Lagranj interpolyatsiya polinomini toping. Lagrangian interpolyatsiya formulasi. Jadvalda berilgan funksiyalarning yaqinlashishi

n - tugunlar soni.

Interpolyatsiya vazifasi nuqtalarda bir xil qiymatlarni oladigan funktsiyani topishdir.

Qadriyatlarning hech biri bir xil emas deb taxmin qilinadi. Nuqtalar interpolyatsiya tugunlari deb ataladi. Interpolatsiya tugunlari segmentida bir tekis joylashishi shart emas [ .

Funktsiya interpolant funktsiya deb ataladi.

Agar qiymat [ oraliqda qidirilsa, u holda bu vazifa odatda interpolyatsiya vazifasi deb ataladi va agar bu intervaldan tashqarida bo'lsa, bu ekstrapolyatsiya vazifasidir.

Muammoning ko'p echimlari bor, chunki berilgan nuqtalar orqali i=0, 1,..., n cheksiz ko‘p egri chiziqlar chizish mumkin, ularning har biri barcha shartlar (1.2) qanoatlantirilgan funksiya grafigi bo‘ladi.

Yaqinlashtirish maqsadiga qarab, interpolyatsiya (nuqta yaqinlashuvi) yoki yaqinlashuv qo'llaniladi. Taxminan - jadvalli funktsiyani ko'rib chiqilayotgan segmentdagi funksiyadan cheklangan og'ishi bo'lgan funktsiya bilan almashtirish.

Interpolatsiya sharti:

(1.2)

Bu erda a - noma'lum koeffitsientlar vektori.

Odatda turlar oldindan ma'lum. Interpolyatsiya muammosini hal qilish uchun koeffitsient kerak.

Interpolyatsiya masalasini yechish berilgan va ni topishni bildiradi.

DA umumiy ko'rinish tizim tizimni ifodalaydi nochiziqli tenglamalar va koʻpincha katta n uchun yechimlari yoʻq.

Interpolyatsiya masalasini yechishning birinchi usuli Lagranj usulidir.

Eng oddiy va eng ko'p ishlatiladigan funktsiya polinomdir:

(1.3)

bu yerda , , , …, polinom koeffitsienti,

m - yaqinlashuvchi ko'phadning darajasi.

Interpolatsiya jadvalda berilgan funktsiyani funktsiya bilan bir xil qiymatlarni qabul qiluvchi funktsiyaga taxminiy almashtirishdan iborat.

Barcha interpolyatsiya usullarini mahalliy va globalga bo'lish mumkin. Global interpolyatsiya holatida bitta ko'phad butun [ oraliqda topiladi. Global interpolyatsiya usullari odatda kichik sonli nuqtalar bilan aniqlangan funksiyalar uchun qo'llaniladi, chunki nuqtalar sonining ko'payishi bilan interpolyatsiya qiluvchi polinomning tartibi ortadi, bu esa hosil bo'lgan funksiyaning silliqligiga salbiy ta'sir qiladi. Jadvalning barcha tugunlarini bir vaqtning o'zida ishlatadigan polinom yaqinlashuvi (global interpolyatsiya) muhim kamchilikka ega - panjara tugunlari orasidagi bo'shliqlarda katta ekstremallarning paydo bo'lish ehtimoli. Bular. interpolyatsiya polinomi dastlabki ma'lumotlarga xos bo'lmagan tebranishlarga ega bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, polinomning darajasi oshgani sayin, yaxlitlash xatolarining tez to'planishi mavjud. Ushbu kiruvchi ta'sirlarning oldini olish uchun amalda mahalliy interpolyatsiya qo'llaniladi. . Mahalliy interpolyatsiya holatida har bir intervalda alohida polinom quriladi. Mahalliy interpolyatsiya uchun tugunlar soni katta ahamiyatga ega ega emas.

Keling, mahalliy va global interpolyatsiyaning ayrim turlarini ko'rib chiqaylik.

Mahalliy interpolyatsiya:

1. Bo‘lak-bo‘lak chiziqli interpolyatsiya

2. Splinelar orqali interpolyatsiya qilish

Global interpolyatsiya:

1. Lagranj ko‘phad

2. Nyuton ko‘phad

GLOBAL INTERPOLATSIYA

Lagranj polinomi orqali interpolyatsiya

Global interpolyatsiya bilan butun intervalda bitta polinom quriladi. Global interpolyatsiya uchun interpolyatsiya ko'phadini yozish shakllaridan biri Lagranj ko'phaddir:

n-darajali Lagranj interpolyatsiya polinomi asosiy Lagranj polinomlarining chiziqli birikmasidir:

Ya'ni, Lagranj ko'phad:

(2.3)

Polinom shartni qanoatlantiradi

Bu shart ko'phadning har biri uchun nolga teng ekanligini bildiradi, ya'ni , , … dan tashqari, bu ko'phadning ildizlaridir. Shunday qilib, ko'phadning darajasi n ga teng va da i=j sonli haddan tashqari yig'indidagi barcha hadlar yo'qoladi, ga teng.

