Kvadrat ildizlarning 4 ta xususiyati uchun tayyorgarlik versiyasi. Ildizlarning xossalari, formulalari, isbotlari, misollari. Endi butunlay o'zimcha

\(\sqrt(a)=b\), agar \(b^2=a\), bu erda \(a≥0,b≥0\)

Misollar:

\(\sqrt(49)=7\), chunki \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), chunki \(0,2^2=0,04\)

Raqamning kvadrat ildizini qanday chiqarish mumkin?

Raqamning kvadrat ildizini olish uchun siz o'zingizga savol berishingiz kerak: qaysi raqamning kvadrati ildiz ostidagi ifodani beradi?

Masalan. Ildizni ajratib oling: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Qaysi sonning kvadrati \(2500\) ni beradi?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Qaysi sonning kvadrati \(\frac(4)(9)\) ni beradi?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Qaysi sonning kvadrati \(0,0001\) ni beradi?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Qaysi sonning kvadrati \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) beradi? Savolga javob berish uchun uni noto'g'risiga aylantirishingiz kerak.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Izoh: Garchi \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\), savollarga javob bersa ham, lekin ular hisobga olinmaydi, chunki kvadrat ildiz har doim ijobiy bo'ladi.

Ildizning asosiy xususiyati

Ma'lumki, matematikada har qanday harakat teskari xususiyatga ega. Qo'shishda ayirish, ko'paytirishda bo'lish bor. Kvadratlashning teskarisi kvadrat ildizni olishdir. Shunday qilib, bu harakatlar bir-birini qoplaydi:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Bu ko'pincha ishlatiladigan ildizning asosiy xususiyati (shu jumladan OGE-da)

Misol . (OGEdan topshiriq). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) ifoda qiymatini toping.

Yechim :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36) )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Misol . (OGEdan topshiriq). \((\sqrt(85)-1)^2\) ifoda qiymatini toping.

Yechim:

Javob: \(86-2\sqrt(85)\)

Albatta, kvadrat ildizlar bilan ishlashda siz boshqalardan foydalanishingiz kerak.

Misol . (OGEdan topshiriq). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ifoda qiymatini toping.
Yechim:

Javob: \(220\)

Odamlar doimo unutadigan 4 ta qoida

Ildiz har doim ham chiqarilmaydi

Misol: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) va boshqalar. - raqamning ildizini olish har doim ham mumkin emas va bu normaldir!

Sonning ildizi, shuningdek, son

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), har qanday maxsus usulda davolashga hojat yo'q. Bu raqamlar, lekin butun sonlar emas, ha, lekin bizning dunyomizdagi hamma narsa butun sonlar bilan o'lchanmaydi.

Ildiz faqat manfiy bo'lmagan sonlardan olinadi

Shuning uchun, darsliklarda bunday yozuvlarni ko'rmaysiz \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) va hokazo.

Men yana belgiga qaradim... Va, ketaylik!

Keling, oddiy narsadan boshlaylik:

Bir daqiqa. Bu shuni anglatadiki, biz buni shunday yozishimiz mumkin:

Tushundim? Mana keyingisi:

Olingan raqamlarning ildizlari aniq olinmaganmi? Muammo yo'q - bu erda bir nechta misollar:

Agar ikkita emas, balki ko'paytiruvchi ko'p bo'lsa-chi? Xuddi shu! Ildizlarni ko'paytirish formulasi har qanday omillar bilan ishlaydi:

Endi butunlay o'zingiz:

Javoblar: Juda qoyil! Qabul qiling, hamma narsa juda oson, asosiysi ko'paytirish jadvalini bilishdir!

Ildiz bo'linishi

Biz ildizlarning ko'payishini saralab oldik, endi bo'linish xususiyatiga o'tamiz.

Eslatib o'taman, formulada umumiy ko'rinish shunday ko'rinadi:

Bu shuni anglatadiki bo'lakning ildizi ildizlarning qismiga teng.

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

Hamma ilm-fan shu. Mana bir misol:

Hamma narsa birinchi misoldagidek silliq emas, lekin siz ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q.

Agar siz ushbu iboraga duch kelsangiz nima bo'ladi:

Siz formulani teskari yo'nalishda qo'llashingiz kerak:

Va bu erda bir misol:

Siz ushbu iborani ham uchratishingiz mumkin:

Hammasi bir xil, faqat bu erda siz kasrlarni qanday tarjima qilishni eslab qolishingiz kerak (agar eslamasangiz, mavzuga qarang va qaytib keling!). Esingizdami? Endi qaror qilaylik!

