Funktsiyaning hosilasini topish jarayoni deyiladi farqlash. Hosilni matematik tahlil jarayonida bir qancha masalalarda topish kerak. Masalan, funksiya grafigining ekstremum nuqtalari va burilish nuqtalarini topishda.

Qanday topish mumkin?

Funktsiyaning hosilasini topish uchun elementar funksiyalarning hosilalari jadvalini bilish va asosiy differentsiallash qoidalarini qo'llash kerak:

1. Konstantani hosila belgisidan chiqarish: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funktsiyalar yig'indisi/farqining hosilasi: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Ikki funktsiyaning hosilasi: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Kasr hosilasi: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Murakkab funksiya hosilasi: $$ (f(g(x))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Yechim misollari

1-misol

$ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ funksiyaning hosilasini toping.

Qaror

Funksiyalarning yig‘indisi/farqining hosilasi hosilalarning yig‘indisi/farqiga teng: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Quvvat funksiyasining hosilaviy qoidasi $ (x^p)" = px^(p-1) $ yordamida bizda: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Shuningdek, doimiyning hosilasi nolga teng ekanligi hisobga olindi. Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. Biz batafsil yechimni taqdim etamiz. Siz hisob-kitoblarning borishi bilan tanishishingiz va ma'lumot to'plashingiz mumkin bo'ladi. Bu sizga o'qituvchidan o'z vaqtida kredit olishingizga yordam beradi!

Javob

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

hosila nima?
Funksiya hosilasining ta’rifi va ma’nosi

Bir o'zgaruvchining funktsiya hosilasi va uning qo'llanilishi bo'yicha mening mualliflik kursimdagi ushbu maqolaning kutilmagan joylashuvi ko'pchilikni hayratda qoldiradi. Axir, maktabda bo'lgani kabi: standart darslik, birinchi navbatda, hosila ta'rifini, uning geometrik, mexanik ma'nosini beradi. Keyinchalik, talabalar ta'rifi bo'yicha funktsiyalarning hosilalarini topadilar va, aslida, shundan keyingina differentsiallash texnikasi yordamida takomillashtiriladi. hosilaviy jadvallar.

Lekin menimcha, quyidagi yondashuv ko'proq pragmatik: birinchi navbatda, YAXSHI TUSHUNISH maqsadga muvofiqdir. funktsiya chegarasi, va ayniqsa cheksiz kichiklar. Gap shundaki hosila ta'rifi chegara tushunchasiga asoslanadi, unda yomon ko'rib chiqiladi maktab kursi. Shuning uchun granit bilimlarining yosh iste'molchilarining katta qismi hosilaning mohiyatiga yomon kirib boradi. Shunday qilib, agar siz differensial hisobda yomon yo'naltirilgan bo'lsangiz yoki aqlli miyangiz bo'lsa uzoq yillar ushbu yukni muvaffaqiyatli utilizatsiya qilishdan boshlang funksiya chegaralari. Shu bilan birga, o'z qarorini eslab qoling.

Xuddi shu amaliy ma'no birinchi navbatda foydali ekanligini ko'rsatadi hosilalarni topishni o'rganing, shu jumladan murakkab funksiyalarning hosilalari. Nazariya - bu nazariya, lekin ular aytganidek, siz doimo farqlashni xohlaysiz. Shu munosabat bilan, sanab o'tilgan asosiy darslarni ishlab chiqish va ehtimol bo'lish yaxshiroqdir farqlash ustasi o'z harakatlarining mohiyatini anglamasdan ham.

Maqolani o'qib bo'lgach, ushbu sahifadagi materiallarni boshlashni maslahat beraman. Loyima bilan eng oddiy muammolar, bu erda, xususan, funksiya grafigiga tegish masalasi ko'rib chiqiladi. Ammo uni kechiktirish mumkin. Gap shundaki, lotinning ko'plab ilovalari uni tushunishni talab qilmaydi va nazariy dars juda kech paydo bo'lganligi ajablanarli emas - men tushuntirishim kerak bo'lganda. ortish/kamayish oraliqlari va ekstremumlarni topish funktsiyalari. Bundan tashqari, u uzoq vaqt davomida bu mavzuda edi " Funktsiyalar va grafiklar”, oldinroq qo'yishga qaror qilgunimcha.

