Dispersiyani tahlil qilish orqali qanday savollarni hal qilish mumkin? Kurs ishi: Dispersiya tahlili. Gripp gistamin ishlab chiqarishning ko'payishiga olib keladi
Xizmat maqsadi. Ushbu onlayn kalkulyator yordamida siz:
- dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish;
- tajribalarning o'rtacha qiymatlari mos keladimi yoki yo'qmi degan savolga javob bering;
- tanlangan ahamiyatlilik darajasida guruh vositalarining tengligi haqidagi nol gipotezani H 0 tasdiqlash yoki rad etish;
Ko'rsatmalar. O'lchamlar sonini (qatorlar soni) q, omillar darajasi p sonini belgilang, Keyingiga bosing. Olingan yechim Word faylida saqlanadi. Ushbu protsedura odatda ko'p regressiya tenglamasini yaratish uchun muhim omillarni tanlash uchun ishlatiladi.
Misol. Ishonchliligini tekshirish maqsadida temir yo'l transporti mahsuloti q marta, i=1,...q ish vaqtining p darajalarida Tj, j=1,..., p. Har bir testda nosozliklar soni n ij hisoblanadi. Muhimlik darajasi a = 0,05 da, q=4, p=4 da bir tomonlama dispersiyani tahlil qilish usulidan foydalanib, mahsulotning ish vaqtining nosozliklar soniga ta'sirini o'rganing. Sinov natijalari n ij jadvallarda keltirilgan.
Yechim.
Bir tomonlama ANOVA protsedurasi. Guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarini topish:
| N | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 |
| 1 | 145 | 210 | 195 | 155 |
| 2 | 140 | 200 | 190 | 150 |
| 3 | 150 | 190 | 240 | 180 |
| 4 | 190 | 195 | 210 | 175 |
| x | 156.25 | 198.75 | 208.75 | 165 |
p - omilning darajalar sonini belgilaymiz (p=4). Har bir darajadagi o'lchamlar soni bir xil va q=4 ga teng.
(1)
R jami = ∑∑(x ij -x ) (2)
R f = q (x ij -x )
R dam = R jami - R f
Agar f obs >f cr bo'lsa, u holda omil sezilarli ta'sirga ega va hisobga olinishi kerak, aks holda e'tiborsiz qolishi mumkin bo'lgan ahamiyatsiz ta'sirga ega.
(4)
| N | P 2 1 | P 2 2 | P 2 3 | P 2 4 |
| 1 | 21025 | 44100 | 38025 | 24025 |
| 2 | 19600 | 40000 | 36100 | 22500 |
| 3 | 22500 | 36100 | 57600 | 32400 |
| 4 | 36100 | 38025 | 44100 | 30625 |
| ∑ | 99225 | 158225 | 175825 | 109550 |
R jami = 99225 + 158225 + 175825 + 109550 - 4 4 182,19 2 = 11748,44
(5) formuladan foydalanib, R f ni topamiz:
R f = 4(156,25 2 + 198,75 2 + 208,75 2 + 165 2) - 4 182,19 2 = 7792,19
Biz R dam olamiz: R dam = R jami - R f = 11748,44 - 7792,19 = 3956,25
Faktor va qoldiq farqlarni aniqlaymiz:
Faktor dispersiyasini baholash qoldiq dispersiyani baholashdan kattaroqdir, shuning uchun biz darhol namuna qatlamlari bo'ylab matematik taxminlarning tengligi haqidagi nol gipoteza to'g'ri emasligini ta'kidlashimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, bu misolda F omil tasodifiy miqdorga sezilarli ta'sir ko'rsatadi.
f obs toping. 
Muhimlik darajasi a=0,05, erkinlik darajalari 3 va 12 uchun Fisher-Snedecor taqsimot jadvalidan fcr ni topamiz.
f cr (0,05; 3; 12) = 3,49
f > f cr kuzatilganligi sababli omilning tajriba natijalariga sezilarli ta'siri haqidagi nol gipotezani qabul qilamiz.
Misol № 2. 1-kurs talabalari bo‘sh vaqtlarini qaysi mashg‘ulotlarga bag‘ishlashlarini aniqlash maqsadida so‘rovnoma o‘tkazildi. Talabalarning og'zaki va og'zaki bo'lmagan afzalliklarining taqsimlanishi farqlanadimi yoki yo'qligini tekshiring.
Guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarini topish:
| N | P 1 | P 2 |
| 1 | 12 | 17 |
| 2 | 18 | 19 |
| 3 | 23 | 25 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 17 |
| x | 15.6 | 17 |
Oxirgi qatorda har bir omil darajasi uchun guruh vositalari mavjud.
Umumiy o'rtacha guruh o'rtacha arifmetik o'rtacha sifatida olinishi mumkin:
(1)
Muvaffaqiyatsizlik foizining guruh o'rtacha ko'rsatkichlarining umumiy o'rtachaga nisbatan tarqalishiga ko'rib chiqilayotgan omil darajasining o'zgarishi ham, tasodifiy omillar ham ta'sir qiladi.
Bu omilning ta'sirini hisobga olish uchun jami tanlama dispersiyasi ikki qismga bo'linadi, birinchisi S 2 f omil, ikkinchisi esa qoldiq S 2 dam olish deyiladi.
Ushbu komponentlarni hisobga olish uchun birinchi navbatda umumiy o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarning umumiy yig'indisi hisoblanadi:
R jami =∑∑(x ij -x )
va ushbu omilning ta'sirini tavsiflovchi umumiy o'rtacha qiymatdan guruh o'rtachalarining kvadratik og'ishlarining omillar yig'indisi:
R f =q∑(x ij -x )
Oxirgi ifoda R ifodasidagi har bir variantni ma'lum omil uchun umumiy guruh o'rtacha qiymatiga almashtirish orqali olinadi.
Kvadrat og'ishlarning qoldiq yig'indisi farq sifatida olinadi:
R dam = R jami - R f
Namunaning umumiy dispersiyasini aniqlash uchun R umumiy miqdorini pq o'lchovlar soniga bo'lish kerak:
va xolis jami tanlama dispersiyasini olish uchun bu ifodani pq/(pq-1) ga ko‘paytirish kerak:
Shunga ko'ra, xolis faktorli tanlov dispersiyasi uchun:
bu erda p-1 xolis omil tanlama dispersiyasining erkinlik darajalari soni.
Ko'rib chiqilayotgan parametrning o'zgarishiga omil ta'sirini baholash uchun qiymat hisoblanadi:
Ikki tanlama dispersiyalarining nisbati S 2 f va S 2 dam Fisher-Snedecor qonuniga muvofiq taqsimlanganligi sababli, f obs ning natijaviy qiymati taqsimot funktsiyasi qiymati bilan taqqoslanadi.
kritik nuqtada f cr tanlangan muhimlik darajasiga mos keladi a.
Agar f obs >f cr bo'lsa, u holda omil sezilarli ta'sirga ega va hisobga olinishi kerak, aks holda e'tiborsiz qolishi mumkin bo'lgan ahamiyatsiz ta'sirga ega.
Rob va Rf ni hisoblash uchun quyidagi formulalardan ham foydalanish mumkin:
R jami =x ij ²-x ², (4)
R f =q∑x j²-x², (5)
Formula (1) yordamida umumiy o'rtachani topamiz:
Formula (4) yordamida Rtotni hisoblash uchun biz 2 kvadratdan iborat jadval tuzamiz: variant:
| N | P 2 1 | P 2 2 |
| 1 | 144 | 289 |
| 2 | 324 | 361 |
| 3 | 529 | 625 |
| 4 | 100 | 49 |
| 5 | 225 | 289 |
| ∑ | 1322 | 1613 |
Umumiy o'rtacha (1) formula bo'yicha hisoblanadi:
Rtot = 1322 + 1613 - 5 2 16,3 2 = 278,1
(5) formuladan foydalanib, R f ni topamiz:
R f = 5(15,6 2 + 17 2) - 2 16,3 2 = 4,9
Biz R dam olamiz: R dam = R jami - R f = 278,1 - 4,9 = 273,2
Faktor va qoldiq farqlarni aniqlaymiz:
Agar o'rtacha qiymatlar bo'lsa tasodifiy o'zgaruvchi, alohida namunalar uchun hisoblangan bir xil bo'lsa, unda omil va qoldiq dispersiyalarning baholari umumiy dispersiyaning xolis baholari bo'lib, ahamiyatsiz farqlanadi.
Keyin Fisher mezonidan foydalangan holda ushbu dispersiyalarni baholashni taqqoslash omil va qoldiq dispersiyalarning tengligi haqidagi nol gipotezani rad etish uchun hech qanday sabab yo'qligini ko'rsatishi kerak.
Faktor dispersiyasini baholash qoldiq dispersiyani baholashdan kamroq, shuning uchun biz darhol namuna qatlamlari bo'ylab matematik taxminlarning tengligi haqidagi nol gipotezaning to'g'riligini tasdiqlashimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, bu misolda F omil tasodifiy miqdorga sezilarli ta'sir ko'rsatmaydi.
N 0 gipotezasini tekshiramiz: x ning o'rtacha qiymatlarining tengligi.
f obs toping.
Muhimlik darajasi a=0,05, erkinlik darajalari 1 va 8 uchun biz Fisher-Snedecor taqsimot jadvalidan fcr ni topamiz.
f cr (0,05; 1; 8) = 5,32
f kuzatilganligi sababli< f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Boshqacha qilib aytganda, o'quvchilarning og'zaki va og'zaki bo'lmagan afzalliklarini taqsimlash farqlanadi.
Mashq qilish. Zavodda qoplamali plitkalar ishlab chiqaradigan to'rtta liniya mavjud. Har bir chiziqdan smenada tasodifiy ravishda 10 ta plitka tanlandi va ularning qalinligi (mm) o'lchandi. Nominal kattalikdan og'ishlar jadvalda keltirilgan. A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida yuqori sifatli plitkalar ishlab chiqarishning ishlab chiqarish liniyasiga bog'liqligini aniqlash kerak (A omil).
Mashq qilish. A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida, bo'yoq rangining qoplamaning xizmat qilish muddatiga ta'sirini o'rganing.
Misol № 1. 13 ta test o'tkazildi, ulardan 4 tasi birinchi omil darajasida, 4 tasi ikkinchi, 3 tasi uchinchi va 2 tasi to'rtinchisi. 0,05 ahamiyatlilik darajasida dispersiyani tahlil qilish usulidan foydalanib, guruh vositalarining tengligi haqidagi nol gipotezani sinab ko'ring. Namunalar bir xil dispersiyaga ega oddiy populyatsiyalardan olingan deb taxmin qilinadi. Sinov natijalari jadvalda ko'rsatilgan.
Yechim:
Guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarini topish:
| N | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 |
| 1 | 1.38 | 1.41 | 1.32 | 1.31 |
| 2 | 1.38 | 1.42 | 1.33 | 1.33 |
| 3 | 1.42 | 1.44 | 1.34 | - |
| 4 | 1.42 | 1.45 | - | - |
| ∑ | 5.6 | 5.72 | 3.99 | 2.64 |
| x | 1.4 | 1.43 | 1.33 | 1.32 |
Oxirgi qatorda har bir omil darajasi uchun guruh vositalari mavjud.
Umumiy o'rtacha quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Formuladan (4) foydalanib, Stotalni hisoblash uchun biz 2 kvadratdan iborat jadval tuzamiz: variant:
| N | P 2 1 | P 2 2 | P 2 3 | P 2 4 |
| 1 | 1.9 | 1.99 | 1.74 | 1.72 |
| 2 | 1.9 | 2.02 | 1.77 | 1.77 |
| 3 | 2.02 | 2.07 | 1.8 | - |
| 4 | 2.02 | 2.1 | - | - |
| ∑ | 7.84 | 8.18 | 5.31 | 3.49 |
S f ni formuladan foydalanib topamiz: 
Biz S dam olamiz: S dam = S jami - S f = 0,0293 - 0,0263 = 0,003
Faktor dispersiyasini aniqlaymiz: 
va qoldiq dispersiya:
Agar alohida namunalar uchun hisoblangan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatlari bir xil bo'lsa, unda omil va qoldiq dispersiyalarning baholari umumiy dispersiyaning xolis bahosi bo'lib, sezilarli darajada farq qilmaydi.
Keyin Fisher mezonidan foydalangan holda ushbu dispersiyalarni baholashni taqqoslash omil va qoldiq dispersiyalarning tengligi haqidagi nol gipotezani rad etish uchun hech qanday sabab yo'qligini ko'rsatishi kerak.
Faktor dispersiyasini baholash qoldiq dispersiyani baholashdan kattaroqdir, shuning uchun biz darhol namuna qatlamlari bo'ylab matematik taxminlarning tengligi haqidagi nol gipoteza to'g'ri emasligini ta'kidlashimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, bu misolda F omil tasodifiy miqdorga sezilarli ta'sir ko'rsatadi.
N 0 gipotezasini tekshiramiz: x ning o'rtacha qiymatlarining tengligi.
f obs toping. 
Muhimlik darajasi a=0,05, erkinlik darajalari 3 va 12 uchun Fisher-Snedecor taqsimot jadvalidan fcr ni topamiz.
f cr (0,05; 3; 12) = 3,49
f > f cr kuzatilganligi sababli biz omilning tajriba natijalariga sezilarli ta'siri haqidagi nol gipotezani qabul qilamiz (guruh vositalarining tengligi haqidagi nol gipotezani rad etamiz). Boshqacha qilib aytganda, guruh ma'nolari umuman olganda sezilarli darajada farq qiladi.
Misol № 2. Maktabda 5 ta oltinchi sinf mavjud. Psixologga sinflarda vaziyatli tashvishning o'rtacha darajasi bir xil yoki yo'qligini aniqlash vazifasi yuklanadi. Shu maqsadda ular jadvalda keltirilgan. Sinflardagi o'rtacha situatsion tashvish farq qilmaydi degan taxminning ahamiyatlilik darajasini tekshiring a=0,05.
