عناوین و نمادهای پذیرفته شده در هندسه توصیفی. نماد و نماد چگونه خطوط متقاطع را مشخص کنیم

نمادهای ژنتیکی

سمبولیسم - فهرست و توضیح نام‌ها و اصطلاحات متعارف که در هر شاخه‌ای از علم استفاده می‌شود.

پایه های نمادگرایی ژنتیکی توسط گرگور مندل، که از نمادگرایی حروف برای تعیین نشانه ها استفاده می کرد، پی ریزی شد. صفات غالب با حروف بزرگ الفبای لاتین A، B، C و غیره، مغلوب - با حروف کوچک - a، b، c و غیره نشان داده شد. نمادگرایی تحت اللفظی پیشنهاد شده توسط مندل در واقع شکل جبری بیان قوانین وراثت صفات است.

نماد زیر برای نشان دادن عبور پذیرفته شده است.

والدین با حرف لاتین P (Parents - پدر و مادر) مشخص می شوند، سپس ژنوتیپ آنها در کنار یکدیگر نوشته می شود. جنسیت زن با نماد ♂ (آینه زهره)، مذکر - ♀ (سپر و نیزه مریخ) نشان داده می شود. یک "x" بین والدین قرار می گیرد که نشان دهنده تلاقی است. ژنوتیپ فرد ماده در وهله اول نوشته شده است و نر - در مرحله دوم.

نسل اول F نامگذاری شده است 1 (فیلی - کودکان)، نسل دوم - اف 2 و غیره. در کنار آنها نامگذاری ژنوتیپ های فرزندان وجود دارد.

واژه نامه اصطلاحات و مفاهیم اساسی

آلل ها (ژن های آللی)- اشکال مختلف یک ژن، ناشی از جهش و در همان نقاط (محل) کروموزوم های همولوگ جفت قرار گرفته اند.

علائم جایگزین- ویژگی های متضاد و متضاد متقابل.

گامت ها (از یونانی "gametes" "- همسر) - یک سلول زایای یک ارگانیسم گیاهی یا حیوانی که حامل یک ژن از یک جفت آللی است. گامت ها همیشه ژن ها را به شکل "خالص" حمل می کنند، زیرا از تقسیم سلولی میوز تشکیل می شوند و حاوی یکی از یک جفت کروموزوم همولوگ هستند.

ژن (از یونانی "genos" "- تولد) - بخشی از یک مولکول DNA که حاوی اطلاعاتی در مورد ساختار اولیه یک پروتئین خاص است.

ژن ها آللی هستند - ژن های جفتی واقع در مناطق یکسان کروموزوم های همولوگ.

ژنوتیپ - مجموعه ای از تمایلات (ژن) ارثی بدن.

هتروزیگوت (از یونانی "heteros" "- دیگری و یک زیگوت) - یک زیگوت که دو آلل متفاوت برای یک ژن خاص دارد ( Aa, Bb).

هتروزیگوتبه افرادی گفته می شود که ژن های متفاوتی از والدین خود دریافت کرده اند. یک فرد هتروزیگوت در فرزندان برای این صفت شکاف می دهد.

هموزیگوت (از یونانی "homos" "- یکسان و زیگوت) - زیگوتی که دارای آلل های یکسانی از یک ژن معین است (هر دو غالب یا هر دو مغلوب).

هموزیگوت به افرادی گفته می شود که برای برخی از افراد والدین تمایلات ارثی (ژن) یکسانی دریافت کرده اند ویژگی خاص. یک فرد هموزیگوت در فرزندان شکافتن نمی دهد.

کروموزوم های همولوگ(از یونانی "هوموس" "- یکسان) - کروموزوم های جفت، از نظر شکل، اندازه، مجموعه ای از ژن ها یکسان هستند. در یک سلول دیپلوئید، مجموعه کروموزوم ها همیشه جفت هستند: یک کروموزوم از یک جفت منشا مادری است، کروموزوم دوم پدری است.

هتروزیگوتبه افرادی گفته می شود که ژن های متفاوتی از والدین خود دریافت کرده اند. بنابراین، با توجه به ژنوتیپ، افراد می توانند هموزیگوت (AA یا aa) یا هتروزیگوت (Aa) باشند.

صفت غالب (ژن) – غالب، آشکار - با حروف بزرگ الفبای لاتین نشان داده شده است:الف، ب، ج و غیره

صفت مغلوب (ژن) – علامت سرکوب شده - با حروف کوچک مربوط به الفبای لاتین نشان داده می شود:الف، ب ج و غیره

تجزیه و تحلیل تلاقی- تلاقی ارگانیسم آزمایشی با ارگانیسم دیگری که یک هموزیگوت مغلوب برای این صفت است که به شما امکان می دهد ژنوتیپ آزمایش را تعیین کنید.

عبور از دی هیبرید- اشکال متقاطع که در دو جفت صفت جایگزین با یکدیگر تفاوت دارند.

عبور از monohybrid- اشکال متقاطع که در یک جفت ویژگی جایگزین با یکدیگر متفاوت هستند.

خطوط تمیز - موجوداتی که برای یک یا چند صفت هموزیگوت هستند و صفت جایگزینی در فرزندان خود ایجاد نمی کنند.

سشوار نشانه است.

فنوتیپ - مجموع تمام علائم و خصوصیات خارجی ارگانیسم، قابل مشاهده و تجزیه و تحلیل.

الگوریتم حل مسائل ژنتیکی

1. سطح کار را با دقت بخوانید.
2. یک یادداشت کوتاه از بیان مسئله بنویسید.
3. ژنوتیپ ها و فنوتیپ های افراد تلاقی شده را بنویسید.
4. انواع گامت هایی که افراد متقاطع را تشکیل می دهند را تعیین و یادداشت کنید.
5. ژنوتیپ ها و فنوتیپ های فرزندان حاصل از تلاقی را تعیین و یادداشت کنید.
6. نتایج متقاطع را تجزیه و تحلیل کنید. برای انجام این کار، تعداد طبقات فرزندان را بر اساس فنوتیپ و ژنوتیپ تعیین کنید و آنها را به صورت نسبت عددی یادداشت کنید.
7. پاسخ سوال را یادداشت کنید.

(هنگام حل مسائل در مورد موضوعات خاص، ممکن است ترتیب مراحل تغییر کند و محتوای آنها تغییر کند.)

قالب بندی وظایف

1. مرسوم است که ابتدا ژنوتیپ ماده و سپس نر (ورودی صحیح ♀AABB x ♂aavb است. ورودی نامعتبر- ♂ aavv x ♀AABB).
2. ژن های یک جفت آللی همیشه در کنار هم نوشته می شوند(مدخل صحیح ♀AABB است؛ ورودی نادرست ♀ABAB است).
3. هنگام نوشتن یک ژنوتیپ، حروف نشان دهنده صفات همیشه به ترتیب حروف الفبا نوشته می شوند، صرف نظر از اینکه نشان دهنده یک صفت غالب یا مغلوب باشند.نماد صحیح - ♀aaBB؛ورودی نامعتبر -♀ووا).
4. اگر فقط فنوتیپ یک فرد شناخته شده باشد، در هنگام ثبت ژنوتیپ آن، فقط آن ژن هایی نوشته می شود که وجود آنها غیرقابل انکار است.ژنی که با فنوتیپ قابل تعیین نیست با نماد "_" نشان داده می شود.(به عنوان مثال، اگر رنگ زرد (A) و شکل صاف (B) دانه‌های نخودفرنگی صفات غالب باشند و رنگ سبز (a) و شکل چروکیده (c) مغلوب باشند، ژنوتیپ فردی با دانه‌های چروکیده زرد است. به صورت زیر نوشته شده است: A_vv).
5. فنوتیپ همیشه در زیر ژنوتیپ نوشته می شود.
6. گامت ها با دور زدن آنها نوشته می شوند.(آ).
7. در افراد انواع گامت ها تعیین و ثبت می شود نه تعداد آنها.

نقطه یک شی انتزاعی است که هیچ ویژگی اندازه گیری ندارد: بدون ارتفاع، بدون طول، بدون شعاع. در چارچوب کار، فقط مکان آن مهم است

نقطه با یک عدد یا یک حرف لاتین بزرگ (بزرگ) نشان داده می شود. چند نقطه - اعداد مختلف یا حروف مختلف به طوری که آنها را می توان متمایز کرد

نقطه A، نقطه B، نقطه C

A B C

نکته 1، 2، 3

1 2 3

می توانید سه نقطه "A" را روی یک کاغذ بکشید و از کودک دعوت کنید تا از بین دو نقطه "A" خط بکشد. اما چگونه می توان فهمید که از طریق آن؟ A A A

خط مجموعه ای از نقاط است. او فقط طول را اندازه می گیرد. عرض و ضخامت ندارد.

