Конструирайте очертания на повърхностите на въртящ се цилиндър. Повърхностни проекции. Задаване на повърхността върху чертежа. Саратовски държавен технически университет

Есета

Когато се указва за проекция на обект с извити лица, в допълнение към дефинирането на набор от точки, ръбове и лица на проекционния обект, е необходимо да се дефинира набор от очертания за неговите криволинейни лица.

Очертанията на крива повърхност са линии на тази крива повърхност, които разделят повърхността на части, които не се виждат, и части, които се виждат в равнината на проекцията. В този случай говорим за проекцията само на разглежданата криволинейна повърхност и не вземаме предвид възможното засенчване на тази повърхност от други повърхности на преден план.

Частите, на които скиците са разделени от извита повърхност, се наричат отделения.

Позицията на очертанията на криволинейните лица се определя от параметрите на проекцията, така че очертанията трябва да се определят след завършване на прехода към координатната система на изгледа.

Определянето на контура на извита повърхност като цяло е сравнително трудна задача. Следователно, като правило, дадена крива повърхност се апроксимира с помощта на една от типичните извити повърхности, които включват:

Цилиндрична повърхност;

Сферична повърхност;

конична повърхност.

Помислете за намиране на есета за тези видове извити повърхности.

Намиране скици на сферична повърхностилюстрирано на фиг. 6.6-7.

На фигурата са използвани следните обозначения:

O - центърът на сферата;

О p - проекция на центъра на сферата;

GM е главният меридиан на дадената сфера;

Pl1 - равнина, минаваща през центъра на сферата, успоредна на равнината на проекцията;

X в , Y в , Z в - координатни оси на видовата координатна система;

X p , Y p - координатни оси на проекционната равнина.

За да намерите скица върху повърхността на сфера, е необходимо да начертаете равнина през центъра на сферата (pl1 на фиг. 6.6-7), успоредна на равнината на проекцията. Линията на пресичане на тази повърхност и сферата, която има формата на кръг, се нарича главен меридиан (PM) на сферичната повърхност. Този главен меридиан е желаното очертание.

Проекцията на това есе ще бъде окръжност със същия радиус. Центърът на този кръг е проекцията на центъра на оригиналната сфера върху проекционната равнина (O p на фиг. 6.7-1).

Ориз.6.7 ‑ 1

За определяне очертание на цилиндрична повърхност, през оста на дадения цилиндър o 1 o 2 (фиг. 6.7‑2), се начертава равнината Pl1, перпендикулярна на равнината на проекцията. Освен това през оста на цилиндъра се изчертава равнина Pl2, перпендикулярна на равнината Pl1. Пресечните му точки с цилиндричната повърхност образуват две прави линии o h 1 pt 2 и o h 3 o h 4, които са очертания на цилиндричната повърхност. Проекцията на тези скици са прави линии o h 1p o 2p и o h 3p o h 4p, показани на фиг. 6.7-2.

Изграждане на есета конична повърхностилюстрирано на фиг. 6.7-3.

На фигурата по-долу се приемат следните обозначения:

O - върха на конуса;

OO 1 - ос на конуса;

X в , Y в , Z в изгледна координатна система;

PP - проекционна равнина;

X p , Y p , е координатната система на проекционната равнина;

Lp - проекционни линии;

O 1 - центърът на сфера, вписана в конус;

O 2 - окръжност-допирателна на вписаната сфера с център в точката O 1 и първоначалната конична повърхност;

O h 1 , O h 1 - точки, лежащи върху контурите на коничната повърхност;

O h 1p , O h 1p - точки, през които преминават линиите, съответстващи на проекциите на скиците на коничната повърхнина.

Коничната повърхност има две очертания под формата на прави линии. Очевидно е, че тези линии минават през върха на конуса - точка O. Следователно, за да се определи еднозначно очертанието, е необходимо да се намери една точка за всяко очертание.

За да създадете скици на конична повърхност, изпълнете следните стъпки.

В дадена конична повърхност (например с център в точка O 1) се вписва сфера и се определя допирателната на тази сфера към коничната повърхност. В случая, разгледан на фигурата, линията на контакт ще има формата на кръг с център в точката O 2, лежаща върху оста на конуса.

Очевидно, от всички точки на сферична повърхност, само точки, принадлежащи на допирателна окръжност, могат да бъдат точки, принадлежащи на скици. От друга страна, тези точки трябва задължително да са разположени по обиколката на главния меридиан на вписаната сфера.

Следователно желаните точки ще бъдат точките на пресичане на окръжността на главния меридиан на вписаната сфера и окръжността-допирателна. Тези точки могат да бъдат определени като пресечни точки на допирателната окръжност и равнината, минаваща през центъра на вписаната сфера O 1, успоредна на равнината на проекцията. Такива точки на фигурата са O h 1 и O h 2.

За да се изградят проекции на есета, достатъчно е да се намерят точките O h 1p и O h 2p, които са проекции на намерените точки O h 1 и O h 2 върху проекционната равнина, и използвайки тези точки и точката O p от проекцията на върха на конуса, изградете две прави линии, съответстващи на проекциите на скиците на дадената конична повърхност (виж Фиг. 6.7-3).

Цел на работата:

1. Придобиване на умения за пространствено представяне, които позволяват, по дадена насока и ос, да се изгради очертание на повърхност на въртене.

2. Усвояване на умения за намиране на проекции на точки, принадлежащи на повърхността.

1. По зададената детерминанта (водач) на повърхнината построете очертания на повърхнината.

2. Задайте самостоятелно началните данни на една от проекциите на шест точки, принадлежащи на построената повърхност. Покажете различни случаи: точките принадлежат на линиите на скицата и повърхностите като цяло.

3. Постройте липсващите проекции на всяка от шестте точки, принадлежащи на повърхнината, и ги надпишете.

Опциите за работа са показани в таблица 1 на страница 8-12. Номерът на опцията за задача съответства на поредния номер на фамилията на ученика в списъка на групата.