Misol № 3. X qiymatini o'rganish uchun F omilining beshta darajasining har birida 4 ta test o'tkazildi. Sinov natijalari jadvalda ko'rsatilgan. X ning qiymatiga F omilning ta'siri ahamiyatli yoki ahamiyatli emasligini aniqlang a = 0,05 ni oling. Namunalar bir xil dispersiyaga ega oddiy populyatsiyalardan olingan deb taxmin qilinadi.
Misol № 4. Faraz qilaylik, pedagogik tajribada har biri 10 nafar talabadan iborat uchta guruh qatnashdi. Guruhlarda turli xil o'qitish usullari qo'llanildi: birinchisida - an'anaviy (F 1), ikkinchisida - kompyuter texnologiyalariga asoslangan (F 2), uchinchisida - vazifalarni keng qo'llaydigan usul. mustaqil ish(F 3). Bilimlar o'n balli tizim yordamida baholandi.
Olingan imtihon ma'lumotlarini qayta ishlash va o'qitish usulining ta'siri ahamiyatli yoki ahamiyatli emasligi to'g'risida xulosa qilish kerak, a = 0,05 ahamiyatga ega.
Imtihon natijalari jadvalda keltirilgan, F j faktor x ij darajasi - F j usuli yordamida i-o`quvchining bahosi.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| F j omilining darajasi | F 1 | 7 | 5 | 6 | 4 | 6 | 7 | 8 | 6 | 5 | 7 |
| F 2 | 9 | 8 | 10 | 8 | 7 | 10 | 10 | 9 | 7 | 6 | |
| F 3 | 6 | 7 | 6 | 6 | 9 | 5 | 7 | 8 | 7 | 8 |
Misol № 5. Ekinlarning raqobatbardosh nav sinovi natijalari ko'rsatilgan (hosildorlik gektariga santimetrda). Har bir nav to'rtta uchastkada sinovdan o'tkazildi. Dispersiya tahlilidan foydalanib, navning hosildorlikka ta'sirini o'rganing. Faktor ta'sirining ahamiyatini (guruhlararo o'zgaruvchanlikning umumiy o'zgarishdagi ulushi) va 0,05 ahamiyatga ega bo'lgan tajriba natijalarining ahamiyatini aniqlang.
Nav sinov uchastkalarida mahsuldorlik
| Turli xillik | Replikatsiyalar bo'yicha hosildorlik c. ha dan | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 2 3 | 42,4 52,5 52,3 | 37,4 50,1 53,0 | 40,7 53,8 51,4 | 38,2 50,7 53,6 |
5.1. Dispersiyani tahlil qilish nima?
Dispersiya tahlili 20-asrning 20-yillarida ingliz matematigi va genetiki Ronald Fisher tomonidan ishlab chiqilgan. 20-asr biologiyasiga kim eng koʻp taʼsir qilganini aniqlagan olimlar oʻrtasida oʻtkazilgan soʻrov natijalariga koʻra, aynan Ser Fisher chempionlikni qoʻlga kiritgan (xizmatlari uchun u ritsar unvoni bilan taqdirlangan - Buyuk Britaniyadagi eng yuqori mukofotlardan biri); bu jihatdan Fisherni 19-asr biologiyasiga eng katta ta'sir ko'rsatgan Charlz Darvin bilan solishtirish mumkin.
Dispersiyani tahlil qilish hozir alohida sanoat statistika. O'rganilayotgan miqdorning o'zgaruvchanlik o'lchovi ushbu miqdorga ta'sir qiluvchi omillarga va tasodifiy og'ishlarga mos keladigan qismlarga bo'linishi mumkinligi Fisher tomonidan kashf etilgan faktga asoslanadi.
Dispersiya tahlilining mohiyatini tushunish uchun biz bir xil turdagi hisoblarni ikki marta bajaramiz: "qo'lda" (kalkulyator bilan) va foydalanish. Statistika dasturlari. Bizning vazifamizni soddalashtirish uchun biz yashil qurbaqalarning xilma-xilligini haqiqiy tavsiflash natijalari bilan emas, balki odamlarda urg'ochi va erkaklarni solishtirishga oid xayoliy misol bilan ishlaymiz. 12 ta katta yoshli odamning bo'yining xilma-xilligini ko'rib chiqing: 7 ayol va 5 erkak.
5.1.1-jadval. Bir tomonlama ANOVA uchun misol: jinsi va bo'yi 12 kishi bo'lgan ma'lumotlar
Keling, bir tomonlama dispersiya tahlilini o'tkazamiz: xarakterlangan guruhdagi erkaklar va ayollarning bo'yi statistik jihatdan sezilarli darajada farq qiladimi yoki yo'qligini solishtiring.
5.2. Oddiy taqsimot uchun sinov
Keyingi fikrlash ko'rib chiqilayotgan namunadagi taqsimotning normal yoki me'yorga yaqin ekanligiga asoslanadi. Agar taqsimot me'yordan uzoq bo'lsa, dispersiya (dispersiya) uning o'zgaruvchanligining adekvat ko'rsatkichi emas. Shu bilan birga, dispersiya tahlili normallikdan tarqalish og'ishlariga nisbatan chidamli.
Ushbu ma'lumotlarning normalligini tekshirish ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin: turli yo'llar bilan. Birinchisi: Statistika / Asosiy Statistikalar / Jadvallar / Tavsifli statistika / Oddiylik yorlig'i. Yorliqda Oddiylik Qaysi normallik testlaridan foydalanishni tanlashingiz mumkin. Chastotalar jadvallari tugmachasini bosganingizda chastotalar jadvali paydo bo'ladi va Histogramlar tugmasi gistogrammani ko'rsatadi. Jadval va gistogramma turli testlar natijalarini ko'rsatadi.
Ikkinchi usul gistogrammalarni qurishda tegishli imkoniyatlardan foydalanish bilan bog'liq. Gistogrammalar yaratish uchun dialog oynasida (Graflar / Histogramlar...) Kengaytirilgan yorlig'ini tanlang. Pastki qismida Statistika bloki mavjud. Unda Shapiro-Uilkni belgilaymiz t est va Kolmogorov-Smirnov testi, rasmda ko'rsatilganidek.
Guruch. 5.2.1. Gistogramma qurish dialogida taqsimlanishning normalligi uchun statistik testlar
Gistogrammadan ko'rinib turibdiki, bizning namunamizdagi o'sishning taqsimlanishi odatdagidan farq qiladi (o'rtada "qobiliyatsizlik" mavjud).
Guruch. 5.2.2. Oldingi rasmda ko'rsatilgan parametrlar bilan qurilgan gistogramma
Grafik sarlavhasining uchinchi qatori kuzatilgan taqsimot eng yaqin bo'lgan normal taqsimot parametrlarini ko'rsatadi. Umumiy o'rtacha 173 va umumiy standart og'ish 10,4 ni tashkil qiladi. Grafikdagi quyidagi qo'shimchada normallik testlari natijalari ko'rsatilgan. D - Kolmogorov-Smirnov testi, SW-W esa Shapiro-Uilk testidir. Ko'rinib turibdiki, ishlatilgan barcha testlar uchun balandlik taqsimoti va normal taqsimot o'rtasidagi farqlar statistik jihatdan ahamiyatsiz bo'lib chiqdi ( p barcha hollarda 0,05 dan katta).
Shunday qilib, rasmiy ravishda taqsimotning normal bo'lishi uchun testlar bizni parametrik usuldan foydalanishni "taqiqlamadi". normal taqsimot. Yuqorida aytib o'tilganidek, dispersiyani tahlil qilish normadan og'ishlarga nisbatan chidamli, shuning uchun biz undan hali ham foydalanamiz.
5.3. Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish: qo'lda hisoblash
Berilgan misolda odamlarning bo'yi o'zgaruvchanligini tavsiflash uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik (ingliz tilida quyidagicha belgilanadi). SS
, Kvadratlar yig'indisi yoki ) o'rtacha qiymatdan individual qiymatlar: 
. Yuqoridagi misoldagi balandlikning o'rtacha qiymati 173 santimetr. Shu asosda,
SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;
SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;
SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.
Olingan qiymat (1192) butun ma'lumotlar to'plamining o'zgaruvchanligi o'lchovidir. Biroq, ular ikkita guruhdan iborat bo'lib, ularning har biri o'z o'rtachasiga ega bo'lishi mumkin. Berilgan ma'lumotlarda ayollarning o'rtacha bo'yi 168 sm, erkaklarniki esa 180 sm.
Keling, ayollar uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik:
SS f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;
SS f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.
Biz erkaklar uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini ham hisoblaymiz:
SS m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;
SS m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.
O'rganilayotgan qiymat dispersiya tahlili mantiqiga muvofiq nimaga bog'liq?
Ikki hisoblangan qiymat, SS f Va SS m , guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni tavsiflang, dispersiya tahlilida odatda "xato" deb ataladi. Bu nomning kelib chiqishi quyidagi mantiq bilan bog'liq.
Ushbu misolda odamning balandligini nima aniqlaydi? Birinchidan, jinsidan qat'i nazar, umuman odamlarning o'rtacha bo'yi bo'yicha. Ikkinchidan - poldan. Agar bir jinsdagi odamlar (erkak) boshqasidan (ayoldan) balandroq bo'lsa, bu ba'zi bir qiymatning "universal" o'rtacha qiymatiga, gender effektiga qo'shimcha sifatida ifodalanishi mumkin. Nihoyat, bir jinsdagi odamlar individual farqlar tufayli balandlikda farqlanadi. Bo'yni insonning o'rtacha ko'rsatkichi va jinsga moslashuv yig'indisi sifatida tavsiflovchi modelda individual farqlar tushuntirilmaydi va ularni "xato" deb hisoblash mumkin.
Shunday qilib, dispersiyani tahlil qilish mantiqiga muvofiq, o'rganilayotgan qiymat quyidagicha aniqlanadi: 
, Qayerda x ij
- o'rganilayotgan omilning j-qiymatidagi o'rganilayotgan miqdorning i-qiymati; - umumiy o'rtacha; Fj
- o'rganilayotgan omilning j-chi qiymatining ta'siri; - "xato", qiymat tegishli ob'ektning individualligining hissasix ij
.
Kvadratlarning guruhlararo yig'indisi
Shunday qilib, SS xatolar = SS f + SS m = 212 + 560 = 772. Ushbu qiymat bilan biz guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni tasvirladik (guruhlarni jins bo'yicha ajratishda). Ammo o'zgaruvchanlikning ikkinchi qismi bor - guruhlararo o'zgaruvchanlik, biz uni chaqiramizSS effekti (chunki biz ko'rib chiqilayotgan ob'ektlarning umumiyligini ayollar va erkaklarga bo'lish samarasi haqida gapiramiz).
Har bir guruhning o'rtacha qiymati umumiy o'rtachadan farq qiladi. Ushbu farqning o'zgaruvchanlikning umumiy o'lchoviga qo'shgan hissasini hisoblashda biz guruh va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farqni har bir guruhdagi ob'ektlar soniga ko'paytirishimiz kerak.
SS effekti = = 7×(168–173) 2 + 5×(180–173) 2 = 7×52 + 5×72 = 7×25 + 5×49 = 175 + 245 = 420.
Bu erda Fisher tomonidan kashf etilgan kvadratlar yig'indisining doimiyligi printsipi o'zini namoyon qildi: SS = effekt SS + xato SS , ya'ni. bu misol uchun 1192 = 440 + 722.
O'rtacha kvadratchalar
Bizning misolimizda kvadratchalarning guruhlararo va guruh ichidagi yig'indilarini solishtirsak, birinchisi ikki guruhning o'zgarishi bilan, ikkinchisi esa 2 guruhdagi 12 ta qiymat bilan bog'liqligini ko'rishimiz mumkin. Erkinlik darajalari soni ( df ) ba'zi bir parametr uchun guruhdagi ob'ektlar soni va bu miqdorlarni bog'laydigan bog'liqliklar (tenglamalar) soni o'rtasidagi farq sifatida aniqlanishi mumkin.
Bizning misolimizda df effekti = 2–1 = 1, A df xatolari = 12–2 = 10.
Biz kvadratlar yig'indisini ularning erkinlik darajalari soniga bo'lishimiz mumkin, bu bizga o'rtacha kvadratlarni beradi ( XONIM , Kvadratlar vositalari). Buni amalga oshirib, biz buni aniqlashimiz mumkin XONIM - o'zgarishlardan boshqa narsa emas ("diferanslar", kvadratlar yig'indisini erkinlik darajalari soniga bo'lish natijasi). Ushbu kashfiyotdan so'ng biz ANOVA jadvalining tuzilishini tushunishimiz mumkin. Bizning misolimiz uchun u quyidagicha ko'rinadi:
|
Effekt |
|||||
|
Xato |
MS effekti Va MS xatolar Guruhlararo va guruh ichidagi dispersiyaning taxminlari va shuning uchun ularni mezon bo'yicha solishtirish mumkin.F (Snedecor mezoni, Fisher nomi bilan atalgan), o'zgarishlarni solishtirish uchun mo'ljallangan. Bu mezon shunchaki kattaroq o'zgaruvchanlikni kichikroqqa bo'lish koeffitsientidir. Bizning holatda bu 420 / 77,2 = 5,440.
Jadvallar yordamida Fisher testining statistik ahamiyatini aniqlash
Agar biz ta'sirning statistik ahamiyatini jadvallar yordamida qo'lda aniqlaydigan bo'lsak, natijada mezon qiymatini solishtirishimiz kerak bo'ladi. F tanqidiy, tegishli ma'lum bir daraja berilgan erkinlik darajalari uchun statistik ahamiyatga ega.
Guruch. 5.3.1. Kriteriya qiymatlari bilan jadval fragmenti F
Ko'rib turganingizdek, statistik ahamiyatga egalik darajasi uchun p=0,05 mezonning kritik qiymatiF 4,96 ga teng. Bu shuni anglatadiki, bizning misolimizda o'rganilayotgan jinsning ta'siri 0,05 statistik ahamiyatlilik darajasida qayd etilgan.
Olingan natijani quyidagicha talqin qilish mumkin. Nol gipoteza ehtimoli, unga ko'ra ayollar va erkaklarning o'rtacha bo'yi bir xil va ularning balandligidagi qayd etilgan farq namunalarni tanlashda tasodifiylik bilan bog'liq, 5% dan kam. Bu shuni anglatadiki, biz muqobil gipotezani tanlashimiz kerak, ya'ni ayollar va erkaklarning o'rtacha bo'yi har xil.
