X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimot zichligiga ega. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. Yechimga misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi uning to'liq ehtimollik xususiyatidir. Ammo uning kamchiligi bor, bu tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qning u yoki bu nuqtasining kichik qo'shnisida taqsimlanishining tabiatini hukm qilish qiyinligidan iborat. Har xil nuqtalar yaqinida uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanishi tabiatining ko'proq vizual tasviri tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimot zichligi yoki differentsial taqsimot qonuni deb ataladigan funktsiya orqali beriladi. Bu savolda biz ehtimollik zichligi taqsimotini va uning xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X tarqatish funktsiyasi bilan. Keling, ushbu tasodifiy o'zgaruvchini elementar segmentga urish ehtimolini hisoblaylik
:

Ushbu ehtimollikning kesma uzunligiga nisbatini tuzing
:

Olingan nisbat deyiladi o'rtacha ehtimollik, bu segmentning uzunligi birligiga to'g'ri keladi.

Tarqatish funktsiyasini hisobga olgan holda F(X) differensiallanadigan bo'lsa, biz (1) tenglikda chegaraga o'tamiz
; keyin biz olamiz:

X dan x + ∆x gacha bo'lgan elementar kesmada uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimolining ushbu kesma uzunligiga nisbati chegarasi ∆x., ∆x bo'lganda nolga intiladi, tasodifiy miqdorning x nuqtadagi taqsimot zichligi deyiladi va belgilanadi.f (x).

Tenglik (2) tufayli, taqsimot zichligi f(X) taqsimot funksiyasining hosilasiga teng F(X), ya'ni

.

Tarqatish zichligining ma'nosi f(X) Bu tasodifiy o'zgaruvchining qanchalik tez-tez paydo bo'lishini ko'rsatadi X nuqtaning ba'zi mahallasida X tajribalarni takrorlashda.

Tarqatish zichligini tasvirlovchi egri chiziq f(X) tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi taqsimot egri chizig'i. Tarqatish egri chizig'ining taxminiy ko'rinishi 1-rasmda ko'rsatilgan.

E'tibor bering, agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari cheklangan oraliqni to'ldirsa, u holda tarqatish zichligi f(x) = 0 bu oraliqdan tashqarida.

Abscissa o'qida elementar kesmani ∆ ajratib ko'rsatamiz X, nuqtaga ulashgan X(2-rasm) va tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping X bu hududga. Bir tomondan, bu ehtimollik o'sishga teng
tarqatish funktsiyalari F(X), mos keladigan o'sish ∆ x= dx dalil X. BILAN boshqa tomondan, tasodifiy o'zgaruvchiga urish ehtimoli X elementar sohaga dxBilan∆ dan yuqori tartibli cheksiz kichiklarga X ga teng f(x) dx (chunki ∆ F(x)≈ dF(x) =f (x) dx). Geometrik jihatdan bu balandligi bo'lgan elementar to'rtburchakning maydoni f(x) va poydevor dx (2-rasm). Qiymat f (x) dx chaqirdi ehtimollik elementi.

Shuni ta'kidlash kerakki, mumkin bo'lgan qiymatlari ma'lum bir intervalni doimiy ravishda to'ldiradigan barcha tasodifiy o'zgaruvchilar ham uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar emas. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud bo'lib, ularning mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda ma'lum bir intervalni to'ldiradi, lekin ular uchun taqsimot funktsiyasi hamma joyda uzluksiz emas, balki ma'lum nuqtalarda uzilishlarga duchor bo'ladi. Bunday tasodifiy o'zgaruvchilar deyiladi aralashgan. Shunday qilib, masalan, shovqindagi signalni aniqlash muammosida foydali signal amplitudasi aralash tasodifiy o'zgaruvchidir. X, u ijobiy yoki salbiy har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.

Keling, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining yanada qat'iy ta'rifini beraylik.

Tasodifiy qiymatXtaqsimlash funktsiyasi bo'lsa uzluksiz deyiladiF(x\ butun x o'qi bo'yicha uzluksiz va taqsimot zichligif (x) hamma joyda mavjud, ehtimol cheklangan sonli nuqtalardan tashqari.

