ROSSIYA FEDERASİYASI TA'LIM VA FAN VAZIRLIGI

Federal davlat avtonom ta'lim muassasasi

oliy kasbiy ta'lim

"Rossiyaning Birinchi Prezidenti B.N. Yeltsin nomidagi Ural Federal universiteti"

Radioelektronika va axborot texnologiyalari instituti - RTF

Bo'lim Avtomatlashtirish va axborot texnologiyalari

Spline interpolyatsiyasi

METODIK KO'RSATMALAR FAN bo'yicha laboratoriya ishlari uchun" Raqamli usullar»

Tuzuvchi I.A.Selivanova, katta o‘qituvchi.

SPLINE INTERPOLATSIYASI:“Raqamli metodlar” fanidan amaliy mashg‘ulotlar uchun qo‘llanma.

Yo‘riqnomalar 230100 – “Informatika va hisoblash texnikasi” yo‘nalishi bo‘yicha barcha ta’lim shakllari talabalari uchun mo‘ljallangan.

Ó FSAEI HPE "Rossiyaning birinchi Prezidenti B.N. Yeltsin nomidagi UrFU", 2011 yil

1. SPLINELAR BO'YICHA INTERPOLATSIYA. to'rtta

1.1. Kubik splinelar. to'rtta

1.2. Spline yozishning maxsus shakli. 5

1.3. Kvadrat splinelar. 13

1.4. Amaliy topshiriq. o'n sakkiz

1.5. Vazifa variantlari. 19

Adabiyotlar 21

1. Splinelar orqali interpolyatsiya qilish.

oraliq [ a,b], bunda funktsiyani almashtirish talab qilinadi f(x) katta, siz spline interpolatsiyasini qo'llashingiz mumkin.

1.1. Kubik splinelar.

Interpolyatsiya splaynlari 3 tartib koʻphadlar boʻlaklaridan tashkil topgan funksiyalardir 3 th buyurtma. Konjugatsiya tugunlari funksiyaning, uning birinchi va ikkinchi hosilalarining uzluksizligini ta'minlaydi. Taxminlovchi funktsiya, qoida tariqasida, har biri segmentning o'ziga xos qismida aniqlangan, bir xil darajada kichik bo'lgan alohida polinomlardan iborat.

Intervalga ruxsat bering [ a, b] haqiqiy o'q x qiymatlari aniqlangan tugunlarida panjara berilgan
funktsiyalari f(x). Segmentda qurish talab qilinadi [ a, b] uzluksiz spline funktsiyasi S(x), quyidagi shartlarga javob beradi:

Kerakli splaynni qurish uchun siz koeffitsientlarni topishingiz kerak
polinomlar
,i=1,… n, ya'ni. 4 n qanoatlantiradigan noma'lum koeffitsientlar 4 n-2 (1), (2), (3) tenglamalar. Tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lishi uchun yana ikkita qo'shimcha (chegara) shart qo'shiladi. Uch turdagi chegara shartlari qo'llaniladi:

Shartlar (1), (2), (3) va shartlardan biri (4), (5), (6) tartibning SLAE ni tashkil qiladi. 4 n. Tizimni Gauss usuli yordamida yechish mumkin. Biroq, kubik ko'phadni yozishning maxsus shaklini tanlab, echilayotgan tenglamalar tizimining tartibini sezilarli darajada qisqartirish mumkin.

1.2. Spline yozishning maxsus shakli.

Segmentni ko'rib chiqing
. Keling, o'zgaruvchilar uchun quyidagi belgilarni kiritamiz:

Bu yerda
- segment uzunligi
,

,
- yordamchi o'zgaruvchilar;

x- segmentdagi oraliq nuqta
.

Qachon x intervaldagi barcha qiymatlar orqali ishlaydi
, o'zgaruvchan 0 dan 1 gacha o'zgaradi va
1 dan 0 gacha o'zgaradi.

Kub polinom bo'lsin
segmentida
kabi ko'rinadi:

O'zgaruvchilar va
interpolyatsiyaning muayyan segmentiga nisbatan aniqlanadi.

Splaynning qiymatini toping
segmentning oxirida
. Nuqta
segment uchun boshlang'ich hisoblanadi
, shunung uchun =0,
=1 va (3.8) ga muvofiq:
.

Segment oxirida
=1,
=0 va
.

Interval uchun
nuqta
yakuniy, shuning uchun =1,
=0 va (9) formuladan biz quyidagilarni olamiz:
. Shunday qilib, funksiya uchun uzluksizlik sharti bajariladi S(x)  i sonlarning tanlanishidan qat’i nazar, kub ko‘phadlarning tutashish nuqtalarida.

 i koeffitsientlarini aniqlash uchun, i=0,… n ning murakkab funksiyasi sifatida (8) ikki marta ajratamiz x. Keyin

Splinening ikkinchi hosilalarini aniqlang
va
:

Polinom uchun
nuqta interpolyatsiya segmentining boshlanishi va =0,
=1, shuning uchun

(15) va (16) dan kelib chiqadiki, segmentda [ a,b]3-tartibli ko‘phadlar bo‘laklaridan “yopishgan” spline funksiyasi 2-tartibdagi uzluksiz hosilaga ega.

Funktsiyaning birinchi hosilasining uzluksizligini olish S(x), Biz interpolyatsiyaning ichki tugunlarida quyidagi shartlarning bajarilishini talab qilamiz:

Tabiiy kubik spline uchun
, shuning uchun tenglamalar tizimi quyidagicha ko'rinadi:

va (17) tenglamalar tizimi quyidagicha ko'rinadi:

Misol.

Dastlabki ma'lumotlar:

Funktsiyani almashtiring
interpolyatsiya qiluvchi kubik spline, uning berilgan tugun nuqtalarida qiymatlari (jadvalga qarang) bir xil nuqtalardagi funktsiya qiymatlariga to'g'ri keladi. Turli xil chegara shartlarini ko'rib chiqing.

Tugun nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun jadvaldagi qiymatlarni berilgan funksiyaga almashtiramiz.

Turli chegara sharoitlari uchun (4), (5), (6) kubik shplinlarning koeffitsientlarini topamiz.

1. Birinchi chegara shartlarini ko'rib chiqing.

Bizning holatda n=3,
,
,
. Topmoq
(3.18) tenglamalar tizimidan foydalanamiz:

Hisoblash va , formulalar (7) va (11) yordamida:

Olingan qiymatlarni tenglamalar tizimiga almashtiramiz:

.

Tizimli yechim:

Birinchi chegara shartlarini hisobga olgan holda, spline koeffitsientlari:

Chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda spline koeffitsientlarining ta'rifini ko'rib chiqing (3.5):

Funktsiyaning hosilasi topilsin
:

Hisoblash
va
:

(21) tenglamalar tizimiga qiymatlarni almashtiramiz va :

(20) formuladan foydalanib,  0 va  3 ni aniqlaymiz:

Muayyan qiymatlar berilgan:

va koeffitsient vektori:

Interpolatsiya segmentlarining o'rta nuqtalarida kubik spline S(x) qiymatlarini hisoblaylik.

O'rta bo'limlar:

Interpolatsiya segmentlarining o'rta nuqtalarida kubik spline qiymatini hisoblash uchun biz (7) va (9) formulalardan foydalanamiz.

3.1.

Keling, topamiz va
:

(3.9) formulada koeffitsientlarni almashtiramiz

3.2.

Keling, topamiz va
:

, chegara shartlari uchun (4), (5), (6):

3.3.

Keling, topamiz va
:

(9) formulada biz koeffitsientlarni almashtiramiz
, chegara shartlari uchun (4), (5), (6):

Keling, jadval tuzamiz:

	(1 kr. shart.)	(2 kr. shartlar)	(3 kr. shart)

Asosiy vazifa interpolyatsiya- jadvalli funktsiyaning qiymatini u ko'rsatilmagan berilgan oraliqdagi nuqtalarda topish. Dastlabki jadval ma'lumotlarini eksperimental ravishda ham (bu holda qo'shimcha ishsiz oraliq ma'lumotlar yo'q) va murakkab bog'liqliklar yordamida hisoblash yo'li bilan olinishi mumkin (bu holda, interpolyatsiya yordamida qiymatni toping. murakkab funktsiya murakkab formuladan foydalangan holda to'g'ridan-to'g'ri hisoblashdan osonroqdir)

Interpolyatsiya tushunchasi

Interpolyatsiya va ekstrapolyatsiya masalalarini yechish interpolyatsiya funksiyasini qurish bilan ta'minlanadi L(x), taxminan asl nusxani almashtirish f(x), jadvalda berilgan va barcha berilgan nuqtalardan o'tib - interpolyatsiya tugunlari. Ushbu funktsiyadan foydalanib, istalgan nuqtada asl funktsiyaning kerakli qiymatini hisoblashingiz mumkin.

Interpolyatsiya bilan bog'liq holda uchta asosiy muammo ko'rib chiqiladi.

1) interpolyatsiya funksiyasini tanlash L(x);

2) interpolyatsiya xatosini baholash R(x);

3) funktsiyani tiklashning eng yuqori aniqligini ta'minlash uchun interpolyatsiya tugunlarini joylashtirish ( x 1 , x 2 ,…,x n).

Maxsus interpolyatsiya usullari interpolyatsiya funktsiyasini to'g'ridan-to'g'ri qurmasdan, funksiyaning kerakli qiymatini aniqlash imkonini beradi. Asosan, interpolyatsiya funktsiyasi sifatida polinomlardan foydalanishga asoslangan barcha interpolyatsiya usullari bir xil natijalarni beradi, lekin har xil xarajatlar bilan. Buning sababi polinom n th darajani o'z ichiga oladi n+1 parametr va barcha berilganlardan o'tish n+1 ball, - yagona. Bundan tashqari, ko'phadni kesilgan Teylor qatori sifatida ko'rsatish mumkin, unda dastlabki differentsiallanuvchi funktsiya kengaytirilgan. Bu, ehtimol, interpolyatsiya funktsiyasi sifatida polinomning asosiy afzalliklaridan biridir. Shuning uchun ko'pincha interpolyatsiyaning birinchi muammosi interpolyatsiya funktsiyasi sifatida polinomni tanlash yo'li bilan hal qilinadi, ammo boshqa funktsiyalardan foydalanish mumkin (masalan, trigonometrik polinomlar, mazmunli masalaning norasmiy shartlaridan tanlangan boshqa funktsiyalar).

Guruch. 3.2 Interpolyatsiyaning tasviri

Interpolyatsiya funksiyasi turini tanlash umuman muhim vazifadir, ayniqsa berilgan nuqtalar orqali istalgan miqdordagi funksiyalarni chizish mumkinligini esda tutsangiz (3.2-rasm). Shuni ta'kidlash kerakki, interpolyatsiya funktsiyasini qurishning aniq usuli mavjud: funktsiya barcha nuqtalardan o'tishi shartidan, uning parametrlari yechimidan topilgan tenglamalar tizimi tuziladi. Biroq, bu yo'l eng samarali yo'ldan uzoqdir, ayniqsa ko'p sonli nuqtalar bilan.

Mahalliy va global interpolyatsiyani farqlash odatiy holdir. Agar ko'phad butun interpolyatsiya mintaqasi uchun bir xil bo'lsa, biz interpolyatsiya deb aytamiz global. Polinomlar turli tugunlar o'rtasida farq qiladigan hollarda, biri haqida gapiradi parcha-parcha yoki mahalliy interpolyatsiya.