5.4. Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish ( ANOVA) Statistica paketida
Hisob-kitoblar qo'lda emas, balki tegishli dasturlardan foydalangan holda (masalan, Statistica to'plami) amalga oshirilgan hollarda, qiymat p avtomatik tarzda aniqlanadi. Uning kritik qiymatdan biroz yuqori ekanligini tekshirishingiz mumkin.
Muhokama qilinayotgan misolni dispersiya tahlilining eng oddiy versiyasidan foydalanib tahlil qilish uchun tegishli ma’lumotlarga ega fayl uchun Statistika/ANOVA protsedurasini bajarishingiz va “Tahlil turi” oynasida “Bir tomonlama ANOVA” opsiyasini va “Tezkor xususiyatlar” dialog oynasini tanlashingiz kerak. Spetsifikatsiya usuli oynasida variant.
Guruch. 5.4.1. Umumiy dialog ANOVA/MANOVA (Tahlil tahlili)
Ochilgan tezkor muloqot oynasida "O'zgaruvchilar" maydonida biz o'zgaruvchanligini o'rganayotgan ma'lumotlarni o'z ichiga olgan ustunlarni (qaramli o'zgaruvchilar ro'yxati; bizning holatda, o'sish ustuni), shuningdek qiymatlarni o'z ichiga olgan ustunni ko'rsatishingiz kerak. o'rganilayotgan qiymatni guruhlarga ajratadigan (kattagorik bashoratchi (omil); bizning holatlarimizda Jinsiy ustun). Tahlilning ushbu versiyasida ko'p o'lchovli tahlildan farqli o'laroq, faqat bitta omilni hisobga olish mumkin.
Guruch. 5.4.2. Dialogue One-Way ANOVA (Bir tomonlama dispersiyani tahlil qilish)
Faktor kodlari oynasida siz ushbu tahlil davomida qayta ishlanishi kerak bo'lgan omilning qiymatlarini ko'rsatishingiz kerak. Barcha mavjud qiymatlarni Zoom tugmasi yordamida ko'rish mumkin; agar bizning misolimizda bo'lgani kabi, siz omilning barcha qiymatlarini hisobga olishingiz kerak bo'lsa (va bizning misolimizda jins uchun faqat ikkitasi bor), siz "Hammasi" tugmasini bosishingiz mumkin. Qayta ishlangan ustunlar va omil kodlari ko'rsatilganda, siz OK tugmasini bosishingiz va tezkor natijalarni tahlil qilish oynasiga o'tishingiz mumkin: ANOVA natijalari 1, Tez yorlig'iga.
Guruch. 5.4.3. ANOVA natijalari oynasining tezkor yorlig'i
Barcha effektlar/Grafiklar tugmasi ikki guruh vositalarini qanday taqqoslashini ko'rish imkonini beradi. Grafikning tepasida erkinlik darajalari soni, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan omil uchun F va p qiymatlari ko'rsatilgan.
Guruch. 5.4.4. ANOVA natijalarining grafik ko'rinishi
Barcha effektlar tugmasi yuqorida tavsiflanganga o'xshash (ba'zi muhim farqlar bilan) dispersiya jadvalining tahlilini olish imkonini beradi.
Guruch. 5.4.5. Dispersiyani tahlil qilish natijalari bilan jadval ("qo'lda" olingan shunga o'xshash jadval bilan solishtiring)
Jadvalning pastki qatorida kvadratlar yig'indisi, erkinlik darajalari soni va xato uchun o'rtacha kvadratlar (guruh ichidagi o'zgaruvchanlik) ko'rsatilgan. Yuqoridagi qatorda o'rganilayotgan omil uchun o'xshash ko'rsatkichlar (bu holda, jins belgisi), shuningdek, mezon F (ta'sirning o'rtacha kvadratchalarining xatoning o'rtacha kvadratlariga nisbati) va uning statistik ahamiyatlilik darajasi. Ko'rib chiqilayotgan omilning ta'siri statistik ahamiyatga ega bo'lganligi qizil rang bilan ko'rsatilgan.
Va birinchi qatorda "Intercept" indikatori bo'yicha ma'lumotlar ko'rsatilgan. Bu Jadval qatori Statistica-ga 6-chi yoki undan keyingi versiyada qo'shilgan foydalanuvchilar uchun sirni taqdim etadi. Intercept qiymati, ehtimol, barcha ma'lumotlar qiymatlari kvadratlari yig'indisining parchalanishi bilan bog'liq (masalan, 1862 + 1692 ... = 360340). U uchun ko'rsatilgan F mezon qiymati bo'lish yo'li bilan olingan MS Intercept/MS xatosi = 353220 / 77.2 = 4575.389 va tabiiy ravishda juda past qiymat beradi p . Qizig'i shundaki, Statistica-5 da bu qiymat umuman hisoblanmagan va paketning keyingi versiyalaridan foydalanish bo'yicha qo'llanmalarda uning kiritilishi haqida hech qanday izoh berilmagan. Ehtimol, Statistica-6 va undan keyinroq foydalanadigan biologning qila oladigan eng yaxshi ishi bu ANOVA jadvalidagi Intercept qatoriga e'tibor bermaslikdir.
5.5. ANOVA va Student va Fisherning t-testlari: qaysi biri yaxshiroq?
E'tibor bergan bo'lsangiz kerak, biz bir tomonlama dispersiyani tahlil qilish yordamida taqqoslagan ma'lumotlarni, shuningdek, Student va Fisher testlari yordamida tekshirishimiz mumkin. Keling, ushbu ikki usulni taqqoslaylik. Buning uchun, keling, ushbu mezonlardan foydalanib, erkaklar va ayollar o'rtasidagi balandlik farqini hisoblab chiqamiz. Buning uchun biz Statistika / Asosiy Statistika / t-test, mustaqil, guruhlar bo'yicha yo'ldan borishimiz kerak bo'ladi. Tabiiyki, Bog'liq o'zgaruvchilar Growth o'zgaruvchisi, Guruhlash o'zgaruvchisi esa Jinsiy o'zgaruvchidir.
Guruch. 5.5.1. Student va Fisher testlari yordamida ANOVA yordamida qayta ishlangan ma'lumotlarni solishtirish
Ko'rib turganingizdek, natija ANOVA dan foydalanish bilan bir xil. p = 0,041874 ikkala holatda ham, rasmda ko'rsatilganidek. 5.4.5 va shaklda ko'rsatilgan. 5.5.2 (o'zingiz ko'ring!).
Guruch. 5.5.2. Tahlil natijalari (natijalar jadvalini batafsil tushuntirish - Talaba testiga bag'ishlangan paragrafda)
Shuni ta'kidlash kerakki, Student va Fisher testlari bo'yicha ko'rib chiqilayotgan tahlilda matematik nuqtai nazardan F mezoni ANOVA bilan bir xil bo'lsa ham (va dispersiya nisbatini ifodalaydi), tahlil natijalarida uning ma'nosi quyida keltirilgan. yakuniy jadval butunlay boshqacha. Student va Fisher testlari bilan solishtirganda, namunaviy o'rtachalarni solishtirish Student testi bilan, ularning o'zgaruvchanligini solishtirish esa Fisher testi bilan amalga oshiriladi. Tahlil natijalari o'zgaruvchanlikning o'zini emas, balki uni ko'rsatadi Kvadrat ildiz- standart og'ish.
Boshqa tomondan, ANOVA-da, Fisher testi turli xil namunalarning vositalarini solishtirish uchun ishlatiladi (biz muhokama qilganimizdek, bu kvadratlar yig'indisini qismlarga bo'lish va o'rta va guruh ichidagi kvadratlarga mos keladigan kvadratlarning o'rtacha yig'indisini solishtirish orqali amalga oshiriladi. o'zgaruvchanlik).
Biroq, yuqoridagi farq uning mohiyatiga emas, balki statistik tadqiqot natijalarini taqdim etishga tegishli. Glantz (1999, 99-bet) ta'kidlaganidek, masalan, Student's t testidan foydalangan holda guruhlarni taqqoslashni ikkita tanlama uchun dispersiyani tahlil qilishning maxsus holati deb hisoblash mumkin.
Shunday qilib, Talaba va Fisher testlari yordamida namunalarni solishtirish dispersiya tahlilidan muhim afzalliklarga ega: bu sizga namunalarni ularning o'zgaruvchanligi nuqtai nazaridan solishtirish imkonini beradi. Ammo dispersiyani tahlil qilishning afzalliklari hali ham muhimroqdir. Bularga, masalan, bir vaqtning o'zida bir nechta namunalarni solishtirish qobiliyati kiradi.
Shifokorlarning amaliy faoliyatida biotibbiyot, sotsiologik va eksperimental tadqiqotlar o'tkazishda omillarning aholi salomatligi holatini o'rganish natijalariga, kasbiy faoliyatni baholashda va innovatsiyalarning samaradorligiga ta'sirini aniqlash zarurati tug'iladi.
Bir qator statistik usullar mavjud bo'lib, ular umumiy yoki umumiy natijaga omillarning ta'sirining kuchini, yo'nalishini, qonuniyatlarini aniqlashga imkon beradi. namuna populyatsiyalari(I kriteriyani hisoblash, korrelyatsiya tahlili, regressiya, h 2 - (Pirsonning moslik mezoni va boshqalar). Dispersiyani tahlil qilish 20-asrning 20-yillarida ingliz olimi, matematigi va genetiki Ronald Fisher tomonidan ishlab chiqilgan va taklif qilingan. asr.
Dispersiyani tahlil qilish ko'proq sog'liqni saqlash va sog'liqni saqlash sohasidagi ilmiy va amaliy tadqiqotlarda bir yoki bir nechta omillarning natija xususiyatiga ta'sirini o'rganish uchun ishlatiladi. U "omil(lar)ning qiymatlari xilma-xilligini natijaviy xarakteristikalar qiymatlarining xilma-xilligida aks ettirish" tamoyiliga asoslanadi va tanlangan populyatsiyalarda omil(lar)ning ta'sir kuchini belgilaydi.
Dispersiyani tahlil qilish usulining mohiyati individual dispersiyalarni (jami, faktorial, qoldiq) o'lchash va keyinchalik o'rganilayotgan omillarning (har bir omilning rolini yoki ularning birgalikdagi ta'sirini baholash) ta'sirining kuchini (ulushini) aniqlashdan iborat. natijada olingan atribut(lar).
Dispersiyani tahlil qilish Bu xususiyatlar qiymatlaridagi farqlarni (xilma-xillikni) aniqlashga asoslangan tasodifiy tanlangan turli guruhlardagi omil va samaradorlik xususiyatlari o'rtasidagi munosabatlarni baholashning statistik usuli. Dispersiyani tahlil qilish o‘rganilayotgan aholining barcha birliklarining o‘rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishlarini tahlil qilishga asoslanadi. Og'ishlar o'lchovi sifatida dispersiya (B) olinadi - og'ishlarning o'rtacha kvadrati. Omil atributining (omilining) ta'siridan kelib chiqadigan og'ishlar tasodifiy holatlar tufayli yuzaga kelgan og'ishlarning kattaligi bilan taqqoslanadi. Agar omil xarakteristikasi tufayli yuzaga kelgan og'ishlar tasodifiy og'ishlarga qaraganda muhimroq bo'lsa, u holda omil natijaviy xususiyatga sezilarli ta'sir qiladi deb hisoblanadi.
Har bir variantning og'ish qiymatlarining farqini hisoblash uchun (har biri ro'yxatga olingan raqamli qiymat xarakteristikasi) o'rtacha arifmetikdan kvadratga olinadi. Bu salbiy belgilardan xalos bo'ladi. Keyin bu og'ishlar (farqlar) umumlashtiriladi va kuzatishlar soniga bo'linadi, ya'ni. o'rtacha og'ishlar. Shunday qilib, dispersiya qiymatlari olinadi.
Dispersiyani tahlil qilishdan foydalanishning muhim uslubiy ahamiyati tanlovni to'g'ri tanlashdir. Maqsad va vazifalarga qarab, namuna guruhlari bir-biridan mustaqil ravishda tasodifiy shakllantirilishi mumkin (nazorat va eksperimental guruhlar ba'zi bir ko'rsatkichni o'rganish uchun, masalan, yuqori qon bosimining insult rivojlanishiga ta'siri). Bunday namunalar mustaqil deb ataladi.
Ko'pincha omillar ta'siri natijalari bir xil namunaviy guruhda (masalan, bir xil bemorlarda) ta'sir qilishdan oldin va keyin (davolash, profilaktika, reabilitatsiya choralari) o'rganiladi; bunday namunalar bog'liq deb ataladi.
Bir omil ta'sirini tekshiradigan dispersiya tahlili bir omilli tahlil (bir o'zgaruvchan tahlil) deb ataladi. Bir nechta omillar ta'sirini o'rganishda dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili (ko'p o'lchovli tahlil) qo'llaniladi.
Omil xarakteristikalar - bu o'rganilayotgan hodisaga ta'sir qiluvchi xususiyatlar.
Samarali xarakteristikalar - bu omil xususiyatlarining ta'siri ostida o'zgaruvchan xususiyatlar.
Dispersiyani tahlil qilish uchun ham sifat (jinsi, kasbi), ham miqdoriy ko'rsatkichlardan (in'ektsiyalar soni, palatadagi bemorlar, yotoq kunlari soni) foydalanish mumkin.
Dispersiya usullarini tahlil qilish:
- Fisher usuli - F mezoni (F qiymatlari uchun 1-ilovaga qarang);
Usul bir tomonlama dispersiyani tahlil qilishda, barcha kuzatilgan qiymatlarning umumiy dispersiyasi alohida guruhlar ichidagi dispersiyaga va guruhlar orasidagi dispersiyaga bo'linganda qo'llaniladi. - “Umumiy chiziqli model” usuli.
U ko'p o'lchovli tahlilda qo'llaniladigan korrelyatsiya yoki regressiya tahliliga asoslanadi.