Tarqatish zichligining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Mulk 1.Tarqatish zichligi manfiy emas, ya'ni

Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri taqsimlash zichligidan kelib chiqadi
kamaymaydigan taqsimot funksiyasining hosilasidir F(x).

Mulk 2. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi –∞ dan x gacha boʻlgan oraliqdagi zichlikning integraliga teng, ya'ni

. (3)

Mulk 3.Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoliXuchastkaga
bu bo'limda olingan taqsimot zichligi integraliga teng, ya'ni

. (4)

Mulk 4. Tarqatish zichligining cheksiz chegaralaridagi integral birlikka teng:

.

Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'i cheklangan chegaralarga ega bo'lsa A Va b, keyin tarqalish zichligi f(X)= 0 diapazondan tashqarida
va xossa 4 quyidagicha yozilishi mumkin:

.

Misol. Tasodifiy qiymat X zichlik bilan taqsimlanish qonuniga bo'ysunadi

.

Majburiy:

1) koeffitsientni toping A.

2) 0 dan ga qadar bo'lgan maydonda tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimolini toping.

Yechim. 1) Koeffitsientni aniqlash uchun A Biz taqsimot zichligining 4 xususiyatidan foydalanamiz:

,

qayerda .

2) (4) formula bo'yicha bizda:

.

Moda
uzluksiz tasodifiy miqdor X taqsimot zichligi maksimal bo'lgan qiymat deb ataladi.

median uzluksiz tasodifiy miqdor X uning qiymati chaqiriladi, buning uchun tasodifiy o'zgaruvchining kamroq yoki ko'p bo'lishi teng darajada ehtimolga ega , ya'ni:

Geometrik jihatdan rejim taqsimot egri chizig‘ining o‘sha nuqtasining abssissasi bo‘lib, uning ordinatasi maksimal bo‘ladi (diskret tasodifiy o‘zgaruvchi uchun rejim maksimal ordinatali ko‘pburchak nuqtasining abssissasidir).

Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.

E'tibor bering, agar taqsimot unimodal va simmetrik bo'lsa, unda o'rtacha, rejim va mediana bir xil bo'ladi.

Uchinchi markaziy momentni ham unutmang yoki qiyshiqlik - taqsimotning "qiyshiqligi"ning o'ziga xos xususiyati. Agar taqsimot matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lsa, u holda taqsimot egri chizig'i uchun (gistogramma)
. To'rtinchi markaziy moment cho'qqi yoki tekis tepalik taqsimotini tavsiflash uchun xizmat qiladi. Ushbu tarqatish xususiyatlari deb atalmish yordamida tasvirlangan kurtoz. Egrilik va kurtozni topish formulalari biz tomonidan avvalgi ma'ruzada muhokama qilingan edi.

2.Oddiy taqsimot

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimoti orasida markaziy o'rinni normal qonun yoki Gauss taqsimot qonuni egallaydi, ehtimollik zichligi quyidagi shaklga ega:

, (5)

Qayerda
normal taqsimot parametrlari hisoblanadi.

Oddiy taqsimot ikkita parametrga bog'liq bo'lgani uchun Va
, keyin u ham deyiladi ikki parametrli taqsimot.

Oddiy taqsimot qonuni tasodifiy miqdor bo'lgan hollarda qo'llaniladi X ko'p sonli turli omillarning natijasidir. Har bir omil qiymati bo'yicha alohida X bir oz ta'sir qiladi va qaysi biri boshqalardan ko'ra ko'proq ekanligini aniqlab bo'lmaydi. Oddiy taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: mashinada ishlov beriladigan qismlarning haqiqiy o'lchamlarining nominal o'lchamlardan chetga chiqishi, o'lchash xatolari, tortishish paytidagi og'ishlar va boshqalar.

(5) formulada parametr ekanligini isbotlaymiz A matematik kutish va parametrdir
- standart og'ish:

.

Integrallarning birinchisi nolga teng, chunki integral toq. Ikkinchi integral Puasson integrali sifatida tanilgan:

.

Farqni hisoblaymiz:

.

Oddiy taqsimotning ehtimollik zichligi grafigi normal Gauss egri chizig'i deb ataladi (3-rasm).