Ishonchim komilki, siz hamma narsani enggansiz, endi ildizlarni darajaga ko'tarishga harakat qilaylik.

Eksponentsiya

Kvadrat ildiz kvadrat bo'lsa nima bo'ladi? Bu oddiy, raqamning kvadrat ildizining ma'nosini eslang - bu kvadrat ildizi teng bo'lgan raqam.

Xo'sh, agar biz kvadrat ildizi teng bo'lgan sonni kvadrat qilsak, nima bo'ladi?

Xo'sh, albatta,!

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

Bu oddiy, to'g'rimi? Agar ildiz boshqa darajada bo'lsa-chi? Hammasi joyida; shu bo'ladi!

Xuddi shu mantiqqa rioya qiling va darajalar bilan xususiyatlarni va mumkin bo'lgan harakatlarni eslang.

"" mavzusidagi nazariyani o'qing va hamma narsa sizga juda aniq bo'ladi.

Misol uchun, bu erda bir ifoda bor:

Bu misolda daraja juft, lekin agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, kuchlarning xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisobga oling:

Bu bilan hamma narsa aniq ko'rinadi, lekin raqamning ildizini qanday qilib darajaga chiqarish mumkin? Mana, masalan, bu:

Juda oddiy, to'g'rimi? Agar daraja ikkidan katta bo'lsa-chi? Biz darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda xuddi shu mantiqqa amal qilamiz:

Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin misollarni o'zingiz hal qiling:

Va bu erda javoblar:

Ildiz belgisi ostida kirish

Biz ildizlar bilan nima qilishni o'rganmadik! Faqat ildiz belgisi ostidagi raqamni kiritishni mashq qilish qoladi!

Bu juda oson!

Aytaylik, bizda raqam yozilgan

U bilan nima qilishimiz mumkin? Albatta, uchtasini ildiz ostida yashiring, uchtasi kvadrat ildiz ekanligini unutmang!

Nega bizga bu kerak? Ha, misollarni echishda imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:

Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Bu hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat Shuni yodda tutishimiz kerakki, biz kvadrat ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlarni kiritishimiz mumkin.

Ushbu misolni o'zingiz hal qiling -
Siz boshqardingizmi? Keling, nimani olishingiz kerakligini ko'rib chiqaylik:

Juda qoyil! Siz raqamni ildiz belgisi ostida kiritishga muvaffaq bo'ldingiz! Keling, bir xil darajada muhim narsaga o'tamiz - keling, kvadrat ildizni o'z ichiga olgan raqamlarni qanday solishtirishni ko'rib chiqaylik!

Ildizlarni taqqoslash

Nima uchun biz kvadrat ildizi bo'lgan raqamlarni solishtirishni o'rganishimiz kerak?

Juda oddiy. Ko'pincha, imtihonda uchraydigan katta va uzun iboralarda biz mantiqsiz javob olamiz (bu nima ekanligini eslaylikmi? Biz bu haqda bugun gaplashdik!)

Qabul qilingan javoblarni koordinata chizig'iga joylashtirishimiz kerak, masalan, tenglamani echish uchun qaysi interval mos ekanligini aniqlash uchun. Va bu erda muammo tug'iladi: imtihonda kalkulyator yo'q va usiz qaysi raqam kattaroq va qaysi biri kamroq ekanligini qanday tasavvur qilish mumkin? Bo'ldi shu!

Masalan, qaysi biri kattaroq ekanligini aniqlang: yoki?

Siz darhol ayta olmaysiz. Xo'sh, ildiz belgisi ostidagi raqamni kiritishning qismlarga ajratilgan xususiyatidan foydalanamiz?

Keyin davom eting:

Xo'sh, aniqki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi!

Bular. agar, keyin, .

Bundan qat'iy xulosa chiqaramiz. Va hech kim bizni boshqacha ishontira olmaydi!

Ko'p sonlardan ildizlarni ajratib olish

Bundan oldin, biz ildiz belgisi ostida multiplikatorni kiritdik, lekin uni qanday olib tashlash mumkin? Siz shunchaki uni omillarga ko'chirishingiz va nima ajratib olishingiz kerak!

Boshqa yo'lni bosib, boshqa omillarni kengaytirish mumkin edi:

Yomon emas, to'g'rimi? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, xohlaganingizcha qaror qiling.