U nuqtada 1 qiymatini va boshqa interpolyatsiya tugunlarida 0 qiymatini oladi. Shuning uchun, nuqtada, asl ko'phad qiymatni oladi

(2.4)

Ifoda (2.1) bir xil masofada joylashgan va bir xil bo'lmagan tugunlar uchun ham qo'llaniladi.

Lagrange polinomi interpolyatsiya tugunlaridagi funktsiyalarning qiymatlarini aniq o'z ichiga oladi, shuning uchun u funktsiyalar qiymatlari o'zgarganda foydali bo'ladi, lekin interpolyatsiya tugunlari o'zgarmagan. Lagranj ko'phadini qurish uchun zarur bo'lgan arifmetik amallar soni proportsionaldir va yozuvning barcha shakllari uchun eng kichik hisoblanadi. Belgilashning ushbu shaklining kamchiliklari tugunlar sonining o'zgarishi bilan butun hisob-kitobni yana amalga oshirish kerakligini o'z ichiga oladi.

2.2. Nyuton polinomi

g(x) funksiyasi ixtiyoriy qadam bilan berilsin va qiymatlar jadvalining nuqtalari ixtiyoriy tartibda raqamlansin.

Nyuton polinomi ko'p jihatdan bo'lingan farqlar tushunchasiga tayanadi.

Nol tartibli bo'lingan farqlar tugunlardagi funktsiya qiymatlariga to'g'ri keladi. Birinchi tartibli bo'lingan farqlar nol tartibli bo'lingan farqlar nuqtai nazaridan aniqlanadi:

K-tartibli bo'lingan farqlar tartibli bo'linish farqi bo'yicha aniqlanadi:

Interpolyatsiyaning aniqligini oshirish uchun yig'indiga yangi a'zolar qo'shilishi mumkin, bu esa qo'shimcha tugunlarni ulashni talab qiladi. Shu bilan birga, Nyuton formulasi uchun yangi tugunlar qanday tartibda bog'langanligi muhim emas, Lagrange ko'phad uchun esa, yangi tugunlar qo'shilganda, barcha hisoblar qayta bajarilishi kerak.

Faraz qilaylik, jadvalga yana bitta tugun qo'shish orqali ko'phadning darajasini bittaga oshirish kerak. Hisoblash uchun faqat bitta atamani qo'shish kifoya

Mahalliy INTERPOLATSIYA

3.1. Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya.

Mahalliy interpolyatsiyaning eng ko'p qo'llaniladigan va eng oddiy turlaridan biri bo'lakli chiziqli interpolyatsiya bo'lib, unda har ikki nuqta va jadval funktsiyasi chiziq segmentlari bilan bog'lanadi (ya'ni, birinchi darajali polinom chiziladi).

	(3.3)
	(3.4)

Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiya eng oddiy va shuning uchun ko'pincha interpolyatsiya tugunlari orasidagi qiymatlarni hisoblash uchun ishlatiladi. Keyingi ilmiy va muhandislik hisoblarida qo'llaniladigan interpolyatsiya munosabatlarini qurish uchun odatda murakkabroq interpolyatsiya usullari qo'llaniladi.

3.2. Spline interpolyatsiyasi

Ba'zan nafaqat interpolyatsiya funktsiyasining, balki uning hosilalarining kerakli sonining ham uzluksizligini ta'minlash talab qilinadi, buning uchun ular spline interpolyatsiyasiga murojaat qilishadi.

Spline - bu funksiya bo'lib, uning aniqlanish sohasi chekli sonli segmentlarga bo'linadi, ularning har birida spline algebraik polinomga to'g'ri keladi. Ishlatilgan polinomlarning maksimal darajasi spline darajasi deb ataladi.

Spline interpolyatsiyasining an'anaviy interpolyatsiya usullariga nisbatan afzalliklari hisoblash jarayonining yaqinlashishi va barqarorligidadir. Amalda kubik splinelar ko'pincha qo'llaniladi - doimiy, hech bo'lmaganda birinchi hosilaga ega uchinchi darajali splinelar. Bunday holda, qiymat nuqta (tugun)dagi splinening qiyaligi deb ataladi.

