11.1. Основни понятия

Разгледайте линиите, определени от уравнения от втора степен по отношение на текущите координати

Коефициентите на уравнението са реални числа, но поне едно от числата A, B или C е различно от нула. Такива линии се наричат ​​линии (криви) от втори ред. По-долу ще бъде установено, че уравнение (11.1) определя окръжност, елипса, хипербола или парабола в равнината. Преди да пристъпим към това твърдение, нека проучим свойствата на изброените криви.

11.2. кръг

Най-простата крива от втори ред е кръг. Припомнете си, че окръжност с радиус R с център в точка е множеството от всички точки Μ на равнината, които отговарят на условието . Нека точка в правоъгълна координатна система има координати x 0, y 0 a - произволна точка от окръжността (виж фиг. 48).

Тогава от условието получаваме уравнението

(11.2)

Уравнение (11.2) е изпълнено от координатите на която и да е точка от дадения кръг и не е изпълнено от координатите на която и да е точка, която не лежи на кръга.

Уравнение (11.2) се нарича канонично уравнениекръгове

По-специално, приемайки и , получаваме уравнението на окръжност с център в началото .

Уравнението на кръга (11.2) след прости трансформации ще приеме формата . Когато сравнявате това уравнение с общо уравнение(11.1) на крива от втори ред, лесно се вижда, че две условия са изпълнени за уравнението на кръга:

1) коефициентите при x 2 и y 2 са равни един на друг;

2) няма член, съдържащ xy произведението на текущите координати.

Нека разгледаме обратната задача. Поставяйки в уравнение (11.1) стойностите и , получаваме

Нека трансформираме това уравнение:

(11.4)

От това следва, че уравнение (11.3) определя окръжност при условието . Центърът му е в точката , и радиуса

.

Ако , то уравнението (11.3) има формата

.

Тя се удовлетворява от координатите на една точка . В този случай те казват: „окръжността се е изродила в точка“ (има нулев радиус).

Ако , тогава уравнение (11.4) и следователно еквивалентното уравнение (11.3) няма да определят права, тъй като дясната страна на уравнение (11.4) е отрицателна, а лявата страна не е отрицателна (да кажем: „въображаем кръг“).

11.3. Елипса

Канонично уравнение на елипса

Елипса е множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията от всяка от тях до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Означете фокусите с F1и F2, разстоянието между тях в 2 ° С, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите - през 2 а(виж фиг. 49). По дефиниция 2 а > 2° С, т.е. а > ° С.

За да изведем уравнението на елипса, ние избираме координатна система, така че фокусите F1и F2лежат на оста , а началото съвпада със средата на отсечката F 1 F 2. Тогава фокусите ще имат следните координати: и .

Нека е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това всъщност е уравнението на елипса.

Преобразуваме уравнение (11.5) в по-проста форма, както следва:

защото а>с, тогава . Да сложим

(11.6)

Тогава последното уравнение приема формата или

(11.7)

Може да се докаже, че уравнение (11.7) е еквивалентно на първоначалното уравнение. Нарича се каноничното уравнение на елипсата .

Елипса е крива от втори ред.

Изследване на формата на елипса според нейното уравнение

Нека установим формата на елипсата, използвайки нейното канонично уравнение.

1. Уравнение (11.7) съдържа x и y само в четни степени, така че ако точка принадлежи на елипса, тогава точките ,, също ѝ принадлежат. От това следва, че елипсата е симетрична по отношение на осите и , както и по отношение на точката , която се нарича център на елипсата.

2. Намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Поставяйки , намираме две точки и , в които оста пресича елипсата (виж фиг. 50). Поставяйки в уравнение (11.7), намираме точките на пресичане на елипсата с оста: и . точки А 1 , A2 , B1, B2Наречен върховете на елипсата. Сегменти А 1 A2и B1 B2, както и техните дължини 2 аи 2 bсе наричат ​​съответно големи и второстепенни осиелипса. Числа аи bсе наричат ​​съответно големи и малки. полуоскиелипса.

3. От уравнение (11.7) следва, че всеки член от лявата страна не превишава единица, т.е. има неравенства и или и . Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от правите линии.

4. В уравнение (11.7) сумата от неотрицателните членове и е равна на единица. Следователно, когато един член се увеличава, другият ще намалява, тоест, ако се увеличава, тогава намалява и обратно.

От казаното следва, че елипсата има формата, показана на фиг. 50 (овална затворена крива).

Допълнителна информацияотносно елипсата

Формата на елипсата зависи от съотношението. Когато елипсата се превърне в кръг, уравнението на елипсата (11.7) приема формата . Като характеристика на формата на елипса по-често се използва отношението. Съотношението на половината от разстоянието между фокусите към голямата полуос на елипсата се нарича ексцентричност на елипсата и o6o се обозначава с буквата ε („епсилон“):

с 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Това показва, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на елипсата, толкова по-малко сплескана ще бъде елипсата; ако поставим ε = 0, тогава елипсата се превръща в кръг.

Нека M(x; y) е произволна точка от елипсата с фокуси F 1 и F 2 (виж фиг. 51). Дължините на отсечките F 1 M=r 1 и F 2 M = r 2 се наричат ​​фокални радиуси на точката M. очевидно,

Има формули

Правите се наричат

Теорема 11.1.Ако е разстоянието от произволна точка на елипсата до някакъв фокус, d е разстоянието от същата точка до директрисата, съответстваща на този фокус, тогава отношението е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета на елипсата:

От равенството (11.6) следва, че . Ако , тогава уравнение (11.7) дефинира елипса, чиято голяма ос лежи на оста Oy, а малката ос лежи на оста Ox (виж Фиг. 52). Фокусите на такава елипса са в точките и , където .

11.4. Хипербола

Канонично уравнение на хипербола

Хипербола се нарича множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията от всяка от които до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

Означете фокусите с F1и F2разстоянието между тях през 2s, и модулът на разликата в разстоянията от всяка точка на хиперболата до фокусите през 2а. По дефиниция 2а < 2s, т.е. а < ° С.

За да изведем уравнението на хиперболата, ние избираме координатна система, така че фокусите F1и F2лежат на оста , а началото съвпадна със средата на сегмента F 1 F 2(виж фиг. 53). Тогава фокусите ще имат координати и

Нека е произволна точка от хиперболата. Тогава според определението за хипербола или , т.е. след опростяване, както беше направено при извеждането на уравнението на елипсата, получаваме канонично уравнение на хипербола

(11.9)

(11.10)

Хиперболата е линия от втори ред.

Изследване на формата на хипербола според нейното уравнение

Нека установим формата на хиперболата, използвайки нейното каконично уравнение.

1. Уравнение (11.9) съдържа x и y само в четни степени. Следователно хиперболата е симетрична по отношение на осите и , както и по отношение на точката , която се нарича центъра на хиперболата.

2. Намерете пресечните точки на хиперболата с координатните оси. Поставяйки в уравнение (11.9), намираме две точки на пресичане на хиперболата с оста: и . Поставяйки (11.9), получаваме , което не може да бъде. Следователно хиперболата не пресича оста y.

Точките и се наричат върхове хиперболи и отсечката

реална ос , отсечка - реална полуос хипербола.

Отсечката, свързваща точките, се нарича въображаема ос , номер b - въображаема ос . Правоъгълник със страни 2аи 2бНаречен основният правоъгълник на хипербола .