Faktoring quyidagi kabi nostandart muammolarni hal qilishda juda foydali:

Qo'rqmay, harakat qilaylik! Keling, har bir omilni ildiz ostida alohida omillarga ajratamiz:

Endi o'zingiz sinab ko'ring (kalkulyatorsiz! U imtihonda bo'lmaydi):

Bu oxirmi? Yarim yo'lda to'xtamaylik!

Hammasi shu, unchalik qo'rqinchli emas, to'g'rimi?

Bo'ldimi? Yaxshi, shunday!

Endi ushbu misolni sinab ko'ring:

Ammo misol yorilish uchun qattiq yong'oqdir, shuning uchun siz unga qanday yondashishni darhol aniqlay olmaysiz. Lekin, albatta, biz buni hal qila olamiz.

Xo'sh, faktoringni boshlaylikmi? Darhol ta'kidlaymizki, siz raqamni quyidagiga bo'lishingiz mumkin (bo'linish belgilarini eslang):

Endi o'zingiz sinab ko'ring (yana kalkulyatorsiz!):

Xo'sh, ishladimi? Yaxshi, shunday!

Keling, xulosa qilaylik

Manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizi (arifmetik kvadrat ildiz) kvadrati teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir.
.
Agar biror narsaning kvadrat ildizini olsak, biz har doim bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
Arifmetik ildizning xossalari:
Kvadrat ildizlarni solishtirganda shuni yodda tutish kerakki, ildiz belgisi ostidagi raqam qanchalik katta bo'lsa, ildizning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi.

Kvadrat ildiz qanday? Hammasi tushunarli?

Biz sizga imtihonda kvadrat ildiz haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani hech qanday shov-shuvsiz tushuntirishga harakat qildik.

Endi seni navbating. Bu mavzu siz uchun qiyinmi yoki yo'qmi bizga yozing.

Siz yangi narsalarni o'rgandingizmi yoki hamma narsa aniq bo'lganmi?

Izohlarda yozing va imtihonlaringizga omad tilaymiz!

Sarlavha: Mustaqil va test qog'ozlari 8-sinf uchun algebra va geometriyadan.

Qo‘llanma 8-sinf algebra va geometriya kursining barcha muhim mavzulari bo‘yicha mustaqil va test ishlarini o‘z ichiga oladi.

Ishlar uchta qiyinchilik darajasidagi 6 ta variantdan iborat. Didaktik materiallar talabalarning tabaqalashtirilgan mustaqil ishlarini tashkil qilish uchun mo'ljallangan.