Chiziqli interpolyatsiya

Mahalliy interpolyatsiyaning eng oddiy va eng ko'p qo'llaniladigan shakli chiziqli interpolyatsiya. Bu berilgan nuqtalar haqiqatdan iborat M(x i , y i) (i = 0, 1, …, n) to'g'ri chiziq bo'laklari bilan bog'langan va funktsiya f(x) bu nuqtalarda uchlari bo'lgan ko'p chiziqqa yaqinlashadi (3.3-rasm). .

Guruch. 3.3 Chiziqli interpolyatsiya

Singan chiziqning har bir segmentining tenglamalari odatda boshqacha. Chunki bor n intervallar (x i , x i + 1), keyin ularning har biri uchun tenglama sifatida

Interpolyatsiya polinomi ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanadi. Xususan, uchun men - oraliqda nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozishimiz mumkin ( x i , y i) va ( x i + 1 , y i + 1), sifatida:

(3.2)

Shuning uchun, chiziqli interpolyatsiyadan foydalanganda, avvalo, argumentning qiymati tushadigan intervalni aniqlashingiz kerak. x, va keyin uni (3.2) formulaga almashtiring va shu nuqtadagi funksiyalarning taxminiy qiymatini toping.

3.4-rasmda MathCAD dasturida chiziqli interpolyatsiyadan foydalanish misoli keltirilgan. Chiziqli interpolyatsiya uchun funktsiyadan foydalaniladi linterp (x,y,z). Bu yerda x, y- dastlabki ma'lumotlar; z- funksiyaning qiymati joylashgan nuqta.

Guruch. 3.4. Chiziqli interpolyatsiya

Kvadrat interpolyatsiya

Qachon kvadratik interpolyatsiya oraliqda interpolyatsiya funksiyasi sifatida ( x i - 1 ,x i + 1) kvadrat trinomialni oling. Kvadrat trinomialning tenglamasi shaklga ega

y = a i x 2 + b i x + c i , x i — 1 x x i + 1 , (3.3)

Har qanday nuqta uchun interpolatsiya x [x 0 , x n] eng yaqin uchta nuqta ustiga chiziladi.

Kub spline interpolyatsiyasi

DA o'tgan yillar zamonaviy hisoblash matematikasining yangi tarmog'i - nazariya jadal rivojlanmoqda splinelar. Splinelar ancha murakkab tuzilishga ega bo'lgan parametrlar orasidagi eksperimental bog'liqlikni qayta ishlash muammolarini samarali hal qilish imkonini beradi.

Yuqorida ko'rib chiqilgan mahalliy interpolyatsiya usullari, mohiyatiga ko'ra, birinchi darajali (chiziqli interpolyatsiya uchun) va ikkinchi darajali (kvadrat interpolyatsiya uchun) eng oddiy splinedir.

Eng keng amaliy foydalanish, ularning soddaligi tufayli kubik splinelar topildi. Kub splinelar nazariyasining asosiy g'oyalari elastik materialdan yasalgan egiluvchan relslarni (mexanik shpallar) matematik tarzda tavsiflashga urinishlar natijasida shakllangan bo'lib, ular chizmachilar tomonidan etarlicha silliq egri chizish zarur bo'lgan hollarda uzoq vaqtdan beri qo'llanilgan. berilgan ballar. Ma'lumki, elastik materialdan yasalgan, ma'lum nuqtalarda mahkamlangan va muvozanat holatida bo'lgan rels uning energiyasi minimal bo'lgan shaklni oladi. Ushbu asosiy xususiyat eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashning amaliy masalalarini hal qilishda splaynlardan samarali foydalanish imkonini beradi.

Umuman olganda, funktsiya uchun y=f(x) taxminiylikni topish talab qilinadi y= j(x) Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida f(x i)= j(x i) nuqtalarda x = x i , a segmentning boshqa nuqtalarida [ a, b] qiymatlar

funktsiyalari f(x) va j(x) bir-biriga yaqin edi. Kam miqdordagi eksperimental nuqtalar bilan (masalan, 6-8) interpolyatsiya masalasini hal qilish uchun interpolyatsiya polinomlarini qurish usullaridan birini qo'llash mumkin. Biroq, ko'p sonli tugunlar bilan interpolyatsiya polinomlari amalda yaroqsiz holga keladi. Buning sababi, interpolyatsiya polinomining darajasi funktsiyalarning eksperimental qiymatlari sonidan faqat bitta kam. Albatta, funktsiya aniqlangan segmentni oz sonli tajriba nuqtalarini o'z ichiga olgan bo'limlarga bo'lish va ularning har biri uchun interpolyatsiya polinomlarini qurish mumkin. Biroq, bu holda, yaqinlashuvchi funktsiya hosila uzluksiz bo'lmagan nuqtalarga ega bo'ladi, ya'ni funksiya grafigida "uzilish" nuqtalari bo'ladi.

Kubik splinelarda bu kamchilik yo'q. Nurlar nazariyasini o'rganish shuni ko'rsatdiki, ikkita tugun orasidagi egiluvchan yupqa nur kubik polinom tomonidan juda yaxshi tasvirlangan va u yiqilmasligi sababli, yaqinlashuvchi funktsiya hech bo'lmaganda doimiy ravishda differentsiallanishi kerak. Bu funktsiyalarni anglatadi j(x), j'(x), j"(x) segmentida uzluksiz bo'lishi kerak [ a, b].

Kubik interpolyatsiya spline , ushbu funktsiyaga mos keladi f(x) va berilgan tugunlar x i, funksiya deb ataladi y(x), quyidagi shartlarni qondirish:

1. har bir segmentda [ x i - 1 , x i], i = 1, 2, ..., n funktsiyasi y(x) uchinchi darajali ko‘phad,

Funktsiya y(x), hamda uning birinchi va ikkinchi hosilalari segmentda uzluksiz [ a,b],

kubik spline uchun uchinchi darajali ko'phadlardan yopishtirilgan i bo'lim quyidagi tahrirda bayon etilsin:

Barcha interval uchun, mos ravishda P koeffitsientlari bilan farq qiluvchi kub polinomlar ai, b i, c i, d i. Ko'pincha, spline interpolyatsiyasi paytida tugunlar bir tekisda joylashgan, ya'ni. Xi +1 -Xi = const = h (garchi bu shart emas).

Har bir ko'phad ikkita nuqtadan o'tishi sharti bilan to'rtta koeffitsientni topish kerak (x i,y i) va (x i +1 ,y i +1 ) , natijada quyidagi aniq tenglamalar paydo bo'ladi:

Birinchi shart polinomning boshlang'ich nuqtasi, ikkinchisi - oxirgi nuqta orqali o'tishiga mos keladi. Ushbu tenglamalardan barcha koeffitsientlarni topish mumkin emas, chunki shartlar talab qilinadigan parametrlardan kamroq. Shuning uchun bu shartlar interpolyatsiya tugunlarida funksiyaning silliqligi (ya’ni birinchi hosilaning uzluksizligi) va birinchi hosilaning silliqligi (ya’ni ikkinchi hosilaning uzluksizligi) shartlari bilan to‘ldiriladi. Matematik jihatdan bu shartlar oxirida birinchi va ikkinchi hosilalarning tengligi sifatida yoziladi. i th va boshida ( i+1 )-chi uchastkalar.

O'shandan beri va , keyin

(y’ (x i +1 ) oxirida i-chi bo'lim ga teng sen(Xi +1 ) boshida ( i+1 )-th),

(da"(Xi +1 ) oxirida i-chi bo'lim ga teng y" (xi +1 ) boshida ( i+1)-th).

Natijada, 4n noma'lumli (noma'lum a 1 , a 2 ,…, a n , b 1 ,..., d n - spline koeffitsientlari) 4n - 2 tenglamalarni o'z ichiga olgan chiziqli tenglamalar tizimi (barcha bo'limlar uchun). Tizimni hal qilish uchun quyidagi turlardan birining ikkita chegara sharti qo'shiladi (1 ko'proq ishlatiladi):

4n tenglamalarning birgalikdagi yechimi barcha 4n koeffitsientlarni topish imkonini beradi.

Hosilalarni tiklash uchun har bir bo'limda mos keladigan kubik polinomni farqlash mumkin. Agar tugunlardagi hosilalarni aniqlash zarur bo'lsa, hosilalarning ta'rifini istalgan ikkinchi yoki birinchi tartibli hosilalarga nisbatan oddiyroq tenglamalar tizimini echish uchun qisqartiradigan maxsus texnikalar mavjud. Kub spline interpolyatsiyasining muhim afzalligi minimal mumkin bo'lgan egrilikka ega bo'lgan funktsiyani olishdir. Spline interpolyatsiyasining kamchiliklari nisbatan ko'p sonli parametrlarni olish zaruriyatini o'z ichiga oladi.

Interpolyatsiya masalasini MathCAD dasturi yordamida yechamiz. Buning uchun biz o'rnatilgan funksiyadan foydalanamiz interp(VS,x,y,z) . O'zgaruvchilar x va y tugun nuqtalarining koordinatalarini o'rnating, z funktsiya argumentidir, VS turini belgilaydi

intervalning oxiridagi chegara shartlari.

Uch turdagi kubik spline uchun interpolyatsiya funksiyalarini aniqlaymiz

Bu yerda cspline (VX , VY) vektorni qaytaradi VS kub polinomga mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;

pspline(VX, VY) vektorni qaytaradi VS parabolik egri chiziqqa mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;

lspline(VX, VY) vektorni qaytaradi VS to'g'ri chiziqning mos yozuvlar nuqtalariga yaqinlashganda ikkinchi hosilalar;

interp(VS, VX, VY, x) qiymatni qaytaradi y(x) berilgan vektorlar uchun VS, VX, VY va qiymatni belgilang x.

Berilgan nuqtalarda interpolyatsiya funktsiyalarining qiymatlarini hisoblaymiz va natijalarni taqqoslaymiz aniq qiymatlar

E'tibor bering, har xil turdagi kubik splinelar bilan interpolyatsiya natijalari intervalning ichki nuqtalarida deyarli bir xil va funktsiyaning aniq qiymatlariga to'g'ri keladi. Intervalning chetlari yaqinida farq sezilarli bo'ladi va berilgan oraliqdan tashqarida ekstrapolyatsiya qilinganda, har xil turdagi splaynlar sezilarli darajada farq qiladi. Aniqroq bo'lishi uchun biz natijalarni grafikda keltiramiz (3.5-rasm).

Guruch. 3.5 Kub spline interpolyatsiyasi

Agar funktsiya diskret ko'rsatilgan bo'lsa, interpolyatsiya uchun ma'lumotlar matritsalari belgilanadi.

Global interpolyatsiyada ko'pincha polinom interpolyatsiyasi qo'llaniladi n th daraja yoki Lagrange interpolyatsiyasi.

Klassik yondashuv qadriyatlarning qat'iy muvofiqligi talabiga asoslanadi f(X) va j(X) nuqtalarda x i(i = 0, 1, 2, … n).

Biz interpolyatsiya funksiyasini qidiramiz j(X) darajali ko'phad sifatida n.