Segmentni N ta teng segmentga [ , ] bo'laylik, bunda , i=0,1,…,N-1.

Agar , , tugunlari kubik spline oladigan qiymatlarga o'rnatilgan bo'lsa, u holda qisman segmentda [ , ] shaklni oladi:

(3.3)

Darhaqiqat, buni hisoblash va nuqtalarda tekshirish oson.

Agar uchinchi darajali ko'phad nuqtalarda qiymatlarni qabul qilsa va bu nuqtalarda tegishli ravishda hosilalari bo'lsa, u (3.3) ko'phadga to'g'ri kelishini isbotlash mumkin.

Shunday qilib, segmentga kub splaynni o'rnatish uchun tugunga N+1 da i=0,1…,N qiymatlarini o'rnatish kerak.

INTERPOLATSIYA XATOSI

Interpolyatsiya qilishda funktsiyalar har doim usulning o'zi va yaxlitlash xatolaridan iborat xatolikni oladi.

Funksiyani interpolyatsiya polinomi bilan yaqinlashtirishda xatolik n-daraja x nuqtada farq bilan aniqlanadi.

Bu yerda funktsiyaning qaysidir nuqtadagi tartibining hosilasi (n+1) bo‘lib, funksiya quyidagicha aniqlanadi.

keyin esa interpolyatsiya xatosi uchun taxmin qilinadi.

(4.4)

X nuqtadagi xatoning o'ziga xos qiymati, shubhasiz, ushbu nuqtadagi funktsiya qiymatiga bog'liq. Bog'liqlikning sifat xususiyati 2-rasmda ko'rsatilgan.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, interpolyatsiya xatosi qanchalik katta bo'lsa, x nuqta segmentning uchlariga qanchalik yaqin bo'lsa. Interpolatsiya segmentidan tashqarida (ya'ni.

ekstrapolyatsiya qilinganida) tez ortadi, shuning uchun xato sezilarli darajada oshadi.

2-rasm

Xatoning tavsiflangan xatti-harakati tufayli ba'zi hollarda global interpolyatsiya butunlay qoniqarsiz natija berishi mumkin.

5. FUNKSIYALARNI LAGRANJ VA NYYTON POLINOMIYALLARI BO’YICHA INTERPOLATSIYA QILISH NASABI.

Muayyan nuqtalarda kerakli qiymatlarni oladigan polinomni topish uchun Mathcad paketidan foydalanish mumkin. Misol tariqasida berilgan dastlabki ma’lumotlarni qanoatlantiradigan Lagranj ko‘phadini topish masalasini ko‘rib chiqing.

Mathcad paketida Lagranj ko‘phadini tuzamiz:

Dastlabki ma'lumotlar:

Hisoblash amaliyotida ko'pincha cheklangan qiymatlar to'plami uchun ularning qiymatlari jadvallarida berilgan funktsiyalar bilan shug'ullanish kerak. X : .

Muammoni hal qilish jarayonida qiymatlardan foydalanish kerak
argumentning oraliq qiymatlari uchun. Bunda F(x) funksiya quriladi, u berilgan nuqtalarda hisob-kitoblar uchun yetarlicha sodda x 0 , x 1 ,...,x n , interpolyatsiya tugunlari deb ataladi, qiymatlarni oladi va segmentning boshqa nuqtalarida (x 0 ,x n) aniqlash sohasiga tegishli
, taxminan funksiyani ifodalaydi
ma'lum darajada aniqlik bilan.

Muammoni hal qilishda bu holda, funktsiya o'rniga
F(x) funksiyasi bilan ishlaydi. Bunday F(x) funksiyani qurish vazifasi interpolyatsiya masalasi deyiladi. Ko'pincha interpolyatsiya qiluvchi F(x) funksiya algebraik ko'phad shaklida topiladi.

1. Interpolyatsiya polinomi

Har bir funktsiya uchun
belgilangan [ a,b] va har qanday tugunlar toʻplami x 0 , x 1 ,...,x n (x i
[a,b], x i x j i uchun j) ko‘pi bilan n darajali algebraik ko‘phadlar orasida yagona interpolyatsion ko‘phad F(x) mavjud bo‘lib, uni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

, (3.1)

qayerda
n-darajali ko‘phad bo‘lib, quyidagi xossaga ega:

Interpolyatsiya polinomi uchun polinom
kabi ko'rinadi:

Ushbu ko'phad (3.1) interpolyatsiya masalasini hal qiladi va Lagrange interpolyatsiya polinomi deb ataladi.

Misol sifatida, shaklning funktsiyasini ko'rib chiqing
intervalda
jadval shaklida berilgan.

