Tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimotga bo'ysunganda. Oddiy taqsimot. MS EXCEL da uzluksiz taqsimotlar. Ikki o'zgaruvchan normal zichlik grafigi
Ta'rif. Oddiy ehtimollik taqsimoti uzluksiz deb ataladi tasodifiy o'zgaruvchi, bu ehtimollik zichligi bilan tavsiflanadi
Oddiy taqsimot ham deyiladi Gauss qonuni.
Oddiy taqsimot qonuni ehtimollik nazariyasida markaziy o'rinni egallaydi. Buning sababi shundaki, bu qonun tasodifiy o'zgaruvchi ko'p sonli turli omillar ta'sirining natijasi bo'lgan barcha holatlarda o'zini namoyon qiladi. Boshqa barcha taqsimot qonunlari normal qonunga yaqinlashadi.
Tarqatish zichligiga kiritilgan parametrlar mos ravishda X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishi ekanligini osongina ko'rsatish mumkin.
Tarqatish funksiyasini toping F(x).
Oddiy taqsimot zichligi grafigi deyiladi normal egri chiziq yoki Gauss egri chizig'i.
Oddiy egri chiziq quyidagi xususiyatlarga ega:
1) Funktsiya butun sonlar o'qida aniqlanadi.
2) Hamma uchun X taqsimot funksiyasi faqat ijobiy qiymatlarni oladi.
3) OX o'qi ehtimollik zichligi grafigining gorizontal asimptotasidir, chunki argumentning mutlaq qiymatining cheksiz o'sishi bilan X, funksiyaning qiymati nolga intiladi.
4) funksiyaning ekstremumini toping.
Chunki da y' > 0 da x< m va y'< 0 da x > m, keyin nuqtada x = t funksiya ga teng maksimalga ega.
5) Funktsiya to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir x = a, chunki farq
(x - a) kvadrat taqsimot zichligi funksiyasiga kiradi.
6) Grafikning burilish nuqtalarini topish uchun zichlik funksiyasining ikkinchi hosilasini topamiz.
Da x = m+ s va x = m- s ikkinchi hosila nolga teng va bu nuqtalardan o'tganda u ishorani o'zgartiradi, ya'ni. bu nuqtalarda funksiya burilish xususiyatiga ega.
Bu nuqtalarda funksiyaning qiymati .
Tarqatish zichligi funksiyasining grafigini tuzamiz.
Grafiklar uchun yaratilgan t=0 va standart og'ishning uchta mumkin bo'lgan qiymati s = 1, s = 2 va s = 7. Ko'rib turganingizdek, standart og'ishning qiymati oshgani sayin, grafik tekislanadi va maksimal qiymat kamayadi.
Agar a a> 0 bo'lsa, grafik ijobiy tomonga siljiydi, agar a < 0 – в отрицательном.
Da a= 0 va s = 1 egri chiziq deyiladi normallashtirilgan. Normallashtirilgan egri tenglama: 
Qisqartirish uchun biz CV X N (m, s) qonuniga bo'ysunishini aytamiz, ya'ni. X ~ N(m, s). m va s parametrlari taqsimotning asosiy xarakteristikalari bilan mos keladi: m = m X, s = s X =. Agar SV X ~ N(0, 1) bo'lsa, u chaqiriladi standartlashtirilgan normal qiymat. DF standartlashtirilgan normal qiymat deb ataladi Laplas funktsiyasi va sifatida belgilanadi F(x). U N(m, s) normal taqsimot uchun oraliq ehtimolliklarni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin:
P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .
Oddiy taqsimot bo'yicha muammolarni hal qilishda ko'pincha Laplas funktsiyasining jadval qiymatlaridan foydalanish kerak bo'ladi. Chunki Laplas funksiyasi munosabatni qanoatlantiradi F(-x) = 1 - F(x), u holda funktsiyaning jadval qiymatlariga ega bo'lish kifoya F(x) faqat ijobiy argument qiymatlari uchun.
Matematik kutilmaga nisbatan simmetrik bo'lgan oraliqning urilish ehtimoli uchun quyidagi formula to'g'ri bo'ladi: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.
Normal taqsimotning markaziy momentlari rekursiv munosabatni qanoatlantiradi: m n +2 = (n+1)s 2 m n, n = 1, 2, ... . Bu toq tartibli barcha markaziy momentlar nolga teng ekanligini bildiradi (chunki m 1 = 0).
Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning berilgan oraliqga tushishi ehtimolligini toping.
