10을 소수로 표현하는 방법. 분수를 소수로 나타내는 방법. 존재하는 분수
이 기사에서는 방법을 분석합니다. 일반 분수를 다음으로 변환 소수 , 또한 역 과정, 즉 소수를 일반 분수로 변환하는 과정을 고려하십시오. 여기서 우리는 분수 반전에 대한 규칙을 말하고 일반적인 예에 대한 자세한 솔루션을 제공합니다.
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일반 분수를 소수로 변환
우리가 다룰 순서를 표시합시다. 일반 분수를 소수로 변환.
먼저 분모가 10, 100, 1000, ...인 일반 분수를 소수로 나타내는 방법을 살펴보겠습니다. 이것은 소수 분수가 본질적으로 분모가 10, 100, ...인 일반 분수의 압축 형태이기 때문입니다.
그런 다음 더 나아가 일반 분수(분모가 10, 100, ...뿐만 아니라)를 소수로 쓸 수 있는 방법을 보여줍니다. 일반 분수의 이러한 변환으로 유한 소수 분수와 무한 주기적 소수 분수가 모두 얻어집니다.
이제 모든 것에 대해 순서대로.
분모가 10, 100, ...인 일반 분수를 소수로 변환
일부 일반 분수는 소수로 변환하기 전에 "예비 준비"가 필요합니다. 이것은 분자의 자릿수가 분모의 0보다 작은 일반 분수에 적용됩니다. 예를 들어, 공통 분수 2/100은 소수 분수로 변환하기 위해 먼저 준비해야 하지만 분수 9/10은 준비할 필요가 없습니다.
소수 분수로 변환하기 위한 올바른 일반 분수의 "예비 준비"는 분자의 왼쪽에 너무 많은 0을 추가하여 총 자릿수가 분모의 0의 수와 같아지는 것입니다. 예를 들어, 0을 더한 후의 분수는 와 같습니다.
올바른 일반 분수를 준비한 후 소수 분수로 변환을 시작할 수 있습니다.
주자 분모가 10, 100, 1,000인 진공약수를 소수로 변환하는 규칙. 세 단계로 구성됩니다.
- 적어 0 ;
- 그 뒤에 소수점을 넣으십시오.
- 분자에서 숫자를 적습니다(0을 추가한 경우 추가된 0과 함께).
예제를 풀 때 이 규칙을 적용하는 것을 고려하십시오.
예시.
적절한 분수 37/100을 십진수로 변환하십시오.
해결책.
분모에는 숫자 100이 포함되며 항목에 두 개의 0이 있습니다. 분자는 숫자 37을 포함하고 레코드에 두 자리가 있으므로 이 분수는 소수로 변환하기 위해 준비할 필요가 없습니다.
이제 0을 쓰고 소수점을 넣고 분자에서 숫자 37을 쓰고 소수점 이하 0.37을 얻습니다.
대답:
0,37 .
분자가 10, 100, ... 인 일반 일반 분수를 소수 분수로 변환하는 기술을 통합하기 위해 다른 예제의 솔루션을 분석합니다.
예시.
적절한 분수 107/10,000,000을 소수로 적으세요.
해결책.
분자의 자릿수는 3이고 분모의 0의 개수는 7이므로 이 일반 분수를 십진수로 변환할 준비가 필요합니다. 분자의 왼쪽에 7-3=4개의 0을 추가해야 총 자릿수가 분모의 0의 수와 같아집니다. 우리는 .
원하는 소수를 형성하는 것이 남아 있습니다. 이를 위해 먼저 0을 적고 두 번째로 쉼표를 넣고 세 번째로 분자의 숫자를 0과 함께 적습니다.
대답:
0,0000107 .
가분수는 소수로 변환할 때 준비할 필요가 없습니다. 다음 사항을 준수해야 합니다. 분모가 10, 100, ...인 가분수를 소수로 변환하기 위한 규칙:
- 분자에서 숫자를 적으십시오.
- 원래 분수의 분모에 0이 있는 만큼 오른쪽의 자릿수만큼 소수점으로 구분합니다.
예제를 풀 때 이 규칙의 적용을 분석해 봅시다.
예시.
가분수 56 888 038 009/100 000을 십진수로 변환합니다.
해결책.
먼저 분자 56888038009에서 숫자를 적고 두 번째로 원래 분수의 분모에 5개의 0이 있으므로 오른쪽의 5자리를 소수점으로 구분합니다. 결과적으로 소수점 이하 568 880.38009가 됩니다.
대답:
568 880,38009 .
대분수를 소수 부분의 분모가 숫자 10, 100 또는 1,000인 소수로 변환하려면 대분수를 가분수로 변환할 수 있습니다. 소수점 이하로 변환할 수 있습니다. 그러나 다음을 사용할 수도 있습니다. 분수 부분이 10, 100 또는 1,000인 대분수를 소수로 변환하는 규칙:
- 필요한 경우 분자 왼쪽에 필요한 수의 0을 추가하여 원래 혼합 숫자의 소수 부분에 대한 "예비 준비"를 수행합니다.
- 원래 혼합 숫자의 정수 부분을 기록하십시오.
- 소수점을 입력하십시오.
- 추가 된 0과 함께 분자의 숫자를 씁니다.
혼합 숫자를 소수로 표현하는 데 필요한 모든 단계를 수행하는 문제를 해결하는 예를 살펴보겠습니다.
예시.
대분수를 십진수로 변환합니다.
해결책.
분수 부분의 분모에는 4개의 0이 있고 분자에는 2개의 숫자로 구성된 숫자 17이 있으므로 분자의 왼쪽에 2개의 0을 추가해야 문자 수가 다음과 같아집니다. 분모의 0 수. 이렇게 하면 분자는 0017 이 됩니다.