Funksiyaning x-2,5 nuqtadagi qiymatini aniqlash kerak. Buning uchun biz Lagrange polinomidan foydalanamiz. Formulalar (3.1 va 3.3) asosida biz ushbu ko'phadni aniq yozamiz:

(3.4).

Keyin (3.4) formulaga jadvalimizdagi dastlabki qiymatlarni qo'yib, biz olamiz

Olingan natija nazariyaga mos keladi, ya'ni. .

1. Lagrange interpolyatsiya formulasi

Lagrange interpolyatsiya polinomi boshqa ko'rinishda yozilishi mumkin:

(3.5)

Ko'phadni (3.5) ko'rinishda yozish dasturlash uchun qulayroqdir.

Interpolyatsiya masalasini yechishda qiymat n interpolyatsiya qiluvchi ko'phadning tartibi deyiladi. Bunday holda, (3.1) va (3.5) formulalardan ko'rinib turibdiki, interpolyatsiya tugunlari soni doimo teng bo'ladi. n+1 va ma'nosi x, buning uchun qiymat aniqlanadi
, interpolyatsiya tugunlari domenida yotishi kerak bular.

. (3.6)

Ba'zi amaliy holatlarda, interpolatsiya tugunlarining umumiy ma'lum soni m interpolyatsiya qiluvchi ko'phadning tartibidan kattaroq bo'lishi mumkin n.

Bunday holda, (3.5) formula bo'yicha interpolyatsiya jarayonini amalga oshirishdan oldin, (3.6) shartlar uchun tegishli bo'lgan interpolyatsiya tugunlarini aniqlash kerak. Shuni esda tutish kerakki, qiymatni topishda eng kichik xatoga erishiladi x interpolyatsiya mintaqasining markazida. Bunga ishonch hosil qilish uchun quyidagi tartib tavsiya etiladi:

Interpolatsiyaning asosiy maqsadi tugun bo'lmagan (oraliq) argument qiymatlari uchun jadvallangan funktsiyaning qiymatlarini hisoblashdir, shuning uchun interpolyatsiya ko'pincha "satrlar orasidagi jadvallarni o'qish san'ati" deb ataladi.

Eksperimental ma'lumotlarning namunasi - ma'lum vaqt davomida (yoki boshqa o'zgaruvchiga nisbatan) o'lchangan signalni o'zgartirish jarayonini tavsiflovchi ma'lumotlar majmuasi. O'lchangan signalni nazariy tahlil qilish uchun eksperimental ma'lumotlarning diskret to'plamini uzluksiz funktsiya - interpolyatsiya polinomi bilan bog'laydigan yaqinlashuvchi funktsiyani topish kerak. n -darajalar. Berilgan n-darajali interpolyatsiya ko‘phadini ifodalashning usullaridan biri ko‘phadni Lagranj ko‘rinishida ishlatishdir.

Interpolyatsiya polinomi shaklidaLagrangeko'phadni yozish imkonini beruvchi matematik funktsiyadir n - barcha berilgan nuqtalarni empirik yoki usul bilan olingan qiymatlar to'plamidan bog'laydigan darajalar tasodifiy namuna o'lchovlarning doimiy bo'lmagan vaqt bosqichi bilan vaqtning turli nuqtalarida.

1. Lagranjning interpolyatsiya formulasi

Umuman olganda, interpolyatsiya polinomiLagrange shaklida quyidagicha yoziladi:

qayerda ˗ polinom darajasi;

˗ interpolyatsiya qiluvchi funksiya qiymatining qiymati nuqtada;

˗ formula bilan aniqlanadigan asosiy polinomlar (Lagrange ko'paytmasi):

Masalan, interpolyatsiya polinomiberilgan uchta nuqtadan o'tuvchi Lagrange shaklida, quyidagi shaklda yoziladi:

Lagrange polinomi interpolyatsiya tugunlaridagi funktsiya qiymatlarini aniq o'z ichiga oladi, shuning uchun funktsiya qiymatlari o'zgarganda foydali bo'ladi, lekin interpolatsiya tugunlari o'zgarishsiz qoladi. Lagranj ko'phadini qurish uchun zarur bo'lgan arifmetik amallar soni proportsionaldirva yozuvning barcha shakllari uchun eng kichigi hisoblanadi. Ushbu yozuv shaklining kamchiliklari n + 1 darajali ko'phadni qurishda oldingi n darajali ko'phad haqidagi ma'lumotlarning butunlay yo'qolishini, ya'ni. tugunlar sonining o'zgarishi bilan butun hisob-kitobni yangidan bajarish kerak.