با حروف کوچک (کوچک) لاتین نشان داده شده است

خط a، خط ب، خط ج

a b c

خط می تواند باشد

1. بسته است اگر ابتدا و انتهای آن در یک نقطه باشند،
2. اگر ابتدا و انتهای آن به هم متصل نباشد باز شود

خطوط بسته

خطوط باز

شما آپارتمان را ترک کردید، از فروشگاه نان خریدید و به آپارتمان برگشتید. چه خطی گرفتی؟ درست است، بسته است. شما به نقطه شروع بازگشته اید. شما آپارتمان را ترک کردید، از فروشگاه نان خریدید، به در ورودی رفتید و با همسایه خود صحبت کردید. چه خطی گرفتی؟ باز کن. شما به نقطه شروع برنگشتید. شما آپارتمان را ترک کردید، نان را در فروشگاه خریدید. چه خطی گرفتی؟ باز کن. شما به نقطه شروع برنگشتید.

1. خود متقاطع
2. بدون خود تقاطع

خطوط خود متقاطع

خطوط بدون خود تقاطع

1. سر راست
2. خط شکسته
3. کج

خطوط مستقیم

خطوط شکسته

خطوط منحنی

خط راست خطی است که منحنی ندارد، نه آغاز دارد و نه پایان، می توان آن را به طور نامحدود در هر دو جهت امتداد داد.

حتی زمانی که بخش کوچکی از یک خط مستقیم قابل مشاهده است، فرض می شود که به طور نامحدود در هر دو جهت ادامه می یابد.

با حروف لاتین کوچک (کوچک) مشخص می شود. یا دو حرف لاتین بزرگ (بزرگ) - نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند

خط مستقیم الف

آ

خط مستقیم AB

B A

خطوط مستقیم می تواند باشد

1. اگر نقطه مشترکی داشته باشند تلاقی می کنند. دو خط فقط در یک نقطه می توانند قطع شوند.
   • اگر با زاویه قائمه (90 درجه) همدیگر را قطع کنند، عمود بر هم باشند.
2. به موازات هم، اگر همدیگر را قطع نکنند، نقطه مشترکی ندارند.

خطوط موازی

خطوط متقاطع

خطوط عمود بر هم

پرتو بخشی از یک خط مستقیم است که آغاز دارد اما پایان ندارد، می توان آن را به طور نامحدود فقط در یک جهت امتداد داد.

نقطه شروع پرتو نور در تصویر خورشید است.

آفتاب

نقطه خط را به دو قسمت تقسیم می کند - دو پرتو A A

پرتو با حروف لاتین کوچک (کوچک) نشان داده می شود. یا دو حرف لاتین بزرگ (بزرگ) که اولی نقطه ای است که پرتو از آنجا شروع می شود و دومی نقطه ای است که روی پرتو قرار دارد.

پرتو a

آ

پرتو AB

B A

تیرها مطابقت دارند اگر

1. واقع در همان خط مستقیم
2. از یک نقطه شروع کنید
3. به یک طرف هدایت می شود

پرتوهای AB و AC منطبق هستند

پرتوهای CB و CA منطبق هستند

C B A

پاره قسمتی از یک خط مستقیم است که به دو نقطه محدود می شود، یعنی هم ابتدا و هم پایان دارد، یعنی طول آن قابل اندازه گیری است. طول یک قطعه فاصله بین نقطه شروع و پایان آن است.

هر تعداد خط را می توان از طریق یک نقطه ترسیم کرد، از جمله خطوط مستقیم.

از طریق دو نقطه - تعداد نامحدود منحنی، اما فقط یک خط مستقیم

خطوط منحنی که از دو نقطه عبور می کنند

B A

خط مستقیم AB

B A

یک قطعه از خط مستقیم "قطع" شد و یک قطعه باقی ماند. از مثال بالا می بینید که طول آن کمترین فاصله بین دو نقطه است. ✂ B A ✂

یک پاره با دو حرف لاتین بزرگ (بزرگ) مشخص می شود که اولی نقطه ای است که پاره از آنجا شروع می شود و دومی نقطه ای است که قسمت از آن به پایان می رسد.

بخش AB

B A

وظیفه: خط، پرتو، قطعه، منحنی کجاست؟

خط شکسته خطی است متشکل از بخشهای متوالی متصل به هم که در زاویه 180 درجه نیستند

یک بخش طولانی به چند قسمت کوتاه "شکسته شد".

پیوندهای یک چند خط (مشابه پیوندهای یک زنجیره) قطعاتی هستند که چند خط را تشکیل می دهند. پیوندهای مجاور پیوندهایی هستند که انتهای یک پیوند، آغاز پیوند دیگری است. پیوندهای مجاور نباید روی یک خط مستقیم قرار بگیرند.

رئوس چند خط (شبیه به قله کوه ها) نقطه ای هستند که چند خط از آنجا شروع می شود، نقاطی که قطعات تشکیل دهنده چند خط در آن به هم متصل می شوند، نقطه ای که چند خط به پایان می رسد.

یک چند خط با فهرست کردن تمام رئوس آن مشخص می شود.

خط شکسته ABCDE

راس چندخط A، راس چندخط B، راس چندخط C، راس چندخط D، راس چندخط E

لینک خط شکسته AB، لینک خط شکسته BC، لینک خط شکسته CD، لینک خط شکسته DE

پیوند AB و پیوند BC در مجاورت یکدیگر قرار دارند

لینک BC و لینک CD مجاور هستند

پیوند CD و لینک DE در مجاورت یکدیگر قرار دارند

A B C D E 64 62 127 52

طول یک چند خط مجموع طول پیوندهای آن است: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

وظیفه: کدام خط شکسته طولانی تر است، آ کدام یک قله های بیشتری دارد? در خط اول، تمام پیوندها به یک اندازه، یعنی 13 سانتی متر هستند. خط دوم تمام پیوندهای یکسان یعنی 49 سانتی متر را دارد. خط سوم تمام پیوندهای یکسان یعنی 41 سانتی متر را دارد.

چند ضلعی یک چند خط بسته است

دو طرف چند ضلعی (آنها به شما کمک می کنند عبارات را به خاطر بسپارید: "به هر چهار طرف بروید" ، "به سمت خانه بدوید" ، "روی کدام طرف میز خواهید نشست؟") پیوندهای خط شکسته هستند. اضلاع مجاور یک چند ضلعی پیوندهای مجاور یک خط شکسته هستند.

رئوس چند ضلعی رئوس چند خط هستند. رئوس همسایه نقاط انتهایی یک طرف چند ضلعی هستند.

یک چند ضلعی با فهرست کردن تمام رئوس آن مشخص می شود.

چند خط بسته بدون خود تقاطع، ABCDEF

چند ضلعی ABCDEF

راس چند ضلعی A، راس چند ضلعی B، راس چند ضلعی C، راس چند ضلعی D، راس چند ضلعی E، راس چند ضلعی F

راس A و راس B در مجاورت یکدیگر قرار دارند

راس B و راس C در مجاورت یکدیگر قرار دارند

راس C و راس D در مجاورت یکدیگر قرار دارند

راس D و راس E در مجاورت یکدیگر قرار دارند

راس E و راس F در مجاورت یکدیگر قرار دارند

راس F و راس A در مجاورت یکدیگر قرار دارند

ضلع چند ضلعی AB، ضلع چند ضلعی BC، ضلع چند ضلعی CD، ضلع چند ضلعی DE، ضلع چند ضلعی EF

ضلع AB و ضلع BC مجاورند

سمت BC و سمت CD مجاور هستند

سمت CD و سمت DE مجاور هستند

سمت DE و سمت EF مجاور هستند

سمت EF و سمت FA مجاور هستند

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

محیط چند ضلعی طول چند خط است: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

چند ضلعی با سه راس مثلث، با چهار - چهار ضلعی، با پنج - یک پنج ضلعی، و غیره نامیده می شود.

در سخنرانی‌ها و کلاس‌های عملی، سیستمی از نشانه‌گذاری و نمادها اتخاذ خواهد شد (جدول 2،3)، که توسط پروفسور توسعه داده شده است. N.F. Chetverukhin. سیستم این نام گذاری ها در حال حاضر به طور گسترده توسط گروه های هندسه توصیفی و گرافیک مهندسی دانشگاه های پیشرو روسیه استفاده می شود.

جدول 2

نمادهای اشیاء هندسی

شکل هندسی (شیء)	علامت گذاری و مثال
نقطه	حروف بزرگ الفبای لاتین: آ, که در, با، ... یا یک عدد عربی: 1 , 2 , 3 ، … (می تواند یک عدد رومی باشد: من, II, III، …). مرکز طرح ریزی اس. اصل و نسب در باره(حرف). نقطه در بی نهایت: S¥, آ ¥ , که در ¥ , ….
خط - مستقیم یا منحنی	حروف کوچک الفبای لاتین: آ,ب,ج، …. افقی ساعت; جلویی f; نمایه خط مستقیم یا منحنی (پروفایل) آر; محور چرخش من; جهت طرح ریزی یا جهت دید در فضا: س- بر P 1, v- بر P 2; محورهای مختصات: ایکس, y, z; محورهای طرح ریزی ایکس, y, zیا x 12, x24و غیره. ( AB) یک خط مستقیم است که با نقاط مشخص می شود آو که در; Ι ABΙ - طول قطعه AB، اندازه طبیعی بخش AB. اگر متن حاوی کلمات مربوطه باشد، پرانتز داده نمی شود (به عنوان مثال، خط مستقیم AB).
سطح (از جمله هواپیما)	جی(گاما) اس(سیگما) L(لامبدا)، ....
هواپیمای پروجکشن	حروف بزرگ الفبای یونانی: پ(pi) با اضافه کردن یک شاخص. P 1- صفحه افقی برآمدگی؛ P 2- صفحه جلویی برآمدگی ها؛ ص 3- صفحه پروفیل پیش بینی ها؛ P 4, ص 5, … صفحات طرح ریزی اضافی هستند.
گوشه	حروف کوچک الفبای یونانی: آ, ب, g, ….
طرح ریزی شی	الف 1, ب 1, S1- برآمدگی های افقی یک نقطه آ، خطوط ب، سطوح اس; الف 2, ب 2, S2- برآمدگی های جلویی نقطه آ، سر راست ب، سطوح اس; و غیره.