Odatda, biotibbiyot tadqiqotlarida faqat bitta faktorli yoki ko'pi bilan ikki faktorli dispersiya komplekslari qo'llaniladi. Ko'p faktorli komplekslarni butun kuzatilgan populyatsiyadan ajratilgan bir yoki ikki omilli komplekslarni ketma-ket tahlil qilish orqali o'rganish mumkin.
Variant tahlilidan foydalanish shartlari:
- Tadqiqotning maqsadi bitta (3 tagacha) omilning natijaga ta'sirining kuchini aniqlash yoki turli omillarning (jins va yosh, jismoniy faollik va ovqatlanish va boshqalar) birgalikdagi ta'sirining kuchini aniqlashdir.
- O'rganilayotgan omillar bir-biridan mustaqil (bog'liq bo'lmagan) bo'lishi kerak. Masalan, ish tajribasi va yoshi, bolalarning bo'yi va vazni va boshqalarning birgalikdagi ta'sirini o'rganish mumkin emas. aholining kasallanishi bo'yicha.
- Tadqiqot uchun guruhlarni tanlash tasodifiy (tasodifiy tanlash) amalga oshiriladi. Variantlarni tanlashda tasodifiylik tamoyilini amalga oshirish bilan dispersiya kompleksini tashkil qilish tasodifiy (ingliz tilidan tarjima qilingan - tasodifiy) deb ataladi, ya'ni. tasodifiy tanlangan.
- Ham miqdoriy, ham sifat (atributiv) xususiyatlardan foydalanish mumkin.
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda tavsiya etiladi (foydalanish uchun zarur shart):
- Tahlil qilinadigan guruhlarning taqsimlanishining normalligi yoki namunaviy guruhlarning normal taqsimlangan umumiy populyatsiyalarga mos kelishi.
- Kuzatishlarni guruhlarga taqsimlashning mustaqilligi (bog'liqlik emas).
- Kuzatishlar chastotasining (takrorlanishining) mavjudligi.
Tarqatishning normalligi Gauss egri chizig'i (De Mavoor) bilan aniqlanadi, uni y = f(x) funksiyasi bilan tasvirlash mumkin, chunki u tasodifiy, ehtimollik xususiyatiga ega bo'lgan hodisalarni tavsiflash uchun ishlatiladigan taqsimot qonunlaridan biridir. tabiatda. Biotibbiyot tadqiqotining predmeti ehtimollik hodisalari bo'lib, bunday tadqiqotlarda normal taqsimot ko'pincha topiladi.
Dispersiyani tahlil qilish usulini qo'llash printsipi
Birinchidan, nol gipoteza tuziladi, ya'ni o'rganilayotgan omillar natijaviy xarakteristikaning qiymatlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi va olingan farqlar tasodifiydir.
Keyin nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, kuzatilgan (yoki kuchliroq) farqlarni olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlaymiz.
Agar bu ehtimollik kichik bo'lsa*, biz nol gipotezani rad qilamiz va tadqiqot natijalari statistik ahamiyatga ega degan xulosaga kelamiz. Bu o'rganilayotgan omillarning ta'siri isbotlangan degani emas (bu savol, birinchi navbatda, tadqiqotni rejalashtirishda), ammo natija tasodif tufayli yuzaga kelishi ehtimoldan yiroq emas.
__________________________________
* Haqiqiy nol gipotezani rad etishning maksimal qabul qilinadigan ehtimoli muhimlik darajasi deb ataladi va a = 0,05 bilan belgilanadi.
Agar dispersiyani qo'llash uchun barcha shartlar bajarilsa, umumiy dispersiyaning parchalanishi matematik jihatdan quyidagicha ko'rinadi:
Jami D = D fakt + D dam olish. ,
Jami D - kuzatilgan qiymatlarning umumiy dispersiyasi (variant), variantning umumiy o'rtachadan tarqalishi bilan tavsiflanadi. Bu o'zgarishga sabab bo'lgan barcha omillar ta'sirida belgining o'zgarishini to'liq o'lchaydi. Umumiy xilma-xillik guruhlararo va guruh ichidagi xilma-xillikdan iborat;
D fakt - omilli (guruhlararo) dispersiya, har bir guruhdagi vositalarning farqi bilan tavsiflanadi va o'rganilayotgan omilning ta'siriga bog'liq bo'lib, har bir guruh farqlanadi. Masalan, pnevmoniyaning klinik kechishining etiologik omili bo'yicha farq qiluvchi guruhlarda o'tkaziladigan yotoq-kunning o'rtacha darajasi bir xil emas - guruhlararo xilma-xillik kuzatiladi.
D dam olish. - variantning guruhlar ichida tarqalishini tavsiflovchi qoldiq (guruh ichidagi) dispersiya. Tasodifiy o'zgarishlarni aks ettiradi, ya'ni. noaniq omillar ta'sirida yuzaga keladigan va xarakteristikaga bog'liq bo'lmagan o'zgarishlarning bir qismi - guruhning asosini tashkil etuvchi omil. O'rganilayotgan belgining o'zgarishi ba'zi bir hisobga olinmagan tasodifiy omillar, ham tashkillashtirilgan (tadqiqotchi tomonidan o'rnatilgan) va tasodifiy (noma'lum) omillar ta'sirining kuchiga bog'liq.
Demak, jami oʻzgaruvchanlik (variatsiya) uyushgan (berilgan) omillar taʼsirida yuzaga kelgan oʻzgarishlardan iborat boʻlib, ular omilli oʻzgaruvchanlik va uyushmagan omillar deb ataladi, yaʼni. qoldiq o'zgarish (tasodifiy, noma'lum).
Dispersiyaning klassik tahlili quyidagi bosqichlarda amalga oshiriladi:
- Dispersion kompleksni qurish.
- O'rtacha kvadratik og'ishlarni hisoblash.
- Dispersiyani hisoblash.
- Omil va qoldiq dispersiyalarni solishtirish.
- Fisher-Snedecor taqsimotining nazariy qiymatlaridan foydalangan holda natijalarni baholash (1-ilova).
SODDALANGAN VARIANT FOYDALANISH VARIANSI TAHLILINI O'TKAZISH ALGORITMMI
Soddalashtirilgan usul yordamida dispersiya tahlilini o'tkazish algoritmi bir xil natijalarni olish imkonini beradi, ammo hisob-kitoblar ancha sodda:
I bosqich. Dispersion kompleksni qurish
Dispersiya kompleksini qurish deganda har bir guruhga kuzatishlar (bemorlar) omillari, samarali belgisi va tanlanishi aniq ajratiladigan jadval tuzish tushuniladi.
Bir omilli kompleks bir omil (A) ning bir necha gradatsiyasidan iborat. Gradatsiyalar turli umumiy populyatsiyalardan (A1, A2, AZ) olingan namunalardir.
Ikki faktorli kompleks - ikki omilning bir-biri bilan uyg'unlashgan bir necha gradatsiyalaridan iborat. Pnevmoniya bilan kasallanishning etiologik omillari bir xil (A1, A2, AD) pnevmoniyaning klinik kechishining turli shakllari (H1 - o'tkir, H2 - surunkali) bilan birgalikda.
| Chiqish ko'rsatkichi (o'rtacha yotoq kunlari soni) | Pnevmoniya rivojlanishining etiologik omillari | |||||
| A1 | A2 | A3 | ||||
| H1 | H2 | H1 | H2 | H1 | H2 | |
| M = 14 kun | ||||||
II bosqich. Umumiy o'rtachani hisoblash (jami M)
Omillarning har bir gradatsiyasi uchun yig'indi variantini hisoblash: S Vj = V 1 + V 2 + V 3
Variantning umumiy miqdorini (S V jami) omil xarakteristikasining barcha darajalari uchun hisoblash: S V jami = S Vj 1 + S Vj 2 + S Vj 3
Guruh o'rtacha (M gr.) omil xarakteristikasining hisobi: M gr. = S Vj / N,
Bu erda N - I omil xarakteristikasining barcha darajalari uchun kuzatishlar sonining yig'indisi (Sn guruh bo'yicha).
III bosqich. Farqlarni hisoblash:
Agar dispersiyani tahlil qilish uchun barcha shartlar bajarilsa, matematik formula quyidagicha bo'ladi:
Jami D = D fakt + D dam olish.
Jami D - umumiy o'rtachadan variantlarning (kuzatilgan qiymatlarning) tarqalishi bilan tavsiflangan umumiy dispersiya;
D fakt. - faktoriy (guruhlararo) dispersiya, umumiy o'rtachadan guruh o'rtachalarining tarqalishini tavsiflaydi;
D dam olish. - qoldiq (guruh ichidagi) dispersiya, variantning guruhlar ichida tarqalishini tavsiflaydi.
- Faktorial dispersiyani hisoblash (D fakti): D fakt. = S h - H
- H ni hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: h = (S Vj) / N
- N ni hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: H = (SV)2/N
- Qoldiq dispersiyani hisoblash: D dam olish. = (S V) 2 - S h
- Umumiy dispersiyani hisoblash: Jami D = (S V) 2 - S H
IV bosqich. O'rganilayotgan omilning ta'sir kuchining asosiy ko'rsatkichini hisoblash Natijaga omil xarakteristikasining ta'sir kuchining ko'rsatkichi (ē 2) faktorial dispersiyaning (D fakt.) umumiy dispersiyadagi (D jami) ulushi bilan belgilanadi, ē 2 (eta) - nima ulushini ko'rsatadi. O'rganilayotgan omilning ta'siri boshqa barcha omillar qatoriga kiradi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
V bosqich. Fisher usuli yordamida tadqiqot natijalarining ishonchliligini aniqlash quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:
F - Fisher testi;
F st. - jadval qiymati (1-ilovaga qarang).
s 2 fakt, s 2 dam. - faktoriy va qoldiq og'ishlar (lotincha de - dan, orqali - yo'l) - formulalar bilan aniqlanadigan markaz chizig'idan chetlanish:
r - omil xarakteristikasining gradatsiyalar soni.
Fisher mezonini (F) standart (jadval) F bilan taqqoslash erkinlik darajalarini hisobga olgan holda jadval ustunlari bo'yicha amalga oshiriladi:
v 1 = n - 1
v 2 = N - 1
Gorizontal ravishda v 1 vertikal ravishda - v 2 ni aniqlang, ularning kesishmasida jadval qiymati F ni aniqlang, bu erda yuqori jadval qiymati p ≥ 0,05, pastki qismi esa p> 0,01 ga to'g'ri keladi va hisoblangan mezon F bilan solishtiring, agar hisoblangan qiymat bo'lsa. F mezoni jadvalga teng yoki undan katta bo'lsa, natijalar ishonchli va H 0 rad etilmaydi.
Vazifa:
N. korxonasida shikastlanish darajasi oshdi, shuning uchun shifokor individual omillarni o'rganib chiqdi, ular orasida ustaxonalarda ishlaydiganlarning ish tajribasi o'rganildi. Namunalar N. korxonasida ish sharoiti va tabiati bir xil boʻlgan 4 ta sexdan tayyorlangan. Shikastlanish darajasi o'tgan yil davomida 100 ishchiga hisoblab chiqilgan.
Ish tajribasi omilini o'rganishda quyidagi ma'lumotlar olingan:
Tadqiqot ma'lumotlariga asoslanib, ish tajribasining A korxonasi xodimlarining shikastlanish darajasiga ta'siri haqida nol gipoteza (H 0) ilgari surildi.
Mashq qilish
Bir tomonlama dispersiya tahlili yordamida nol gipotezani tasdiqlang yoki rad eting:
- ta'sir kuchini aniqlash;
- omil ta'sirining ishonchliligini baholash.
ANOVA-ni qo'llash bosqichlari
omilning (ish tajribasi) natijaga (jarohatlanish darajasi) ta'sirini aniqlash.
Xulosa. Namuna majmuasida ish tajribasining shikastlanish darajasiga ta'siri boshqa omillarning umumiy sonining 80% ni tashkil etishi aniqlandi. Zavodning barcha ustaxonalari uchun 99,7% (13,3 > 8,7) ehtimollik bilan aytish mumkinki, ish tajribasi jarohatlar darajasiga ta'sir qiladi.
Shunday qilib, nol gipoteza (H 0) rad etilmaydi va ish tajribasining A zavodining ustaxonalaridagi jarohatlar darajasiga ta'siri isbotlangan deb hisoblanadi.