Belgilamoq 
Chunki integral elementar funksiyalar bilan ifodalanmaydi, keyin funksiya hisobga olinadi
,
qaysi deyiladi Laplas funktsiyasi yoki ehtimollik integrali.
Ushbu funktsiyaning qiymatlari turli qiymatlar X hisoblab chiqilgan va maxsus jadvallarda keltirilgan.
Quyida Laplas funksiyasining grafigi keltirilgan.
Laplas funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
2) F(- X) = - F( X);
Laplas funksiyasi ham deyiladi xato funktsiyasi va erfni bildiradi x.
Hali ham foydalanilmoqda normallashtirilgan Laplas funktsiyasi bilan bog'liq bo'lgan Laplas funktsiyasi:
Quyida normallashtirilgan Laplas funksiyasining syujeti keltirilgan.
Oddiy taqsimotni ko'rib chiqayotganda, deb nomlanuvchi muhim maxsus holat ajratiladi uch sigma qoidasi.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishi berilgan D qiymatidan kichik bo‘lish ehtimolini yozamiz:
Agar biz D = 3 ni qabul qilsak, Laplas funksiyasining qiymatlari jadvalidan foydalanib olamiz:
Bular. tasodifiy o'zgaruvchining o'zining matematik kutilganidan standart og'ishning uch barobaridan kattaroq miqdorga og'ish ehtimoli amalda nolga teng.
Bu qoida deyiladi uch sigma qoidasi.
Amalda, agar har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun uchta sigma qoidasi bajarilsa, bu tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimotga ega bo'ladi, deb hisoblanadi.
Misol. Poyezd 100 ta vagondan iborat. Har bir vagonning massasi oddiy qonun bo'yicha matematik taxmin bilan taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir. a= 65 t va standart og'ish s = 0,9 t.Lokomotiv og'irligi 6600 t dan ortiq bo'lmagan poezdni tashishi mumkin, aks holda ikkinchi lokomotivni biriktirish kerak. Ikkinchi lokomotiv kerak emasligi ehtimolini toping.
Poezd massasining kutilganidan (100 × 65 = 6500) og'ishi 6600 - 6500 = 100 tonnadan oshmasa, ikkinchi lokomotiv talab qilinmaydi.
Chunki har bir vagonning massasi normal taqsimotga ega bo'lsa, unda butun poezdning massasi ham normal taqsimlanadi.
Biz olamiz:
Misol. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi X uning parametrlari bilan beriladi - a \u003d 2 - matematik kutish va s = 1 - standart og'ish. Ehtimollik zichligini yozish va uning grafigini qurish, X ning (1; 3) oraliqdan qiymat olish ehtimolini topish, X ning matematik kutilganidan 2 dan ko'p bo'lmagan chetga chiqish (modul) ehtimolini topish talab qilinadi.
Tarqatish zichligi quyidagi shaklga ega:
Keling, grafik tuzamiz:
(1; 3) oraliqda tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli topilsin.
Tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilganidan 2 dan katta bo‘lmagan qiymatga og‘ish ehtimolini toping.
Xuddi shu natijani normallashtirilgan Laplas funktsiyasi yordamida olish mumkin.
8-ma'ruza Katta sonlar qonuni(2-qism)
Ma'ruza rejasi
Markaziy chegara teoremasi (mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun umumiy formula va maxsus formula).
Chebishev tengsizligi.
Chebishev shaklida katta sonlar qonuni.
Hodisalar chastotasi tushunchasi.
Ehtimollikni statistik tushunish.
Bernulli shaklida katta sonlar qonuni.
Statistik qonuniyatlarni o'rganish ma'lum sharoitlarda ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning umumiy xatti-harakati deyarli tasodifiy xususiyatini yo'qotishini va muntazam bo'lishini aniqlashga imkon berdi (boshqacha aytganda, ba'zi o'rtacha xatti-harakatlardan tasodifiy og'ishlar bir-birini bekor qiladi). . Xususan, agar alohida atamalar yig'indisiga ta'sir bir xil darajada kichik bo'lsa, yig'indining taqsimlanish qonuni normal holatga yaqinlashadi. Ushbu bayonotning matematik formulasi deb nomlangan teoremalar guruhida berilgan katta sonlar qonuni.