3. От уравнение (11.9) следва, че умаляваното не е по-малко от едно, т.е. или . Това означава, че точките на хиперболата са разположени отдясно на правата (дясното разклонение на хиперболата) и отляво на правата (лявото разклонение на хиперболата).

4. От уравнението (11.9) на хиперболата се вижда, че когато се увеличава, тогава тя също нараства. Това следва от факта, че разликата запазва постоянна стойност, равна на единица.

От казаното следва, че хиперболата има формата, показана на фигура 54 (крива, състояща се от два неограничени клона).

Асимптоти на хипербола

Правата L се нарича асимптота на неограничена крива K, ако разстоянието d от точка M на кривата K до тази линия клони към нула, тъй като точката M се движи по кривата K неограничено от началото. Фигура 55 илюстрира концепцията за асимптота: правата L е асимптота за кривата K.

Нека покажем, че хиперболата има две асимптоти:

(11.11)

Тъй като линиите (11.11) и хиперболата (11.9) са симетрични по отношение на координатните оси, достатъчно е да се разгледат само онези точки от посочените линии, които се намират в първия квадрант.

Вземете на права линия точка N със същата абциса x като точка на хипербола (виж Фиг. 56) и намерете разликата ΜN между ординатите на правата линия и клона на хиперболата:

Както можете да видите, с нарастване на x, знаменателят на дробта се увеличава; числителят е постоянна стойност. Следователно дължината на сегмента ΜN клони към нула. Тъй като ΜN е по-голямо от разстоянието d от точката Μ до правата, тогава d още повече клони към нула. Така линиите са асимптоти на хиперболата (11.9).

Когато конструирате хипербола (11.9), препоръчително е първо да конструирате главния правоъгълник на хиперболата (вижте фиг. 57), да начертаете линии, минаващи през противоположните върхове на този правоъгълник - асимптотите на хиперболата и да маркирате върховете и , хипербола .

Уравнението на равностранна хипербола.

чиито асимптоти са координатните оси

Хипербола (11.9) се нарича равностранна, ако нейните полуоси са равни (). Неговото канонично уравнение

(11.12)

Асимптотите на равностранна хипербола имат уравнения и следователно са ъглополовящи на координатните ъгли.

Разгледайте уравнението на тази хипербола в нова координатна система (виж фиг. 58), получена от старата чрез завъртане на координатните оси под ъгъл. Използваме формулите за въртене на координатните оси:

Заменяме стойностите на x и y в уравнение (11.12):

Уравнението на равностранна хипербола, за която осите Ox и Oy са асимптоти, ще има формата .

Още за хиперболата

ексцентричност хипербола (11.9) е съотношението на разстоянието между фокусите към стойността на реалната ос на хиперболата, обозначена с ε:

Тъй като за хипербола , ексцентрицитетът на хиперболата е по-голям от едно: . Ексцентричността характеризира формата на хипербола. Наистина, от равенството (11.10) следва, че т.е. и .

Това показва, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на хиперболата, толкова по-малко е съотношението на нейните полуоси, което означава, че толкова повече е удължен главният й правоъгълник.

Ексцентрицитетът на равностранна хипербола е . Наистина ли,

Фокални радиуси и за точките на десния клон на хиперболата имат формата и , а за левия - и .

Правите се наричат ​​директриси на хипербола. Тъй като за хиперболата ε > 1, тогава . Това означава, че дясната директриса е разположена между центъра и десния връх на хиперболата, лявата директриса е между центъра и левия връх.

Директрисите на хипербола имат същото свойство като директрисите на елипса.

Кривата, определена от уравнението, също е хипербола, чиято реална ос 2b е разположена на оста Oy, а въображаемата ос 2 а- по оста Ох. На фигура 59 е показано като пунктирана линия.

Очевидно хиперболите и имат общи асимптоти. Такива хиперболи се наричат ​​спрегнати.

11.5. Парабола

Уравнение на канонична парабола

Парабола е набор от всички точки в равнина, всяка от които е на еднакво разстояние от дадена точка, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса. Разстоянието от фокуса F до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p (p> 0).

За да изведем уравнението на параболата, избираме координатната система Oxy така, че оста Oxy да минава през фокуса F перпендикулярно на директрисата в посока от директрисата към F, а началото O да се намира в средата между фокуса и директрисата (виж Фиг. 60). В избраната система фокусът F има координати , а уравнението на директрисата има формата , или .

1. В уравнение (11.13) променливата y е включена в четна степен, което означава, че параболата е симетрична спрямо оста Ox; оста x е оста на симетрия на параболата.

2. Тъй като ρ > 0, от (11.13) следва, че . Следователно параболата е разположена вдясно от оста y.

3. Когато имаме y \u003d 0. Следователно параболата минава през началото.

4. При неограничено нарастване на x, модулът y също нараства неограничено. Параболата има формата (формата), показана на фигура 61. Точката O (0; 0) се нарича връх на параболата, сегментът FM \u003d r се нарича фокален радиус на точката M.

Уравнения , , ( p>0) също дефинират параболи, те са показани на фигура 62

Лесно е да се покаже, че графиката на квадратен трином, където , B и C са реални числа, е парабола в смисъла на нейната дефиниция по-горе.

11.6. Общо уравнение на линии от втори ред

Уравнения на криви от втори ред с оси на симетрия, успоредни на координатните оси

Нека първо намерим уравнението на елипса с център в точка, чиито оси на симетрия са успоредни на координатните оси Ox и Oy, а полуосите са съответно равни на аи b. Нека поставим в центъра на елипсата O 1 началото на новата координатна система , чиито оси и полуоси аи b(вижте фиг. 64):

И накрая, параболите, показани на фигура 65, имат съответните уравнения.

Уравнението

Уравненията на елипса, хипербола, парабола и уравнението на окръжност след трансформации (отворени скоби, преместване на всички членове на уравнението в една посока, въвеждане на подобни членове, въвеждане на нова нотация за коефициентите) могат да бъдат записани с помощта на едно уравнение на формата

където коефициентите A и C не са равни на нула едновременно.

Възниква въпросът: дали някое уравнение от вида (11.14) определя една от кривите (окръжност, елипса, хипербола, парабола) от втори ред? Отговорът се дава от следната теорема.

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) винаги дефинира: или кръг (за A = C), или елипса (за A C > 0), или хипербола (за A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общо уравнение от втори ред

Помислете сега за общото уравнение от втора степен с две неизвестни:

Различава се от уравнение (11.14) по наличието на член с произведението на координатите (B¹ 0). Възможно е чрез завъртане на координатните оси под ъгъл a да се трансформира това уравнение така, че членът с произведението на координатите да отсъства в него.

Използване на формули за въртене на оси

Нека изразим старите координати чрез новите:

Избираме ъгъл a така, че коефициентът при x "y" да изчезне, т.е. така че равенството

По този начин, когато осите се завъртят под ъгъл a, който удовлетворява условието (11.17), уравнение (11.15) се свежда до уравнение (11.14).

Заключение: общото уравнение от втори ред (11.15) определя на равнината (с изключение на случаите на израждане и разпад) следните криви: окръжност, елипса, хипербола, парабола.

Забележка: Ако A = C, тогава уравнение (11.17) губи смисъла си. В този случай cos2α = 0 (виж (11.16)), тогава 2α = 90°, т.е. α = 45°. Така че, при A = C, координатната система трябва да се завърти на 45 °.