Biz egri chiziqning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz:

1. Ehtimollik zichligi funksiyasi butun sonli o'qda aniqlanadi, ya'ni
.

2. Funktsiya diapazoni
, ya'ni Gauss egri chizig'i x o'qi ustida joylashgan va uni kesib o'tmaydi.

3. Gauss egri chizig'ining shoxlari asimptotik tarzda o'qga moyil bo'ladi
, ya'ni

4. Egri chiziq to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir
. Shunday qilib, normal taqsimot uchun matematik kutish taqsimot rejimi va medianasiga to'g'ri keladi.

5. Funksiya abtsissa bilan nuqtada bitta maksimalga ega
, ga teng
. O'sish bilan
Gauss egri chizig'i tekisroq bo'ladi va u kamayadi
- ko'proq "o'tkir".

6. Gauss egri chizig'i koordinatali ikkita burilish nuqtasiga ega
Va
.

7. Agar doimiy bo'lsa
matematik taxminni o'zgartiring, keyin Gauss egri chizig'i eksa bo'ylab siljiydi
: o'ng - ortib borayotganda A, va chapga - kamayganda.

8. Oddiy taqsimot uchun egrilik va kurtoz nolga teng.

Syujetdagi normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimolini toping
. Ma'lumki

.

.

O'zgaruvchining o'zgarishidan foydalanish

,

. (6)

Integral
elementar funktsiyalar bilan ifodalanmaydi, shuning uchun (6) integralni hisoblash uchun ular maxsus funktsiya qiymatlari jadvallaridan foydalanadilar. Laplas funktsiyasi, va shunday ko'rinadi:

.

Oddiy o'zgarishlardan so'ng biz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli formulasini olamiz
:

. (7)

Laplas funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1.
.

2.
g'alati funktsiyadir.

3.
.

Tarqatish funksiyasining grafigi 4-rasmda ko'rsatilgan.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning og'ish ehtimolini hisoblash talab qilinsin X mutlaq qiymatda berilgan musbat sondan oshmaydi , ya'ni tengsizlik ehtimoli
.

Biz (7) formuladan va Laplas funksiyasining g'alati xususiyatidan foydalanamiz:

.

Keling, qo'ying
va tanlang
. Keyin biz olamiz:

.

Bu parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun degan ma'noni anglatadi A Va
tengsizlikning bajarilishi
deyarli aniq hodisadir. Bu "uch sigma" deb ataladigan qoidadir.

Kutilgan qiymat

Dispersiya Mumkin qiymatlari butun Ox o'qiga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi tenglik bilan aniqlanadi:

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator bo'lgan muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan tarqatish zichligi f(x) , yoki F(x) taqsimot funksiyasi (misolga qarang). Odatda bunday vazifalarda uni topish talab qilinadi matematik kutish, standart og'ish, f(x) va F(x) funksiyalarini chizing..

Ko'rsatma. Kirish ma'lumotlarining turini tanlang: tarqatish zichligi f(x) yoki tarqatish funksiyasi F(x) .

Tarqatish zichligi f(x) berilgan:

F(x) taqsimot funksiyasi berilgan:

Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollik zichligi bilan aniqlanadi
(Rayleigh taqsimot qonuni - radiotexnikada qo'llaniladi). M(x) , D(x) ni toping.

X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi davomiy , agar uning taqsimot funksiyasi F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi:
P(a< X < β)=F(β) - F(α)
bundan tashqari, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning chegaralari ushbu intervalga kiritilganmi yoki yo'qligi muhim emas:
P(a< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Tarqatish zichligi uzluksiz tasodifiy miqdor funksiya deyiladi
f(x)=F'(x) , taqsimot funksiyasining hosilasi.

Tarqatish zichligi xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy emas (f(x) ≥ 0).
2. Normalizatsiya sharti:

Normalizatsiya shartining geometrik ma'nosi: taqsimlanish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birga teng.
3. a dan b gacha bo'lgan oraliqda X tasodifiy o'zgaruvchiga urilish ehtimoli formula bo'yicha hisoblanishi mumkin.

Geometrik jihatdan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ning intervalga (a, b) tushishi ehtimoli ushbu intervalga asoslangan taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
4. Tarqatish funksiyasi zichlik bilan quyidagicha ifodalanadi:

X nuqtadagi taqsimot zichligi qiymati bu qiymatni olish ehtimoliga teng emas, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz faqat ma'lum bir intervalga tushish ehtimoli haqida gapirishimiz mumkin. Agar uning ehtimollik zichligi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin:

Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi ifodalar bilan aniqlanadi.