BUYUK SONLAR QONUNI – umumiy tamoyil, buning natijasida tasodifiy omillarning birgalikdagi ta'siri ba'zi juda umumiy sharoitlarda tasodifdan deyarli mustaqil natijaga olib keladi. Ushbu printsipning ishlashining birinchi misoli tasodifiy hodisaning paydo bo'lish chastotasini uning ehtimolligi bilan sinovlar sonining ko'payishi bilan yaqinlashishi bo'lishi mumkin (ko'pincha amalda qo'llaniladi, masalan, har qanday hodisaning paydo bo'lish chastotasidan foydalanganda). mos keladigan ehtimollikning namunaviy bahosi sifatida tanlovdagi respondentning sifati).
Mohiyat katta sonlar qonuni ko'p sonli mustaqil tajribalar bilan ba'zi bir hodisaning sodir bo'lish chastotasi uning ehtimoliga yaqin bo'lishidir.
Markaziy chegara teoremasi (CLT) (bir xil taqsimlangan RVlar uchun Lyapunov A.M. formulasida). Agar X 1 , X 2 , ..., X n , ... juftlik mustaqil RV lar M = m va D = s 2 cheklangan sonli xarakteristikalar bilan bir xil taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, u holda n ® ¥ uchun RV ning cheksiz taqsimot qonuni. N(n×m, ) normal qonuniga yaqinlashadi.
Natija. Agar CB teoremasi shartida bo'lsa 
, keyin n ® ¥ sifatida SW Y ning taqsimlanish qonuni N(m, s/ ) normal qonuniga cheksiz yaqinlashadi.
De Moivr-Laplas teoremasi. Bernulli sxemasi bo'yicha n ta sinovdagi "muvaffaqiyatlar" soni SV K bo'lsin. Keyin, n ® ¥ va bitta sinovda "muvaffaqiyat" ehtimolining belgilangan qiymati uchun p, RV K ning taqsimot qonuni N(n×p, ) normal qonuniga cheksiz yaqinlashadi.
Natija. Agar teorema shartida SV K o'rniga SV K/n - Bernulli sxemasi bo'yicha n ta sinovda "muvaffaqiyatlar" chastotasini ko'rib chiqsak, u holda n ® ¥ uchun uning taqsimot qonuni va p ning belgilangan qiymati. normal qonun N(p, ) ga cheksiz yaqinlashadi.
Izoh. Bernulli sxemasi bo'yicha n ta sinovdagi "muvaffaqiyatlar" soni SV K bo'lsin. Bunday SW ning taqsimlanish qonuni binomial qonundir. Keyin, n ® ¥ sifatida binomial qonun ikkita chegara taqsimotiga ega:
n taqsimlash Puasson(n ® ¥ va l = n×p = const uchun);
n taqsimlash Gauss N(n×p, ) (n ® ¥ va p = const uchun).
Misol. Bitta sinovda "muvaffaqiyat" ehtimoli faqat p = 0,8. Bernulli sxemasi bo'yicha sinovlarda kuzatilgan "muvaffaqiyat" chastotasi kamida 0,9 ehtimollik bilan p ehtimollikdan e = 0,01 dan oshmasligini kutishimiz uchun qancha sinov o'tkazish kerak?
Yechim. Taqqoslash uchun biz muammoni ikki yo'l bilan hal qilamiz.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolliklarini normal taqsimlash qonuni turli nazariy qonunlar orasida alohida o'rin tutadi, chunki u ko'plab amaliy tadqiqotlarda asosiy hisoblanadi. U ishlab chiqarish jarayonlari bilan bog'liq tasodifiy hodisalarning ko'pini tasvirlaydi.
Oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy hodisalarga ishlab chiqarish parametrlarini o'lchash xatolari, texnologik ishlab chiqarish xatolarining taqsimlanishi, ko'pgina biologik ob'ektlarning balandligi va vazni va boshqalar kiradi.
normal differensial funksiya bilan tavsiflangan uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti qonunini chaqiramiz
a - tasodifiy miqdorni matematik kutish;
Oddiy taqsimotning standart og'ishi.
Normal taqsimotning differentsial funksiyasining grafigi normal egri chiziq (Gauss egri chizig'i) deb ataladi (7-rasm).
Guruch. 7 Gauss egri chizig'i
Oddiy egri chiziqning xususiyatlari (Gauss egri chizig'i):
1. egri chiziq x = a to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik;
2. normal egri chiziq X o'qi ustida joylashgan, ya'ni X ning barcha qiymatlari uchun f(x) funktsiyasi har doim ijobiy bo'ladi;
3. Ho'kiz o'qi grafikning gorizontal asimptotasidir, chunki
4. x = a uchun f(x) funksiya ga teng maksimalga ega
,
A va B nuqtalarida va egri chiziq ordinatalari teng bo'lgan burilish nuqtalariga ega.
