ویژگی های اساسی انتگرال ها ویژگی های اساسی انتگرال نامعین تغییر متغیر در یک انتگرال معین

فرمول های ادغام اولیه با معکوس کردن فرمول های مشتقات به دست می آیند، بنابراین، قبل از شروع مطالعه موضوع مورد بررسی، باید فرمول های تمایز 1 توابع اساسی را تکرار کنید (یعنی جدول مشتقات را به خاطر بسپارید).

دانش آموزان با آشنایی با مفهوم پاد مشتق، تعریف انتگرال نامعین و مقایسه عملیات تمایز و ادغام به چند ارزشی بودن عمل ادغام توجه کنند. مجموعه نامتناهی از ضد مشتقات را در بازه مورد بررسی ارائه می دهد. با این حال، در واقع، مشکل یافتن تنها یک ضد مشتق حل شده است، زیرا همه پاد مشتق های یک تابع معین با یک مقدار ثابت با یکدیگر تفاوت دارند

جایی که سی– مقدار دلخواه 2 .

سوالاتی برای خودآزمایی

یک تابع ضد مشتق را تعریف کنید.

انتگرال نامعین چیست؟

انتگرال چیست؟

انتگرال چیست؟

معنای هندسی خانواده توابع ضد مشتق را نشان دهید.

6. در خانواده، منحنی عبور از نقطه را پیدا کنید

2. خواص انتگرال نامعین.

جدول انتگرال های ساده

در اینجا، دانش آموزان باید ویژگی های زیر را از انتگرال نامعین یاد بگیرند.

ویژگی 1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال تابع 3 (طبق تعریف)

ویژگی 2. دیفرانسیل انتگرال برابر با انتگرال است

آن ها اگر علامت دیفرانسیل قبل از علامت انتگرال قرار گیرد، آنها یکدیگر را خنثی می کنند.

ویژگی 3. اگر علامت انتگرال در جلوی علامت دیفرانسیل قرار گیرد، آنها یکدیگر را خنثی می کنند و یک مقدار ثابت دلخواه به تابع اضافه می شود.

ویژگی 4. تفاوت دو پاد مشتق از یک تابع یک مقدار ثابت است.

ویژگی 5. یک عامل ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد

جایی که ولییک عدد ثابت است

اتفاقاً با در نظر گرفتن خاصیت 2 می توان به راحتی هر دو قسمت برابری (2.4) را متمایز کرد.

ویژگی 6. انتگرال مجموع (تفاوت) یک تابع برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرال های این توابع (در صورت وجود جداگانه)

این خاصیت نیز به راحتی با تمایز ثابت می شود.

تعمیم طبیعی اموال 6

. (2.6)

با در نظر گرفتن انتگرال به عنوان یک عمل معکوس به تمایز، مستقیماً از جدول ساده ترین مشتقات، می توان جدول ساده ترین انتگرال های زیر را به دست آورد.

جدول انتگرال های نامعین ساده

1.، جایی که، (2.7)

2. ، جایی که ، (2.8)

4. ، جایی که ، (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

فرمول های (2.7) - (2.16) از ساده ترین انتگرال های نامعین را باید از قلب یاد گرفت. دانستن آنها برای یادگیری نحوه ادغام ضروری است، اما کافی نیست. مهارت‌های پایدار در یکپارچگی تنها با حل تعداد زیادی از مسائل (معمولاً حدود 150 تا 200 نمونه از انواع مختلف) به دست می‌آیند.

در زیر نمونه هایی از ساده سازی انتگرال ها با تبدیل آنها به مجموع انتگرال های شناخته شده (2.7) - (2.16) از جدول بالا آورده شده است.

مثال 1.

.

از این ویژگی ها برای انجام تبدیل انتگرال به منظور رساندن آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. یک عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر پس از آن

8. اموال:

اگر پس از آن

در واقع این ویژگی یک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر است که در قسمت بعدی به طور مفصل به آن پرداخته می شود.

به یک مثال توجه کنید:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول ضد مشتقات استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و به راحتی یک راه حل دقیق برای انتگرال شما پیدا می کند.

انگلیسی:ویکی پدیا سایت را امن تر می کند. شما از یک مرورگر وب قدیمی استفاده می کنید که در آینده نمی تواند به ویکی پدیا متصل شود. لطفاً دستگاه خود را به روز کنید یا با سرپرست فناوری اطلاعات خود تماس بگیرید.

中文: 维基 百科 正 使 网站 网站 更加 安全 您 正 在 使用 旧 ， ， 这 将来 无法 连接 维基 维基 百科。 的 的 设备 或 您 的 管理员 管理员。 提供 提供 更 长 长 ， 具 的 更新 仅 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 a سلام).

اسپانول:ویکی‌پدیا این موقعیت مکانی است. استفاده از وب‌سایت ناوبری است که در ویکی‌پدیا در آینده ایجاد نمی‌شود. در واقع با یک مدیر اطلاعات تماس بگیرید. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

فرانسیس:ویکی‌پدیا و بینتوت تقویت کننده سایت امنیتی پسر. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à lorsque ce sera fait ویکی پدیا. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. اطلاعات تکمیلی به علاوه تکنیک ها و زبان انگلیسی در دسترس است.

日本語: ウィキペディア で は の セキュリティ セキュリティ を て い ます。 ご 利用 の は バージョン が 古く 、 今後 、 、 接続 でき なる 可能 可能 性 が デバイス を する する 、 、 、 、 管理 管理 ご ください。 技術 技術 面 面 の の 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 更新 a更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提供

آلمانی: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten مرورگر وب، der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ایتالیایی:ویکی‌پدیا از rendendo il sito più sicuro است. استفاده از مرورگر وب را بدون sarà در ویکی‌پدیا در آینده ایجاد کنید. به نفع خود، اطلاعاتی را در اختیار شما قرار دهید. Più in basso è موجود در aggiornamento più dettagliato e tecnico به زبان انگلیسی.

مجاری: Biztonságosabb lesz یک ویکی پدیا. A böngésző، amit használsz، nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

سوئد:ویکی پدیا گور سیدان mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. به روز رسانی در مورد مدیریت فناوری اطلاعات است. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ما در حال حذف پشتیبانی از نسخه های پروتکل ناامن TLS، به ویژه TLSv1.0 و TLSv1.1 هستیم، که نرم افزار مرورگر شما برای اتصال به سایت های ما به آن متکی است. این معمولاً به دلیل مرورگرهای قدیمی یا تلفن های هوشمند اندرویدی قدیمی ایجاد می شود. یا ممکن است تداخل نرم افزار "Web Security" شرکتی یا شخصی باشد که در واقع امنیت اتصال را کاهش می دهد.

برای دسترسی به سایت های ما باید مرورگر وب خود را ارتقا دهید یا این مشکل را برطرف کنید. این پیام تا 1 ژانویه 2020 باقی خواهد ماند. پس از آن تاریخ، مرورگر شما نمی‌تواند با سرورهای ما ارتباط برقرار کند.

این مقاله به طور مفصل در مورد ویژگی های اصلی یک انتگرال معین صحبت می کند. آنها با استفاده از مفهوم انتگرال ریمان و داربوکس ثابت می شوند. محاسبه یک انتگرال معین به لطف 5 ویژگی. بقیه آنها برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شوند.

قبل از پرداختن به خصوصیات اصلی انتگرال معین، باید مطمئن شد که a از b تجاوز نمی کند.

ویژگی های اساسی یک انتگرال معین

تعریف 1

تابع y \u003d f (x) ، تعریف شده برای x \u003d a ، شبیه برابری منصفانه ∫ a a f (x) d x \u003d 0 است.

اثبات 1

از اینجا می بینیم که مقدار انتگرال با حدود متقابل برابر با صفر است. این نتیجه انتگرال ریمان است، زیرا هر مجموع انتگرال σ برای هر پارتیشن در بازه [a; a ] و هر انتخابی از نقاط ζ i برابر با صفر است، زیرا x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . ، n ، بنابراین دریافت می کنیم که حد توابع انتگرال صفر است.

تعریف 2

برای یک تابع قابل ادغام در بازه [a; b ]، شرط ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x برآورده می شود.

اثبات 2

به عبارت دیگر، اگر حد بالا و پایین ادغام را در مکان‌ها تغییر دهید، مقدار انتگرال مقدار را به عکس تغییر می‌دهد. این ویژگی از انتگرال ریمان گرفته شده است. با این حال، شماره گذاری تقسیم قطعه از نقطه x = b شروع می شود.

تعریف 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x برای توابع قابل انتگرال گیری از نوع y = f (x) و y = g (x) تعریف شده در بازه [ a ; ب].

اثبات 3

مجموع انتگرال تابع y = f (x) ± g (x) را برای تقسیم به قطعات با انتخاب معینی از نقاط ζ i بنویسید: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

که σ f و σ g مجموع انتگرال توابع y = f (x) و y = g (x) برای تقسیم قطعه هستند. پس از عبور از حد در λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 دریافت می کنیم که lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

از تعریف ریمان، این عبارت معادل است.

تعریف 4

خارج کردن عامل ثابت از علامت انتگرال معین. یک تابع قابل ادغام از بازه [a; b ] با مقدار دلخواه k دارای نابرابری معتبر به شکل ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

اثبات 4

اثبات خاصیت انتگرال معین مشابه مورد قبلی است:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

تعریف 5

اگر تابعی از شکل y = f (x) در بازه x با ∈ x , b ∈ x قابل انتگرال باشد، ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x را به دست می آوریم.

اثبات 5

این ویژگی برای c ∈ a معتبر در نظر گرفته می شود. b، برای c ≤ a و c ≥ b. اثبات مشابه خواص قبلی انجام می شود.

تعریف 6

وقتی یک تابع قابلیت ادغام شدن از بخش [a; b]، پس این برای هر بخش داخلی c امکان پذیر است. d ∈ a; ب

اثبات 6

اثبات بر اساس ویژگی Darboux است: اگر نقاط به یک پارتیشن موجود از یک قطعه اضافه شود، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

تعریف 7

هنگامی که یک تابع در [a; b ] از f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 برای هر مقدار x ∈ a ; b، سپس دریافت می کنیم که ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

این ویژگی را می توان با استفاده از تعریف انتگرال ریمان اثبات کرد: هر جمع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط تقسیم قطعه و نقاط ζ i با این شرط که f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 غیر منفی باشد.

اثبات 7

اگر توابع y = f (x) و y = g (x) در قطعه [a ; b ]، سپس نابرابری های زیر معتبر در نظر گرفته می شوند:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ب

با تشکر از این ادعا، ما می دانیم که ادغام قابل قبول است. این نتیجه در اثبات خواص دیگر استفاده خواهد شد.

تعریف 8

برای یک تابع قابل انتگرال y = f (x) از بخش [a; b ] یک نابرابری معتبر از شکل ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x داریم.

اثبات 8

داریم که - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . از ویژگی قبلی، به دست آوردیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد و مربوط به نابرابری به شکل - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . این نابرابری مضاعف را می توان به شکل دیگری نوشت: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

تعریف 9

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بخش [a ; b ] برای g (x) ≥ 0 برای هر x ∈ a ; b، نابرابری از شکل m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x به دست می آوریم، که در آن m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

اثبات 9

اثبات به روشی مشابه انجام می شود. M و m به عنوان بزرگترین و کوچکترین مقدارتابع y = f (x)، تعریف شده از بخش [a; b ]، سپس m ≤ f (x) ≤ M . لازم است نابرابری مضاعف را در تابع y = g (x) ضرب کنیم، که مقدار نامساوی مضاعف شکل m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) را به دست می دهد. لازم است آن را در بخش [a; b ]، سپس ادعایی را به دست می آوریم که باید اثبات شود.

نتیجه: برای g (x) = 1، نابرابری m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) می شود.

فرمول میانگین اول

تعریف 10

برای y = f (x) قابل ادغام در بازه [a; b ] با m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M که با ∫ a b f (x) d x = μ · b - a مطابقت دارد.

نتیجه: وقتی تابع y = f (x) از قطعه [a ; b ]، پس چنین عددی c ∈ a وجود دارد. b ، که برابری ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a را برآورده می کند.

فرمول اول مقدار متوسط ​​به صورت تعمیم یافته

تعریف 11

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بخش [a ; b ] با m = m i n x ∈ a ; b f (x) و M = m a x x ∈ a ; b f (x) و g (x) > 0 برای هر مقدار x ∈ a ; ب از این رو داریم که یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M که برابری ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x را برآورده می کند.

دومین فرمول مقدار میانگین

تعریف 12

وقتی تابع y = f (x) از بخش [a ; b ] و y = g (x) یکنواخت است، پس عددی وجود دارد که c ∈ a ; b , جایی که یک برابری منصفانه از شکل ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ضد مشتق و انتگرال نامعین.

یک تابع ضد مشتق f(x) در بازه (a; b) چنان تابع F(x) است که برابری برای هر x از یک بازه معین برقرار است.

اگر این واقعیت را در نظر بگیریم که مشتق ثابت C برابر با صفر است، تساوی است . بنابراین، تابع f(x) دارای مجموعه ای از ضد مشتقات F(x)+C برای یک ثابت دلخواه C است و این پاد مشتق ها با یک مقدار ثابت دلخواه با یکدیگر متفاوت هستند.

کل مجموعه پاد مشتق های تابع f(x) را انتگرال نامعین این تابع می نامند و نشان می دهند. .

عبارت انتگرال نامیده می شود و f(x) انتگرال نامیده می شود. انتگرال دیفرانسیل تابع f(x) است.

عمل یافتن یک تابع مجهول توسط دیفرانسیل داده شده آن را یکپارچگی نامعین می نامند، زیرا نتیجه یکپارچه سازی یک تابع F(x) نیست، بلکه مجموعه ای از ضد مشتقات آن F(x)+C است.

انتگرال های جدول

ساده ترین خواص انتگرال ها

1. مشتق حاصل انتگرال گیری برابر با انتگرال است.

2. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با مجموع خود تابع و یک ثابت دلخواه.

3. ضریب را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد.

4. انتگرال نامعین مجموع / تفاضل توابع برابر است با مجموع / تفاضل انتگرال های نامعین توابع.

تساوی میانی خواص اول و دوم انتگرال نامعین برای روشن شدن آورده شده است.

برای اثبات ویژگی های سوم و چهارم کافی است مشتقات سمت راست برابری ها را بیابیم:

این مشتقات برابر با انتگرال ها هستند که به موجب خاصیت اول اثبات می شود. همچنین در آخرین انتقال ها استفاده می شود.

بنابراین، مشکل ادغام، مسئله معکوس تمایز است و ارتباط بسیار نزدیکی بین این مشکلات وجود دارد:

ویژگی اول امکان بررسی ادغام را فراهم می کند. برای بررسی صحت ادغام انجام شده کافی است مشتق نتیجه به دست آمده را محاسبه کنید. اگر تابعی که در نتیجه تمایز به دست می آید برابر با انتگرال باشد، به این معنی است که ادغام به درستی انجام شده است.

خاصیت دوم انتگرال نامعین به ما امکان می دهد که پاد مشتق آن را از دیفرانسیل شناخته شده یک تابع پیدا کنیم. محاسبه مستقیم انتگرال های نامعین بر اساس این ویژگی است.

1.4 تغییر ناپذیری اشکال ادغام.

یکپارچگی ثابت نوعی ادغام برای توابعی است که آرگومان های آنها عناصر یک گروه یا نقاط یک فضای همگن هستند (هر نقطه ای از چنین فضایی را می توان به دیگری منتقل کرد. اقدام مشخص شدهگروه ها).

تابع f(x) به محاسبه انتگرال شکل دیفرانسیل f.w کاهش می یابد، جایی که

یک فرمول صریح برای r(x) در زیر آورده شده است. شرط توافق فرم دارد .

در اینجا Tg به معنای عملگر شیفت روی X با استفاده از gOG است: Tgf(x)=f(g-1x). اجازه دهید X=G یک توپولوژی باشد، گروهی که با شیفت های چپ روی خودش عمل می کند. من و. وجود دارد اگر و تنها اگر G به صورت محلی فشرده باشد (به ویژه، در گروه‌های بی‌بعدی، یک درونی وجود ندارد). برای زیر مجموعه ای از I. و. تابع مشخصه cA (برابر 1 در A و 0 در خارج A) اندازه Haar سمت چپ m(A) را تعریف می کند. ویژگی تعیین کننده این اندازه گیری، تغییر ناپذیری آن تحت شیفت های چپ است: m(g-1A)=m(A) برای همه gОG. اندازه گیری هار سمت چپ در یک گروه به طور منحصر به فرد تا یک ضریب اسکالر مجموعه ای تعریف می شود. اگر اندازه هار m شناخته شود، I. و. تابع f با فرمول داده می شود . اندازه گیری درست هار خواص مشابهی دارد. یک هممورفیسم پیوسته وجود دارد (نقشه برداری که خاصیت گروه را حفظ می کند) DG از گروه G را در گروه (با توجه به ضرب) قرار داده است. اعدادی که برای آنها

که در آن dmr و dmi اندازه های راست و چپ هار هستند. تابع DG(g) فراخوانی می شود. ماژول گروه G. اگر، گروه G فراخوانی می شود. تک مدولار در این حالت، اندازه هار راست و چپ یکسان است. گروه های فشرده، نیمه ساده و بی توان (به ویژه، جابجایی) تک مدولار هستند. اگر G یک گروه Lie n بعدی باشد و q1،...،qn مبنایی در فضای 1-شکل های چپ ناتغییر در G باشد، آنگاه اندازه Haar سمت چپ روی G با شکل n به دست می آید. در مختصات محلی برای محاسبه

از qi تشکیل می دهد، می توانید از هر پیاده سازی ماتریسی از گروه G استفاده کنید: ماتریس 1-شکل g-1dg تغییر ناپذیر چپ است و ضریب آن. شکلهای 1 اسکالر نامتغیر چپ هستند که مبنای مورد نظر از بین آنها انتخاب می شود. به عنوان مثال، گروه ماتریس کامل GL(n, R) تک مدولار است و اندازه Haar روی آن توسط یک فرم داده می شود. اجازه دهید X=G/H یک فضای همگن است که گروه فشرده محلی G یک گروه تبدیل و زیرگروه بسته H یک تثبیت کننده نقطه ای است. برای اینکه یک I.I روی X وجود داشته باشد، لازم و کافی است که برابری DG(h)=DH(h) برای همه hОH برقرار باشد. به ویژه، این موضوع زمانی صادق است که H فشرده یا نیمه ساده باشد. تئوری کامل I. و. در منیفولدهای بینهایت بعدی وجود ندارد.

تغییر متغیرها