3.8. Tasodifiy qiymat X segmentga teng taqsimlanadi. Tarqatish funksiyasini toping F(x), qiymatning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi.

Yechim. Miqdor uchun ehtimollik zichligi X kabi ko'rinadi:

Shunday qilib, quyidagi formula bo'yicha hisoblangan taqsimot funktsiyasi:

,

quyidagicha yoziladi:

Matematik kutish bo'ladi M x= (1 + 6)/2 = 3,5. Dispersiya va standart og‘ishlarni toping:

D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Oddiy taqsimot

Tasodifiy qiymat X agar uning ehtimollik zichligi funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa, odatda taqsimlanadi:

Qayerda M x- kutilayotgan qiymat;

standart og'ish hisoblanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli ( A, b) formula bo'yicha topiladi

R(A < X < b) = F – F = F( z 2) – F( z 1), (5)

qaerda F( z) = - Laplas funksiyasi.

Laplas funksiyasining qiymatlari turli ma'nolar z 2-ilovada keltirilgan.

3.9. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X teng M x= 5, dispersiya D x= 9. Ehtimollar zichligi ifodasini yozing.

3.10. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishi X mos ravishda 12 va 2. Tasodifiy oʻzgaruvchining (14; 16) oraliqdagi qiymatni olish ehtimolini toping.

Yechim. Biz buni hisobga olgan holda (21.2) formuladan foydalanamiz M x = 12, = 2:

R(14 < X < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvaliga ko'ra, biz F(1) = 0,3413, F(2) = 0,4772 ni topamiz. O'zgartirishdan so'ng biz kerakli ehtimollik qiymatini olamiz:

R(14 <X < 16) = 0,1359.

3.11. Tasodifiy o'zgaruvchi mavjud X, normal qonun bo'yicha taqsimlangan, matematik kutish 20 ga teng, standart og'ish 3 ga teng. Matematik kutishga nisbatan simmetrik intervalni toping, unda ehtimollik bilan. R= 0.9972 tasodifiy o'zgaruvchini oladi.

Yechim. Chunki R(X 1 < X < X 2) = R= 2F(( X 2 – M x)/ ), keyin F( z) = R/2 = 0,4986. Laplas funksiyasi jadvaliga asosan qiymatni topamiz z, F( funksiyaning olingan qiymatiga mos keladi. z) = 0,4986: z= 2.98. Shuni hisobga olib z = (X 2 – M x)/ , biz = aniqlaymiz X 2 – M x = z= 3 2,98 = 8,94. Kerakli interval (11.06; 28.94) kabi ko'rinadi.

Biz buni hisobga olamiz f(x) = F"(x). Keyin biz olamiz:

Matematik kutilmani ifodada almashtiring

.

Qismlar bo'yicha birlashtirib, biz olamiz M x= 1/ , yoki M x = 1/0,1.

Dispersiyani aniqlash uchun birinchi hadni qismlar bo'yicha birlashtiramiz. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

.

uchun topilgan ifodani hisobga olamiz M x. Qayerda

.

Ushbu holatda M x = 10, D x = 100.

TASOSODIY O'ZGARCHLAR TIZIMLARI

$X$ $F(x)$ ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsin. Tarqatish funktsiyasining ta'rifini eslang:

Ta'rif 1

Tarqatish funksiyasi $F\left(x\right)=P(X) shartini qanoatlantiruvchi $F(x)$ funksiyadir.

Tasodifiy o'zgaruvchi uzluksiz bo'lgani uchun, biz allaqachon bilganimizdek, ehtimollik taqsimoti funktsiyasi $F(x)$ uzluksiz funktsiya bo'ladi. $F\left(x\right)$ ham ta'rifning butun domenida farqlansin.

$(x,x+\triangle x)$ oralig'ini ko'rib chiqing (bu erda $\triangle x$ - $x$ ga o'sish). Unga

Endi $\triangle x$ o'sish qiymatlari nolga teng bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

1-rasm.

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Tarqatish zichligi, taqsimot funksiyasi kabi, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunining shakllaridan biridir. Biroq, taqsimot qonuni faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot zichligi nuqtai nazaridan yozilishi mumkin.