Повърхност на въртененаречена повърхност, образувана от въртенето на някаква линия (генератор) около оста.

Алгоритъм за изграждане на контур на повърхността на въртене:

1. Изберете дискретна поредица от точки на образуващата.

2. Изграждаме паралели, минаващи през избраните точки.

3. Свързваме крайните позиции на точките на паралелите с гладка крива линия.

Пример за изграждане на контур на повърхност на въртене.

1. Изграждаме паралел на врата, минаващ през точка 1, която е близо до оста i. Точките 1' и 1'' ще заемат крайни позиции, когато точка 1 се върти около оста.

2. Да изберем точки 2 и 3 и да построим успоредници, които минават през тях. Можете също така да изберете точка 4 на образуващата, в която контурните линии ще докосват образуващата.

3. На челната проекция очертанието на еднослоен хиперболоид е хипербола, а на хоризонталната проекция е гърлото и най-големият паралел.

4. Изграждаме точки, лежащи на повърхността, използвайки паралели. Например, точка A (A 1) е дадена на хоризонтална проекция. Необходимо е да се изгради неговата фронтална проекция, при условие че точка А принадлежи на повърхността на въртене. Изграждаме паралел, минаващ през точка А върху хоризонталната проекция и нейната фронтална проекция. Използвайки линията на проекционна връзка, намираме фронталната проекция на точка А (А 2).

Таблица 1 Опции за задачата "Изграждане на контур на повърхността":

Таблица 1 (продължение)

Таблица 1 (продължение)

Таблица 1 (продължение)

Таблица 1 (продължение)

ТЕМА 2 ИЗГРАЖДАНЕ НА ИЗГЛЕДИ

Цел на работата:

1. Проучване и практическа употребаправила за изображение на обекти - изграждане на изгледи в съответствие с GOST 2.305–68.

2. Придобиване на умения за пространствено представяне, позволяващи аксонометричното изображение на обект да представя неговата форма, взаимното разположение на частите и ориентацията спрямо проекционните равнини.

3. Придобиване на умения върху аксонометричното изображение на конструкцията на трите основни вида на предмета.

4. Развитие на умения за задаване на размерите на детайла съгласно GOST 2.307–68.

ОБЩИ ПРАВИЛА ЗА ПРОЕКТИРАНЕ НА ЧЕРТЕЖИ

Формати

Обозначенията и размерите на форматите се определят от размера на външната рамка и трябва да отговарят на стандарта (Таблица 2).

таблица 2

Всички формати с изключение на А4 могат да се поставят както вертикално, така и хоризонтално. Намира се формат А4 само вертикално .

Всеки чертеж има вътрешна рамка, която ограничава чертожното поле и се нанася като плътна основна линия с дебелина S = 0,8 - 1 mm. Полето от лявата страна на формата е предназначено за картотекиране и зашиване на чертежи (фиг. 2).

Основен надпис

На чертежите е необходимо да се направи основен надпис, съдържащ информация за изобразения продукт и информация за това кой е направил този чертеж. Основният надпис е поставен в долния десен ъгъл.

1 - името на продукта или името на изучаваната тема.

2 - обозначение на документа;

3 - мащаб;

4 - пореден номер на листа (графата не се попълва при документи, направени на един лист);

5 - общия брой листове на документа (колоната се попълва на първия лист);

6 - документно писмо;

7 - фамилни имена;

8 - подписи;

9 - дата на подписване на документа;

10 - наименование, индекс на предприятието;

11 – обозначение на материала (попълва се върху детайлните чертежи).

Всички колони, с изключение на подписите и датите, както и колоните на заглавната страница, се попълват с молив със стандартен шрифт (клауза 2.1.5 „Шрифтове за чертож“). Необходимо е да се обърне внимание на факта, че върху изображението на заглавния блок има основни и тънки линии.

Везни

Мащабът на изображенията и тяхното обозначение в чертежите определя стандарта.

мащабнарича съотношението на линейните размери на изображението на обекта в чертежа към истинските линейни размери на обекта.

В зависимост от сложността на изобразения обект, неговите изображения в чертежите могат да бъдат изпълнени като естествен размер, и с намаление или увеличение (Таблица 3).

Таблица 3

линии

Стиловете, дебелините и основните цели на деветте вида линии, използвани в чертежите, са определени от стандарта. Има шест вида линии, които най-често се използват в образователните чертежи.

Плътна дебела основна.Дебелина s ≈ 0,5 ... 1,4 mm. Цел: изображението на линиите на видимия контур, вътрешната рамка на чертежа и др.

Плътна тънка линия.Дебелина от s/3 до s/2. Цел: изображение на контурни линии на насложеното сечение, размерни и удължителни линии, линии за люпене и др.

Тънка линия с пунктир.Дебелина от s/3 до s/2. Предназначение: изображение на аксиални и централни линии и др.

прекъсната линия. Дебелина на линията от s/3 до s/2. Цел: изображение на линии на невидим контур.

Плътна вълнообразна линия.Дебелина на линията от s/3 до s/2. Предназначение: изображение на линии на прекъсване, линии на демаркация на изгледа и разреза.

Отворена линия.Дебелина на линията от s до 1.5s. Цел: изображение на позициите на режещи равнини на прости и сложни разфасовки и сечения.

Обърнете внимание, че линиите с тире-точка, използвани като централни линии, трябва да се пресичат една друга с дълги черти. Прекъснатата линия, използвана като централна линия на кръг с диаметър по-малък от 12 mm, се препоръчва да бъде заменена с плътна тънка линия.

Рисуване на шрифтове

Размерът на шрифта се определя от височината на главните (главни) букви. Задават се следните размери на шрифта: 2.5; 3,5; 5; 7; 10; 14. Ширината на буквата се определя спрямо големината на шрифта или спрямо дебелината на щриховата линия д(фиг. 4).

Стандартът определя следните типове шрифтове:

тип А без наклон ( d=h/14);

тип А с наклон около 75˚ ( d=h/14);

тип B без наклон ( d=h/10);

тип B с наклони около 75˚ ( d=h/10).

