einer Variablen bei wir können nichts mehr ersetzen, stattdessen X reelle Zahlen können ersetzt werden, wodurch das unäre Prädikat in Aussagen übergeht. Beispielsweise die Aussage „ „kann so gelesen werden: „Es gibt eine reelle Zahl.“ bei, so dass X)($y)( X+ bei= 7)“ ist wahr. Es kann wie folgt gelesen werden: „Zu jeder reellen Zahl gibt es eine reelle Zahl, deren Summe mit der ersten 7 ist.“ Im Ausdruck „(“ X)($y)( X+ bei= 7)“ gibt es keine freien Variablen mehr. Beide Variablen X Und bei stehen unter den Vorzeichen von Quantoren und sind daher miteinander verbunden. Der Ausdruck selbst ist kein Prädikat mehr, er ist eine Aussage, wahr, wie wir festgestellt haben. Wenn wir jedoch den Begriff eines Prädikats entwickeln wollen, können wir davon ausgehen, dass eine Aussage ein 0-stelliges Prädikat ist, also ein Prädikat ohne Variablen. Aber wir müssen uns darüber im Klaren sein, dass der quantitative Übergang von einem Ein-Stellen-Prädikat zu einem 0-Stellen-Prädikat zu einem qualitativen Sprung führt, so dass ein 0-Stellen-Prädikat ein qualitativ anderes Objekt ist als ein Ein-Stellen-Prädikat, obwohl wir es bedingt subsumieren unter dem Begriff „Prädikat“.

b) Die Aussage „($у)(“ X)(X+ bei= 7)“ kann wie folgt gelesen werden: „Es gibt eine reelle Zahl, die, wenn man sie zu einer beliebigen reellen Zahl addiert, 7 ergibt.“ Es ist nicht schwer zu erkennen, dass diese Aussage falsch ist. Betrachten Sie tatsächlich das unäre Prädikat „(“ X)(X+ bei= 7)" relativ zur Variablen ja, indem man den existenziellen Quantor anwendet, auf den man die gegebene Aussage erhält. Es ist klar, dass es keine Rolle spielt, welche reelle Zahl die Subjektvariable ersetzt ja, Zum Beispiel "(" X)(X+ 4 = 7)“ wird das Prädikat zu einer falschen Aussage. (Die Aussage "(" X)(X+ 4 = 7)“ ist falsch, da das unäre Prädikat „( X+ 4 = 7)“ wird beispielsweise beim Ersetzen einer Variablen zu einer falschen Aussage X Nummer 5.) Daher ist die Aussage „($y)(“ X)(X+ bei= 7)“, resultierend aus dem unären Prädikat „(“ X)(X+ bei= 7)“ unter Verwendung der Operation, den Existenzquantor durch zu nehmen ja, FALSCH.

i) Diese Aussage kann wie folgt gelesen werden: „Jede reelle Zahl ist genau dann sich selbst gleich, wenn sie größer als 1 oder kleiner als 2 ist.“ Um herauszufinden, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, werden wir versuchen, nach einer solchen reellen Zahl zu suchen x0, was das unäre Prädikat umdrehen würde

in eine Falschaussage umwandeln. Wenn es uns gelingt, eine solche Zahl zu finden, dann ist die gegebene Aussage, die man aus diesem Prädikat durch „Anhängen“ (d. h. Anwenden der Operation des Nehmens) des allgemeinen Quantifizierers erhält, falsch. Wenn wir auf einen Widerspruch stoßen, nehmen wir an, dass es so ist x0 existiert, dann ist die gegebene Aussage wahr.

Es ist klar, dass das Prädikat „ x = x„wird zu einer wahren Aussage, wenn es ersetzt wird X jede reelle Zahl, das heißt, sie ist identisch wahr. Die Frage ist: Ist es möglich, eine reelle Zahl anzugeben, die das Prädikat umwandeln würde? » in eine Falschaussage? Nein, denn egal welche reelle Zahl wir nehmen, sie ist entweder größer als 1 oder kleiner als 2 (oder sowohl größer als 1 als auch kleiner als 2, was in unserem Fall überhaupt nicht verboten ist). Daher ist das Prädikat „ „ist identisch wahr. Dann ist das Prädikat identisch wahr

Und das bedeutet diese Aussage

Per Definition ist die Operation, einen allgemeinen Quantor zu nehmen, wahr.

3.4. Seien P (x) und Q (x) unäre Prädikate, die auf der Menge M definiert sind, sodass die Aussage https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23 ist " height="23">false.

3.5. Bestimmen Sie, ob eines der auf der Menge der reellen Zahlen definierten Prädikate eine Folge eines anderen ist:


a) „| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) „x4 = 16“, „x2 = - 2“;

c) „x – 1 > 0“, „(x – 2) (x + 5) = 0“;

d) „sin x = 3“, „x2 + 5 = 0“;

e) „x2 + 5x - 6 > 0“, „x + 1 = 1 + x“;

e) „x2 £ 0“, „x = sin p“;

g) „x3 – 2x2 – 5h + 6 = 0“, „| x - 2| = 1".

Lösung. g) Das zweite Prädikat wird nur mit zwei Substitutionen zu einer wahren Aussage: x = 1 und x = 3. Es ist leicht zu überprüfen, dass diese Substitutionen auch das erste Prädikat zu einer wahren Aussage machen (sie sind die Wurzeln dieser kubischen Gleichung). . Daher ist das erste Prädikat eine Folge des zweiten.

3.6. Definieren Sie eine Menge M von Werten der Subjektvariablen, sodass auf dieser Menge das zweite Prädikat eine Folge des ersten wäre:

A) " X Vielfaches von 3", " X sogar";

B) " X 2 = 1", " X-1 = 0";

V)“ X seltsam", " X- Quadrat natürliche Zahl»;

G) " X- Raute", " X- Parallelogramm";

D) " X- Parallelogramm", " X- Raute";

e)“ X- Russischer Wissenschaftler“, „ X- Mathematiker“;

Und) " X- Quadrat", " X- Parallelogramm.“

Lösung. g) Da jedes Quadrat ein Parallelogramm ist, kann die Menge aller Vierecke als die Menge angesehen werden, auf der das zweite Prädikat eine Folge des ersten ist.