Shuning uchun, aziz choynaklar, och hayvonlar kabi lotinning mohiyatini o'zlashtirishga shoshilmang, chunki to'yinganlik noxush va to'liq bo'lmaydi.

Funksiyaning ortishi, kamayishi, maksimal, minimumi haqida tushuncha

Ko'pchilik o‘quv qo‘llanmalari ba'zi amaliy masalalar yordamida hosila tushunchasiga olib keling va men ham qiziqarli misol keltirdim. Tasavvur qiling-a, biz turli yo'llar bilan borish mumkin bo'lgan shaharga sayohat qilishimiz kerak. Biz darhol egri o'rash yo'llarini tashlaymiz va biz faqat to'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz. Biroq, to'g'ri chiziqli yo'nalishlar ham farq qiladi: siz shaharga tekis avtoban bo'ylab borishingiz mumkin. Yoki tepalikli magistralda - yuqoriga va pastga, yuqoriga va pastga. Boshqa yo'l faqat tepaga, boshqasi esa doimo pastga tushadi. Hayajon izlovchilar tik qoyali va tik cho‘qqilari bo‘lgan daradan o‘tish yo‘lini tanlaydilar.

Ammo sizning xohishingiz qanday bo'lishidan qat'iy nazar, hududni bilish yoki hech bo'lmaganda uning joylashgan joyini aniqlash tavsiya etiladi. topografik xarita. Agar bunday ma'lumot bo'lmasa-chi? Axir, siz, masalan, tekis yo'lni tanlashingiz mumkin, ammo natijada kulgili Finlar bilan chang'i yonbag'iriga qoqilib ketishingiz mumkin. Navigator va hatto sun'iy yo'ldosh tasviri ishonchli ma'lumotlarni berishi haqiqat emas. Shuning uchun, matematika yordamida yo'lning relyefi rasmiylashtirilsa yaxshi bo'lardi.

Ba'zi yo'llarni ko'rib chiqing (yon ko'rinish):

Har holda, men sizga oddiy bir haqiqatni eslataman: sayohat sodir bo'ladi chapdan o'ngga. Oddiylik uchun biz funktsiya deb faraz qilamiz davomiy ko'rib chiqilayotgan hududda.

Ushbu jadvalning xususiyatlari qanday?

Intervallarda funktsiyasi ortadi, ya'ni uning har bir keyingi qiymati Ko'proq oldingi. Taxminan aytganda, jadval ketadi yuqoriga(Biz tepalikka chiqamiz). Va intervalda funktsiya kamaymoqda- har bir keyingi qiymat Ozroq oldingi va bizning jadvalimiz davom etadi yuqoridan pastga(qiyalikdan pastga tushish).

Biz ham e'tibor beramiz maxsus nuqtalar. Biz erishgan nuqtada maksimal, ya'ni mavjud qiymat eng katta (eng yuqori) bo'ladigan yo'lning bunday qismi. Xuddi shu nuqtada, eng kam, va mavjud qiymati eng kichik (eng past) bo'lgan uning qo'shnisi shunday.

Darsda yanada qat'iy terminologiya va ta'riflar ko'rib chiqiladi. funktsiyaning ekstremal qismi haqida, lekin hozircha yana bir muhim xususiyatni o'rganamiz: intervallar bo'yicha funktsiya ortib bormoqda, lekin u ortib bormoqda bilan turli tezlik . Va sizning e'tiboringizni tortadigan birinchi narsa, diagramma oraliqda yuqoriga ko'tarilishidir ancha salqin intervalga qaraganda. Matematik asboblar yordamida yo'lning tikligini o'lchash mumkinmi?