(МИФ-2, № 3, 2005 г.)

Линии от втори ред в равнината

P. 1. Дефиниция на линия от втори ред

Да разгледаме равнина, на която е определена правоъгълна декартова координатна система (XOY). Тогава всяка точка M се определя еднозначно от своите координати (x, y). Освен това всяка двойка числа (x, y) определя някаква точка на равнината. Координатите на точките могат да отговарят на някои условия, например някое уравнение f(x, y)=0 по отношение на неизвестни (x, y). В този случай се казва, че уравнението f(x, y)=0 определя някаква фигура в равнината. Разгледайте примери.

Пример 1Помислете за функцията г= f( х). Координатите на точките от графиката на тази функция удовлетворяват уравнението г– f( х) = 0.

Пример 2Уравнение (*), където а, b, ° Сса някои числа, които определят определена права линия на равнината. (Уравненията от вида (*) се наричат линеен).

Пример 3Графиката на хипербола се състои от точки, чиито координати отговарят на уравнението https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

Определение 1. Уравнение от формата (**), където поне един от коефициентите DIV_ADBLOCK53">

Ще разгледаме геометрични и физични свойстваредовете, споменати по-горе. Да започнем с елипса.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Уравнение (1) се нарича канониченуравнение на елипса.

Формата на елипсата може да се прецени от фигура 1.

Позволявам . Точките се наричат триковеелипса. Редица интересни свойства са свързани с трикове, които ще разгледаме по-долу.

Определение 4. Хипербола се нарича фигура в равнина, координатите на всички точки от която отговарят на уравнението

(2).

Уравнение (2) се нарича канониченхиперболично уравнение. Формата на хиперболата може да се прецени от фигура 2.

Позволявам . Точките се наричат триковехипербола. Параметър аНаречен валиден, и параметърът b- въображаема полуосхипербола, съответно. воле реално и ойе въображаемата ос на хиперболата.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41"> се наричат асимптоти. При големи стойностипараметър хточките на асимптотите се приближават безкрайно близо до клоновете на хиперболата. На фигура 2 асимптотите са показани с пунктирани линии.

Определение 5. Параболата е фигура в равнина, чиито координати на всички точки отговарят на уравнението

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

Раздел 3. Свойства на огнищата на LCS

За всеки LVP в раздел 2. специални точки бяха трикове. Тези точки играят голяма роля в обяснението на важните свойства на елипсата, хиперболата и параболата. Ние формулираме тези свойства под формата на теореми.

Теорема. един. Елипса е набор от точкиМ, така че сумата от разстоянията от тези точки до фокусите е 2а:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

За да формулираме подобно свойство за парабола, дефинираме директорка. Направо е д, дадено от уравнението https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

Т. 4. Фокуси и допирателни

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> принадлежи към съответния HDL. По-долу са уравненията на допирателните, минаващи през тази точка:

– за елипса, (7)

– за хипербола, (8)

за парабола. (9)

Ако начертаем сегменти от двата фокуса (те се наричат фокусни радиуситочки), тогава забележително Имот(вижте фиг.5 и 6): фокалните радиуси образуват равни ъгли с тангентата, начертана в тази точка.

Това свойство има интересна физическа интерпретация. Например, ако приемем, че контурът на елипсата е огледален, тогава, лъчите на светлината от точков източник, поставен в един от неговите фокуси, след отражение от стените на контура, задължително ще преминат през втория фокус.

голям практическа употребаполучи подобно свойство за парабола. Факт е, че фокусният радиус на която и да е точка от параболата сключва ъгъл с допирателната, начертана към тази точка, равен на ъгъла между допирателната и оста на параболата.

Физически това се тълкува по следния начин: лъчите на точка, поставена във фокуса на параболата, след отражение от нейните стени се разпространяват успоредно на оста на симетрия на параболата. Ето защо огледалата на фенери и прожектори имат параболична форма. Между другото, ако в него влезе поток от светлина (радиовълни), успореден на оста на параболата, тогава след отражение от стените всичките му лъчи ще преминат през фокуса. На този принцип работят космическите комуникационни станции и радари.

С. 5. Още малко физика

HDL са намерили широко приложение във физиката и астрономията. По този начин беше установено, че едно относително леко тяло (например сателит) се движи в гравитационното поле на по-масивно тяло (планета или звезда) по траектория, която е една от LCS. В този случай по-масивно тяло е във фокуса на тази траектория.

Тези свойства за първи път са изследвани подробно Йоханес Кеплер и те бяха наречени закони на Кеплер.

Контролна задача №1 за ученици от 10 клас

Въпроси за самопроверка (5 точки на задача)

М.10.1.1.Определете HDL. Дайте няколко примера за уравнения, които определят LTL.

М.10.1.2.Изчислете координатите на фокусите на а) елипса, б) хипербола, ако а=13, b=5.

М.10.1.3.Съставете каноничното уравнение на а) елипса, б) хипербола, ако е известно, че тази права минава през точки с координати (5, 6) и (-8, 7).

М.10.1.4.Проверете дали правата, дадена от уравнение (9), наистина се пресича с параболата, дадена от уравнение (3), само в точката с координати . ( индикация: първо включете уравнението на допирателната в уравнението на параболата и след това се уверете, че дискриминантът на полученото квадратно уравнение е нула.)

М.10.1.5.Напишете уравнението на допирателната към хиперболата с реална полуос 8 и имагинерна - 4 в точката с координата х=11, ако втората координата на точката е отрицателна.

Практическа работа (10 точки)

М.10.1.6.Начертайте няколко елипси следващ метод: закрепете лист хартия към шперплат и залепете няколко копчета в хартията (но не напълно). Вземете парче конец и завържете краищата. Хвърлете получената примка върху двата бутона (трикове на бъдещата елипса), издърпайте конеца с острия край на молива и внимателно начертайте линия, като се уверите, че конецът е опънат. Чрез промяна на размера на цикъла можете да изградите множество конфокални елипси. Опитайте се да обясните с помощта на теорема 1, че получените линии наистина са елипси и обяснете как, знаейки разстоянието между бутоните и дължината на конеца, можете да изчислите полуосите на елипсата.

препис

1 Глава ЛИНИИ ОТ ВТОРИ РЕД НА РАВНИНАТА.1. Елипса, хипербола, парабола Определение. Елипса е набор от всички точки в равнината, за които сумата от разстоянията до две дадени точки F 1 и F е постоянна стойност a, надвишаваща разстоянието между F 1 и. M(, x) F 1 O F x Точките F 1 и F се наричат ​​фокуси на елипсата, а разстоянието FF 1 между тях е фокусното разстояние, което се означава с c. Нека точката M принадлежи на елипсата. Отсечките F1 M и F M се наричат ​​фокални радиуси на точката M. Нека F1F = c. По дефиниция a > c. Да разгледаме правоъгълна декартова координатна система Ox, в която фокусите F 1 и F са разположени на оста x симетрично по отношение на началото. В тази координатна система елипсата се описва от каноничното уравнение: x + = 1, a b 1