이제 원래 숫자의 정수 부분, 즉 숫자 23을 적고 소수점을 넣은 다음 분자에서 추가 된 0, 즉 0017과 함께 숫자를 쓰고 원하는 소수점을 얻습니다. 분수 23.0017.
전체 솔루션을 간단히 적어 보겠습니다. 
.
의심의 여지없이 먼저 대분수를 가분수로 표현한 다음 소수로 변환하는 것이 가능했습니다. 이 접근 방식을 사용하면 솔루션은 다음과 같습니다.
대답:
23,0017 .
일반 분수를 유한 및 무한주기 소수점 분수로 변환
분모가 10, 100, ...인 일반 분수뿐만 아니라 분모가 다른 일반 분수도 소수로 변환할 수 있습니다. 이제 이것이 어떻게 수행되는지 알아낼 것입니다.
어떤 경우에는 원래의 일반 분수가 분모 10, 100 또는 1000, ... 중 하나로 쉽게 축소됩니다(새로운 분모에 대한 일반 분수의 축소 참조). 소수점 이하로 결과 분수. 예를 들어 분수 2/5는 분모가 10인 분수로 줄일 수 있다는 것이 분명합니다. 이를 위해 분자와 분모에 2를 곱해야 분수 4/10이 생성됩니다. 이전 단락에서 논의된 규칙은 소수점 이하 0, 4로 쉽게 변환될 수 있습니다.
다른 경우에는 평범한 분수를 소수로 변환하는 다른 방법을 사용해야 합니다. 이제 우리가 고려할 것입니다.
일반 분수를 소수 분수로 변환하려면 분수의 분자를 분모로 나누고 분자를 먼저 소수점 뒤에 임의의 수의 0이 있는 동일한 소수 분수로 바꿉니다(이에 대해서는 다음 섹션에서 설명했습니다. 같지 않은 소수). 이 경우 나눗셈은 자연수의 열로 나누기와 동일하게 이루어지며, 피제수의 정수부의 나눗셈이 끝나면 몫에 소수점을 넣는다. 이 모든 것은 아래 주어진 예제의 솔루션에서 명확해질 것입니다.
예시.
공통분수 621/4를 십진수로 변환합니다.
해결책.
분자 621의 숫자를 소수점과 그 뒤에 몇 개의 0을 추가하여 소수로 나타냅니다. 먼저 2자리 0을 추가하고 나중에 필요한 경우 언제든지 0을 더 추가할 수 있습니다. 따라서 621.00이 있습니다.
이제 숫자 621,000을 열별로 4로 나누겠습니다. 처음 세 단계는 자연수 열로 나누는 것과 다르지 않으며, 그 후에 다음 그림에 도달합니다. 
그래서 우리는 배당금의 소수점에 도달했고 나머지는 0과 다릅니다. 이 경우 몫에 소수점을 넣고 쉼표를 무시하고 열로 나누기를 계속합니다. 
이 나눗셈이 완료되었고 그 결과 원래 일반 분수에 해당하는 소수점 분수 155.25를 얻었습니다.
대답:
155,25 .
자료를 통합하려면 다른 예의 솔루션을 고려하십시오.
예시.
공통 분수 21/800을 십진수로 변환합니다.
해결책.
이 공통 분수를 소수로 변환하기 위해 소수 분수 21,000 ...을 열로 800으로 나눕니다. 첫 번째 단계 후에 몫에 소수점을 넣고 나눗셈을 계속해야 합니다. 
마지막으로, 우리는 나머지 0을 얻었습니다. 이것으로 일반 분수 21/400의 소수 분수로의 변환이 완료되고 소수 분수 0.02625에 도달했습니다.
대답:
0,02625 .
분자를 일반 분수의 분모로 나눌 때 나머지가 0이 되지 않는 경우가 있습니다. 이 경우 원하는 만큼 분할을 계속할 수 있습니다. 그러나 특정 단계부터 나머지가 주기적으로 반복되기 시작하고 몫의 숫자도 반복됩니다. 이것은 원래의 공통 분수가 무한 주기적 십진수로 변환됨을 의미합니다. 예를 들어 보여드리겠습니다.
예시.
공약수 19/44를 소수로 나타내세요.
해결책.
일반 분수를 소수로 변환하려면 열로 나누기를 수행합니다. 
나눌 때 나머지 8과 36이 반복되기 시작하고 몫에서 숫자 1과 8이 반복된다는 것은 이미 분명합니다. 따라서 원래의 일반 분수 19/44는 주기적인 소수 분수 0.43181818…=0.43(18) 로 변환됩니다.
대답:
0,43(18) .
이 단락의 결론에서 우리는 보통 분수가 최종 소수점 분수로 변환될 수 있고 어떤 분수가 주기적 분수로만 변환될 수 있는지 알아낼 것입니다.
우리 앞에 기약 할 수없는 일반 분수가 있고 (분수가 환원 가능하면 먼저 분수 감소를 수행합니다) 변환 할 수있는 소수점 분수 (유한 또는 주기적)를 찾아야합니다.
일반 분수를 분모 10, 100, 1000, ... 중 하나로 줄일 수 있다면 이전 단락에서 설명한 규칙에 따라 결과 분수를 최종 소수점 분수로 쉽게 변환할 수 있다는 것이 분명합니다. 그러나 분모에 10, 100, 1,000 등 모든 일반 분수가 제공되는 것은 아닙니다. 분수 만 분모가 숫자 10, 100, ... 중 적어도 하나 인 분모로 축소 될 수 있으며 10, 100, ...의 약수가 될 수있는 숫자는 무엇입니까? 숫자 10, 100, …을 사용하면 이 질문에 답할 수 있으며 다음과 같습니다. 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … 10, 100, 1,000 등의 약수는 다음과 같습니다. 소인수로의 분해에 숫자 2와(또는) 5만 포함되는 숫자만 있을 수 있습니다.