Ta'rif 3

Tarqatish egri chizig'i $\varphi \left(x\right)$ funksiyaning grafigi, tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi (1-rasm).

Shakl 2. Tarqatish zichligi grafigi.

Geometrik ma'no 1: Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining $(\alpha,\beta)$ oralig'iga tushish ehtimoli $\varphi \left(x\right)$ taqsimot funksiyasi grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng. $x=\alpha ,$ $x=\beta $ va $y=0$ toʻgʻri chiziqlar (2-rasm).

3-rasm. Uzluksiz tasodifiy miqdorning $(\alpha,\beta)$ oralig'iga tushishi ehtimolining geometrik tasviri.

Geometrik ma'no 2:$\varphi \left(x\right)$ taqsimot funksiyasi grafigi bilan chegaralangan cheksiz egri chiziqli trapetsiya maydoni, $y=0$ chizigʻi va $x$ oʻzgaruvchan chizigʻi $ taqsimlash funksiyasidan boshqa narsa emas. F(x)$ (3-rasm).

4-rasm. $F(x)$ ehtimollik funksiyasining $\varphi \left(x\right)$ taqsimot zichligi boʻyicha geometrik tasviri.

1-misol

$X$ tasodifiy miqdorning $F(x)$ taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsin.

4. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining zichligi

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin F(x) . Ushbu sozlash usuli yagona emas. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash zichligi yoki ehtimollik zichligi (ba'zan differentsial funktsiya deb ataladi) deb ataladigan boshqa funktsiya yordamida ham aniqlash mumkin.

Ta'rif 4.1: Uzluksiz tasodifiy miqdorning tarqalish zichligi X funksiyani chaqiring f (x) - taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Bu ta'rifdan kelib chiqadiki, taqsimot funksiyasi taqsimot zichligiga qarshi hosiladir. E'tibor bering, diskret tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotini tavsiflash uchun tarqatish zichligi qo'llanilmaydi.

Berilgan oraliqda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli

Tarqatish zichligini bilib, biz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tegishli qiymatni olish ehtimolini hisoblashimiz mumkin.

Teorema: Uzluksiz tasodifiy X ning intervalga tegishli qiymatlarni olish ehtimoli (a, b), dan oralig'ida olingan taqsimot zichligining ma'lum bir integraliga tengaoldinb :

Isbot: Biz nisbatdan foydalanamiz

P(a ≤ Xb) = F(b) – F(a).

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra,

Shunday qilib,

.

Chunki P(a ≤ X b)= P(a X b) , keyin biz nihoyat olamiz

.

Geometrik jihatdan natija quyidagicha talqin qilinishi mumkin: uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (a, b), o'q bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga tengho'kiz, taqsimot egri chizig'if(x) va to'g'ridan-to'g'rix = aVax = b.

Izoh: Xususan, agar f(x) juft funktsiya bo'lib, oraliqning uchlari boshiga nisbatan simmetrik bo'ladi, demak

.

Misol. Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi berilgan X

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(0,5; 1) intervalga tegishli qiymatlarni oladi.

Yechim: Istalgan ehtimollik

.

Ma'lum taqsimot zichligidan taqsimot funksiyasini topish

Tarqatish zichligini bilish f(x) , taqsimlash funksiyasini topishimiz mumkin F(x) formula bo'yicha

.

Haqiqatan ham, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Demak,

.

Shunday qilib, taqsimot zichligini bilib, siz tarqatish funktsiyasini topishingiz mumkin. Albatta, ma'lum bo'lgan taqsimot funktsiyasidan tarqatish zichligini topish mumkin, aynan:

f(x) = F"(x).

Misol. Berilgan taqsimot zichligi uchun taqsimot funksiyasini toping:

Yechim: Keling, formuladan foydalanamiz

Agar x ≤ a, Bu f(x) = 0 , shuning uchun, F(x) = 0 . Agar a, keyin f(x) = 1/(b-a),

shuning uchun,

.

Agar x > b, Bu

.

Shunday qilib, kerakli tarqatish funktsiyasi

Izoh: Biz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini oldik (yagona taqsimotga qarang).

Tarqatish zichligi xossalari

Mulk 1: Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan funktsiyadir:

f ( x ) ≥ 0 .