2. където b= a c Параметрите a и b се наричат ​​съответно голяма и малка полуос на елипсата. Ексцентрицитетът на елипса е числото ε, равно на отношението на половината от нейното фокусно разстояние c към голямата полуос, т.е. ε =. Ексцентрицитетът на елипсата a удовлетворява неравенствата 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Каноничното уравнение на хипербола има формата x a = b 1,. където b= c a Числата a и b се наричат ​​съответно реална и имагинерна полуос на хиперболата. В областта, определена от неравенството, няма точки на хипербола. x a b Определение. Асимптотите на хипербола са прави b b дадени от уравненията = x, = x. a a Фокалните радиуси на точката M(x,) от хиперболата могат да бъдат намерени по формулите r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Ексцентрицитетът на хипербола, както и на елипса, се определя по формулата ε =. Лесно се проверява, че неравенството ε a >1 е вярно за ексцентрицитета на хиперболата. Определение. Парабола е набор от всички точки в равнината, за които разстоянието до дадена точка F е равно на разстоянието до дадена права d, която не минава през точка F. Точката F се нарича фокус на параболата, и правата d се нарича директриса. Разстоянието от фокуса до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p. d M (x,) F x 4 3

4 Нека изберем началото O на декартовата координатна система в средата на отсечката FD, която е перпендикуляр, спуснат от точка F към правата d. В тази координатна система фокусът F има координати F p p ;0, а директрисата d е дадена от уравнението x + = 0. Каноничното уравнение на парабола е: = px. Параболата е симетрична спрямо оста OF, наречена ос на парабола. Пресечната точка O на тази ос с параболата се нарича връх на параболата. Фокусният радиус на точката M (x,) т.е. неговото p разстояние до фокуса се намира по формулата r = x+. 10B.. Общо уравнение на линия от втори ред Линия от втори ред е набор от точки в равнината, чиито координати x и които отговарят на уравнението a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​11 1 където a11, a1, a, a10, a0, a00 някои реални числа и a, a, a не са равни на нула едновременно. Това уравнение се нарича общо уравнение на кривата от втори ред и може също да бъде записано във векторна форма rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, където 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0), x = (x;). T Тъй като A = A, тогава A е квадратна матрица r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Елипса, хипербола и парабола са примери за криви от втори ред в равнината. В допълнение към посочените криви има и други видове криви от втори ред, които са свързани с x с прави линии. Така, например, уравнение = 0, където a 0, b 0, a b 4

5 определя двойка пресичащи се прави в равнината. Координатните системи, в които уравнението на кривата има най-прост вид, се наричат ​​канонични. Използвайки композицията от трансформации: завъртане на осите под ъгъл α, паралелно пренасяне на началото към точката (x0; 0) и отражение около абсцисната ос, уравнението на кривата от втори ред се свежда до едно от каноничните уравнения, основните от които бяха изброени по-горе. 11BПримери 1. Съставете каноничното уравнение на елипса с център в началото и фокуси, разположени по абсцисната ос, ако е известно, че нейният ексцентрицитет ε = и точката N(3;) лежи на 3-та елипса. x a b Уравнение на елипса: + = 1. Имаме, че =. a b a 3 9 Следователно изчисляваме, че a = b. Като заместим координатите на точката N(3;) в уравнението, получаваме + = 1 и след това b = 9 и a b 81 a = = 16,. Следователно каноничното уравнение на елипсата е 5 x + = 1. 16, 9. Съставете каноничното уравнение на хипербола с център в началото и фокуси, разположени на абсцисната ос, ако точката M 1 (5; 3) на хиперболата и ексцентричността ε = са дадени. x Каноничното уравнение на хиперболата = 1. От равенството a b a + b = имаме b = a 5 9. Следователно = 1 и a =16. Следователно каноничното уравнение на елипсата = a a a x 16 5

6 3. Намерете точки на параболата = 10x, чийто фокусен радиус е 1,5. Обърнете внимание, че параболата се намира в дясната полуравнина. Ако M (x; лежи върху парабола, тогава x 0. Параметър p = 5. Нека (;)) M x е желаната точка, F е фокусът, () директрисата на параболата. Тогава F,5; 0, d: x=,5. Тъй като FM = ρ(M, d), тогава x +,5 = 1,5, 10 Отговор: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. И така, имаме две точки. M10; 10 M, () 4. На десния клон на хиперболата, дадена от уравнението x = 1, намерете точка, чието разстояние от десния фокус е 16 9 два пъти по-малко от разстоянието й от левия фокус. За десния клон на хиперболата фокалните радиуси се определят по формулите r 1 = ε x a и r = ε x + a. Следователно получаваме уравнението ε x + a = (ε x a). За дадена хипербола a = 4, 5 c = 5 и ε =. Следователно х = 9,6. Оттук имаме = ± x 16 = ± d Отговор: две точки M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Намерете уравнението на правата, за всяка точка на която отношението на разстоянието към точката F (3;0) спрямо разстоянието до правата 1 x 8= 0 е равно на ε =. Посочете името на линията и нейните параметри. Mx; желаната линия, равенството е вярно: За произволна точка () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Следователно имаме [(x 3) + ] = (x 8). Отваряйки скобите и пренареждайки членовете, получаваме (x+) + = 50, т.е. (x+) + = Отговор: желаната права е елипса с център в точка и полуоси a = 5 и b = Намерете уравнението на хиперболата Стари координати координати O () x ; 0; ;, ;. C(;0) = 8 в новата система (x ;) и новите (zt ;) са свързани с матричното равенство 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Следователно уравнението x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Отговор: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 в канонична форма. в нови координати има формата. Разгледайте квадратичната форма () q x, = 4x 4x+. Матрицата с 4 форми q има собствени стойности 5 и 0 и съответните ортонормални вектори и

8 z 1 1 x. t = 5 1 Нека изразим старите координати (x;) чрез нови (zt) ; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t означава x = z+ t, = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 Следователно в новите координати кривата γ е дадена от уравнението 1 3 γ: z z =. Задавайки = z, x = t, получаваме γ: =, 1, откъдето намираме каноничното уравнение на кривата γ: = 0 в канонични координати = 5 x 1 1 x Забележете, че кривата γ е двойка успоредни прави. 1BПриложения към икономически и финансови проблеми 8. Нека Аня, Борис и Дмитрий имат по 150 рубли, за да купят плодове. Известно е, че 1 кг круши струва 15 парични единици, а 1 кг ябълки струва 10 парични единици. При това всеки от тримата

9 има функция на полезност, за която той иска да максимизира покупката си. Нека са закупени x1 kg круши и x kg ябълки. Тези функции на полезност са както следва: u = x + x за Аня, 1 A 1 x u B = +x за Борис и ud = x1 x за Дмитрий. Изисква се да се намери план за покупка (x1, x) за Аня, Борис и Дмитрий, при който те осигуряват максимума от своята полезност. x Фиг. 5 Разглежданата задача може да бъде решена геометрично. За да се реши този проблем, трябва да се въведе концепцията за линия на ниво. x x 1 Фиг. 6 Линията на ниво на функция z = f(x,) е множеството от всички точки на равнината, на които функцията запазва постоянна стойност, равна на h. x9

10 В този случай решението също ще използва първоначалните идеи за геометричните области на равнината, дадени от линейни неравенства (вижте подраздел 1.4). x x 1 Фиг. 7 Линиите на нивото на функциите ua, u B и u D са прави линии, елипси и хиперболи съответно за Аня, Борис и Дмитрий. По смисъла на задачата приемаме, че x1 0, x 0. От друга страна, бюджетното ограничение се записва като неравенството 15x1+ 10x 150. Разделяйки последното неравенство на 10, получаваме 3x1+ x 30, или + 1. Лесно се вижда, че x1 x е областта на решението на това неравенство заедно с условията за неотрицателност е триъгълник, ограничен от линиите x1 = 0, x = 0 и 3x1+ x =

11 X * X * Фиг. 8 Фиг. 9 Въз основа на геометричните фигури вече е лесно да се установи, че uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 и udmax = ud(Q). Координатите на точката Q на допирателната хипербола на нивото на страната на бюджетния триъгълник трябва вече да бъдат изчислени аналитично. За да направите това, имайте предвид, че точката Q удовлетворява три уравнения: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Фиг.

