확률 변수 x는 확률 분포 밀도를 갖습니다. 연속 확률 변수의 수학적 기대치. 솔루션 예시. 연속 확률 변수의 확률 밀도

1. 연속 확률 변수의 확률 분포 밀도

연속 확률 변수의 분포 함수는 완전한 확률적 특성입니다. 그러나 수치축의 한 점 또는 다른 점의 작은 이웃에서 확률변수의 분포 특성을 판단하기 어렵다는 단점이 있다. 다양한 지점 근처에 있는 연속 확률 변수의 분포 특성에 대한 보다 시각적인 표현은 확률 분포 밀도 또는 확률 변수의 미분 분포 법칙이라는 함수로 제공됩니다. 이 질문에서 우리는 확률 밀도 분포와 그 속성을 고려할 것입니다.

연속 확률 변수가 있다고 하자 엑스분배 기능으로. 기본 세그먼트에서 이 랜덤 변수를 칠 확률을 계산해 보겠습니다.
:

단면의 길이에 대한 이 확률의 비율을 작성하십시오.
:

결과 비율은 평균 확률,이것은 이 섹션의 단위 길이당입니다.

분포 함수를 고려 에프(엑스)미분 가능, 우리는 평등 (1)을 극한으로 전달합니다.
; 그러면 우리는 다음을 얻습니다.

x에서 x까지 + ∆x에서 이 섹션의 길이 ∆x까지의 기본 섹션에서 연속 확률 변수를 칠 확률의 비율의 한계, ∆x일 때 0이 되는 경향이 있으며 점 x에서 확률 변수의 분포 밀도라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.에프 (엑스).

평등(2) 덕분에 분포 밀도는 에프(엑스)분포 함수의 도함수와 동일 에프(엑스),즉.

.

분포 밀도의 의미 에프(엑스)확률 변수가 얼마나 자주 나타나는지를 나타냅니다. 엑스포인트의 어떤 이웃에서 엑스실험을 반복할 때.

분포 밀도를 나타내는 곡선 에프(엑스)랜덤 변수가 호출됩니다 분포 곡선.분포 곡선의 대략적인 모습은 그림 1에 나와 있습니다.

확률 변수의 가능한 값이 유한 간격을 채우면 분포 밀도 에프(엑스) = 0 이 간격을 벗어납니다.

가로축에서 기본 섹션 ∆을 선택합시다. 엑스, 점에 인접 엑스(그림 2), 확률 변수를 칠 확률을 구합니다. 엑스 이 지역으로. 한편으로, 이 확률은 증분과 같습니다.
분포 함수 에프(엑스),해당 증분 ∆ 엑스= DX 논쟁 엑스. 에서반면에 확률 변수를 칠 확률은 엑스 초등학교 지역으로 DX와 함께∆보다 높은 차수의 극소수로 엑스와 동등하다 에프(엑스) DX (왜냐하면 ∆ 에프(엑스)≈ dF(x) =에프 (엑스) DX). 기하학적으로 이것은 높이가있는 기본 직사각형의 면적입니다. 에프(엑스) 그리고 기초 DX (그림 2). 값 에프 (엑스) DX ~라고 불리는 확률의 요소.

가능한 값이 특정 간격을 연속적으로 채우는 모든 확률 변수가 연속 확률 변수는 아니라는 점에 유의해야 합니다. 가능한 값이 특정 간격을 연속적으로 채우지 만 분포 함수가 모든 곳에서 연속적이지 않지만 특정 지점에서 불연속을 겪는 확률 변수가 있습니다. 이러한 확률변수를 혼합.따라서 예를 들어 잡음에서 신호를 감지하는 문제에서 유용한 신호 진폭은 혼합 확률 변수입니다. 엑스, 양수 또는 음수 모든 값을 사용할 수 있습니다.

이제 연속 확률 변수에 대한 보다 엄격한 정의를 제공하겠습니다.

임의 값엑스분포 함수가에프(x\는 전체 x축에서 연속이고 분포 밀도에프 (엑스)는 유한한 수의 점을 제외하고는 어디에나 존재합니다.

분포 밀도의 특성을 고려하십시오.

속성 1.분포 밀도는 음이 아니며,즉.

이 속성은 분포 밀도가
감소하지 않는 분포 함수의 도함수 에프(엑스).