F qiymati (Fisher testi) standarti p ≥ 0,05 (yuqori qiymat) p ≥ 0,01 (pastki qiymat)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 6 | 6,0 13,4 | 5,1 10,9 | 4,8 9,8 | 4,5 9,2 | 4,4 8,8 | 4,3 8,5 | 4,2 8,3 | 4,1 8,1 | 4,1 8,0 | 4,1 7,9 | 4,0 7,8 |
| 7 | 5,6 12,3 | 4,7 9,6 | 4,4 8,5 | 4,1 7,9 | 4,0 7,5 | 3,9 7,2 | 3,8 7,0 | 3,7 6,8 | 3,7 6,7 | 3,6 6,6 | 3,6 6,5 |
| 8 | 5,3 11,3 | 4,6 8,7 | 4,1 7,6 | 3,8 7,0 | 3,7 6,6 | 3,6 6,4 | 3,5 6,2 | 3,4 6,0 | 3,4 5,9 | 3,3 5,8 | 3,1 5,7 |
| 9 | 5,1 10,6 | 4,3 8,0 | 3,6 7,0 | 3,6 6,4 | 3,5 6,1 | 3,4 5,8 | 3,3 5,6 | 3,2 5,5 | 3,2 5,4 | 3,1 5,3 | 3,1 5,2 |
| 10 | 5,0 10,0 | 4,1 7,9 | 3,7 6,6 | 3,5 6,0 | 3,3 5,6 | 3,2 5,4 | 3,1 5,2 | 3,1 5,1 | 3,0 5,0 | 2,9 4,5 | 2,9 4,8 |
| 11 | 4,8 9,7 | 4,0 7,2 | 3,6 6,2 | 3,6 5,7 | 3,2 5,3 | 3,1 5,1 | 3,0 4,9 | 3,0 4,7 | 2,9 4,6 | 2,9 4,5 | 2,8 4,5 |
| 12 | 4,8 9,3 | 3,9 6,9 | 3,5 6,0 | 3,3 5,4 | 3,1 5,1 | 3,0 4,7 | 2,9 4,7 | 2,9 4,5 | 2,8 4,4 | 2,8 4,3 | 2,7 4,2 |
| 13 | 4,7 9,1 | 3,8 6,7 | 3,4 5,7 | 3,2 5,2 | 3,0 4,9 | 2,9 4,6 | 2,8 4,4 | 2,8 4,3 | 2,7 4,2 | 2,7 4,1 | 2,6 4,0 |
| 14 | 4,6 8,9 | 3,7 6,5 | 3,3 5,6 | 3,1 5,0 | 3,0 4,7 | 2,9 4,5 | 2,8 4,3 | 2,7 4,1 | 2,7 4,0 | 2,6 3,9 | 2,6 3,9 |
| 15 | 4,5 8,7 | 3,7 6,4 | 3,3 5,4 | 3,1 4,9 | 2,9 4,6 | 2,8 4,3 | 2,7 4,1 | 2,6 4,0 | 2,6 3,9 | 2,5 3,8 | 2,5 3,7 |
| 16 | 4,5 8,5 | 3,6 6,2 | 3,2 5,3 | 3,0 4,8 | 2,9 4,4 | 2,7 4,2 | 2,7 4,0 | 2,6 3,9 | 2,5 3,8 | 2,5 3,7 | 2,5 3,6 |
| 17 | 4,5 8,4 | 3,6 6,1 | 3,2 5,2 | 3,0 4,7 | 2,8 4,3 | 2,7 4,1 | 2,6 3,9 | 2,6 3,8 | 2,5 3,8 | 2,5 3,6 | 2,4 3,5 |
| 18 | 4,4 8,3 | 3,5 6,0 | 3,2 5,1 | 2,9 4,6 | 2,8 4,2 | 2,7 4,0 | 2,6 3,8 | 2,5 3,7 | 2,7 3,6 | 2,4 3,6 | 3,4 3,5 |
| 19 | 4,4 8,2 | 3,5 5,9 | 3,1 5,0 | 2,9 4,5 | 2,7 4,2 | 2,6 3,9 | 2,5 3,8 | 2,5 3,6 | 2,4 3,5 | 2,4 3,4 | 2,3 3,4 |
| 20 | 4,3 8,1 | 3,5 5,8 | 3,1 4,9 | 2,9 4,4 | 2,7 4,1 | 2,6 3,9 | 2,5 3,7 | 2,4 3,6 | 2,4 3,4 | 2,3 3,4 | 2,3 3,3 |
- Vlasov V.V. Epidemiologiya. - M.: GEOTAR-MED, 2004. 464 b.
- Arkhipova G.L., Lavrova I.G., Troshina I.M. Biroz zamonaviy usullar tibbiyotda statistik tahlil. - M.: Metrosnab, 1971. - 75 b.
- Zaitsev V.M., Liflyandskiy V.G., Marinkin V.I. Amaliy tibbiy statistika. - Sankt-Peterburg: FOLIANT nashriyoti MChJ, 2003. - 432 p.
- Platonov A.E. Tibbiyot va biologiyada statistik tahlil: vazifalar, terminologiya, mantiq, kompyuter usullari. - M .: Rossiya Tibbiyot fanlari akademiyasining nashriyoti, 2000. - 52 p.
- Ploxinskiy N.A. Biometrik. - SSSR Fanlar akademiyasining Sibir bo'limining Novosibirsk nashriyoti. - 1961. - 364 b.
Ushbu eslatmada statistik ma'lumotlardan foydalanish ko'ndalang misol bilan tasvirlanadi. Aytaylik, siz Perfect Parachute kompaniyasining ishlab chiqarish menejerisiz. Parashyutlar to'rt xil yetkazib beruvchi tomonidan taqdim etilgan sintetik tolalardan tayyorlangan. Parashyutning asosiy xususiyatlaridan biri uning kuchidir. Taqdim etilgan barcha tolalar bir xil kuchga ega ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Bu savolga javob berish uchun turli etkazib beruvchilarning sintetik tolalaridan to'qilgan parashyutlarning kuchini o'lchash uchun eksperimental dizayn ishlab chiqilishi kerak. Ushbu tajribadan olingan ma'lumotlar qaysi etkazib beruvchining eng bardoshli parashyutlarni taqdim etishini aniqlaydi.
Ko'pgina ilovalar bir nechta guruhlar yoki bitta omil darajasini hisobga oladigan tajribalarni o'z ichiga oladi. Ba'zi omillar, masalan, keramika pishirish harorati, bir nechta raqamli darajalarga ega bo'lishi mumkin (masalan, 300 °, 350 °, 400 ° va 450 °). Supermarketdagi tovarlarning joylashuvi kabi boshqa omillar kategoriya darajalariga ega bo'lishi mumkin (masalan, birinchi yetkazib beruvchi, ikkinchi yetkazib beruvchi, uchinchi yetkazib beruvchi, to'rtinchi yetkazib beruvchi). Eksperimental birliklar tasodifiy ravishda guruhlarga yoki omillar darajalariga tayinlangan bir omilli tajribalar to'liq tasodifiy deb ataladi.
FoydalanishF-bir nechta matematik taxminlar orasidagi farqlarni baholash mezonlari
Guruhlardagi omilning raqamli o'lchovlari uzluksiz bo'lsa va ba'zi qo'shimcha shartlar bajarilsa, bir nechta guruhlarning matematik taxminlarini solishtirish uchun dispersiya tahlili (ANOVA) qo'llaniladi. An tahlil qilish o f Va riance). To'liq tasodifiy dizaynlar yordamida dispersiyani tahlil qilish bir tomonlama ANOVA protsedurasi deb ataladi. Qaysidir ma'noda, dispersiyani tahlil qilish atamasi noto'g'ri nomdir, chunki u tafovutlar o'rtasida emas, balki guruhlarning kutilgan qiymatlari orasidagi farqlarni taqqoslaydi. Biroq, matematik taxminlarni taqqoslash ma'lumotlarning o'zgarishini tahlil qilish asosida aniq amalga oshiriladi. ANOVA protsedurasida o'lchov natijalarining umumiy o'zgarishi guruhlar o'rtasida va guruhlar ichida bo'linadi (1-rasm). Guruh ichidagi variatsiya eksperimental xato bilan, guruhlar orasidagi oʻzgarish esa eksperimental sharoitlarning taʼsiri bilan izohlanadi. Belgi Bilan guruhlar sonini bildiradi.
Guruch. 1. To'liq tasodifiy tajribada bo'linish o'zgarishi
Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar
Keling, shunday da'vo qilaylik Bilan guruhlar normal taqsimot va teng dispersiyaga ega bo'lgan mustaqil populyatsiyalardan olinadi. Nol gipoteza shundan iboratki, aholining matematik taxminlari bir xil: H 0: m 1 = m 2 = ... = m s. Muqobil gipoteza shuni ko'rsatadiki, barcha matematik taxminlar bir xil emas: H 1: hamma m j bir xil emas j= 1, 2, …, s).
Shaklda. 2-rasmda populyatsiyalar normal taqsimot va bir xil dispersiyaga ega bo'lishi sharti bilan taqqoslangan besh guruhning matematik taxminlari haqidagi haqiqiy nol gipoteza keltirilgan. Beshta umumiy populyatsiyalar bilan bog'liq turli darajalarda omillar bir xil. Binobarin, ular bir xil matematik kutish, o'zgaruvchanlik va shaklga ega bo'lgan holda bir-birining ustiga qo'yilgan.
Guruch. 2. Beshta umumiy populyatsiyalar bir xil matematik taxminlarga ega: m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5
Boshqa tomondan, deylik, nol gipoteza noto'g'ri bo'lib, to'rtinchi daraja eng yuqori kutilgan qiymatga ega, birinchi daraja biroz pastroq kutilgan qiymatga ega va qolgan darajalar bir xil va hatto undan pastroq kutilgan qiymatlarga ega ( 3-rasm). E'tibor bering, kutilgan qiymatlar bundan mustasno, barcha beshta populyatsiya bir xil (ya'ni, ular bir xil o'zgaruvchanlik va shaklga ega).
Guruch. 3. Eksperimental sharoitlarning ta'siri kuzatiladi: m 4 > m 1 > m 2 = m 3 = m 5
Bir nechta umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlarining tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rishda umumiy o'zgarishlar ikki qismga bo'linadi: guruhlar o'rtasidagi farqlar tufayli guruhlararo o'zgarishlar va bir guruhga tegishli elementlar orasidagi farqlar tufayli guruh ichidagi variatsiya. Umumiy o'zgarish kvadratlarning umumiy yig'indisi bilan ifodalanadi (SST - jami kvadratlar yig'indisi). Chunki nol gipoteza hammaning matematik kutishidir Bilan guruhlar bir-biriga teng, umumiy o'zgarish individual kuzatishlar va barcha namunalar uchun hisoblangan umumiy o'rtacha (o'rtacha o'rtacha) o'rtasidagi kvadratik farqlar yig'indisiga teng. To'liq o'zgarish:
Qayerda 
- umumiy o'rtacha, X ij - i-da kuzatuv j-guruh yoki daraja, n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, n- barcha guruhlardagi kuzatuvlarning umumiy soni (ya'ni. n = n 1
+ n 2 + … + n c), Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni.
Guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi (SSA - guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi) deb ataladi, har bir guruhning o'rtacha tanlanmasi orasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j va umumiy o'rtacha , mos keladigan guruhning hajmiga ko'paytiriladi n j:
Qayerda Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni; n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh, - umumiy o'rtacha.
Guruh ichidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruh ichidagi kvadratlar yig'indisi (SSW - sum of squares Withing groups) deb ataladi, har bir guruh elementlari va ushbu guruhning namunaviy o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j:
Qayerda Xij - i th element j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh.
Chunki ular solishtiriladi Bilan omil darajalari, kvadratlarning guruhlararo yig'indisi mavjud s - 1 erkinlik darajalari. Har biri Bilan darajalariga ega n j – 1 erkinlik darajasi, shuning uchun kvadratlarning guruh ichidagi yig'indisi bor n- Bilan erkinlik darajalari va
Bundan tashqari, kvadratlarning umumiy yig'indisi mavjud n – 1 erkinlik darajalari, chunki har bir kuzatish Xij umumiy hisoblangan o'rtacha bilan solishtiriladi n kuzatishlar. Agar ushbu yig'indilarning har biri tegishli erkinlik darajalariga bo'linsa, dispersiyaning uch turi paydo bo'ladi: guruhlararo(o'rtacha kvadrat - MSA), guruh ichidagi(o'rtacha kvadrat ichida - MSW) va to'la(o'rtacha kvadrat jami - MST):
Dispersiyani tahlil qilishning asosiy maqsadi matematik taxminlarni solishtirish bo'lishiga qaramay Bilan Eksperimental sharoitlarning ta'sirini aniqlash uchun guruhlar, uning nomi asosiy vosita dispersiyalarni tahlil qilish ekanligi bilan bog'liq. turli xil turlari. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa va matematik taxminlar o'rtasida Bilan guruhlarda sezilarli farqlar yo'q, har uchala farq - MSA, MSW va MST - dispersiyani baholashdir s 2 tahlil qilingan ma'lumotlarga xosdir. Shunday qilib, nol gipotezani sinab ko'rish uchun H 0: m 1 = m 2 = ... = m s va muqobil gipoteza H 1: hamma m j bir xil emas j = 1, 2, …, Bilan), statistik ma'lumotlarni hisoblash kerak F-kriteriya, bu ikki dispersiya, MSA va MSW nisbati. Sinov F-dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda statistika
Statistika F- mezonlar bo'yicha F- bilan tarqatish s - 1 numeratordagi erkinlik darajalari M.S.A. Va n - s maxrajdagi erkinlik darajalari M.S.V.. Berilgan ahamiyatlilik darajasi a uchun, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi F FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 n - s maxrajdagi erkinlik darajalari. Shunday qilib, rasmda ko'rsatilganidek. 4, qaror qoidasi quyidagicha tuzilgan: nol gipoteza H 0 agar rad etilgan F>FU; aks holda rad etilmaydi.
Guruch. 4. Kritik mintaqa gipotezani tekshirishda dispersiyani tahlil qilish H 0
Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 rost, hisoblangan F-statistika 1 ga yaqin, chunki uning numeratori va maxraji bir xil miqdorning taxminlari - tahlil qilingan ma'lumotlarga xos bo'lgan dispersiya s 2. Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 noto'g'ri (va turli guruhlarning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farq bor), hisoblangan F-statistika bittadan ancha katta bo'ladi, chunki uning numeratori MSA ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligiga qo'shimcha ravishda tajriba sharoitlarining ta'sirini yoki guruhlar orasidagi farqni taxmin qiladi, maxraj MSW esa faqat ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligini taxmin qiladi. . Shunday qilib, ANOVA protsedurasi F-mezon, bunda ma'lum bir ahamiyatlilik a darajasida, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi. F-statistik ma'lumotlar yuqori kritik qiymatdan katta FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - s Shaklda ko'rsatilganidek, maxrajdagi erkinlik darajalari. 4.
Dispersiyaning bir tomonlama tahlilini tasvirlash uchun keling, eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Tajribaning maqsadi turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning bir xil kuchga ega ekanligini aniqlashdir. Har bir guruhda beshta parashyut bor. Guruhlar yetkazib beruvchi bo‘yicha bo‘linadi – 1- yetkazib beruvchi, 2- yetkazib beruvchi, 3- yetkazib beruvchi va 4-chi. Parashyutlarning mustahkamligi matoning har ikki tomonida yirtilishini tekshiradigan maxsus qurilma yordamida o‘lchanadi. Parashyutni sindirish uchun zarur bo'lgan kuch maxsus shkalada o'lchanadi. Buzilish kuchi qanchalik baland bo'lsa, parashyut shunchalik kuchli bo'ladi. Excel sizga tahlil qilish imkonini beradi F- bir marta bosish bilan statistika. Menyudan o'ting Ma'lumotlar → Ma'lumotlarni tahlil qilish, va qatorni tanlang Bir tomonlama ANOVA, ochilgan oynani to'ldiring (5-rasm). Eksperimental natijalar (buzilish kuchi), ba'zi tavsiflovchi statistik ma'lumotlar va dispersiyaning bir tomonlama tahlili natijalari rasmda keltirilgan. 6.