Shu bilan birga, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilmasidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og'ishdan oshmasligi ehtimoli 0,6826 ga teng.
E va G nuqtalarda va uchun f(x) funksiyaning qiymati teng
va normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og‘ishning ikki barobaridan oshmasligi ehtimoli 0,9544 ga teng.
Abscissa o'qiga asimptotik yaqinlashganda, C va D nuqtalardagi Gauss egri chizig'i va , abscissa o'qiga juda yaqin keladi. Bu nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymati juda kichik
va normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og‘ishning uch barobaridan oshmasligi ehtimoli 0,9973 ga teng. Gauss egri chizig'ining bu xususiyati "deb ataladi. uch sigma qoidasi".
Agar tasodifiy o'zgaruvchi normal taqsimlangan bo'lsa, u holda uning matematik kutilganidan chetlanishining mutlaq qiymati standart og'ishning uch barobaridan oshmaydi.
a parametrining qiymatini o'zgartirish (tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi) normal egri chiziq shaklini o'zgartirmaydi, faqat uning X o'qi bo'ylab siljishiga olib keladi: a oshsa o'ngga, a bo'lsa chapga. kamayadi.
a=0 bo‘lganda, normal egri chiziq y o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.
Parametrning qiymatini o'zgartirish (standart og'ish) normal egri shaklini o'zgartiradi: normal egri pasayish ordinatalari ortishi bilan egri X o'qi bo'ylab cho'ziladi va unga qarshi bosiladi. Kamaytirilganda normal egri chiziqning ordinatalari ortadi, egri chiziq X o'qi bo'ylab qisqaradi va ko'proq "cho'qqi"ga aylanadi.
Shu bilan birga, va ning har qanday qiymatlari uchun normal egri chiziq va X o'qi bilan chegaralangan maydon bittaga teng bo'lib qoladi (ya'ni, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining normal egri chiziq bilan chegaralangan qiymatni olish ehtimoli. X o'qi 1 ga teng).
Ixtiyoriy parametrlar bilan normal taqsimot va , ya'ni differentsial funktsiya bilan tavsiflanadi
chaqirdi umumiy normal taqsimot.
Parametrlari bilan normal taqsimot va deyiladi normallashtirilgan taqsimot(8-rasm). Normallashtirilgan taqsimotda differentsial taqsimot funktsiyasi:
Guruch. 8 Normallashtirilgan egri chiziq
Umumiy normal taqsimotning integral funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:
X tasodifiy miqdor (c, d) oraliqda normal qonunga muvofiq taqsimlansin. U holda X ning (c, d) intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli teng bo'ladi
Misol. X tasodifiy miqdor normal qonun bo'yicha taqsimlanadi. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishi a=30 va . X ning (10, 50) oraliqda qiymat olishi ehtimolligini toping.
Shart bo'yicha: . Keyin
Tayyor Laplas jadvallari yordamida (3-ilovaga qarang), bizda mavjud.
Ehtimollar nazariyasida juda ko'p miqdordagi turli xil taqsimot qonunlari ko'rib chiqiladi. Nazorat jadvallarini tuzish bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun ulardan faqat ba'zilari qiziqish uyg'otadi. Ulardan eng muhimi normal taqsimot qonuni, ishlatiladigan nazorat jadvallarini qurish uchun ishlatiladi miqdoriy nazorat, ya'ni. uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bilan ishlayotganimizda. Oddiy taqsimot qonuni boshqa taqsimot qonunlari orasida alohida o'rin tutadi. Bu, birinchidan, amaliyotda eng ko'p uchraydi, ikkinchidan, bu cheklovchi qonun bo'lib, unga taqsimotning boshqa qonunlari juda tez-tez duch keladigan odatiy sharoitlarda yaqinlashadi. Ikkinchi holatga kelsak, ehtimollar nazariyasida isbotlanganki, har qanday taqsimot qonunlariga bo'ysunadigan (muayyan juda qattiq bo'lmagan cheklovlarga rioya qilgan holda) etarlicha katta miqdordagi mustaqil (yoki zaif bog'liq) tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi taxminan normal qonunga bo'ysunadi. , va bu qanchalik aniq bajarilgan bo'lsa, yig'ilgan tasodifiy o'zgaruvchilar soni qanchalik ko'p bo'lsa. Amalda uchraydigan tasodifiy o'zgaruvchilarning ko'pchiligi, masalan, o'lchash xatolari juda ko'p sonli nisbatan kichik atamalar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin - elementar xatolar, ularning har biri alohida sababning ta'siridan kelib chiqadi. boshqalardan. Oddiy qonun tasodifiy o'zgaruvchida sodir bo'ladi X ko'p sonli turli omillarning natijasidir. Har bir omil qiymati bo'yicha alohida X bir oz ta'sir qiladi va qaysi biri boshqalarga qaraganda ko'proq ta'sir qilishini aniqlab bo'lmaydi.