2. Lagranj ko'rinishidagi interpolyatsiya ko'phadining xatosi

Funktsiyani ko'rib chiqing f(x ), ko'rib chiqilayotgan segmentda uzluksiz va differensial bo'ladi. Interpolyatsiya polinomi L (x) Lagrange shaklida nuqtalarda oladifunksiya sozlama nuqtalari. Boshqa nuqtalarda interpolyatsiya polinomi L(x) funktsiya qiymatidan farq qiladi f(x) miqdori bo'yicha qoldiq a'zo , bu Lagrange interpolyatsiya formulasining mutlaq xatosini aniqlaydi:

LEKIN Lagrange interpolyatsiya formulasining mutlaq xatosi quyidagicha aniqlanadi:

qaerda n ˗ polinom darajasi

O'zgaruvchan modul qiymatining yuqori chegarasini ifodalaydi (nf(x) funksiyaning berilgan oraliqdagi +1)chi hosilasi

Lagranj usuli bo'yicha interpolyatsiya xatosi funksiyaning xususiyatlariga bog'liq f(x) va shuningdek interpolyatsiya tugunlarining joylashuvi va nuqtasidan x. Agar xato kerakli aniqlikka erishmasa, unda siz segmentni qismlarga bo'lishingiz va har bir qismni alohida interpolyatsiya qilishingiz kerak - parcha-parcha interpolyatsiya.

Interpolyatsiya tugunlarini tanlash

Tugunlarni to'g'ri tanlash yordamida qiymatni minimallashtirish mumkinxatolarni baholashda, shu bilan interpolyatsiya aniqligini oshiradi. Bu muammoni Chebyshev ko'phadidan foydalanib hal qilish mumkin:

Tugunlar sifatida siz ushbu polinomning ildizlarini, ya'ni nuqtalarni olishingiz kerak:

3. Ko‘phadni Lagranj ko‘rinishida hisoblash texnikasi

Lagrange ko'rinishida ko'phadni hisoblash algoritmi koeffitsientlarni aniqlash va polinom qiymatlarini hisoblash vazifalarini ajratishga imkon beradi. turli qiymatlar dalil:

1. dan namuna n -nuqtalar, bu funksiya qiymatlari va funktsiya argumenti qiymatlarini o'z ichiga oladi.

2. n darajali ko‘phad Lagranj ko‘rinishida quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:

Ko‘phadni shaklda hisoblash algoritmi Lagrange 1-rasmda ko'rsatilgan.

Ko'phadni ko'rinishda hisoblash texnikasi Lagrange

Funksiya qaysidir tugunlar ketma-ketligidagi segmentda uning qiymatlari bilan berilgan bo'lsin, bu erda. Algebraik interpolyatsiya muammosi interpolyatsiya shartini qanoatlantiradigan darajali polinomni qurishdan iborat:.

Ma'lumki, dan yuqori bo'lmagan noyob darajali polinom mavjud bo'lib, u berilgan qiymatlarni dastlabki nuqtalarda oladi. Polinom koeffitsientlarini tenglamalar tizimidan aniqlash mumkin:

Ushbu tizimning determinanti Vandermonde determinantidir va shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega.

Misol. Funksiyaga mos keladigan interpolyatsiya ko‘phadini tuzing nuqtalarda.

Yechim. Mayli , shuning uchun bizda bor

Shuning uchun da.

Lagrange polinomi

: darajali to'plamlarning chiziqli birikmasi ko'rinishidagi ko'phadni qidiramiz.

Bunday holda, biz har bir ko'phadning barcha interpolyatsiya tugunlarida, bittadan tashqari, 1 ga teng bo'lishini talab qilamiz. Bu shartlar shakldagi ko'phad tomonidan bajarilishini tekshirish oson.

.

Haqiqatan ham, . Ifodaning akkumulyatori 0 ga teng. Analogiya bo'yicha biz quyidagilarga erishamiz:

,

Ushbu formulalarni asl polinomga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu formula Lagranj interpolyatsiya polinomi deb ataladi.

Misol. Nuqtalardagi funksiya bilan mos keladigan Lagranj interpolyatsiya ko‘phadini tuzing

.

Yechim. Keling, stol tuzaylik

Ushbu qiymatlarni Lagrange formulasiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Agar funktsiya 1-tartibga qadar uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsa, u holda Lagranj ko'rinishidagi interpolyatsiya ko'phadining qolgan a'zosi ko'rinishga ega bo'ladi.

bu erda interpolyatsiya tugunlari va nuqtani o'z ichiga olgan minimal segmentning ichki nuqtasi.