속성 2. 확률 변수의 분포 함수는 –∞에서 x까지의 범위에서 밀도의 적분과 같습니다.즉.

. (3)

재산 3.연속 랜덤 변수에 도달할 확률엑스줄거리에
이 섹션에 대해 취한 분포 밀도의 적분과 같습니다.즉.

. (4)

재산 4. 분포 밀도의 무한 한계에서 적분은 1과 같습니다.

.

확률 변수의 가능한 값 간격이 유한한 경우 ㅏ그리고 비, 그런 다음 분포 밀도 에프(엑스)= 0 범위를 벗어남
속성 4는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

.

예시. 임의 값 엑스 밀도 분포 법칙을 따른다

.

필수의:

1) 계수 찾기 ㅏ.

2) 0에서 .

해결책. 1) 계수를 결정하기 위해 ㅏ분포 밀도의 속성 4를 사용합니다.

,

어디 .

2) 공식 (4)에 따르면:

.

패션
연속 확률 변수 X분포 밀도가 최대가 되는 값이라고 합니다.

중앙값 연속 확률 변수 X확률 변수가 더 작을지 더 클지 여부가 똑같이 확률이 높은 값이 호출됩니다. , 그건:

기하학적으로 모드는 분포 곡선의 해당 지점의 가로 좌표이며 세로 좌표는 최대입니다(불연속 확률 변수의 경우 모드는 최대 세로 좌표가 있는 다각형 점의 가로 좌표임).

기하학적으로 중앙값은 분포 곡선에 의해 경계가 지정된 영역이 반으로 나누어지는 점의 가로 좌표입니다.

분포가 단봉이고 대칭이면 평균, 최빈값 및 중앙값이 동일합니다.

또한 세 번째 중심 모멘트에 유의하십시오. 또는 왜도는 분포의 "왜도"의 특성입니다. 분포가 수학적 기대치에 대해 대칭인 경우 분포 곡선(히스토그램)에 대해
. 네 번째 중심 모멘트 정점 또는 편평한 분포를 특징짓는 역할을 합니다. 이러한 분포 속성은 소위 사용하여 설명됩니다. 첨도.왜도와 첨도를 찾는 공식은 이전 강의에서 논의했습니다.

2.정규 분포

연속 확률 변수의 분포 중 중심 위치는 정규 법칙 또는 가우스 분포 법칙이 차지하며 확률 밀도의 형식은 다음과 같습니다.

, (5)

어디
정규분포의 모수이다.

정규분포는 두 개의 모수에 의존하기 때문에 그리고
, 다음으로도 불린다. 2-모수 분포.

정규 분포 법칙은 확률 변수가 다음과 같은 경우에 적용됩니다. 엑스다양한 요인의 결과입니다. 값에 따라 개별적으로 각 요소 엑스약간의 영향을 미치며 어느 것이 다른 것보다 더 많이 지정되는 것은 불가능합니다. 정규 분포가 있는 확률 변수의 예로는 공칭 치수에서 기계에서 처리되는 부품의 실제 치수 편차, 측정 오류, 촬영 중 편차 등이 있습니다.

식 (5)에서 매개 변수 ㅏ는 수학적 기대치이고 매개변수는
- 표준 편차:

.

적분의 첫 번째는 피적분이 홀수이므로 0과 같습니다. 두 번째 적분은 푸아송 적분으로 알려져 있습니다.

.

분산을 계산해 보겠습니다.

.

정규 분포의 확률 밀도 그래프를 정규 가우스 곡선이라고 합니다(그림 3).

곡선의 몇 가지 속성에 주목합니다.

1. 확률 밀도 함수는 전체 수치 축에 정의됩니다. 즉,
.

2. 기능 범위
즉, 가우스 곡선은 x축 위에 위치하며 교차하지 않습니다.

3. 가우스 곡선의 가지가 축에 점근적으로 경향이 있음
, 그건

4. 곡선은 직선에 대해 대칭입니다.
. 따라서 정규 분포의 경우 수학적 기대치는 분포의 모드 및 중앙값과 일치합니다.

5. 함수는 횡좌표가 있는 지점에서 최대값이 하나 있습니다.
, 동일
. 증가와 함께
가우스 곡선은 더 평평해지고, 감소함에 따라
- 더 "뾰족한".

6. 가우스 곡선에는 좌표가 있는 두 개의 변곡점이 있습니다.
그리고
.