Oddiy taqsimot(Laplas-Gauss taqsimoti) - uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti X shunday qilib, ehtimollik taqsimot zichligi - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:
Exp 
(3)
Ya'ni, normal taqsimot m va s ikkita parametr bilan tavsiflanadi, bu erda m - matematik kutish; s - normal taqsimotning standart og'ishi.
s qiymati 2 normal taqsimotning dispersiyasidir.
Matematik kutish m tarqatish markazining holatini tavsiflaydi va standart og'ish s (RMS) dispersiya xarakteristikasidir (3-rasm).
f(x) f(x)
 |
3-rasm - Oddiy taqsimotning zichlik funktsiyalari:
a) turli matematik taxminlar m; b) turli RMS lar.
Shunday qilib, qiymat μ taqsimlash egri chizig'ining x o'qidagi o'rni bilan aniqlanadi. Hajmi μ - tasodifiy miqdorning o'lchami bilan bir xil X. Matematik kutish ortishi bilan ikkala funktsiya o'ngga parallel ravishda harakatlanadi. Dispersiyaning kamayishi bilan s 2 zichlik m atrofida ko'proq konsentratsiyalanadi, taqsimlash funktsiyasi esa tobora tik bo'ladi.
s ning qiymati taqsimot egri chizig'ining shaklini belgilaydi. Tarqatish egri chizig'i ostidagi maydon har doim birlikka teng bo'lib qolishi kerakligi sababli, s ortishi bilan taqsimot egri chizig'i tekislanadi. Shaklda. 3.1 turli s uchun uchta egri chiziqni ko'rsatadi: s1 = 0,5; s2 = 1,0; s3 = 2,0.
3.1-rasm - Oddiy taqsimotning zichlik funktsiyalari bilan turli RMS s.
Tarqatish funksiyasi (integral funktsiya) quyidagi ko'rinishga ega (4-rasm):
(4)
4-rasm - Integral (a) va differentsial (b) normal taqsimot funktsiyalari
Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning chiziqli o'zgarishi alohida ahamiyatga ega X, shundan so'ng tasodifiy o'zgaruvchi olinadi Z Matematik kutilma 0 va dispersiya 1 bilan. Bunday transformatsiya normalizatsiya deyiladi:
Bu har bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun amalga oshirilishi mumkin. Normallashtirish normal taqsimotning barcha mumkin bo'lgan variantlarini bitta holatga qisqartirish imkonini beradi: m = 0, s = 1.
m = 0, s = 1 bo'lgan normal taqsimot deyiladi normallashtirilgan normal taqsimot (standartlashtirilgan).
standart normal taqsimot(standart Laplas-Gauss taqsimoti yoki normallashtirilgan normal taqsimot) - standartlashtirilgan normal tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti Z, tarqatish zichligi quyidagilarga teng:
da - ¥<z< + ¥
Funktsiya qiymatlari F(z) formula bilan aniqlanadi:
(7)
Funktsiya qiymatlari F(z) va zichlik f(z) normallashtirilgan normal taqsimot hisoblab chiqiladi va jadvallarda umumlashtiriladi (jadvalda). Jadval faqat ijobiy qiymatlar uchun tuzilgan z shunung uchun:
F (–z) = 1–F (z) (8)
Ushbu jadvallardan foydalanib, nafaqat funktsiya qiymatlarini va ma'lum bir norma uchun normal taqsimotning zichligini aniqlash mumkin. z, shuningdek, umumiy normal taqsimot funktsiyasining qiymatlari, chunki:
; (9)
. 10)
Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan bog'liq ko'plab masalalarda tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini aniqlash kerak. X, m va s parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunib, ma'lum bir maydonga. Bunday sayt, masalan, yuqori qiymatdan parametr uchun tolerantlik maydoni bo'lishi mumkin U pastga L.
dan intervalga tushish ehtimoli X 1 gacha X 2 formula bilan aniqlanishi mumkin:
Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchiga urish ehtimoli (parametr qiymati) X tolerantlik sohasida formula bilan aniqlanadi
Oddiy taqsimot ( normal taqsimot) - ma'lumotlarni tahlil qilishda muhim rol o'ynaydi.