3.7. Beweisen Sie, dass die Konjunktion eines identisch wahren Prädikats mit einem anderen Prädikat, das von denselben Variablen abhängt, zu letzterem äquivalent ist.

3.8. Beweisen Sie, dass die Implikation zweier Prädikate, die von denselben Variablen abhängen und eine identisch falsche Konsequenz haben, der Negation ihrer Prämisse entspricht.

ANMERKUNGEN IN DER SPRACHE DER PRÄDIKATALGEBRA

und Analyse des Denkens mithilfe der Prädikatenalgebra

Beispiel 1. Was bedeutet die Aussage „Die Linien a und b sind nicht parallel“?

Um die Bedeutung der Formel Ø(a || b) aufzudecken, müssen wir die Negation der Formel $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b) finden. Wir haben Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Aber die Formel Ø$a(a Ì a & b Ì a), die auf Russisch „Es gibt keine Ebene, die sowohl die Linien a als auch b enthält“ bedeutet, vermittelt die Beziehung sich kreuzender Linien, und die Formel a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, übersetzt ins Russische mit dem Satz „Die Linien a und b haben gemeinsame Punkte, fallen aber nicht zusammen“, drückt die Beziehung der Schnittpunkte der Linien aus.

Nichtparallele Linien bedeuten also deren Schnittpunkt oder Kreuzung. Beispiel 2. Schreiben Sie in der Sprache der Prädikatenalgebra die sogenannten „aristotelischen kategorialen Urteile“ auf, die häufig zum Denken verwendet werden: „Alles S Wesen R", "Manche S Wesen R", "Keiner S nicht der Punkt R", "Manche S nicht der Punkt R».

Der Eintrag ist in der Tabelle angegeben. 1.1. Die erste Spalte dieser Tabelle gibt die Art des Urteils an, das entsteht, wenn kategoriale Urteile nach einem komplexen Kriterium klassifiziert werden, das die Menge berücksichtigt (allgemeine und besondere Urteile), ausgedrückt in der Formulierung durch Quantifiziererwörter „alle“, „einige“ und Qualität (positive und negative Urteile), die durch die Konnektive „Wesen“, „nicht das Wesen“, „ist“ vermittelt wird.

Die zweite Spalte enthält die standardmäßige verbale Formulierung von Urteilen in der traditionellen Logik und die fünfte ihre Aufzeichnung in der Sprache der Prädikatenalgebra S(x) muss verstanden werden als „x hat die Eigenschaft S", A P(x)- wie „x hat die Eigenschaft R».

Die vierte Spalte zeigt die Beziehung zwischen den Volumina Vs und VP der Konzepte S Und R, wenn Urteile in den meisten Fällen verstanden werden Gesamtansicht, wenn sie nur zum Thema umfassend informieren. Beispielsweise aus dem Urteil „Alles S Wesen R„Es ist klar, dass wir über alle reden S, der Geltungsbereich des Prädikats ist nicht definiert: Sprechen wir über alle Objekte, die die Eigenschaft haben? P, oder nur über einige; nur wenn S Wesen P, oder andere Objekte sind auch R. Manchmal besteht diese Unsicherheit hinsichtlich des Umfangs des Prädikats R eliminiert den Kontext, manchmal ist diese Eliminierung nicht erforderlich. Um das Verhältnis von Volumen VP zu Volumen Vs hervorzuheben, wird eine spezifischere Formulierung verwendet: „Alle S und nicht nur S Wesen R" oder alle S und nur sie sind die Essenz R" Die zweite Formulierung heißt verallgemeinernd positives Urteil. Das erste Urteil wird durch das in Abb. dargestellte Venn-Diagramm beantwortet. 1, a, zweite - in Abb. 1, geb. Vor diesem Hintergrund lautet das Urteil „Einige S Wesen R„wird im Allgemeinen als „Einige“ verstanden S und sie sind nicht die einzigen R", was dem Diagramm in Abb. entspricht. 2, a, es kann aber auch „Einige“ bedeuten S und nur sie sind die Essenz S"(Abb. 2, b). Das Urteil „Alles S nicht der Punkt R", in allgemeiner Form verstanden, entspricht dem Diagramm in Abb. 3, a. Zum gleichen Urteil in der emphatischen Form „Alles S und nur sie sind es nicht R"antwortet das Diagramm in Abb. 3, geb. Diese Formulierung entspricht der Beschreibung der Beziehung zwischen widersprüchliche Konzepte , d. h. diejenigen, deren Volumina sich nicht überschneiden und das Volumen eines allgemeineren generischen Konzepts erschöpfen. Abschließend fällt das Urteil „Einige S ISS nicht R» entspricht im Großen und Ganzen dem Diagramm in Abb. 4, a und in hervorgehobener Form „Einige S und nur sie sind es nicht R" - Diagramm in Abb. 4, geb. Tabelle 3.1

Art des Urteils

Aufnahme in der traditionellen Logik verbaler Formulierungen

Notation in der Sprache der Prädikatenalgebra

Beziehung zwischen den Volumina Vs und VP

Generell positiv

Alle S Wesen P

Abb.1

Privat bejahend

Manche S Wesen R

Reis. 2

Allgemein negativ

Keiner S nicht der Punkt R

Teilweise negativ

Manche S nicht der Punkt R

Abb.4

Beispiel 3. Analysieren Sie die Argumentation „Alle Menschen sind sterblich; Sokrates ist ein Mann; deshalb ist Sokrates sterblich.“ Die erste Prämisse des Arguments ist eine allgemein bejahende Aussage (siehe Beispiel 2). Führen wir die folgende Notation ein: H(x): x - Person; C (x): x - sterblich; c - Sokrates.