Chekli farqli Nyuton ko'phad

Teng masofadagi interpolyatsiya tugunlari holatini ko'rib chiqing, ya'ni - qadam deb ataladi.

Keling, chekli farqlar tushunchasini kiritaylik. Tugunlardagi funksiya qiymatlari ma'lum bo'lsin. Funktsiya qiymatlari orasidagi farqni tuzing:

Bu farqlar birinchi darajali farqlar deb ataladi.

Biz ikkinchi darajali farqlarni qilishimiz mumkin:

K-tartibdagi farqlar xuddi shunday tuzilgan:

Biz chekli farqlarni bevosita funktsiya qiymatida ifodalaymiz:

Shunday qilib, har qanday k uchun biz yozishimiz mumkin:

Tugundagi farq qiymatlari uchun ushbu formulani yozamiz:

Cheklangan farqlardan foydalanib, aniqlash mumkin

Nyutonning interpolyatsiya ko'phadini qurishga o'tamiz. Ushbu ko'phadni shaklda qidiramiz

Polinom grafigi berilgan tugunlardan o'tishi kerak, ya'ni. Polinomning koeffitsientlarini topish uchun quyidagi shartlardan foydalanamiz:

Bu yerdan koeffitsientlarni topamiz:

Shunday qilib, har qanday --chi koeffitsient uchun formula shaklni oladi

.

Ushbu formulalarni Nyuton polinom ifodasiga almashtirib, uning quyidagi shaklini olamiz:

Olingan formulani boshqa shaklda yozish mumkin. Buning uchun biz o'zgaruvchini kiritamiz.

Ushbu holatda

Ushbu munosabatlarni hisobga olgan holda Nyuton ko'phad formulasini quyidagicha yozish mumkin

Olingan ifoda argumentdagi o'zgarishning butun segmenti bo'yicha berilgan funktsiyaga yaqinlashishi mumkin. Biroq, (hisob-kitoblarning aniqligini oshirish va hosil bo'lgan formulada atamalar sonini kamaytirish nuqtai nazaridan) o'zimizni faqat bitta holat bilan cheklash, ya'ni bu formuladan hamma uchun foydalanish maqsadga muvofiqdir. Boshqa hollarda, agar qabul qilish o'rniga. Bu holda interpolyatsiya ko'phadini quyidagicha yozish mumkin

Olingan formula to'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiya uchun Nyutonning birinchi interpolyatsiya polinomi deb ataladi. Ushbu interpolyatsiya formulasi odatda ko'rib chiqilayotgan segmentning chap yarmi nuqtalarida funktsiya qiymatlarini hisoblash uchun ishlatiladi. Bu quyidagilar bilan izohlanadi: farqlar funktsiya qiymatlari orqali hisoblanadi, bundan tashqari. Shu sababli, x ning katta qiymatlari uchun biz yuqoriroq buyurtmalarni hisoblay olmaymiz.

Ko'rib chiqilayotgan segmentning o'ng yarmi uchun o'ngdan chapga farqlarni hisoblash yaxshiroqdir. Bu holda, ya'ni Nyutonning interpolyatsiya ko'phadini quyidagi ko'rinishda olish mumkin:

Olingan formula ikkinchi orqaga interpolyatsiya polinomi deb ataladi.

Misol. Nyuton interpolyatsiya polinomidan foydalanib, hisoblang, bu erda funktsiya jadval bilan berilgan

Yechim. Cheklangan farqlar jadvalini tuzing.

Hisoblash uchun biz Nyutonning interpolyatsiya ko'phadini keyin va

Misol. Jadval berilgan. Toping.

Hisoblashda biz qo'yamiz

.

Hisoblashda biz qo'yamiz

.

Keling, Nyuton formulalarining oldinga va orqaga xatolarini baholaylik:

Taxminan farqlash formulalari Nyutonning birinchi interpolyatsiya formulasiga asoslanadi. Nyutonning interpolyatsiya polinomi ko'rinishga ega

Binamlarni ko'paytirsak, biz olamiz

chunki , keyin

Xuddi shunday, har qanday tartibli funktsiyalarning hosilalari ham hisoblanishi mumkin.

Ba'zi hollarda, asosiy jadval nuqtalarida funktsiyalarning hosilalarini topish talab qilinadi. Jadval qiymatini boshlang'ich qiymat deb hisoblash mumkin bo'lganligi sababli, bizda shunday bo'ladi

Birinchi tartibli Nyuton polinomining hosilasi uchun xatoni formula bilan hisoblash mumkin ,

Nyuton ko‘phadidagi chekli farqlar soni bu yerda.

