3 ارتفاع مثلث. خلاصه درس "قضیه تقاطع ارتفاعات مثلث". نسبت عناصر در مثلث قائم الزاویه

مثلثها.

مفاهیم اساسی.

مثلث- این شکل متشکل از سه بخش و سه نقطه است که روی یک خط مستقیم قرار ندارند.

بخش ها نامیده می شوند مهمانیو امتیازات قله ها.

مجموع زوایامثلث برابر با 180 درجه است.

ارتفاع مثلث.

ارتفاع مثلثعمودی است که از یک راس به طرف مقابل کشیده شده است.

در یک مثلث با زاویه حاد، ارتفاع در داخل مثلث قرار می گیرد (شکل 1).

در یک مثلث قائم الزاویه، پاها ارتفاع مثلث هستند (شکل 2).

در یک مثلث منفرد، ارتفاع از خارج مثلث می گذرد (شکل 3).

ویژگی های ارتفاع مثلث:

نیمساز مثلث.

نیمساز مثلث- این قطعه ای است که گوشه راس را نصف می کند و راس را به نقطه ای در طرف مقابل متصل می کند (شکل 5).

خواص نیمساز:

میانه یک مثلث.

وسط مثلث- این قطعه ای است که راس را با وسط طرف مقابل وصل می کند (شکل 9a).

طول میانه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: 2ب 2 + 2ج 2 - آ 2 m a 2 = —————— 4 جایی که m a- وسط کشیده شده به پهلو آ. در یک مثلث قائم الزاویه، میانه ای که به سمت هیپوتانوز کشیده می شود، نصف هیپوتانوز است: ج mc = — 2 جایی که mcمیانه ای است که به سمت هیپوتانوز کشیده شده است ج(شکل 9c) میانه های یک مثلث در یک نقطه (در مرکز جرم مثلث) قطع می شوند و با شمارش از بالا بر این نقطه به نسبت 2:1 تقسیم می شوند. یعنی قطعه از راس به مرکز دو برابر پاره از مرکز به ضلع مثلث است (شکل 9c). سه وسط یک مثلث آن را به شش مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند.

خط وسط مثلث.

خط وسط مثلث- این قطعه ای است که نقاط میانی دو طرف آن را به هم متصل می کند (شکل 10).

خط وسط مثلث موازی با ضلع سوم و برابر با نصف آن است.

گوشه بیرونی مثلث.

گوشه بیرونیمثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور (شکل 11).

زاویه بیرونی یک مثلث بزرگتر از هر زاویه غیر مجاور است.

راست گوشه.

راست گوشه- این مثلثی است که زاویه قائمه دارد (شکل 12).

ضلع مثلث قائم الزاویه در مقابل زاویه قائمه نامیده می شود هیپوتنوئوس.

دو طرف دیگر نامیده می شود پاها.

بخش های متناسب در یک مثلث قائم الزاویه.

1) در یک مثلث قائم الزاویه، ارتفاع رسم شده از زاویه قائمه، سه مثلث مشابه را تشکیل می دهد: ABC، ACH و HCB (شکل 14a). بر این اساس زوایای تشکیل شده از ارتفاع با زوایای A و B برابر است.

شکل 14 الف

مثلث متساوی الساقین.

مثلث متساوی الساقین- این مثلثی است که در آن دو ضلع برابر است (شکل 13).

این اضلاع مساوی نامیده می شوند طرفین، و سوم اساسمثلث.

در مثلث متساوی الساقین، زوایای قاعده با هم برابرند. (در مثلث ما، زاویه A برابر با زاویه C است).

در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده هم نیمساز و هم ارتفاع مثلث است.

مثلث متساوی الاضلاع.

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که در آن همه اضلاع برابر باشند (شکل 14).

خواص مثلث متساوی الاضلاع:

خواص قابل توجه مثلث ها

مثلث ها دارای ویژگی های اصلی هستند که به شما کمک می کند مشکلات مرتبط با این اشکال را با موفقیت حل کنید. برخی از این خواص در بالا ذکر شده است. اما ما دوباره آنها را تکرار می کنیم و چند ویژگی عالی دیگر را به آنها اضافه می کنیم:

1) در یک مثلث قائم الزاویه با زوایای 90 درجه، 30 درجه و 60 درجه، ساق بدر مقابل زاویه 30 درجه، برابر است با نیمی از هیپوتانوز یک پاآ پای بیشترب√3 بار (شکل 15 آ). برای مثال، اگر پای b برابر با 5 باشد، آنگاه هیپوتانوس جلزوما برابر با 10، و پا آبرابر با 5√3 است. 2) در یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه با زوایای 90 درجه، 45 درجه و 45 درجه، هیپوتانوس √2 برابر ساق است (شکل 15). ب). به عنوان مثال، اگر پاها 5 باشند، آنگاه هیپوتانوس 5√2 است. 3) خط وسط مثلث برابر با نصف ضلع موازی است (شکل 15 با). برای مثال، اگر ضلع مثلثی 10 باشد، خط وسط موازی با آن 5 است. 4) در یک مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نیمی از هیپوتنوز است (شکل 9c): mc= c/2. 5) وسط مثلثی که در یک نقطه متقاطع می شوند، به نسبت 2:1 بر این نقطه تقسیم می شوند. یعنی قطعه از رأس تا نقطه تلاقی وسط ها دو برابر پاره از نقطه تلاقی وسط ها تا ضلع مثلث است (شکل 9 ج). 6) در یک مثلث قائم الزاویه، نقطه وسط هیپوتنوس مرکز دایره محدود شده است (شکل 15). د).

نشانه های تساوی مثلث ها.

اولین نشانه برابری: اگر دو ضلع و زاویه بین یک مثلث با دو ضلع و زاویه بین آنها با مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها متجانس هستند.

دومین نشانه برابری: اگر ضلع و زوایای مجاور یک مثلث با ضلع و زوایای مجاور آن مثلث دیگر مساوی باشد، این مثلثها متجانس هستند.

سومین نشانه برابری: اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، این مثلث ها همسو هستند.

نابرابری مثلثی

در هر مثلثی، هر ضلع کوچکتر از مجموع دو ضلع دیگر است.

قضیه فیثاغورس.

در یک مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها:

ج 2 = آ 2 + ب 2 .

مساحت یک مثلث.

1) مساحت مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ضلع آن و ارتفاع کشیده شده به این ضلع:

آه
اس = ——
2

2) مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب هر دو ضلع آن و سینوس زاویه بین آنها:

1
اس = — AB · AC · گناه آ
2

مثلثی که دور یک دایره محصور شده است.

دایره ای را در یک مثلث محاط می گویند که تمام اضلاع آن را لمس کند (شکل 16 آ).

مثلث حکاکی شده در یک دایره.

اگر مثلثی را با تمام رئوس لمس کند در دایره محاط می گویند (شکل 17). آ).

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه (شکل 18).

سینوسیزاویه حاد ایکس مقابلکاتتر به هیپوتانوز.
به این صورت مشخص می شود: گناهایکس.

کسینوسزاویه حاد ایکسمثلث قائم الزاویه نسبت است مجاورکاتتر به هیپوتانوز.
به صورت زیر نشان داده می شود: cos ایکس.

مماسزاویه حاد ایکسنسبت پای مقابل به پای مجاور است.
به این صورت مشخص می شود: tgایکس.

کوتانژانتزاویه حاد ایکسنسبت پای مجاور به پای مقابل است.
به این صورت مشخص می شود: ctgایکس.

قوانین:

پا در گوشه مقابل ایکس، برابر است با حاصل ضرب هیپوتنوز و گناه ایکس:

b=cگناه ایکس

پای مجاور گوشه ایکس، برابر است با حاصل ضرب هیپوتنوز و cos ایکس:

a = c cos ایکس

پا در گوشه مقابل ایکس، برابر است با حاصل ضرب پای دوم و tg ایکس:

b = a tg ایکس

پای مجاور گوشه ایکس، برابر است با حاصلضرب پای دوم و ctg ایکس:

a = b ctg ایکس.

برای هر زاویه حاد ایکس:

گناه (90 درجه - ایکس) = cos ایکس

cos (90° - ایکس) = گناه ایکس

تقریباً هرگز نمی توان تمام پارامترهای یک مثلث را بدون ساختارهای اضافی تعیین کرد. این ساختارها نوعی ویژگی های گرافیکی یک مثلث هستند که به تعیین اندازه اضلاع و زوایا کمک می کنند.

تعریف

یکی از این ویژگی ها ارتفاع مثلث است. ارتفاع، عمودی است که از راس مثلث به سمت مقابل آن کشیده شده است. رأس یکی از سه نقطه ای است که به همراه سه ضلع آن یک مثلث را تشکیل می دهند.

تعریف ارتفاع مثلث می تواند به این صورت باشد: ارتفاع عمودی است که از راس مثلث به خط حاوی ضلع مقابل کشیده شده است.

این تعریف پیچیده تر به نظر می رسد، اما با دقت بیشتری وضعیت را منعکس می کند. واقعیت این است که در یک مثلث منفرد نمی توان ارتفاعی را در داخل مثلث ترسیم کرد. همانطور که در شکل 1 مشاهده می کنید، ارتفاع در این حالت خارجی است. علاوه بر این، یک وضعیت غیر استاندارد ساخت ارتفاع در یک مثلث قائم الزاویه است. در این حالت، دو تا از سه ارتفاع مثلث از پاها و سومی از راس به سمت هیپوتنوس عبور می کند.

برنج. 1. ارتفاع مثلث منفرد.

به عنوان یک قاعده، ارتفاع یک مثلث با حرف h نشان داده می شود. ارتفاع در شکل های دیگر نیز نشان داده شده است.

چگونه ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟

سه روش استاندارد برای یافتن ارتفاع مثلث وجود دارد:

از طریق قضیه فیثاغورث

این روش برای مثلث متساوی الاضلاع و متساوی الساقین استفاده می شود. حل یک مثلث متساوی الساقین را تجزیه و تحلیل می کنیم و سپس خواهیم گفت که چرا همان جواب برای مثلث متساوی الاضلاع معتبر است.

داده شده: مثلث متساوی الساقین ABC با قاعده AC. AB=5، AC=8. ارتفاع مثلث را پیدا کنید.

برنج. 2. ترسیم برای مسئله.

برای مثلث متساوی الساقین، مهم است که بدانیم پایه کدام ضلع است. این اضلاع را که باید برابر باشند و همچنین ارتفاعی که برخی از ویژگی ها روی آن عمل می کنند را مشخص می کند.

ویژگی های ارتفاع مثلث متساوی الساقین کشیده شده به قاعده:

• ارتفاع همان میانه و نیمساز است
• پایه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

ارتفاع را به صورت BD نشان می دهیم. DС به عنوان نصف از پایه یافت می شود، زیرا ارتفاع نقطه D پایه را به نصف تقسیم می کند. DC=4

ارتفاع عمود است، بنابراین BDC یک مثلث قائم الزاویه است و ارتفاع BH ساق این مثلث است.

ارتفاع را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنید: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

هر مثلث متساوی الاضلاع متساوی الساقین است، فقط قاعده آن با اضلاع برابر است. یعنی می توانید از همین رویه استفاده کنید.

از طریق مساحت یک مثلث

این روش برای هر مثلثی قابل استفاده است. برای استفاده از آن، باید مقدار مساحت مثلث و ضلعی که ارتفاع به آن کشیده شده است را بدانید.

ارتفاعات در مثلث مساوی نیستند، بنابراین برای ضلع مربوطه می توان ارتفاع مربوطه را محاسبه کرد.

فرمول مساحت یک مثلث $$S=(1\over2)*bh$$ است که b ضلع مثلث و h ارتفاع کشیده شده به آن ضلع است. ارتفاع را از فرمول بیان کنید:

$$h=2*(S\over b)$$

اگر مساحت 15 باشد، ضلع آن 5 است، سپس ارتفاع $$h=2*(15\over5)=6$$ است.

از طریق تابع مثلثاتی

روش سوم در صورتی مناسب است که ضلع و زاویه در پایه مشخص باشد. برای این کار باید از تابع مثلثاتی استفاده کنید.

برنج. 3. ترسیم برای مسئله.

زاویه BCH=300 و ضلع BC=8. ما هنوز همان مثلث قائم الزاویه BCH را داریم. بیایید از سینوس استفاده کنیم. سینوس نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است که به معنی BH/BC=cos BCH است.

زاویه شناخته شده است، به عنوان طرف. ارتفاع مثلث را بیان کنید:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

مقدار کسینوس معمولاً از جداول Bradis گرفته می شود، اما توابع مثلثاتی برای 30.45 و 60 درجه اعداد جدولی هستند.

ما چه آموخته ایم؟

ما یاد گرفتیم که ارتفاع یک مثلث چقدر است، ارتفاعات چیست و چگونه نشان داده می شوند. ما وظایف معمولی را فهمیدیم و سه فرمول برای ارتفاع یک مثلث نوشتیم.

مسابقه موضوع

رتبه بندی مقاله

میانگین امتیاز: 4.6. مجموع امتیازهای دریافتی: 137.

هنگام حل انواع مختلف مسائل، هر دو ماهیت صرفا ریاضی و کاربردی (به ویژه در ساخت و ساز)، اغلب لازم است که مقدار ارتفاع یک شکل هندسی خاص تعیین شود. چگونه یک مقدار معین (ارتفاع) را در یک مثلث محاسبه کنیم؟

اگر 3 نقطه را به صورت جفت که روی یک خط مستقیم قرار نگرفته اند ترکیب کنیم، شکل به دست آمده یک مثلث خواهد بود. ارتفاع بخشی از یک خط از هر رأس یک شکل است که وقتی با طرف مقابل قطع شود، زاویه 90 درجه را تشکیل می دهد.

ارتفاع را در مثلث اسکیلنی پیدا کنید

اجازه دهید مقدار ارتفاع مثلث را در موردی تعیین کنیم که شکل دارای زوایای و اضلاع دلخواه باشد.

فرمول هرون

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a، جایی که

p - نیمی از محیط شکل، h(a) - قطعه به ضلع a، کشیده شده در زاویه قائم به آن،

p=(a+b+c)/2 – محاسبه نیم محیط.

اگر مساحتی از شکل وجود دارد، برای تعیین ارتفاع آن می توانید از نسبت h(a)=2S/a استفاده کنید.

توابع مثلثاتی

برای تعیین طول پاره ای که در تقاطع با ضلع a زاویه قائمه ایجاد می کند، می توانید از روابط زیر استفاده کنید: اگر ضلع b و زاویه γ یا ضلع c و زاویه β مشخص باشند، h(a)=b*sinγ. یا h(a)=c *sinβ.
جایی که:
γ زاویه بین ضلع b و a است،
β زاویه بین ضلع c و a است.

رابطه با شعاع

اگر مثلث اصلی به صورت دایره ای حک شده باشد، می توانید از شعاع چنین دایره ای برای تعیین ارتفاع استفاده کنید. مرکز آن در نقطه ای قرار دارد که هر 3 ارتفاع (از هر رأس) را قطع می کنند - مرکز مرکزی و فاصله آن تا راس (هر کدام) شعاع است.

سپس h(a)=bc/2R، که در آن:
b، c - 2 ضلع دیگر مثلث،
R شعاع دایره ای است که مثلث را توصیف می کند.

ارتفاع را در مثلث قائم الزاویه بیابید

در این شکل از یک شکل هندسی، 2 طرف در تقاطع یک زاویه راست - 90 درجه تشکیل می دهند. بنابراین، اگر لازم است مقدار ارتفاع در آن تعیین شود، باید یا اندازه یکی از پاها، یا مقدار قطعه ای که 90 درجه را با هیپوتانوس تشکیل می دهد، محاسبه شود. هنگام تعیین:
الف، ب - پاها،
c هیپوتانوز است،
h(c) عمود بر هیپوتانوس است.
با استفاده از نسبت های زیر می توانید محاسبات لازم را انجام دهید:

• قضیه فیثاغورس:

a \u003d √ (c 2 -b 2)،
b \u003d √ (c 2 -a 2)،
h(c)=2S/c S=ab/2، سپس h(c)=ab/c.

• توابع مثلثاتی:

a=c*sinβ،
b=c* cosβ،
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

ارتفاع یک مثلث متساوی الساقین را پیدا کنید

این شکل هندسیدر حضور دو طرف با اندازه مساوی و سوم - پایه متفاوت است. برای تعیین ارتفاع کشیده شده به ضلع سوم، قضیه فیثاغورث به کمک می آید. با نام گذاری ها
گذشته از،
ج - پایه،
h(c) قطعه ای به c در زاویه 90 درجه است، سپس h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).