Struktur des Arguments:

"x(H(x)ÞC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)

Es sei (3.1) nicht gültig. Dann muss es in einem Bereich Do eine Menge (a, li(x), lj(x)) für (c, H(x), C(x)) geben, unter der die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.

Aber dann hat die Implikation li(a) Þ lj (a) den Wert A, was nach der Definition des allgemeinen Quantors bedeutet: „x(li(x) Þ lj (x)) = A, was der ersten Bedingung widerspricht.“ Daher ist Korollar 2.8 korrekt und die ursprüngliche Argumentation ist korrekt.

Beispiel 4. Analysieren Sie die Begründung: „Jedes Eishockeyteam, das CSKA besiegen kann, ist ein Major-League-Team.“ Kein Major-League-Team kann CSKA schlagen. Das bedeutet, dass CSKA unbesiegbar ist.“

O-Notation: P(x): Team x kann CSKA besiegen; B(x): Mannschaft x aus der Oberliga.

Struktur des Arguments:

"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).

Ob die resultierende Konsequenz korrekt ist, stellen wir mit der Methode der äquivalenten Transformationen fest. Mit Korollar b) der Verallgemeinerung von Satz 1.10 transformieren wir die Formel „x(P(x) Þ B(x))&“x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x).

Wir haben: „x(P(x) Þ B(x)) & „x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = „x((P(x) Þ B(x ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =

= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.

In diesen äquivalenten Bildungen wurde die Eigenschaft der Konjunktion A & ØA = À zweimal und die Eigenschaft der Disjunktion A Ú A = A einmal verwendet.

Somit ist die ursprüngliche Formel allgemein gültig, die Argumentation also richtig.

Beispiel 5. Analysieren Sie die Begründung: „Wenn irgendein Team CSKA schlagen könnte, dann könnte es auch ein Team aus der obersten Liga schaffen.“ Dynamo (Minsk) ist ein Major-League-Team, kann aber CSKA nicht schlagen. Das bedeutet, dass CSKA unbesiegbar ist.“

Notation: P(x): Team x kann CSKA besiegen; B(x): Mannschaft x aus der Oberliga; d - „Dynamo“ (Minsk).

Struktur des Arguments:

"X P( X) Þ $ X(IN( X)& P( X)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ X P( X). (3.2)

Kommentar. Bei der Formalisierung der Argumentation sollte berücksichtigt werden, dass in der natürlichen Sprache häufig synonyme Phrasen verwendet werden, um häufige Wiederholungen derselben Wörter oder Phrasen zu vermeiden. Es ist klar, dass sie bei der Übersetzung nach der gleichen Formel übermittelt werden müssen. In unserem Beispiel sind solche Synonyme die Prädikate „Befehl“. X kann CSKA schlagen“ und „Team X kann CSKA schlagen“, und beide werden durch die Formel P( X).

Die Implikation von (3.2) ist falsch. Um dies zu beweisen, reicht es aus, mindestens eine Interpretation der Formeln anzugeben, die Prämissen und Schlussfolgerungen ausdrücken, wobei die Prämissen den Wert I und die Schlussfolgerung den Wert L annehmen. Eine solche Interpretation ist beispielsweise die folgende: D = (1, 2, 3, 4) . In dieser Interpretation haben wir nach Berechnungen

I Þ I, I &ØL ├ ØI, oder I, I ├ L.

In dieser Interpretation haben also beide Prämissen den Wert I und die Schlussfolgerung den Wert L. Das bedeutet, dass die folgende (3.2) falsch ist und die Argumentation falsch ist.

3.9. Nachdem Sie geeignete unäre Prädikate für die entsprechenden Domänen eingeführt haben, übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Sprache der Prädikatenalgebra:

a) Alle rationalen Zahlen sind reell.

b) Keine rationale Zahl ist reell.

c) Einige rationale Zahlen sind reell.

d) Einige rationale Zahlen sind nicht reell.

Lösung. Lassen Sie uns die folgenden unären Prädikate einführen

Q(x): « X- Rationale Zahl";

R(x): « X- reelle Zahl."

Dann lautet die Übersetzung der obigen Aussagen in die Sprache der Prädikatenalgebra wie folgt:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">

3.10. Führen Sie unäre Prädikate auf den entsprechenden Domänen ein und schreiben Sie damit die folgenden Aussagen in Form von Prädikatenalgebraformeln auf:

a) Jede durch 12 teilbare natürliche Zahl ist durch 2, 4 und 6 teilbar.

b) Einwohner der Schweiz müssen entweder Französisch, Italienisch oder Deutsch sprechen.

c) Eine im Intervall stetige Funktion behält ihr Vorzeichen oder nimmt einen Nullwert an.

d) Manche Schlangen sind giftig.

e) Alle Hunde haben einen guten Geruchssinn.

3.11. Machen Sie in den folgenden Beispielen dasselbe wie in der vorherigen Aufgabe, ohne sich unbedingt auf unäre Prädikate zu beschränken:


a) Wenn a die Wurzel eines Polynoms in einer Variablen mit reellen Koeffizienten ist, dann ist es auch die Wurzel dieses Polynoms.

b) Zwischen zwei beliebigen Punkten auf einer Geraden liegt mindestens ein Punkt, der nicht mit ihnen zusammenfällt.

c) Es gibt nur eine Gerade, die durch zwei verschiedene Punkte geht.

d) Jeder Studierende hat mindestens eine Laborarbeit abgeschlossen.

e) Wenn das Produkt natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, dann ist mindestens einer der Faktoren durch diese teilbar.

f) Eine einzelne Ebene geht durch drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen.

g) Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen A Und B wird durch jeden gemeinsamen Teiler geteilt.

h) Für jede reelle Zahl X es gibt so etwas bei das für alle z, wenn der Betrag z und 1 weniger bei, dann die Summe X und 2 ist kleiner als 4.

Und) X- Primzahl.

j) Jede gerade Zahl größer als vier ist die Summe zweier Primzahlen (Goldbachs Vermutung).