Ba'zan atama o'rniga normal tarqatish atamasidan foydalaning Gauss taqsimoti K. Gauss sharafiga (eski atamalar, hozir deyarli ishlatilmaydi: Gauss qonuni, Gauss-Laplas taqsimoti).
Bir o'zgaruvchan normal taqsimot
Oddiy taqsimot zichlikka ega::
Ushbu formulada belgilangan parametrlar, - o'rtacha, - standart og'ish.
Turli parametrlar uchun zichlik grafiklari berilgan.
Oddiy taqsimotning xarakterli funktsiyasi quyidagi shaklga ega:
Xarakterli funktsiyani va sozlashni farqlash t = 0, biz har qanday buyurtmaning daqiqalarini olamiz.
Oddiy taqsimot zichligi egri chizig'i ga nisbatan simmetrikdir va bu nuqtada bitta maksimalga ega,
Standart og'ish parametri 0 dan ∞ gacha o'zgaradi.
O'rtacha -∞ dan +∞ gacha o'zgaradi.
Parametr ortishi bilan egri chiziq eksa bo'ylab tarqaladi X, 0 ga moyillik o'rtacha qiymat atrofida qisqaradi (parametr tarqalishni, tarqalishini tavsiflaydi).
O'zgarganda egri chiziq eksa bo'ylab siljiydi X(grafiklarga qarang).
Parametrlarni o'zgartirish va , biz telefoniyada paydo bo'ladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning turli modellarini olamiz.
Oddiy qonunning, masalan, telekommunikatsiya ma'lumotlarini tahlil qilishda odatiy qo'llanilishi signalni modellashtirish, shovqin, shovqin, xatolar, trafik tavsifidir.
Bir o'zgaruvchan normal taqsimotning grafiklari
Rasm 1. Oddiy taqsimot zichligi grafigi: o'rtacha 0, standart og'ish 1
Shakl 2. Barcha kuzatuvlarning 68% va 95% ni o'z ichiga olgan maydonlar bilan standart normal taqsimotning zichlik grafigi
Shakl 3. O'rtacha nolga teng va turli og'ishlarga ega normal taqsimotlarning zichlik grafigi (=0,5, =1, =2)
4-rasm N(-2,2) va N(3,2) ikkita normal taqsimotning grafiklari.
Parametrni o'zgartirganda tarqatish markazi o'zgarganiga e'tibor bering.
Izoh
Bir dasturda STATISTIKA N(3,2) belgisi parametrlarga ega normal yoki Gauss qonuni sifatida tushuniladi: o'rtacha = 3 va standart og'ish =2.
Adabiyotda ba'zan ikkinchi parametr sifatida talqin qilinadi dispersiya, ya'ni. kvadrat standart og'ish.
Ehtimollik kalkulyatori bilan oddiy taqsimlash ulush nuqtasini hisoblash STATISTIKA
Ehtimollik kalkulyatoridan foydalanish STATISTIKA eski kitoblarda qo'llaniladigan noqulay jadvallarga murojaat qilmasdan, tarqatishning turli xususiyatlarini hisoblash mumkin.
1-qadam. Biz ishga tushiramiz Tahlil / Ehtimollar kalkulyatori / Tarqatishlar.
Tarqatish bo'limida tanlang normal.
Rasm 5. Ehtimollarni taqsimlash kalkulyatorini ishga tushirish
2-qadam Bizni qiziqtirgan parametrlarni belgilang.
Masalan, biz o'rtacha 0 va standart og'ish 1 bo'lgan normal taqsimotning 95% kvantilini hisoblamoqchimiz.
Kalkulyator maydonlarida ushbu parametrlarni ko'rsating (kalkulyator o'rtacha va standart og'ish maydonlariga qarang).
p=0,95 parametrini kiritamiz.
"Fr. teskari" katagiga belgi qo'ying. avtomatik ravishda ko'rsatiladi. "Grafik" katagiga belgi qo'ying.
Yuqori o'ng burchakdagi "Hisoblash" tugmasini bosing.
Shakl 6. Parametrni sozlash
3-qadam Z maydonida biz natijaga erishamiz: kvantil qiymati 1,64 (keyingi oynaga qarang).