Bu polinom bor n+ 1 koeffitsient. Buni taxmin qilish tabiiy n+ 1 shart

j(x 0) = y 0 , j(x 1) = y 1 , . . ., j(x n) = y n (3.4)

polinom ustiga qo'yilgan

uning koeffitsientlarini yagona aniqlash imkonini beradi. Darhaqiqat, talab qiladi j(X) shartlarni bajarish (3.4) , tizimni olamiz n+ bilan 1 tenglama n+ 1 ta noma'lum:

(3.6)

Noma'lumlar uchun ushbu tizimni yechish a 0 , a 1 , …, an polinom uchun analitik ifodani olamiz (3.5). Tizim (3.6) har doim yagona yechimga ega , chunki uning hal qiluvchi omili

deb algebrada tanilgan Vandermonde determinanti, noldan farq qiladi . bu nazarda tutadi , interpolyatsiya polinomi nima j(X) funksiya uchun f(X) jadvalda berilgan mavjud va yagona.

Olingan egri tenglama berilgan nuqtalardan aniq o'tadi. Interpolatsiya tugunlaridan tashqarida, matematik model sezilarli xatolikka ega bo'lishi mumkin

Lagrange interpolyatsiya formulasi

Ba'zi funktsiyalarning qiymatlari ma'lum bo'lsin f(X) ichida n+ 1 xil ixtiyoriy nuqta y i = f(x i) , i = 0,…, P. Bir nuqtada funktsiyani interpolyatsiya qilish (tiklash). X, segmentiga tegishli [ x 0 ,x p], Lagranj usulida quyidagicha ifodalanadigan n-darajali interpolyatsiya ko'phadini qurish kerak:

Va buni ko'rish oson Qj(x i) = 0, agar i¹ j, va Qj(x i) =1, agar i= j. Numeratordagi barcha qavslar ko‘paytmasini kengaytirsak (maxrajdagi barcha qavslar sonlar), u holda dan n-tartibli ko‘phadni olamiz. X, chunki numerator birinchi tartibli n ta omilni o'z ichiga oladi. Demak, Lagranj interpolyatsiyasi polinomi o'ziga xos belgiga qaramay, n-tartibli oddiy ko'phaddan boshqa narsa emas.

Bir nuqtada interpolyatsiya xatosini hisoblang X dan [ x 0 ,xn] (ya'ni, ikkinchisini hal qiling

interpolyatsiya masalasi) formula bilan berilishi mumkin

Formulada - asl funktsiyaning (n+1)-chi hosilasining maksimal qiymati f(X) segmentida [ x 0 ,xn]. Shuning uchun interpolyatsiya xatosini baholash uchun asl funktsiya haqida ba'zi qo'shimcha ma'lumotlar kerak (bu aniq bo'lishi kerak, chunki berilgan boshlang'ich nuqtalardan cheksiz ko'p turli funktsiyalar o'tishi mumkin, ular uchun xatolik boshqacha bo'ladi). Bunday ma'lumotlar n + 1 tartibining hosilasi bo'lib, uni topish unchalik oson emas. Quyida ushbu vaziyatdan qanday chiqish kerakligi ko'rsatiladi. Shuni ham ta'kidlaymizki, xato formulasini qo'llash funktsiya n + 1 marta differentsiallangan taqdirdagina mumkin.

Qurilish uchun Lagrange interpolyatsiya formulasi MathCAD da funksiyadan foydalanish qulay agar.

agar (kond, x, y)

Agar shart 0 (to'g'ri) bo'lmasa, x qiymatini qaytaradi. Agar shart 0 (noto'g'ri) bo'lsa, y ni qaytaradi (3.6-rasm).

Butun segmentda ko'p sonli interpolyatsiya tugunlaridan foydalanganda Lagrange, Nyuton va Stirling va boshqalarning interpolyatsiya formulalari [ a, b] ko'pincha hisoblash jarayonida xatolarning to'planishi tufayli yomon yaqinlashuvga olib keladi. Bundan tashqari, interpolyatsiya jarayonining divergensiyasi tufayli tugunlar sonini ko'paytirish aniqlikning oshishiga olib kelmaydi. Xatolarni kamaytirish uchun butun segment [ a, b] qisman segmentlarga boʻlinadi va ularning har birida funksiya taxminan past darajadagi koʻphad bilan almashtiriladi. U deyiladi qismli polinom interpolyatsiyasi.

Butun segmentda interpolyatsiya qilish usullaridan biri [ a, b] hisoblanadi spline interpolyatsiyasi.

Spline oraliqda aniqlangan boʻlakli koʻphadli funksiya deyiladi. a, b] va bu oraliqda ma'lum miqdordagi uzluksiz hosilalarga ega. Spline interpolyatsiyasining an'anaviy interpolyatsiya usullariga nisbatan afzalliklari hisoblash jarayonining yaqinlashishi va barqarorligidadir.

Amalda eng ko'p uchraydigan holatlardan birini ko'rib chiqing - funktsiyaning interpolyatsiyasi kubik spline.
Intervalga ruxsat bering [ a, b] uzluksiz funksiyadir. Keling, segmentning bir qismini kiritamiz:

va belgilang, .

Berilgan funktsiyaga va interpolyatsiya tugunlariga (6) mos keladigan spline quyidagi shartlarni qondiradigan funktsiyadir:

1) har bir segmentda funktsiya kub polinomdir;

2) funktsiya, shuningdek, uning birinchi va ikkinchi hosilalari [ oraliqda uzluksizdir. a, b] ;

Uchinchi shart deyiladi interpolyatsiya holati. 1) - 3) shartlar bilan aniqlangan splayn deyiladi interpolyatsiya qiluvchi kub spline.

Kubik splineni qurish usulini ko'rib chiqing.

Har bir segmentda, uchinchi darajali ko‘phad ko‘rinishidagi spline funksiyasini qidiramiz:

(7)

qayerda kerakli koeffitsientlar.

(7) ga nisbatan uch marta farqlaymiz X:

qayerdan kelib chiqadi

Interpolyatsiya shartidan 3) biz quyidagilarni olamiz:

Bu funksiyaning uzluksizlik shartlaridan kelib chiqadi.

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi

federal davlat byudjeti ta'lim muassasasi oliy kasbiy ta'lim

"Don davlat universiteti"

“Kompyuter injiniringi va avtomatlashtirilgan tizimlar uchun dasturiy ta’minot” kafedrasi “POVT va AS”

Mutaxassisligi: Axborot tizimlarini matematik ta'minlash va boshqarish

KURS ISHI

“Hisoblash usullari” fanidan

Mavzu bo'yicha: "Splinelar bo'yicha interpolyatsiya"

Ish menejeri:

Medvedeva Tatyana Aleksandrovna

Rostov-na-Donu

MASHQ

“Hisoblash usullari” fanidan kurs ishi uchun

Talaba: Aleksandr Moiseenko VBMO21 guruhi

Mavzu: "Splaynlar bo'yicha interpolyatsiya"

Himoyaga ishni topshirishning oxirgi muddati “__” _______ 201_y.

uchun dastlabki ma'lumotlar muddatli ish: hisoblash usullari bo'yicha ma'ruza matnlari, ru.wikipedia.org, kitob. Oliy matematika bo'yicha seminar Sobol B.V.

Asosiy qismning bo'limlari: 1 ta UMUMIY KO'RSAT, 2 ta INTERPOLATSIYA FORMULA, 3 ta KUB INTERPOLATSIYA ALGORITMI, 4 ta DASTURIY TA'MINOT DIZAYNI, 5 ta DASTUR ISHLATISH NATIJALARI.

Ish rahbari: /Medvedeva T.A./

ESSE

Hisobotda: 19-bet, grafik-3, manbalar-3, blok-sxema-1.

Kalit so'zlar: INTERPOLATSIYA, SPLINE, Mathcad tizimi, SPLINELAR BO'YICHA KUBIK INTERPOLATSIYA.

Kub splinelar orqali interpolyatsiya qilish usuli batafsil ko'rib chiqiladi. Tegishli dasturiy ta'minot moduli taqdim etiladi. Dastur modulining blok diagrammasi tasvirlangan. Bir nechta misollar ko'rib chiqildi.

KIRISH

1. NAZARIY SHARX

2. INTERPOLATSIYA

2.1 Kvadrat spline bilan interpolyatsiya

2.2 Kub splayn yordamida interpolyatsiya qilish

2.3 Muammoning bayoni

3. KUBIK SPLINE FOYDALANISH INTERPOLATSIYA ALGORITMMI

4. DASTURIY TA'MINOTLARNI DIZAYN

5. DASTURIY TA'MINOTNI ISHLATISH NATIJALARI

5.1 Misollar tavsifi

5.2 Sinov natijasi

5.3 Sinov ishi 1

5.4 Sinov ishi 2

5.5 Sinov ishi 3

XULOSA

Bibliografiya

KIRISH

Funksiyalarni yaqinlashtirish berilgan funksiyani taqribiy almashtirishdan iborat f(x) ba'zi bir funksiya bo'yicha j( x) shuning uchun j( funksiyaning chetlanishi) x) dan f(x) berilgan maydonda eng kichik bo'lgan. j funksiyasi( X) yaqinlashuvchi deyiladi. Funksiyani yaqinlashtirishga oid odatiy masala interpolyatsiya masalasidir. Funktsiyani interpolyatsiya qilish zarurati asosan ikkita sababga ko'ra yuzaga keladi:

1. Funktsiya f(x) murakkab tahliliy tavsifga ega bo'lib, uni qo'llashda ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi (masalan, f(x) maxsus funksiya hisoblanadi: gamma funksiya, elliptik funksiya va boshqalar).

2. Funksiyaning analitik tavsifi f(x) noma'lum, ya'ni. f(x) jadvalda keltirilgan. Bunday holda, taxminan ifodalovchi analitik tavsifga ega bo'lish kerak f(x) (masalan, qiymatlarni hisoblash uchun f(x) ixtiyoriy nuqtalarda, integrallarning ta'riflari va hosilalari f(x) va h.k.).

1. NAZARIY SHARX

Interpolatsiya - hisoblash matematikasida mavjud diskret to'plamdan miqdorning oraliq qiymatlarini topish usuli ma'lum qiymatlar. Ilmiy va muhandislik hisob-kitoblari bilan bog'liq muammolarni hal qilishda ko'pincha empirik yoki usul bilan olingan qiymatlar to'plami bilan ishlash kerak bo'ladi. tasodifiy namuna. Qoida tariqasida, ushbu to'plamlar asosida boshqa olingan qiymatlar yuqori aniqlik bilan tushishi mumkin bo'lgan funktsiyani qurish talab qilinadi. Bu masala funksiyalarni yaqinlashtirish deyiladi. Interpolyatsiya - bu tuzilgan funktsiyaning egri chizig'i mavjud ma'lumotlar nuqtalari orqali aniq o'tadigan funktsiyalarning bir turi.

Spline - bu funksiya bo'lib, uning aniqlanish sohasi chekli sonli segmentlarga bo'linadi, ularning har birida spline qandaydir algebraik ko'phadga to'g'ri keladi. Ishlatilgan polinomlarning maksimal darajasi spline darajasi deb ataladi. Spline darajasi va hosil bo'lgan silliqlik o'rtasidagi farq spline nuqsoni deb ataladi.

Splinelar ancha murakkab tuzilishga ega bo'lgan parametrlar orasidagi eksperimental bog'liqlikni qayta ishlash muammolarini samarali hal qilish imkonini beradi.

Kubik splinelar keng amaliy qo'llanilishini topdi. Kub splinelar nazariyasining asosiy g'oyalari elastik materialdan yasalgan egiluvchan relslarni (mexanik shpallar) matematik tarzda tavsiflashga urinishlar natijasida shakllangan bo'lib, ular chizmachilar tomonidan etarlicha silliq egri chizish zarur bo'lgan hollarda uzoq vaqtdan beri qo'llanilgan. berilgan ballar. Ma'lumki, elastik materialdan yasalgan, ma'lum nuqtalarda mahkamlangan va muvozanat holatida bo'lgan rels uning energiyasi minimal bo'lgan shaklni oladi. Ushbu asosiy xususiyat eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashning amaliy masalalarini hal qilishda splaynlardan samarali foydalanish imkonini beradi.