Формата и дизайнът на арабските цифри от тип B тип с наклон са показани на фиг. 5.

Формата на главни букви с наклон на руската азбука (кирилица) е показана на фиг. 6. Ширината на буквата зависи не само от размера на шрифта, но и от дизайна на самата буква.

Формата и конструкцията на малките букви на шрифта тип B на руската азбука с наклон са показани на фиг. 7.

ГЛЕДКИ ОТ СГРАДА

Насокиза изпълнение:

Изображенията на обектите трябва да се правят по метода на правоъгълна проекция. В този случай се приема, че обектът се намира между наблюдателя и съответната проекционна равнина (фиг. 9).

Изображението на равнината на фронталната проекция, равнина 1, е взето на чертежа като основен изглед (фиг. 10).

Задават се следните имена на изгледи, получени върху основните проекционни равнини ( основни видове , ориз. 9 и 10):

Ориз. 10

Обектът се позиционира спрямо равнината на предната проекция P2, така че изображението върху него да дава най-пълна представа за формата и размера на обекта.

Всички изгледи (проекции на обект) са в проекционна връзка (7 - комуникационни линии (фиг. 9 и 10)). В този случай имената на изгледите в чертежите не трябва да се надписват. Ако изгледите отгоре, отляво, отдясно, отдолу, отзад са изместени спрямо основното изображение (изобразено на равнината на предната проекция), тогава те трябва да бъдат маркирани на чертежа с надпис от тип „А” (фиг. 11).

Посоката на погледа трябва да бъде обозначена със стрелка, отбелязана с главна буква (фиг. 12).

Таблица 4. Опции за задачата "Изграждане на изгледи":

Таблица 4 (продължение)

Таблица 4 (продължение)

повърхноств геометрията се нарича граница, разделяща геометрично тяло (цилиндър, конус, топка и др.) от космоса . На чертежите (диаграмите) се изобразяват само точки и линии (прави или криви). Следователно повърхността може да бъде изобразена само когато е проектирана върху линия или набор от линии.

Повърхността може да се уточни с помощта на модел (последък на обувка, манекен и др.), с помощта на уравнение, кинематично - като следа от линия, движеща се в пространството и др. дескриптивна геометриявъзприет е кинематичен метод за формиране на повърхността. Може да се каже, че повърхност – това е непрекъснат набор от последователни позиции на права или крива линия, движеща се в пространството . Линия, която образува повърхност, докато се движи, се нарича образуваща .

2.4.1. Дефиниране на повърхност с помощта на детерминанта. За да се зададе повърхнина е достатъчно да се зададе образуващата на повърхнината и да се определи законът, по който тя се движи в пространството. Законите за движение на генераторите могат да бъдат определени по различни начини:

1) Образуващата се движи като пресича някаква неподвижна права, която се нарича ръководство .

2) Образуващата се движи чрез пресичане на две или три водещи линии.

3) Образуващата се движи успоредно на себе си или успоредно на някаква равнина, която се нарича равнина на успоредност и т.н.

Образуващата, заедно с геометричните фигури, които определят нейното движение, както и закона за нейното движение, съставляват детерминант повърхности. Можем да кажем, че детерминантата на повърхността е набор от независими параметри, които еднозначно определят повърхността.

Детерминантата се състои от две части:

1) геометрична част - фигури (точки, линии, повърхности) подвижни и неподвижни, с помощта на които се оформя повърхност.

2) Алгоритмична част - правилото за движение (закона за движение) на генератора по отношение на фиксираните фигури на определителя.

В някои случаи образуващата може да се деформира по време на движението си, което също е посочено в алгоритмичната част на детерминантата. Основата за съставянето на детерминанта е анализът на метода на образуване на повърхността и нейните основни свойства. Всяка повърхност може да бъде определена от различни детерминанти.

Например, разгледайте детерминантата на произволна цилиндрична повърхност (фиг. 2.34). Детерминантният запис изглежда така:

Е(л, а) - цилиндрична повърхност

(геометрична част) (алгоритмична част)

Този запис е даден във връзка с чертежа. В нотацията на геометричната част с буквата Еповърхността се обозначава с буквата л- образуваща, буква А- ръководство. Формата и положението в пространството на образуващата и направляващата се определят от чертежа.

В записа на алгоритмичната част се дава името на повърхността. За повърхност с дадено име е добре известно какво е движението л, образувайки повърхност Е. Но също така е възможно да се запише подробно естеството на движението на генератора. В нашия случай генераторът лсе движи успоредно на себе си и пресича водача през цялото време А. Детерминантата напълно определя повърхността, тъй като с негова помощ е възможно да се конструират неговите проекции.

На фиг. 2.35 Апосочен е комплексен чертеж на детерминантата на цилиндрична повърхнина Е(л, а) и проекция А 2точки Апринадлежащи на повърхността. Необходимо е да се изгради хоризонтална проекция A 1точки А.

Познавайки алгоритмичната част на детерминанта, изпълняваме следните конструкции (фиг. 2.35, b):

1) Чрез А 2паралелен l 2начертайте и намерете челната проекция НА 2точки на пресичане с а 2(Етап 1). Стъпките са обозначени със стрелки.

2) Използване на връзката за прожектиране на а 1намирам В 1(етап 2).

3) През точка В 1тече паралелно l 1(етап 3).

4) Ние надграждаме използването на комуникационната линия A 1(етап 4).

2.4.2. Повърхностна телена рамка. Ако изградим определен брой генератори според метода, описан в детерминантния алгоритъм, тогава получаваме кадър или нето повърхности (фиг. 2.36).

Показано на фиг. 2.36 Арамката се нарича еднопараметърна, т.к той се състои от линии, принадлежащи към едно и също семейство. Това е дискретна рамка, която се състои от краен брой редове.

Човек може също да си представи непрекъсната рамка от генератори. Непрекъсната телена рамка е набор от линии, които запълват повърхността, така че само една линия на телената рамка минава през всяка точка от повърхността.