이제 일반 분수를 소수 분수로 변환하는 것에 대한 일반적인 결론을 내릴 수 있습니다.
- 분모를 소인수로 분해할 때 숫자 2와 (또는) 5만 있으면 이 분수를 최종 소수로 변환할 수 있습니다.
- 2와 5 외에 분모의 확장에 다른 것이 있는 경우 소수, 이 분수는 무한 소수 주기적 분수로 변환됩니다.
예시.
일반 분수를 소수로 변환하지 않고 분수 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 중 최종 소수로 변환할 수 있는 분수와 주기적 분수로만 변환할 수 있는 분수를 알려주십시오.
해결책.
분수 47/20의 분모를 소인수분해하면 20=2 2 5 형식이 됩니다. 이 확장에는 2와 5만 있으므로 이 분수를 분모 10, 100, 1000, ... 중 하나로 줄일 수 있으므로(이 예에서는 분모 100으로) 최종 소수로 변환할 수 있습니다. 분수.
분수 7/12의 분모를 소인수분해하면 12=2 2 3 형식이 됩니다. 2와 5와는 다른 단순한 인수 3을 포함하기 때문에 이 분수는 유한한 소수로 나타낼 수 없지만 주기적 소수로 변환할 수 있습니다.
분수 21/56 - 수축 가능, 감소 후 3/8 형식을 취합니다. 분모를 소인수로 분해하면 2와 같은 세 개의 인수가 포함되므로 일반 분수 3/8, 따라서 21/56에 해당하는 분수는 최종 소수로 변환될 수 있습니다.
마지막으로, 분수 31/17의 분모의 전개는 그 자체가 17이므로, 이 분수는 유한 소수점 분수로 변환될 수 없지만 무한 주기적 분수로 변환될 수 있습니다.
대답:
47/20 및 21/56은 마지막 소수로 변환할 수 있는 반면 7/12 및 31/17은 주기 소수로만 변환할 수 있습니다.
일반 분수는 무한 반복되지 않는 소수로 변환되지 않습니다.
이전 단락의 정보는 "분수의 분자를 분모로 나눌 때 무한한 비주기 분수를 얻을 수 있습니까?"라는 질문을 제기합니다.
답변: 아니요. 일반 분수를 변환할 때 유한 소수 분수 또는 무한 주기적 소수 분수를 얻을 수 있습니다. 이것이 왜 그런지 설명합시다.
나머지가 있는 가분성 정리에서 나머지는 항상 제수보다 작다는 것이 분명합니다. 즉, 어떤 정수를 정수 q로 나누면 숫자 0, 1, 2, ..., q 중 하나만 -1은 나머지가 될 수 있습니다. 일반 분수의 분자의 정수 부분을 분모 q로 나눈 후 q 단계를 넘지 않으면 다음 두 가지 상황 중 하나가 발생합니다.
- 나머지 0 을 얻거나 이것은 나눗셈을 끝내고 최종 소수를 얻습니다.
- 또는 이전에 이미 나타난 나머지를 얻은 후 이전 예에서와 같이 나머지가 반복되기 시작합니다(동일한 숫자를 q로 나눌 때 이미 언급한 가분성 정리에 따라 동일한 나머지가 얻어지기 때문에). 무한 주기적 십진수를 얻을 수 있습니다.
다른 옵션이 있을 수 없으므로 일반 분수를 소수 분수로 변환할 때 무한 비주기 소수 분수를 얻을 수 없습니다.
또한 이 문단에 주어진 추론으로부터 소수점 이하 주기의 길이는 항상 상응하는 일반 분수의 분모 값보다 작습니다.
소수를 일반 분수로 변환
이제 소수를 일반 분수로 변환하는 방법을 알아 보겠습니다. 마지막 소수를 일반 분수로 변환하여 시작하겠습니다. 그런 다음 무한주기 소수점 분수를 반전시키는 방법을 고려하십시오. 결론적으로 무한 비 주기적 소수점 분수를 일반 분수로 변환하는 것이 불가능하다고 가정 해 봅시다.
마지막 소수를 일반 분수로 변환
최종 소수점 분수로 쓰여지는 일반 분수를 얻는 것은 매우 간단합니다. 최종 소수를 일반 분수로 변환하는 규칙다음 세 단계로 구성됩니다.
- 첫째, 이전에 소수점을 버리고 왼쪽에 있는 모든 0이 있는 경우 주어진 소수를 분자에 씁니다.
- 둘째, 분모에 1을 쓰고 원래 소수점 이하 자릿수만큼 0을 더합니다.
- 셋째, 필요한 경우 결과 부분을 줄입니다.
예를 들어 보겠습니다.
예시.
십진수 3.025를 공분수로 변환합니다.
해결책.
원래 소수점에서 소수점을 제거하면 숫자 3025가 됩니다. 왼쪽에는 버릴 0이 없습니다. 따라서 필요한 분수의 분자에 3025를 씁니다.
분모에 숫자 1을 쓰고 그 오른쪽에 3개의 0을 추가합니다. 원래 소수점 이하 소수점 뒤에 3자리가 있기 때문입니다.
그래서 우리는 일반적인 분수 3 025/1 000을 얻었습니다. 이 비율은 25로 줄일 수 있습니다. 
.
대답:
.
예시.
십진수 0.0017을 일반 분수로 변환합니다.
해결책.
소수점이 없으면 원래 소수점 분수는 00017처럼 보이고 왼쪽의 0을 버리고 원하는 일반 분수의 분자인 숫자 17을 얻습니다.
분모에 4개의 0이 있는 단위를 씁니다. 원래 소수점 이하 소수점 뒤에 4자리가 있기 때문입니다.