3.12. Schreiben Sie die folgenden Aussagen in der Sprache der Prädikatenalgebra:

a) Es gibt genau eine X, so dass P(x).

b) Es gibt mindestens zwei verschiedene X, so dass P(x).

c) Es sind nicht mehr als zwei X, so dass P(x).

d) Es gibt genau zwei verschiedene X, so dass P(x).

3.13. Was kann über die Menge M if für ein beliebiges Prädikat gesagt werden? B(x) auf der Menge M ist die Aussage wahr?

3.14. Lassen P(x) bedeutet " X- Primzahl", Ex) bedeutet " X- gerade Zahl", Oh) - « X- ungerade Zahl", D ( X,j) - « X teilt bei" oder " bei geteilt durch X" Übersetzen Sie die folgenden symbolischen Notationen in der Sprache der Prädikatenalgebra ins Russische und berücksichtigen Sie dabei die Variablen X Und bei Durchlaufe die Menge der natürlichen Zahlen:

A) P( 7) ;

B) E ( 2) & P( 2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src=">;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src=">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src=">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?

Die Richtigkeit des Folgenden kann auch mithilfe von Venn-Diagrammen überprüft werden, wenn es sich bei den Prämissen und Schlussfolgerungen um einzelne Prädikate handelt, die von einer Variablen abhängen. Für kategoriale Urteile, die in unserem Beispiel die Prämissen und Schlussfolgerungen sind, die Beziehungen zwischen den Begriffsvolumina S Und R sind in Beispiel 2 beschrieben. Wir werden diese Beschreibung verwenden.

Die Venn-Diagramm-Methode für den Fall mit einer Prämisse lautet wie folgt. Wir stellen mit Diagrammen alle möglichen Fälle von Beziehungen zwischen den Begriffsvolumina dar S Und R, entsprechend dem Paket.

Wenn sich herausstellt, dass die Schlussfolgerung in jedem der resultierenden Diagramme wahr ist, dann ist Folgendes richtig. Wenn die Schlussfolgerung in mindestens einem der Diagramme falsch ist, dann ist das Folgende falsch.

(a) Da die Prämisse ein negativer Satz ist, sind für sie die in Abb. 1 gezeigten Diagramme möglich. 5.

In keinem dieser Diagramme handelt es sich bei dem Urteil um ein bestimmtes bejahendes Urteil, was mögliche Diagramme dafür betrifft in Abb. 6 dargestellt.

Dieser Artikel ist dem Studium des Themas „Rationale Zahlen“ gewidmet. Nachfolgend finden Sie Definitionen rationaler Zahlen, Beispiele und Hinweise zur Bestimmung, ob eine Zahl rational ist oder nicht.

Rationale Zahlen. Definitionen

Bevor wir die Definition rationaler Zahlen geben, erinnern wir uns daran, welche anderen Zahlenmengen es gibt und wie sie miteinander in Beziehung stehen.

Natürliche Zahlen bilden zusammen mit ihren Gegensätzen und der Zahl Null die Menge der ganzen Zahlen. Die Menge der ganzzahligen Bruchzahlen wiederum bildet die Menge der rationalen Zahlen.

Definition 1. Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als positiver gemeinsamer Bruch a b, negativer gemeinsamer Bruch a b oder als Zahl Null dargestellt werden können.

Somit können wir eine Reihe von Eigenschaften rationaler Zahlen beibehalten:

  1. Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl. Offensichtlich kann jede natürliche Zahl n als Bruch 1 n dargestellt werden.
  2. Jede ganze Zahl, einschließlich der Zahl 0, ist eine rationale Zahl. Tatsächlich kann jede positive ganze Zahl und jede negative ganze Zahl leicht als positiver bzw. negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Zum Beispiel: 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
  3. Jeder positive oder negative gemeinsame Bruch a b ist eine rationale Zahl. Dies ergibt sich direkt aus der oben gegebenen Definition.
  4. Jede gemischte Zahl ist rational. Tatsächlich kann eine gemischte Zahl als gewöhnlicher unechter Bruch dargestellt werden.
  5. Jeder endliche oder periodische Dezimalbruch kann als Bruch dargestellt werden. Daher jede periodische oder endliche Dezimal ist eine rationale Zahl.
  6. Unendliche und nichtperiodische Dezimalzahlen sind keine rationalen Zahlen. Sie können nicht in Form gewöhnlicher Brüche dargestellt werden.

Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben. Die Zahlen 5, 105, 358, 1100055 sind natürlich, positiv und ganzzahlig. Offensichtlich handelt es sich hierbei um rationale Zahlen. Die Zahlen - 2, - 358, - 936 sind negative ganze Zahlen und laut Definition auch rational. Die gewöhnlichen Brüche 3 5, 8 7, - 35 8 sind ebenfalls Beispiele für rationale Zahlen.

Die obige Definition rationaler Zahlen kann kürzer formuliert werden. Wir werden noch einmal die Frage beantworten: Was ist eine rationale Zahl?

Definition 2. Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch ± z n dargestellt werden können, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition äquivalent zur vorherigen Definition rationaler Zahlen ist. Denken Sie dabei daran, dass der Bruchstrich dem Divisionszeichen entspricht. Unter Berücksichtigung der Regeln und Eigenschaften der Division ganzer Zahlen können wir die folgenden gerechten Ungleichungen schreiben:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Somit können wir schreiben:

z n = z n , p r und z > 0 0 , p r und z = 0 - z n , p r und z< 0

Eigentlich ist diese Aufnahme ein Beweis. Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben, die auf der zweiten Definition basieren. Betrachten Sie die Zahlen - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 und - 1 3 5. Alle diese Zahlen sind rational, da sie als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner geschrieben werden können: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Geben wir eine andere äquivalente Form für die Definition rationaler Zahlen an.

Definition 3. Rationale Zahlen

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden kann.

Diese Definition folgt direkt aus der allerersten Definition dieses Absatzes.