Funktsiyani o'zgartirish tezligi

G'oya shunday: bir oz qiymat oling ("delta x" ni o'qing), biz uni chaqiramiz argument ortishi, va keling, yo'limizning turli nuqtalarida "sinab ko'rishni" boshlaylik:

1) Eng chap nuqtani ko'rib chiqaylik: masofani chetlab o'tib, biz nishabni balandlikka ko'taramiz (yashil chiziq). Qiymat deyiladi funktsiyaning o'sishi, va bu holda bu o'sish ijobiy bo'ladi (eksa bo'ylab qiymatlar farqi noldan katta). Keling, yo'limizning tikligining o'lchovi bo'ladigan nisbatni tuzamiz. Shubhasiz, bu juda aniq raqam va ikkala o'sish ham ijobiy bo'lgani uchun .

Diqqat! Belgilanishi BIR ramz, ya'ni siz "x" dan "delta" ni "yirtib tashlay olmaysiz" va bu harflarni alohida ko'rib chiqa olmaysiz. Albatta, izoh funksiyaning oshirish belgisiga ham tegishli.

Keling, hosil bo'lgan kasrning tabiatini yanada mazmunli o'rganamiz. Aytaylik, dastlab biz 20 metr balandlikdamiz (chap qora nuqtada). Metrlar masofasini (chap qizil chiziq) bosib o'tib, biz 60 metr balandlikda bo'lamiz. Keyin funktsiyaning o'sishi bo'ladi metr (yashil chiziq) va: . Shunday qilib, har bir metrda yo'lning ushbu qismi balandligi ortadi o'rtacha 4 metrga... toqqa chiqish jihozlaringizni unutdingizmi? =) Boshqacha aytganda, tuzilgan nisbat funktsiyaning O'RTA O'ZGARISH TEZKI (bu holda o'sish)ni xarakterlaydi.

Eslatma : raqamli qiymatlar ko'rib chiqilayotgan misol chizmaning nisbatlariga faqat taxminan mos keladi.

2) Endi eng o'ngdagi qora nuqtadan bir xil masofaga boramiz. Bu erda ko'tarilish yumshoqroq, shuning uchun o'sish (qizil chiziq) nisbatan kichik va oldingi holatga nisbatan nisbat juda oddiy bo'ladi. Nisbatan aytganda, metr va funktsiyaning o'sish tezligi hisoblanadi. Ya'ni, bu erda yo'lning har bir metri uchun bor o'rtacha yarim metr yuqoriga.

3) Tog' yonbag'rida kichik sarguzasht. Keling, y o'qida joylashgan yuqori qora nuqtani ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik, bu 50 metrlik belgi. Yana biz masofani bosib o'tamiz, buning natijasida biz o'zimizni pastroq - 30 metr darajasida topamiz. Harakat qilinganidan beri yuqoridan pastga(eksaning "teskari" yo'nalishida), keyin final funktsiyaning o'sishi (balandligi) manfiy bo'ladi: metr (chizmadagi jigarrang chiziq). Va bu holatda biz gaplashamiz parchalanish darajasi Xususiyatlari: , ya'ni ushbu uchastkaning yo'lining har bir metri uchun balandlik kamayadi o'rtacha 2 metrga. Beshinchi nuqtada kiyimga g'amxo'rlik qiling.

Keling, savol beraylik: "o'lchov standarti" ning eng yaxshi qiymati qanday? 10 metr juda qo'pol ekanligi aniq. Yaxshi o'nlab zarbalar ularga osongina mos kelishi mumkin. Nima uchun to'qnashuvlar bor, pastda chuqur dara bo'lishi mumkin va bir necha metrdan keyin - uning boshqa tomoni yanada tik ko'tarilish bilan. Shunday qilib, o'n metrli bilan biz nisbat orqali yo'lning bunday qismlarining tushunarli xususiyatini olmaymiz.

Yuqoridagi muhokamadan quyidagi xulosalar kelib chiqadi: Qanaqasiga kamroq qiymat , biz yo'lning rel'efini qanchalik aniq tasvirlaymiz. Bundan tashqari, quyidagi faktlar haqiqatdir:

– Har qanday uchun ko'tarish nuqtalari u yoki bu ko'tarilish chegaralariga mos keladigan qiymatni (juda kichik bo'lsa ham) tanlashingiz mumkin. Va bu shuni anglatadiki, mos keladigan balandlik o'sishi ijobiy bo'lishi kafolatlanadi va tengsizlik bu intervallarning har bir nuqtasida funktsiyaning o'sishini to'g'ri ko'rsatadi.