결과적으로 일반 분수는 17/10,000입니다. 이 분수는 기약할 수 없으며, 소수의 일반 분수로의 변환이 완료됩니다.
대답:
.
원래 최종 소수의 정수 부분이 0이 아닌 경우 일반 분수를 우회하여 즉시 대분수로 변환할 수 있습니다. 주자 마지막 소수를 대분수로 변환하는 규칙:
- 소수점 앞의 숫자는 원하는 혼합 숫자의 정수 부분으로 작성되어야 합니다.
- 분수 부분의 분자에는 왼쪽의 0을 모두 버린 후 원래 소수 부분의 분수 부분에서 얻은 숫자를 써야합니다.
- 분수 부분의 분모에는 숫자 1을 써야합니다. 오른쪽에는 소수점 뒤의 원래 소수 부분 항목에있는 숫자만큼 0을 추가해야합니다.
- 필요한 경우 결과 혼합 숫자의 소수 부분을 줄입니다.
소수를 대분수로 변환하는 예를 고려하십시오.
예시.
십진수 152.06005를 대분수로 나타내기
에게 유리수 m / n은 소수로 표시되므로 분자를 분모로 나누어야 합니다. 이 경우 몫은 유한 또는 무한 소수로 표시됩니다.
주어진 수를 십진수로 쓰십시오.
해결책. 각 분수의 분자를 분모로 나눕니다. ㅏ) 6을 25로 나눕니다. 비) 2를 3으로 나눕니다. 안에) 1을 2로 나눈 다음 결과 분수를 단일(이 혼합 숫자의 정수 부분)에 더합니다.
분모에 다음 이외의 소인수를 포함하지 않는 기약할 수 없는 일반 분수 2 그리고 5 , 마지막 소수로 기록됩니다.
에 예 1언제 ㅏ)분모 25=5 5; 언제 안에)분모는 2이므로 최종 소수점 0.24와 1.5를 얻습니다. 언제 비)분모가 3이므로 결과를 마지막 소수로 쓸 수 없습니다.
열로 나누지 않고 그러한 일반 분수를 분모에 2와 5를 제외한 다른 약수가 포함되지 않는 소수로 변환하는 것이 가능합니까? 알아 봅시다! 어떤 분수를 십진법이라고 하며 분수선 없이 기록합니까? 답: 분모가 10인 분수; 100; 1000 등 그리고 이러한 각 숫자는 제품입니다. 동일한 2와 5의 수. 실제: 10=2 5 ; 100=2525 ; 1000=2 5 2 5 2 5 등
따라서, 기약이 없는 일반 분수의 분모는 2와 5의 곱으로 표현되어야 하며, 2와 5가 같아지도록 2와(또는) 5를 곱해야 합니다. 그러면 분수의 분모는 10, 100 또는 1000 등이 됩니다. 분수의 값이 변하지 않도록 분모에 곱한 것과 같은 수를 분수의 분자에 곱합니다.
다음 분수를 소수로 나타내십시오.
해결책. 이러한 각 분수는 기약할 수 없습니다. 각 분수의 분모를 소인수로 분해합시다.
20=2 2 5. 결론: 하나의 "5"가 누락되었습니다.
8=2 2 2. 결론 : 세 개의 "5"가 충분하지 않습니다.
25=5 5. 결론: 두 개의 "twos"가 누락되었습니다.
논평.실제로, 그들은 종종 분모의 인수분해를 사용하지 않고, 결과가 0이 있는 단위(10 또는 100 또는 1000 등)가 되도록 분모를 얼마만큼 곱해야 하는지 간단히 질문합니다. 그런 다음 분자에 같은 숫자를 곱합니다.
그래서 만약에 ㅏ)(예 2) 숫자 20에서 5를 곱하면 100이 되므로 분자와 분모에 5를 곱해야 합니다.
언제 비)(예시 2) 숫자 8에서 숫자 100은 통하지 않으나 숫자 1000은 125를 곱하면 얻어집니다. 분수의 분자(3)와 분모(8) 모두 125를 곱합니다.
언제 안에)(예 2) 25에 4를 곱하면 100이 됩니다. 즉, 분자 8에도 4를 곱해야 합니다.
하나 이상의 숫자가 같은 순서로 변함없이 반복되는 무한 소수를 소수라고 합니다. 정기 간행물소수. 반복되는 숫자 집합을 이 분수의 주기라고 합니다. 간결함을 위해 분수의 기간은 괄호로 묶어서 한 번만 씁니다.
언제 비)(예제 1 ) 반복되는 숫자는 1이고 6과 같습니다. 따라서 결과 0.66... 은 다음과 같이 작성됩니다. 0,(6) . 그들은 다음과 같이 읽습니다: 0 정수, 마침표 6.
쉼표와 첫 마침표 사이에 반복되지 않는 숫자가 하나 이상 있으면 이러한 주기 분수를 혼합 주기 분수라고 합니다.
분모가 기약 불가능한 공통분수 다른 사람들과 함께승수 승수를 포함 2 또는 5 , 된다 혼합주기적 분수.
숫자를 십진수로 씁니다.
소수 분수- 다양성 분수, 분모에 "반올림" 숫자가 있습니다: 예를 들어 10, 100, 1000 등 분수 5/10은 십진법으로 0.5입니다. 이 원칙에 입각하여, 분수에 제시될 수 있다 형태소수 분수.
지침
우리가 상상해야 한다고 가정해 봅시다. 형태소수 분수 18/25.
먼저 100, 1000 등의 "반올림" 숫자 중 하나가 분모에 나타나는지 확인해야 합니다. 이렇게하려면 분모에 4를 곱해야합니다. 그러나 4로 분자와 분모를 모두 곱해야합니다.
분자와 분모 곱하기 분수 18/25 곱하기 4는 72/100입니다. 녹음중입니다 분수십진법 형태그래서: 0.72.