Guruch. 5. Oyna Variantlarni tahlil qilish paketining bir tomonlama tahlili Excel
Guruch. 6. Turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning mustahkamlik ko'rsatkichlari, tavsiflovchi statistika va dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish natijalari.
6-rasmning tahlili shuni ko'rsatadiki, namunaviy o'rtacha qiymatlar o'rtasida biroz farq bor. Birinchi etkazib beruvchidan olingan tolalarning o'rtacha quvvati 19,52, ikkinchidan - 24,26, uchinchidan - 22,84 va to'rtinchidan - 21,16. Bu farq statistik ahamiyatga egami? Yorilish kuchining taqsimlanishi tarqalish chizmasida ko'rsatilgan (7-rasm). Bu guruhlar o'rtasidagi va guruh ichidagi farqlarni aniq ko'rsatadi. Agar har bir guruh kattaroq bo'lsa, ularni tahlil qilish uchun poya va barg diagrammasi, quti yoki qo'ng'iroq chizig'idan foydalanish mumkin edi.
Guruch. 7. To'rtta etkazib beruvchidan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlar uchun quvvat dispersiyasi diagrammasi.
Nol gipoteza shuni ko'rsatadiki, o'rtacha kuch ballari o'rtasida sezilarli farqlar yo'q: H 0: m 1 = m 2 = m 3 = m 4. Muqobil gipoteza shundan iboratki, o'rtacha tola kuchi boshqalardan farq qiladigan kamida bitta etkazib beruvchi mavjud: H 1: hamma m j bir xil emas ( j = 1, 2, …, Bilan).
Umumiy o'rtacha (6-rasmga qarang) = O'RTA (D12: D15) = 21,945; aniqlash uchun barcha 20 ta asl raqamlarni oʻrtacha hisoblashingiz mumkin: = AVERAGE(A3:D7). Farq qiymatlari hisoblab chiqiladi Tahlil to'plami va plastinkada aks etadi Dispersiyani tahlil qilish(6-rasmga qarang): SSA = 63.286, SSW = 97.504, SST = 160.790 (ustunga qarang). SS jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). O'rtacha qiymatlar kvadratlarning bu yig'indisini tegishli erkinlik darajalariga bo'lish yo'li bilan hisoblanadi. Chunki Bilan= 4, a n= 20, biz erkinlik darajalarining quyidagi qiymatlarini olamiz; SSA uchun: s - 1= 3; SSW uchun: n–c= 16; SST uchun: n – 1= 19 (ustunga qarang df). Shunday qilib: MSA = SSA / ( s – 1)= 21.095; MSW = SSW / ( n–c) = 6,094; MST = SST / ( n – 1) = 8.463 (ustunga qarang XONIM). F-statistika = MSA / MSW = 3.462 (ustunga qarang F).
Yuqori kritik qiymat FU, xarakteristikasi F-taqsimlash, =F.OBR(0,95;3;16) = 3,239 formula bilan aniqlanadi. =F.OBR() funksiyasining parametrlari: a = 0,05, hisoblagich uch erkinlik darajasiga, maxraj esa 16. Shunday qilib, hisoblangan F-3,462 ga teng statistik yuqori kritik qiymatdan oshib ketadi FU= 3.239, nol gipoteza rad etiladi (8-rasm).
Guruch. 8. 0,05 ahamiyatlilik darajasidagi dispersiyani tahlil qilishning kritik mintaqasi, agar hisoblagich uch erkinlik darajasiga ega bo'lsa va maxraj -16 bo'lsa.
R-qiymat, ya'ni. nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, ehtimollik F-statistik ma'lumotlar 3,46 dan kam bo'lmagan, 0,041 yoki 4,1% ga teng (ustunga qarang). p-qiymati jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). Bu qiymat a = 5% ahamiyatlilik darajasidan oshmaganligi sababli, nol gipoteza rad etiladi. Bundan tashqari, R-qiymat umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlari o'rtasidagi bunday yoki kattaroq farqni aniqlash ehtimoli, agar ular bir xil bo'lsa, 4,1% ga teng ekanligini ko'rsatadi.
Shunday qilib. To'rtta namunaviy vosita o'rtasida farq bor. Nol gipoteza to'rtta populyatsiyaning barcha matematik taxminlari teng ekanligidan iborat edi. Bunday sharoitda, barcha parashyutlar kuchining umumiy o'zgaruvchanligi (ya'ni, umumiy SST o'zgarishi) har bir kuzatuv orasidagi kvadrat farqlarni yig'ish orqali hisoblanadi. X ij va umumiy o'rtacha . Keyin umumiy o'zgarish ikki komponentga ajratildi (1-rasmga qarang). Birinchi komponent SSAdagi guruhlar o'rtasidagi o'zgarish, ikkinchisi esa SSWdagi guruh ichidagi o'zgarish edi.
Ma'lumotlarning o'zgaruvchanligini nima tushuntiradi? Boshqacha qilib aytganda, nima uchun barcha kuzatuvlar bir xil emas? Buning sabablaridan biri shundaki, turli kompaniyalar turli xil kuchli tolalarni etkazib beradi. Bu qisman guruhlarda nima uchun turli xil matematik taxminlarga ega ekanligini tushuntiradi: eksperimental shartlarning ta'siri qanchalik kuchli bo'lsa, guruhlarning matematik kutishlari o'rtasidagi farq shunchalik katta bo'ladi. Ma'lumotlarning o'zgaruvchanligining yana bir sababi - bu har qanday jarayonning tabiiy o'zgaruvchanligi, bu holda parashyutlarni ishlab chiqarish. Agar barcha tolalar bir xil etkazib beruvchidan sotib olingan bo'lsa ham, ularning kuchi bir xil bo'lmaydi, qolgan barcha narsalar teng bo'ladi. Bu ta'sir har bir guruh ichida sodir bo'lganligi sababli, u guruh ichidagi o'zgaruvchanlik deb ataladi.
Namuna vositalari o'rtasidagi farqlar guruhlararo o'zgaruvchan SSA deb ataladi. Guruh ichidagi o'zgarishlarning bir qismi, yuqorida aytib o'tilganidek, ma'lumotlarning turli guruhlarga tegishliligi bilan izohlanadi. Biroq, agar guruhlar aynan bir xil bo'lsa ham (ya'ni, nol gipoteza to'g'ri bo'lsa ham), guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik hali ham mavjud bo'ladi. Buning sababi parashyut ishlab chiqarish jarayonining tabiiy o'zgaruvchanligi. Namunalar har xil bo'lgani uchun ularning namunaviy vositalari bir-biridan farq qiladi. Shuning uchun, agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi o'zgaruvchanlik populyatsiya o'zgaruvchanligini taxmin qiladi. Agar nol gipoteza noto'g'ri bo'lsa, guruhlar o'rtasidagi gipoteza kattaroq bo'ladi. Aynan mana shu faktning asosi yotadi F-bir necha guruhlarning matematik taxminlari orasidagi farqlarni solishtirish mezonlari.
Bir tomonlama ANOVAni amalga oshirgandan va firmalar o'rtasida sezilarli farqni topgandan so'ng, qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan sezilarli darajada farq qilishi noma'lum bo'lib qolmoqda. Biz faqat umumiy aholining matematik kutishlari teng emasligini bilamiz. Boshqacha qilib aytganda, matematik taxminlarning kamida bittasi boshqalardan sezilarli darajada farq qiladi. Qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan farq qilishini aniqlash uchun siz foydalanishingiz mumkin Tukey protsedurasi, etkazib beruvchilar o'rtasida juftlik taqqoslashdan foydalanish. Ushbu protsedura Jon Tukey tomonidan ishlab chiqilgan. Keyinchalik, u va K. Kramer ushbu protsedurani namuna o'lchamlari bir-biridan farq qiladigan holatlar uchun mustaqil ravishda o'zgartirdilar.
Bir nechta taqqoslash: Tukey-Kramer protsedurasi
Bizning stsenariyimizda parashyutlarning kuchini solishtirish uchun dispersiyaning bir tomonlama tahlili ishlatilgan. To'rt guruhning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farqlarni topib, qaysi guruhlar bir-biridan farq qilishini aniqlash kerak. Ushbu muammoni hal qilishning bir necha yo'li mavjud bo'lsa-da, biz faqat Tukey-Kramerning bir nechta taqqoslash tartibini tasvirlaymiz. Bu usul post hoc taqqoslash protseduralariga misoldir, chunki tekshirilayotgan gipoteza ma'lumotlar tahlilidan so'ng shakllantiriladi. Tukey-Kramer protsedurasi barcha juft guruhlarni bir vaqtning o'zida taqqoslash imkonini beradi. Birinchi bosqichda farqlar hisoblab chiqiladi Xj -Xj ’ , Qayerda j ≠j’ , matematik taxminlar orasida s(s – 1)/2 guruhlar. Kritik doira Tukey-Kramer protsedurasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Qayerda Q U- ega bo'lgan talabalashtirilgan diapazon taqsimotining yuqori kritik qiymati Bilan hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - Bilan maxrajdagi erkinlik darajalari.
Agar namuna o'lchamlari bir xil bo'lmasa, kritik diapazon har bir matematik taxminlar juftligi uchun alohida hisoblanadi. Oxirgi bosqichda har biri s(s – 1)/2 matematik taxminlar juftlari mos keladigan kritik diapazon bilan taqqoslanadi. Juftlik elementlari sezilarli darajada farq qiladi, agar farq moduli | Xj -Xj ’ | ular orasida kritik diapazondan oshib ketadi.
Parashyutlarning mustahkamligi muammosiga Tukey-Kramer protsedurasini qo'llaymiz. Parashyut kompaniyasining to'rtta yetkazib beruvchisi bo'lganligi sababli, tekshirish uchun 4 (4 - 1) / 2 = 6 juft etkazib beruvchilar mavjud (9-rasm).
Guruch. 9. Namuna vositalarini juftlik bilan taqqoslash
Chunki barcha guruhlar bir xil hajmga ega (ya'ni barcha n j = n j ’ ), faqat bitta kritik diapazonni hisoblash kifoya. Buning uchun jadvalga muvofiq ANOVA(6-rasm) MSW = 6.094 qiymatini aniqlaymiz. Keyin qiymatni topamiz Q U a = 0,05 da, Bilan= 4 (hisoblagichdagi erkinlik darajalari soni) va n- Bilan= 20 – 4 = 16 (maxrajdagi erkinlik darajalari soni). Afsuski, men Excelda mos keladigan funktsiyani topa olmadim, shuning uchun men jadvaldan foydalandim (10-rasm).
Guruch. 10. Talabalik diapazonining kritik qiymati Q U
Biz olamiz:
Faqat 4,74 > 4,47 (9-rasmning pastki jadvaliga qarang), birinchi va ikkinchi yetkazib beruvchi o'rtasida statistik jihatdan muhim farq mavjud. Boshqa barcha juftliklar ularning farqlari haqida gapirishga imkon bermaydigan namunaviy vositalarga ega. Binobarin, birinchi etkazib beruvchidan sotib olingan tolalardan to'qilgan parashyutlarning o'rtacha kuchi ikkinchisiga qaraganda ancha past.
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish uchun zarur shartlar
Parashyutlarning kuchi muammosini hal qilishda biz bir omildan foydalanish mumkin bo'lgan shartlar mavjudligini tekshirmadik. F- mezon. Bir omildan foydalanishingiz mumkinligini qanday bilasiz F-aniq eksperimental ma'lumotlarni tahlil qilishda mezon? Yagona omil F-mezon faqat uchta asosiy faraz bajarilgan taqdirdagina qo'llanilishi mumkin: eksperimental ma'lumotlar tasodifiy va mustaqil bo'lishi, normal taqsimotga ega bo'lishi va ularning dispersiyalari teng bo'lishi kerak.
Birinchi taxmin - tasodifiylik va ma'lumotlarning mustaqilligi- har doim bajarilishi kerak, chunki har qanday tajribaning to'g'riligi tanlovning tasodifiyligiga va / yoki tasodifiy jarayonga bog'liq. Natijalarni bir-biriga qarama-qarshi qo'ymaslik uchun ma'lumotlardan olinishi kerak Bilan umumiy populyatsiyalar tasodifiy va bir-biridan mustaqil. Xuddi shunday, ma'lumotlar tasodifiy taqsimlanishi kerak Bilan bizni qiziqtirgan omilning darajalari (eksperimental guruhlar). Ushbu shartlarning buzilishi dispersiyani tahlil qilish natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin.
Ikkinchi taxmin - normallik- ma'lumotlar normal taqsimlangan populyatsiyalardan olinganligini bildiradi. kelsak t-mezon, dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish asosida F-mezon ushbu shartning buzilishiga nisbatan kam sezgir. Agar taqsimot me'yordan juda sezilarli darajada chetga chiqmasa, ahamiyatlilik darajasi F-kriteriya juda oz o'zgaradi, ayniqsa tanlov hajmi etarlicha katta bo'lsa. Agar taqsimotning normalligi sharti jiddiy buzilgan bo'lsa, uni qo'llash kerak.
Uchinchi taxmin - dispersiyaning bir xilligi- har bir populyatsiyaning dispersiyalari bir-biriga teng ekanligini bildiradi (ya'ni s 1 2 = s 2 2 = ... = s j 2). Bu taxmin guruh ichidagi farqlarni ajratish yoki birlashtirish to'g'risida qaror qabul qilish imkonini beradi. Agar guruh o'lchamlari bir xil bo'lsa, dispersiyaning bir xilligi sharti yordamida olingan xulosalarga kam ta'sir qiladi. F- mezonlar. Biroq, agar tanlama kattaliklari teng bo'lmasa, dispersiyalarning tengligi shartining buzilishi dispersiya tahlili natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin. Shuning uchun namunalar hajmi teng bo'lishini ta'minlashga harakat qilish kerak. Dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminni tekshirish usullaridan biri bu mezondir. Leven quyida tasvirlangan.