На една и съща повърхност, в зависимост от детерминантата, могат да се представят други рамки. Ако в детерминантата на цилиндрична повърхност образуващата и направляващата са разменени и приемаме, че кривата Аще бъде образуваща, която се движи успоредно на себе си и пресича водача през цялото време л, тогава ще се получи друг еднопараметърен кадър (фиг. 2.36, b).

Ако на повърхността са изградени две рамки, тогава ще се получи двупараметърна рамка (фиг. 2.36, V). Две рамкови линии минават през всяка точка от повърхността, определена от двупараметърен скелет.

2.4.3. Задаване на повърхност, която няма детерминанта. Има неправилни повърхности, които включват манекен, обувка, корпуси на автомобили, фюзелажи на самолети, корпуси на морски и речни кораби, релеф на земната повърхност и др. Такива повърхности се наричат графика и са дадени от отделна рамка. Най-често линиите на тази рамка са плоски криви, успоредни на всяка проекционна равнина. Ако равнините на линиите на рамката са успоредни на хоризонталната проекционна равнина, тогава такива линии се наричат ​​хоризонтални.

2.4.4. Контур на повърхността. Линията на пресичане на проектиращата повърхнина, обгръщаща дадената повърхнина, с проекционната равнина се нарича очертание на повърхнината. . На фиг. 2.37 показва проекцията на сферата Tдо самолета П 1. Набор от хоризонтално проектирани лъчи, допирателни към повърхността на сферата, образуват обвивка на хоризонтално проектирана цилиндрична повърхност Е. Пресечна линия ЕИ П 1представлява хоризонтално очертание на повърхността - кръг а 1.

Очертаната линия на повърхнина е линията, по която обгръщащата издадена повърхнина докосва дадената повърхнина. В нашия случай контурната линия ще бъде големият кръг на сферата А(екватор).

Изображенията на повърхностите, дадени от определителя, не винаги са визуални. Изображенията на повърхностите са по-визуални с помощта на скици. Очертанията на една повърхност почти винаги включват нейната детерминанта. Когато конструирате проекции на точка, лежаща върху повърхност, изобразена от скица, е необходимо първо да изберете проекциите на детерминанта и след това, като използвате алгоритъма на детерминанта, да конструирате проекциите на точката.

На фиг. 2.38 Аповърхността на наклонен елиптичен цилиндър е дадена с детерминанта, а на фиг. 2.38 bскица. Хоризонтален контур е линия, състояща се от сегменти от прави линии и криви. ; челното очертание е успоредник.

Образуващите на хоризонталното очертание и и образуващите на челното очертание и не съвпадат една с друга. От проекциите на есето може да се отдели геометричната част на детерминантата, която ще се състои от елипса и някаква образуваща, например.

2.4.5. Равнинни проекции. Една равнина може да се разглежда като специален случай на повърхност. Самолет Σ може да се образува поради движението на праволинейна образуваща луспоредна на себе си, докато образуващата пресича всички точки на насочващата права А(фиг. 2.39). Детерминантът на равнината в този случай има формата: Σ (А, л).

От геометрията е известно, че равнините са напълно детерминирани:

1) Три точки А, INИ СЪС, които не лежат на една права линия (фиг. 2.40, А).

2) Направо Аи точка Аизвън него (фиг. 2.40, b).

3) Две успоредни прави АИ b(фиг. 2.40, V).

4) Две пресичащи се линии АИ b(фиг. 2.40, Ж).

Задаване на равнина с пресичащи се прави АИ b(фиг. 2.40, Ж) може да се разглежда като универсален начин за дефиниране на равнина, тъй като всички останали могат да бъдат сведени до нея. Така например, ако равнината е дадена с три точки А, INИ СЪС(фиг. 2.40, А), след това като свържете точките Ас INИ INс СЪС, получаваме пресичащи се прави ABИ слънце.

2.4.6. Видове равнини според разположението им в пространството. Според местоположението спрямо проекционните равнини равнината може да бъде разделена на три типа:

1) самолет обща позиция - равнини, които не са успоредни и не са перпендикулярни на проекционните равнини;

2) самолет проектиране - равнини, перпендикулярни на произволна проекционна равнина;

3) самолет ниво - равнини, успоредни на една от проекционните равнини и перпендикулярни на другите две.

Помислете за някои от характеристиките на всеки от изброените видове самолети.

Самолети в обща позиция. На фиг. 2.40 са показани равнини с общо положение. Характерно за тези равнини е, че определящите ги елементи (точки, прави линии и др.) не се сливат в права линия на нито една проекция, т.е. не лежат на една права.

На фиг. 2.41 даден самолет Σ () и една проекция А 2точки Апринадлежащ на самолета Σ . Ще приемем, че А- ръководство, b- образуваща на равнината Σ . Имайки предвид, че всички генератори са успоредни един на друг и всички се пресичат с водача, ще изпълним следните конструкции:

1) През точка А 2нека извършим проекцията на образуващата м2║б 2и изградете точка К 2кръстовища м2с а 2(Етап 1).

2) На комуникационната линия и нататък а 1намирам К 1(етап 2).

3) Чрез К 1извършвам m 1║b 1(етап 3).

4) Използване на комуникационната линия на m 1намирам A 1(етап 4).

В тази конструкция генераторът m 1, лежащ в самолета Σ , е построен върху точка и известна посока. Въпреки това, когато се конструира точка, лежаща в равнина, може да се използва не само образуващата, лежаща в равнината. На фиг. 2.42 хоризонтална проекция на точка Аконструиран с помощта на произволна линия. По същото време са извършени следните строежи:

1) Чрез дадена проекция А 2начертайте произволна линия м2и като се има предвид това млежи в самолета Σ (), маркирайте точките на неговото пресичане К 2И М 2с а 2И б 2(Етап 1).

2) Сграда К 1И М 1На а 1И b 1използване на комуникационни линии (етап 2).