- Xuddi shunday, har qanday uchun Nishab nuqtasi, bu qiyalikda to'liq mos keladigan qiymat mavjud. Shuning uchun balandlikning mos keladigan o'sishi aniq manfiydir va tengsizlik berilgan intervalning har bir nuqtasida funktsiyaning pasayishini to'g'ri ko'rsatadi.

– Funksiyaning o‘zgarish tezligi nolga teng bo‘lgan holat alohida qiziqish uyg‘otadi: . Birinchidan, nol balandlikdagi o'sish () tekis yo'lning belgisidir. Ikkinchidan, boshqa qiziq vaziyatlar ham bor, ularning misollarini siz rasmda ko'rasiz. Tasavvur qiling-a, taqdir bizni burgutlar uchadigan tepalikning eng cho'qqisiga yoki qurbaqalar qichqirayotgan jarlikning tubiga olib chiqdi. Agar biron-bir yo'nalishda kichik bir qadam tashlasangiz, u holda balandlikning o'zgarishi ahamiyatsiz bo'ladi va biz funktsiyaning o'zgarish tezligi aslida nolga teng deb aytishimiz mumkin. Xuddi shu naqsh nuqtalarda kuzatiladi.

Shunday qilib, biz funktsiyaning o'zgarish tezligini mukammal tarzda tavsiflash uchun ajoyib imkoniyatga yaqinlashdik. Axir, matematik tahlil bizga argumentning o'sishini nolga yo'naltirishga imkon beradi: ya'ni uni qilish. cheksiz kichik.

Natijada, yana bir mantiqiy savol tug'iladi: yo'l va uning jadvalini topish mumkinmi? boshqa funksiya, qaysi bizga aytar edi barcha kvartiralar, tepaliklar, pastliklar, cho'qqilar, pasttekisliklar, shuningdek, yo'lning har bir nuqtasida o'sish / pasayish tezligi haqida?

hosila nima? Hosila tushunchasi.
Hosil va differentsialning geometrik ma'nosi

Iltimos, diqqat bilan o'qing va juda tez emas - material oddiy va hamma uchun ochiq! Agar ba'zi joylarda biror narsa unchalik aniq bo'lmasa, maqolaga keyinroq qaytishingiz mumkin. Ko'proq aytaman, barcha fikrlarni sifatli tushunish uchun nazariyani bir necha marta o'rganish foydalidir (maslahat ayniqsa, o'quv jarayonida oliy matematika muhim rol o'ynaydigan "texnik" talabalar uchun dolzarbdir).

Tabiiyki, lotinning aniq ta'rifida biz uni quyidagi bilan almashtiramiz:

Biz nimaga keldik? Va biz qonunga muvofiq funktsiya uchun degan xulosaga keldik hizalanadi boshqa funktsiya, deb ataladi hosila funksiyasi(yoki oddiygina hosila).

hosila xarakterlaydi o'zgarish darajasi funktsiyalari. Qanday qilib? Fikr maqolaning boshidanoq qizil ip kabi ketadi. Bir narsani ko'rib chiqing domenlar funktsiyalari. Funktsiya berilgan nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin:

1) Agar , u holda funksiya nuqtada ortadi. Va borligi aniq interval(juda kichik bo'lsa ham) funktsiya o'sadigan nuqtani o'z ichiga oladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi.

2) Agar , u holda funksiya nuqtada kamayadi. Va funksiya pasayadigan nuqtani o'z ichiga olgan interval mavjud (grafik "yuqoridan pastga" ketadi).

3) Agar , keyin cheksiz yaqin nuqtaga yaqin bo'lsa, funktsiya tezligini doimiy ushlab turadi. Bu, ta'kidlanganidek, funksiya-constanta va uchun sodir bo'ladi funktsiyaning muhim nuqtalarida, jumladan minimal va maksimal nuqtalarda.