Mulk 2:-∞ dan ∞ gacha bo'lgan oraliqdagi taqsimot zichligining noto'g'ri integrali birga teng:

.

Izoh: Tarqatish zichligi grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i.

Izoh: Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi taqsimot qonuni deb ham ataladi.

Misol. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi ko'rinishga ega:

Doimiy parametrni toping a.

Yechim: Tarqatish zichligi shartni qondirishi kerak, shuning uchun biz tenglikni talab qilamiz

.

Bu yerdan
. Noaniq integralni topamiz:

.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

Shunday qilib, kerakli parametr

.

Tarqatish zichligining taxminiy ma'nosi

Mayli F(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi X. Tarqatish zichligi ta'rifiga ko'ra, f(x) = F"(x) , yoki

.

Farq F(x+∆x) -F(x) ehtimolini aniqlaydi X intervalga tegishli qiymatni oladi (x, x+∆x). Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli nisbati chegarasi (x, x+∆x), bu oraliq uzunligiga (at ∆x→0) nuqtadagi taqsimot zichligi qiymatiga teng X.

Shunday qilib, funktsiya f(x) har bir nuqta uchun ehtimollik taqsimot zichligini aniqlaydi X. Differensial hisoblashdan ma'lumki, funktsiyaning o'sishi taxminan funktsiyaning differentsialiga teng, ya'ni.

Chunki F"(x) = f(x) Va dx = ∆ x, Bu F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Ushbu tenglikning ehtimollik ma'nosi quyidagicha: tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (x, x+∆ x), taxminan x nuqtadagi ehtimollik zichligi va ∆x oraliq uzunligi ko'paytmasiga teng..

Geometrik jihatdan bu natijani quyidagicha talqin qilish mumkin: tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tegishli qiymatni olish ehtimoli (x, x+∆ x), taxminan asosi ∆x va balandligi bo'lgan to'rtburchakning maydoniga tengf(x).

5. Diskret tasodifiy miqdorlarning tipik taqsimotlari

5.1. Bernoulli taqsimoti

Ta'rif 5.1: Tasodifiy qiymat X, bu ikkita qiymatni oladi 1 Va 0 ehtimollar bilan ("muvaffaqiyat") p va ("muvaffaqiyatsizlik") q, deyiladi Bernulli:

, Qayerda k=0,1.

5.2. Binomiy taqsimot

Ishlab chiqarilsin n mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisa A paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin. Barcha sinovlarda sodir bo'ladigan hodisaning ehtimoli doimiy va tengdir p(shuning uchun paydo bo'lmaslik ehtimoli q = 1 - p).

Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni A bu testlarda. Tasodifiy qiymat X qadriyatlarni oladi 0,1,2,… n Bernulli formulasi bilan hisoblangan ehtimollar bilan: , Qayerda k = 0,1,2,… n.

Ta'rif 5.2: binomial Bernulli formulasi bilan aniqlangan ehtimollik taqsimoti deyiladi.

Misol. Nishonga uchta o'q uziladi va har bir o'qning tegish ehtimoli 0,8 ga teng. Biz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqamiz X- nishonga zarbalar soni. Uning tarqalish qatorini toping.

Yechim: Tasodifiy qiymat X qadriyatlarni oladi 0,1,2,3 Bernulli formulasi bilan hisoblangan ehtimollar bilan, bu erda n = 3, p = 0,8 (urilish ehtimoli), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (yo'qolib ketish ehtimoli).

Shunday qilib, tarqatish seriyasi quyidagi shaklga ega:

Katta qiymatlar uchun Bernoulli formulasidan foydalaning n Tegishli ehtimollarni hisoblash juda qiyin, shuning uchun mahalliy Laplas teoremasi qo'llaniladi, bu voqea sodir bo'lish ehtimolini taxminan topishga imkon beradi. k bir marta a n sinovlar soni etarlicha katta bo'lsa.

Mahalliy Laplas teoremasi: Agar ehtimollik bo'lsa p hodisaning yuzaga kelishi A
bu voqea A ichida paydo bo'ladi n aniq sinovlar k marta, taxminan teng (qanchalik aniq bo'lsa, shuncha ko'p n) funksiya qiymati
, Qayerda
,
.