Fassen wir diesen Punkt zusammen und formulieren wir eine Zusammenfassung:

  1. Positive und negative Brüche und ganze Zahlen bilden die Menge der rationalen Zahlen.
  2. Jede rationale Zahl kann als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden, dessen Zähler eine ganze Zahl und dessen Nenner eine natürliche Zahl ist.
  3. Jede rationale Zahl kann auch als Dezimalbruch dargestellt werden: endlich oder unendlich periodisch.

Welche Zahl ist rational?

Wie wir bereits herausgefunden haben, sind alle natürlichen Zahlen, ganze Zahlen, echte und unechte gewöhnliche Brüche, periodische und endliche Dezimalbrüche rationale Zahlen. Mit diesem Wissen können Sie leicht feststellen, ob eine bestimmte Zahl rational ist.

Allerdings hat man es in der Praxis oft nicht mit Zahlen zu tun, sondern mit numerischen Ausdrücken, die Wurzeln, Potenzen und Logarithmen enthalten. In manchen Fällen ist die Antwort auf die Frage „Ist die Zahl rational?“ nicht ausreichend. ist alles andere als offensichtlich. Schauen wir uns Methoden zur Beantwortung dieser Frage an.

Wenn eine Zahl als Ausdruck angegeben wird, der nur rationale Zahlen und arithmetische Operationen zwischen ihnen enthält, dann ist das Ergebnis des Ausdrucks eine rationale Zahl.

Beispielsweise ist der Wert des Ausdrucks 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) eine rationale Zahl und entspricht 18.

Wenn Sie also einen komplexen numerischen Ausdruck vereinfachen, können Sie feststellen, ob die durch ihn gegebene Zahl rational ist.

Schauen wir uns nun das Zeichen der Wurzel an.

Es stellt sich heraus, dass die Zahl m n, gegeben als Wurzel der Potenz n der Zahl m, nur dann rational ist, wenn m die n-te Potenz einer natürlichen Zahl ist.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Die Nummer 2 ist nicht rational. Während 9, 81 rationale Zahlen sind. 9 und 81 sind perfekte Quadrate der Zahlen 3 bzw. 9. Die Zahlen 199, 28, 15 1 sind keine rationalen Zahlen, da die Zahlen unter dem Wurzelzeichen keine perfekten Quadrate natürlicher Zahlen sind.

Jetzt nehmen wir mehr schwieriger Fall. Ist 243 5 eine rationale Zahl? Wenn Sie 3 in die fünfte Potenz erhöhen, erhalten Sie 243, sodass der ursprüngliche Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden kann: 243 5 = 3 5 5 = 3. Daher ist diese Zahl rational. Nehmen wir nun die Zahl 121 5. Diese Zahl ist irrational, da es keine natürliche Zahl gibt, deren Potenzierung in die fünfte Potenz 121 ergibt.

Um herauszufinden, ob der Logarithmus einer Zahl a zur Basis b eine rationale Zahl ist, müssen Sie die Widerspruchsmethode anwenden. Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, ob die Zahl log 2 5 rational ist. Nehmen wir an, dass diese Zahl rational ist. Wenn dies der Fall ist, kann es in Form eines gewöhnlichen Bruchs log 2 5 = m n geschrieben werden. Entsprechend den Eigenschaften des Logarithmus und den Eigenschaften des Grades gelten folgende Gleichungen:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Offensichtlich ist die letzte Gleichheit unmöglich, da die linke und rechte Seite ungerade bzw. gerade Zahlen enthalten. Daher ist die getroffene Annahme falsch und log 2 5 ist keine rationale Zahl.

Es ist erwähnenswert, dass Sie bei der Bestimmung der Rationalität und Irrationalität von Zahlen keine plötzlichen Entscheidungen treffen sollten. Beispielsweise ist das Ergebnis des Produkts irrationaler Zahlen nicht immer eine irrationale Zahl. Ein anschauliches Beispiel: 2 · 2 = 2.

Es gibt auch irrationale Zahlen, deren Potenzierung eine rationale Zahl ergibt. In einer Potenz der Form 2 log 2 3 sind Basis und Exponent irrationale Zahlen. Die Zahl selbst ist jedoch rational: 2 log 2 3 = 3.

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Problem 2. 1

Drücken Sie die unten aufgeführten symbolischen Aussagen in Worten aus, wenn P(x) ein unäres Prädikat ist, das auf der Menge M definiert ist:

Problem 2. 2

Was passiert mit der Erweiterung des Prädikats A(x), die als Ungleichung x*x definiert ist?<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Problem 2.3

Sei R(x) - „x ist eine reelle Zahl“,

Q(x) – „x ist eine rationale Zahl.“ Schreiben Sie unter Verwendung dieser Symbole die Formel:

1. Alle rationalen Zahlen sind reell

2. Keine rationale Zahl ist reell

3. Einige rationale Zahlen sind real

4. Einige rationale Zahlen sind nicht real

Problem 2.4

Folgende Prädikate wurden eingeführt:

J(x)- „x ist der Richter“,

L(x)- „x ist ein Anwalt“,

S(x)- „x ist ein Gauner“,

Q(x)- „x ist ein alter Mann“,

V(x)- „x – fröhlich“,

P(x)- „x ist ein Politiker“,

C(x)- „x ist Abgeordneter“,

W(x)- „x ist eine Frau“,

U(x)- „x ist eine Hausfrau“,

A(x, y) – „x bewundert y“,

j - Jones.

