Обратна матрица за дадена е такава матрица, умножението на оригиналната, по която дава единичната матрица: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е неравенството на детерминантата на оригиналната (която на свой ред предполага, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича изродена и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например на намиране на обратната матрицапостроена матричен методрешения на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратна матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Джордан и използването на матрицата на алгебричните добавки. Първият предполага голям брой елементарни трансформации в рамките на матрицата, вторият - изчисляване на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

.

Намерете обратната матрица на сайта

уебсайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. В сайта се правят изчисления от нашия сервиз и се извежда резултат с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точния и верен отговор. В задачи по определение обратна матрица онлайн, необходимо е детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе уебсайтще отчете невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантата на оригиналната матрица е равна на нула. Задача за намиране обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е една от най-основните концепции на алгебрата и математически инструмент в приложни проблеми. Независим дефиниция на обратна матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и голямо внимание, за да не се допусне пропуск или малка грешка в изчисленията. Ето защо, нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнзначително ще улесни задачата ви и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратна матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица в нашата Изчисли обратна матрица онлайн и проверете отговора си. Нашата система никога не греши и намира обратна матрицададено измерение в режима онлайнмоментално! На сайта уебсайтвписванията на символи са разрешени в елементи матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в обща символна форма.

За обратна матрица има подходяща аналогия с реципрочната стойност на число. За всяко число а, което не е равно на нула, съществува число bче работата аи bравно на едно: аб= 1. Номер bсе нарича реципрочна стойност на число b. Например за числото 7 обратното е числото 1/7, тъй като 7*1/7=1.

обратна матрица , което се изисква да се намери за дадена квадратна матрица НО, такава матрица се нарича

продуктът, чрез който матриците НОвдясно е матрицата на идентичността, т.е.
. (1)

Идентификационната матрица е диагонална матрица, в която всички диагонални записи са равни на единица.

Намиране на обратната матрица- проблем, който най-често се решава по два метода:

• методът на алгебричните допълнения, при който се изисква намиране на детерминанти и транспониране на матрици;
• методът на елиминиране на Гаус, който изисква елементарни трансформации на матрици (събиране на редове, умножаване на редове по едно и също число и т.н.).

За тези, които са особено любопитни, има и други методи, например методът на линейните трансформации. В този урок ще анализираме трите споменати метода и алгоритмите за намиране на обратната матрица чрез тези методи.

Теорема.За всяка неособена (неособена, неособена) квадратна матрица може да се намери обратна матрица и освен това само една. За специална (изродена, сингулярна) квадратна матрица обратната матрица не съществува.

Квадратната матрица се нарича неспециални(или неизродени, неединствен), ако неговата детерминанта не е равна на нула, и специален(или изродени, единствено число), ако неговата детерминанта е нула.

Обратната матрица може да се намери само за квадратна матрица. Естествено, обратната матрица също ще бъде квадратна и от същия ред като дадената матрица. Матрица, за която може да се намери обратна матрица, се нарича обратима матрица.

Намиране на обратната матрица чрез елиминиране на неизвестните по Гаус

Първата стъпка за намиране на обратната матрица чрез елиминиране на Гаус е да се присвои на матрицата Аидентификационна матрица от същия ред, като ги разделя с вертикална черта. Получаваме двойна матрица. Умножете двете части на тази матрица по , тогава получаваме

,

Алгоритъм за намиране на обратната матрица чрез елиминиране на неизвестните по Гаус

1. Към матрицата Азадайте идентична матрица от същия ред.

2. Трансформирайте получената двойна матрица, така че матрицата за идентичност да се получи в лявата й част, след което обратната матрица автоматично ще бъде получена в дясната част на мястото на матрицата за идентичност. Матрица Аот лявата страна се преобразува в матрицата на идентичност чрез елементарни трансформации на матрицата.

2. Ако в процеса на матрична трансформация Ав матрицата за идентичност във всеки ред или във всяка колона ще има само нули, тогава детерминантата на матрицата е равна на нула и следователно матрицата Аще бъде изродена и няма обратна матрица. В този случай по-нататъшното намиране на обратната матрица спира.

Пример 2За матрица

намерете обратната матрица.