2. INTERPOLATSIYA

2.1 Kvadrat spline bilan interpolyatsiya

Shunday qilib, interpolyatsiyaning har bir qisman segmentida biz quyidagi shakl funktsiyasini quramiz:

Quyidagi shartlardan splayn koeffitsientlarini qidiramiz:

a) Lagranj sharoitlari

b) tugun nuqtalarida birinchi hosilaning uzluksizligi

Oxirgi ikkita shart tenglamalarni beradi, noma'lum koeffitsientlar soni esa. Yo'qotilgan tenglamani spline harakati uchun qo'yilgan qo'shimcha shartlardan olish mumkin. Masalan, x 0 nuqtadagi s 1 splinening birinchi hosilasining qiymati nolga teng bo'lishini talab qilishingiz mumkin, ya'ni.

Bu ifodalarni almashtirish quyidagi tenglamalarga olib keladi

yozuv qaerda

Ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni ifodalaylik c 1 , unga koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan so'ng a 1 birinchi tenglamadan:

Keyin, ushbu ifodani tizim tenglamasiga almashtirib, biz koeffitsientlar uchun oddiy rekursiv munosabatni olamiz.

Endi splinelarning koeffitsientlarini aniqlash algoritmi aniq bo'ladi. Birinchidan, formuladan foydalanib, biz buni hisobga olgan holda barcha koeffitsientlarning qiymatlarini aniqlaymiz. Keyin, formulaga muvofiq, biz koeffitsientlarni hisoblaymiz. Koeffitsientlar tizimning birinchi tenglamasidan aniqlanadi. Bunday holda, splinelar koeffitsientlarini hisoblash tartibi faqat bir marta bajarilishi kerak.

Koeffitsientlar hisoblab chiqilgandan so'ng, splaynning o'zini hisoblash uchun interpolyatsiya nuqtasi tushadigan oraliq sonini aniqlash va formuladan foydalanish kifoya. Intervallar sonini aniqlash uchun biz oldingi misolda bo'lak-bo'lak kvadratik interpolyatsiya uchun ishlatilganga o'xshash algoritmdan foydalanamiz.

2.2 Kub splayn yordamida interpolyatsiya qilish

Kubik interpolyatsiya spline , ushbu funktsiyaga mos keladi f(x) va berilgan tugunlar x i, funksiya deb ataladi S(x), quyidagi shartlarni qondirish:

1. Har bir segmentda [ x men- 1 , x i], i = 1, 2, ..., N funktsiyasi S(x) uchinchi darajali ko‘phad,

2. Funktsiya S(x), hamda uning birinchi va ikkinchi hosilalari segmentda uzluksiz [ a, b],

3. S(x i)= f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Har bir segmentda [x men- 1 , x i], i = 1, 2, ..., N funksiyani qidiramiz S(x)=S i(x) uchinchi darajali polinom shaklida:

S i(x)= a i+b i(x-x men- 1)+c i(x-x men- 1) 2 +d i(x- 1) 3 ,

x men- 1 Ј xЈ x i,

qayerda a i,b i, c i, d i- umuman aniqlanadigan koeffitsientlar n elementar segmentlar. Algebraik tenglamalar sistemasi yechimga ega bo'lishi uchun tenglamalar soni noma'lumlar soniga aynan teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz 4 ni olishimiz kerak n tenglamalar.

Birinchi 2 n funksiyaning grafigi bo'lishi sharti bilan tenglamalarni olamiz S(x) berilgan nuqtalardan o'tishi kerak, ya'ni.

S i(x men- 1)=y men- 1 , S i(x i) = y i.

Ushbu shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

S i(x men- 1)= a i=y men- 1 ,

S i(x i)= a i+b ih i+c ih + d ih = y i,

h i= x i-x men- 1 , i = 1, 2, ..., n.

Keyingi 2 n- Interpolyatsiya tugunlarida birinchi va ikkinchi hosilalarning uzluksizligi shartidan, ya'ni barcha nuqtalarda egri chiziqning silliqligi shartidan 2 ta tenglama kelib chiqadi.

S" i + 1 (x i)=S" i(x i), i = 1, ..., n - 1,

S"" i + 1 (x i)=S"" i(x i), i = 1, ..., n - 1,

S" i(x)= b i + 2 c i(x-x men- 1) + 3 d i(x-x men- 1),

S" i + 1 (x)= b i + 1 + 2 c i + 1 (x-x i) + 3 d i + 1 (x-x i).

Har bir ichki tugunda tenglashtirish x = x i tugunning chap va o'ng tomonidagi oraliqlarda hisoblangan ushbu hosilalarning qiymatlarini olamiz (hisobga olgan holda h i= x i-x men- 1):

b i + 1 = b i + 2 h ic i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S"" i(x) = 2 c i + 6 d i(x-x men- 1),

S"" i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x-x i),

agar x = x i

c i + 1 = c i + 3 h id i, i = 1, 2, ..., n- 1.

Ustida bu bosqich bizda 4 ta n noma'lum va 4 n- 2 ta tenglama. Shuning uchun yana ikkita tenglamani topish kerak.

Uchlarini erkin mahkamlash bilan ushbu nuqtalardagi chiziqning egri chizig'ini nolga tenglashtirish mumkin. Uchlaridagi nol egrilik shartlaridan kelib chiqadiki, ikkinchi hosilalar ushbu nuqtalarda nolga teng:

S 1" " (x 0) = 0 va S n" "(x n) = 0,

c i = 0 va 2 c n + 6 d nh n = 0.

Tenglamalar 4 ni aniqlash uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimini tashkil qiladi n koeffitsientlar: a i,b i, c i, d i (i = 1, 2, . . ., n).

Ushbu tizimni yanada qulayroq shaklga qisqartirish mumkin. Shartdan siz darhol barcha koeffitsientlarni topishingiz mumkin a men.

i = 1, 2, ..., n- 1,

O'rnini bosgan holda biz quyidagilarni olamiz:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1, 2, ..., n- 1,

b n = - (h nc n)

Tenglamadan koeffitsientlarni chiqarib tashlang b i va d i. Nihoyat, biz faqat koeffitsientlar uchun quyidagi tenglamalar tizimini olamiz Bilan i:

c 1 = 0 va c n+ 1 = 0:

h men- 1 c men- 1 + 2 (h men- 1 + h i) c i+h ic i + 1 = 3 ,

i = 2, 3, ..., n.

Topilgan koeffitsientlarga ko'ra Bilan i hisoblash oson d i,b i.

2.3 Muammoning bayoni

Segmentda [ a, b] berilgan n + 1 ball x i = X 0 , X 1 , . . ., X n, ular tugunlar deb ataladi interpolyatsiya , va ba'zi funksiyalarning qiymati f(x) bu nuqtalarda

f(x 0)=y 0 , f(x 1) = y 1 , . . ., f(x n)=y n.

Interpolyatsiya funksiyasini qurish uchun kubik splaynlardan foydalanish f(x).

3. KUBIK SPLINE FOYDALANISH INTERPOLATSIYA ALGORITMMI

Keling, dasturning algoritmi bilan tanishamiz.

1. Qiymatlarni hisoblang va

2. Ushbu qiymatlarga asoslanib, biz supurish koeffitsientlarini hisoblaymiz va o.

3. Olingan ma'lumotlarga asoslanib, biz koeffitsientlarni hisoblaymiz

4. Keyin funktsiyaning qiymatini spline yordamida hisoblaymiz.

4. DASTURIY TA'MINOTLARNI DIZAYN

5. DASTURIY TA'MINOT NATIJALARI

5.1 Sinov holatlarining tavsifi

Ushbu kurs ishini bajarish jarayonida mavjud nuqtalar orqali ularga mos keladigan egri chiziq chizuvchi dasturiy modul ishlab chiqildi. Ishning samaradorligini tekshirish uchun test holatlari o'tkazildi.

5.2 Sinov natijalari

Test holatlarining to'g'ri bajarilishini tekshirish uchun MATHCAD paketiga o'rnatilgan cspline funktsiyasidan foydalaniladi, bu esa mos yozuvlar nuqtalarida kub polinomiga yaqinlashganda ikkinchi hosilalarning vektorini qaytaradi.

5.3 Sinov ishi 1

1.1-rasm - dastur natijasi

Test ishi 2

1.2-rasm - dastur natijasi

Test ishi 3

1.3-rasm - dastur natijasi

XULOSA

spline interpolyatsiya funksiyasi hisoblash

Hisoblash matematikasida funktsiyalarning interpolyatsiyasi muhim rol o'ynaydi, ya'ni. qiymatlari ma'lum nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlariga to'g'ri keladigan boshqa funktsiyani qurish (qoida tariqasida, oddiyroq). Bundan tashqari, interpolyatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega. Amalda, muammo ko'pincha uzluksiz funktsiyani uning jadval qiymatlaridan, masalan, ba'zi bir tajriba jarayonida olinganlardan tiklash bilan bog'liq. Ko'p funktsiyalarni hisoblash uchun ularni polinomlar yoki kasr ratsional funktsiyalari bilan yaqinlashtirish samarali bo'ladi. Interpolyatsiya nazariyasi sonli integrasiya uchun kvadratura formulalarini qurish va o‘rganish, differensial va integral tenglamalarni yechish usullarini olishda qo‘llaniladi. Polinom interpolyatsiyasining asosiy kamchiligi shundaki, u eng qulay va tez-tez ishlatiladigan to'rlardan biri - teng masofadagi tugunlarga ega bo'lgan panjarada beqaror. Muammo imkon bersa, bu muammoni Chebyshev tugunlari bilan panjara tanlash orqali hal qilish mumkin. Biroq, agar biz interpolyatsiya tugunlarini erkin tanlay olmasak yoki bizga tugunlarni tanlashda unchalik talabchan bo'lmagan algoritm kerak bo'lsa, ratsional interpolyatsiya polinom interpolyatsiyasiga mos alternativ bo'lishi mumkin.

Spline interpolyatsiyasining afzalliklari hisoblash algoritmini qayta ishlashning yuqori tezligini o'z ichiga oladi, chunki splayn qismli ko'p nomli funktsiyadir va interpolyatsiya paytida ma'lumotlar bir vaqtning o'zida ko'rib chiqilgan fragmentga tegishli oz sonli o'lchov nuqtalari uchun qayta ishlanadi. bu daqiqa. Interpolyatsiya qilingan sirt turli masshtablarning fazoviy o'zgaruvchanligini tavsiflaydi va ayni paytda silliqdir. Oxirgi holat analitik protseduralar yordamida sirtning geometriyasi va topologiyasini bevosita tahlil qilish imkonini beradi.