MAZMUNI
ALGEBRA 4
C-1 Ratsional ifodalar. Kasrlarni kamaytirish 4
C-2 Kasrlarni qo'shish va ayirish 5
K-1 Ratsional kasrlar. Kasrlarni qo'shish va ayirish 7
C-3 Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish. Kasrni 10 ning darajasiga ko'tarish
C-4 Ratsional ifodalarni o'zgartirish 12
C-5 Teskari proporsionallik va uning grafigi 14
K-2 Ratsional kasrlar 16
C-6 Arifmetik kvadrat ildiz 18
C-7 tenglamasi x2 = a. Funktsiya y = y[x 20
C-8 Ko'paytmaning kvadrat ildizi, kasr, 22 ning kuchi
K-3 Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari 24
C-9 Kvadrat ildizlarda ko‘paytuvchini qo‘shish va ayirish 27
C-10 Kvadrat ildizlari bo'lgan ifodalarni o'zgartirish 28
K-4 Arifmetik kvadrat ildiz xossalarini qo'llash 30
S-11 Tugallanmagan kvadrat tenglamalar 32
S-12 33-kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi
C-13 Kvadrat tenglamalar yordamida masalalar yechish. Vyeta teoremasi 34
K-5 Kvadrat tenglamalar 36
S-14 Kasr ratsional tenglamalar 38
P-15 Kasr ratsional tenglamalarni qo'llash. Muammoni hal qilish 39
K-6 Kasr ratsional tenglamalar 40
C-16 Sonli tengsizliklar xossalari 43
K-7 Sonli tengsizliklar va ularning xossalari 44
S-17 Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tengsizliklar 47
S-18 Chiziqli tengsizliklar sistemalari 48
K-8 Chiziqli tengsizliklar va bir o'zgaruvchili tengsizliklar sistemasi 50
C-19 daraja C salbiy ko'rsatkich 52
K-9 darajasi, integral ball 54
K-10 Yillik test 56
GEOMETRIYA (Pogorelovga ko'ra) 58
C-1 Paralelogrammaning xossalari va xarakteristikalari." 58
C-2 to'rtburchak. Romb. Kvadrat 60
K-1 Paralelogramma 62
C-3 Fales teoremasi. Uchburchakning o'rta chizig'i 63
S-4 trapesiya. Trapetsiyaning o'rta chizig'i 66
K-2 trapesiya. Uchburchak va trapetsiyaning o`rta chiziqlari....68
C-5 Pifagor teoremasi 70
C-6 teoremasi Pifagor teoremasiga teskari. Perpendikulyar va qiya 71
C-7 Uchburchak tengsizligi 73
K-3 Pifagor teoremasi 74
C-8 To‘g‘ri burchakli uchburchaklarni yechish 76
C-9 Trigonometrik funksiyalarning xossalari 78
K-4 To‘g‘ri burchakli uchburchak (umumiy test) 80
C-10 Segment o'rtasining koordinatalari. Nuqtalar orasidagi masofa. 82-aylana tenglamasi
S-11 To'g'ri chiziq tenglamasi 84
K-5 Dekart koordinatalari 86
S-12 Harakati va uning xossalari. Markaziy va eksenel simmetriya. 88 ga buriling
S-13. Parallel uzatish 90
S-14 Vektor tushunchasi. Vektorlarning tengligi 92
C-15 Koordinata shaklidagi vektorlar bilan amallar. Kollinear vektorlar 94
S-16 Geometrik shakldagi vektorlar bilan amallar 95
C-17 Dot mahsuloti 98
K-6 vektorlari 99
K-7 Yillik test 102
GEOMETRIYA (Atanasyanga ko'ra) 104
C-1 Paralelogrammaning xossalari va xarakteristikalari 104
C-2 to'rtburchak. Romb. Kvadrat 106
K-1 to'rtburchaklar 108
C-3 To'rtburchakning maydoni, kvadrat 109
C-4 Parallelogramma, romb, uchburchakning maydoni 111
S-5 Trapezoid maydoni 113
C-6 Pifagor teoremasi 114
K-2 kvadratlari. Pifagor teoremasi 116
C-7 O'xshash uchburchaklarni aniqlash. Uchburchak burchak bissektrisasining xossasi 118
S-8 Uchburchaklarning o`xshashlik belgilari 120
K-3 Uchburchaklarning o‘xshashligi 122
C-9 Masalani yechishda o‘xshashlikni qo‘llash 124
C-10 Tomonlar va burchaklar o'rtasidagi munosabatlar to'g'ri uchburchak 126
K-4 Masalani yechishda o'xshashlikni qo'llash. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari va burchaklari o‘rtasidagi munosabatlar 128
C-11 130 aylanaga teginish
C-12 Markaziy va chizilgan burchaklar 132
C-13 Kesishuvchi akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema. Uchburchakning diqqatga sazovor joylari 134
C-14 Yozilgan va chegaralangan doiralar 136
K-5 doirasi 137
S-15 Vektorlarni qo‘shish va ayirish 139
C-16 Vektorni 141 raqamiga ko'paytirish
S-17 Trapetsiyaning markaziy chizig'i 142
K-6 vektorlari. Masalalarni yechishda vektorlarni qo‘llash 144
K-7 Yillik test 146
JAVOBLAR 148
ADABIYOT 157

SO'Z SO'Z .
1. Nisbatan kichik bir kitob to'liq to'plamni o'z ichiga oladi tekshirish ishi(shu jumladan yakuniy testlar) butun 8-sinf algebra va geometriya kursi uchun har bir sinf uchun bitta kitob to'plamini sotib olish kifoya qiladi.
Testlar dars uchun mo'ljallangan, mustaqil ish- mavzuga qarab 20-35 daqiqa. Kitobdan foydalanish qulayligi uchun har bir mustaqil va test ishining nomi uning mavzusini aks ettiradi.

2. To'plam bilimlarni differentsial nazorat qilish imkonini beradi, chunki vazifalar uchta murakkablik darajasiga taqsimlangan A, B va C. A darajasi majburiy dastur talablariga mos keladi, B - o'rtacha murakkablik darajasi, S darajadagi vazifalar ko'zda tutilgan. matematikaga qiziqishi ortgan o‘quvchilar uchun, shuningdek, sinflarda, maktablarda, gimnaziya va litseylarda foydalanish uchun. chuqur o'rganish matematika. Har bir daraja uchun bir-birining yonida joylashgan 2 ta ekvivalent variant mavjud (ular odatda doskada yoziladi), shuning uchun dars uchun stol ustidagi bitta kitob etarli.