جدول 3

نمادهای روابط و عملیات منطقی

امضا کردن	معنی علامت	مثال، توضیح
Ì یا É Î یا "	تعلق متقابل (حادثه) اشیا به عنوان مجموعه، زیر مجموعه نقطه	تیÌ جی- خط تیمتعلق به سطح است جی; سطح جیاز طریق خط می گذرد تی; جیÉ تی- یکسان (علامت با قسمت باز همیشه رو به مجموعه بزرگتر است). t "A- خط تیاز نقطه ای عبور می کند آ; نقطه آمتعلق به خط است تی; آÎ تی– همان (علامت О با قسمت باز به سمت مجموعه چرخیده است).
∩	تقاطع	آ ∩ ب- خطوط آو بتقاطع اس (آ ∩ ب) - سطح اسبا خطوط متقاطع تنظیم می شود آو ب.
= یا	نتیجه مسابقه برابری	آ=آ∩ب- نقطه آدر نتیجه تلاقی خطوط به دست می آید آو بê ABê=ê EFê - بخش ABبرابر با بخش EF. الف 2=در 2- برآمدگی های جلویی نقاط آو که درمطابقت دادن
ΙΙ	موازی سازی	(AB) ΙΙ (СD) - خطوط مستقیم ABو سی دیموازی هستند.
^	عمود بودن	AB^سی دی
®	نمایش داده شده، توالی عملیات	آ 1® آ 2- روی برآمدگی افقی نقطه آساخت یک جبهه

4. دستورالعمل های روش شناختی برای اجرای کارهای گرافیکی

کار گرافیکی شماره 1

"طرح بینی"

ورزش:

1. در فرمت A3، با توجه به دو طرح داده شده از خانه، یک طرح نمایه ایجاد کنید و تصویر را 2 برابر بزرگ کنید.

2. در نقاشی، تعیین کنید و در جدول در گوشه سمت راست پایین (اندازه جدول - 100x100 میلی متر)، که در بالای کتیبه اصلی قرار دارد، تعیین کنید و در آن ثبت کنید، موقعیت خطوط در فضا (مستقیم) موقعیت عمومی، سه خط سطح، سه خط برآمده، یک جفت خط موازی، یک جفت خط متقاطع، یک جفت خط اریب).

3. تعريف كردن اندازه زندگیخط مستقیم موقعیت کلی و زوایای تمایل آن نسبت به سطوح برآمدگی.

4. مختصات هر پنج نقطه مشخص شده را تعیین کنید. داده ها را در جدول در گوشه سمت راست بالای قالب (اندازه جدول 40x60 میلی متر) وارد کنید.

5. یک طرح آکسونومتری خانه را با فرمت A4 انتخاب کرده و بسازید، نمودار محورهای آکسونومتری را رسم کنید. آکسونومتری را با مداد رنگی سایه بزنید.

دستورالعمل اجرای کار گرافیکی شماره 1. روی یک برگه A3، محورهای مختصات را در مرکز برگه بکشید. طبق نسخه خود، دو طرح از "خانه" بسازید، تصویر را 2 برابر بزرگ کنید. طرح جلویی پایه "خانه" باید روی محور OX باشد. با استفاده از خطوط اتصال پروجکشن، طرح سوم "خانه" را بسازید.

در مرحله بعد، خطوط مستقیم مشخص شده در کار را به ترتیب با حروف بزرگ الفبای لاتین بر روی سه پیش بینی "خانه" تعیین و مشخص کنید. نتایج را در یک جدول ثبت کنید. نمونه ای از پر کردن جدول در شکل نشان داده شده است.

برای خط مستقیم یافت شده در موقعیت کلی در صفحه P 1 و P 2، اندازه واقعی را با استفاده از روش تعیین و تعیین کنید. راست گوشهو زوایای شیب آن نسبت به صفحات برآمدگی افقی و جلویی (α و β).

برای هر پنج نقطه تعیین شده، مختصات را تعیین کنید. مقادیر به میلی متر را در جدول وارد کنید. نمونه ای از پر کردن جدول در شکل نشان داده شده است.

نوع برآمدگی آکسونومتری را به گونه ای انتخاب کنید که صفحات (چهره ها) به صورت خطوطی بر روی تصویر خانه برجسته نشوند. در فرمت A4، برجستگی آکسونومتری انتخابی را بسازید و محورهای آکسونومتری و برجستگی افقی ثانویه را حفظ کنید.

با استفاده از مدادهای رنگی، برآمدگی آکسونومتری "خانه" را رنگ آمیزی کنید. در گوشه سمت راست بالا، نمودار محورهای آکسونومتری را رسم کنید. نمونه ای از کارهای گرافیکی در شکل 9.10.

انواع وظایف برای کار گرافیکی شماره 1 "پروژه"

کار گرافیکی شماره 2

"ساخت منشور و استوانه بریده"

ورزش:

کارهای گرافیکی در دو فرمت A3 انجام می شود و شامل دو کار است.

کار شماره 1. سه برآمدگی از یک منشور شش ضلعی مستقیم بسازید (داده های ساخت و ساز را مطابق نسخه خود از جدول بگیرید). اندازه طبیعی کانتور مقطع را با استفاده از روش جایگزینی صفحات طرح ریزی بسازید. یک جارو بسازید. یک برآمدگی آکسونومتری را انتخاب و رسم کنید. ابعاد را اعمال نکنید. نقشه باید نقاط ساخت و خطوط اتصال پیش بینی را نشان دهد.

بی نهایت.جی والیس (1655).

برای اولین بار در رساله ریاضیدان انگلیسی جان والیس "درباره مقاطع مخروطی" یافت می شود.

پایه لگاریتم های طبیعی ال اویلر (1736).

ثابت ریاضی، عدد ماورایی. این شماره گاهی اوقات نامیده می شود غیر پروبه افتخار اسکاتلندی هادانشمند Napier، نویسنده کار "توضیح جدول شگفت انگیز لگاریتم" (1614). برای اولین بار، ثابت به طور ضمنی در پیوست ترجمه به وجود دارد زبان انگلیسیاثر فوق الذکر توسط Napier که در سال 1618 منتشر شد. همان ثابت ابتدا توسط ژاکوب برنولی، ریاضیدان سوئیسی، در مسیر حل مسئله ارزش محدود کننده درآمد بهره محاسبه شد.

2,71828182845904523...

اولین استفاده شناخته شده از این ثابت، جایی که با حرف نشان داده می شد ب، در نامه های لایب نیتس به هویگنس، 1690-1691 یافت می شود. حرف هاستفاده از اویلر را در سال 1727 آغاز کرد و اولین انتشار با این نامه، مکانیک یا علم حرکت او بود که به صورت تحلیلی در سال 1736 بیان شد. به ترتیب، همعمولا نامیده می شود شماره اویلر. چرا نامه انتخاب شد؟ ه، دقیقاً مشخص نیست. شاید این به این دلیل است که کلمه با آن شروع می شود نمایی("نمایی"، "نمای"). فرض دیگر این است که حروف آ, ب, جو ددر حال حاضر به طور گسترده برای اهداف دیگر استفاده می شود، و هاولین نامه "رایگان" بود.

نسبت محیط دایره به قطر آن. دبلیو جونز (1706)، ال. اویلر (1736).

ثابت ریاضی، عدد غیر منطقی. عدد پی، نام قدیمی آن عدد لودولف است. مانند هر عدد غیر منطقی، π با یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی نشان داده می شود:

π=3.141592653589793...

برای اولین بار تعیین این عدد با حرف یونانی π توسط ریاضیدان بریتانیایی ویلیام جونز در کتاب مقدمه ای جدید بر ریاضیات استفاده شد و پس از کار لئونارد اویلر به طور کلی پذیرفته شد. این نام گذاری از حرف اولیه کلمات یونانی περιφερεια - دایره، پیرامون و περιμετρος - محیط می آید. یوهان هاینریش لمبرت غیرمنطقی بودن π را در سال 1761 و آدرین ماری لژاندر در سال 1774 غیرعقلانی بودن π 2 را ثابت کردند. لژاندر و اویلر فرض کردند که π می تواند ماورایی باشد، یعنی. نمی تواند هیچ معادله جبری را با ضرایب صحیح برآورده کند، که در نهایت در سال 1882 توسط فردیناند فون لیندمان اثبات شد.

واحد خیالی L. Euler (1777، در حال چاپ - 1794).