Rasm 7. Kalkulyatorning natijasini ko'rish
8-rasm. Zichlik va taqsimot funksiyalarining chizmalari. To'g'ri x=1,644485
9-rasm. Normal taqsimot funksiyasining grafiklari. Vertikal nuqtali chiziqlar - x=-1,5, x=-1, x=-0,5, x=0
10-rasm. Normal taqsimot funksiyasining grafiklari. Vertikal nuqtali chiziqlar - x=0,5, x=1, x=1,5, x=2
Oddiy taqsimot parametrlarini baholash
Oddiy taqsimot qiymatlari yordamida hisoblash mumkin interaktiv kalkulyator.
Ikki o'zgaruvchan normal taqsimot
Bir o'zgaruvchan normal taqsimot tabiiy ravishda umumlashtiriladi ikki o'lchovli normal taqsimot.
Misol uchun, agar siz signalni faqat bitta nuqtada ko'rib chiqsangiz, unda bir o'lchovli taqsimot siz uchun etarli, ikki nuqtada - ikki o'lchovli taqsimot, uch nuqtada - uch o'lchovli taqsimot va hokazo.
Ikki o'zgaruvchan normal taqsimotning umumiy formulasi:
orasidagi juft korrelyatsiya qayerda x1 va x2;
x1 mos ravishda;
O'zgaruvchining o'rtacha va standart og'ishi x2 mos ravishda.
Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 va X 2 mustaqil bo'lsa, u holda korrelyatsiya mos ravishda 0, = 0 bo'ladi, ko'rsatkichdagi o'rta had yo'qoladi va bizda:
f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)
Mustaqil miqdorlar uchun ikki o'lchovli zichlik ikkita bir o'lchovli zichlik mahsulotiga parchalanadi.
Ikki o'zgaruvchan normal zichlik grafigi
11-rasm. Ikki oʻzgaruvchan normal taqsimotning zichlik grafigi (oʻrtacha nol vektor, birlik kovariatsiya matritsasi)
12-rasm. Ikki o'lchovli normal taqsimotning zichlik grafigining tekislik bo'yicha kesmasi z=0,05
13-rasm. Ikki o'zgaruvchan normal taqsimotning zichlik grafigi (nolga teng kutish vektori, asosiy diagonalda 1 va yon diagonalda 0,5 bo'lgan kovariatsiya matritsasi)
14-rasm. 2D normal zichlik grafigining (kutilish vektori nolga teng, asosiy diagonalda 1 va yon diagonalda 0,5 bo'lgan kovariatsiya matritsasi) z= 0,05 tekislik bo'yicha kesma.
15-rasm. Ikki o'zgaruvchan normal taqsimotning zichlik grafigi (nolga teng kutish vektori, asosiy diagonalda 1 va yon diagonalda -0,5 bo'lgan kovariatsiya matritsasi)
16-rasm. Ikki o'lchovli normal taqsimotning zichlik grafigining (nol kutish vektori, asosiy diagonalda 1 va yon diagonalda -0,5 bo'lgan kovariatsiya matritsasi) z=0,05 tekislik bo'yicha kesma.
17-rasm. z=0,05 tekislik bo‘yicha 2D normal taqsimot zichlikdagi uchastkalarning ko‘ndalang kesimlari
Ikki o'zgaruvchan normal taqsimotni yaxshiroq tushunish uchun quyidagi muammoni sinab ko'ring.
Vazifa. Ikki o'zgaruvchan normal taqsimot grafigiga qarang. O'ylab ko'ring, uni bir o'lchovli normal taqsimot grafigining aylanishi sifatida tasvirlash mumkinmi? Deformatsiya texnikasini qachon qo'llash kerak?
Amalda, ko'p tasodifiy omillar ta'sirida bo'lgan ko'pchilik tasodifiy o'zgaruvchilar ehtimollik taqsimotining normal qonuniga bo'ysunadi. Shuning uchun ehtimollar nazariyasining turli xil qo'llanilishida bu qonun alohida ahamiyatga ega.
$X$ tasodifiy o'zgaruvchisi, ehtimollik taqsimoti zichligi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa, normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi.
$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$
Sxematik ravishda $f\left(x\right)$ funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan va "Gauss egri chizig'i" nomiga ega. Ushbu grafikning o'ng tomonida evro muomalaga kiritilishidan oldin ham ishlatilgan 10 Mark nemis banknotasi joylashgan. Agar diqqat bilan qarasangiz, ushbu banknotada Gauss egri chizig'ini va uning kashfiyotchisi, eng buyuk matematik Karl Fridrix Gaussni ko'rishingiz mumkin.