3) Свързване К 1И М 1и получи m 1(етап 3).

4) Включено m 1с помощта на комуникационна линия намираме A 1(етап 4).

очевидно, за да се построи точка в равнина, е необходимо да се начертае права в тази равнина и след това да се вземе точка от правата. При което Една права е в равнина, ако минава през две точки в равнината.

Проектиращи равнини.Има три типа проектиращи равнини:

1) Хоризонтална проекция , перпендикулярно П 1.

2) предна изпъкналост , перпендикулярно П 2.

3) Проектиране на профили , перпендикулярно П 3.

Когато изобразявате прожектиращи равнини, трябва да имате предвид, че проекцията със същото име на такава равнина винаги се изражда в права линия, както беше показано по-рано. Тази линия се нарича основна проекция или следващия проектираща равнина; тази проекция се нарича още изродени . За да се разграничи проектиращата равнина от правата линия, основната проекция на проектиращата равнина на чертежа често се изобразява с удебелен край.

На фиг. 2.43, Апоказва се визуално изображение на произволна хоризонтално проектирана равнина Σ (А║b) и неговата основна проекция Σ 1. Изчерпателен чертеж на тази равнина е показан на фиг. 2.43, b. Всички точки, лежащи в равнината, се проектират върху главната проекция на равнината.

Равнина на фронтална проекция T(с д) е показано на фиг. 2.44 А, профилно-проектираща равнина Ж (д f) - на фиг. 2.44 bи профилно-проектираща равнина Р (А ║ b) - на фиг. 2.44 V.

Поради проективното свойство цитиращите равнини могат да бъдат дефинирани чрез една от техните основни проекции (по-нататък изродена проекция). На фиг. 2.45 е зададена равнината на предната проекция Σ .

От стереометрията е известно, че равнините са перпендикулярни, ако една от тях минава през перпендикуляр на другата. Следователно във всяка проектираща равнина е възможно да се построи проектираща линия със същото име. На фиг. 2.43, bв самолета Σ (А║b) е построена хоризонтално проектираща се права линия с. На фиг. 2.44 Ав самолета T (с д) се построява фронтално издадена права линия f .

В самолети Ж (д f) (фиг. 2.44, b) И Р (А ║ b) (фиг. 2.44, V) има прави, перпендикулярни П 3. Следователно тези равнини са профилни. По този начин равнините, проектиращи профила, могат да бъдат определени само чрез проекции върху П 1И П 2.

Въпросът дали точка и права принадлежат на проектираща равнина се решава по-просто, отколкото в равнина в общо положение. Проекцията на точка или права винаги е в главната проекция на равнина, изродена в права. И така, на фиг. 2.46, Апоказани са точкови проекции А, а на фиг. 2.46 б -прав Апринадлежащи съответно на хоризонтално проектиращата се равнина Σ и предна проектираща равнина T.

Нивелирани равнини.Има три типа нивелирани равнини:

1)Хоризонтална равнина, паралел П 1и перпендикулярно П 2И П 3.

2)Фронтален равнина, паралел П 2и перпендикулярно П 1И П 3.

3)Профил равнина, паралел П 3и перпендикулярно П 1И П 2.

Ниво равнини могат да бъдат наречени двойно проектиране , тъй като всяка от тях е перпендикулярна на две проекционни равнини.

От свойството за проектиране следва, че равнините на нивото се проектират в линии, всяка върху две проекционни равнини. На фиг. 2.47 е визуално представяне на хоризонталната нивелирана равнина Σ . характерна особеностчертежи на равнини на ниво е успоредността на основната (дегенерирана) проекция на равнината на една от осите на чертежа. На фиг. 2.47 Σ ║ П 1И Σ П 2, Σ П 3. Нека докажем това Σ 2 ║ х 12.

Известно е, че Ако две успоредни равнини се пресекат от трета равнина, тогава се образуват успоредни прави. При пресичане П 2И П 1образува се ос х 12. При пресичане П 2с Σ се формира основната му проекция Σ 2. По същия начин се доказва, че Σ 3 ║ 3.

хоризонтална равнина Ж (А b) е показано на фиг. 2.48 А, челна равнина T (А ║ b) - на фиг. 2.48 b, профилна равнина Ω (∆ ABC) - на фиг. 2.48 V.

2.4.7. Примери за инцидентност . Разгледайте няколко задачи за взаимната принадлежност на точка и права линия.

1) През точка Аначертайте обща равнина Σ (А b), Където А ║ П 1И b ║ П 2(фиг. 2.49, А).

Решение:през точка А(A 1, А 2) извършваме хоризонтални проекции А ║ П 1и челни b ║ П 2. Възможни са и други варианти. Да, през точката Ачовек може да начертае хоризонтална или фронтална и да я пресече с линия в общо положение. Възможно е и чрез точката Аначертайте две прави линии в общо положение. В този случай обаче е необходимо да се провери липсата на профилно-прожектиращи линии в получената равнина, чието наличие показва получаването на профилно-проектираща равнина.

2) Сключете права линия А(а 1, а 2) с общо положение в хоризонтално проектиращата равнина Σ , като го зададе като основна проекция Σ 1 (фиг. 2.49, b).

Решение:изпълнете основната проекция Σ 1 съвпадаща с хоризонталната проекция а 1.

3) Постройте хоризонтална проекция на права линия bв общо положение пресичащи се с права линия Атака че и двете прави да принадлежат на хоризонтално проектираната равнина T(фиг. 2.49, V).

Решение:извършете фронтална проекция на права линия bтака че б 2не е било успоредно или перпендикулярно х 12, и хоризонталната проекция b 1съвпадна с а 1. Основна проекция Т 1самолет Tв този случай съвпада с хоризонталните проекции на пресичащите се линии АИ b.

4) Пресечете линията Апряка частна позиция дтака че двете линии да са затворени в хоризонтално проектирана равнина Ж(фиг. 2.49, Ж).