Bibliografiya

1. B.V.Sobol, B.Ch.Mesxi, I.M.Peshxoev. Hisoblash matematikasi bo'yicha seminar. - Rostov-na-Donu: Feniks, 2008 yil;

2. N.S. Baxvalov, N.P. Jidkov, G.M. Kobelkov. Raqamli usullar. “Asosiy bilimlar laboratoriyasi” nashriyoti. 2003 yil

3. www.wikipedia.ru/spline

Shunga o'xshash hujjatlar

Chiziqli algebraning hisoblash usullari. Funktsiyaning interpolyatsiyasi. Nyutonning interpolyatsiya polinomi. interpolyatsiya tugunlari. Lagrange interpolyatsiya polinomi. Spline interpolyatsiyasi. Kubik splinelarning koeffitsientlari.

laboratoriya ishi, 02.06.2004 yil qo'shilgan


Hisoblash matematikasida funktsiyalarning interpolyatsiyasi muhim rol o'ynaydi. Lagrange formulasi. Aitken sxemasi bo'yicha interpolyatsiya. Teng masofadagi tugunlar uchun Nyutonning interpolyatsiya formulalari. Nyuton formulasi bo'lingan farqlar bilan. Spline interpolyatsiyasi.

nazorat ishi, 01/05/2011 qo'shilgan


Qurmoq interpolyatsiya polinomi Nyuton. Grafik chizing va undagi interpolyatsiya tugunlarini belgilang. Lagranj interpolyatsiya polinomini tuzing. Uchinchi darajali spline interpolyatsiyasini bajaring.

laboratoriya ishi, 02.06.2004 yil qo'shilgan


Funktsiyalarning interpolyatsiyasining roli, ularning qiymatlari ma'lum miqdordagi nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlari bilan mos keladi. Funktsiyalarni ko'phadlar bo'yicha interpolyatsiya qilish, segmentdagi va nuqtadagi to'g'ridan-to'g'ri uzluksiz funktsiyalar. Interpolyatsiya xatosi tushunchasining ta'rifi.

muddatli ish, 04/10/2011 qo'shilgan


Uzluksiz va nuqtali yaqinlashish. Lagranj va Nyutonning interpolyatsiya polinomlari. Global interpolyatsiya xatosi, kvadratik bog'liqlik. Eng kichik kvadrat usuli. Empirik formulalarni tanlash. Bo'lak-bo'lak doimiy va bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya.

muddatli ish, 03/14/2014 qo'shilgan


Oltin qism usulining paydo bo'lish tarixi bilan tanishish. Asosiy tushunchalarni va hisob-kitoblarni bajarish algoritmini ko'rib chiqish. Fibonachchi raqamlar usuli va uning xususiyatlarini o'rganish. Dasturlashda oltin kesim usulini amalga oshirish misollari tavsifi.

muddatli ish, 08/09/2015 qo'shilgan


Lagranj va Nyuton tomonidan global va mahalliy interpolyatsiya muammolari; interpolyatsiya polinomining koliv harakati; Runge funktsiyalari. Spline - kubik ko'phadlar deb ataladigan ko'phadlar guruhi bo'lib, o'tkazmaydigan birinchi va boshqa shunga o'xshash, spline interpolyatsiyasining afzalliklari.

taqdimot, 02/06/2014 qo'shilgan


Raqamli farqlash usullari. Hosilni hisoblash, eng oddiy formulalar. Algebraik polinomlar orqali interpolyatsiyaga asoslangan sonli differentsiatsiya. Lagranj polinomi bilan yaqinlashish. Interpolyatsiya yordamida differentsiatsiyalash.

muddatli ish, 02/15/2016 qo'shilgan


Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usullari tavsifi: teskari matritsa, Yakobi, Gauss-Zeydel. Interpolyatsiya masalasini shakllantirish va yechish. Ko'phadga bog'liqlikni eng kichik kvadratlar usuli bilan tanlash. Gevşeme usulining xususiyatlari.

laboratoriya ishi, qo'shilgan 12/06/2011


Ekstremumni topish muammosi: mohiyati va mazmuni, optimallashtirish. Kvadrat interpolyatsiya va oltin kesma usullari bilan yechish, ularning qiyosiy xarakteristikasi, asosiy afzalliklari va kamchiliklarini aniqlash. Takrorlashlar soni va aniqlikni baholash.