معلوم است که معادله x 2 \u003d 1دو ریشه دارد: 1 و -1 . واحد خیالی یکی از دو ریشه معادله است x 2 \u003d -1، که با حرف لاتین مشخص می شود من، ریشه دیگر: -من. این نام توسط لئونارد اویلر پیشنهاد شد، که حرف اول کلمه لاتین را برای آن انتخاب کرد خیالی(خیالی). او همچنین تمام توابع استاندارد را به دامنه پیچیده گسترش داد. مجموعه ای از اعداد قابل نمایش در فرم a+ib، جایی که آو باعداد واقعی هستند اصطلاح "اعداد مختلط" توسط ریاضیدان آلمانی کارل گاوس در سال 1831 به طور گسترده به کار رفت، اگرچه این اصطلاح قبلاً توسط ریاضیدان فرانسوی لازار کارنو در سال 1803 به همین معنی استفاده شده بود.

بردارهای واحد دبلیو همیلتون (1853).

بردارهای واحد اغلب با محورهای مختصات سیستم مختصات (به ویژه با محورهای سیستم مختصات دکارتی) مرتبط هستند. بردار واحد جهت دار در امتداد محور ایکس، نشان داده شده است من، یک بردار واحد جهت دار در امتداد محور Y، نشان داده شده است j، و بردار واحد در امتداد محور هدایت شده است ز، نشان داده شده است ک. بردارها من, j, ک Orts نامیده می شوند، آنها دارای ماژول های هویت هستند. اصطلاح "ort" توسط ریاضیدان و مهندس انگلیسی، اولیور هیوساید (1892) معرفی شد، و نماد من, j, کریاضیدان ایرلندی ویلیام همیلتون.

قسمت صحیح یک عدد، antie. K. Gauss (1808).

قسمت صحیح عدد [x] عدد x بزرگترین عدد صحیح است که از x تجاوز نمی کند. بنابراین، =5، [-3،6]=-4. تابع [x] را «قدم x» نیز می‌گویند. نماد تابع جزء صحیح توسط کارل گاوس در سال 1808 معرفی شد. برخی از ریاضیدانان ترجیح می دهند به جای آن از نماد E(x) که در سال 1798 توسط لژاندر پیشنهاد شد استفاده کنند.

زاویه موازی. N.I. لوباچفسکی (1835).

در هواپیمای لوباچفسکی - زاویه بین خطبعبور از نقطهدر بارهبه موازات یک خط مستقیمآ، بدون نقطهدر باره، و عمود ازدر بارهبر آ. α طول این عمود است. همانطور که نقطه حذف می شوددر بارهاز مستقیم آزاویه موازی از 90 درجه به 0 درجه کاهش می یابد. لوباچفسکی فرمولی برای زاویه موازی ارائه کردپ( α )=2arctg e - α /q , جایی که qمقداری ثابت مربوط به انحنای فضای لوباچفسکی است.

کمیت های ناشناخته یا متغیر آر دکارت (1637).

در ریاضیات، متغیر کمیتی است که با مجموعه مقادیری که می تواند بگیرد مشخص می شود. این می تواند هم به معنای یک کمیت فیزیکی واقعی باشد که به طور موقت جدا از بافت فیزیکی آن در نظر گرفته می شود و هم مقداری انتزاعی که در دنیای واقعی مشابهی ندارد. مفهوم متغیر در قرن هفدهم به وجود آمد. در ابتدا تحت تأثیر خواسته های علوم طبیعی، که مطالعه حرکت، فرآیندها و نه فقط حالت ها را به منصه ظهور رساند. این مفهوم برای بیان خود نیاز به اشکال جدیدی داشت. جبر تحت اللفظی و هندسه تحلیلی رنه دکارت چنین اشکال جدیدی بودند. برای اولین بار، سیستم مختصات مستطیلی و علامت x، y توسط رنه دکارت در اثر خود "گفتاری در مورد روش" در سال 1637 معرفی شد. پیر فرما نیز به توسعه روش مختصات کمک کرد، اما کار او برای اولین بار پس از مرگش منتشر شد. دکارت و فرما از روش مختصات فقط در هواپیما استفاده کردند. روش مختصات برای فضای سه بعدی اولین بار توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم به کار گرفته شد.

بردار. O.Koshi (1853).

از همان ابتدا، یک بردار به عنوان یک جسم دارای یک قدر، یک جهت و (به صورت اختیاری) یک نقطه کاربردی درک می شود. آغاز حساب بردار همراه با ظاهر شد مدل هندسیاعداد مختلط توسط گاوس (1831). عملیات پیشرفته بر روی بردارها توسط همیلتون به عنوان بخشی از حساب کواترنیونی او منتشر شد (اجزای خیالی یک کواترنیون یک بردار را تشکیل می دادند). همیلتون این اصطلاح را ابداع کرد بردار(از کلمه لاتین بردار, حامل) و برخی از عملیات تحلیل برداری را شرح داد. این فرمالیسم توسط ماکسول در آثارش در مورد الکترومغناطیس مورد استفاده قرار گرفت و از این طریق توجه دانشمندان را به حساب جدید جلب کرد. عناصر تحلیل برداری گیبز (دهه 1880) به زودی دنبال شد و سپس هیوساید (1903) به تحلیل برداری ظاهر مدرن خود را داد. خود علامت برداری توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئی کوشی در سال 1853 معرفی شد.

جمع، تفریق. جی ویدمن (1489).

علائم مثبت و منفی ظاهراً در مکتب ریاضی آلمانی "kossists" (یعنی جبرگرایان) اختراع شده است. آنها در کتاب درسی یان (یوهانس) ویدمن، شمارش سریع و دلپذیر برای همه بازرگانان، منتشر شده در سال 1489 استفاده شده است. قبل از این، اضافه با حرف مشخص می شد پ(از لاتین به علاوه"بیشتر") یا کلمه لاتین et(رابط "و")، و تفریق - با حرف متر(از لاتین منهای"کمتر، کمتر"). در ویدمن، نماد به علاوه نه تنها جایگزین، بلکه جایگزین "و" می شود. منشا این نمادها نامشخص است، اما به احتمال زیاد آنها قبلا در معاملات به عنوان نشانه های سود و زیان استفاده می شدند. هر دو نماد به زودی در اروپا رایج شدند - به استثنای ایتالیا که حدود یک قرن از نام های قدیمی استفاده می کرد.

ضرب. W. Outred (1631)، G. Leibniz (1698).

علامت ضرب به شکل صلیب مورب در سال 1631 توسط ویلیام اوترد انگلیسی معرفی شد. قبل از او، پرکاربردترین حرف م، اگرچه نامگذاری های دیگری نیز پیشنهاد شد: نماد مستطیل (ریاضیدان فرانسوی اریگون، 1634)، یک ستاره (ریاضیدان سوئیسی یوهان ران، 1659). بعدها، گوتفرید ویلهلم لایبنیتس صلیب را با یک نقطه (پایان قرن هفدهم) جایگزین کرد تا با حرف اشتباه گرفته نشود. ایکس; قبل از او، چنین نمادگرایی توسط ستاره شناس و ریاضیدان آلمانی Regiomontanus (قرن پانزدهم) و دانشمند انگلیسی توماس هاریوت (1560-1621) یافت شد.

بخش. I.Ran (1659)، G.Leibniz (1684).

ویلیام اوترد از اسلش / به عنوان علامت تقسیم استفاده کرد. تقسیم کولون شروع به نشان دادن گوتفرید لایبنیتس کرد. قبل از آنها، نامه نیز اغلب استفاده می شد D. با شروع از فیبوناچی، خط افقی کسر نیز استفاده می شود که توسط هرون، دیوفانتوس و در نوشته های عربی استفاده شده است. در انگلستان و ایالات متحده، نماد ÷ (ابلوس) که توسط یوهان ران (احتمالاً با مشارکت جان پل) در سال 1659 پیشنهاد شد، رواج یافت. تلاش کمیته ملی استانداردهای ریاضی آمریکا ( کمیته ملی الزامات ریاضی) حذف obelus از عمل (1923) بی نتیجه بود.

درصد M. de la Porte (1685).

یک صدم کل، به عنوان یک واحد گرفته شده است. خود کلمه "درصد" از کلمه لاتین "pro centum" گرفته شده است که به معنای "صد" است. در سال 1685 کتاب راهنمای حساب تجاری نوشته ماتیو دو لا پورت در پاریس منتشر شد. در یک جا، درصدها بود، که سپس به معنای "cto" (مخفف سنتو) بود. با این حال، حروف‌نویس که "cto" را با کسری اشتباه گرفت و "%" را تایپ کرد. بنابراین به دلیل یک اشتباه تایپی، این علامت مورد استفاده قرار گرفت.

درجه. R. Descartes (1637)، I. Newton (1676).

نماد مدرن برای توان توسط رنه دکارت در کتاب خود معرفی شد. هندسه ها"(1637)، اما، فقط برای قدرت های طبیعی با توان های بزرگتر از 2. بعدها، اسحاق نیوتن این شکل از نشانه گذاری را به توان های منفی و کسری (1676) گسترش داد، که تفسیر آنها قبلاً در این زمان ارائه شده بود: ریاضیدان فلاندری. و مهندس سیمون استوین، ریاضیدان انگلیسی جان والیس و ریاضیدان فرانسوی آلبر ژیرار.