Ba'zi semantika. “Farqlash” fe’li keng ma’noda nimani anglatadi? Farqlash xususiyatini ajratib ko'rsatishni anglatadi. Funktsiyani farqlash, biz uning o'zgarish tezligini funktsiyaning hosilasi shaklida "tanlaymiz". Aytgancha, "hosil" so'zi nimani anglatadi? Funktsiya sodir bo'ldi funksiyasidan.

Terimlar lotinning mexanik ma'nosini juda muvaffaqiyatli izohlaydi :
Vaqtga bog'liq bo'lgan tana koordinatasining o'zgarish qonunini va harakat tezligi funksiyasini ko'rib chiqamiz. berilgan tana. Funktsiya tana koordinatasining o'zgarish tezligini tavsiflaydi, shuning uchun u funktsiyaning vaqtga nisbatan birinchi hosilasidir: . Agar "tana harakati" tushunchasi tabiatda mavjud bo'lmaganida, u holda mavjud bo'lmaydi hosila"tezlik" tushunchasi.

Jismning tezlashishi tezlikning o'zgarish tezligidir, shuning uchun: . Agar "tana harakati" va "tana harakati tezligi" degan asl tushunchalar tabiatda mavjud bo'lmaganida, u holda bo'lmaydi hosila jismning tezlashishi tushunchasi.

B9 masalada funktsiya yoki hosila grafigi berilgan, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash talab etiladi:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Yuqori yoki past nuqtalar (ekstremum nuqtalar),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo'lib, bu yechimni ancha soddalashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, u hatto eng zaif o'quvchilarning kuchiga kiradi, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va universal algoritmlar mavjud - ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartini diqqat bilan o'qing: ba'zida juda katta hajmli matnlar uchrab turadi, lekin muhim shartlar, hal qilish jarayoniga ta'sir qiladigan, bir nechtasi bor.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar masalaga x 0 nuqtada shu grafaga tangens bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, siz funktsiya o'sishini argument o'sishiga bo'lishingiz kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor ta'kidlaymiz: A va B nuqtalarni ko'pincha bo'lgani kabi f(x) funksiya grafigida emas, balki aniq tangens bo'yicha izlash kerak. Tangensda kamida ikkita shunday nuqta bo'lishi kerak, aks holda muammo noto'g'ri tuzilgan.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, aloqa nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Yuqori va past ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masaladagi funksiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab qilinadi. Ushbu stsenariyda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. X 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosila grafigida maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha ma'lumotlar faqat yechimga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida hosilaning nollarini belgilaymiz - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: agar hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Aksincha, hosila grafik OX oʻqidan pastda joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nol va belgilarini yana tekshiramiz. Belgisi minusdan plyusga o'zgargan joyda minimal nuqta mavjud. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; besh]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi minimal nuqtasini toping.

Keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik - biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, belgilarga e'tibor bering:

Shubhasiz, x = -3 nuqtada hosila belgisi minusdan ortiqchaga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = -1.7 va x = 5. Hosil boʻlgan grafikdagi hosilaning belgilariga eʼtibor bering. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funksiyaning [−4 oraliqga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [−4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, nuqtalar x = -3,5 va x = 2. Biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan unda hosila belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, butun sonli nuqtalar bilan bunday hiyla ishlamaydi.

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi, hosila grafigidan funksiyaning o‘zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish taklif etiladi. Birinchidan, ko'tarilish va pasayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. f(x) funksiya, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa, segmentda ortib boruvchi deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Boshqacha qilib aytganda, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya segmentdagi kamayuvchi deyiladi, agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. kattaroq qiymat argument funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

Biz oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlarni shakllantiramiz:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≤ 0.

Biz bu da'volarni isbotsiz qabul qilamiz. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosilaning belgilarini belgilang. f'(x) ≥ 0 bo'lgan joyda funksiya ortadi, f'(x) ≤ 0 bo'lsa, u kamayadi. Muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi diagrammada belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovni bilganimizdan so'ng, muammoda kerakli qiymatni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini yozing.