Amaliy masalalarda uchraydigan egri chiziqlar va sirtlar ko'pincha ancha murakkab shaklga ega bo'lib, bu elementar funktsiyalar yordamida umuman universal analitik spetsifikatsiyaga imkon bermaydi. Shuning uchun ular nisbatan oddiy silliq bo'laklardan yig'iladi - segmentlar (egri) yoki kesmalar (sirtlar), ularning har biri bir yoki ikkita o'zgaruvchining elementar funktsiyalari yordamida qoniqarli tarzda tavsiflanishi mumkin. Shu bilan birga, qisman egri chiziqlar yoki sirtlarni qurish uchun ishlatiladigan silliq funktsiyalar o'xshash xususiyatga ega bo'lishini talab qilish tabiiydir, masalan, bir xil darajadagi ko'phadlar. Va hosil bo'lgan egri yoki sirt etarlicha silliq bo'lishi uchun, ayniqsa, tegishli bo'laklarning bo'g'inlarida ehtiyot bo'lish kerak. Polinomlar darajasi oddiy geometrik mulohazalardan tanlanadi va qoida tariqasida kichikdir. Butun birikma egri chizig'i bo'ylab tangensning silliq o'zgarishi uchun uchinchi darajali ko'phadlar, kub polinomlar yordamida birlashtiruvchi egri chiziqlarni tasvirlash kifoya. Bunday polinomlarning koeffitsientlari har doim mos keladigan kompozit egri chiziqning egri chizig'i uzluksiz bo'lishi uchun tanlanishi mumkin. Bir o'lchovli masalalarni hal qilishda paydo bo'ladigan kubik splinelar birikma yuzalarining bo'laklarini shakllantirishga moslashtirilishi mumkin. Va bu erda, tabiiyki, ikkita o'zgaruvchining har birida uchinchi darajali polinomlar bilan tavsiflangan ikki kubik splinelar paydo bo'ladi. Bunday splaynlar bilan ishlash ko'proq hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo to'g'ri tashkil etilgan jarayon kompyuter texnologiyalarining doimiy ravishda o'sib borayotgan imkoniyatlarini maksimal darajada hisobga olishga imkon beradi. Spline funktsiyalari Let on segment , ya'ni Remark. a^ sonlarining indeksi (t) buni bildiradi. har bir qisman D segmentida S(x) funksiyani aniqlaydigan koeffitsientlar to'plami o'ziga xos ekanligini. D1 segmentlarining har birida 5(x) spline p darajali polinomdir va bu segmentda p + 1 koeffitsienti bilan aniqlanadi. Jami qisman segmentlar - keyin. Demak, splaynni to`liq aniqlash uchun (p + 1) keyin sonlarni topish kerak.Shart) S(x) funksiya va uning hosilalarining barcha ichki to`r tugunlarida w uzluksizligini bildiradi. Bunday tugunlar soni m - 1. Shunday qilib, barcha polinomlarning koeffitsientlarini topish uchun p(m - 1) shartlar (tenglamalar) olinadi. Splaynning to'liq ta'rifi uchun yetarlicha shartlar (shartlar (tenglamalar)) mavjud emas.Qo'shimcha shartlarni tanlash ko'rib chiqilayotgan muammoning tabiati, ba'zan esa oddiygina foydalanuvchining xohishi bilan belgilanadi. SPLIN NAZARIYASI Yechimlarga misollar Ko'pincha interpolyatsiya va tekislash masalalari ko'rib chiqiladi, agar tekislikdagi berilgan nuqtalar massividan u yoki bu splayn qurish kerak bo'lsa, interpolyatsiya masalalarida splayn grafigi nuqtalardan o'tishi talab qilinadi. uning koeffitsientlariga m + 1 qo'shimcha shartlar (tenglamalar) qo'yadi. Splaynning noyob qurilishi uchun qolgan p - 1 shartlar (tenglamalar) ko'pincha ko'rib chiqilayotgan segmentning uchlarida splinening pastki hosilalarining qiymatlari shaklida o'rnatiladi [a, 6] - chegara ( chegara) shartlari. Turli xil chegara shartlarini tanlash qobiliyati turli xil xususiyatlarga ega splaynlarni qurish imkonini beradi. Yumshatish masalalarida uning grafigi nuqtalar (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m, ular orqali emas, yaqinidan o'tishi uchun spline quriladi. Ushbu yaqinlik o'lchovi turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin, bu esa sezilarli darajada silliqlash splinelariga olib keladi. Spline funktsiyalarini qurishda tanlashning tavsiflangan variantlari ularning xilma-xilligini tugatmaydi. Va agar dastlab faqat qismli polinomli spline funktsiyalari ko'rib chiqilsa, ularning qo'llanilishi doirasi kengaygani sari, boshqa elementar funktsiyalardan ham "yopishgan" splaynlar paydo bo'la boshladi. Interpolyatsiya kub splaynlari Interpolyatsiya masalasining bayoni [a, 6) oraliqda w to'ri berilgan bo'lsin) sonlar to'plamini ko'rib chiqaylik. (a, 6] segmentida silliq bo'lgan va o to'r tugunlarida berilgan qiymatlarni oladigan funktsiyani tuzing, ya'ni tuzilayotgan funktsiyaga qo'shimcha shartlar qo'yish orqali kerakli o'ziga xoslikka erishish mumkin. Ilovalarda u ko'pincha etarli darajada belgilangan funktsiyadan foydalanib, analitik berilgan funktsiyani yaqinlashtirish uchun zarur bo'ladi yaxshi xususiyatlar . Masalan, [a, 6] segment nuqtalarida berilgan f(x) funksiyaning qiymatlarini hisoblash muhim qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lgan va/yoki berilgan f(x) funksiyasi mavjud bo'lmagan hollarda silliqlik zarur bo'lsa, berilgan funksiyaga etarlicha yaqin bo'lgan va uning kamchiliklaridan xoli bo'lgan boshqa funksiyadan foydalanish qulay. Funktsiyani interpolyatsiya qilish muammosi. [a, 6] oraliqda w to'rning tugunlarida berilgan f(x) funksiyaga to'g'ri keladigan silliq a(x) funksiyani tuzing. Interpolyatsiya qiluvchi kub spline ta'rifi w to'rdagi interpolyatsiya qiluvchi kub spline S(x) funksiya bo'lib, 1) har bir segmentdagi uchinchi darajali ko'phad, 2) [a, b segmentida ikki marta uzluksiz differensiallanadi. ], ya’ni C2[ a, 6] sinfiga kiradi va 3) shartlarni qanoatlantiradi Segmentlarning har birida spline S(x) uchinchi darajali polinom bo‘lib, bu segmentda to‘rtta koeffitsient bilan aniqlanadi. Segmentlarning umumiy soni m. Demak, splaynni toʻliq aniqlash uchun 4m sonlarni topish kerak.Shart S(x) funksiya va uning hosilalari S “(x) va 5” uzluksizligini bildiradi. (x) barcha ichki tarmoq tugunlarida w. Bunday tugunlar soni m - 1. Shunday qilib, barcha polinomlarning koeffitsientlarini topish uchun yana 3 (m - 1) shart (tenglama) olinadi. Shartlar (2) bilan birgalikda shartlar (tenglamalar) olinadi. Chegara (chegara) shartlari [a, 6] oraliq oxirida spline va/yoki uning hosilalari qiymatlariga cheklovlar sifatida ikkita etishmayotgan shart ko'rsatilgan. Interpolyatsiya qiluvchi kubik splineni qurishda ko'pincha quyidagi to'rt turdagi chegara shartlari qo'llaniladi. A. 1-turdagi chegaraviy shartlar. - [a, b] oraliq oxirida kerakli funktsiyaning birinchi hosilasining qiymatlari beriladi. B. 2-turdagi chegaraviy shartlar. - oraliq oxirida (a, 6) kerakli funktsiyaning ikkinchi hosilasining qiymatlari o'rnatiladi. B. 3-turdagi chegaraviy shartlar. davriy deyiladi. Interpolyatsiya qilingan funksiya T = b-a davri bilan davriy bo'lgan hollarda bu shartlarning bajarilishini talab qilish tabiiydir. D. 4-turdagi chegaraviy shartlar. alohida izoh talab qiladi. Izoh. Ichki sepsi tugunlarida S(x) funksiyaning uchinchi hosilasi, umuman olganda, uzluksizdir. Biroq, uchinchi hosilaning uzilishlar sonini 4-turdagi shartlardan foydalanib kamaytirish mumkin. Bunda tuzilgan shplayn oraliqda uch marta uzluksiz differensiallanadi Interpolyatsiya qiluvchi kubik shplaynni yasash Aniqlanishi kerak bo'lgan miqdorlar soni teng bo'lgan kub splaynning koeffitsientlarini hisoblash usulini tavsiflaymiz. Har bir oraliqda interpolyatsiya spline funksiyasi quyidagi shaklda izlanadi 1 va 2 turdagi chegara shartlari uchun ushbu tizim quyidagi ko'rinishga ega bo'lib, koeffitsientlar chegara shartlarini tanlashga bog'liq. 1-turdagi chegaraviy shartlar: 2-turdagi chegara shartlari: 3-turdagi chegara shartlarida sonlarni aniqlash tizimi quyidagicha yoziladi. 4-toifa chegara shartlari uchun raqamlarni aniqlash tizimi shaklga ega Barcha uchta chiziqli algebraik tizimlarning matritsalari diagonal ustunlikka ega matritsalardir. Ushbu matritsalar degenerativ emas va shuning uchun bu tizimlarning har biri o'ziga xos echimga ega. Teorema. Shartlarni (2) va sanab o'tilgan to'rt turdan birining chegaraviy shartini qondiradigan interpolyatsiya kubik spline mavjud va noyobdir. Demak, interpolyatsiya qiluvchi kubik splaynni qurish uning koeffitsientlarini topish demakdir.Splayn koeffitsientlari topilganda, [a, b] segmentning ixtiyoriy nuqtasidagi S(x) ning qiymatini formuladan foydalanib topish mumkin. 3). Biroq amaliy hisob-kitoblar uchun S(x) miqdorni topishning quyidagi algoritmi mos keladi. X 6 [x”, bo'lsin, Birinchidan, A va B qiymatlari formulalar bo'yicha hisoblanadi va keyin 5(x) qiymati topiladi: Ushbu algoritmdan foydalanish qiymatni aniqlash uchun hisoblash xarajatlarini sezilarli darajada kamaytiradi. foydalanuvchi Chegaraviy (chegaraviy) shartlar va interpolyatsiya tugunlarini tanlash ma'lum darajada interpolyatsiya splinelarining xususiyatlarini boshqarish imkonini beradi. A. Chegara (chegara) shartlarini tanlash. Chegaraviy shartlarni tanlash funksiyalarni interpolyatsiya qilishning markaziy muammolaridan biridir. [a, 6] segment uchlari yaqinidagi 5(g) shplayn tomonidan f(x) funksiyani yaqinlashtirishning yuqori aniqligini ta'minlash zarur bo'lganda u alohida ahamiyatga ega bo'ladi. Chegaraviy qiymatlar a va b nuqtalari yaqinidagi 5(g) splinening harakatiga sezilarli ta'sir ko'rsatadi va biz ulardan uzoqlashganimizda bu ta'sir tezda zaiflashadi. Chegara shartlarini tanlash ko'pincha mavjudligi bilan belgilanadi Qo'shimcha ma'lumot yaqinlashtirilayotgan f(x) funksiyaning xatti-harakati haqida. Agar birinchi hosila f "(x) ning qiymatlari segmentning oxirida (a, 6) ma'lum bo'lsa, u holda 1-turdagi chegara shartlaridan foydalanish tabiiydir. Agar ikkinchisining qiymatlari f "(x) hosilasi [a, 6] segmentning uchlarida ma'lum bo'lsa, u holda 2-turdagi tabiiy foydalanish chegara shartlari. Agar 1 va 2 turdagi chegara shartlarini tanlash mumkin bo'lsa, u holda 1-turdagi shartlarga ustunlik berish kerak. Agar f(x) davriy funktsiya bo'lsa, u holda biz 3-turdagi chegara shartlarida to'xtashimiz kerak. Agar yaqinlashtirilayotgan funktsiyaning xatti-harakati haqida qo'shimcha ma'lumot bo'lmasa, ko'pincha tabiiy chegara shartlari deb ataladigan shartlardan foydalaniladi.Ammo shuni yodda tutish kerakki, chegaraviy shartlarni bunday tanlash bilan f funktsiyani yaqinlashtirishning aniqligi. (x) spline S (x) bilan segmentning uchlari yaqinida (a, ft] keskin kamayadi. Ba'zan 1 yoki 2 turdagi chegara shartlari qo'llaniladi, lekin tegishli hosilalarning aniq qiymatlari bilan emas, lekin ularning farqi yaqinlashishlari bilan.Bu yondashuvning aniqligi past. Hisob-kitoblarning amaliy tajribasi shuni ko‘rsatadiki, ko‘rib chiqilayotgan vaziyatda eng to‘g‘ri tanlov 4-turdagi chegara shartlari hisoblanadi. B. Interpolyatsiya tugunlarini tanlash. Agar uchinchi hosila f ". "(x) funktsiya [a, b] segmentining ba'zi nuqtalarida uzluksiz bo'ladi, keyin yaqinlashish sifatini yaxshilash uchun bu nuqtalar interpolyatsiya tugunlari soniga kiritilishi kerak. Ikkinchi hosila / "(x), keyin uzilish nuqtalari yaqinida splaynning tebranishini oldini olish uchun maxsus choralar ko'rish kerak. interpolyatsiya tugunlari shunday tanlanadiki, ikkinchi hosilaning uzilish nuqtalari \xif) oraliq ichiga tushadi, shundayki. A qiymatini raqamli tajriba orqali tanlash mumkin (ko'pincha a = 0,01 ni o'rnatish kifoya). Birinchi hosila f "(x) uzluksiz bo'lganda yuzaga keladigan qiyinchiliklarni bartaraf etish uchun retseptlar to'plami mavjud. Eng oddiylaridan biri sifatida biz buni taklif qilishimiz mumkin: yaqinlashuv segmentini hosila uzluksiz bo'lgan intervallarga bo'linib, tuzing. Ushbu intervallarning har birida spline.Interpolyatsiya funksiyasini tanlash (ijobiy va salbiy tomonlari) Yondashuv 1. Lagranj interpolyatsiyasi polinomi Berilgan massiv uchun SPLINE NAZARIYASI Yechimlarga misollar (3-rasm) Lagranj interpolyatsiya polinomi formula bilan aniqlanadi Ko‘rib chiqish maqsadga muvofiqdir. Lagranj interpolyatsiya polinomining ikkita qarama-qarshi pozitsiyadan xossalari, asosiy afzalliklarini kamchiliklardan alohida muhokama qilish --chi yondashuv: 1) Lagranj interpolyatsiya polinomining grafigi massivning har bir nuqtasidan o'tadi, 2) tuzilgan funksiya oson tasvirlangan ( Lagranj interpolyatsiya polinomining aniqlanayotgan u to'ridagi koeffitsientlari soni m + 1 ga teng, 3) tuzilgan funksiya har qanday g'ovakning uzluksiz hosilalariga ega. 4) interpolyatsiya polinomi berilgan massiv tomonidan yagona aniqlanadi. 