ریشه حسابی nتوان دهم یک عدد واقعی آ≥0، - عدد غیر منفی n- درجه آن برابر است با آ. ریشه حسابی درجه 2 را جذر می نامند و می توان آن را بدون نشان دادن درجه نوشت: √. ریشه حسابی درجه 3 را ریشه مکعب می گویند. ریاضیدانان قرون وسطی (به عنوان مثال، کاردانو) ریشه مربع را با نماد Rx (از لاتین) نشان می دادند. رادیکس، ریشه). نام مدرن برای اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی کریستوف رودولف، از مدرسه Cossist، در سال 1525 استفاده شد. این نماد از حرف اول تلطیف شده همان کلمه می آید ریشه. خط بالای عبارت رادیکال در ابتدا وجود نداشت. بعداً توسط دکارت (1637) با هدف دیگری (به جای براکت) معرفی شد و این ویژگی به زودی با علامت ریشه ادغام شد. ریشه مکعب در قرن شانزدهم به شرح زیر تعیین شد: R x .u.cu (از لات. Radix universalis cubica). آلبر ژیرارد (1629) شروع به استفاده از نماد معمولی برای ریشه درجه دلخواه کرد. این قالب به لطف اسحاق نیوتن و گوتفرید لایب نیتس ایجاد شد.

لگاریتم، لگاریتم اعشاری، لگاریتم طبیعی. I. Kepler (1624)، B. Cavalieri (1632)، A. Prinsheim (1893).

اصطلاح "لگاریتم" متعلق به ریاضیدان اسکاتلندی جان ناپیر است. "شرح جدول شگفت انگیز لگاریتم"، 1614)؛ از ترکیب کلمات یونانی λογος (کلمه، رابطه) و αριθμος (عدد) بوجود آمده است. لگاریتم جی ناپیر یک عدد کمکی برای اندازه گیری نسبت دو عدد است. تعریف مدرن لگاریتم اولین بار توسط ریاضیدان انگلیسی ویلیام گاردینر (1742) ارائه شد. طبق تعریف، لگاریتم یک عدد ببا دلیل آ (آ ≠ 1، a > 0) - توان متر، که تعداد باید به آن افزایش یابد آ(به نام پایه لگاریتم) برای بدست آوردن ب. نشان داده شده است ورود ب.بنابراین، m = ورود به سیستم a ب, اگر a m = b.

اولین جداول لگاریتم اعشاری در سال 1617 توسط استاد ریاضیات آکسفورد هنری بریگز منتشر شد. بنابراین، در خارج از کشور، لگاریتم های اعشاری اغلب بریگ نامیده می شوند. اصطلاح "لگاریتم طبیعی" توسط پیترو منگولی (1659) و نیکلاس مرکاتور (1668) معرفی شد، اگرچه معلم ریاضیات لندن جان اسپیدل در اوایل سال 1619 جدولی از لگاریتم های طبیعی تهیه کرد.

تا پایان قرن نوزدهم، هیچ نماد پذیرفته شده ای برای لگاریتم، پایه وجود نداشت. آدر سمت چپ و بالای نماد نشان داده شده است ورود به سیستم، سپس روی آن. در نهایت، ریاضیدانان به این نتیجه رسیدند که راحت ترین مکان برای پایه، پس از نماد، زیر خط است. ورود به سیستم. علامت لگاریتم - نتیجه کاهش کلمه "لگاریتم" - در رخ می دهد انواع مختلفبه عنوان مثال، تقریباً همزمان با ظهور اولین جداول لگاریتم ورود به سیستم- آی. کپلر (1624) و جی. بریگز (1631)، ورود به سیستم- بی کاوالیری (1632). تعیین لوگاریتمبرای لگاریتم طبیعی توسط ریاضیدان آلمانی آلفرد پرینگشیم (1893) معرفی شد.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت. دبلیو اوترد (اواسط قرن 17)، آی. برنولی (قرن 18)، ال. اویلر (1748، 1753).

نماد اختصاری برای سینوس و کسینوس توسط ویلیام اوترد در اواسط قرن هفدهم معرفی شد. اختصارات مماس و کوتانژانت: tg، ctgآنها توسط یوهان برنولی در قرن 18 معرفی شدند و در آلمان و روسیه گسترده شدند. در کشورهای دیگر از نام این توابع استفاده می شود. برنزه، تختقبل از آن، در آغاز قرن هفدهم، توسط آلبر ژیرار پیشنهاد شد. لئونارد اویلر (1748، 1753) نظریه توابع مثلثاتی را به شکل مدرن خود آورد و ما نیز تثبیت نمادگرایی واقعی را مدیون او هستیم.اصطلاح "توابع مثلثاتی" توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی گئورگ سیمون کلوگل در سال 1770 معرفی شد.

خط سینوسی ریاضیدانان هندی در ابتدا نامیده می شد "ارها جیوا"(«نیمه سیم» یعنی نیمی از وتر)، سپس کلمه "آرچا"دور انداخته شد و خط سینوسی به سادگی شروع به نامیدن کرد "جیوا". مترجمان عربی این کلمه را ترجمه نکردند "جیوا"کلمه عربی "واتار"، به معنی سیم کمان و وتر بود و با حروف عربی رونویسی کرد و شروع به خواندن خط سینوس کرد. "جیبا". از آنجایی که مصوت های کوتاه در عربی نشان داده نمی شوند و در کلمه "و" بلند هستند "جیبا"اعراب که به همان شکل نیمه مصوت "y" نشان داده می شود، شروع به تلفظ نام خط سینوس کردند. "جیبه"، که در لغت به معنای "توخالی"، "سینه" است. هنگام ترجمه آثار عربی به لاتین، مترجمان اروپایی این واژه را ترجمه می کردند "جیبه"کلمه لاتین سینوسی, داشتن همین معنیاصطلاح "مماس" (از لات.مماس ها- لمس) توسط ریاضیدان دانمارکی توماس فینکه در هندسه گرد (1583) معرفی شد.

آرکسین. K.Scherfer (1772)، J.Lagrange (1772).

توابع مثلثاتی معکوس توابع ریاضی هستند که معکوس توابع مثلثاتی هستند. نام تابع مثلثاتی معکوس از نام تابع مثلثاتی مربوطه با اضافه کردن پیشوند "قوس" (از lat. قوس- قوس).توابع مثلثاتی معکوس معمولاً شامل شش تابع هستند: آرکسین (آرکسین)، آرکوزین (آرکوس)، آرکتانژانت (arctg)، آرکوتانژانت (arcctg)، آرکسکانت (arcsec) و arccosecant (arccosec). برای اولین بار، نمادهای ویژه برای توابع مثلثاتی معکوس توسط دانیل برنولی (1729، 1736) استفاده شد.نحوه علامت گذاری توابع مثلثاتی معکوس با پیشوند قوس(از لات آرکوس، arc) در ریاضیدان اتریشی کارل شرفر ظاهر شد و به لطف ریاضیدان، ستاره شناس و مکانیک فرانسوی جوزف لوئیس لاگرانژ جای پایی به دست آورد. منظور این بود که مثلاً سینوس معمولی به شما امکان می دهد وتر را که آن را در امتداد قوس یک دایره قرار می دهد پیدا کنید و تابع معکوس مشکل مخالف را حل می کند. انگلیسی و آلمانی مدارس ریاضیتا پایان قرن نوزدهم، نام‌های دیگری مطرح شد: گناه -1 و 1/sin، اما کاربرد وسیعی ندارند.

سینوس هایپربولیک، کسینوس هایپربولیک. W. Riccati (1757).

مورخان اولین ظهور توابع هذلولی را در نوشته های ریاضیدان انگلیسی آبراهام دی مویور (1707، 1722) کشف کردند. تعریف مدرن و مطالعه دقیق آنها توسط وینچنزو ریکاتی ایتالیایی در سال 1757 در کار "Opusculorum" انجام شد، او همچنین نامگذاری آنها را پیشنهاد کرد: ش,فصل. ریکاتی از در نظر گرفتن یک هذلولی منفرد اقدام کرد. یک کشف مستقل و مطالعه بیشتر در مورد خواص توابع هذلولی توسط ریاضیدان، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی یوهان لامبرت (1768) انجام شد که توازی گسترده ای بین فرمول های مثلثات معمولی و هذلولی ایجاد کرد. N.I. لوباچفسکی متعاقباً از این توازی استفاده کرد و سعی کرد سازگاری هندسه نااقلیدسی را ثابت کند که در آن مثلثات معمولی با هذلولی جایگزین می شود.

همانطور که سینوس و کسینوس مثلثاتی مختصات یک نقطه روی یک دایره مختصات هستند، سینوس و کسینوس هذلولی مختصات یک نقطه روی یک هذلولی هستند. توابع هذلولی بر حسب یک توان بیان می شوند و ارتباط نزدیکی با توابع مثلثاتی دارند: sh(x)=0.5(e x-e-x) , ch(x)=0.5(e x +e -x). بر اساس قیاس با توابع مثلثاتی، مماس هذلولی و کوتانژانت به ترتیب به عنوان نسبت های سینوس و کسینوس هذلولی، کسینوس و سینوس تعریف می شوند.