Eslatma 1: Funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar
, 1-ilovada keltirilgan va
. Funktsiya standart normal taqsimotning zichligi (normal taqsimotga qarang).

Misol: Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping A aniq keladi 80 bir marta a 400 har bir sinovda ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng bo'lsa, sinovlar 0,2.

Yechim: Shart bo'yicha n = 400, k = 80, p = 0,2 , q = 0,8 . Muammo ma'lumotlari bilan aniqlangan qiymatni hisoblaylik x:
. 1-ilovadagi jadvalga ko'ra, biz topamiz
. Keyin kerakli ehtimollik quyidagicha bo'ladi:

Agar siz voqea sodir bo'lish ehtimolini hisoblamoqchi bo'lsangiz A ichida paydo bo'ladi n hech bo'lmaganda sinovlar k 1 bir marta va ortiq emas k 2 marta, keyin siz Laplas integral teoremasidan foydalanishingiz kerak:

Laplas integral teoremasi: Agar ehtimollik bo'lsa p hodisaning yuzaga kelishi A har bir testda doimiy va nol va birdan farq qiladi, keyin ehtimollik
bu voqea A ichida paydo bo'ladi n dan testlar k 1 oldin k 2 marta, taxminan aniq integralga teng

, Qayerda
Va
.

Boshqacha qilib aytganda, voqea sodir bo'lish ehtimoli A ichida paydo bo'ladi n dan testlar k 1 oldin k 2 marta, taxminan teng

Qayerda
, Va .

Izoh 2: Funktsiya
Laplas funktsiyasi deb ataladi (normal taqsimotga qarang). Funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadvallar , 2-ilovada keltirilgan va
.

Misol: orasida bo'lish ehtimolini toping 400 tasodifiy tanlangan qismlar 70 dan 100 gacha bo'lgan qismlardan belgilanmaydi, agar qismning sifat nazorati tekshiruvidan o'tmaganligi ehtimoli teng bo'lsa. 0,2.

Yechim: Shart bo'yicha n = 400, p = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Keling, integratsiyaning pastki va yuqori chegaralarini hisoblaylik:

;
.

Shunday qilib, bizda:

2-ilovadagi jadvalga ko'ra, biz buni topamiz
Va
. Keyin talab qilinadigan ehtimollik:

Izoh 3: Mustaqil sinovlar seriyasida (n katta, p kichik bo'lsa) Poisson formulasi hodisaning yuzaga kelish ehtimolini hisoblash uchun aynan k marta qo'llaniladi (qarang: Puasson taqsimoti).

5.3. Puasson taqsimoti

Ta'rif 5.3: Diskret tasodifiy miqdor deyiladi zahar, agar uning taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega bo'lsa:

, Qayerda
Va
(doimiy qiymat).

Puasson tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar:

Vaqt oralig'ida avtomatik stantsiyaga qo'ng'iroqlar soni T.

Ba'zi radioaktiv moddalarning ma'lum vaqt oralig'ida parchalanadigan zarralari soni T.

Muayyan vaqt ichida ustaxonaga kiradigan televizorlar soni T katta shaharda .

Katta shahardagi chorrahaning to'xtash chizig'iga keladigan mashinalar soni .

Eslatma 1: Ushbu ehtimolliklarni hisoblash uchun maxsus jadvallar 3-ilovada keltirilgan.

Izoh 2: Bir qator mustaqil sinovlarda (qachon n ajoyib, p kichik) voqea sodir bo'lish ehtimolini aniq hisoblash uchun k Poisson formulasidan foydalanilganda:
, Qayerda
, ya'ni hodisalarning o'rtacha sodir bo'lish soni doimiy bo'lib qoladi.

Izoh 3: Agar Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, u holda eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadigan tasodifiy o'zgaruvchi mavjud bo'ladi va aksincha (ko'rsatkich taqsimotiga qarang).

Misol. Zavod bazaga yuborildi 5000 yaxshi sifatli mahsulotlar. Mahsulotning tranzit paytida zarar ko'rish ehtimoli teng 0,0002 . Bazaga aniq uchta yaroqsiz buyum kelishi ehtimolini toping.