1-yondashning asosiy kamchiliklari: 1) Lagranj interpolyatsiya polinomining darajasi tarmoq tugunlari soniga bog'liq va bu raqam qanchalik katta bo'lsa, interpolyatsiya polinomining darajasi shunchalik yuqori bo'ladi va shuning uchun ko'proq hisob-kitoblar talab qilinadi, 2. ) massivdagi kamida bitta nuqtani o‘zgartirish Lagranj interpolyatsiya ko‘phadining koeffitsientlarini to‘liq qayta hisoblashni talab qiladi, 3) massivga yangi nuqta qo‘shish Lagranj interpolyatsiya polinomining darajasini bir marta oshiradi va hatto uning koeffitsientlarini to‘liq qayta hisoblashga olib keladi. , 4) cheksiz mesh aniqlanishi bilan Lagrange interpolyatsiya polinomining darajasi cheksiz ortadi. Lagrange interpolyatsiya polinomining cheksiz mesh takomillashtirish ostidagi harakati odatda alohida e'tibor talab qiladi. Izohlar A. Uzluksiz funksiyani ko‘phad bilan yaqinlashtirish. Ma'lumki (Weierstrass, 1885) oraliqdagi har qanday uzluksiz (va undan ham silliqroq) funktsiyani bu oraliqda ko'pnom tomonidan kerakli kabi yaqinlashtirish mumkin. Keling, bu haqiqatni formulalar tilida tasvirlab beraylik. [a, 6] segmentida f(x) uzluksiz funksiya bo‘lsin. U holda har qanday e > 0 uchun Rn(x) ko'phad mavjudki, [a, 6] oraliqdan har qanday x uchun tengsizlik bajariladi (4-rasm) , cheksiz ko'p bo'ladi. [a, 6] segmentida w to'rni quramiz. Ko'rinib turibdiki, uning tugunlari, umuman olganda, Pn(x) ko'phad va f(x) funksiya grafiklarining kesishish nuqtalari bilan to'g'ri kelmaydi (5-rasm). Shuning uchun, olingan to'r uchun Pn(x) ko'phad interpolyatsiya polinomi emas. Uzluksiz funksiya Jla-grajj interpolyatsiya polinomi bilan yaqinlashtirilsa, uning grafigi nafaqat [a, b] segmentning har bir nuqtasida f(x) funksiya grafigiga yaqin bo‘lishi shart emas, balki undan chetlanishi ham mumkin. bu funksiya xohlagancha. Keling, ikkita misol keltiraylik. 1-misol (Rung, 1901). [-1, 1] segmentidagi funksiya uchun tugunlar sonining cheksiz ortishi bilan chegara tengligi qondiriladi (6-rasm) 2-misol (Berichtein, 1912). Uzluksiz funksiya /(x) = |x| tugunlar soni ortgan segmentda m f(x) funksiyaga moyil emas (7-rasm). 2-yondash. Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya Agar interpolyatsiya qilingan funksiyaning silliqligidan voz kechilsa, afzalliklar soni va kamchiliklar soni o'rtasidagi nisbat birinchisining yo'nalishi bo'yicha sezilarli darajada o'zgarishi mumkin. Nuqtalarni (xit y,) to‘g‘ri chiziq bo‘laklari bilan ketma-ket bog‘lab, bo‘lak-bo‘lak chiziqli funksiya quramiz (8-rasm). 2-yondashning asosiy afzalliklari: 1) qismli chiziqli funktsiyaning grafigi massivning har bir nuqtasidan o'tadi, 2) tuzilgan funksiya osongina tasvirlanadi (to'r uchun aniqlanishi kerak bo'lgan mos chiziqli funktsiyalarning koeffitsientlari soni () 1) 2m), 3) tuzilgan funksiya berilgan massiv tomonidan bir ma’noli aniqlanadi, 4) interpolyatsiya funksiyasini tavsiflash uchun foydalaniladigan polinomlar darajasi to‘r tugunlari soniga bog‘liq emas (1 ga teng), 5) bittasini o‘zgartirish massivdagi nuqta to'rtta raqamni hisoblashni talab qiladi (yangi nuqtadan chiqadigan ikkita to'g'ri chiziqli bog'lanish koeffitsientlari), 6) massivga qo'shimcha nuqta qo'shish to'rtta koeffitsientni hisoblashni talab qiladi. Bo'lak-bo'lak chiziqli funktsiya to'rni tozalashda juda yaxshi ishlaydi. i 2-yondashning asosiy kamchiligi shundan iboratki, bo'lak-bo'lak chiziqli funktsiyaning yaqinlashishi silliq emas: birinchi hosilalar tarmoq tugunlarida (interpolyatsiya quloqlari) uzilishlarga duchor bo'ladi. 3-yondash. Spline interpolyatsiyasi Taklif etilayotgan yondashuvlar birlashtirilishi mumkin, shunda ikkala yondashuvning sanab o'tilgan afzalliklari soni saqlanib qoladi va kamchiliklar sonini kamaytiradi. Buni p darajali silliq interpolyatsiya qiluvchi spline funktsiyasini qurish orqali amalga oshirish mumkin. 3-yondoshlikning asosiy afzalliklari: 1) tuzilgan funksiyaning grafigi massivning har bir nuqtasidan o‘tadi, 2) tuzilgan funksiyani tavsiflash nisbatan oson (to‘r uchun aniqlanishi kerak bo‘lgan mos ko‘phadlarning koeffitsientlari soni () 1) bu 3) tuzilgan funksiya berilgan massiv tomonidan yagona aniqlanadi, 4) darajali ko‘phadlar to‘r tugunlari soniga bog‘liq emas va shuning uchun uning ortishi bilan o‘zgarmaydi, 5) tuzilgan funksiya yuqoriga qarab uzluksiz hosilalarga ega. p - 1 inklyuziv tartibiga, 6) tuzilgan funktsiya yaxshi yaqinlashish xususiyatlariga ega. Qisqacha ma'lumotnoma. Taklif etilgan nom - spline - tasodifiy emas - biz kiritgan silliq bo'lakli polinom funktsiyalari va chizilgan splinelar bir-biri bilan chambarchas bog'liq. (x, y) tekislikda joylashgan massivning mos yozuvlar nuqtalari orqali o'tadigan moslashuvchan, ideal nozik o'lchagichni ko'rib chiqaylik. Bernulli-Eyler qonuniga ko'ra, egri chizg'ichning chiziqli tenglamasi ko'rinishga ega. Chizgichlarni tavsiflovchi S(x) funksiya massivning (tayanchlar) har bir va ikkita qo‘shni nuqtasi orasidagi uchinchi darajali ko‘phad bo‘lib, butun intervalda (a, 6) ikki marta uzluksiz differensiallanadi. Izoh. 06 uzluksiz funktsiyaning interpolyatsiyasi Lagranj interpolyatsiya polinomlaridan farqli o'laroq, bir xil to'rdagi interpolyatsiya kubik splinelar ketma-ketligi doimo interpolyatsiya qilingan uzluksiz funktsiyaga yaqinlashadi va bu funksiyaning differentsial xossalarining yaxshilanishi bilan yaqinlashish tezligi ortadi. Misol. Funktsiya uchun tugunlar soni m = 6 bo'lgan to'rdagi kubik spline Ls(z) interpolyatsiya polinomi bilan bir xil tartibdagi yaqinlashish xatosini beradi va tugunlar soni m = 21 bo'lgan to'rda bu xato. shunchalik kichikki, oddiy kitob chizmasi masshtabida uni shunchaki ko'rsatib bo'lmaydi (10-rasm) (1>2o(r) interpolyatsiya polinomi bu holda taxminan 10000 Vt xatolikni beradi). Interpolyatsiya qilingan kub splaynning xossalari A. Kub splinening taqsimlanish xossalari. Interpolyatsiya qiluvchi splinening yaqinlashuv xossalari f(x) funksiyaning silliqligiga bog‘liq - interpolyatsiya qilingan funksiyaning silliqligi qanchalik baland bo‘lsa, yaqinlashish tartibi shunchalik yuqori bo‘ladi, to‘r aniqlanganda esa yaqinlashish darajasi shunchalik yuqori bo‘ladi. Agar interpolyatsiya qilingan f(x) funksiya intervalda uzluksiz bo'lsa, agar interpolyatsiya qilingan f(x) funksiya [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosilaga ega bo'lsa, ya'ni 1-chi yoki chegara shartlarini qanoatlantiradigan interpolyatsiya spline. 3-turi, keyin h uchun bizda bor Bunda nafaqat splayn interpolyatsiya qilingan funksiyaga, balki spline hosilasi ham shu funksiyaning hosilasiga yaqinlashadi. Agar S(x) shplayn [a, b] segmentdagi f(x) funksiyaga yaqinlashsa va uning birinchi va ikkinchi hosilalari mos ravishda B funksiyaga yaqinlashsa.Kubik splinening ekstremal xossasi. Interpolatsiya kubik spline yana bittaga ega foydali mulk . Quyidagi misolni ko'rib chiqing. misol. Grafiklari x massiv nuqtalari orqali o'tadigan C2 fazosidan funktsiyalar sinfi bo'yicha funktsiyani minimallashtiruvchi /(x) funktsiyasini tuzing, bu chegaraviy shartlarni qondiradi, funksionalga ekstremum (minimum) beradi. Izoh 2. Qizig'i shundaki, interpolyatsiya qiluvchi kubik spline yuqorida juda keng funksiyalar sinfida, ya'ni |0,5] sinfida tavsiflangan ekstremal xususiyatga ega. 1.2. Kubik shplaynlarni tekislash Yumshatish masalasini tuzish haqida To'r va raqamlar to'plami berilsin. Aslida, bu har biri uchun interval ko'rsatilganligini anglatadi va bu oraliqdan istalgan raqam y, qiymati sifatida qabul qilinishi mumkin. Y ning qiymatlarini, masalan, tasodifiy xatoni o'z ichiga olgan x o'zgaruvchisining berilgan qiymatlari uchun y(x) funksiyasini o'lchash natijalari sifatida izohlash qulay. Funktsiyani bunday "eksperimental" qiymatlardan tiklash masalasini hal qilishda interpolyatsiyani qo'llash qiyin, chunki interpolyatsiya funktsiyasi massivdagi (y,) tasodifiy komponent tomonidan yuzaga kelgan g'alati tebranishlarni itoatkorlik bilan takrorlaydi. Tabiiyroq yondashuv o'lchovlar natijasida tasodifiylik elementini qandaydir tarzda kamaytirish uchun mo'ljallangan tekislash protsedurasiga asoslangan. Odatda bunday masalalarda x = x, * = 0, 1, .... m uchun qiymatlari mos keladigan intervallarga tushadigan va qo'shimcha ravishda etarlicha yaxshi xususiyatlarga ega bo'lgan funktsiyani topish talab qilinadi. Masalan, u uzluksiz birinchi va ikkinchi hosilalarga ega bo'lar edi yoki uning grafigi juda kuchli egri bo'lmaydi, ya'ni kuchli tebranishlarga ega bo'lmaydi. Ushbu turdagi muammo, shuningdek, berilgan (aniq) massivga ko'ra, berilmagan nuqtalardan o'tadigan, lekin ularning yonidan o'tadigan va juda silliq o'zgarib turadigan funktsiyani qurish kerak bo'lganda ham paydo bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, kerakli funksiya berilgan massivni xuddi xuddi shunday tekisladi va uni interpolyatsiya qilmadi. W to'ri va ikkita sonlar to'plami berilsin SPLINE NAZARIYASI Yechishga misollar Muammo. To‘r tugunlaridagi qiymatlari va berilgan qiymatlar bilan y raqamlaridan farq qiladigan [a, A] segmentida silliq funksiya tuzing. Shakllangan silliqlash muammosi tiklanish Jadvalda berilgan silliq funksiya. Bunday muammoning turli xil echimlari borligi aniq. Tuzilgan funktsiyaga qo'shimcha shartlar qo'yish orqali biz kerakli o'ziga xoslikka erishishimiz mumkin. Tekshiruvchi kubik shpritsning ta'rifi w to'rdagi tekislashtiruvchi kubik shprits S(x) funksiya bo'lib, 1) har bir segmentdagi uchinchi darajali ko'phad, 2) segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi [a, 6. ], ya’ni C2 [a , b] sinfiga kiradi, 3) berilgan sonlar funksiyasiga minimumni yetkazib beradi, 4) quyida ko‘rsatilgan uch turdan birining chegara shartlarini qanoatlantiradi. Chegara (chegara) shartlari Chegaraviy shartlar w to'rning chegara tugunlarida spline va uning hosilalari qiymatlariga cheklovlar sifatida belgilanadi. A. 1-turdagi chegaraviy shartlar. - oraliq oxirida [a, b) kerakli funksiyaning birinchi hosilasining qiymatlari beriladi. 