Elektron kitobni qulay formatda bepul yuklab oling, tomosha qiling va o'qing:
8-sinf uchun algebra va geometriya bo'yicha mustaqil va test ishi kitob yuklab olish. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, tez va bepul yuklab olish.

Ushbu maqolada biz asosiy narsani ko'rib chiqamiz ildizlarning xususiyatlari. Arifmetik kvadrat ildizning xossalaridan boshlaylik, ularning formulalarini keltiramiz va isbotlarini keltiramiz. Shundan so'ng n-darajali arifmetik ildizning xossalari bilan shug'ullanamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat ildizning xossalari

Ushbu paragrafda biz quyidagi asosiy narsalarni ko'rib chiqamiz arifmetik kvadrat ildizning xossalari:

Yozma tengliklarning har birida chap va o'ng tomonlar almashtirilishi mumkin, masalan, tenglik quyidagicha yozilishi mumkin. . Ushbu "teskari" shaklda arifmetik kvadrat ildizning xususiyatlari qachon qo'llaniladi ifodalarni soddalashtirish"to'g'ridan-to'g'ri" shaklda bo'lgani kabi tez-tez.

Birinchi ikkita xususiyatning isboti arifmetik kvadrat ildizning ta'rifiga asoslanadi va . Va arifmetik kvadrat ildizning oxirgi xususiyatini oqlash uchun siz eslab qolishingiz kerak bo'ladi.

Shunday qilib, keling, boshlaylik ikki manfiy bo'lmagan sonning ko'paytmasining arifmetik kvadrat ildiz xususiyatini isbotlash: . Buning uchun arifmetik kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra, kvadrati a·b ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sonni ko'rsatish kifoya. Keling buni bajaramiz. Ifodaning qiymati manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi sifatida manfiy emas. Ikki sonning ko'paytmasi kuchining xususiyati bizga tenglikni yozishga imkon beradi , va chunki arifmetik kvadrat ildizning ta'rifi bo'yicha va , keyin .

Xuddi shunday isbotlanganki, k manfiy bo'lmagan a 1 , a 2 , ..., a k ko'paytmasining arifmetik kvadrat ildizi bu omillarning arifmetik kvadrat ildizlari ko'paytmasiga teng. Haqiqatan ham, . Bu tenglikdan kelib chiqadiki.

Keling, misollar keltiraylik: va.

Endi isbot qilaylik qismning arifmetik kvadrat ildizining xossasi: . Ko'rsatkichning tabiiy darajada xossasi tenglikni yozishga imkon beradi , A , va manfiy bo'lmagan raqam mavjud. Bu dalil.

Masalan, va .

Buni tartibga solish vaqti keldi son kvadratining arifmetik kvadrat ildizining xossasi, tenglik shaklida yoziladi. Buni isbotlash uchun ikkita holatni ko'rib chiqing: a≥0 va a uchun<0 .

Shubhasiz, a≥0 uchun tenglik to'g'ri. A uchun buni ko'rish ham oson<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 va (−a) 2 =a 2 . Shunday qilib, , bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.

Mana bir nechta misollar: Va .

Kvadrat ildizning isbotlangan xossasi quyidagi natijani oqlashga imkon beradi, bunda a har qanday haqiqiy son, m esa istalgan . Aslida, quvvatni kuchga ko'tarish xususiyati bizga a 2 m quvvatni (a m) 2 ifodasi bilan almashtirishga imkon beradi, keyin .

Masalan, Va .

n- ildizning xossalari

Birinchidan, asosiylarini sanab o'tamiz n- ildizlarning xossalari:

Barcha yozma tengliklar, agar ularning chap va o'ng tomonlari almashtirilsa, o'z kuchida qoladi. Ular, shuningdek, ko'pincha bu shaklda, asosan, iboralarni soddalashtirish va o'zgartirishda qo'llaniladi.

Ildizning barcha e’lon qilingan xossalarini isbotlash n-darajali arifmetik ildizni aniqlashga, daraja xossalariga va sonning modulini aniqlashga asoslanadi. Biz ularni ustuvorlik tartibida isbotlaymiz.