دیفرانسیل. G. Leibniz (1675، در چاپ 1684).

بخش اصلی و خطی افزایش تابع.اگر تابع y=f(x)یک متغیر x دارد در x=x0مشتق، و افزایشیΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)کارکرد f(x)را می توان به عنوان نشان دادΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , جایی که عضو آربی نهایت کوچک در مقایسه باΔx. عضو اولdy=f"(x 0)Δxدر این بسط دیفرانسیل تابع نامیده می شود f(x)در نقطهx0. که در آثار گوتفرید لایب نیتس، یاکوب و یوهان برنولی کلمه"تفاوت"به معنای "افزایش" استفاده شد، I. Bernoulli آن را از طریق Δ نشان داد. G. Leibniz (1675، منتشر شده در 1684) از نماد برای "تفاوت بی نهایت کوچک" استفاده کرد.د- حرف اول کلمه"دیفرانسیل"، توسط او از"تفاوت".

انتگرال نامعین. G. Leibniz (1675، در چاپ 1686).

کلمه "انتگرال" برای اولین بار توسط ژاکوب برنولی (1690) در چاپ استفاده شد. شاید این اصطلاح از لاتین گرفته شده باشد عدد صحیح- کل بر اساس فرضی دیگر، اساس کلمه لاتین بود یکپارچه- بازیابی، بازیابی. علامت ∫ برای نشان دادن یک انتگرال در ریاضیات استفاده می شود و یک تصویر تلطیف شده از حرف اول یک کلمه لاتین است. خلاصهمجموع اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید لایبنیتس، بنیانگذار حساب دیفرانسیل و انتگرال، در پایان قرن هفدهم استفاده شد. یکی دیگر از بنیانگذاران حساب دیفرانسیل و انتگرال، آیزاک نیوتن، نمادگرایی جایگزینی برای انتگرال در آثار خود ارائه نکرد، اگرچه او گزینه های مختلفی را امتحان کرد: یک میله عمودی بالای یک تابع یا یک نماد مربع که در مقابل یک تابع قرار می گیرد یا مرز آن را دارد. انتگرال نامعین برای یک تابع y=f(x)مجموعه ای از تمام ضد مشتقات تابع داده شده است.

انتگرال معین. جی فوریه (1819-1822).

انتگرال معین یک تابع f(x)با حد پایین تر آو حد بالایی برا می توان به عنوان تفاوت تعریف کرد F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx ، جایی که F(x)- برخی از عملکردهای ضد مشتق f(x) . انتگرال معین a 🔻 ب f(x)dx از نظر عددی برابر با مساحت شکل محدود شده با محور x، خطوط مستقیم است. x=aو x=bو نمودار تابع f(x). طراحی یک انتگرال معین به شکلی که برای ما آشناست توسط ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی ژان باپتیست ژوزف فوریه در اوایل XIXقرن.

مشتق. G. Leibniz (1675)، J. Lagrange (1770، 1779).

مشتق - مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل، مشخص کننده نرخ تغییر یک تابع f(x)وقتی استدلال تغییر می کند ایکس . این به عنوان حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن تعریف می شود، زیرا در صورت وجود چنین حدی، افزایش آرگومان به صفر میل می کند. تابعی که در نقطه ای مشتق متناهی داشته باشد در آن نقطه متمایز پذیر نامیده می شود. فرآیند محاسبه مشتق را تمایز می گویند. فرآیند معکوس یکپارچه سازی است. در حساب دیفرانسیل کلاسیک، مشتق اغلب از طریق مفاهیم نظریه حدود تعریف می شود، با این حال، از نظر تاریخی، نظریه حدود دیرتر از حساب دیفرانسیل ظاهر شد.

اصطلاح مشتق توسط جوزف لوئیس لاگرانژ در سال 1797 معرفی شد. dy/dx- گوتفرید لایب نیتس در سال 1675. نحوه تعیین مشتق با توجه به زمان با یک نقطه بالای حرف از نیوتن (1691) آمده است.اصطلاح روسی "مشتق تابع" اولین بار توسط یک ریاضیدان روسی استفاده شدواسیلی ایوانوویچ ویسکواتوف (1779-1812).

مشتق خصوصی. A. Legendre (1786)، J. Lagrange (1797، 1801).

برای توابع بسیاری از متغیرها، مشتقات جزئی تعریف می شوند - مشتقات با توجه به یکی از آرگومان ها، با این فرض که آرگومان های باقی مانده ثابت هستند، محاسبه می شوند. نشانه گذاری ∂f/ ∂ ایکس, ∂ z/ ∂ yتوسط ریاضیدان فرانسوی آدرین ماری لژاندر در سال 1786 معرفی شد. fایکس",zx"- جوزف لوئیس لاگرانژ (1797، 1801)؛ ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ ایکس ∂ y- مشتقات جزئی مرتبه دوم - ریاضیدان آلمانی کارل گوستاو یاکوب یاکوبی (1837).

تفاوت، افزایش I. Bernoulli (اواخر قرن 17 - نیمه اول قرن 18)، L. Euler (1755).

تعیین افزایش با حرف Δ اولین بار توسط یوهان برنولی ریاضیدان سوئیسی استفاده شد. نماد "دلتا" پس از کار لئونارد اویلر در سال 1755 وارد عمل رایج شد.

مجموع ال اویلر (1755).

مجموع حاصل جمع کردن مقادیر (اعداد، توابع، بردارها، ماتریس ها و غیره) است. برای نشان دادن مجموع n عدد a 1، a 2، ...، a n از حرف یونانی "sigma" Σ استفاده می شود: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 یک من علامت Σ برای مجموع توسط لئونارد اویلر در سال 1755 معرفی شد.

کار کنید. K. Gauss (1812).

حاصل ضرب حاصل ضرب است. برای نشان دادن حاصل ضرب n عدد a 1، a 2، ...، a n از حرف یونانی "pi" Π استفاده می شود: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . مثلاً 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). نماد Π برای محصول توسط ریاضیدان آلمانی کارل گاوس در سال 1812 معرفی شد. در ادبیات ریاضی روسیه، اصطلاح "کار" برای اولین بار توسط لئونتی فیلیپوویچ ماگنیتسکی در سال 1703 استفاده شد.

فاکتوریل. K.Krump (1808).

فاکتوریل یک عدد n (که با n!، تلفظ می شود "en factorial") حاصلضرب همه است. اعداد طبیعیتا n شامل: n! = 1 2 3 ... n. مثلا 5 تا! = 1 2 3 4 5 = 120. طبق تعریف، 0! = 1. فاکتوریل فقط برای اعداد صحیح غیر منفی تعریف می شود. فاکتوریل یک عدد n برابر است با تعداد جایگشت های n عنصر. مثلا 3! = 6، در واقع،

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

تمام شش و تنها شش جایگشت سه عنصر.

اصطلاح فاکتوریل توسط ریاضیدان فرانسوی و شخصیت سیاسیلویی فرانسوا آنتوان آربوگاست (1800)، نامگذاری n! - کریستین کرامپ، ریاضیدان فرانسوی (1808).

ماژول، قدر مطلق. K. Weierstrass (1841).

ماژول، قدر مطلق عدد واقعی x - یک عدد غیر منفی که به صورت زیر تعریف شده است: |x| = x برای x ≥ 0، و |x| = -x برای x ≤ 0. برای مثال، |7| = 7، |- 0.23| = -(-0.23) = 0.23. مدول یک عدد مختلط z = a + ib یک عدد واقعی برابر با √ (a 2 + b 2) است.

اعتقاد بر این است که اصطلاح "ماژول" توسط ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی، شاگرد نیوتن، راجر کوتس، پیشنهاد شده است. گوتفرید لایبنیتس نیز از این تابع استفاده کرد که آن را "ماژول" نامید و به آن اشاره کرد: mol x. نماد عمومی پذیرفته شده برای قدر مطلق در سال 1841 توسط ریاضیدان آلمانی کارل وایرشتراس معرفی شد. برای اعداد مختلط، این مفهوم توسط ریاضیدانان فرانسوی آگوستین کوشی و ژان روبرت آرگان در آغاز قرن نوزدهم معرفی شد. در سال 1903، دانشمند اتریشی Konrad Lorenz از همین نماد برای طول یک بردار استفاده کرد.

هنجار. ای. اشمیت (1908).

هنجار تابعی است که بر روی یک فضای برداری تعریف شده و مفهوم طول یک بردار یا مدول یک عدد را تعمیم می دهد. علامت "هنجار" (از کلمه لاتین "norma" - "قاعده"، "نمونه") توسط ریاضیدان آلمانی ارهارد اشمیت در سال 1908 معرفی شد.