2-turdagi chegara shartlari. - (a, b] oraliq uchlaridagi kerakli funksiyaning ikkinchi hosilalari nolga teng. B. 3-turdagi chegaraviy shartlar davriy deyiladi. Teorema. Kub spline S (x), funksional (4) ni minimallashtirish. ) va ko‘rsatilgan uchta turdan birining chegara shartlarini qanoatlantiradigan, yagona aniqlanadi.Ta’rifi.Funksional J(f) ni minimallashtiruvchi va i-tipli chegara shartlarini qanoatlantiradigan kubik spline i-tipli tekislovchi shplayn deyiladi.bu segment. to'rtta koeffitsient bo'yicha.Umumiy segmentlar - m.Demak, splaynni to'liq aniqlash uchun 4m sonlarni topish kerak.Shart 5(ar) funksiyaning uzluksizligini va barcha hosilalarni to'rning barcha ichki tugunlarida o'z ichiga oladi. "Bunday tugunlar soni m - 1 Shunday qilib, barcha ko'phadlarning koeffitsientlarini topish uchun 3(m - 1) shart (tenglama) olinadi. ular uchun aniqlanadigan miqdorlar soni 2m + 2. Har bir oraliqda tekislovchi shplayn funksiyasi quyidagi shaklda izlanadi. Avval n* miqdorlar qanday topilganligini tasvirlab beraylik. 1 va 2 turdagi chegara shartlari uchun Hi qiymatlarini aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklda yoziladi, bu erda ma'lum raqamlar mavjud). Koeffitsientlar chegara shartlarini tanlashga bog'liq. 1-turdagi chegaraviy shartlar: 2-toifa chegara shartlari: 3-turdagi chegara shartlarida raqamlarni aniqlash tizimi quyidagicha yoziladi: bundan tashqari, barcha koeffitsientlar (5) formulalar bo'yicha hisoblanadi (katta bo'lgan miqdorlar). k va m + k indekslari ga teng hisoblanadi: Muhim* eslatma. Tizimlarning matritsalari degenerativ emas va shuning uchun bu tizimlarning har biri o'ziga xos echimga ega. Agar n, - raqamlari topilsa, formulalar yordamida kattaliklar osongina aniqlanadi Agar hamma narsa va tekislash spline interpolyatsiya bo'lib chiqsa. Bu, xususan, qiymatlar qanchalik aniq berilgan bo'lsa, tegishli og'irlik koeffitsientlarining oldindan o'lchov qiymati shunchalik kichik bo'lishini anglatadi. Agar boshqa tomondan, splayn (x^, yk) nuqtadan o'tishi zarur bo'lsa, unda unga mos keladigan p\ og'irlik koeffitsienti nolga teng bo'lishi kerak. Amaliy hisob-kitoblarda eng muhimi pi-Let D qiymatlarini tanlash - y qiymatini o'lchash xatosi. Shunda tekislovchi shplayn shartni qanoatlantirishi yoki, bu bir xil bo'lishini talab qilish tabiiydir.Eng oddiy holatda, og'irlik koeffitsientlari pi, masalan, ko'rinishda berilishi mumkin - bu erda c qandaydir etarlicha kichik konstanta. Biroq, p og'irliklarining bunday tanlovi y, - qiymatlaridagi xatolar tufayli "koridor" dan foydalanishga imkon bermaydi. P ning qiymatlarini aniqlash uchun yanada oqilona, ​​ammo ko'proq vaqt talab qiladigan algoritm quyidagicha ko'rinishi mumkin. Agar fc-chi iteratsiyada qiymatlar topilsa, u holda e bu kichik raqam deb hisoblanadi, u kompyuterning bit panjarasini, D qiymatlarini va aniqligini hisobga olgan holda eksperimental ravishda tanlanadi. chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish. Agar fc-chi iteratsiyada i nuqtada (6) shart buzilgan bo'lsa, unda oxirgi formula mos keladigan og'irlik koeffitsienti p, pasayishini ta'minlaydi. Agar keyingi iteratsiyada p ni oshirsangiz, "koridor" (6) dan to'liqroq foydalanishga olib keladi va natijada yanada silliq o'zgaruvchan spline. Bir oz nazariya A. Interpolyatsiya kub spline koeffitsientlarini hisoblash formulalarini asoslash. m, noma'lum miqdorlar bo'lgan belgini kiritamiz. Ularning soni m + 1 ga teng. Interpolyatsiya shartlarini qanoatlantiradigan va butun [a, b\ oraliqda uzluksiz bo'lgan shaklda yozilgan splayn: formulani qo'yib, mos ravishda olamiz.Bundan tashqari, u bor. [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosila: differensiallovchi munosabat (7) va o'rnatish, mos keladiganini olamiz. aslida. Spline funksiyasi (7) [a, 6] oraliqda uzluksiz ikkinchi hosilaga ega bo'lishi uchun m sonlarni tanlash mumkinligini ko'rsatamiz. Splaynning ikkinchi hosilasini oraliqda hisoblang: x, - 0 nuqtada (t = 1 da) oraliqda splaynning ikkinchi hosilasini hisoblaymiz. ichki tarmoq tugunlarida a; m - 1 munosabatni olamiz bu erda bu m - 1 tenglamalarga chegara shartlaridan kelib chiqadigan va undan yana ikkitasini qo'shib, m + I noma'lum miy i = 0, 1 bo'lgan m + 1 chiziqli algebraik tenglamalar tizimini olamiz. ... , m. 1-chi va 2-turdagi chegara shartlarida gw qiymatlarini hisoblash uchun tenglamalar tizimi bu erda (1-toifa chegara shartlari), (2-toifa chegara shartlari) ko'rinishga ega. Davriy chegara shartlari (3-turdagi chegara shartlari) uchun to'r o; yana bitta tugunga uzaytiring va faraz qiling. Shunda r* ning qiymatlarini aniqlash tizimi ikkinchi va (-!)-chi grid tugunlarida shakl uzluksizligiga ega bo‘ladi. Bizda bor Oxirgi ikkita munosabatdan 4-toifa chegara shartlariga mos keladigan etishmayotgan ikkita tenglamani olamiz: Tenglamalardan noma'lum r0 ni va tenglamalardan noma'lum pc ni chiqarib tashlasak, natijada tenglamalar tizimini olamiz. E'tibor bering, bu tizimdagi noma'lumlar soni r ga teng - I. 6. Silliqlashtiruvchi subik splinening samaradorligini hisoblash formulalarini asoslash. Biz Zi va nj hali noma'lum miqdorlar bo'lgan belgini kiritamiz. Ularning soni 2 m + 2 ga teng. Shaklda yozilgan spline funksiyasi butun intervalda (a, 6] uzluksiz bo'ladi: bu formulani qo'yib, mos ravishda olamiz. z va n raqamlari mumkin ekanligini ko'rsataylik. (8) shaklida yozilgan spline [a, 6] oraliqda uzluksiz birinchi hosilaga ega bo‘lishi uchun tanlansin. to'rning ichki tugunlarida splinening birinchi hosilasining uzluksizligi sharti va --> m - 1 munosabatga ega bo'lamiz.Bu munosabatni matritsa ko'rinishida yozish qulay.. munosabat (8) va o'rnatish, biz, mos ravishda Yeshe olyu matritsa munosabati funksional (4) ning minimal shartidan olinadi. Bizda bor Oxirgi ikkita matritsa tengligini 2m + 2 noma'lumda 2m + 2 chiziqli algebraik tenglamalarning chiziqli tizimi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Birinchi tenglikdagi r ustunini uning (9) munosabatidan olingan ifodasi bilan almashtirib, M ustunini aniqlash uchun yechimlar misollari SPLINE NAZARIYASI matritsa tenglamasiga kelamiz. 6HRH7 har doim degenerativ emas. Uni topib, biz janob Eamshineni osongina aniqlaymiz. A va H uchburchak matritsalarining elementlari n ni faqat u (hi qadamlar bilan) panjara parametrlari bilan aniqlaydi va yj qiymatlariga bog'liq emas. Kub splayn funksiyalarining chiziqli fazosi wcra + l tugunining [a, 6) segmentida qurilgan kubik splaynlar to'plami m + 3 o'lchamdagi chiziqli fazodir: 1) u to'r orqali qurilgan ikki kubik splinelar yig'indisi. > va to'rga qurilgan kubik shpritsning ko'paytmasi u>, ixtiyoriy raqam ko'proq yashirincha, bu to'rga qurilgan kubik splinelar, 2) to'r va tugundan qurilgan har qanday kub spline m + 1 bilan to'liq aniqlanadi. ushbu tugunlarda y" qiymatlarining qiymati va ikkita chegara sharoitida - atigi + 3 parametr. Bu fazoda m + 3 chiziqli mustaqil splaynlardan tashkil topgan bazisni tanlab, ularning chiziqli birikmasi sifatida ixtiyoriy kub spline a(x) ni o‘ziga xos tarzda yozishimiz mumkin. Izoh. Bunday spline spetsifikatsiyasi hisoblash amaliyotida keng qo'llaniladi. Kubik B-splinelar (asosiy yoki fundamental splinelar) deb ataladigan asoslardan tashkil topgan asos ayniqsa qulaydir. D-splinelardan foydalanish kompyuter xotirasiga bo'lgan talablarni sezilarli darajada kamaytirishi mumkin. L-splinelar. B -to'r bo'ylab son chizig'ida qurilgan nol gradusli shplin vilkaning funksiyasi B -katta u bo'ylab son chizig'ida qurilgan k ^ I darajali shplin, ikkinchi yilda rekursiv formula bilan aniqlanadi. \7\x) darajalar mos ravishda 11 va 12-rasmda ko'rsatilgan.B-ixtiyoriy k darajali spline faqat ma'lum bir segmentda noldan farq qilishi mumkin (k + 2 tugun bilan belgilanadi). Kub B-ni raqamlash qulayroqdir. shplaynlarni shunday tuzingki, ir,-+2] segmentida B,-3* (n) shplayn noldan farq qilardi].Yagona to‘r holati uchun uchinchi darajali kubik spline formulasini beraylik (a bilan). qadam A).Boshqa hollarda bizda bor.Kubik B-splinening tipik grafigi 13-rasmda keltirilgan. a) funksiya segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanadi, ya’ni u C2[ sinfiga kiradi. a, "), c) faqat to'rtta ketma-ket segment kengaytirilgan to'r w * mo uchun nolga teng m + 3 kubik B-splinelar oilasini qurish kerak: Bu turkum (a, b] segmentidagi kubik shplinlar fazosida asosni tashkil qiladi. Shunday qilib, o to'rning |s, 6] segmentida tuzilgan ixtiyoriy kubik spline S(z); +1 tugunlardan boshlab, ushbu segmentda chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin.Masala shartlari, bu kengayishning ft koeffitsientlari yagona aniqlanadi. ... To'r tugunlaridagi funktsiyaning qiymatlari va funktsiyaning birinchi hosilasining qiymatlari to'rning oxirida "(chegara bilan interpolyatsiya muammosi) birinchi turdagi shartlar), bu koeffitsientlar quyidagi shakldagi tizimdan hisoblanadi qiymatlar b-i va &m+i, noma’lumlari 5q, ..., bm va uch diajunal matritsaga ega chiziqli sistemani olamiz. Vaziyat diagonal ustunlikni va shuning uchun uni hal qilish uchun tozalash usulini qo'llash imkoniyatini ta'minlaydi. 3MMCHMYU 1. Xuddi shunday shakldagi chiziqli tizimlar boshqa interpolyatsiya masalalarini ham ko'rib chiqishda yuzaga keladi. Zmmchm* 2. 1.1-bo'limda tasvirlangan algoritmlar bilan solishtirganda, * interpolyatsiya masalalarida R-splinedan foydalanish saqlangan axborot hajmini * kamaytirishga, ya'ni kompyuter xotirasiga bo'lgan talablarni sezilarli darajada kamaytirishga imkon beradi, garchi u olib keladi. operatsiyalar sonining ko'payishi. Spline funktsiyalari yordamida spline egri chiziqlarni qurish Yuqorida massivlar ko'rib chiqildi, ularning nuqtalari raqamlangan bo'lib, ularning abscissalari qat'iy ortib boruvchi ketma-ketlikni hosil qiladi. Masalan, rasmda tasvirlangan holat. 14, massivning turli nuqtalari bir xil abscissaga ega bo'lganda, ruxsat berilmagan. Bu holat yaqinlashtiruvchi egri chiziqlar sinfini (funktsiyalar harakati) tanlashni ham, ularni qurish usulini ham belgilab berdi. Biroq, yuqorida taklif qilingan usul, massiv nuqtalarining raqamlanishi va ularning tekislikdagi joylashuvi, qoida tariqasida, bir-biriga bog'liq bo'lmagan umumiy holatda interpolyatsiya egri chizig'ini ancha muvaffaqiyatli qurishga imkon beradi (15-rasm). Bundan tashqari, interpolyatsiya egri chizig'ini qurish masalasini qo'yganda, biz berilgan massivni tekis bo'lmagan deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni ushbu umumiy muammoni hal qilish uchun ruxsat etilgan egri chiziqlar sinfini sezilarli darajada kengaytirish kerakligi aniq. unda ham yopiq egri chiziqlar, ham o'z-o'zidan kesishish nuqtalariga ega bo'lgan egri chiziqlar va fazoviy egri chiziqlar. Bunday egri chiziqlarni parametrik tenglamalar yordamida tasvirlash qulay. qo'shimcha ravishda, funksiyalar etarli silliqlikka ega bo'lishi uchun, masalan, ular C1 [a, /0] sinfiga yoki sinfga tegishlidir Massivning barcha nuqtalaridan ketma-ket o'tadigan egri chiziqning parametrik tenglamalarini topish uchun quyidagi amallarni bajaring. 1-qadam. ixtiyoriy oraliqda)