Finden Sie eine Entsprechung zwischen der verbalen Beschreibung und den Formeln:

    Alle Richter sind Anwälte

    Manche Anwälte sind Betrüger

    Kein Richter ist ein Gauner

    Einige Richter sind alt, aber energisch

    Richter Jones ist weder alt noch gesund

    Nicht alle Anwälte sind Richter

    Einige Anwälte sind Politiker, Parlamentsabgeordnete

    Kein Parlamentsmitglied ist fröhlich

    Alle alten Abgeordneten sind Anwälte

    Einige Frauen sind sowohl Anwältinnen als auch Parlamentsabgeordnete

    Keine Frau ist sowohl Politikerin als auch Hausfrau

    Einige Anwältinnen sind auch Hausfrauen

    Alle Anwältinnen bewundern irgendeinen Richter

    Manche Anwälte bewundern nur Richter

    Manche Anwälte bewundern Frauen

    Manche Gauner bewundern keinen Anwalt

    Richter Jones bewundert keinen Gauner

    Es gibt sowohl Anwälte als auch Gauner, die Richter Jones bewundern

Nur Richter bewundern Richter

A. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))

B. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))

C. "x (C(x) ® ù "(x))

D. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))

e. $x (W(x)/\L(x)/\C(x))

F. $x (W(x)/\L(x)/\U(x))

G. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))

H. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))

J. "x (J(x) ®L(x))

k. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

l. $x (L(x)/\S(x))

M. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))

N. "x (J(x) ® ù S(x))

Ö. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))

P. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))

Q. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

R. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)

S. ù "x (L(x) ®J(x))

T. $x (L(x)/\P(x)/\C(x))

Aufgabe 2.5

Übersetzen Sie die folgenden Sätze in die Formelsprache:

    Wenn jede Zahl durch jede Zahl teilbar ist, dann ist sie gerade

    Für jede reelle Zahl x gibt es ein y, sodass für jedes k, wenn die Summe von k und 1 kleiner als y ist, die Summe von x und 2 kleiner als 4 ist

    Es gibt eine gerade Zahl, die durch jede Zahl teilbar ist, wenn diese Zahl eine Primzahl ist

    Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b ist durch jeden ihrer gemeinsamen Teiler teilbar

    Damit eine Zahl eine Primzahl ist, darf sie nicht durch eine ungerade Zahl teilbar sein

    Für jede reelle Zahl gibt es eine größere reelle Zahl

    Es gibt reelle Zahlen x, y, k, so dass die Summe von x und y größer ist als das Produkt von x und k.

    Wenn das Produkt einer endlichen Anzahl von Faktoren 0 ist, dann ist mindestens einer der Faktoren 0

Aufgabe 2.6

Folgende Prädikate wurden eingeführt:

P(x) – „x ist eine Primzahl“

E(x) – „x ist eine gerade Zahl“

O(x) – „x ist eine ungerade Zahl“

D(x, y) – „y wird durch x geteilt“

Übersetzen Sie die Formeln ins Russische:

3. "x (D(2, x) ®E(x))

4. $x (E(x)/\D(x, 6))

5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))

6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))

7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))

8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))

Aufgabe 2.7

Beweisen Sie die folgenden Äquivalenzen:

1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))

2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))

Aufgabe 2.8

Beweisen Sie die folgenden Tautologien:

1. = "x A(x)® $x A(x)

2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)

3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)

Aufgabe 2.9

Erhalten Sie Prädikatsausdrücke in korrekter Normalform:

1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))

2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))

Aufgabe 2. 10

Reduzieren Sie den Ausdruck auf die konjunktive Normalform:

"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\

/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))

Aufgabe 2. 11

Erstellen Sie Wahrheitstabellen für die folgenden Formeln (Prädikate werden auf einer Menge von zwei Elementen definiert):

1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))

2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)

3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))

4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)

5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)

6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))

7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)

Aufgabe 2. 12

Gegeben: D=(a, b), P(a, a)=and, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=and Bestimmen Sie die Wahrheitswerte ​der Formeln:

1. "x $y P(x, y)

2. $x "y P(x, y)

3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))

4. "x "y P(x, y)

5. $y ù P(a, y)

7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))

8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)

Aufgabe 2. 13

Überprüfen Sie die folgende Begründung auf Konsistenz:

    Jeder Schüler ist ehrlich. John ist nicht ehrlich. John ist also kein Student.

    Der heilige Franziskus wird von jedem geliebt, der jemanden liebt. Jeder liebt jemanden. Deshalb liebt jeder den Heiligen Franziskus.

    Kein Tier ist unsterblich. Katzen sind Tiere. Das bedeutet, dass manche Katzen nicht unsterblich sind.

    Nur Vögel haben Federn. Kein Säugetier ist ein Vogel. Das bedeutet, dass allen Säugetieren Federn fehlen.

    Alle Politiker sind Schauspieler. Manche Schauspieler sind Heuchler. Das bedeutet, dass einige Politiker Heuchler sind.

    Ein Narr wäre dazu in der Lage. Dazu bin ich nicht in der Lage. Ich bin also nicht dumm.

    Wenn irgendjemand dieses Problem lösen kann, dann kann das auch jeder Mathematiker. Sasha ist Mathematiker, aber er kann es nicht. Das bedeutet, dass das Problem nicht gelöst werden kann.

    Jeder Mathematiker kann dieses Problem lösen, wenn jemand es lösen kann. Sasha ist Mathematiker, aber er kann das Problem nicht lösen. Das bedeutet, dass das Problem unlösbar ist.

    Wer dieses Problem lösen kann, ist Mathematiker. Sasha kann es nicht lösen. Daher ist Sasha kein Mathematiker.

    Wer dieses Problem lösen kann, ist Mathematiker. Kein Mathematiker kann dieses Problem lösen. Daher ist es unentscheidbar.

    Wenn eine Zahl, die streng zwischen 1 und 101 liegt, 101 teilt, dann teilt keine Primzahl kleiner als 11 101. Keine Primzahl kleiner als 11 teilt 101. Daher teilt keine Zahl zwischen 1 und 101 101.

    Wenn jeder Vorfahre eines Vorfahren eines bestimmten Individuums auch ein Vorfahre desselben Individuums ist und kein Individuum ein Vorfahre seiner selbst ist, dann muss es jemanden geben, der keine Vorfahren hat.

    Für jeden Menschen gibt es eine Person, die älter ist als er. Wenn x ein Nachkomme von y ist, ist x nicht älter als y. Alle Menschen sind Nachkommen Adams. Daher ist Adam kein Mann.