حد. S. Luillier (1786)، W. Hamilton (1853)، بسیاری از ریاضیدانان (تا آغاز قرن 20th)

حد - یکی از مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضی است، به این معنی که مقداری متغیر در فرآیند تغییر آن به طور نامحدود به یک مقدار ثابت خاص نزدیک می شود. مفهوم حد به طور شهودی در نیمه دوم قرن هفدهم توسط آیزاک نیوتن و همچنین ریاضیدانان قرن هجدهم مانند لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت. اولین تعاریف دقیق از حد یک دنباله توسط برنارد بولزانو در سال 1816 و آگوستین کوشی در سال 1821 ارائه شد. نماد lim (3 حرف اول از کلمه لاتین limes - border) در سال 1787 با ریاضیدان سوئیسی Simon Antoine Jean Lhuillier ظاهر شد، اما استفاده از آن هنوز شبیه امروزی نبود. عبارت lim به شکلی آشناتر برای ما اولین بار توسط ریاضیدان ایرلندی ویلیام همیلتون در سال 1853 استفاده شد.وایرشتراس نامی نزدیک به مدرن معرفی کرد، اما به جای پیکان معمولی، از علامت مساوی استفاده کرد. این پیکان در آغاز قرن بیستم با چندین ریاضیدان به طور همزمان ظاهر شد - به عنوان مثال، با ریاضیدان انگلیسی گادفرید هاردی در سال 1908.

تابع زتا، د تابع زتای ریمان. بی ریمان (1857).

تابع تحلیلی متغیر مختلط s = σ + it، برای σ > 1، تعیین شده توسط سری دیریکله کاملاً و یکنواخت همگرا:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

برای σ > 1، نمایش در قالب محصول اویلر معتبر است:

ζ(s) = Πپ (1-p -s) -s ,

که در آن محصول بر تمام اعداد اول p گرفته می شود. تابع زتا نقش مهمی در نظریه اعداد دارد.به عنوان تابعی از یک متغیر واقعی، تابع زتا در سال 1737 (منتشر شده در 1744) توسط L. Euler معرفی شد که تجزیه آن را به یک محصول نشان داد. سپس این تابع توسط ریاضیدان آلمانی L. Dirichlet و به ویژه با موفقیت توسط ریاضیدان و مکانیک روسی P.L. چبیشف در مطالعه قانون توزیع اعداد اول. با این حال، عمیق ترین ویژگی های تابع زتا بعدها، پس از کار ریاضیدان آلمانی گئورگ فردریش برنهارد ریمان (1859)، که در آن تابع زتا به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط در نظر گرفته شد، کشف شد. او همچنین نام "عملکرد زتا" و علامت ζ(s) را در سال 1857 معرفی کرد.

تابع گاما، تابع Γ اویلر. A. Legendre (1814).

تابع گاما یک تابع ریاضی است که مفهوم فاکتوریل را به میدان اعداد مختلط گسترش می دهد. معمولا با Γ(z) نشان داده می شود. تابع z اولین بار توسط لئونارد اویلر در سال 1729 معرفی شد. با فرمول تعریف می شود:

Γ(z) = لیمn→∞ n!n z /z(z+1)...(z+n).

تعداد زیادی از انتگرال ها، محصولات بی نهایت و مجموع سری ها از طریق تابع G بیان می شوند. به طور گسترده در نظریه اعداد تحلیلی استفاده می شود. نام "تابع گاما" و علامت Γ(z) توسط ریاضیدان فرانسوی آدرین ماری لژاندر در سال 1814 پیشنهاد شد.

تابع بتا، تابع B، تابع اویلر B. جی بینه (1839).

تابعی از دو متغیر p و q که برای p> 0، q> 0 با برابری تعریف شده است:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

تابع بتا را می توان بر حسب تابع Γ بیان کرد: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).همانطور که تابع گاما برای اعداد صحیح تعمیم فاکتوریل است، تابع بتا نیز به نوعی تعمیم ضرایب دو جمله ای است.

بسیاری از خواص با استفاده از تابع بتا توصیف شده است.ذرات بنیادیشرکت در تعامل قوی. این ویژگی مورد توجه فیزیکدان نظری ایتالیایی قرار گرفتگابریل ونزیانودر سال 1968 آن آغاز شدهنظریه ریسمان

نام "تابع بتا" و علامت B(p, q) در سال 1839 توسط ژاک فیلیپ ماری بینه ریاضیدان، مکانیک و ستاره شناس فرانسوی معرفی شد.

اپراتور لاپلاس، لاپلاس. آر مورفی (1833).

عملگر دیفرانسیل خطی Δ، که φ (x 1، x 2، ...، x n) را از n متغیر x 1، x 2، ...، x n تابع تابع می کند:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

به طور خاص، برای تابع φ(x) از یک متغیر، عملگر لاپلاس با عملگر مشتق دوم منطبق است: Δφ = d 2 φ/dx 2 . معادله Δφ = 0 معمولاً معادله لاپلاس نامیده می شود. این جایی است که نام "اپراتور لاپلاس" یا "لاپلاسی" از اینجا آمده است. نماد Δ توسط فیزیکدان و ریاضیدان انگلیسی رابرت مورفی در سال 1833 معرفی شد.

اپراتور همیلتونی، اپراتور نابلا، همیلتونی. O. Heaviside (1892).

عملگر دیفرانسیل برداری فرم

∇ = ∂/∂x من+ ∂/∂y j+ ∂/∂z ک,

جایی که من, j، و ک- بردارهای مختصات از طریق عملگر nabla، عملیات اصلی تحلیل برداری و همچنین عملگر لاپلاس به صورت طبیعی بیان می شود.

در سال 1853، ریاضیدان ایرلندی، ویلیام روآن همیلتون، این عملگر را معرفی کرد و نماد ∇ را به شکل یک حرف یونانی معکوس Δ (دلتا) برای آن ابداع کرد. در همیلتون، نقطه نماد به سمت چپ بود؛ بعدها، در آثار ریاضیدان و فیزیکدان اسکاتلندی پیتر گاتری تیت، نماد ظاهری مدرن پیدا کرد. همیلتون این نماد را کلمه "atled" نامید (کلمه "دلتا" به عقب خوانده می شود). بعدها، محققان انگلیسی، از جمله الیور هیوساید، شروع به نامیدن این نماد "نابله"، پس از نام حرف ∇ در الفبای فنیقی، جایی که وجود دارد، کردند. منشأ این نامه با ساز موسیقی مانند چنگ مرتبط است، ναβλα (nabla) در یونانی باستان به معنای "چنگ" است. اپراتور اپراتور همیلتون یا اپراتور نابل نامیده می شد.

تابع. I. Bernoulli (1718)، L. Euler (1734).

یک مفهوم ریاضی که رابطه بین عناصر مجموعه ها را منعکس می کند. می توان گفت که یک تابع یک "قانون" است، یک "قاعده" که بر اساس آن هر عنصر از یک مجموعه (به نام دامنه تعریف) با عنصری از مجموعه دیگر (به نام دامنه مقادیر) مرتبط است. مفهوم ریاضی یک تابع بیانگر یک ایده شهودی است که چگونه یک کمیت مقدار کمیت دیگر را کاملاً تعیین می کند. اغلب اصطلاح "تابع" به معنای یک تابع عددی است. یعنی تابعی که برخی از اعداد را با برخی دیگر در یک راستا قرار می دهد. برای مدت طولانی، ریاضیدانان استدلال هایی را بدون براکت ارائه می کردند، به عنوان مثال، مانند این - φх. این نماد برای اولین بار توسط یوهان برنولی، ریاضیدان سوئیسی در سال 1718 استفاده شد.پرانتز فقط در صورتی استفاده می‌شد که آرگومان‌های زیادی وجود داشت، یا اگر آرگومان یک عبارت پیچیده بود. پژواک آن زمان ها رایج است و اکنون ثبت شده استsin x، lg xو غیره اما به تدریج استفاده از پرانتز، f(x) شد قانون کلی. و شایستگی اصلی در این امر به لئونارد اویلر تعلق دارد.

برابری. R. رکورد (1557).

علامت مساوی توسط رابرت رکورد، پزشک و ریاضیدان ولزی در سال 1557 پیشنهاد شد. طرح کلی کاراکتر بسیار طولانی تر از طرح فعلی بود، زیرا تصویر دو بخش موازی را تقلید می کرد. نویسنده توضیح داد که هیچ چیز در جهان برابرتر از دو بخش موازی با طول یکسان نیست. قبل از آن، در ریاضیات باستان و قرون وسطی، برابری به صورت شفاهی نشان داده می شد (به عنوان مثال، est egale). رنه دکارت در قرن هفدهم شروع به استفاده از æ (از لات. aequalis) و او از علامت تساوی مدرن برای نشان دادن اینکه ضریب می تواند منفی باشد استفاده کرد. فرانسوا ویته تفریق را با علامت تساوی نشان می دهد. نماد رکورد بلافاصله پخش نشد. گسترش نماد رکورد با این واقعیت مانع شد که از زمان های قدیم همین نماد برای نشان دادن موازی خطوط استفاده می شده است. در نهایت تصمیم گرفته شد که نماد موازی سازی عمودی باشد. در اروپای قاره ای، علامت "=" توسط گوتفرید لایبنیتس تنها در اواخر قرن 17-18 معرفی شد، یعنی بیش از 100 سال پس از مرگ رابرت رکورد، که برای اولین بار از آن استفاده کرد.

تقریباً به همان اندازه. A. Günther (1882).