Yechim: Shart bo'yicha n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Keling, topamiz λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Puasson formulasiga ko'ra, kerakli ehtimollik quyidagilarga teng:

, bu erda tasodifiy o'zgaruvchi X- nuqsonli mahsulotlar soni.

5.4. Geometrik taqsimot

Mustaqil sinovlar o'tkazilsin, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli A ga teng p(0p

q = 1 - p. Sinovlar hodisa paydo bo'lishi bilanoq tugaydi A. Shunday qilib, agar voqea A ichida paydo bo'ldi k-th test, keyin oldingi k – 1 Sinovlarda ko'rinmadi.

tomonidan belgilang X diskret tasodifiy o'zgaruvchi - hodisaning birinchi sodir bo'lishidan oldin o'tkaziladigan sinovlar soni A. Shubhasiz, mumkin bo'lgan qiymatlar X natural sonlar x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Birinchi bo'lsin k-1 sinov hodisasi A kelmadi, lekin k test paydo bo'ldi. Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra, ushbu "murakkab hodisa" ehtimoli, P (X = k) = q k -1 p.

Ta'rif 5.4: Diskret tasodifiy o'zgaruvchiga ega geometrik taqsimot agar uning taqsimot qonuni quyidagi shaklga ega bo'lsa:

P ( X = k ) = q k -1 p , Qayerda
.

Eslatma 1: Taxmin qilib k = 1,2,… , biz birinchi had bilan geometrik progressiyani olamiz p va maxraj q (0q. Shuning uchun taqsimot geometrik deb ataladi.

Izoh 2: Qator
yaqinlashadi va uning yig'indisi birga teng. Darhaqiqat, seriyalarning yig'indisi
.

Misol. Qurol birinchi zarbaga qadar nishonga o'q uzadi. Maqsadga erishish ehtimoli p = 0,6 . Uchinchi zarbada zarba bo'lish ehtimolini toping.

Yechim: Shart bo'yicha p = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Istalgan ehtimollik quyidagilarga teng:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Gipergeometrik taqsimot

Quyidagi muammoni ko'rib chiqing. Partiyani tashqariga chiqaring N mahsulotlar mavjud M standart (MN). partiyadan tasodifiy tanlangan n mahsulotlar (har bir mahsulotni bir xil ehtimollik bilan olib tashlash mumkin) va tanlangan mahsulot keyingisini tanlashdan oldin partiyaga qaytarilmaydi (shuning uchun Bernoulli formulasi bu erda qo'llanilmaydi).

tomonidan belgilang X tasodifiy o'zgaruvchi - raqam m standart mahsulotlar orasida n tanlangan. Keyin mumkin bo'lgan qiymatlar X 0, 1, 2,…, bo'ladi min; Keling, ularni belgilaymiz va ... tomonidan mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari (Fonds), tugmani ishlating ( bob ...

"Umumiy psixologik ustaxona" fanidan o'quv-uslubiy majmua

O'quv-uslubiy majmua

... uslubiy ko'rsatmalar tomonidan amaliy ishlarni bajarish 5.1 uslubiy tavsiyalar tomonidan o'quv loyihalarini amalga oshirish 5.2 uslubiy tavsiyalar tomonidan... sezuvchanlik), bir o'lchovli va ko'p o'lchovli ... tasodifiy tarkibidagi komponent hajmi... Bilan Bo'lim"Ishlash...

Fizika fanidan o'quv-uslubiy majmua (nomi)

O'quv-uslubiy majmua

... bo'limlar darsliklarda. Muammoni hal qilish tomonidan har bir mavzu. ishlab chiqish uslubiy ko'rsatmalar laboratoriya ishlariga tomonidan ... tasodifiy va instrumental o'lchov xatosi 1.8 Nazorat ishlarining sub'ektlari va uslubiy ko'rsatmalar tomonidan... Zarracha bir o'lchovli potentsial teshik. ...

Informatika fanidan laboratoriya ishlari uchun uslubiy ko'rsatmalar

Ko'rsatmalar

... uslubiy ko'rsatmalar LABORATORIYA ISHLARIGA tomonidan ... kattalik, va eng katta miqdor miqdorlar... massiv tasodifiy raqamlar... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) bir o'lchovli massiv b) ikki o'lchovli massiv-rasm. 2– Fayllar... da tavsiflangan Bo'lim keyin amalga oshirish ...