Misol. Jadvalda berilgan funksiyani toping.

Yechim.

Xatoni hisoblab, biz quyidagilarni olamiz:

.

Haqiqatan ham, .

Shunday qilib, natijalar to'rtinchi raqamga mos keladi.

Ko'rinishda interpolyatsiya ko'phadini tuzamiz

eng ko'p darajali polinomlar qayerda P, quyidagi mulkka ega:

Darhaqiqat, bu holda har bir tugundagi polinom (4.9). xj, j=0,1,…n, funksiyaning mos keladigan qiymatiga teng y j, ya'ni. interpolyatsiya hisoblanadi.

Keling, shunday ko'phadlarni tuzamiz. Chunki x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n uchun quyidagi koʻrsatkichlarga ajratish mumkin.

bu yerda c doimiy. Shartdan biz buni olamiz

Ko'rinishda yozilgan interpolyatsiya ko'phad (4.1).

Lagranj interpolyatsiya polinomi deyiladi.

Funktsiyaning nuqtadagi taxminiy qiymati x *, Lagrange polinomi yordamida hisoblangan, qoldiq xatoga ega bo'ladi (4.8). Funktsiya qiymatlari bo'lsa y i interpolyatsiya tugunlarida x i taxminan bir xil mutlaq xato bilan berilgan, keyin o'rniga aniq qiymat taxminiy qiymat hisoblab chiqiladi va

bu yerda Lagranj interpolyatsiya polinomining hisoblash absolyut xatosi. Nihoyat, biz taxminiy qiymatning umumiy xatosining quyidagi taxminiga egamiz.

Xususan, birinchi va ikkinchi darajali Lagranj ko'phadlari shaklga ega bo'ladi

va ularning x * nuqtasidagi umumiy xatolari

Xuddi shu interpolyatsiya ko'phadini (4.1) yozishning boshqa shakllari ham mavjud, masalan, Nyutonning bo'lingan farqli interpolyatsiya formulasi va uning variantlari quyida ko'rib chiqiladi. Aniq hisob-kitoblar bilan, qiymatlar Pn(x *), bir xil tugunlardan tuzilgan turli interpolatsiya formulalari bilan olingan, mos keladi. Hisoblash xatosining mavjudligi ushbu formulalar tomonidan olingan qiymatlarning farqiga olib keladi. Ko'phadni Lagrange ko'rinishida yozish, qoida tariqasida, kichikroq hisoblash xatosiga olib keladi.

Interpolyatsiya paytida yuzaga keladigan xatolarni baholash uchun formulalardan foydalanish muammoning bayoniga bog'liq. Masalan, agar tugunlar soni ma'lum bo'lsa va funktsiya etarlicha katta miqdordagi haqiqiy belgilar bilan berilgan bo'lsa, biz hisoblash vazifasini qo'yishimiz mumkin. f(x*) mumkin bo'lgan eng yuqori aniqlik bilan. Agar, aksincha, to'g'ri belgilar soni kichik bo'lsa va tugunlar soni ko'p bo'lsa, biz hisoblash muammosini qo'yishimiz mumkin. f(x*) funktsiyaning jadval qiymati imkon beradigan aniqlik bilan va bu muammoni hal qilish uchun jadvalni ham siyraklashtirish, ham siqish talab qilinishi mumkin.

§4.3. Ajratilgan farqlar va ularning xususiyatlari.

Bo'lingan farq tushunchasi hosila haqidagi umumlashtirilgan tushunchadir. x 0 , x 1 ,…x nuqtalarida funksiyalarning qiymatlari n bo'lsin f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Birinchi darajali bo'lingan farqlar tenglik bilan belgilanadi

ikkinchi tartibli bo'lingan farqlar - tenglik,

va bo'lingan farqlar k tartib quyidagi rekursiv formula bilan aniqlanadi:

Bo'lingan farqlar odatda quyidagi jadvalga joylashtiriladi:

x i	f(x i)	Bo'lingan farqlar
1-buyurtma	II tartib	III tartib	IV buyurtma
x 0	y 0
		f
x 1	y 1		f
		f		f
x 2	y2		f		f
		f		f
x 3	y 3		f
		f
x 4	y 4

Bo'lingan farqlarning quyidagi xususiyatlarini ko'rib chiqing.

1. Barcha tartiblarning bo'lingan farqlari qiymatlarning chiziqli birikmasidir f(x i), ya'ni. quyidagi formula amal qiladi:

Keling, bu formulaning to'g'riligini farqlar tartibi bo'yicha induksiya yo'li bilan isbotlaylik. Birinchi tartibdagi farqlar uchun

Formula (4.12) amal qiladi. Keling, barcha tartib farqlari uchun amal qiladi deb faraz qilaylik.