Решение: директен Апресичат хоризонтално стърчащата линия навсякъде д. Основна проекция G 1хоризонтално проектирана равнина Жсъвпада с хоризонталните проекции а 1И d1директен.

5) Сключете права линия Ав равнината на проектирането на профила Ψ (фиг. 2.50, А).

Решение:в най-простия случай пресичаме правата Апрофилно-проектираща линия b П 3. Две пресичащи се линии АИ bобразуват профилно-проектираща равнина Ψ , защото ако има перпендикуляр към друга равнина в една равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни една на друга.

6) Чрез точката Аначертайте хоризонтална проекционна равнина Σ (фиг.2.50, b).

Решение:през точка A 1произволни, но не перпендикулярни или успоредни х 12изпълнете основната проекция Σ 1самолет Σ.

7) Чрез точката INначертайте хоризонтална равнина T(фиг. 2.50, V).

Решение:през точка НА 2изпълнете основната проекция Т 2самолет Tпаралелен х 12.

2.4.8. Успоредност на права и равнина . Известно е, че една права е успоредна на равнина, ако е успоредна на която и да е права в тази равнина. Нека, например, през точката Ме необходимо да се направи директен добща позиция, успоредна на равнината, дадена като триъгълник - Σ (ABC) (фиг. 2.51).

Решение : в самолета Σ (ABC) чертаем произволна права линия в общо положение ЕД(E 1 D 1,E 2 D 2). По-нататък през точката М 1направете хоризонтална проекция d 1 ║ E 1 D 1и предна проекция d 2 ║E 2 D 2прав д.

Ако чрез точка ДА СЕтрябва да са хоризонтални bуспоредна на равнината Σ (ABC),тогава конструкциите трябва да се извършват в следната последователност:

1) Изграждаме фронтална проекция A 2 D 2хоризонтална ADуспоредна на оста х 12.

2) В проекционната връзка намираме хоризонталната проекция A 1 D 1.

3) Чрез точки К 1И К 2правят прогнози b 1 ║ A 1 D 1И b 2 ║ A 2 D 2желаната хоризонтала b. Трябва да се отбележи, че изобщо не е необходимо да се начертае хоризонтална линия през точка А, което препоръчваме на читателя да провери.

2.4.9. успоредни равнини.За да построим успоредни равнини, използваме знака за техния паралелизъм, известен от стереометрията: "Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от втората равнина."

Нека се изисква чрез точка ДА СЕ(фиг. 2.52) начертайте равнина Σ (А b) успоредна на равнината T (с д). За решаване на задача чрез точка ДА СЕизвършвам А ║ стака че а 1║ от 1И а 2║ от 2, И b ║ д, да се b 1 ║ d1И б 2 ║ d2.

На фиг. 2.53 проблемът се разглежда, когато е директен АИ bзатварят в двойка успоредни равнини. Условието на задачата е дадено на фиг. 2.53, А. За да го решим, вземаме прави линии АИ bпроизволни точки ДА СЕИ М(фиг. 2.53, b). По-нататък през точката ДА СЕначертайте права линия с ║ b, и през точката Мдиректен д ║ А. В резултат на това получаваме успоредни равнини Σ (А с) И T (b д), защото две пресичащи се прави АИ ссамолет Σ са съответно успоредни на две пресичащи се прави bИ дсамолет T.

2.4.10. Построяване на равнинни проекции при замяна на проекционни равнини.За да се изградят проекции на равнината при подмяна на проекционната равнина, равнината трябва да бъде определена от три точки. При конструирането всяка точка, която определя равнина, се трансформира подобно на разгледаното по-рано при замяна на проекционни равнини. На фиг. 2.54 показва трансформацията на равнината с произволна замяна на проекционната равнина П 2На P 4.

Най-сложното положение на равнината в пространството е общата равнина, по-простата е проектиращата равнина, а най-простата е равнината на нивото. При решаване на проблеми равнината обикновено се задава от повече трудна ситуацияв по-проста. Така поредица от равнинни трансформации има формата: обща равнина → проектираща равнина → равнина на ниво.

Нека направим първата трансформация. Нека е дадена равнина в общо положение Σ (ABC) (Фиг. 2.55) и трябва да се преобразува в предно проектиране. Проектиращата равнина винаги съдържа проектираща права. Всяка права линия може да се трансформира в проектираща чрез замяна на проекционните равнини: линия на общо положение - с помощта на две трансформации, линия на ниво - с помощта на една трансформация.

За да разрешим проблема, извършваме първата трансформация. За това:

1) В самолет Σ (ABC) изградете хоризонтал AE (A 2 E 2, A 1 E 1).

2) Поставяме AEдо изпъкналата позиция чрез подмяна П 2На P 4, и х 14 A 1 E 1.

3) Проектирайте триъгълника върху нова равнина P 4. В същото време в системата П 1–P 4триъгълник ABC- проектиране. Новата му фронтална проекция A 4 B 4 C 4представлява права линия.

Нека направим втората трансформация. В системата П 1–P 4(фиг. 2.53) Σ (ABC) е равнина с предна проекция и трябва да се преобразува в равнина на ниво. Всяка равнина на ниво е успоредна на една проекционна равнина и перпендикулярна на другите две. В такъв случай Σ (ABC) P 4. Следователно, ако заменим П 1На P 5, поставяне P 5 ║ Σ (ABC), след това в системата P 4–P 5самолет Σ (ABC) става равнинна равнина.

Да правим конструкции. За това:

1) Нека начертаем ос х 45 ║ Σ 4.

2) В системата P 4–P 5изграждане на проекции на точки A 5, НА 5И От 5. Проекция на триъгълник A 5 B 5 C 5представлява неговия естествен размер, тъй като самолетът Σ (ABC) ║ P 5. При трансформирането на обща равнина в хоризонтална позиция бяха извършени две последователни трансформации. Първо беше сменена една проекционна равнина, след това друга.

2.4.11. Класификация на повърхността.Ще класифицираме повърхностите според два критерия:

Във формата на генератора:

1) Равнините, полиедричните повърхности и линейчатите криви повърхности имат праволинейна образуваща.