и ще го трансформираме така, че матрицата на идентичност да се получи от лявата страна. Да започнем трансформацията.

Умножете първия ред на лявата и дясната матрица по (-3) и го добавете към втория ред, след което умножете първия ред по (-4) и го добавете към третия ред, след което получаваме

.

Така че, ако е възможно, да няма дробни числа по време на следващите трансформации, първо ще създадем единица във втория ред от лявата страна на двойната матрица. За да направите това, умножете втория ред по 2 и извадете третия ред от него, тогава получаваме

.

Нека добавим първия ред към втория и след това да умножим втория ред по (-9) и да го добавим към третия ред. Тогава получаваме

.

След това разделете третия ред на 8

.

Умножете третия ред по 2 и го добавете към втория ред. Оказва се:

.

Разменяйки местата на втория и третия ред, накрая получаваме:

.

Виждаме, че матрицата на идентичността се получава от лявата страна, следователно обратната матрица се получава от дясната страна. По този начин:

.

Можете да проверите правилността на изчисленията, като умножите оригиналната матрица по намерената обратна матрица:

Резултатът трябва да бъде обратна матрица.

онлайн калкулатор за намиране на обратната матрица .

Пример 3За матрица

намерете обратната матрица.

Решение. Съставяне на двойна матрица

и ние ще го трансформираме.

Умножаваме първия ред по 3, а втория по 2 и изваждаме от втория, след което умножаваме първия ред по 5 и третия по 2 и изваждаме от третия ред, тогава получаваме

.

Умножаваме първия ред по 2 и го добавяме към втория, след което изваждаме втория от третия ред, след което получаваме

.

Виждаме, че в третия ред от лявата страна всички елементи се оказаха равни на нула. Следователно матрицата е изродена и няма обратна матрица. Спираме по-нататъшното намиране на обратната мария.

Можете да проверите решението с

Метод на Гаус-Джордан. Как да намерим обратната матрица
използвайки елементарни трансформации?

Веднъж немски математик Вилхелм Йордан (транскрибираме неправилно от немскиЙордан като Йордан)седна да реши друга системауравнения. Той обичаше да го прави и подобряваше уменията си в свободното си време. Но тогава дойде моментът, когато той се отегчи от всички методи за решаване и Метод на Гаусвключително...

Да предположим, че ни е дадена система с три уравнения, три неизвестни и нейната разширена матрица е написана. В най-честия случай се получават стандартни стъпки и така всеки ден.... Едно и също - като безнадежден ноемврийски дъжд.

За известно време разсейва меланхолията друг начинпривеждане на матрицата в стъпаловидна форма: освен това тя е напълно еквивалентна и може да бъде неудобна само поради субективно възприятие. Но всичко рано или късно става скучно.... И тогава се замислих относно rdan - защо дори да се занимавате с обратното движение на алгоритъма на Гаус? Не е ли по-лесно незабавно да получите отговора с помощта на допълнителни елементарни трансформации?

... да, това се случва само по любов =)

За да усвоят този урок, "манекените" ще трябва да минат по пътя на F относно rdana и помпа елементарни трансформации на поне средно ниво, като е решил поне 15-20 съответни задачи. Ето защо, ако смътно разбирате за какво е разговорът и / или имате неразбиране на нещо в хода на урока, тогава ви препоръчвам да се запознаете с темата в следния ред:

Е, наистина е прекрасно, ако се получи понижаване на реда на детерминантата.

Както всички разбраха, методът на Гаус-Джордан е модификация Метод на Гауси с изпълнението на основната идея, която вече беше изразена по-горе, ще се срещнем на следващите екрани. В допълнение, сред малкото примери в тази статия е включено най-важното приложение - намиране на обратното на матрица с помощта на елементарни трансформации.

Без повече приказки:

Пример 1

Решете системата по метода на Гаус-Джордан

Решение: това е първата задача от урока Метод на Гаус за манекени, където трансформирахме разширената матрица на системата 5 пъти и я приведохме до стъпаловидна форма:

Сега вместо обратенвлизат в действие допълнителни елементарни трансформации. Първо трябва да получим нули на тези места: ,
и след това още една нула тук: .