امضا کردن " ≈" توسط ریاضیدان و فیزیکدان آلمانی آدام ویلهلم زیگموند گونتر در سال 1882 به عنوان نمادی برای رابطه "در مورد برابر" معرفی شد.

کم و بیش. تی هاریوت (1631).

این دو علامت توسط توماس هاریوت، ستاره شناس، ریاضیدان، قوم شناس و مترجم انگلیسی در سال 1631 به کار گرفته شد و قبل از آن از کلمات "بیشتر" و "کمتر" استفاده می شد.

قابلیت مقایسه K. Gauss (1801).

مقایسه - نسبت بین دو عدد صحیح n و m، به این معنی که تفاوت n-m این اعداد بر یک عدد صحیح معین a تقسیم می شود که مدول مقایسه نامیده می شود. نوشته شده است: n≡m(mod a) و به عنوان خوانده شده "اعداد n و m مدول a قابل مقایسه هستند". به عنوان مثال، 3≡11 (mod 4) زیرا 3-11 بر 4 بخش پذیر است. اعداد 3 و 11 مدول 4 متجانس هستند. بنابراین، عبارت در یک قسمت از مقایسه را می توان با علامت مخالف به قسمت دیگر منتقل کرد، و مقایسه با همان ماژول را می توان اضافه، تفریق، ضرب کرد، هر دو قسمت مقایسه را می توان در یک عدد و غیره ضرب کرد. مثلا،

3≡9+2 (Mod 4) و 3-2≡9 (Mod 4)

در عین حال مقایسه های واقعی. و از یک جفت مقایسه درست 3≡11 (mod 4) و 1≡5 (mod 4) درستی موارد زیر به دست می آید:

3+1≡11+5 (Mod 4)

3-1≡11-5 (Mod 4)

3 1≡11 5 (Mod 4)

3 2 ≡11 2 (Mod 4)

3 23≡11 23 (Mod 4)

در تئوری اعداد، روش هایی برای حل مقایسه های مختلف در نظر گرفته می شود، به عنوان مثال. روش‌هایی برای یافتن اعداد صحیح که مقایسه‌های یک نوع یا دیگری را برآورده می‌کنند.مقایسات مدول برای اولین بار توسط ریاضیدان آلمانی کارل گاوس در کتاب تحقیقات حسابی خود در سال 1801 استفاده شد. او همچنین نمادگرایی ایجاد شده در ریاضیات را برای مقایسه پیشنهاد کرد.

هویت. بی ریمان (1857).

هویت - برابری دو عبارت تحلیلی که برای هر مقدار مجاز حروف موجود در آن معتبر است. برابری a+b = b+a برای همه معتبر است مقادیر عددی a و b و بنابراین یک هویت است. برای ثبت هویت ها، در برخی موارد، از سال 1857، از علامت «≡» (بخوانید «یکسان برابر») استفاده می شود که نویسنده آن در این کاربرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ فردریش برنهارد ریمان است. می توان نوشت a+b ≡ b+a.

عمود بودن. P.Erigon (1634).

عمود بودن - آرایش متقابل دو خط مستقیم، صفحه یا یک خط مستقیم و یک صفحه، که در آن این ارقام یک زاویه راست ایجاد می کنند. علامت ⊥ برای نشان دادن عمود بودن در سال 1634 توسط ریاضیدان و ستاره شناس فرانسوی پیر اریگون معرفی شد. مفهوم عمودگرایی تعدادی تعمیم دارد، اما همه آنها، به عنوان یک قاعده، با علامت ⊥ همراه هستند.

موازی سازی. W. Outred (نسخه پس از مرگ 1677).

موازی - رابطه بین برخی از اشکال هندسی. به عنوان مثال، خطوط مستقیم. بسته به هندسه های مختلف متفاوت تعریف می شود. برای مثال، در هندسه اقلیدس و در هندسه لوباچفسکی. علامت موازی از زمان های قدیم شناخته شده است، هرون و پاپوس اسکندریه از آن استفاده می کردند. در ابتدا، نماد مشابه علامت برابر فعلی بود (فقط گسترده تر)، اما با ظهور دومی، برای جلوگیری از سردرگمی، نماد به صورت عمودی تبدیل شد ||. به این شکل برای اولین بار در یک نسخه پس از مرگ از آثار ریاضیدان انگلیسی ویلیام اوترد در سال 1677 ظاهر شد.

تقاطع، اتحاد. جی پیانو (1888).

تقاطع مجموعه ها مجموعه ای است که شامل آن و فقط آن عناصری است که به طور همزمان به همه مجموعه های داده شده تعلق دارند. اتحاد مجموعه ها مجموعه ای است که شامل تمام عناصر مجموعه های اصلی است. تقاطع و اتحاد نیز به عملیات روی مجموعه هایی گفته می شود که طبق قوانین فوق مجموعه های جدیدی را به مجموعه های خاصی اختصاص می دهند. به ترتیب با ∩ و ∪ نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر

A= (♠ ♣ )و B= (♣ ♦)،

که

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

شامل، شامل. E. Schroeder (1890).

اگر A و B دو مجموعه باشند و هیچ عنصری در A وجود نداشته باشد که متعلق به B نباشد، می گویند A در B موجود است. A⊂B یا B⊃A را می نویسند (B حاوی A است). مثلا،

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

نمادهای "حاوی" و "حاوی" در سال 1890 با ارنست شرودر ریاضیدان و منطق دان آلمانی ظاهر شد.

وابستگی. جی پیانو (1895).

اگر a عنصری از مجموعه A است، a∈A را بنویسید و "a متعلق به A است" بخوانید. اگر a جزء A نیست، a∉A بنویسید و بخوانید "a متعلق به A نیست". در ابتدا، روابط "شامل" و "متعلق" ("یک عنصر است") از هم متمایز نشدند، اما به مرور زمان این مفاهیم مستلزم تمایز بودند. علامت عضویت ∈ اولین بار توسط ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو در سال 1895 استفاده شد. نماد ∈ از حرف اول کلمه یونانی εστι - بودن می آید.

کمیت جهانی، کمیت وجودی. G. Gentzen (1935)، C. Pierce (1885).

کمیت یک نام کلی برای عملیات منطقی است که ناحیه صدق یک محمول را نشان می دهد (گزاره ریاضی). فیلسوفان مدتهاست که به عملیات منطقی که دامنه صدق یک محمول را محدود می کند توجه داشته اند، اما آنها را به عنوان یک طبقه جداگانه از عملیات جدا نکرده اند. اگرچه سازه های کمی-منطقی به طور گسترده ای هم در گفتار علمی و هم در گفتار روزمره استفاده می شود، رسمیت یافتن آنها تنها در سال 1879 در کتاب منطق دان، ریاضیدان و فیلسوف آلمانی فردریش لودویگ گوتلوب فرگه "حساب مفاهیم" صورت گرفت. نماد فرگه شبیه ساختارهای گرافیکی دست و پا گیر بود و پذیرفته نشد. متعاقباً، نمادهای موفق بسیاری پیشنهاد شد، اما نماد ∃ برای کمیت وجودی (بخوانید "وجود دارد"، "وجود دارد")، که توسط فیلسوف، منطق‌دان و ریاضیدان آمریکایی چارلز پیرس در سال 1885 پیشنهاد شد، و ∀ برای کمیت جهانی ( "هر"، "هر"، "هر") که توسط ریاضی‌دان و منطق‌دان آلمانی گرهارد کارل اریش گنتزن در سال 1935 با قیاس با نماد کمیت وجودی (حروف اول معکوس کلمات انگلیسی Existence (وجود) و Any ( هر)). به عنوان مثال، ورودی

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

به شرح زیر است: "برای هر ε>0 δ>0 وجود دارد به طوری که برای همه x برابر x 0 نیست و نابرابری |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

مجموعه تهی. N. Bourbaki (1939).

مجموعه ای که حاوی هیچ عنصری نیست. علامت مجموعه خالی در کتاب های نیکلاس بورباکی در سال 1939 معرفی شد. بورباکی نام مستعار جمعی گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که در سال 1935 تشکیل شد. یکی از اعضای گروه بورباکی، آندره ویل، نویسنده نماد Ø بود.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

در ریاضیات، یک برهان به عنوان دنباله ای از استدلال بر اساس قواعد خاصی درک می شود که نشان می دهد یک گزاره خاص درست است. از زمان رنسانس، پایان یک برهان توسط ریاضیدانان به عنوان "Q.E.D." از عبارت لاتین "Quod Erat Demonstrandum" - "آنچه باید اثبات می شد" نامگذاری شده است. هنگام ایجاد سیستم چیدمان کامپیوتری ΤΕΧ در سال 1978، پروفسور علوم کامپیوتر آمریکایی دونالد ادوین کنوت از یک نماد استفاده کرد: یک مربع پر شده، به اصطلاح "نماد هالموس" که به نام ریاضیدان آمریکایی مجارستانی پل ریچارد هالموس نامگذاری شده است. امروزه تکمیل یک برهان معمولاً با نماد Halmos نشان داده می شود. به عنوان جایگزین، علائم دیگری استفاده می شود: یک مربع خالی، یک مثلث قائم الزاویه، // (دو اسلش)، و همچنین مخفف روسی "ch.t.d.".