2) Криволинейна образуваща, непроменлива и променлива, - всички други криви повърхности.

Според разгръщаемостта на повърхността към равнината:

1) Възможност за разгръщане.

2) Не може да се разгръща.

Разгръщането е такава изометрична деформация на повърхността, при която тя може да се комбинира с равнината.

Изометричната повърхностна деформация се нарича огъване. При огъване линейните сегменти, разположени на повърхността, не променят дължината си. Ако една повърхност може да бъде подравнена с равнина без бръчки или счупвания, тогава тя разгръщаем . Повечето повърхности не са съвместими с равнина без гънки и счупвания и се наричат неразгръщаем .

Развиваеми са полиедричните повърхнини и част от линейчатите - цилиндрични, конични и торс. За разгръщаемостта на самолета няма нужда да говорим - той може да се комбинира с всеки самолет.

Помислете за характеристиките на изображенията определени видовеповърхности.

2.4.12. Многостенни повърхнини и полиедри . Счита се за , Какво Полиедричната повърхност е повърхност, образувана от части (по отделения) пресичащи се равнини.

Повърхността на многостенния ъгъл е повърхност, чиито ръбове и лица се пресичат в една точка.(Горна част) . Ако повърхността на полиедърния ъгъл е пресечена от равнина, тогава геометрична фигура – пирамида.

Повърхността на полиедърния ъгъл може да се получи чрез преместване на образуваща, която винаги минава през върха на ъгъла и в същото време се плъзга по водещия многоъгълник.

Ако върхът на многостенен ъгъл се отведе до безкрайност, тогава краищата на повърхността стават успоредни и a призматична повърхност .

Ако ограничим призматичната повърхност до две успоредни плоски основи, тогава се образува геометрична фигура - призма .

Дефинаторът на многостенна повърхност включва водещ многоъгълник, връх за многостенен ъгъл и някакъв ръб за призматична повърхност.

На фиг. 2.56 показва повърхността на многостенен ъгъл Е (ABCD, С) в пространствено изображение с водещ четириъгълник ABCDи отгоре С. На фиг. 2.56 Адетерминантата на повърхността е дадена. На фиг. 2.56 bизгражда се повърхностна рамка.

+

На фиг. 2.57 Апоказана призматична повърхност Е (ABC, л) в пространствено изображение с водещ триъгълник ABCи генериране л; на фиг. 2.57 bе показана призма.

Детерминантата на пирамидата може да бъде нейната основа и връх. Детерминантата на призмата е нейната основа и един страничен ръб или един връх на другата основа.

Когато изобразяват полиедри, те се опитват да ги подредят така, че върху проекциите техните ръбове и лица да се проектират възможно най-далеч без изкривяване или с най-малко изкривяване.

От цялото разнообразие от полиедрични повърхности, като пример, помислете за последователността на конструиране само на правилни тристенни прави призми и пирамиди.

Права тристенна правилна призма.На фиг. 2.58 Апредвид графичната задача на призмата Е (ABC, ) по неговия детерминант. За да получите сложен чертеж на призма (фиг. 2.58, b), е необходимо да завършите два хоризонтално стърчащи ръба INИ СЪСи три хоризонтални ръба на горната основа и .

Нека анализираме елементите на страничната повърхност на призмата.

Страничните ребра са хоризонтално издадени прави линии. Ръбовете на основите са хоризонтали, от които ръбовете ACи - профилно-прожектиращи прави линии.

Страничните лица са хоризонтално изпъкнали равнини, от които лицето е фронталната равнина. Основите са хоризонтални равнини. При хоризонтална проекция двете основи и техните ръбове се проектират в пълен размер. На предната проекция страничните ръбове и задната лицева страна се проектират в пълен размер.

Разгледайте примери за инциденти. Нека проекцията К 2точки ДА СЕ. намирам К 1, като приемем, че точката лежи върху видимата страна на призмата (фиг. 2.58, b).

На предната проекция лицата и се виждат, лицето не се вижда. Затова смятаме, че точката ДА СЕлежи върху видимото лице и неговата хоризонтална проекция К 1пада върху изродената проекция на лицето (проектиращата следа на лицето).

Нека проекцията М 1точки М. намирам М 2, като приемем, че точката лежи върху видимата основа на призмата.

Ориз. 7.2. Изграждане на проекции на повърхности: А- цилиндрични; b– сфери

есеповърхности се наричат ​​линията, която ограничава проекцията на фигурата върху равнината на проекциите. Проекциите на всяка точка от повърхността лежат вътре в контура (в частен случай, в контура). Ако линията на контура на повърхността е генератора на повърхността, тогава тя се нарича контурна образуваща, и неговата проекция скица образуваща.

При конструирането на повърхностна диаграма посоката на проекцията съвпада с посоката на погледа на наблюдателя, следователно контурната линия е границата на видимостта на повърхността: тази част от нея, която се намира пред контурната линия, е видима, останалата част е невидима .

Линията на скицата разделя проекцията на видима и невидима част. Проекциите на повърхностните точки, разположени върху скиците, ще се наричат ​​точки на промяна (граници) на видимост. Невидимите точки обикновено се означават в скоби.

7.3. Класификация на повърхността

Разнообразието от повърхностни форми създава големи трудности при тяхното изучаване. За да се осигури процесът на изучаване на повърхности, е необходимо те да бъдат систематизирани. За съжаление не е възможно да се разработи универсална класификация на повърхностите. В рамките на всеки метод за формиране на повърхността има своя собствена основа за систематизация, например при кинематичния метод за формиране на повърхност систематизацията се основава на вида на генератора и закона за неговото изместване. Една от възможните класификации е показана на фиг. 7.3.

Ориз. 7.3. Класификация на повърхността

Линейни повърхности.Повърхнините, които се образуват при някакво закономерно движение на права линия в пространството се наричат управлявалЛинейчатите повърхности обикновено се дефинират еднозначно от три водещи линии m, n, f.