Идеалният случай от гледна точка на простотата:

(6) Към втория ред беше добавен трети ред. Към първия ред беше добавен трети ред.

(7) Вторият ред беше добавен към първия ред, умножен по -2.

Не мога да устоя да не илюстрирам окончателната система:

Отговор:

Предупреждавам читателите срещу капризното настроение - това беше най-простият демонстрационен пример. Методът на Гаус-Джордан има свои специфични трикове и не е най-удобните изчисления, така че, моля, пригответе се за сериозна работа.

Не искам да изглеждам категоричен или придирчив, но в по-голямата част от източниците на информация, които съм виждал, типичните проблеми се считат за изключително лоши - трябва да имате седем педя на челото си и да отделите много време/нерви за тежък тромаво решение с дроби. През годините на практика успях да излъскам, няма да кажа, че най-добрата, но рационална и доста лесна техника, която е достъпна за всеки, който притежава аритметични операции:

Пример 2

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус-Джордан.

Решение: първата част от задачата е добре позната:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -1. Към третия ред беше добавен първият ред, умножен по 3. Първият ред, умножен по -5, беше добавен към четвъртия ред.

(2) Вторият ред беше разделен на 2, третият ред беше разделен на 11, четвъртият ред беше разделен на 3.

(3) Вторият и третият ред са пропорционални, 3-тият ред е изтрит. Вторият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по -7

(4) Третият ред беше разделен на 2.

Очевидно системата има безкрайно много решения и нашата задача е да доведем нейната разширена матрица до формата .

Как да процедираме? На първо място, трябва да се отбележи, че загубихме вкусна елементарна трансформация - пермутация на низове. По-точно, възможно е да ги пренаредите, но това няма смисъл (просто ще извършим ненужни действия). И тогава е препоръчително да се придържате към следния модел:

Намираме най-малко общо кратночислата в третата колона (1, -1 и 3), т.е. - най-малкото число, което би се делило без остатък на 1 и на -1 и на 3. В този случай това, разбира се, е „тройка“. Сега в третата колона трябва да получим същите числа по модули тези съображения определят 5-тата трансформация на матрицата:

(5) Умножете първия ред по -3, умножете втория ред по 3. Най-общо казано, първият ред също може да бъде умножен по 3, но това би било по-малко удобно за следващата стъпка. Бързо се свиква с хубавите неща:

(6) Към втория ред беше добавен трети ред. Към първия ред беше добавен трети ред.

(7) Има две ненулеви стойности във втората колона (24 и 6) и отново трябва да получим числа с еднакъв модул. В този случай всичко се получи доста добре - най-малкото кратно е 24, а най-ефективно е вторият ред да се умножи по -4.

(8) Вторият ред беше добавен към първия ред.

(9) Завършващ щрих: първият ред е разделен на -3, вторият ред е разделен на -24 и третият ред е разделен на 3. Това действие се изпълнява В ПОСЛЕДНАТА ЗАЯВКА! Без преждевременни фракции!

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна оригинална система:

Ние елементарно изразяваме основните променливи по отношение на свободната:

и напиши:

Отговор: общо решение:

В такива примери използването на разглеждания алгоритъм най-често е оправдано, тъй като обратното движение Метод на Гаусобикновено изисква времеемки и неприятни изчисления с дроби.

И, разбира се, проверката е много желателна, която се извършва по обичайната схема, разгледана в урока. Несъвместими системи и системи с общо решение.

За самостоятелно решение:

Пример 3

Намерете основното решение с помощта на елементарни трансформации

Тази формулировка на проблема включва използването на метода на Гаус-Джордан, а в примерния разтвор матрицата се редуцира до стандартната форма с основни променливи. Винаги обаче имайте предвид, че други променливи могат да бъдат избрани като базови променливи. Така например, ако в първата колона има тромави числа, тогава е напълно приемливо да приведете матрицата във формата (основни променливи), или към формата (основни променливи), или дори до формата с основни променливи. Има и други варианти.

Но все пак това са екстремни случаи - не трябва отново да шокирате учителите с вашите знания, техника на решаване и още повече, не трябва да раздавате екзотични йордански резултати като . Въпреки това може да бъде трудно да се въздържим от нетипова основа, когато оригиналната матрица, да речем, в 4-та колона, има две готови нули.