Agar uchta shartdan faqat dispersiyaning bir xillik sharti buzilgan bo'lsa, shunga o'xshash protsedura. t-alohida dispersiyadan foydalangan holda mezon (batafsil ma'lumot uchun qarang). Biroq, dispersiyaning normal taqsimoti va bir xilligi haqidagi taxminlar bir vaqtning o'zida buzilgan bo'lsa, ma'lumotlarni normallashtirish va dispersiyalar orasidagi farqlarni kamaytirish yoki parametrik bo'lmagan protsedurani qo'llash kerak.
Dispersiyaning bir xilligini tekshirish uchun Leven testi
Shunga qaramasdan F-mezon guruhlardagi dispersiyalarning tengligi shartining buzilishiga nisbatan chidamli; bu taxminning qo'pol buzilishi mezonning ahamiyati va kuchi darajasiga sezilarli ta'sir qiladi. Ehtimol, eng kuchlilaridan biri bu mezondir Leven. Dispersiyalarning tengligini tekshirish Bilan Umumiy populyatsiyalar uchun biz quyidagi gipotezalarni sinab ko'ramiz:
N 0: s 1 2 = s 2 2 = … = sj 2
H 1: hammasi emas s j 2 bir xil ( j = 1, 2, …, Bilan)
O'zgartirilgan Leven testi, agar guruhlardagi o'zgaruvchanlik bir xil bo'lsa, kuzatuvlar va guruh medianalari o'rtasidagi farqlarning mutlaq qiymatlaridagi dispersiyani tahlil qilish dispersiyalarning tengligining nol gipotezasini tekshirish uchun ishlatilishi mumkinligi haqidagi bayonotga asoslanadi. Shunday qilib, birinchi navbatda har bir guruhdagi kuzatuvlar va medianlar o'rtasidagi farqlarning mutlaq qiymatlarini hisoblashingiz kerak, so'ngra farqlarning mutlaq qiymatlari bo'yicha bir tomonlama dispersiya tahlilini o'tkazishingiz kerak. Leven mezonini tasvirlash uchun eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Rasmda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanish. 6, biz shunga o'xshash tahlilni o'tkazamiz, lekin har bir namuna uchun alohida dastlabki ma'lumotlar va medianlardagi farqlar modullariga nisbatan (11-rasm).
Dispersiya tahlili nima uchun ishlatiladi? Dispersiyani tahlil qilishning maqsadi o'rganilayotgan natijaviy xususiyatdagi o'zgarishlarga har qanday sifat yoki miqdoriy omilning muhim ta'siri mavjudligi yoki yo'qligini o'rganishdir. Buning uchun muhim ta'sir ko'rsatadigan yoki ta'sir qilmaydi deb hisoblangan omil gradatsiya sinflariga (boshqacha aytganda, guruhlarga) bo'linadi va vositalar o'rtasidagi ahamiyatlilikni tekshirish orqali omil ta'sirining bir xil ekanligi aniqlanadi. omil gradatsiyalariga mos keladigan ma'lumotlar to'plamlarida. Misollar: korxona foydasining foydalaniladigan xom ashyo turiga bog'liqligi o'rganiladi (keyin gradatsiya sinflari - xom ashyo turlari), mahsulot birligiga to'g'ri keladigan mahsulot tannarxining korxona bo'linmasi hajmiga bog'liqligi (keyinchalik). gradatsiya sinflari bo'linmaning o'lchamining xususiyatlari: katta, o'rta, kichik).
Gradatsion sinflarning (guruhlarning) minimal soni ikkitadir. Bitiruv sinflari sifat va miqdoriy bo'lishi mumkin.
Nega dispersiya tahlili dispersiya tahlili deb ataladi? Dispersiyani tahlil qilish ikki dispersiya o'rtasidagi munosabatni o'rganadi. Dispersiya, biz bilganimizdek, ma'lumotlarning o'rtacha qiymat atrofida tarqalishining o'ziga xos xususiyati. Birinchisi, omil ta'siri bilan izohlanadigan dispersiya bo'lib, u barcha ma'lumotlarning o'rtacha qiymati atrofida omil (guruhlar) graduslari orasidagi qiymatlarning tarqalishini tavsiflaydi. Ikkinchisi - gradatsiyalar (guruhlar) ichida ma'lumotlarning guruhlarning o'rtacha qiymatlari atrofida tarqalishini tavsiflovchi tushuntirilmagan dispersiya. Birinchi dispersiyani guruhlar o'rtasida, ikkinchisini esa guruhlar ichida deb atash mumkin. Bu dispersiyalarning nisbati haqiqiy Fisher nisbati deb ataladi va Fisher nisbatining kritik qiymati bilan taqqoslanadi. Agar Fisherning haqiqiy nisbati kritik qiymatdan katta bo'lsa, gradatsiya sinflarining o'rtacha ko'rsatkichlari bir-biridan farq qiladi va o'rganilayotgan omil ma'lumotlarning o'zgarishiga sezilarli ta'sir qiladi. Agar u kamroq bo'lsa, unda o'rtacha gradatsiya sinflari bir-biridan farq qilmaydi va omil sezilarli ta'sir ko'rsatmaydi.
ANOVAda gipotezalar qanday shakllantiriladi, qabul qilinadi va rad etiladi? Dispersiyani tahlil qilishda biz aniqlaymiz solishtirma og'irlik bir yoki bir nechta omillarning umumiy ta'siri. Faktor ta'sirining ahamiyati gipotezalarni tekshirish orqali aniqlanadi:
- H0 : μ 1 = μ 2 = ... = μ a, Qayerda a- gradatsiya sinflari soni - barcha gradatsiya sinflari bir xil o'rtacha qiymatga ega;
- H1 : hammasi emas μ i teng - barcha gradatsiya sinflari bir xil o'rtacha qiymatga ega emas.
Agar omil ta'siri ahamiyatli bo'lmasa, bu omilning gradatsiya sinflari orasidagi farq ham ahamiyatsiz va dispersiyani tahlil qilish jarayonida nol gipoteza. H0 rad etilmaydi. Agar omilning ta'siri sezilarli bo'lsa, u holda nol gipoteza H0 rad etilgan: barcha gradatsiya sinflari bir xil o'rtacha qiymatga ega emas, ya'ni gradatsiya sinflari orasidagi mumkin bo'lgan farqlar orasida bir yoki bir nechta muhim ahamiyatga ega.
Variant tahlilining yana bir qancha tushunchalari. Dispersiyani tahlil qilishda statistik kompleks empirik ma'lumotlar jadvalidir. Agar barcha gradatsiya sinflarida bo'lsa bir xil raqam variantlar, keyin statistik kompleks bir hil (bir hil) deb ataladi, agar variantlar soni har xil bo'lsa - geterogen (geterojen).
Baholanayotgan omillar soniga qarab dispersiyaning bir omilli, ikki faktorli va ko‘p faktorli tahlili farqlanadi.
Dispersiyaning bir omilli tahlili: usulning mohiyati, formulalar, misollar
Usulning mohiyati, formulasi
statistik kompleksning kvadrat og'ishlari yig'indisini tarkibiy qismlarga bo'lish mumkinligiga asoslanadi:
SS = SS a+ SS e,
SS
SSa a kvadrat og'ishlar yig'indisi,
SSe- kvadratik og'ishlarning tushuntirilmagan yig'indisi yoki kvadrat xatolik og'ishlarining yig'indisi.
Agar o'tib ketsa ni har bir gradatsiya sinfidagi (guruhdagi) variantlar sonini ko'rsating va a - umumiy soni omilning (guruhlarning) gradatsiyalari, keyin umumiy kuzatishlar soni va quyidagi formulalarni olish mumkin:
Kvadrat og'ishlarning umumiy soni: 
,
omil ta’siri bilan izohlanadi a kvadrat og'ishlar yig'indisi: 
,
kvadrat og'ishlarning tushuntirilmagan yig'indisi yoki kvadratik xatoliklarning yig'indisi: 
,
- kuzatuvlarning umumiy o'rtacha ko'rsatkichi;
(guruh).
Bundan tashqari,
omil (guruh) gradatsiyasining dispersiyasi qayerda.
Statistik kompleks ma'lumotlarining dispersiyasini bir tomonlama tahlil qilish uchun siz haqiqiy Fisher nisbatini topishingiz kerak - omil (guruhlararo) ta'siri bilan izohlangan dispersiya nisbati va tushuntirilmagan dispersiya (guruh ichidagi):
va uni Fisher kritik qiymati bilan solishtiring.
Farqlar quyidagicha hisoblanadi:
Tushuntirilgan tafovut,
Tushuntirilmagan tafovutlar
va = a − 1 - izohlangan dispersiyaning erkinlik darajalari soni;
ve = n − a - izohlanmagan dispersiyaning erkinlik darajalari soni;
v = n
Muhimlik darajasi va erkinlik darajalarining ma'lum qiymatlari bilan Fisher nisbatining kritik qiymatini statistik jadvallarda topish mumkin yoki MS Excelning F.OBR funktsiyasi yordamida hisoblanishi mumkin (quyidagi rasm, uni kattalashtirish uchun ustiga bosing. sichqonchaning chap tugmasi).
Funktsiya sizdan quyidagi ma'lumotlarni kiritishingizni talab qiladi:
Ehtimollik - ahamiyatlilik darajasi α ,
Erkinlik_darajalari1 - izohlangan dispersiyaning erkinlik darajalari soni va,
Erkinlik_darajalari2 - tushuntirilmagan dispersiyaning erkinlik darajalari soni ve.
Agar Fisher nisbatining haqiqiy qiymati kritik qiymatdan () katta bo'lsa, ahamiyatlilik darajasida nol gipoteza rad etiladi. α . Bu shuni anglatadiki, omil ma'lumotlarning o'zgarishiga sezilarli ta'sir qiladi va ma'lumotlar ehtimollik bilan omilga bog'liq P = 1 − α .
Agar Fisher nisbatining haqiqiy qiymati kritik qiymatdan () kichik bo'lsa, muhimlik darajasida nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. α . Bu omil ma'lumotlarga ehtimollik bilan sezilarli darajada ta'sir qilmasligini anglatadi P = 1 − α .
Bir tomonlama ANOVA: misollar
1-misol. Amaldagi xom ashyo turi korxona foydasiga ta'sir qiladimi yoki yo'qligini aniqlash kerak. Faktorning (1-tur, 2-tur va boshqalar) oltita gradatsiya sinfida (guruhlarida) 4 yil davomida millionlab rubllarda 1000 dona mahsulot ishlab chiqarishdan olingan foyda to'g'risidagi ma'lumotlar yig'iladi.
| Xom ashyo turi | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| 1-chi | 7,21 | 7,55 | 7,29 | 7,6 |
| 2 | 7,89 | 8,27 | 7,39 | 8,18 |
| 3 | 7,25 | 7,01 | 7,37 | 7,53 |
| 4 | 7,75 | 7,41 | 7,27 | 7,42 |
| 5 | 7,7 | 8,28 | 8,55 | 8,6 |
| 6 | 7,56 | 8,05 | 8,07 | 7,84 |
| O'rtacha | Dispersiya |
| 7,413 | 0,0367 |
| 7,933 | 0,1571 |
| 7,290 | 0,0480 |
| 7,463 | 0,0414 |
| 8,283 | 0,1706 |
| 7,880 | 0,0563 |
a= 6 va har bir sinfda (guruhda) ni=4 kuzatishlar. Kuzatuvlarning umumiy soni n = 24 .
Erkinlik darajalari soni:
va = a − 1 = 6 − 1 = 5 ,
ve = n − a = 24 − 6 = 18 ,
v = n − 1 = 24 − 1 = 23 .
Farqlarni hisoblaylik:
.
.
Fisherning haqiqiy nisbati kritikdan katta bo'lgani uchun:
ahamiyatlilik darajasi bilan α = 0,05 ishlab chiqarishda ishlatiladigan xom ashyo turiga qarab korxona foydasi sezilarli darajada farq qiladi degan xulosaga kelamiz.
Yoki xuddi shu narsa, biz barcha omillar gradatsiyasi sinflarida (guruhlarida) o'rtachalarning tengligi haqidagi asosiy gipotezani rad etamiz.
Ko'rib chiqilgan misolda har bir omil gradatsiyasi sinfida bir xil miqdordagi variantlar mavjud edi. Ammo, kirish qismida aytib o'tilganidek, variantlar soni farq qilishi mumkin. Va bu hech qanday tarzda dispersiya jarayonini tahlil qilishni qiyinlashtirmaydi. Bu keyingi misol.
2-misol. Mahsulot birligiga to'g'ri keladigan mahsulot tannarxining korxona bo'linmasi hajmiga bog'liqligi bor yoki yo'qligini aniqlash kerak. Faktor (birlik hajmi) uchta gradatsiya sinfiga (guruhlariga) bo'linadi: kichik, o'rta, katta. Bir xil turdagi mahsulot birligini ma'lum bir davr uchun ishlab chiqarish tannarxi bo'yicha ushbu guruhlarga mos keladigan ma'lumotlar umumlashtiriladi.
| kichik | o'rtacha | katta | |
| 48 | 47 | 46 | |
| 50 | 61 | 57 | |
| 63 | 63 | 57 | |
| 72 | 47 | 55 | |
| 43 | 32 | ||
| 59 | 59 | ||
| 58 | |||
| O'rtacha | 58,6 | 54,0 | 51,0 |
| Dispersiya | 128,25 | 65,00 | 107,60 |
Faktor gradatsiyasi sinflari (guruhlari) soni a= 3, sinflar (guruhlar)dagi kuzatishlar soni n1 = 4 , n2 = 7 , n3 = 6 . Kuzatuvlarning umumiy soni n = 17 .
Erkinlik darajalari soni:
va = a − 1 = 2 ,
ve = n − a = 17 − 3 = 14 ,
v = n − 1 = 16 .
Kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaymiz:
Farqlarni hisoblaylik:
,
.
Haqiqiy Fisher nisbatini hisoblaymiz:
.
Fisher nisbatining kritik qiymati:
Fisher koeffitsientining haqiqiy qiymati kritik qiymatdan past bo'lganligi sababli, biz korxona bo'linmasining hajmi mahsulot tannarxiga sezilarli ta'sir ko'rsatmaydi degan xulosaga keldik.