Odatdagidek, biz grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek, x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini belgilaymiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Bu oraliq ichidagi barcha butun sonlarni yig'ish uchun qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda [−10] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; 4]. f(x) funktsiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Keling, ortiqcha ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ular to'rtta bo'lib chiqdi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilariga e'tibor bering va quyidagi rasmni oling:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. Bu yerda f'(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaylik:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topish talab qilinganligi uchun javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.

Hosilning geometrik ma'nosi

Egri chiziqqa tangensni aniqlash Egri chiziqqa tangens y=ƒ(x) nuqtada M nuqtadan o'tkazilgan sekantning chegaralanish pozitsiyasi deyiladi M va uning qo'shni nuqtasi M 1 nuqta bo'lishi sharti bilan egri chiziq M 1 egri chiziq bo'ylab bir nuqtaga cheksiz yaqinlashadi M. HOSULAMANING GEOMETRIK MA'NOSI Funktsiya hosilasi y=ƒ(x) nuqtada X 0 son jihatdan o'qga moyillik burchagi tangensiga teng Oh egri chiziqqa chizilgan tangens y=ƒ(x) nuqtada M (x 0; ƒ (x 0)).

DOTIC TO CURVED Egrilarga Dotichnaya y=ƒ(x) nuqtaga M nuqta orqali chizilgan sichnoning chegara pozitsiyasi deyiladi M va u bilan bir fikrni hukm qiling M 1 qiyshiq, o‘ylab ko‘ring, nima gap M 1 egri chiziq nuqtaga yaqinlashmoqda M. GEOMETRIC ZMIST YAXSHI Boshqa funktsiyalar y=ƒ(x) nuqtaga x 0 kuta nahilning o'qqa tegishini sonli oshiring Oh dotichny, egri chiziqqa olib borilgan y=ƒ(x) nuqtaga M (x 0; ƒ (x 0)).

Hosilning amaliy ma'nosi

Keling, qandaydir funktsiyaning hosilasi sifatida topilgan qiymat amaliy jihatdan nimani anglatishini ko'rib chiqaylik.

Eng avvalo, hosila- bu funktsiyaning berilgan nuqtadagi o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi.

"O'zgarish tezligi" nima? Funktsiyani tasavvur qiling f(x) = 5. Argumentning (x) qiymatidan qat'i nazar, uning qiymati hech qanday tarzda o'zgarmaydi. Ya'ni, o'zgarish tezligi nolga teng.

Endi funktsiyani ko'rib chiqing f(x) = x. X ning hosilasi birga teng. Darhaqiqat, (x) argumentidagi har bir o'zgarish uchun funktsiyaning qiymati ham bittaga oshishini ko'rish oson.

Olingan ma'lumotlar nuqtai nazaridan, endi oddiy funksiyalarning hosilalari jadvalini ko'rib chiqamiz. Bundan kelib chiqqan holda, funktsiyaning hosilasini topishning fizik ma'nosi darhol aniq bo'ladi. Bunday tushunish amaliy muammolarni hal qilishga yordam berishi kerak.

Shunga ko‘ra, hosila funksiyaning o‘zgarish tezligini ko‘rsatsa, qo‘sh hosila tezlanishni ko‘rsatadi.

2080.1947

Buni eslab qolish juda oson.

Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi nima? Logarifm:

Bizning holatlarimizda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rsatkich va natural logarifm hosila jihatidan juda oddiy bo'lgan funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerda.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - ba'zi doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. Funksiyalarning hosilalarini toping va;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (siz u nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, raqam qayerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu faqat kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz tegishli farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:

Maxraj faqat doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi logarifm sizga qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichik konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: o'ralgan va lenta bilan bog'langan shokolad bar. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari amallarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu misol murakkab funktsiya: qachonki, uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita oʻzgaruvchi bilan, soʻngra birinchi amal natijasida sodir boʻlgan boshqa ikkinchi amalni bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .

Bizning misolimiz uchun, .

Biz xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: avval siz kvadratga o'tasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday chora ko'ramiz? Avval sinusni hisoblaymiz va shundan keyingina uni kubga ko'taramiz. Demak, bu tashqi emas, balki ichki funksiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol aniq bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

summaning hosilasi:

Hosil mahsulot:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.