Keling, $f\left(x\right)$ zichlik funksiyamizga qaytaylik va $a,\ (\sigma )^2$ taqsimot parametrlari haqida bir oz tushuntirish beramiz. $a$ parametri tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalish markazini tavsiflaydi, ya'ni u matematik kutish ma'nosiga ega. $a$ parametri oʻzgarganda va $(\sigma )^2$ parametri oʻzgarmagan boʻlsa, biz $f\left(x\right)$ funksiya grafigining abscissa oʻqi boʻylab siljishini kuzatishimiz mumkin. grafikning o'zi uning shaklini o'zgartirmaydi.
$(\sigma )^2$ parametri dispersiya bo'lib, $f\left(x\right)$ zichlik egri chizig'ining shaklini tavsiflaydi. $(\sigma )^2$ parametrini $a$ parametri oʻzgarmagan holda oʻzgartirganda, zichlik grafigi abscissa boʻylab siljimasdan turib, shaklini qanday oʻzgartirishini, qisqarishini yoki choʻzilishini kuzatishimiz mumkin.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli
Ma'lumki, $X$ tasodifiy o'zgaruvchining $\left(\alpha;\ \beta \right)$ oralig'iga tushishi ehtimoli $P\left(\alpha) hisoblanishi mumkin.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:
$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$
Bu yerda $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ funksiyasi Laplas funktsiyasi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari dan olingan. $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining quyidagi xossalarini qayd etish mumkin.
1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ya'ni $\Phi \left(x\right)$ funktsiyasi g'alati.
2 . $\Phi \left(x\right)$ - monoton ortib borayotgan funksiya.
3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ chap (x\o'ng)\ )=-0,5$.
$\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblash uchun Excel paketining $f_x$ funksiya ustasidan ham foydalanishingiz mumkin: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\o'ng )-0,5$. Masalan, $x=2$ uchun $\Phi \left(x\right)$ funksiyasining qiymatlarini hisoblaylik.
Oddiy taqsimlangan $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ tasodifiy oʻzgaruvchining $a$ kutilishiga nisbatan simmetrik intervalga tushishi ehtimoli formula boʻyicha hisoblanishi mumkin.
$$P\left(\left|X-a\o'ng|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$
Uch sigma qoidasi. Oddiy taqsimlangan $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ oralig'iga tushishi amalda aniq.
1-misol . $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi $a=2,\ \sigma =3$ parametrlari bilan normal ehtimollik taqsimot qonuniga bo'ysunadi. $X$ $\left(0,5;1\right)$ intervaliga tushish ehtimolini va $\left|X-a\right| tengsizlik ehtimolini toping.< 0,2$.
Formuladan foydalanish
$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$
$P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over(3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ ustidan (3))\o'ng)=\Phi \left(-0,33\o'ng)-\Phi \left(-0,5\o'ng)=\Phi \left(0,5\o'ng)-\Phi \ left(0,33\o'ng) =0,191-0,129=0,062$.
$$P\left(\left|X-a\o'ng|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$
2-misol . Faraz qilaylik, yil davomida ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, matematik taxmin 50 shartli pul birligiga teng va standart og'ish 10 ga teng. Tasodifiy tanlangan bo'lish ehtimoli qanday? Muhokama qilinayotgan davr kuni aktsiyaning narxi quyidagicha bo'ladi:
a) 70 dan ortiq shartli pul birligi?
b) har bir aksiya uchun 50 dan kammi?
c) har bir aksiya uchun 45 dan 58 gacha shartli pul birligi?
Tasodifiy o'zgaruvchi $X$ ma'lum bir kompaniya aktsiyalarining narxi bo'lsin. Shart bo'yicha $X$ $a=50$ - matematik kutish, $\sigma =10$ - standart og'ish parametrlari bilan normal taqsimotga bo'ysunadi. Ehtimollik $P\chap(\alfa< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:
$$P\chap(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$
$$a)\ P\left(X>70\o'ng)=\Phi \left(((\infty -50)\ortiq (10))\o'ng)-\Phi \left(((70-50)\ ustidan (10))\o'ng)=0,5-\Phi \left(2\o'ng)=0,5-0,4772=0,0228.$$
$$b)\ P\chap(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$
$$c)\ P\chap(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$