    Für jede Menge x gibt es eine Menge y, so dass die Kardinalität von y größer ist als die Kardinalität von x. Wenn x in y enthalten ist, ist die Potenz von x nicht größer als die Potenz von y. Jede Menge ist in V enthalten. Daher ist V keine Menge.

    Alle Reptilien haben 4 oder gar keine Beine. Der Frosch hat 4 Beine. Sie ist also ein Reptil.

    Jeder Studierende, der die Prüfung fristgerecht besteht, erhält ein Stipendium. Petrov erhält kein Stipendium. Daher ist er kein Student.

    Alle Vögel legen Eier. Kein Krokodil ist ein Vogel. Daher legen Krokodile keine Eier.

    Der Lehrer ist zufrieden, wenn alle seine Schüler die Prüfung beim ersten Versuch bestehen. Niemand kann die Logik beim ersten Versuch bestehen. Folglich ist der Logiklehrer immer unzufrieden.

    Jeder Fünftklässler erhält ein Diplom, wenn er alle Prüfungen besteht. Nicht jeder erhielt ein Diplom. Das bedeutet, dass jemand nicht alle Prüfungen bestanden hat.

    Kein Mensch mag Insekten. Spinnen sind keine Insekten. Es bedeutet, dass jemand sie liebt.

    Alle Kunstlehrer sind Männer. Der gesamte Unterricht in den unteren Klassen wird von Frauen unterrichtet. Folglich wird in den unteren Klassen kein Zeichnen unterrichtet.

    Jeder, der die Schule abgeschlossen hat, kann Englisch sprechen. Niemand in Muellers Familie spricht Englisch. Personen ohne Sekundarschulabschluss werden nicht in das Institut aufgenommen. Folglich studiert keiner der Müllers am Institut.

    Alle Tankstellen sind profitabel. Alle Geschirrsammelstellen sind unrentabel. Ein Unternehmen kann nicht sowohl profitabel als auch unrentabel sein. Folglich nimmt keine Tankstelle Flaschen an.

    Jeder, der einen gesunden Verstand hat, kann Mathematik verstehen. Keiner von Toms Söhnen kann Mathematik verstehen. Verrückte dürfen nicht wählen. Folglich darf keiner von Toms Söhnen wählen.

    Jeder Friseur in N rasiert alle und nur diejenigen, die sich nicht selbst rasieren. Folglich gibt es in N keinen einzigen Friseur.

    Jeder Athlet ist stark. Jeder, der stark und klug ist, hat Erfolg im Leben. Peter ist ein Sportler. Peter ist schlau. Daher wird er im Leben erfolgreich sein.

Aufgabe 2. 14

Stellen Sie die fehlenden Prämissen oder Schlussfolgerungen wieder her, sodass die folgende Argumentation logisch ist:

    Nur die Mutigen sind der Liebe würdig. Er hat Glück in der Liebe. Er ist nicht mutig.

    Erwachsene hatten nur mit Kindern Zutritt. Sie haben mich reingelassen. Ich bin also entweder ein Kind oder bin mit einem Kind gekommen.

Aufgabe 2. 15

Die folgenden Aussagen sind wahr:

    Kenntnisse der Datenstruktur sind notwendig, um die mentale Disziplin zu verbessern;

    Nur Programmiererfahrung kann einen disziplinierten Geist hervorbringen.

    Um einen Compiler zu schreiben, müssen Sie in der Lage sein, Probleme zu analysieren.

    ein undisziplinierter Geist kann Probleme nicht analysieren;

    Jeder, der strukturierte Programme geschrieben hat, kann als erfahrener Programmierer gelten.

Ist es möglich, aus diesen Annahmen die Gültigkeit der folgenden Aussagen zu bestimmen:

6. Erfahrung im Schreiben strukturierter Programme ist notwendig, um einen Compiler schreiben zu können;

7. Kenntnisse über Datenstrukturen sind Teil der Programmiererfahrung;

8. Eine Aufgabenanalyse ist für diejenigen, die Datenstrukturen ignorieren, nicht möglich.

9. Ein erfahrener Programmierer, der strukturierte Programme geschrieben hat, Probleme analysieren kann und über einen disziplinierten Verstand verfügt, ist ein Programmierer, der einen Compiler schreiben könnte.

Aufgabe 2. 16

Formulieren Sie die Prämissen in Form von Formeln und wenden Sie alle bekannten Methoden an, um die Richtigkeit der Schlussfolgerungen zu beweisen.

Prämisse: 1. Der Drache ist glücklich, wenn alle seine Kinder fliegen können;

2. Der grüne Drache kann fliegen;

3. Ein Drache ist grün, wenn mindestens einer seiner Eltern grün ist, ansonsten ist er leuchtend rosa.

Schlussfolgerungen: 1. Grüne Drachen sind glücklich.

2. Kinderlose Drachen sind glücklich (hier benötigen Sie möglicherweise einige offensichtlich übersehene Prämissen).

3. Was sollte ein leuchtend rosa Drache tun, um glücklich zu sein?

Aufgabe 2. 17

Verwendung von Symbolen, die für Prädikate und arithmetische Zeichen eingeführt wurden (z. B. „+“ und „<"), перевести на язык формул:

1. Wenn das Produkt einer endlichen Anzahl von Faktoren Null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren Null (Px bedeutet „x ist das Produkt einer endlichen Anzahl von Faktoren“ und Fxy bedeutet „x ist einer der Faktoren von“) y“).

2. Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b wird durch jeden ihrer gemeinsamen Teiler geteilt (Fxy bedeutet „x ist einer der Teiler der Zahl y“ und Gxyz – „z ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen x“. Andy").

3. Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine größere reelle Zahl y(Rx).

4. Es gibt reelle Zahlen x, y, z, sodass die Summe der Zahlen x und y größer ist als das Produkt der Zahlen x und z.

5. Für jede reelle Zahl x gibt es ein y, sodass für jedes z, wenn die Summe von z und 1 kleiner als y ist, die Summe von x und 2 kleiner als 4 ist.