Забележка : терминът "основа" има алгебричен смисъл и понятието геометрична основанищо тук!

Ако чифт от линейно зависимилинии, тогава трябва да се опитате да го приведете в обичайната форма с основни променливи. Пример за такова решение е в Пример № 7 от статията за хомогенни системи линейни уравнения, и там се избира друга основа.

Продължаваме да усъвършенстваме уменията си по следната приложна задача:

Как да намерим обратното на матрица, използвайки метода на Гаус?

Обикновено условието се формулира в съкратена форма, но по същество тук работи и алгоритъмът на Гаус-Джордан. По-лесен начин за намиране обратна матрицаза квадратна матрица, разгледахме отдавна в съответния урок, а в суровата късна есен настърганите ученици овладяват майсторския начин за решаване.

РезюмеСледващите стъпки са както следва: първо напишете квадратната матрица в тандем с единичната матрица: . След това, използвайки елементарни трансформации, е необходимо да се получи матрицата на идентичността отляво, докато (без да навлизам в теоретични подробности)обратната матрица е начертана отдясно. Схематично решението изглежда така:

(Ясно е, че обратната матрица трябва да съществува)

Демо 4

Нека намерим обратната матрица за матрицата с помощта на елементарни трансформации. За да направим това, ние го записваме в един сбруя с матрица за идентичност и „двата коня“ се втурнаха:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -3.

(2) Към първия ред беше добавен втори ред.

(3) Вторият ред беше разделен на -2.

Отговор:

Проверете отговора на първия пример от урока. Как да намерим обратната матрица?

Но това беше друг примамлив проблем - всъщност решението е много по-дълго и старателно. Обикновено ще ви бъде представена матрица три по три:

Пример 5

Решение: прикрепяме матрицата за идентичност и започваме да извършваме трансформации, придържайки се към "нормалния" алгоритъм Метод на Гаус:

(1) Първият и третият ред са разменени. На пръв поглед пермутирането на редове изглежда незаконно, но всъщност можете да ги пренаредите - в края на краищата в резултат на това отляво трябва да получим матрица за идентичност, а отдясно „принудително“ получаваме точно матрицата (независимо дали пренареждаме редовете по време на решението или не). Моля, имайте предвид, че тук, вместо пермутация, можете да подредите "шестици" в 1-ва колона (най-малко общо кратно (LCM) на числа 3, 2 и 1). Решението LCM е особено удобно, когато в първата колона няма "единици".

(2) Към 2-ри и 3-ти ред беше добавен 1-ви ред, умножен съответно по -2 и -3.

(3) Към третия ред се добавя вторият ред, умножен по -1

Втората част от решението се извършва по схемата, вече известна от предишния параграф: пермутациите на редове стават безсмислени и намираме най-малкото общо кратно на числата в третата колона (1, -5, 4): 20. Има строг алгоритъм за намиране на LCM, но изборът обикновено е достатъчен тук. Добре е, ако вземете по-голямо число, което се дели и на 1, и на -5, и на 4, например числото 40. Разликата ще бъде в по-тромави изчисления.

Говорейки за изчисления. За да разрешите проблема, изобщо не е срамно да се въоръжите с микрокалкулатор - числата, които се появяват тук, са значителни и ще бъде много разочароващо да направите изчислителна грешка.

(4) Умножаваме третия ред по 5, втория ред по 4, първия ред по „минус двадесет“:

(5) Към първия и втория ред беше добавен трети ред.

(6) Първият и третият ред бяха разделени на 5, вторият ред беше умножен по -1.

(7) Най-малкото общо кратно на ненулевите числа във втората колона (–20 и 44) е 220. Умножаваме първия ред по 11, втория ред по 5.

(8) Към първия ред беше добавен втори ред.

(9) Първият ред беше умножен по -1, вторият ред беше разделен "назад" на 5.

(10) Сега по главния диагонал на лявата матрица е целесъобразно да се получи най-малкото общо кратно на числата по диагонала (44, 44 и 4). Съвсем ясно е, че това число е 44. Умножаваме третия ред по 11.

(11) Разделете всеки ред на 44. Това действие се извършва последно!