수학에서 분수는 단위를 나누는 하나 이상의 부분과 같은 유리수입니다. 이 경우 분수 기록에는 두 개의 숫자 표시가 포함되어야 합니다. 그 중 하나는 이 분수를 생성할 때 단위가 분할된 공유 수를 정확히 나타내고 다른 하나는 이러한 공유 중 소수가 포함된 공유 수를 나타냅니다. 이 두 숫자가 막대로 구분된 분자와 분모로 표시되는 경우 이 기록 형식을 "보통" 분수라고 합니다. 그러나 "십진수"라고 하는 분수를 쓰는 또 다른 형식이 있습니다.
분모가 분자 위에 있고 그 사이에 구분선이있는 3 층 형식의 숫자 쓰기가 항상 편리한 것은 아닙니다. 특히 이러한 불편함은 개인용 컴퓨터의 대량 보급과 함께 나타나기 시작했다. 분수 표현의 십진수 형식에는 이러한 단점이 없습니다. 정의에 따라 항상 10의 음의 거듭 제곱과 같기 때문에 분자를 표시 할 필요가 없습니다. 따라서 분수는 한 줄에 쓸 수 있지만 대부분의 경우 길이는 해당 일반 분수의 길이보다 훨씬 큽니다.
10진수 형식으로 숫자를 쓰는 것의 또 다른 장점은 비교하기가 훨씬 쉽다는 것입니다. 이러한 두 숫자의 각 자릿수의 분모가 같기 때문에 해당 자릿수의 두 자릿수 만 비교하면 충분하지만 일반 분수를 비교할 때는 각각의 분자와 분모를 모두 고려해야합니다. 이 이점은 인간뿐만 아니라 컴퓨터에도 중요합니다. 십진수 형식의 숫자 비교는 프로그래밍하기에 충분히 쉽습니다.
덧셈, 곱셈 및 기타 수학적 연산에 대한 수백 년 된 규칙이 있어 종이로 계산하거나 머리 속으로 십진수 형식의 숫자로 계산할 수 있습니다. 이것은 일반 분수에 비해 이 형식의 또 다른 장점입니다. 컴퓨터 기술의 발달로 계산기가 시계 안에 있어도 점점 눈에 띄지 않게 되고 있습니다.
소수를 기록하기 위한 10진수 형식의 설명된 이점은 주요 목적이 작업을 단순화하는 것임을 보여줍니다. 수학적 수량. 이 형식에는 단점도 있습니다. 예를 들어 주기적 분수를 소수에 쓰려면 괄호 안에 숫자를 추가해야 하며 소수 형식의 무리수는 항상 근사값을 갖습니다. 그러나 현재의 사람과 기술 개발 수준에서는 일반적인 분수 기록 형식보다 사용하는 것이 훨씬 편리합니다.
소수는 분모가 10의 자연승인 분수입니다. 예를 들어 분수입니다. 이 분수는 다음 형식으로 작성할 수 있습니다. 분모에 0이 있는 만큼 오른쪽에 쉼표를 표시합니다. 즉, 다음과 같습니다.
이러한 레코드에서 소수점 왼쪽의 숫자는 정수 부분을 형성하고 소수점 오른쪽의 숫자는 이 소수 부분의 소수 부분을 형성합니다.
p/q를 양의 유리수라고 하자. 산술에서 나누기 프로세스는 잘 알려져 있으며 숫자를 소수로 나타낼 수 있습니다. 나눗셈 과정의 핵심은 먼저 q가 p에 포함된 가장 큰 정수를 찾는 것입니다. p가 q의 배수이면 여기에서 나누기 프로세스가 종료됩니다. 그렇지 않으면 나머지가 나타납니다. 다음으로, 그들은 이 나머지에 포함된 q의 10분의 1이 몇 개인지 찾고, 이 단계에서 프로세스가 종료되거나 새로운 나머지가 나타날 수 있습니다. 후자의 경우 포함된 q의 100분의 1을 찾으십시오.
분모 q에 2 또는 5 이외의 다른 소수 약수가 없으면 유한한 수의 단계 후에 나머지가 0이 되고 나눗셈 프로세스가 종료되고 주어진 일반 분수가 최종 소수 분수로 바뀝니다. 실제로이 경우 주어진 분수의 분자와 분모를 곱한 후 분모가 자연 10의 거듭 제곱이되는 분수를 얻는 정수를 항상 선택할 수 있습니다. 예를 들어 분수입니다.
이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
그러나 이러한 변환을 수행하지 않고 분자를 분모로 나누면 독자는 동일한 결과를 얻게 됩니다.
기약 분수의 분모에 2 또는 5 이외의 소수 약수가 하나 이상 있으면 q로 나누는 과정은 절대 끝나지 않습니다(다음 나머지는 0으로 변하지 않습니다).
나누어서 찾은 후
이 예제에서 얻은 결과를 작성하기 위해 주기적으로 반복되는 숫자 0과 6을 괄호로 묶고 작성합니다.
이 예 및 기타 유사한 경우에서 나눗셈 연산은 최종 십진수 결과를 가져오지 않습니다. 소수의 개념을 일반화하여 여전히 몫 965/132가 무한 주기적 분수로 표현된다고 말하는 것이 가능합니다. 반복되는 숫자 06을 이 분수의 주기라고 하며, 이 예에서 동일한 숫자는 다음과 같습니다. 기간의 길이.
분수의 주기성 현상에 대한 이유를 이해하기 위해 예를 들어 7로 나누는 과정을 분석해 보겠습니다. 나눗셈이 완전히 수행되지 않으면 다음 값 중 하나만 가질 수 있는 나머지가 나타납니다. : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 다음 단계의 각 단계에서 나머지는 다시 이 6개 값 중 하나를 갖게 됩니다. 따라서 늦어도 일곱 번째 단계에서는 이전에 이미 나타난 나머지 값 중 하나를 필연적으로 만나게 되며, 이때부터 나눗셈 과정이 주기화된다. 주기적으로 나머지 값과 몫의 숫자가 모두 반복됩니다. 이 추론은 다른 약수의 경우에도 적용됩니다.
따라서 모든 일반 분수는 유한 또는 무한주기 소수점 분수로 표시됩니다. 역으로 모든 주기적 소수점 분수를 일반 분수로 나타낼 수 있다는 것은 놀라운 일입니다. 이 작업이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다. 이 경우 무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식이 사용됩니다(문단 92).
다음과 같이 이해할 수 있습니다.
여기서 오른쪽의 멤버는 두 번째부터 시작하여 분모 및 첫 번째 멤버와 함께 무한한 기하학적 수열을 형성합니다.
공식(92.2) 사용:
같은 과정을 통해 어떤 주어진 무한 주기적 분수가 일반적인 분수의 형태로 표현될 수 있다는 것이 분명합니다(그리고 보여질 수 있듯이, 주어진 무한 주기 분수는 다음 과정에서 차례로 얻어집니다. 분할). 그러나 여기에는 한 가지 예외가 있습니다. 분수를 고려하십시오
일반 분수로 변환하는 과정을 적용합니다.
우리는 마지막 소수로 표시되는 숫자 1/2에 도달했습니다.
주어진 무한 분수의 주기가 (9)의 형태를 가질 때마다 유사한 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 예를 들어 다음과 같은 숫자 쌍을 식별합니다.
때로는 형식의 레코드를 허용하는 것도 유용합니다.
형식적으로 유한한 십진수를 마침표(0)가 있는 무한대로 나타냅니다.
양의 유리수에 적용되는 일반 분수를 십진 주기 분수로 변환하거나 그 반대로 변환하는 것에 대해 모든 것이 언급되었습니다. 음수의 경우 두 가지를 할 수 있습니다.
1) 주어진 음수와 반대되는 양수를 취하여 소수로 바꾼 다음 그 앞에 빼기 부호를 붙입니다. 예를 들어 - 5/3의 경우
2) 이 음의 유리수를 정수 부분(음수)과 분수 부분(음이 아님)의 합으로 표시한 다음 이 숫자의 소수 부분만 소수로 변환합니다. 예를 들어:
음의 정수 부분과 유한 또는 무한 소수의 합으로 표현되는 숫자를 쓰기 위해 다음 지정이 채택됩니다(음수를 쓰는 인위적인 형식).
여기서 빼기 기호는 전체 분수 앞이 아니라 정수 부분 위에 두어 정수 부분만 음수이고 쉼표 뒤의 분수 부분은 양수임을 강조합니다.
이러한 표기법은 양수 및 음수 소수 분수의 표기법에서 균일성을 생성하고 십진 로그 이론(섹션 28)에서 미래에 사용될 것입니다. 예제에서 한 레코드에서 다른 레코드로의 전환을 확인하기 위해 독자에게 연습을 제안합니다.
이제 최종 결론을 공식화하는 것이 이미 가능합니다. 유리수는 무한 십진수 주기 분수로 나타낼 수 있으며 반대로 그러한 분수는 유리수를 정의합니다. 유한 소수점은 또한 무한 소수점의 형태로 마침표(0)와 마침표(9)의 두 가지 형식의 쓰기를 허용합니다.
이미 초등학교학생들은 분수를 다루고 있습니다. 그리고 그들은 모든 주제에 나타납니다. 이 숫자로 작업을 잊는 것은 불가능합니다. 따라서 일반 분수와 소수 분수에 대한 모든 정보를 알아야 합니다. 이러한 개념은 간단하며 가장 중요한 것은 모든 것을 순서대로 이해하는 것입니다.
왜 분수가 필요한가요?
우리 주변의 세계는 전체 개체로 구성됩니다. 따라서 주식이 필요하지 않습니다. 하지만 일상 생활끊임없이 사람들이 사물과 사물의 일부를 다루도록 강요합니다.
예를 들어 초콜릿은 여러 조각으로 구성됩니다. 타일이 12개의 직사각형으로 형성되는 상황을 고려하십시오. 2개로 나누면 6개가 됩니다. 3가지로 잘 나눠집니다. 그러나 다섯은 초콜릿 조각의 전체 수를 줄 수 없습니다.
그런데 이 조각들은 이미 분수입니다. 그리고 그것들을 더 나누면 더 복잡한 숫자가 나타납니다.
"분수"란 무엇입니까?
이것은 하나의 부분으로 구성된 숫자입니다. 겉보기에는 가로 또는 슬래시로 구분된 두 개의 숫자처럼 보입니다. 이 기능을 분수라고 합니다. 상단(왼쪽)에 적힌 숫자를 분자라고 합니다. 맨 아래(오른쪽)에 있는 것이 분모입니다.
사실 분수 막대는 나눗셈 기호로 판명되었습니다. 즉, 분자는 피제수라고 할 수 있고 분모는 약수라고 할 수 있습니다.
분수는 무엇입니까?
수학에는 일반 분수와 소수 분수의 두 가지 유형만 있습니다. 학생들은 단순히 "분수"라고 부르는 초등학교의 첫 번째 학생들을 알게됩니다. 두 번째는 5 학년에서 배웁니다. 그때 이러한 이름이 나타납니다.
공통 분수는 막대로 구분된 두 개의 숫자로 작성된 모든 분수입니다. 예를 들어 4/7입니다. 10진수는 소수 부분이 위치 표기를 가지며 쉼표로 정수와 구분되는 숫자입니다. 예를 들어, 4.7. 학생들은 주어진 두 가지 예가 완전히 다른 숫자라는 점을 분명히 해야 합니다.
모든 단순 분수는 소수로 나타낼 수 있습니다. 이 진술은 역으로도 거의 항상 참입니다. 소수를 일반 분수로 쓸 수 있는 규칙이 있습니다.
이러한 유형의 분수에는 어떤 아종이 있습니까?
공부하고 있기 때문에 연대순으로 시작하는 것이 좋습니다. 공통 분수가 먼저 나옵니다. 그 중 5개의 아종을 구별할 수 있다.
옳은. 분자는 항상 분모보다 작습니다.
잘못된. 분자는 분모보다 크거나 같습니다.
환원 가능 / 환원 불가능. 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있습니다. 분자와 분모에 공통 인수가 있는지 여부도 중요합니다. 있는 경우 분수의 두 부분을 나누어야 합니다. 즉, 축소해야 합니다.
혼합. 일반적인 올바른(잘못된) 소수 부분에 정수가 할당됩니다. 그리고 그것은 항상 왼쪽에 서 있습니다.
합성물. 서로 나누어진 두 부분으로 구성됩니다. 즉, 한 번에 세 개의 분수 기능이 있습니다.
십진수에는 두 가지 아종이 있습니다.
최종, 즉 분수 부분이 제한되는 것(끝이 있음);
무한 -소수점 이하의 숫자가 끝나지 않는 숫자 (끝없이 쓸 수 있음).
십진수를 보통으로 변환하는 방법?
이것이 유한한 숫자라면 규칙에 기반한 연결이 적용됩니다. 내가 듣는 대로 씁니다. 즉, 올바르게 읽고 적어야하지만 쉼표는 없지만 분수는 있어야합니다.
필요한 분모에 대한 힌트로 항상 1과 몇 개의 0이라는 것을 기억하십시오. 후자는 해당 숫자의 소수 부분에 있는 자릿수만큼 작성해야 합니다.
전체 부분이 누락 된 경우, 즉 0과 같은 경우 소수를 일반 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 0.9 또는 0.05입니다. 지정된 규칙을 적용한 후 정수를 0으로 작성해야 하는 것으로 나타났습니다. 그러나 그것은 표시되지 않습니다. 소수 부분 만 적어 두는 것이 남아 있습니다. 첫 번째 숫자의 경우 분모는 10이고 두 번째는 100입니다. 즉, 표시된 예의 답은 9/10, 5/100입니다. 또한 후자는 5로 줄일 수 있음이 밝혀졌습니다. 따라서 그에 대한 결과는 1/20으로 작성되어야 합니다.
정수 부분이 0과 다른 경우 십진수에서 일반 분수를 만드는 방법은 무엇입니까? 예: 5.23 또는 13.00108. 두 예제 모두 정수 부분을 읽고 그 값을 씁니다. 첫 번째 경우에는 5이고 두 번째 경우에는 13입니다. 그런 다음 분수 부분으로 이동해야 합니다. 그들과 동일한 작업을 수행해야합니다. 첫 번째 숫자는 23/100이고 두 번째 숫자는 108/100000입니다. 두 번째 값을 다시 줄여야 합니다. 답은 대분수 5 23/100과 13 27/25000입니다.
무한 소수를 공통 분수로 변환하는 방법은 무엇입니까?
비주기적이면 그러한 작업을 수행할 수 없습니다. 이 사실은 각 소수 부분이 항상 최종 또는 주기적으로 변환된다는 사실 때문입니다.
이러한 분수로 수행할 수 있는 유일한 작업은 반올림하는 것입니다. 그러나 십진수는 대략 그 무한대와 같을 것입니다. 이미 평범한 것으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 역 과정: 십진수로 변환하는 경우 - 초기 값을 제공하지 않습니다. 즉, 무한 비주기 분수는 일반 분수로 변환되지 않습니다. 이것은 기억해야 합니다.
보통의 형태로 무한 주기적 분수를 쓰는 방법은 무엇입니까?
이 숫자에서 하나 이상의 숫자는 항상 소수점 뒤에 나타나며 반복됩니다. 기간이라고 합니다. 예: 0.3(3). 기간의 "3"입니다. 일반 분수로 변환할 수 있으므로 유리수로 분류됩니다.
주기적 분수를 접해본 사람들은 그것이 순수하거나 혼합될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 첫 번째 경우 마침표는 쉼표에서 바로 시작됩니다. 두 번째에서는 분수 부분이 임의의 숫자로 시작된 다음 반복이 시작됩니다.
일반 분수의 형태로 무한 소수를 작성하는 데 필요한 규칙은 이 두 가지 유형의 숫자에 따라 다릅니다. 순수한 주기 분수를 일반 분수로 쓰는 것은 꽤 쉽습니다. 마지막 것과 마찬가지로 변환해야합니다. 분자에 마침표를 쓰면 숫자 9가 분모가되어 마침표의 자릿수만큼 반복됩니다.
예를 들어, 0,(5). 숫자에는 정수 부분이 없으므로 즉시 소수 부분으로 진행해야 합니다. 분자에 5를 쓰고 분모에 9를 쓰면 답은 분수 5/9입니다.
대분수인 공통 소수를 쓰는 방법에 대한 규칙.
기간을 보세요. 그래서 9는 분모를 가질 것입니다.
분모를 적으십시오: 첫 번째 9, 그 다음 0.
분자를 결정하려면 두 숫자의 차를 써야 합니다. 마침표와 함께 소수점 이하의 모든 숫자가 줄어듭니다. 빼기 가능 - 마침표가 없습니다.
예를 들어, 0.5(8) - 주기적인 소수를 공통 분수로 씁니다. 마침표 앞의 소수 부분은 한 자리입니다. 따라서 0은 1이 됩니다. 마침표에는 8이라는 숫자가 하나뿐입니다. 즉, 9는 하나만 있습니다. 즉, 분모에 90을 써야 합니다.
58에서 분자를 결정하려면 5를 빼야 합니다. 결과는 53입니다. 예를 들어 답으로 53/90을 작성해야 합니다.
공통 분수는 어떻게 소수로 변환됩니까?
가장 간단한 옵션은 분모가 숫자 10, 100 등인 숫자입니다. 그런 다음 분모는 간단히 버리고 소수 부분과 정수 부분 사이에 쉼표를 넣습니다.
분모가 쉽게 10, 100 등으로 바뀌는 상황이 있습니다. 예를 들어 숫자 5, 20, 25. 각각 2, 5, 4를 곱하면 충분합니다. 분모뿐만 아니라 분자에도 같은 숫자를 곱하면됩니다.
다른 모든 경우에는 간단한 규칙이 유용합니다. 분자를 분모로 나눕니다. 이 경우 두 가지 답변을 얻을 수 있습니다: 최종 또는 주기적 소수.
공통분수 연산
덧셈과 뺄셈
학생들은 남들보다 일찍 그것들을 알게 됩니다. 그리고 처음에는 분수가 같은 분모를 가지다가 나중에 다릅니다. 일반적인 규칙그러한 계획으로 줄일 수 있습니다.
분모의 최소 공배수를 찾으십시오.
모든 일반 분수에 추가 인수를 씁니다.
분자와 분모에 정의된 인수를 곱합니다.
분수의 분자를 더하고(빼고) 공통 분모는 그대로 둡니다.
피감수의 분자가 피감수보다 작으면 혼합수인지 진분수인지 알아내야 합니다.
첫 번째 경우 정수 부분은 1을 취해야 합니다. 분수의 분자에 분모를 더합니다. 그리고 빼기를 합니다.
두 번째 - 더 작은 숫자에서 더 큰 숫자로 뺄셈 규칙을 적용해야 합니다. 즉, subtrahend의 계수에서 피감수의 계수를 빼고 응답에 "-"기호를 넣습니다.
덧셈(뺄셈)의 결과를 잘 보세요. 가분수를 얻으면 전체 부품을 선택해야 합니다. 즉, 분자를 분모로 나눕니다.
곱셈과 나눗셈
구현을 위해 분수를 공통 분모로 줄일 필요가 없습니다. 이렇게 하면 조치를 취하기가 더 쉬워집니다. 그러나 그들은 여전히 규칙을 따라야 합니다.
일반 분수를 곱할 때 분자와 분모의 숫자를 고려해야 합니다. 분자와 분모에 공통 인수가 있으면 줄일 수 있습니다.
분자를 곱합니다.
분모를 곱하십시오.
환원 가능한 분수를 얻으면 다시 단순화해야 합니다.
나눌 때 먼저 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고 제수(두 번째 분수)를 역수로 바꿔야 합니다(분자와 분모를 바꿉니다).
그런 다음 곱셈에서와 같이 진행합니다(포인트 1부터 시작).
정수로 곱(나누기)해야 하는 작업에서 후자는 가분수로 작성되어야 합니다. 즉, 분모가 1입니다. 그런 다음 위에서 설명한 대로 진행합니다.
소수 연산
덧셈과 뺄셈
물론, 당신은 항상 소수를 공통분수로 바꿀 수 있습니다. 이미 설명한 계획에 따라 행동하십시오. 그러나 때때로 이 번역 없이 행동하는 것이 더 편리합니다. 그러면 덧셈과 뺄셈의 규칙이 완전히 동일해집니다.
숫자의 소수 부분, 즉 소수점 뒤의 자릿수를 같게 만듭니다. 누락된 0의 개수를 할당합니다.
쉼표가 쉼표 아래에 오도록 분수를 쓰십시오.
자연수처럼 더하기(빼기).
쉼표를 제거하십시오.
곱셈과 나눗셈
여기에 0을 추가할 필요가 없다는 것이 중요합니다. 분수는 예제에 주어진 대로 남겨두어야 합니다. 그런 다음 계획대로 가십시오.
곱셈의 경우 쉼표에 신경 쓰지 않고 분수를 다른 분수 아래에 써야 합니다.
자연수처럼 곱하기.
답에 쉼표를 찍고 답의 오른쪽 끝에서 두 요소의 소수 부분에 있는 자릿수만큼 세십시오.
나누려면 먼저 제수를 변환해야 합니다. 자연수. 즉, 제수의 소수 부분에 있는 자릿수에 따라 10, 100 등을 곱합니다.
배당금에 같은 숫자를 곱하십시오.
소수를 자연수로 나눕니다.
전체 부분의 분할이 끝나는 순간에 답에 쉼표를 넣으십시오.
하나의 예에 두 가지 유형의 분수가 모두 있으면 어떻게 됩니까?
예, 수학에는 보통 분수와 소수 분수에 대한 연산을 수행해야 하는 예가 종종 있습니다. 이러한 문제에 대한 두 가지 가능한 해결책이 있습니다. 숫자를 객관적으로 평가하고 가장 좋은 것을 선택해야 합니다.
첫 번째 방법: 일반 소수 표현
나누거나 변환할 때 최종 분수를 얻는 경우에 적합합니다. 적어도 하나의 숫자가 주기적 부분을 제공하면 이 기술은 금지됩니다. 따라서 일반 분수로 작업하는 것을 좋아하지 않더라도 분수를 세어야 합니다.
두 번째 방법: 소수를 보통으로 쓰기
이 기법은 소수점 이하 부분에 1~2자리가 있을 때 편리합니다. 그것들이 더 많으면 매우 큰 일반 분수가 나올 수 있으며 소수 항목을 사용하면 작업을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 항상 작업을 냉정하게 평가하고 가장 간단한 해결 방법을 선택해야 합니다.