12 Елиминирайки h от уравненията, получаваме координатите на точката Q= (x, x) = (5;7.5). 1 Отговор: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Нелинеен моделразходи и печалби на фирмата. Нека фирмата произвежда многофункционално оборудване от два типа A и B съответно в количество x и единици продукция. В същото време приходите на компанията за годината се изразяват чрез функцията на приходите Rx (,) = 4x+, а производствените разходи се изразяват чрез функцията на разходите 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, където компанията получава максималната печалба Определете производствения план (x, ) при 3

13 Функцията на печалбата се съставя като разликата между функцията на дохода и функцията на разходите: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 След като извършихме трансформациите, привеждаме последния израз до формата 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Линиите на ниво за функцията печалба изглеждат като (x 8) (1) = h. 4 Всяка линия на ниво 0 h 9 е елипса с център в началото. От получения израз лесно се вижда, че максимумът на функцията печалба е 9 и се постига при x= 8, = 1. Отговор: x = 8, = 1. 13BУпражнения и тестови въпроси.1. Напишете нормалното уравнение за окръжност. Намерете координатите на центъра и радиуса на окръжността: а) x + + 8x 6=0; б) x x = 0... Напишете уравнението на окръжност, минаваща през точките M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0)..3. Дефинирайте елипса и напишете нейното канонично уравнение. Напишете каноничното уравнение на елипса, ако 1 нейният ексцентрицитет е равен на ε =, а нейната голяма полуос е равна на Съставете уравнение на елипса, чиито фокуси лежат на ординатната ос симетрично спрямо началото, знаейки освен това, че разстоянието между неговите фокуси c = 4 и ексцентричността ε = Дайте определяне на ексцентрицитета на елипса. Намерете ексцентрицитета на елипса, ако нейната голяма ос е четири пъти по малката й ос. 33

14.6. Дефинирайте хипербола и напишете нейното канонично уравнение. Начертава се права линия през точката M (0; 0,5) и десния връх на хиперболата, дадена от уравнението x = 1. Намерете координатите на втората пресечна точка на правата и хиперболата. Дефинирайте ексцентрицитета на хиперболата. Напишете нейното канонично уравнение, ако a = 1, b = 5. Какъв е ексцентрицитетът на тази хипербола?.8. Напишете уравненията за асимптотите на хиперболата, дадени от нейното канонично уравнение. Напишете уравнението на хипербола 3, ако нейните асимптоти са дадени от уравненията =± x и хипербола 5 минава през точката M (10; 3 3)..9. Дефинирайте парабола и напишете нейното канонично уравнение. Напишете каноничното уравнение на парабола, ако оста x е нейната ос на симетрия, нейният връх лежи в началото и дължината на хордата на параболата, перпендикулярна на оста Ox, е 8, а разстоянието на тази хорда от върха е На параболата = 1x намерете точката, чийто фокусен радиус е Изречение и търсенето на някаква стока са дадени от функциите p = 4q 1, p = +. Намерете точката на пазарно равновесие. 1 q Генериране на графики..1. Андрей, Катя и Николай отиват да купят портокали и банани. Купете x1 kg портокали и x kg банани. Всеки от тримата има своя функция на полезност, която показва колко полезна смята покупката си. Тези функции на полезност са както следва: u = x + x за Андрей, 1 4 A 4 1 u K = x + x за Катя и un = x1 x за Николай. a) Начертайте линиите на нивото на функцията за полезност за стойностите на ниво h=1, 3. b) За всяко подредете по ред на предпочитание за закупуване r = (4.1), s = (3.8), t = (1.1 ). 34

Модул за аналитична геометрия. Аналитична геометрия в равнината и пространството Лекция 7 Резюме Прави от втори ред в равнината: елипса, хипербола, парабола. Определение, обща характеристика.

ЛЕКЦИЯ N15. Криви от втори ред. 1. Окръжност... 1. Елипса... 1 3. Хипербола.... 4. Парабола.... 4 1. Окръжност

8 Криви от втори ред 81 Окръжност Наборът от точки на равнина, еднакво отдалечени от една точка, наречена център, на разстояние, наречено радиус, се нарича окръжност. Нека центърът на окръжността е

Лекция 13 Тема: Криви от втори ред Криви от втори ред на равнината: елипса, хипербола, парабола. Извеждане на уравнения на криви от втори ред въз основа на техните геометрични свойства. Изследване на формата на елипса,

ЛЕКЦИЯ Линии от хипербола от втори ред Като пример намираме уравнения, които определят окръжност, парабола, елипса и окръжност Окръжността е набор от точки в равнина, равноотдалечени от дадена

Криви от втори ред Окръжност Елипса Хипербола Парабола Нека на равнината е дадена правоъгълна декартова координатна система. Крива от втори ред е набор от точки, чиито координати удовлетворяват

Права и равнина в пространството Линейна алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Права и равнина в пространството Разстоянието между две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z2)

Министерство на образованието и науката Руска федерацияЯрославски държавен университет П. Г. Демидова Катедра по алгебра и математическа логика Криви от втори ред Част I Насоки

3. Хипербола и нейните свойства Определение 3.. Хиперболата е крива, дефинирана в някаква правоъгълна декартова координатна система от уравнението 0. (3.) и Равенство (3.) се нарича канонично уравнение

Практика 1 Тема: Хипербола Схема 1 Дефиниция и канонично уравнение на хипербола Геометрични свойствахиперболи Взаимно положение на хипербола и права линия, минаваща през нейния център Асимптоти

Конспект на лекцията 13 ЕЛИПСА, ХИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План на лекцията Лекция Елипса, Хипербола и Парабола. 1. Елипса. 1.1. Дефиниция на елипса; 1.2. Дефиниране на каноничната координатна система; 1.3. Извеждане на уравнение

МОДУЛ НА ЕЛИСПА ХИПЕРБОЛИ ПАРАБОЛИ Практически урок Тема: План на елипсата Определение и канонично уравнение на елипсата Геометрични свойства на елипсата Ексцентричност Зависимост на формата на елипсата от ексцентричността

ВТОРА ЗАДАЧА 1. Права в равнина. 1. Две прави са дадени чрез векторни уравнения (, rn) = D и r= r + a, където (an,) 0. Намерете радиус вектора на пресечната точка на правите. 0 т. Дадена е точка M 0 с радиус вектор

Криви от втори ред. Определение: Линията на кривата) от втори ред е набор (M) от точки на равнината, чиито декартови координати X, Y) удовлетворяват алгебричното уравнение от втора степен:,

АЛГЕБРИЧНИ ЛИНИИ НА РАВНИНАТА.