Така че обратната матрица е:

Въвеждането и премахването на th по принцип са ненужни действия, но това се изисква от протокола за регистрация на задачата.

Отговор:

Проверката се извършва по обичайната схема, разгледана в урока за обратна матрица.

Напредналите могат донякъде да съкратят решението, но трябва да ви предупредя, че бързането тук е изпълнено с ПОВИШЕН риск от грешка.

Подобна задача за независимо решение:

Пример 6

Намерете обратната матрица по метода на Гаус-Джордан.

Пример за задача в долната част на страницата. И за да „не минавате с песни“, проектирах решението във вече споменатия стил - изключително чрез LCM на колони без нито едно пренареждане на редове и допълнителни изкуствени трансформации. По мое мнение, тази схема е, ако не най-, то една от най-надеждните.

Понякога е удобно по-кратко „модернистично“ решение, което е следното: в първата стъпка всичко е както обикновено: .

На втората стъпка, с назъбена техника (чрез LCM на числата от 2-ра колона), две нули се организират наведнъж във втората колона: . Особено трудно е да се устои на това действие, ако във втората колона са изтеглени числата на същия модул, например същите банални „единици“.

И накрая, на третата стъпка, получаваме необходимите нули в третата колона по същия начин: .

Що се отнася до размерността, в повечето случаи е необходимо да се разреши матрицата "три по три". Въпреки това, от време на време има лека версия на проблема с матрица две на две и твърда ... - специално за всички читатели на сайта:

Пример 7

Намерете обратна матрица с помощта на елементарни трансформации

Това е задача от моя собствен тест по алгебра на Физматов, ... о, къде е първият ми курс =) Преди петнадесет години (листото изненадващо още не е пожълтяло), завърших в 8 стъпки, а сега - само в 6! Между другото, матрицата е много креативна - още на първата стъпка се виждат няколко примамливи решения. Последната ми версия е в долната част на страницата.

И последният съвет - след такива примери гимнастиката за очите и малко хубава музика за релакс са много полезни =)

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 3: Решение: пишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации получаваме основното решение:


(1) Първият и вторият ред са разменени.
(2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5.
(3) Третият ред е разделен на 3.
(4) Вторият ред, умножен по 2, беше добавен към третия ред.
(5) Третият ред беше разделен на 7.
(6) Най-малкото кратно на числата в 3-та колона (-3, 5, 1) е 15. Първият ред е умножен по 5, вторият ред е умножен по -3, третият ред е умножен по 15.
(7) Третият ред беше добавен към първия ред. Третият ред беше добавен към втория ред.
(8) Първият ред беше разделен на 5, вторият ред беше разделен на -3, третият ред беше разделен на 15.
(9) Най-малкото кратно на ненулевите числа от втората колона (–2 и 1) е равно на: 2. Вторият ред е умножен по 2
(10) Вторият ред беше добавен към първия ред.
(11) Вторият ред беше разделен на 2.
Нека изразим основните променливи чрез свободни променливи:

Отговор : общо решение:

Пример 6: Решение: намираме обратната матрица с помощта на елементарни трансформации:


(1) Първият ред беше умножен по -15, вторият ред беше умножен по 3, третият ред беше умножен по 5.
(2) Първият ред беше добавен към 2-рия и 3-тия ред.
(3) Първият ред беше разделен на -15, вторият ред беше разделен на -3, третият ред беше разделен на -5.
(4) Вторият ред беше умножен по 7, третият ред беше умножен по -9.
(5) Към третия ред беше добавен втори ред.


(6) Вторият ред беше разделен на 7.
(7) Първият ред беше умножен по 27, вторият ред беше умножен по 6, третият ред беше умножен по -4.
(8) Към първия и втория ред беше добавен трети ред.
(9) Третият ред беше разделен на -4. Вторият ред беше добавен към първия ред, умножен по -1.
(10) Вторият ред беше разделен на 2.
(11) Всеки ред беше разделен на 27.
Като резултат:
Отговор :

Пример 7: Решение: намерете обратната матрица, като използвате метода на Гаус-Джордан:
(1) 3-ти ред беше добавен към 1-ви и 4-ти редове.
(2) Първият и четвъртият ред са разменени.
(3) Първият ред беше добавен към втория ред. Към 3-ти ред се добавя 1-ви ред, умножен по 2:


(4) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -2. Вторият ред беше добавен към 4-тия ред.
(5) Четвъртият ред, умножен по -1, беше добавен към първия и третия ред.
(6) Вторият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на -2.
Отговор :

Обикновено обратните операции се използват за опростяване на сложни алгебрични изрази. Например, ако задачата съдържа операция за деление на дроб, можете да я замените с операция за умножение по реципрочна стойност, което е обратната операция. Освен това матриците не могат да бъдат разделени, така че трябва да умножите по обратната матрица. Изчисляването на обратното на матрица 3x3 е доста досадно, но трябва да можете да го направите ръчно. Можете също да намерите реципрочната стойност с добър графичен калкулатор.

стъпки

С помощта на приложената матрица

Транспонирайте оригиналната матрица.Транспонирането е замяната на редове с колони спрямо главния диагонал на матрицата, т.е. трябва да размените елементите (i, j) и (j, i). В този случай елементите на главния диагонал (започва в горния ляв ъгъл и завършва в долния десен ъгъл) не се променят.

• За да размените редове с колони, запишете елементите от първия ред в първата колона, елементите от втория ред във втората колона и елементите от третия ред в третата колона. Редът за промяна на позицията на елементите е показан на фигурата, в която съответните елементи са оградени с цветни кръгове.

Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която съответства на определен елемент, зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента, които са елементи на съответната матрица 2x2, ще останат незадраскани.

• Например, за да намерите матрицата 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
• Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
• Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на определени елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

Създайте матрица от кофактори.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова матрица от кофактори. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако за елемента (1,1) се разглежда матрица 2x2, запишете нейния детерминант в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи според определен модел, който е показан на фигурата.

• Схема за промяна на знака: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, обърнете внимание, че знаците "+" и "-", които са показани на диаграмата (виж фигурата), не показват, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът "-" показва, че знакът на елемента се е променил.
• Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
• Ето как намирате асоциираната матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

Разделете всеки елемент от присъединената матрица на детерминантата.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери съществуването на обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция на деление, където се намира съответният елемент. Така че ще намерите матрицата, обратната на оригинала.

• Детерминантата на матрицата, показана на фигурата, е 1. По този начин, свързаната матрица тук е обратната матрица (тъй като разделянето на което и да е число на 1 не го променя).
• В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение с 1/det(M). В този случай крайният резултат не се променя.

Запишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратна матрица.

С помощта на калкулатор

Изберете калкулатор, който работи с матрици.Обикновените калкулатори не могат да намерят обратната матрица, но това може да се направи с добър графичен калкулатор като Texas Instruments TI-83 или TI-86.

Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

Изберете менюто Редактиране.Направете това, като използвате бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона зависи от модела на калкулатора).

Въведете обозначението на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени букви A-J. Като общо правило просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете бутона Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете отново бутона Enter.

Въведете всеки елемент от матрицата.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако дадена матрица вече е въведена в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността на първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести към следващия елемент от матрицата.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. На тази страница ще разгледаме метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарни трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

Метод на съединена (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, съюзна) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). За намиране на обратната матрица за матрица от по-висок ред се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример #1

Намерете матрица, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Отговор: матрица $A^(-1)$ не съществува.

Пример #2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Пуснете проверка.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че ние продължаваме решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантната матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така се намира обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край (масив)\десен)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\вдясно) =E $$

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример #3

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$. Пуснете проверка.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(подравнено) $$

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ край (масив) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(масив) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (масив) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Проверката е преминала успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример #4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред, намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Въпреки това, такива примери контролна работаСреща.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата в ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Например за първия ред получаваме:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Детерминантата на матрицата $A$ се изчислява по следната формула:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(подравнено) $$

Алгебрична допълнителна матрица: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Прикачена матрица: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Обратна матрица:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Проверката, ако желаете, може да се извърши по същия начин, както в предишните примери.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

Във втората част ще бъде разгледан друг начин за намиране на обратната матрица, който включва използването на трансформации на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан.