10 ni kasr sifatida qanday ifodalash mumkin. Kasrni o'nli kasr sifatida qanday ifodalash kerak. Qanday fraktsiyalar mavjud


Ushbu maqolada biz qanday qilib ko'rib chiqamiz kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish, shuningdek, teskari jarayonni ko'rib chiqing - o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish. Bu erda biz kasrlarni konvertatsiya qilish qoidalarini ko'rsatamiz va odatiy misollarga batafsil echimlarni taqdim etamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Keling, biz bilan shug'ullanadigan ketma-ketlikni belgilaylik kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish.

Birinchidan, maxrajlari 10, 100, 1000, ... bo‘lgan kasrlarni o‘nli kasr sifatida qanday ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Bu o'nli kasrlar mohiyatan 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni yozishning ixcham shakli ekanligi bilan izohlanadi.

Shundan so'ng, biz davom etamiz va har qanday oddiy kasrni (faqat maxrajlari 10, 100, ... bo'lganlarni emas) o'nli kasr sifatida qanday yozishni ko'rsatamiz. Oddiy kasrlarga shu tarzda ishlov berilsa, ham chekli o'nli kasrlar, ham cheksiz davriy o'nli kasrlar olinadi.

Endi hamma narsa haqida tartibda gaplashaylik.

Maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish

Ba'zi to'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin "oldindan tayyorgarlik" ni talab qiladi. Bu oddiy kasrlar uchun amal qiladi, ularning sonidagi raqamlar soni maxrajdagi nol sonidan kichikdir. Misol uchun, 2/100 oddiy kasr birinchi navbatda o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlanishi kerak, ammo 9/10 kasr hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi.

To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorgarlik" hisoblagichning chap tomoniga shunchalik ko'p nol qo'shishdan iborat bo'lib, u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Misol uchun, nollarni qo'shgandan keyin kasr o'xshash bo'ladi.

To'g'ri kasrni tayyorlaganingizdan so'ng, uni o'nli kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin.

beraylik maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi. U uch bosqichdan iborat:

  • 0 yozing;
  • undan keyin biz kasr nuqtasini qo'yamiz;
  • Numeratordan raqamni yozamiz (agar biz ularni qo'shsak, qo'shilgan nollar bilan birga).

Keling, misollarni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

37/100 to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Maxrajda ikkita nolga ega bo'lgan 100 raqami mavjud. Numerator 37 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvi ikkita raqamga ega, shuning uchun bu kasrni o'nlik kasrga aylantirish uchun tayyorlanish shart emas.

Endi biz 0 ni yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan 37 raqamini yozamiz va o'nlik kasr 0,37 ni olamiz.

Javob:

0,37 .

10, 100, ... numeratorlari bo'lgan to'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun biz boshqa misolning yechimini tahlil qilamiz.

Misol.

107/10 000 000 to'g'ri kasrni o'nli kasr shaklida yozing.

Yechim.

Numeratordagi raqamlar soni 3 ga, maxrajdagi nollar soni esa 7 ga teng, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Numeratorning chap tomoniga 7-3=4 nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. olamiz.

Faqat kerakli o'nli kasrni yaratish qoladi. Buning uchun, birinchidan, biz 0 yozamiz, ikkinchidan, vergul qo'yamiz, uchinchidan, raqamdan 0000107 nol bilan birga yozamiz, natijada bizda 0,0000107 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

0,0000107 .

Noto'g'ri kasrlar o'nli kasrlarga o'tkazishda hech qanday tayyorgarlikni talab qilmaydi. Quyidagilarga rioya qilish kerak maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan noto‘g‘ri kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish qoidalari:

  • numeratordan raqamni yozing;
  • Asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda shuncha sonni ajratish uchun kasr nuqtasidan foydalanamiz.

Keling, misolni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik.

Misol.

56,888,038,009/100,000 noo'rin kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Birinchidan, biz raqamni 56888038009 raqamidan yozamiz, ikkinchidan, o'ngdagi 5 ta raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz, chunki asl kasrning maxrajida 5 ta nol bor. Natijada bizda 568880.38009 o'nlik kasr mavjud.

Javob:

568 880,38009 .

Aralash sonni kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000, ... bo'lgan o'nli kasrga aylantirish uchun siz aralash sonni noto'g'ri oddiy kasrga aylantirib, keyin hosil bo'lgan kasrni o'zgartirishingiz mumkin. kasrni o'nli kasrga. Ammo siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin kasr maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan aralash sonlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:

  • agar kerak bo'lsa, biz numeratorning chap tomoniga kerakli miqdordagi nollarni qo'shib, asl aralash raqamning kasr qismini "oldindan tayyorlash" ni bajaramiz;
  • asl aralash sonning butun qismini yozing;
  • kasr nuqtasini qo'ying;
  • Numeratordan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz.

Keling, aralash sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun barcha kerakli qadamlarni bajargan misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Aralash sonni kasrga aylantiring.

Yechim.

Kasr qismining maxrajida 4 ta nol bor, lekin hisoblagich 2 ta raqamdan iborat 17 raqamini o'z ichiga oladi, shuning uchun raqamning chap tomoniga ikkita nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlar soni soniga teng bo'ladi. maxrajdagi nollar. Buni qilgandan so'ng, hisoblagich 0017 bo'ladi.

Endi biz asl sonning butun qismini, ya'ni 23 raqamini yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz, shundan so'ng biz raqamdan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz, ya'ni 0017 va biz kerakli o'nli kasrni olamiz. kasr 23.0017.

Keling, butun yechimni qisqacha yozamiz: .

Albatta, avval aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash va keyin uni o'nli kasrga aylantirish mumkin edi. Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

23,0017 .

Kasrlarni chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlarga aylantirish

Siz nafaqat maxraji 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarni, balki boshqa maxrajli oddiy kasrlarni ham o'nli kasrga o'tkazishingiz mumkin. Endi biz buni qanday qilishni aniqlaymiz.

Ayrim hollarda dastlabki oddiy kasr 10, yoki 100 yoki 1000, ... maxrajlaridan biriga osonlik bilan qisqartiriladi (oddiy kasrni yangi maxrajga olib kelishga qarang), shundan so‘ng hosil bo‘lgan kasrni ifodalash qiyin emas. o'nlik kasr sifatida. Masalan, 2/5 kasrni maxraji 10 bo'lgan kasrga qisqartirish mumkinligi aniq, buning uchun pay va maxrajni 2 ga ko'paytirish kerak, bu esa 4/10 kasrni beradi. oldingi paragrafda muhokama qilingan qoidalar, osonlik bilan o'nlik kasrga aylantiriladi 0, 4 .

Boshqa hollarda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning boshqa usulini qo'llashingiz kerak, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun kasrning soni maxrajga bo'linadi, hisoblagich birinchi navbatda o'nli kasrdan keyin istalgan sonli nol bilan teng o'nli kasr bilan almashtiriladi (bu haqda biz teng va bo'limda gaplashdik. teng bo'lmagan o'nli kasrlar). Bunday holda, bo'lish natural sonlar ustuniga bo'linish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi va dividendning butun qismining bo'linishi tugagach, qismda kasr qo'yiladi. Bularning barchasi quyida keltirilgan misollarning echimlaridan aniq bo'ladi.

Misol.

621/4 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

621 numeratoridagi sonni o'nli kasr sifatida ifodalaymiz, undan keyin kasr va bir nechta nollarni qo'shamiz. Birinchidan, 2 ta raqamni 0 qo'shamiz, keyinroq, agar kerak bo'lsa, har doim ko'proq nol qo'shishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda 621.00 bor.

Endi 621 000 sonini ustun bilan 4 ga ajratamiz. Dastlabki uchta qadam natural sonlarni ustunga bo'lishdan farq qilmaydi, shundan so'ng biz quyidagi rasmga erishamiz:

Dividenddagi kasr nuqtasiga shunday etib boramiz, qolgan qismi esa noldan farq qiladi. Bunday holda, biz kasrni qismga qo'yamiz va vergullarga e'tibor bermasdan, ustunga bo'linishni davom ettiramiz:

Bu bo'linishni yakunlaydi va natijada biz dastlabki oddiy kasrga mos keladigan 155,25 o'nli kasrni olamiz.

Javob:

155,25 .

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolning yechimini ko'rib chiqing.

Misol.

21/800 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun 21000... o'nlik kasr ustuni bilan 800 ga bo'lamiz. Birinchi qadamdan so'ng, biz qismga kasr nuqtasini qo'yishimiz kerak va keyin bo'linishni davom ettiramiz:

Nihoyat, biz qolgan 0 ni oldik, bu 21/400 oddiy kasrni o'nlik kasrga aylantirishni yakunlaydi va biz o'nlik kasr 0,02625 ga keldik.

Javob:

0,02625 .

Numeratorni oddiy kasrning maxrajiga bo'lganda, biz hali ham 0 ning qoldig'ini ololmasligimiz mumkin. Bunday hollarda bo'linish cheksiz davom ettirilishi mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlana boshlaydi va qismdagi raqamlar ham takrorlanadi. Demak, asl kasr cheksiz davriy kasrga aylantiriladi. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Misol.

19/44 kasrni kasr shaklida yozing.

Yechim.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun ustunga bo'linishni bajaring:

Bo'linish paytida 8 va 36 qoldiqlari takrorlana boshlaganligi allaqachon aniq bo'lib, bo'linishda 1 va 8 raqamlari takrorlanadi. Shunday qilib, 19/44 asl oddiy kasr davriy kasr 0,43181818...=0,43(18) kasrga aylantiriladi.

Javob:

0,43(18) .

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz qaysi oddiy kasrlarni chekli o'nli kasrlarga va qaysilarini faqat davriy kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz.

Oldimizda kamaytirilmaydigan oddiy kasr bo'lsin (agar kasr kamaytiriladigan bo'lsa, avval kasrni kamaytiramiz) va biz uni qaysi o'nli kasrga aylantirish mumkinligini aniqlashimiz kerak - chekli yoki davriy.

Ko'rinib turibdiki, agar oddiy kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda hosil bo'lgan kasrni oldingi bandda muhokama qilingan qoidalarga muvofiq osonlik bilan yakuniy o'nli kasrga aylantirish mumkin. Ammo maxrajlarga 10, 100, 1000 va hokazo. Hamma oddiy kasrlar berilmaydi. Faqat maxrajlari 10, 100, ... sonlaridan kamida bittasi bo'lgan kasrlarnigina bunday maxrajlarga keltirish mumkin.Va qanday sonlar 10, 100, ... ning bo'luvchisi bo'lishi mumkin? 10, 100, ... raqamlari bu savolga javob berishga imkon beradi va ular quyidagicha: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Bundan kelib chiqadiki, bo'luvchilar 10, 100, 1000 va hokazo. Faqat tub omillarga bo'linishida faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari bo'lgan raqamlar bo'lishi mumkin.

Endi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin:

  • agar maxrajni tub ko'paytmalarga ajratishda faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari mavjud bo'lsa, u holda bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin;
  • agar ikkilik va beshlikdan tashqari, maxrajning kengayishida boshqalar ham bo'lsa tub sonlar, keyin bu kasr cheksiz o'nli davriy kasrga aylantiriladi.

Misol.

Oddiy kasrlarni o'nli kasrga o'tkazmasdan, ayting-chi, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kasrlarning qaysi biri oxirgi o'nli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Yechim.

47/20 kasrning maxraji 20=2·2·5 kabi tub ko‘paytmalarga ajratiladi. Bu kengayishda faqat ikkita va beshlik bor, shuning uchun bu kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin (bu misolda 100 maxrajiga), shuning uchun oxirgi kasrga aylantirilishi mumkin. kasr.

7/12 kasr maxrajining tub ko'paytmalarga bo'linishi 12=2·2·3 ko'rinishga ega. U 2 va 5 dan farqli 3 ning tub koeffitsientini o'z ichiga olganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Fraksiya 21/56 - kontraktil, qisqargandan keyin u 3/8 shaklini oladi. Maxrajni tub ko'rsatkichlarga ko'paytirish 2 ga teng uchta omilni o'z ichiga oladi, shuning uchun oddiy kasr 3/8 va shuning uchun teng kasr 21/56 yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Nihoyat, 31/17 kasr maxrajining kengayishi 17 ning o'zi, shuning uchun bu kasrni cheklangan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, lekin cheksiz davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Javob:

47/20 va 21/56 sonli o'nli kasrga aylantirilishi mumkin, lekin 7/12 va 31/17 faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrlar cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga aylanmaydi

Oldingi paragrafdagi ma’lumotlar “Kasrning sonini maxrajga bo‘lish natijasida cheksiz davriy bo‘lmagan kasr hosil bo‘lishi mumkinmi?” degan savol tug‘iladi.

Javob: yo'q. Oddiy kasrni o'zgartirganda, natija chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr bo'lishi mumkin. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.

Qoldiqqa boʻlinish teoremasidan maʼlum boʻladiki, qoldiq har doim boʻluvchidan kichik boʻladi, yaʼni baʼzi bir butun sonni q butun soniga boʻlsak, qolgan 0, 1, 2 sonlaridan faqat bittasi boʻlishi mumkin. , ..., q−1. Bundan kelib chiqadiki, ustun oddiy kasr hisobining butun qismini q maxrajiga bo'lishni tugatgandan so'ng, q dan ortiq bo'lmagan bosqichda quyidagi ikkita vaziyatdan biri yuzaga keladi:

  • yoki biz 0 ning qoldig'ini olamiz, bu bo'linishni tugatadi va biz oxirgi o'nli kasrni olamiz;
  • yoki biz ilgari paydo bo'lgan qoldiqni olamiz, shundan so'ng qolganlar oldingi misoldagi kabi takrorlana boshlaydi (chunki teng sonlarni q ga bo'lishda yuqorida aytib o'tilgan bo'linish teoremasidan kelib chiqadigan teng qoldiqlar olinadi), bu cheksiz davriy kasrga olib keladi.

Boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas, shuning uchun oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrni olish mumkin emas.

Ushbu bandda keltirilgan mulohazalardan, shuningdek, o'nli kasr davrining uzunligi har doim mos keladigan oddiy kasrning maxraji qiymatidan kichik ekanligi kelib chiqadi.

O'nli kasrlarni kasrga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirishni aniqlaymiz. Yakuniy kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishdan boshlaylik. Shundan so'ng biz cheksiz davriy o'nli kasrlarni invertatsiya qilish usulini ko'rib chiqamiz. Xulosa qilib aytganda, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning mumkin emasligi haqida gapiraylik.

Keyingi o‘nli kasrlarni kasrga o‘tkazish

Yakuniy kasr sifatida yozilgan kasrni olish juda oddiy. Yakuniy kasrni oddiy kasrga aylantirish qoidasi uch bosqichdan iborat:

  • birinchidan, agar mavjud bo'lsa, o'nli kasrni va chapdagi barcha nollarni chiqarib tashlagan holda, berilgan o'nli kasrni hisoblagichga yozing;
  • ikkinchidan, maxrajga bittadan yozing va asl kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
  • uchinchidan, agar kerak bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollarning yechimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

3.025 kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Agar dastlabki o'nlik kasrdan kasrni olib tashlasak, biz 3025 raqamini olamiz. Chap tomonda biz bekor qiladigan nol yo'q. Shunday qilib, biz kerakli kasrning soniga 3,025 yozamiz.

Biz maxrajga 1 raqamini yozamiz va uning o'ng tomoniga 3 ta nol qo'shamiz, chunki asl kasrda kasrdan keyin 3 ta raqam mavjud.

Shunday qilib, biz 3,025/1,000 oddiy kasrni oldik. Bu kasrni 25 ga kamaytirish mumkin, biz olamiz .

Javob:

.

Misol.

0,0017 o'nli kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

O'nli kasrsiz asl kasr 00017 ga o'xshaydi, chapdagi nollarni tashlab, biz kerakli oddiy kasrning hisobi bo'lgan 17 raqamini olamiz.

Biz maxrajda to'rt nol bilan bittasini yozamiz, chunki asl kasr kasrdan keyin 4 ta raqamga ega.

Natijada, biz 17/10 000 oddiy kasrga egamiz. Bu kasr kamaytirilmaydi va o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish tugallangan.

Javob:

.

Dastlabki yakuniy o'nlik kasrning butun qismi nolga teng bo'lsa, uni oddiy kasrni chetlab o'tib, darhol aralash raqamga aylantirish mumkin. beraylik yakuniy o‘nli kasrni aralash songa o‘tkazish qoidasi:

  • kasrdan oldingi raqam kerakli aralash sonning butun qismi sifatida yozilishi kerak;
  • kasr qismining numeratorida chapdagi barcha nollarni tashlaganingizdan so'ng, asl o'nlik kasrning kasr qismidan olingan raqamni yozishingiz kerak;
  • kasr qismining maxrajiga 1 raqamini yozish kerak, unga o'ngga dastlabki o'nli kasrdagi kasrdan keyin qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
  • agar kerak bo'lsa, olingan aralash sonning kasr qismini kamaytiring.

O'nli kasrni aralash songa o'tkazish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

152.06005 o'nli kasrni aralash son sifatida ifodalang

Kimga ratsional son m/n o'nlik kasr sifatida yoziladi, siz payni maxrajga bo'lishingiz kerak. Bunday holda, qism chekli yoki cheksiz o'nli kasr sifatida yoziladi.

Bu raqamni o'nlik kasr shaklida yozing.

Yechim. Har bir kasrning sonini uning maxraji bo'yicha ustunga ajrating: A) 6 ni 25 ga bo'lish; b) 2 ni 3 ga bo'lish; V) 1 ni 2 ga bo'ling, so'ngra olingan kasrni bittaga qo'shing - bu aralash raqamning butun qismi.

Makrajlarida boshqa tub omillar bo'lmagan kamaytirilmaydigan oddiy kasrlar 2 Va 5 , oxirgi o'nlik kasr sifatida yoziladi.

IN misol 1 qachon A) maxraj 25=5·5; qachon V) maxraj 2 ga teng, shuning uchun biz 0,24 va 1,5 ning oxirgi o'nliklarini olamiz. Qachon b) maxraj 3 ga teng, shuning uchun natijani chekli o'nli kasr sifatida yozib bo'lmaydi.

Maxrajida 2 va 5 dan boshqa boʻluvchilar boʻlmagan shunday oddiy kasrni uzun boʻlinmasdan oʻnli kasrga aylantirish mumkinmi? Keling, buni aniqlaylik! Qanday kasr kasr deyiladi va kasr satrisiz yoziladi? Javob: maxraji 10 bo‘lgan kasr; 100; 1000 va boshqalar. Va bu raqamlarning har biri mahsulotdir teng ikki va beshlar soni. Aslida: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 va hokazo.

Shunday qilib, kamaytirilmaydigan oddiy kasrning maxrajini "ikki" va "besh" ning ko'paytmasi sifatida ko'rsatish kerak, keyin esa "ikki" va "besh" teng bo'lishi uchun 2 va (yoki) 5 ga ko'paytirilishi kerak. Keyin kasrning maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ga teng bo'ladi va hokazo. Kasrning qiymati o'zgarmasligini ta'minlash uchun biz kasrning numeratorini maxrajni ko'paytirgan bir xil songa ko'paytiramiz.

Quyidagi umumiy kasrlarni o‘nli kasrlar shaklida ifodalang:

Yechim. Bu kasrlarning har biri kamaytirilmaydi. Har bir kasrning maxrajini tub omillarga ajratamiz.

20=2·2·5. Xulosa: bitta "A" yo'q.

8=2·2·2. Xulosa: uchta "A" yo'q.

25=5·5. Xulosa: ikkita "ikki" etishmayapti.

Izoh. Amalda ular ko'pincha maxrajni faktorizatsiya qilishdan foydalanmaydilar, shunchaki savol berishadi: natijada nol (10 yoki 100 yoki 1000 va boshqalar) bo'lishi uchun maxrajni qanchaga ko'paytirish kerak. Va keyin numerator bir xil raqamga ko'paytiriladi.

Shunday qilib, har holda A)(2-misol) 20 raqamidan siz 5 ga ko'paytirish orqali 100 ni olishingiz mumkin, shuning uchun siz pay va maxrajni 5 ga ko'paytirishingiz kerak.

Qachon b)(2-misol) 8 raqamidan 100 soni olinmaydi, lekin 1000 soni 125 ga ko'paytiriladi. Kasrning soni (3) ham, maxraji (8) ham 125 ga ko'paytiriladi.

Qachon V)(2-misol) 25 dan 4 ga ko'paytirsangiz 100 ni olasiz. Bu 8 sonini 4 ga ko'paytirish kerakligini anglatadi.

Bir yoki bir nechta raqamlar bir xil ketma-ketlikda takrorlanadigan cheksiz o'nli kasr deyiladi. davriy kasr sifatida. Qayta takrorlanuvchi raqamlar to'plami bu kasrning davri deb ataladi. Qisqartirish uchun kasr davri bir marta yoziladi, qavs ichiga olinadi.

Qachon b)(1-misol) faqat bitta takrorlanuvchi raqam bor va 6 ga teng. Shuning uchun bizning 0,66... ​​natijamiz quyidagicha yoziladi: 0,(6) . Ular o'qiydilar: nol nuqta, oltita davr.

Agar kasr va birinchi davr o'rtasida bir yoki bir nechta takrorlanmaydigan raqamlar bo'lsa, unda bunday davriy kasr aralash davriy kasr deyiladi.

Maxraji bo'lgan kamaytirilmaydigan oddiy kasr boshqalar bilan birga multiplikator multiplikatorni o'z ichiga oladi 2 yoki 5 , bo'ladi aralashgan davriy kasr.

Raqamlarni o'nli kasr shaklida yozing.

O'nlik kasr- xilma-xillik kasrlar, maxrajda "yumaloq" raqam mavjud: 10, 100, 1000 va boshqalar, Masalan, kasr 5/10 0,5 kasr belgisiga ega. Ushbu tamoyilga asoslanib, kasr ichida ifodalanishi mumkin shakl kasr kasrlar.

Ko'rsatmalar

Aytaylik, biz tasavvur qilishimiz kerak shakl kasr kasr 18/25.
Avval siz "dumaloq" raqamlardan biri maxrajda paydo bo'lishiga ishonch hosil qilishingiz kerak: 100, 1000 va boshqalar. Buni amalga oshirish uchun siz maxrajni 4 ga ko'paytirishingiz kerak. Lekin siz ham hisobni, ham maxrajni 4 ga ko'paytirishingiz kerak bo'ladi.

Numerator va maxrajni ko'paytirish kasrlar 18/25 ga 4, 72/100 chiqadi. Bu qayd etilgan kasr kasrda shakl shunday: 0,72.

Matematikada kasr - bu birlik bo'lingan bir yoki bir nechta qismlarga teng ratsional son. Bunday holda, kasr yozuvida ikkita raqam ko'rsatilishi kerak: ulardan biri ushbu kasrni yaratishda birlik qancha aktsiyalarga bo'linganligini, ikkinchisi esa kasrning qancha qismini o'z ichiga olganligini ko'rsatadi. Agar bu ikki raqam chiziq bilan ajratilgan hisob va maxraj sifatida yozilsa, unda bu yozish formati "umumiy" kasr deb ataladi. Biroq, kasrlarni yozish uchun "o'nlik" deb nomlangan boshqa format mavjud.

Raqamlar sonining uch qavatli yozish shakli, unda maxraj hisoblagichning ustida joylashgan va ular orasida bo'linish chizig'i ham mavjud bo'lib, har doim ham qulay emas. Bu noqulaylik, ayniqsa, shaxsiy kompyuterlarning keng tarqalishi bilan o'zini namoyon qila boshladi. Kasrlarni ifodalashning o'nlik shakli bu kamchilikka ega emas - bu raqamni ko'rsatishni talab qilmaydi, chunki ta'rifga ko'ra u har doim salbiy kuchga o'nga teng. Shuning uchun kasr sonni bitta satrga yozish mumkin, garchi uning uzunligi ko'p hollarda mos keladigan oddiy kasr uzunligidan ancha katta bo'ladi.

Raqamlarni o'nli kasr sifatida yozishning yana bir afzalligi shundaki, ularni solishtirish ancha oson. Bunday ikkita raqamning har bir raqamining maxraji bir xil bo'lganligi sababli, tegishli raqamlarning faqat ikkita raqamini solishtirish kifoya qiladi, oddiy kasrlarni taqqoslashda ularning har birining hisobini ham, maxrajini ham hisobga olish kerak. Bu afzallik nafaqat odamlar uchun, balki kompyuterlar uchun ham muhimdir - raqamlarni o'nlik formatda solishtirishni dasturlash juda oson.

Qo'shish, ko'paytirish va boshqa matematik operatsiyalar uchun ko'p asrlik qoidalar mavjud bo'lib, ular qog'ozda yoki boshingizda o'nlik formatdagi raqamlar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi. Bu oddiy kasrlarga nisbatan ushbu formatning yana bir afzalligi. Garchi kompyuter texnologiyalari rivojlanishi bilan, hatto soatlarda ham kalkulyator mavjud bo'lsa-da, u kamroq va kamroq seziladi.

Kasr sonlarini yozish uchun kasr formatining tavsiflangan afzalliklari uning asosiy maqsadi bilan ishlashni soddalashtirish ekanligini ko'rsatadi. matematik miqdorlar. Ushbu formatning kamchiliklari ham bor - masalan, davriy kasrlarni o'nli kasrga yozish uchun siz qavs ichida raqamni ham qo'shishingiz kerak va o'nli formatdagi noratsional sonlar har doim taxminiy qiymatga ega. Biroq, odamlar va ularning texnologiyalari rivojlanishining hozirgi darajasida kasrlarni yozish uchun odatiy formatdan ko'ra foydalanish ancha qulayroqdir.

O'nli kasr - bu maxraji 10 ning tabiiy darajasi bo'lgan kasr. Bu, masalan, kasr Bu kasr quyidagi shaklda yozilishi mumkin: raqamning raqamlarini qatorga yozing va shuncha ko'p qismini ajrating. ularni o'ngga vergul qo'ying, chunki maxrajda nol bor, ya'ni:

Bunday yozuvda o‘nli kasrning chap tomonidagi sonlar butun son qismini, o‘nli kasrning o‘ng tomonidagi raqamlar esa berilgan o‘nlik kasrning kasr qismini tashkil qiladi.

p/q qandaydir musbat ratsional son bo‘lsin. Arifmetikadan bo'linish jarayoni yaxshi ma'lum bo'lib, sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Bo'linish jarayonining mohiyati birinchi navbatda pda q bo'lgan eng katta butun sonni topish; agar p q ning karrali bo'lsa, bu erda bo'linish jarayoni tugaydi. Aks holda, qoldiq paydo bo'ladi. Keyinchalik, ular bu qoldiqda qancha o'ndan q borligini topadilar va bu bosqichda jarayon tugashi mumkin yoki yangi qoldiq paydo bo'ladi. Oxirgi holatda q ning necha yuzdan bir qismi borligini toping va hokazo.

Agar q maxrajida 2 yoki 5 dan boshqa tub ko‘paytmalar bo‘lmasa, u holda chekli qadamlar sonidan so‘ng qoldiq nolga teng bo‘ladi, bo‘lish jarayoni tugaydi va berilgan oddiy kasr yakuniy o‘nli kasrga aylanadi. Aslida, bu holda, har doim shunday butun sonni tanlash mumkin bo'ladiki, unga berilgan kasrning soni va maxrajini ko'paytirgandan so'ng, teng kasr olinadi, bunda maxraj o'nning tabiiy darajasini ifodalaydi. Masalan, bu kasr

quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Biroq, ushbu o'zgarishlarni amalga oshirmasdan, hisoblagichni maxrajga bo'linib, o'quvchi bir xil natijaga erishadi:

Agar kamaytirilmaydigan kasrning maxrajida 2 yoki 5 dan boshqa hech bo'lmaganda bitta tub bo'luvchi bo'lsa, u holda q ga bo'linish jarayoni hech qachon tugamaydi (keyingi qoldiqlarning hech biri nolga tushmaydi).

Bo'linishni bajarib, biz topamiz

Ushbu misolda olingan natijani yozish uchun vaqti-vaqti bilan takrorlanadigan 0 va 6 raqamlari qavs ichiga olinadi va yoziladi:

Ushbu misolda va boshqa shunga o'xshash holatlarda bo'linish harakati o'nlik kasr kabi yakuniy natijaga olib kelmaydi. O'nli kasr tushunchasini umumlashtirgan holda, 965/132 bo'lagi cheksiz davriy kasr bilan ifodalanadi, deb aytish mumkin, takrorlanuvchi 06 raqamlari bu kasrning davri deb ataladi va ularning soni bizning misolimizda teng: davr uzunligi hisoblanadi.

Kasrning davriyligi hodisasining sababini tushunish uchun, masalan, 7 ga bo'lish jarayonini ko'rib chiqamiz. Agar bo'linish to'liq bajarilmasa, quyidagi qiymatlardan faqat bittasiga ega bo'lishi mumkin bo'lgan qoldiq paydo bo'ladi: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Keyingi bosqichlarning har birida qolganlar yana shu oltita qiymatdan biriga ega bo'ladi. Shuning uchun, ettinchi bosqichdan kechiktirmasdan, biz muqarrar ravishda ilgari paydo bo'lgan qolgan qiymatlardan biriga duch kelamiz. Shu nuqtadan boshlab, bo'linish jarayoni davriy bo'ladi. Balanslarning qiymatlari ham, bo'linma raqamlari ham vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Xuddi shu mulohaza boshqa har qanday bo'luvchiga ham tegishli.

Shunday qilib, har bir oddiy kasr chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasr sifatida ifodalanadi. Shunisi e'tiborga loyiqki, aksincha, har bir davriy o'nli kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Keling, ushbu harakat qanday amalga oshirilishini ko'rsatamiz. Bunda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi formulasi qo'llaniladi (92-band).

quyidagicha tushunish mumkin:

bu yerda o‘ng tarafdagi hadlar ikkinchidan boshlab, maxraj va birinchi had bilan cheksiz geometrik progressiya hosil qiladi.

Formuladan (92.2) foydalanish:

Xuddi shu jarayon har qanday cheksiz davriy kasrni oddiy kasr ko'rinishida tasvirlash imkonini berishi aniq (va ko'rsatilishi mumkinki, bo'linish jarayonida berilgan cheksiz davriy kasr aynan qaysi kasrdan iborat bo'lsa). navbat olinadi). Biroq, bu erda bitta istisno mavjud. Kasrni ko'rib chiqing

va uni oddiy kasrga aylantirish jarayonini qo'llang:

Biz 1/2 raqamiga yetib keldik, bu chekli o'nli kasrga o'xshaydi

Berilgan cheksiz kasr davri (9) ko'rinishga ega bo'lganda shunga o'xshash natija olinadi. Shuning uchun biz raqamlar juftligini aniqlaymiz, masalan,

Ba'zan formadagi yozuvlarga ham ruxsat berish foydali bo'ladi

Rasmiy ravishda chekli o'nli kasrlarni davr (0) bilan cheksiz sifatida ifodalaydi.

Oddiy kasrni davriy o'nli kasrga va aksincha, musbat ratsional sonlarga aylantirish haqida aytilganlarning barchasi. Salbiy raqam bo'lsa, buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin.

1) Berilgan manfiy sonning qarshisidagi musbat sonni oling, uni o'nli kasrga aylantiring va keyin uning oldiga minus belgisini qo'ying. Masalan, - 5/3 uchun biz olamiz

2) Berilgan manfiy ratsional sonni uning butun (salbiy) va kasr qismining (manfiy bo'lmagan) yig'indisi sifatida taqdim eting, so'ngra sonning faqat shu kasr qismini o'nli kasrga aylantiring. Masalan:

Manfiy butun qism va chekli yoki cheksiz o'nli kasr yig'indisi sifatida berilgan raqamlarni yozish uchun quyidagi yozuv qabul qilinadi (salbiy sonni yozishning sun'iy shakli):

Bu erda minus belgisi butun kasrning oldiga emas, balki butun qismining ustiga qo'yilib, faqat butun qism manfiy, kasrdan keyingi kasr qismi esa ijobiy ekanligini ta'kidlash uchun qo'yiladi.

Bu belgi musbat va manfiy oʻnli kasrlar yozuvida bir xillik hosil qiladi va kelajakda oʻnlik logarifmlar nazariyasida qoʻllaniladi (28-boʻlim). Amaliyot uchun biz o'quvchini misollarda bir yozuvdan ikkinchisiga o'tishni tekshirishni taklif qilamiz:

Endi biz yakuniy xulosani shakllantirishimiz mumkin: har bir ratsional son cheksiz o'nli davriy kasr bilan ifodalanishi mumkin va aksincha, har bir bunday kasr ratsional sonni belgilaydi. Cheklangan o'nli kasr cheksiz o'nli kasr shaklida yozishning ikkita shakliga ham imkon beradi: nuqta (0) va nuqta (9) bilan.


Allaqachon boshlang'ich maktab o‘quvchilar kasrlarga duch keladilar. Va keyin ular har bir mavzuda paydo bo'ladi. Bu raqamlar bilan harakatlarni unutib bo'lmaydi. Shuning uchun siz oddiy va o'nli kasrlar haqidagi barcha ma'lumotlarni bilishingiz kerak. Bu tushunchalar murakkab emas, asosiysi hamma narsani tartibda tushunishdir.

Nima uchun kasrlar kerak?

Atrofimizdagi dunyo butun ob'ektlardan iborat. Shuning uchun aktsiyalarga ehtiyoj yo'q. Lekin kundalik hayot odamlarni doimo narsalar va narsalarning qismlari bilan ishlashga undaydi.

Misol uchun, shokolad bir nechta bo'laklardan iborat. Uning plitkalari o'n ikkita to'rtburchaklar bilan tuzilgan vaziyatni ko'rib chiqing. Agar siz uni ikkiga bo'lsangiz, siz 6 qismga ega bo'lasiz. Uni osongina uchga bo'lish mumkin. Ammo besh kishiga butun sonli shokolad bo'laklarini berish mumkin bo'lmaydi.

Aytgancha, bu bo'laklar allaqachon fraktsiyalardir. Va ularning keyingi bo'linishi yanada murakkab raqamlarning paydo bo'lishiga olib keladi.

"Kasr" nima?

Bu birlik qismlaridan tashkil topgan raqam. Tashqi tomondan, u gorizontal yoki chiziq bilan ajratilgan ikkita raqamga o'xshaydi. Bu xususiyat kasr deyiladi. Yuqorida (chapda) yozilgan raqam hisoblagich deb ataladi. Pastki (o'ngda) bo'lgan narsa maxrajdir.

Aslini olganda, chiziq bo'linish belgisi bo'lib chiqadi. Ya'ni, hisoblagichni dividend, maxrajni esa bo'luvchi deb atash mumkin.

Qanday kasrlar bor?

Matematikada faqat ikkita tur mavjud: oddiy va o'nli kasrlar. Maktab o'quvchilari boshlang'ich maktabda birinchilar bilan tanishib, ularni oddiygina "kasrlar" deb atashadi. Ikkinchisi 5-sinfda o'rganiladi. O'shanda bu nomlar paydo bo'ladi.

Oddiy kasrlar qator bilan ajratilgan ikkita raqam sifatida yoziladigan barcha kasrlardir. Masalan, 4/7. O'nli kasr - bu kasr qismi pozitsion belgiga ega bo'lgan va butun sondan vergul bilan ajratilgan son. Masalan, 4.7. Talabalar berilgan ikkita misol butunlay boshqa raqamlar ekanligini aniq tushunishlari kerak.

Har bir oddiy kasr o'nli kasr shaklida yozilishi mumkin. Bu bayonot deyarli har doim teskari to'g'ri bo'ladi. O'nli kasrni oddiy kasr sifatida yozishga imkon beruvchi qoidalar mavjud.

Ushbu turdagi kasrlar qanday kichik tiplarga ega?

Xronologik tartibda boshlash yaxshidir, chunki ular o'rganiladi. Oddiy kasrlar birinchi o'rinda turadi. Ular orasida 5 ta kichik turni ajratib ko'rsatish mumkin.

    To'g'ri. Uning numeratori har doim maxrajidan kichikdir.

    Noto'g'ri. Uning numeratori maxrajidan katta yoki teng.

    Kamaytiriladigan/qisqartirilmaydigan. Bu to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lib chiqishi mumkin. Yana bir muhim narsa, hisoblagich va maxrajning umumiy omillarga ega yoki yo'qligi. Agar mavjud bo'lsa, unda kasrning ikkala qismini ularga bo'lish, ya'ni uni kamaytirish kerak.

    Aralashgan. Butun son uning odatiy (tartibsiz) kasr qismiga tayinlanadi. Bundan tashqari, u har doim chap tomonda.

    Kompozit. U bir-biriga bo'lingan ikkita kasrdan hosil bo'ladi. Ya'ni, u bir vaqtning o'zida uchta kasr chizig'ini o'z ichiga oladi.

O'nlik kasrlar faqat ikkita kichik turga ega:

    chekli, ya'ni kasr qismi cheklangan (oxiri bor);

    cheksiz - o'nli kasrdan keyin raqamlari tugamaydigan son (ularni cheksiz yozish mumkin).

O'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkin?

Agar bu chekli son bo'lsa, unda qoida asosida assotsiatsiya qo'llaniladi - men eshitganimdek yozaman. Ya'ni, siz uni to'g'ri o'qishingiz va yozishingiz kerak, lekin vergulsiz, lekin kasr chizig'i bilan.

Kerakli maxraj haqida maslahat sifatida, u har doim bir va bir nechta nol ekanligini unutmasligingiz kerak. Ko'rib chiqilayotgan sonning kasr qismida qancha raqamlar mavjud bo'lsa, siz ikkinchisini yozishingiz kerak.

O'nli kasrlarni qanday qilib oddiy kasrlarga aylantirish mumkin, agar ularning butun qismi yo'q bo'lsa, ya'ni nolga teng? Masalan, 0,9 yoki 0,05. Belgilangan qoidani qo'llaganingizdan so'ng, siz nol butun sonlarni yozishingiz kerak bo'ladi. Ammo ko'rsatilmagan. Faqat kasr qismlarini yozish qoladi. Birinchi raqamning maxraji 10, ikkinchisining maxraji 100. Ya'ni berilgan misollar javob sifatida quyidagi raqamlarga ega bo'ladi: 9/10, 5/100. Bundan tashqari, ikkinchisini 5 ga qisqartirish mumkinligi ma'lum bo'ldi. Shuning uchun uning natijasini 1/20 sifatida yozish kerak.

Agar butun son qismi noldan farq qilsa, o‘nli kasrni qanday qilib oddiy kasrga aylantirish mumkin? Masalan, 5.23 yoki 13.00108. Ikkala misolda ham butun qism o'qiladi va uning qiymati yoziladi. Birinchi holda 5, ikkinchisida 13. Keyin kasr qismiga o'tishingiz kerak. Xuddi shu operatsiya ular bilan amalga oshirilishi kerak. Birinchi raqam 23/100, ikkinchisi - 108/100000 ko'rinadi. Ikkinchi qiymatni yana kamaytirish kerak. Javob quyidagi aralash kasrlarni beradi: 5 23/100 va 13 27/25000.

Cheksiz o'nli kasrni oddiy kasrga qanday aylantirish mumkin?

Agar u davriy bo'lmasa, unda bunday operatsiyani bajarish mumkin bo'lmaydi. Bu fakt har bir o'nli kasr doimo chekli yoki davriy kasrga aylantirilishi bilan bog'liq.

Bunday kasr bilan qilishingiz mumkin bo'lgan yagona narsa uni yumaloq qilishdir. Ammo keyin o'nlik bu cheksizga taxminan teng bo'ladi. Uni allaqachon oddiyga aylantirish mumkin. Ammo teskari jarayon: kasrga aylantirish hech qachon boshlang'ich qiymatni bermaydi. Ya'ni, cheksiz davriy bo'lmagan kasrlar oddiy kasrlarga aylantirilmaydi. Buni eslab qolish kerak.

Cheksiz davriy kasr oddiy kasr sifatida qanday yoziladi?

Bu raqamlarda har doim o'nli kasrdan keyin takrorlanadigan bir yoki bir nechta raqam mavjud. Ular davr deb ataladi. Masalan, 0,3(3). Bu erda "3" davrda. Ular ratsional deb tasniflanadi, chunki ularni oddiy kasrlarga aylantirish mumkin.

Davriy kasrlarga duch kelganlar, ular sof yoki aralash bo'lishi mumkinligini bilishadi. Birinchi holda, nuqta darhol verguldan boshlanadi. Ikkinchisida kasr qismi ba'zi raqamlar bilan boshlanadi, keyin esa takrorlash boshlanadi.

Cheksiz o'nli kasrni umumiy kasr sifatida yozishingiz kerak bo'lgan qoida ko'rsatilgan ikki turdagi raqamlar uchun farq qiladi. Sof davriy kasrlarni oddiy kasrlar sifatida yozish juda oson. Cheklangan raqamlarda bo'lgani kabi, ular ham o'zgartirilishi kerak: hisoblagichdagi davrni yozing va maxraj 9 raqami bo'lib, davrni o'z ichiga olgan raqamlar soni qancha takrorlanadi.

Masalan, 0, (5). Raqam butun songa ega emas, shuning uchun siz darhol kasr qismidan boshlashingiz kerak. 5 ni ayiruvchi, 9 ni ayiruvchi sifatida yozing.Ya'ni javob 5/9 kasr bo'ladi.

Aralashtirilgan oddiy o'nlik davriy kasrni yozish qoidasi.

    Davr uzunligiga qarang. Bu maxrajda qancha 9 bo'ladi.

    Maxrajni yozing: birinchi to'qqiz, keyin nol.

    Numeratorni aniqlash uchun siz ikkita raqamning farqini yozishingiz kerak. Kasrdan keyingi barcha raqamlar nuqta bilan birga kichraytiriladi. Chegirma - bu muddatsiz.

Masalan, 0,5(8) - davriy kasrni oddiy kasr sifatida yozing. Nuqtadan oldingi kasr qismida bitta raqam mavjud. Shunday qilib, bitta nol bo'ladi. Davrda faqat bitta raqam ham bor - 8. Ya'ni faqat bitta to'qqiz. Ya'ni, siz maxrajda 90 yozishingiz kerak.

Numeratorni aniqlash uchun 58 dan 5 ni ayirish kerak. 53 chiqadi. Masalan, javobni 53/90 deb yozish kerak bo'ladi.

Kasrlar o'nli kasrlarga qanday o'tkaziladi?

Eng oddiy variant maxraji 10, 100 va boshqalarni o'z ichiga olgan son bo'lib chiqadi. Keyin maxraj oddiygina o'chiriladi va kasr va butun qismlar orasiga vergul qo'yiladi.