Yoki xuddi shunday bo'lsa, 95% ehtimollik bilan biz korxonaning kichik, o'rta va yirik bo'linmalarida bir xil mahsulot birligini ishlab chiqarishning o'rtacha narxi sezilarli darajada farq qilmaydi degan asosiy farazni qabul qilamiz.
MS Excelda bir tomonlama ANOVA
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish MS Excel protsedurasi yordamida amalga oshirilishi mumkin Bir tomonlama ANOVA. Biz undan foydalaniladigan xom ashyo turi va 1-misoldagi korxona foydasi o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun foydalanamiz.
Xizmat/ma'lumotlarni tahlil qilish va tahlil vositasini tanlang Bir tomonlama ANOVA.
Oynada Kirish oralig'i ma'lumotlar maydonini ko'rsating (bizning holimizda $A$2:$E$7). Biz omil qanday guruhlanganligini ko'rsatamiz - ustunlar yoki satrlar bo'yicha (bizning holatlarimizda qatorlar bo'yicha). Agar birinchi ustunda omillar sinflari nomlari bo'lsa, katakchani belgilang Birinchi ustundagi teglar. Oynada Alfa ahamiyat darajasini bildiradi α = 0,05 .
Ikkinchi jadval - Variant tahlili - guruhlar o'rtasidagi va guruhlar ichidagi omil va jami qiymatlar bo'yicha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Bu kvadrat og'ishlar yig'indisi (SS), erkinlik darajalari soni (df), dispersiya (MS). Oxirgi uchta ustunda Fisher nisbatining haqiqiy qiymati (F), p-darajasi (P-qiymati) va Fisher nisbatining kritik qiymati (F krit) mavjud.
| XONIM | F | P-qiymati | F tanqid |
| 0,58585 | 6,891119 | 0,000936 | 2,77285 |
| 0,085017 | |||
Fisher nisbatining haqiqiy qiymati (6,89) kritik qiymatdan (2,77) katta bo'lganligi sababli, 95% ehtimollik bilan biz barcha turdagi xom ashyolardan foydalanganda o'rtacha unumdorlikning tengligi haqidagi nol gipotezani rad etamiz, ya'ni biz ishlatiladigan xom ashyo turi foyda korxonalariga ta'sir qiladi degan xulosaga kelish.
Ikki faktorli dispersiyani takrorlashsiz tahlil qilish: usulning mohiyati, formulalar, misol
Ikki faktorli dispersiya tahlili natijaviy xarakteristikaning ikkita omilga bog'liqligini tekshirish uchun ishlatiladi - A Va B. Keyin a- omil gradatsiyalari soni A Va b- omil gradatsiyalari soni B. Statistik kompleksda kvadrat qoldiqlar yig'indisi uchta komponentga bo'linadi:
SS = SS a+ SS b+ SS e,
- kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi,
- omil ta'siri bilan izohlanadi A kvadrat og'ishlar yig'indisi,
- omil ta'siri bilan izohlanadi B kvadrat og'ishlar yig'indisi,
- kuzatuvlarning umumiy o'rtacha ko'rsatkichi;
Har bir omil gradatsiyasida kuzatuvlarning o'rtacha ko'rsatkichi A ,
B .
A ,
Variant omil ta'siri bilan izohlanadi B ,
va = a − 1 A ,
vb = b − 1 - omil ta'siri bilan izohlanadigan tarqalish erkinlik darajalari soni B ,
ve = ( a − 1)(b − 1)
v = ab− 1 - erkinlik darajalarining umumiy soni.
Agar omillar bir-biriga bog'liq bo'lmasa, omillarning ahamiyatini aniqlash uchun ikkita nol gipoteza va mos keladigan muqobil farazlar ilgari suriladi:
omil uchun A :
H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,
H1 : hammasi emas μ iA teng;
omil uchun B :
H0 : μ 1B = μ 2B = ... = μ aB,
H1 : hammasi emas μ iB teng.
A
Faktorning ta'sirini aniqlash B, siz Fisherning haqiqiy munosabatini tanqidiy Fisher munosabati bilan solishtirishingiz kerak.
α P = 1 − α .
α P = 1 − α .
Takrorlashsiz ikki tomonlama ANOVA: misol
3-misol. Dvigatel hajmi va yoqilg'i turiga qarab litrda 100 kilometrga o'rtacha yoqilg'i sarfi haqida ma'lumot berilgan.
Yoqilg'i sarfi dvigatel hajmiga va yoqilg'i turiga bog'liqligini tekshirish kerak.
Yechim. Faktor uchun A gradatsiya sinflari soni a= 3, omil uchun B gradatsiya sinflari soni b = 3 .
Kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaymiz:
,
,
,
.
Tegishli farqlar:
,
,
.
A
. Fisherning haqiqiy nisbati kritik darajadan past bo'lganligi sababli, 95% ehtimollik bilan biz dvigatel hajmi yoqilg'i sarfiga ta'sir qilmaydi degan gipotezani qabul qilamiz. Biroq, agar biz muhimlik darajasini tanlasak α
= 0,1, keyin Fisher nisbatining haqiqiy qiymati va keyin 95% ehtimollik bilan biz dvigatel hajmi yoqilg'i sarfiga ta'sir qilishini qabul qilishimiz mumkin.
Faktor uchun Fisherning haqiqiy nisbati B
, Fisher nisbatining kritik qiymati: 
. Haqiqiy Fisher nisbati Fisher nisbatining kritik qiymatidan kattaroq bo'lganligi sababli, biz yoqilg'i turi uning sarfiga ta'sir qilishini 95% ehtimol bilan qabul qilamiz.
MS Excelda takrorlashsiz ikki tomonlama ANOVA
Ikki faktorli dispersiyani takrorlashsiz tahlil qilish MS Excel protsedurasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Biz undan 3-misoldagi yoqilg'i turi va uning iste'moli o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun foydalanamiz.
MS Excel menyusida buyruqni bajaring Xizmat/ma'lumotlarni tahlil qilish va tahlil vositasini tanlang Ikki tomonlama ANOVA takrorlashsiz.
Biz ma'lumotlarni bir tomonlama dispersiya tahlilidagi kabi to'ldiramiz.
Jarayon natijasida ikkita jadval ko'rsatiladi. Birinchi jadval - Jami. Unda omillar gradatsiyasining barcha sinflari bo'yicha ma'lumotlar mavjud: kuzatishlar soni, umumiy qiymat, o'rtacha qiymat va dispersiya.
Ikkinchi jadval - Variatsiya tahlili - o'zgaruvchanlik manbalari haqidagi ma'lumotlarni o'z ichiga oladi: qatorlar orasidagi dispersiya, ustunlar orasidagi dispersiya, xato dispersiyasi, umumiy dispersiya, kvadrat og'ishlar yig'indisi (SS), erkinlik darajalari (df), dispersiya (MS). Oxirgi uchta ustunda Fisher nisbatining haqiqiy qiymati (F), p-darajasi (P-qiymati) va Fisher nisbatining kritik qiymati (F krit) mavjud.
| XONIM | F | P-qiymati | F tanqid |
| 3,13 | 5,275281 | 0,075572 | 6,94476 |
| 8,043333 | 13,55618 | 0,016529 | 6,944276 |
| 0,593333 | |||
Faktor A(dvigatelning o'zgarishi) chiziqlar bo'yicha guruhlangan. Haqiqiy Fisher nisbati 5,28 6,94 kritik ko'rsatkichdan kamroq bo'lgani uchun biz yoqilg'i sarfi dvigatel hajmiga bog'liq emasligini 95% ehtimol bilan qabul qilamiz.
Faktor B(yoqilg'i turi) ustunlar bo'yicha guruhlangan. 13,56 haqiqiy Fisher nisbati 6,94 kritik nisbatdan kattaroqdir, shuning uchun biz yoqilg'i sarfi uning turiga bog'liqligini 95% ehtimollik bilan qabul qilamiz.
Ikki faktorli dispersiyani takrorlash bilan tahlil qilish: usulning mohiyati, formulalar, misol
Ikki faktorli dispersiyani takrorlash bilan tahlil qilish nafaqat natijada paydo bo'lgan xarakteristikaning ikkita omilga bog'liqligini tekshirish uchun ishlatiladi - A Va B, balki omillarning mumkin bo'lgan o'zaro ta'siri A Va B. Keyin a- omil gradatsiyalari soni A Va b- omil gradatsiyalari soni B, r- takrorlashlar soni. Statistik kompleksda kvadrat qoldiqlar yig'indisi to'rt komponentga bo'linadi:
SS = SS a+ SS b+ SS ab + SS e,
- kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi,
- omil ta'siri bilan izohlanadi A kvadrat og'ishlar yig'indisi,
- omil ta'siri bilan izohlanadi B kvadrat og'ishlar yig'indisi,
- omillarning o'zaro ta'siri bilan izohlanadi A Va B kvadrat og'ishlar yig'indisi,
- kvadratik og'ishlarning tushuntirilmagan yig'indisi yoki kvadratik xatoliklarning yig'indisi;
- kuzatuvlarning umumiy o'rtacha ko'rsatkichi;
- har bir omil gradatsiyasida kuzatuvlarning o'rtacha qiymati A
,
- har bir omil gradatsiyasida kuzatuvlarning o'rtacha soni B
,
Faktor gradatsiyasining har bir kombinatsiyasida kuzatuvlarning o'rtacha soni A Va B ,
n = abr- kuzatishlarning umumiy soni.
Farqlar quyidagicha hisoblanadi:
Variant omil ta'siri bilan izohlanadi A ,
Variant omil ta'siri bilan izohlanadi B ,
- omillarning o'zaro ta'siri bilan izohlanadigan dispersiya A Va B
,
- tushuntirilmagan dispersiya yoki xatolik,
va = a − 1 - omil ta'siri bilan izohlanadigan tarqalish erkinlik darajalari soni A ,
vb = b − 1 - omil ta'siri bilan izohlanadigan tarqalish erkinlik darajalari soni B ,
vab = ( a − 1)(b − 1) - omillarning o'zaro ta'siri bilan izohlanadigan dispersiyaning erkinlik darajalari soni A Va B ,
ve = ab(r − 1) - izohlanmagan dispersiya yoki xato dispersiyaning erkinlik darajalari soni;
v = abr− 1 - erkinlik darajalarining umumiy soni.
Agar omillar bir-biriga bog'liq bo'lmasa, omillarning ahamiyatini aniqlash uchun uchta nol gipoteza va mos keladigan muqobil farazlar ilgari suriladi:
omil uchun A :
H0 : μ 1A = μ 2A = ... = μ aA,
H1 : hammasi emas μ iA teng;
omil uchun B :
Omillarning o'zaro ta'sirini aniqlash A Va B, siz Fisherning haqiqiy munosabatini tanqidiy Fisher munosabati bilan solishtirishingiz kerak.
Agar haqiqiy Fisher nisbati kritik Fisher nisbatidan katta bo'lsa, ahamiyatlilik darajasida nol gipoteza rad etilishi kerak. α . Bu omil ma'lumotlarga sezilarli darajada ta'sir qilishini anglatadi: ma'lumotlar ehtimollik bilan omilga bog'liq P = 1 − α .
Agar haqiqiy Fisher nisbati kritik Fisher nisbatidan past bo'lsa, u holda nol gipoteza muhimlik darajasida qabul qilinishi kerak. α . Bu omil ma'lumotlarga ehtimollik bilan sezilarli darajada ta'sir qilmasligini anglatadi P = 1 − α .
Takrorlashlar bilan ikki tomonlama ANOVA: misol
omillarning o'zaro ta'siri haqida A Va B: Fisherning haqiqiy nisbati juda muhim emas, shuning uchun reklama kampaniyasi va ma'lum bir do'konning o'zaro ta'siri muhim emas.
MS Excel-da takrorlashlar bilan ikki tomonlama ANOVA
Replikatsiyalar bilan dispersiyani ikki tomonlama tahlil qilish MS Excel protsedurasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Biz undan do'kon daromadi va ma'lum bir do'konni tanlash va 4-misoldagi reklama kampaniyasi o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun foydalanamiz.
MS Excel menyusida buyruqni bajaring Xizmat/ma'lumotlarni tahlil qilish va tahlil vositasini tanlang Takrorlashlar bilan ikki tomonlama ANOVA.
Biz ma'lumotlarni ikki faktorli dispersiyani takrorlashsiz tahlil qilishda bo'lgani kabi to'ldiramiz, qo'shimcha ravishda namuna oynasi uchun qatorlar soniga takroriy sonlarni kiritish kerak.
Jarayon natijasida ikkita jadval ko'rsatiladi. Birinchi jadval uchta qismdan iborat: birinchi ikkitasi ikkita reklama kampaniyasining har biriga to'g'ri keladi, uchinchisi ikkala reklama kampaniyasi haqidagi ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Jadvalning ustunlari ikkinchi omilning barcha gradatsiya sinflari haqida ma'lumotni o'z ichiga oladi - do'kon: kuzatishlar soni, umumiy qiymat, o'rtacha qiymat va dispersiya.
Ikkinchi jadvalda kvadrat og'ishlar yig'indisi (SS), erkinlik darajalari soni (df), dispersiya (MS), Fisher nisbatining haqiqiy qiymati (F), p-daraja (P-qiymati) va turli xil o'zgarishlar manbalari uchun Fisher nisbatining kritik qiymati (F krit): qatorlar (namuna) va ustunlarda berilgan ikkita omil, omillarning o'zaro ta'siri, xato (ichida) va umumiy ko'rsatkichlar (jami).
| XONIM | F | P-qiymati | F tanqid |
| 8,013339 | 0,500252 | 0,492897 | 4,747221 |
| 189,1904 | 11,81066 | 0,001462 | 3,88529 |
| 6,925272 | 0,432327 | 0,658717 | 3,88529 |
| 16,01861 | |||
Faktor uchun B Haqiqiy Fisher nisbati kritik nisbatdan kattaroqdir, shuning uchun do'konlar o'rtasida daromadlar sezilarli darajada farq qilish ehtimoli 95% ga teng.
Faktorlarning o'zaro ta'siri uchun A Va B Fisherning haqiqiy nisbati juda muhim emas, shuning uchun 95% ehtimollik bilan reklama kampaniyasi va ma'lum bir do'konning o'zaro ta'siri muhim emas.
"Matematik statistika" mavzusidagi hamma narsa