Елипса и нейните свойства Определение.. Елипса е крива от втори ред, дефинирана в някаква правоъгълна декартова координатна система от уравнението b, b 0. (.) Равенството (.) се нарича канонично

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Лекция 9 ЕЛИПСА, ХИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноничното уравнение на елипса Определение

ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ ЗАЕМАНЕ НА РАВНИНАТА В ТРИИЗМЕРНОТО ПРОСТРАНСТВО Напишете векторното уравнение на равнината и обяснете значението на величините, включени в това уравнение

Урок 12 Елипса, хипербола и парабола. Канонични уравнения. Елипса е геометричното място на точките M в равнината, за които сумата от разстоянията от две фиксирани точки F 1 и F 2, т.нар.

ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Лекция Уравнения на криви от втори ред Определение на окръжност Окръжността е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от една точка, наречена център на окръжността, на разстояние r

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В тази лекция изучаваме третата крива от втори ред на парабола.

Лекция 9.30 Глава Аналитична геометрия в равнината Координатни системи в равнината Правоъгълни и полярни координатни системи Координатната система в равнината е метод, който ви позволява да определите

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Ярославски държавен университет P. G. Demidova Катедра по алгебра и математическа логика S. I. Yablokova Криви от втори ред Част Практикум

Тема ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ В РАВНОСТТА И В ПРОСТРАНСТВОТО Лекция.. Прави в равнината План. Метод на координатите в равнина.. Права в декартови координати.. Условие на успоредност и перпендикулярност

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред Лектор Рожкова С.В. 01 15. Криви от втори ред Кривите от втори ред се разделят на 1) изродени и) неизродени Изродени

Лекция 11 1. КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Да разгледаме сечение на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на образуващата на този конус. При различни стойностиъгъл α при върха в аксиалната

Лекция 9 1. КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Да разгледаме сечение на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на образуващата на този конус. За различни стойности на ъгъла α при върха в аксиалния

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Департамент по алгебра и дискретна математика Уводни бележки В тази лекция ние изучаваме друга крива от втори ред, хиперболата.

Практика 14 Тема: Парабола Схема 1. Определение и канонично уравнение на парабола Геометрични свойства на парабола. Относителното положение на парабола и права линия, минаваща през нейния център. Основен

АНАЛИТИЧЕН ГЕОМЕТР I криви от втори ред ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович [имейл защитен]Факултет по приложна математика на процесите на Държавния университет в Санкт Петербург

Матрици 1 Дадени матрици и Намерете: а) A + B; б) 2В; в) B T ; г) AB T ; e) B T A Решение а) По дефиницията на сумата от матрици б) По дефиницията на произведението на матрица с число в) По дефиницията на транспонирана матрица

ВАРИАНТ 1 1 Намерете наклона k на правата, минаваща през точките M 1 (18) и M (1); напишете уравнението на права линия в параметрична форма Съставете уравненията на страните и медианите на триъгълник с върхове A ()

Тест. Дадени са матрици A, B и D. Намерете AB 9D, ако: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Умножете матриците A 3 и B 3. Получената ще бъде C с размер 3 3, състоящ се от елементи

Глава 9 Криви на равнината. Криви от втори ред 9. Основни понятия Казва се, че кривата Γ в правоъгълната координатна система Oxy има уравнението F (,) \u003d 0, ако точката M (x, y) принадлежи на кривата в това

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред Лектор Пахомова Е.Г. 01 15. Криви от втори ред Кривите от втори ред се разделят на 1) изродени и) неизродени Изродени

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика

Глава 1 Криви и повърхнини от втори ред Във всички раздели с изключение на 1.9, координатната система е правоъгълна. 1.1. Съставяне на уравнения на криви от втори ред и други криви 1. p) Докажете, че множеството

Московски държавен университет Технически университетна името на N.E. Катедра "Фундаментални науки" на факултета Бауман Математическо моделиране» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение на линия в равнина Уравнение от формата F(x, y) 0 се нарича уравнение на линия, ако това уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в дадена равнина

Балаковски инженерно-технологичен институт - филиал на федералната държавна автономна образователна институция висше образование"Национален изследователски ядрен университет "МИФИ"

Прави от втори ред Ю. Л. Калиновски Катедра на Висшия математически университет "Дубна" План 2 3 4 5 6 7 Линии от втори ред: геометрично място на точки, чиито декартови координати удовлетворяват уравнението

44. Определение за хипербола. Хипербола е набор от всички точки на равнина, чиито координати в подходяща координатна система отговарят на уравнението 2 2 y2 = 1, (1) b2 където b > 0. Това уравнение е

Линейна алгебра и аналитична геометрия Тема: Криви от втори ред (продължение) Лектор Пахомова Е.Г. 01 4. Обща дефиницияелипса, хипербола и парабола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Директните a m се наричат ​​директни-

1 Лекция 1.4. Криви и повърхнини от втори ред Анотация: Каноничните уравнения на кривите се извеждат от дефинициите: елипса, хипербола и парабола. Дадени са параметрични уравнения на елипса и хипербола.

Федерален държавен бюджет на Министерството на образованието и науката на Руската федерация образователна институцияпо-висок професионално образование"Сибирски държавен индустриален университет"

Практическа работа Съставяне на уравнения на линии и криви от втори ред Целта на работата: да се консолидира способността да се чертаят уравнения на линии и криви от втори ред Съдържание на работата. Основни понятия. B C 0 вектор

Задачи за отработване на пропуснати часове Съдържание Тема: Матрици, действия върху тях. Изчисляване на детерминанти.... 2 Тема: Обратна матрица. Използване на решаване на системи от уравнения обратна матрица. Формули

Аналитична геометрия 5.. Права на равнината Различни начинизадаване на права линия в равнина. Общо уравнение на права в равнина. Местоположението на линията спрямо координатната система. геометричен смисъл

ВАРИАНТ 11 1 Точката M() е основата на перпендикуляра, пуснат от точката N(1-1) на правата l. Напишете уравнението на правата l; намерете разстоянието от точка N до правата l Съставете уравнения на преминаващи прави

49. Цилиндрични и конични повърхнини 1. Цилиндрични повърхнини Определение. Нека в пространството са дадени права l и ненулев вектор a. Повърхността, образувана от прави линии, преминаващи през различни

Аналитична геометрия Аналитична геометрия на равнина. Аналитично геометрично решение на геометрични задачи с помощта на алгебрата, за което се използва методът на координатите. Под координатната система на равнината

Вариант 1 Задача 1. Дайте геометрична дефиниция на елипса. Задача 2. С помощта на топчета Глухарче докажете, че елипсата възниква като конично сечение. Задача 3. Докажете, че множеството от точки P, от които

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА РАВНИНА Казан 008 0 Казански държавен университет Катедра по обща математика Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА РАВНОСТТА

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Казански държавен университет по архитектура и строителство Факултет по висша математика Елементи на векторната и линейната алгебра. Аналитична геометрия.