Maxraj osonlik bilan 10, 100 va hokazolarga aylanadigan holatlar mavjud. Masalan, 5, 20, 25 raqamlari. Ularni mos ravishda 2, 5 va 4 ga ko'paytirish kifoya. Siz faqat maxrajni emas, balki numeratorni ham bir xil raqamga ko'paytirishingiz kerak.

Boshqa barcha holatlar uchun oddiy qoida foydalidir: hisoblagichni maxrajga bo'ling. Bunday holda, siz ikkita mumkin bo'lgan javobni olishingiz mumkin: chekli yoki davriy o'nli kasr.

Oddiy kasrlar bilan amallar

Qo‘shish va ayirish

Talabalar ular bilan boshqalarga qaraganda ertaroq tanishadilar. Bundan tashqari, dastlab kasrlar bir xil maxrajlarga ega, keyin esa har xil bo'ladi. Umumiy qoidalar bunday rejaga qisqartirish mumkin.

    Maxrajlarning eng kichik umumiy karrasini toping.

    Barcha oddiy kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘paytmalarni yozing.

    Numeratorlar va maxrajlarni ular uchun belgilangan omillarga ko'paytiring.

    Kasrlarning sanoqlarini qo'shish (ayirish) va umumiy maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

    Agar minuendning soni ayiruvchidan kichik bo'lsa, biz aralash son yoki to'g'ri kasr borligini aniqlashimiz kerak.

    Birinchi holda, siz butun qismdan birini qarzga olishingiz kerak. Kasrning soniga maxrajni qo'shing. Va keyin ayirishni bajaring.

    Ikkinchisida, kichikroq sondan kattaroq sonni ayirish qoidasini qo'llash kerak. Ya'ni, ayirboshlash modulidan minuend modulini olib tashlang va javoban "-" belgisini qo'ying.

    Qo'shish (ayirish) natijasiga diqqat bilan qarang. Agar siz noto'g'ri kasrni olsangiz, unda siz butun qismni tanlashingiz kerak. Ya'ni, sonni maxrajga bo'ling.

    Ko'paytirish va bo'lish

    Ularni bajarish uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish shart emas. Bu harakatlarni bajarishni osonlashtiradi. Lekin ular hali ham qoidalarga rioya qilishni talab qiladilar.

      Kasrlarni ko'paytirishda siz hisoblagichlar va maxrajlardagi raqamlarga qarashingiz kerak. Agar har qanday pay va maxraj umumiy koeffitsientga ega bo'lsa, ularni qisqartirish mumkin.

      Numeratorlarni ko'paytiring.

      Maxrajlarni ko'paytiring.

      Agar natija kamaytiriladigan kasr bo'lsa, uni yana soddalashtirish kerak.

      Bo'lishda birinchi navbatda bo'linishni ko'paytirish bilan, bo'luvchini (ikkinchi kasrni) o'zaro kasr bilan almashtirish kerak (hisob va maxrajni almashtiring).

      Keyin ko'paytirish kabi davom eting (1-banddan boshlab).

      Butun songa ko'paytirish (bo'lish) kerak bo'lgan vazifalarda ikkinchisi noto'g'ri kasr sifatida yozilishi kerak. Ya'ni, maxraj bilan 1. Keyin yuqorida ko'rsatilgandek harakat qiling.

    O'nli kasrlar bilan amallar

    Qo‘shish va ayirish

    Albatta, siz har doim o'nlik kasrni kasrga aylantira olasiz. Va allaqachon tasvirlangan rejaga muvofiq harakat qiling. Ammo ba'zida bu tarjimasiz harakat qilish qulayroqdir. Keyin ularni qo'shish va ayirish qoidalari aynan bir xil bo'ladi.

      Sonning kasr qismidagi raqamlar sonini, ya'ni kasrdan keyin tenglashtiring. Unga etishmayotgan nol sonini qo'shing.

      Kasrlarni shunday yozingki, vergul vergul ostida qolsin.

      Natural sonlar kabi qo'shish (ayirish).

      Vergulni olib tashlang.

    Ko'paytirish va bo'lish

    Bu erda nol qo'shishingiz shart emasligi juda muhimdir. Kasrlar misolda berilganidek qoldirilishi kerak. Va keyin rejaga muvofiq boring.

      Ko'paytirish uchun vergullarga e'tibor bermasdan, kasrlarni bir-birining ostiga yozishingiz kerak.

      Natural sonlar kabi ko'paytiring.

      Javobga vergul qo'ying, javobning o'ng uchidan boshlab ikkala omilning kasr qismlarida qancha raqam borligini hisoblang.

      Bo'lish uchun avval bo'luvchini aylantirishingiz kerak: uni yarating natural son. Ya'ni, bo'luvchining kasr qismida qancha raqam borligiga qarab, uni 10, 100 va hokazolarga ko'paytiring.

      Dividendni bir xil raqamga ko'paytiring.

      O'nli kasrni natural songa bo'ling.

      Butun qismning bo'linishi tugagan paytda javobingizga vergul qo'ying.

    Agar bitta misolda ikkala kasr turi bo'lsa-chi?

    Ha, matematikada ko'pincha oddiy va o'nli kasrlar bilan operatsiyalarni bajarish kerak bo'lgan misollar mavjud. Bunday vazifalarda ikkita mumkin bo'lgan yechim mavjud. Siz raqamlarni ob'ektiv ravishda tortishingiz va eng maqbulini tanlashingiz kerak.

    Birinchi usul: oddiy o'nli kasrlarni ifodalaydi

    Agar bo'linish yoki tarjima natijasida cheklangan kasrlar paydo bo'lsa, mos keladi. Agar kamida bitta raqam davriy qismni beradigan bo'lsa, unda bu usul taqiqlanadi. Shuning uchun, agar siz oddiy kasrlar bilan ishlashni yoqtirmasangiz ham, ularni hisoblashingiz kerak bo'ladi.

    Ikkinchi usul: o'nli kasrlarni oddiy qilib yozing

    Agar kasrdan keyingi qismda 1-2 ta raqam bo'lsa, bu usul qulay bo'lib chiqadi. Agar ular ko'proq bo'lsa, siz juda katta umumiy kasrga ega bo'lishingiz mumkin va o'nli belgi vazifani tezroq va hisoblashni osonlashtiradi. Shuning uchun siz har doim vazifani ehtiyotkorlik bilan baholashingiz va eng oddiy echim usulini tanlashingiz kerak.