Aufgabe 2. 18

Seien A0, A1, ..., An, ... eine Folge reeller Zahlen. Unter Verwendung begrenzter Quantoren in symbolische Form übersetzen:

1. Die Aussage, dass a der Grenzwert dieser Folge ist; 2. Die Aussage, dass diese Folge eine Grenze hat; 3. Die Aussage, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist (d. h., wenn e>0 gegeben ist, dann gibt es eine positive Zahl k, so dass n, m>k úAn – Amú impliziert< e).

Schreiben Sie die Negation jeder Formel.

Aufgabe 2. 19

Ziehen Sie Schlussfolgerungen, die der folgenden Argumentation entsprechen:

    Kein Republikaner oder Demokrat ist ein Sozialist. Norman Thomas ist Sozialist. Deshalb ist er kein Republikaner.

    Jede rationale Zahl ist eine reelle Zahl. Es gibt eine rationale Zahl. Daher gibt es eine reelle Zahl.

    Kein Neuling mag Zweitsemester. Jeder, der in Dascombe lebt, ist im zweiten Jahr. Folglich mag kein Neuling jemanden, der in Duscombe lebt.

    Manche Studienanfänger lieben alle Zweitsemester. Kein einziger Studienanfänger mag irgendeinen der Vorletzten. Folglich ist kein einziger Student im zweiten Jahr ein Student im vorletzten Jahr.

    Manche Leute mögen Elvis. Manche Leute mögen niemanden, der Elvis mag. Daher werden manche Menschen nicht von allen geliebt.

    Kein Drogendealer ist drogenabhängig. Einige Drogenabhängige wurden vor Gericht gestellt. Folglich handelt es sich bei einigen der Angeklagten nicht um Drogendealer.

    Alle Erstsemester treffen alle Zweitsemester. Kein einziger Studienanfänger datet einen einzigen Studenten aus dem vorletzten Jahr. Es gibt Studenten im zweiten Jahr. Folglich ist kein einziger Student im zweiten Jahr ein Student im vorletzten Jahr.

    Alle rationalen Zahlen sind reelle Zahlen. Einige rationale Zahlen sind ganze Zahlen. Daher sind einige reelle Zahlen ganze Zahlen.

16. Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage:

a) Eisen ist schwerer als Blei;

b) Brei – leckeres Gericht;

c) Mathematik ist ein interessantes Fach;

d) Das Wetter ist heute schlecht.

17. Welcher der folgenden Sätze ist eine falsche Aussage:

a) Eisen ist schwerer als Blei;

b) Sauerstoff – Gas;

c) Informatik ist ein interessantes Fach;

d) Eisen ist leichter als Blei.

18. Welche der folgenden Aussagen ist die Negation der Aussage: „Alles Primzahlen seltsam":

a) „Es gibt eine gerade Primzahl“;

b) „Es gibt eine ungerade Primzahl“;

c) „Alle Primzahlen sind gerade“;

d) „Alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen“?

19. Welche logische Operation entspricht der folgenden Wahrheitstabelle:

a) Konjunktionen;

b) Disjunktionen;

c) Implikationen;

d) Äquivalenz.

20. Welche logische Operation entspricht der folgenden Wahrheitstabelle:

a) Gleichwertigkeit;

b) Konjunktionen;

c) Implikationen;

d) Disjunktionen.

21. Sei A die Aussage „Dieses Dreieck ist gleichschenklig“ und sei

B – die Aussage „Dieses Dreieck ist gleichseitig.“ Geben Sie die wahre Aussage an:

22. Wenn es eine Menge von Aussagen A 1, A 2, … A n gibt, die die Formel der Aussagenalgebra F(X 1, X 2, …, X n) in eine wahre Aussage umwandelt, dann heißt diese Formel:

a) machbar;

b) Tautologie;

c) Widerspruch;

d) widerlegbar.

23. Eine Tautologie ist die folgende aussagenalgebraische Formel F(X 1, X 2, …, X n):

a) was für alle Mengen von Variablen zu einer wahren Aussage wird;

b) für die es eine Reihe von Aussagen gibt, die die Formel in eine wahre Aussage umwandeln;

c) was für alle Mengen von Variablen zu einer falschen Aussage wird;

d) für die es eine Reihe von Aussagen gibt, die die Formel in eine falsche Aussage verwandeln.

24. Welche der Formeln ist widerlegbar:

25. Welche der Formeln ist realisierbar:

26. Welche Aussage entspricht der Aussage: „Zu jeder Zahl gibt es eine Zahl, so dass“:

27. Welche Aussage entspricht der Aussage:

a) „Es gibt solche Zahlen;

b) „Gleichheit ist für alle gerecht;

c) „Es gibt eine Zahl, die für alle Zahlen gilt“;

d) „Zu jeder Zahl gibt es eine Zahl mit .“

28. Welche der folgenden Aussagen ist falsch:

29. Geben Sie die Wahrheitsmenge des Prädikats „ X Vielfaches von 3", definiert über die Menge M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

a) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP=(3, 6, 9, 12).

30. Geben Sie die Wahrheitsmenge des Prädikats „ X Vielfaches von 3", definiert über die Menge M=(3, 6, 9, 12):

a) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.

31. Geben Sie die Wahrheitsmenge des Prädikats „ x 2 +x+6=0", definiert über die Menge der reellen Zahlen:

a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(–2, 3); d) TP=(–3, 2).

32. Geben Sie die Wahrheitsmenge des Prädikats an:

33. Geben Sie die Wahrheitsmenge des Prädikats an:

38. Lassen Sie uns die folgenden unären Prädikate einführen:

Q(x): « X- Rationale Zahl";

R(x): « X- reelle Zahl."

Dann kann das Prädikat als Übersetzung der folgenden Aussage in die Sprache der Prädikatenalgebra betrachtet werden:

a) einige rationale Zahlen sind reell;

b) einige rationale Zahlen sind nicht reell;

c) keine rationale Zahl ist reell;

d) alle rationalen Zahlen sind reell.