Аналитична геометрия на равнината Уравнението на права е най-важната концепция на аналитичната геометрия. y М(x, y) 0 x Определение. Уравнението на права (крива) на равнината Oxy е уравнение, към което

Примери за основни проблеми на LA Дефинирани по метода на Гаус системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус 6

ВАРИАНТ 16 1 През точките M 1 (3 4) и M (6) е начертана права линия Намерете пресечните точки на тази права с координатните оси Съставете уравненията на страните на триъгълника, за които точките A (1 ) B (3 1) C (0 4) са

Тест 3 ВАРИАНТ 1 Напишете уравнението на права линия, перпендикулярна и минаваща през пресечната точка на правите и .. Напишете уравнението на права линия, минаваща през точките и и намерете разстоянието от точката

ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ В РАВНОСТТА. Права 1. Да се ​​изчисли обиколката на триъгълник, чийто върхове са точките A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Намерете точка, равноотдалечена от точки A(7;

Аналитична геометрия Модул 1 Матрична алгебра Векторна алгебра Текст 5 ( самостоятелно проучване) Анотация Декартова координатна система в равнината и в пространството Формули за разстоянието

Министерство на образованието на Руската федерация Ростовски държавен университет Факултет по механика и математика Катедра по геометрия Казак В.В. Семинар по аналитична геометрия за студенти от първи

АНАЛИТИЧНА ГЕОЕТИЯ ОБЩО УРАВНЕНИЕ НА РАВНИНА. OPD Равнината е повърхност, която има свойството, че ако две точки от права принадлежат на равнината, то всички точки от правата принадлежат на дадената.

ЛЕКЦИЯ 5 ЕЛЕМЕНТИ НА АНАЛИТИЧНАТА ГЕОМЕТРИЯ. 1 1. Уравнение на повърхнина и уравнения на прави в пространството. Геометричният смисъл на уравненията В аналитичната геометрия всяка повърхност се разглежда като колекция

Глава 1 ПРАВИ И РАВНИНИ n R. 1.1. Пространства на точки По-рано се разглеждаше аритметичното пространство на низове.В математиката краен подреден набор от координати може да се интерпретира не само

Тестова задача по аналитична геометрия. Семестър 2. Вариант 1 1. Намерете уравненията на допирателната към окръжността (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, успоредна на правата 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишете уравнението на допирателната

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна автономна образователна институция за висше професионално образование Казански (Поволжски) федерален университет

Диференциали от висок порядък. Билет за изпит. Матрици, основни понятия и определения.. Напишете уравнението на окръжност, ако точките A (;) и B (-; 6) са краищата на един от диаметрите.. Дадени са върхове

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране А.Н. Канатников,

Повърхнини от втори ред. Повърхност в триизмерно пространство се описва с уравнение от вида F(x; y; z) = 0 или z = f(x; y). Пресечната точка на две повърхности определя линия в пространството, т.е. линия в пространството

Разгледайте линиите, определени от уравнението от втора степен по отношение на текущите координати

Коефициентите на уравнението са реални числа, но поне един от числата A,Bили C е различно от 0. Такива линии се наричат ​​линии (криви) от втори ред. По-долу ще покажем, че уравнение (1) определя окръжност на елипса, хипербола или парабола в равнината.

кръг

Най-простата крива от втори ред е кръг. Припомнете си, че окръжност с радиус R с център в точка M 0 е набор от точки M на равнината, които отговарят на условието MM 0 =R. Нека точката M 0 в системата Oxy има координати x 0 ,y 0 и M(x, y) е произволна точка от окръжността. Тогава или

-канонично уравнение на окръжност . Ако приемем x 0 \u003d y 0 \u003d 0, получаваме x 2 + y 2 \u003d R 2

нека покажем, че уравнението на окръжност може да бъде написано като общо уравнение от втора степен (1). За да направим това, поставяме на квадрат дясната страна на кръговото уравнение и получаваме:

За да съответства това уравнение на (1), е необходимо:

1) коефициент B=0,

2). Тогава получаваме: (2)

Последното уравнение се нарича общото уравнение на окръжност . Разделяйки двете страни на уравнението на A ≠ 0 и добавяйки членовете, съдържащи x и y към пълния квадрат, получаваме:

(2)

Сравнявайки това уравнение с каноничното уравнение на окръжност, откриваме, че уравнение (2) наистина е уравнение на окръжност, ако:

1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.

Когато тези условия са изпълнени, центърът на окръжността се намира в точка O, а нейният радиус .

Елипса

г

х

F 2 (c, o)

F1 (-c,o)

По дефиниция 2 > 2c, тоест > c. За да изведем уравнението на елипсата, приемаме, че фокусите F 1 и F 2 лежат на оста Ox и t.O съвпада със средата на сегмента F 1 F 2 , след това F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0).

Нека M(x,y) е произволна точка от елипсата, тогава според дефиницията на елипсата MF 1 +MF 2 =2, т.е.

Това е уравнението на елипсата. Можете да го промените в по-проста форма като тази:

Нека го повдигнем на квадрат:

квадрат нагоре

Тъй като , тогава 2 -c 2 > 0 поставяме 2 -c 2 \u003d b 2

Тогава последното уравнение ще приеме формата:

е уравнението на елипса в нейната канонична форма.

Формата на елипсата зависи от съотношението: при b= елипсата се превръща в кръг. Уравнението ще приеме формата. Съотношението често се използва като характеристика на елипса. Тази стойност се нарича ексцентричност на елипсата, освен това 0< <1 так как 0

Изследване на формата на елипса.

1) уравнението на елипсата съдържа x и y само до четна степен, така че елипсата е симетрична спрямо осите Ox и Oy, както и около t.O (0,0), което се нарича център на елипсата.

2) намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Като зададем y=0, намираме A 1 ( ,0) и A 2 (- ,0), в които елипсата пресича Ox. Поставяйки x=0, намираме B 1 (0,b) и B 2 (0,-b). Точките A 1, A 2, B 1, B 2 се наричат ​​върхове на елипсата. Отсечките A 1 A 2 и B 1 B 2 , както и техните дължини 2 и 2b се наричат ​​съответно голяма и малка ос на елипсата. Числата и b са съответно голямата и малката полуос.

A 1 ( ,0)

A2(- ,0)

B 2 (0,b)

Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от правите x=± ,y=±b. (фиг.2.)

4) В уравнението на елипса сумата от неотрицателните членове е равна на единица. Следователно, когато един член нараства, другият ще намалява, т.е. ако |x| нараства, след това |y| - намалява и обратно. От всичко казано следва, че елипсата има формата, показана на фиг.2. (овална затворена крива).

В декартови координати уравнението от първа степен определя някаква права линия.

Линиите, които са определени в декартови координати чрез уравнение от първа степен, се наричат ​​линии от първи ред. Следователно всяка линия е линия от първи ред.

Общо уравнение на права линия(като общо уравнение от първа степен) се определя от уравнение от вида:

о + Ву + ОТ = 0.

Разгледайте непълните уравнения на правата линия.

1. ОТ= 0. Уравнението на права линия има формата: Ах + Ву = 0; линията минава през началото.

2. AT = 0 (НО№ 0). Уравнението изглежда така о + ОТ= 0 или х =а, където а= Правата минава през точката НО(а; 0), тя е успоредна на оста OU. Номер а о(Фиг. 1).

Ориз. един

Ако а= 0, тогава правата съвпада с оста OU. Уравнението на оста y има формата: х = 0.

3. НО = 0 (AT№ 0). Уравнението изглежда така: Ву + ОТ= 0 или при = b, където b= . Правата минава през точката AT(0; b), тя е успоредна на оста о. Номер bе стойността на сегмента, който пресича правата линия на оста OU(фиг. 2).