Keyin, (4.11) va (4.12) ga binoan, tartib farqlari uchun k=n+1 bizda ... bor

O'z ichiga olgan shartlar f(x0) va f(x n +1), kerakli shaklga ega bo'ling. O'z ichiga olgan shartlarni ko'rib chiqing f(x i), i=1, 2, …, n. Ikkita shunday atama mavjud - birinchi va ikkinchi summalardan:

bular. (4.12) formula tartib farqi uchun amal qiladi k=n+1, isbot to'liq.

2. Bo‘lingan farq uning x 0 , x 1 ,…x n argumentlarining simmetrik funksiyasi (ya’ni hech qanday almashtirish bilan o‘zgarmaydi):

Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri tenglikdan kelib chiqadi (4.12).

3. Bo`lingan ayirmaning oddiy bog`lanishi f va hosila f(n)(x) quyidagi teoremani beradi.

x 0 , x 1 ,…x n tugunlari segmentga tegishli bo'lsin va funksiya f(x) tartibning uzluksiz hosilasiga ega P. Keyin shunday nuqta bor xO, nima

Keling, avvalo munosabatning to'g'riligini isbotlaylik

(4.12) ga binoan kvadrat qavs ichidagi ifoda

f.

Qolgan muddat uchun (4.14) ifoda bilan (4.7) taqqoslashdan R n (x)=f(x)-L n (x)(4.13) ni olamiz, teorema isbotlangan.

Bu teoremadan oddiy xulosa kelib chiqadi. Polinom uchun P th daraja

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

buyurtma hosilasi P borligi aniq

va munosabat (4.13) bo'lingan farqning qiymatini beradi

Demak, har qanday darajali polinom uchun P bo'lingan tartib farqlari P doimiy qiymatga teng - ko'phadning eng yuqori darajasidagi koeffitsient. Yuqori tartibli ajratilgan farqlar
(Ko'proq P) nolga teng ekanligi aniq. Biroq, bu xulosa faqat bo'lingan farqlar uchun hisoblash xatosi bo'lmasa, haqiqiy hisoblanadi.

§4.4. Nyutonning boʻlingan farqli interpolyatsiya koʻpnomasi

Lagranj interpolyatsiya polinomini quyidagi shaklda yozamiz:

qayerda L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, a L k (x) darajaning Lagranj interpolyatsiya polinomi k, tugunlar tomonidan qurilgan x 0 , x 1 , …, x k. Keyin darajali polinom mavjud k, ularning ildizlari nuqtalardir x 0 , x 1 , …, x k -1. Shuning uchun uni faktorizatsiya qilish mumkin

bu yerda Ak doimiydir.

(4.14) ga muvofiq biz olamiz

(4.16) va (4.17) ni taqqoslab, (4.15) ham shaklni olishiga erishamiz.

Bu Nyutonning bo'lingan farqli interpolyatsiya polinomi deb ataladi.

Interpolyatsiya polinomini qayd etishning bu turi ko'proq illyustrativ (bitta tugunning qo'shilishi bir hadning ko'rinishiga to'g'ri keladi) va matematik tahlilning asosiy konstruktsiyalari bilan amalga oshirilayotgan konstruktsiyalarning o'xshashligini yaxshiroq kuzatish imkonini beradi.

Nyuton interpolyatsiya polinomining qoldiq xatosi (4.8) formula bilan ifodalanadi, lekin (4.13) ni hisobga olgan holda uni boshqa shaklda ham yozish mumkin.

bular. qoldiq xatoni polinomdagi birinchi tashlangan hadning moduli bilan baholash mumkin N n (x *).

Hisoblash xatosi Nn(x*) bo'lingan farqlarning xatolari bilan aniqlanadi. Interpolyatsiya qilingan qiymatga eng yaqin interpolyatsiya tugunlari x *, interpolyatsiya polinomiga ko'proq ta'sir qiladi, uzoqroq yotadi - kamroq. Shuning uchun, agar iloji bo'lsa, tavsiya etiladi x0 va x 1 ga kelish x * interpolyatsiya tugunlari va birinchi navbatda ushbu tugunlar ustida chiziqli interpolyatsiyani amalga oshiring. Keyin asta-sekin quyidagi tugunlarni torting, shunda ular imkon qadar nosimmetrik bo'ladi x *, keyingi modul muddati unga kiritilgan bo'lingan farqning mutlaq xatosidan kam bo'lgunga qadar.