Линейчатите повърхности се делят на развиващи се и непроявяващи се. разгръщаемповърхностите могат да се комбинират с равнината без деформация (гънки и счупвания). Най-често срещаните разгръщащи се повърхнини са: цилиндрични, конични, с връщащо ребро (торс), призматични, пирамидални.

Повърхности на въртене общ изглед. Повърхностите на въртене с обща форма са повърхности, образувани от произволна линия (генерираща l) по време на нейното въртене около фиксирана ос (ос на повърхността i).

При определяне на повърхността на въртене на сложен чертеж, оста на въртене i се поставя перпендикулярно на една от проекционните равнини. Повърхностни елементи: м- начален меридиан 1 - гърлото, 2 - екватор
(фиг. 7.4, А). В този случай всички паралели на повърхността, гърлото 1 и екватор 2 се проектират върху P 1 в истинската стойност, а върху P 2 - в сегменти, перпендикулярни на аз 2са проекции на оста i. За да зададете повърхността на въртене на общ изглед върху сложен чертеж, се изграждат проекции на главния меридиан m 1И м2, извършете проекции на гърлото, екватора и два паралела (7.5, b).

Свойства на повърхностите на въртене.

1. Въртейки се около оста си, повърхността може да се движи без деформация покрай себе си.

2. Ако меридианът на повърхността на въртене минава през две точки на повърхността, тогава това е най-късата линия между тези точки и всички меридиани са равни един на друг.

3. Всеки от паралелите на повърхността на въртене пресича меридиана под прав ъгъл, т.е. паралелите и меридианите образуват правоъгълна мрежа на повърхността на въртене.

4. Повърхността на въртене може да се определи като крива, ако тази крива пресича всички ходове на точките на образуващата.

Линейчати развиващи се повърхности на въртене.Линейчатите развиващи се повърхности на въртене са повърхности образувани чрез въртенеправолинейна образуваща l около фиксираната ос на повърхността I по извит или начупен водач m, чието развитие може да се комбинира с равнината без прекъсвания и гънки.

Най-често срещаните линейчати развиващи се повърхности на въртене са: цилиндър на въртене, конус на въртене, еднослоен хиперболоид (Таблица 7.1).

повърхностнарича набор от последователни позиции на линия, движеща се в пространството. Тази линия може да бъде права или крива и се нарича образуващаповърхности. Ако е генерираща крива, тя може да има постоянна или променлива форма. Образуващата се движи насочване, които са линии с различна посока от генераторите. Водещите линии определят закона за движение на генераторите. При преместване на образуващата по водачите, a кадърповърхност (фиг. 84), която е комбинация от няколко последователни позиции на генератори и водачи. Като се има предвид рамката, може да се гарантира, че генераторите l и водачите m могат да бъдат разменени, но повърхността е същата.

Може да се получи всякаква повърхност различни начини. И така, прав кръгъл цилиндър (фиг. 85) може да бъде създаден чрез завъртане на образуващата l около оста i, успоредна на нея. Същият цилиндър се формира чрез преместване на окръжността m с център в точка O, плъзгаща се по оста i. Всяка крива k, лежаща на повърхността на цилиндър, образува тази повърхност, когато се върти около оста i.

На практика от всички възможни методи за формиране на повърхността се избира най-простият.

В зависимост от генератора всички повърхнини могат да бъдат разделени на управлявал, чиято генератриса е права линия, и нелинейни, чиято образуваща е крива линия.

В линейчатите повърхности се разграничават развиващи се повърхности, които се комбинират с всичките им точки с равнината без прекъсвания и гънки, и неразвиващи се, които не могат да се комбинират с равнината без прекъсвания и гънки.

Развиваемите повърхности включват повърхности на всички полиедри, цилиндрични, конични и повърхности на торса. Всички други повърхности не се развиват. Нелинейчатите повърхнини могат да бъдат с образуваща с постоянна форма (повърхнини на въртене и тръбни повърхнини) и с образуваща с променлива форма (повърхнини на канали и рамка).

За да се специфицират повърхности, се избира такъв набор от независими геометрични условия, който уникално дефинира дадена повърхност в пространството. Този набор от условия се нарича повърхностен детерминант.

Детерминантата се състои от две части: геометрична, която включва основните геометрични елементи и връзките между тях, и алгоритмична, съдържаща последователността и характера на преходните операции от основните постоянни елементи и величини към променливите елементи на повърхнина, т.е. законът за построяване на отделни точки и линии на дадена повърхнина.

Повърхнината на комплексния чертеж се уточнява от проекциите на геометричната част на нейната детерминанта, указваща начина на конструиране на нейните генератори. На чертежа на повърхнината за произволна точка от пространството недвусмислено се решава въпросът дали тя принадлежи на дадена повърхнина. Графичното дефиниране на елементите на детерминанта на повърхността осигурява обратимостта на чертежа, но не го прави визуален. За по-голяма яснота те прибягват до конструиране на проекции на достатъчно плътна рамка от генератори и до конструиране на контурни линии на повърхността (фиг. 86).

Когато повърхност Ω се проектира върху проекционната равнина, проектиращите лъчи докосват тази повърхност в точки, които образуват върху нея определена линия l, която се нарича контурлиния. Проекцията на контурната линия се нарича есеповърхности. В сложния чертеж всяка повърхност има: на P 1 - хоризонтален контур, на P 2 - челен контур, на P 3 - профилен контур. Скицата включва освен проекциите на контурната линия и проекциите на линиите на разреза.

От значителния набор от повърхности в курса на инженерната графика ще бъдат разгледани всички повърхности, които могат да се развиват, които включват фасетирани, конични, цилиндрични, торс, някои повърхности на въртене и спирални.

Най-простата повърхност, широко използвана в инженерната графика, е равнина, която е повърхност, образувана чрез преместване на права образуваща (фиг. 87) по две успоредни или пресичащи се прави линии m 1 и m 2.