Keling, dalil bilan boshlaylik mahsulotning n- ildizining xossalari . Manfiy bo'lmagan a va b uchun ifodaning qiymati ham manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi kabi manfiy emas. Mahsulotning tabiiy kuchga xosligi bizga tenglikni yozishga imkon beradi . n-darajali arifmetik ildizning ta'rifi bo'yicha va shuning uchun . Bu ko'rib chiqilayotgan ildizning xususiyatini isbotlaydi.

Bu xususiyat k faktorlar mahsuloti uchun xuddi shunday isbotlangan: manfiy bo'lmagan sonlar uchun a 1 , a 2 , …, a n ga ega. Va .

Mahsulotning n- ildizining xususiyatidan foydalanishga misollar: Va .

Keling, isbot qilaylik qismning ildizining xossasi. a≥0 va b>0 bo'lganda shart bajariladi va .

Keling, misollarni ko'rsatamiz: Va .

Keling, davom etaylik. Keling, isbot qilaylik sonning n-darajali ildizining n-darajali xossasi. Ya'ni buni isbotlaymiz har qanday haqiqiy a va tabiiy m uchun. a≥0 uchun bizda va , tenglikni isbotlovchi , va tenglikni tasdiqlaydi aniq. Qachon a<0 имеем и (oxirgi o'tish juft ko'rsatkichli daraja xossasi tufayli amal qiladi), bu tenglikni isbotlaydi va toq darajaning ildizi haqida gapirganda biz qabul qilganimiz uchun haqiqatdir har qanday manfiy bo'lmagan son uchun c.

Tahlil qilingan ildiz xususiyatidan foydalanishga misollar: va .

Biz ildizning ildizining xususiyatini isbotlashga o'tamiz. Keling, o'ng va chap tomonlarni almashtiramiz, ya'ni tenglikning haqiqiyligini isbotlaymiz, bu esa asl tenglikning haqiqiyligini bildiradi. Manfiy bo'lmagan a soni uchun shaklning ildizi manfiy bo'lmagan sondir. Darajani kuchga ko'tarish xususiyatini eslab, ildizning ta'rifidan foydalanib, biz shaklning tenglik zanjirini yozishimiz mumkin. . Bu ko'rib chiqilayotgan ildiz ildizining xususiyatini isbotlaydi.

Ildizning ildizning xossasi va boshqalar shunga o'xshash tarzda isbotlangan. Haqiqatan ham, .

Masalan, Va .

Keling, quyidagilarni isbotlaylik ildiz darajali qisqarish xossasi. Buning uchun ildizning ta'rifi tufayli n·m darajaga ko'tarilganda m ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son mavjudligini ko'rsatish kifoya. Keling buni bajaramiz. Ko'rinib turibdiki, agar a soni manfiy bo'lmasa, u holda a sonining n-chi ildizi manfiy bo'lmagan sondir. Qayerda , bu dalilni to'ldiradi.

Mana tahlil qilingan ildiz xususiyatidan foydalanishga misol: .

Keling, quyidagi xususiyatni isbotlaylik - shakl darajasining ildiz xossasi . Shubhasiz, a≥0 bo'lsa, daraja manfiy bo'lmagan sondir. Bundan tashqari, uning n-darajasi m ga teng, haqiqatdan ham. Bu ko'rib chiqilayotgan darajaning xususiyatini isbotlaydi.

Masalan, .

Keling, davom etaylik. Har qanday musbat a va b sonlar uchun a sharti qanoatlantirilishini isbotlaylik , ya'ni a≥b. Va bu a shartiga zid keladi

Misol tariqasida, to'g'ri tengsizlikni keltiramiz .

Nihoyat, n- ildizning oxirgi xossasini isbotlash qoladi. Avval bu xossaning birinchi qismini isbotlaymiz, ya'ni m>n va 0 uchun ekanligini isbotlaymiz . Keyin, tabiiy ko'rsatkichli darajaning xususiyatlariga ko'ra, tengsizlik o'rinli bo'lishi kerak , ya'ni a n ≤a m . Va m>n va 0 uchun hosil bo'lgan tengsizlik
Xuddi shunday qarama-qarshilik bilan m>n va a>1 uchun shart bajarilganligi isbotlangan.

Keling, aniq raqamlarda tasdiqlangan ildiz xususiyatini qo'llash misollarini keltiramiz. Masalan, va tengsizliklari to'g'ri.

Adabiyotlar ro'yxati.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).