Ориз. 2

Ако b = 0, то правата линия съвпада с абсцисната ос Ox. Уравнението на оста x Ox има формата: y \u003d 0.

Уравнение на права линия в отсечки по осисе определя от уравнението:

Къде са числата аи bса стойностите на сегментите, отрязани от права линия на координатните оси (фиг. 3).

(х 0 ;при 0)перпендикулярно на нормалния вектор = {А; б), се определя по формулата:

НО(х – х 0) + AT(при – при 0) = 0.

Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M(х 0 ; при 0) успореден на вектора на посоката = {л; м), има формата:

Уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки M 1 (х 1 ; при 1) и М 2 (х 2 ; при 2) се определя от уравнението:

Наклонът на правата kнаречен тангенс на ъгъла на наклона на правата спрямо оста о, което се измерва от положителната посока на оста към правата линия обратно на часовниковата стрелка, к= tanα.

Уравнение на права линия с наклон kизглежда като:

y = kx + b,

където к= tanα, b- стойността на сегмента, отрязан от права линия на оста OU(фиг. 4).

Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M(х 0 ;при 0)в тази посока(наклон кизвестен), се определя по формулата:

y - y 0 = к(х –х 0).

Уравнението на молив от прави, минаващи през дадена точка M(х 0 ;при 0) (наклон кнеизвестен), се определя по формулата:

y - y 0 = к(х –х 0).

Уравнението на молив от прави, минаващи през точката на пресичане на прави

НО 1 х + AT 1 при + ОТ 1 = 0 и НО 2 х + AT 2 при + ОТ 2 = 0, определена по формулата:

α( НО 1 х + AT 1 при + ОТ 1) + β( НО 2 х + AT 2 при + ОТ 2) = 0.

Ъгъл j, броено обратно на часовниковата стрелка от права линия y = k 1 х + b 1 направо y = k 2 х + b 2 се определя по формулата (фиг. 5):

За линии, дадени от общи уравнения НО 1 х + AT 1 при + ОТ 1 = 0 и НО 2 х + AT 2 при + ОТ 2 = 0, ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Условието за успоредност на две прави има формата: к 1 = к 2 или .

Условието за перпендикулярност на две прави има формата: или НО 1 НО 2 + AT 1 AT 2 = 0.

Нормалното уравнение на права линия има формата:

х cos + ггрях- стр = 0,

където п-дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, α е ъгълът на наклон на перпендикуляра към положителната посока на оста о(фиг. 6).

Да се ​​даде общото уравнение на права линия о + Ву + ОТ= 0 в нормална форма, трябва да умножите всички негови членове по нормализиращ фактор μ= , взето с обратен знак на свободния член ОТ.

Разстояние от точка М(х 0 ;при 0)направо ах + Ву + ОТ= 0 се определя по формулата:

Уравнения на ъглополовящи на ъгли между прави А 1 х + AT 1 при + ОТ 1 = 0 и НО 2 х + AT 2 при + ОТ 2 = 0 имат формата:

Пример 4. Дадени са върховете на триъгълник ABC: НО (–5; –7), AT (7; 2), ОТ(–6; 8). Намерете: 1) дължина на страната AB; 2) странични уравнения ABи ACи техните склонове; 3) вътрешен ъгъл AT; 4) уравнение на медианата AE; 5) уравнение и височина дължина CD; 6) уравнение на ъглополовяща АК; 7) уравнение на права линия, минаваща през точка дуспоредно на страната AB; 8) координати на точката Мразположени симетрично на точката НОотносително прав CD.

1. Разстояние дмежду две точки НО(х 1 ; при 1) и AT(х 2 ; при 2) се определя по формулата:

Намерете дължината на страната ABкато разстоянието между две точки НО(-7; -8) и AT(8; –3):

2. Уравнение на права, минаваща през точки НО(х 1 ; при 1) и AT(х 2 ;г 2) има формата:

Заместване на координатите на точките НОи AT, получаваме страничното уравнение AB:

3(х+ 5) = 4(при+ 7); 3х– 4при– 13 = 0 (AB).

За намиране на наклона k ABнаправо ( AB) решаваме полученото уравнение по отношение на при:

4г= 3х– 13;

е уравнението на права линия ( AB) с ъглов коефициент,

По същия начин, замествайки координатите на точките ATи ОТ, получаваме уравнението на правата линия ( слънце):

6х– 42 = –13при+ 26; 6x + 13г– 68 = 0 (пр.н.е).

Нека решим уравнението на права линия ( слънце) относително при: .

3. Тангенс на ъгъл j между две прави, чиито наклони са равни к 1 и к 2 се определя по формулата:

Вътрешен ъгъл ATобразувани от прави линии ( AB) и ( слънце), а това е острия ъгъл, през който трябва да се завърти правата линия слънцев положителна посока (обратно на часовниковата стрелка), докато съвпадне с права линия ( AB). Следователно заместваме във формулата к 1 = , к 2 = :

Ð AT= арктан = арктан 1,575 » 57,59°.

4. За да намерите средното уравнение ( AE), първо определяме координатите на точката Д,което е средата на страната слънцеЗа целта прилагаме формулите за разделяне на сегмент на две равни части:

Оттук и точката дима координати: д(0,5; 5).

Заместване в уравнението на права линия, минаваща през две точки, координатите на точките НОи д, намираме средното уравнение ( AE):

24х – 11при + 43 = 0 (AE).

5. Защото височината CDперпендикулярно на страната AB, след това правата линия ( AB) е перпендикулярна на правата ( CD). За да намерите наклона на височината CD,използваме условието за перпендикулярност на две линии:

Уравнение на права, минаваща през дадена точка М(х 0 ; при 0) в дадена посока (наклон кизвестен), изглежда така:

г 0 = к (х-х 0).

Заместване в последното уравнение на координатите на точката ОТ(–6; 8) и , получаваме уравнението на височината CD:

при – 8 = (Х -(–6)), 3при – 24 = – 4х– 24, 4х + 3при = 0 (CD).

Разстояние от точката М(х 0 ; при 0) направо Ax + By + C = 0 се определя по формулата:

Височина дължина CDнамерете като разстоянието от точката ОТ(–6; 8) към права линия ( AB): 3х – 4при– 13. Замествайки необходимите стойности във формулата, намираме дължината CD:

6. Уравнения на ъглополовящи на ъгли между прави Axe + By + C= 0 и
НО 1 x+B 1 г + ° С 1 = 0 се определят по формулата:

Симетрално уравнение АКнамираме като едно от уравненията на ъглополовящите на ъглите между линиите ( AB)и ( AC).

Нека напишем уравнението на правата линия ( AC) като уравнение на права линия, минаваща през две точки НО(-5; -7) и ОТ (–6; 8):

Нека трансформираме последното уравнение:

15(х+ 5) = – (при+ 7); 15x + y + 82 = 0 (КАТО).

Заместване на коефициентите от общите уравнения на линиите ( AB)и ( AC), получаваме уравненията на ъглополовящите:

Нека трансформираме последното уравнение:

; (3х – 4при– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 Х - 4 при– 13 = ± (75 х +5при + 410).

Разгледайте два случая:

1) 3 Х - 4 при – 13 = 75х +5при+ 410.y l AB.

Триъгълник ABC,височина CD, Медиана AE, ъглополовяща АК, направо ли точка Мизградена в координатната система Оху(фиг. 7).