7.일정한 경우
수학적 기대치를 변경하면 가우스 곡선이 축을 따라 이동합니다.
: 오른쪽 - 증가할 때 ㅏ, 그리고 왼쪽으로 - 감소할 때.

8. 정규 분포에 대한 왜도와 첨도는 0입니다.

플롯의 정규 법칙에 따라 분포된 확률 변수를 칠 확률 찾기
. 그것은 알려져있다

.

.

변수 변경 사용

,

. (6)

완전한
는 기본 함수로 표현되지 않으므로 적분 (6)을 계산하기 위해 특수 함수의 값 테이블을 사용합니다. 라플라스 함수, 그리고 다음과 같이 보입니다.

.

간단한 변환 후, 우리는 주어진 간격으로 떨어지는 확률 변수에 대한 공식을 얻습니다.
:

. (7)

라플라스 함수에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1.
.

2.
이상한 기능이다.

3.
.

분포 함수의 그래프는 그림 4에 나와 있습니다.

정규 분포 확률 변수의 편차가 엑스절대값은 주어진 양수를 초과하지 않습니다 , 즉, 불평등의 확률
.

우리는 공식 (7)과 라플라스 함수의 기수 속성을 사용합니다.

.

넣어보자
그리고 선택
. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

.

이는 매개변수가 있는 정규 분포 확률 변수의 경우 ㅏ그리고
불평등의 충족
거의 확실한 사건이다. 이른바 '3시그마' 법칙이다.

기대값

분산가능한 값이 전체 축 Ox에 속하는 연속 확률 변수 X는 평등에 의해 결정됩니다.

서비스 할당. 온라인 계산기다음 중 하나에 해당하는 문제를 해결하도록 설계되었습니다. 분포 밀도 f(x) 또는 분포 함수 F(x)(예제 참조). 일반적으로 이러한 작업에서는 다음을 찾아야 합니다. 수학적 기대치, 표준 편차, 함수 f(x) 및 F(x) 플롯.

지침. 입력 데이터 유형 선택: 분포 밀도 f(x) 또는 분포 함수 F(x) .

분포 밀도 f(x)는 다음과 같습니다.

분포 함수 F(x)는 다음과 같이 주어집니다.

연속 확률 변수는 확률 밀도로 정의됩니다.
(Rayleigh 분포 법칙 - 무선 공학에 사용됨). M(x) , D(x) 를 구합니다.

확률변수 X는 마디 없는 , 분포 함수 F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
연속 확률 변수의 분포 함수는 확률 변수가 주어진 간격으로 떨어질 확률을 계산하는 데 사용됩니다.
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
또한 연속 확률 변수의 경우 경계가 이 구간에 포함되는지 여부는 중요하지 않습니다.
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
분포 밀도 연속 확률 변수를 함수라고 합니다.
f(x)=F'(x) , 분포 함수의 도함수.

분포 밀도 속성

1. 확률 변수의 분포 밀도는 x의 모든 값에 대해 음수가 아닙니다(f(x) ≥ 0).
2. 정규화 조건:

정규화 조건의 기하학적 의미: 분포 밀도 곡선 아래의 면적은 1과 같습니다.
3. α에서 β까지의 구간에서 확률 변수 X가 발생할 확률은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

기하학적으로 연속 확률 변수 X가 구간(α, β)에 속할 확률은 이 구간을 기준으로 한 분포 밀도 곡선 아래의 곡선 사다리꼴 면적과 같습니다.
4. 분포 함수는 다음과 같이 밀도로 표현됩니다.

점 x에서의 분포 밀도 값은 이 값을 취할 확률과 같지 않습니다. 연속 확률 변수의 경우 주어진 간격에 빠질 확률에 대해서만 이야기할 수 있습니다. 확률 밀도의 형식이 다음과 같으면 하자.

균일하게 분포된 확률 변수의 수학적 기대값과 분산은 다음 식으로 정의됩니다.

3.8. 임의 값 엑스세그먼트에 고르게 분포됩니다. 분포 함수 찾기 에프(엑스), 값의 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차.

해결책. 수량에 대한 확률 밀도 엑스다음과 같이 보입니다.

따라서 다음 공식으로 계산된 분포 함수:

,

다음과 같이 작성됩니다.

수학적 기대는 M x= (1 + 6)/2 = 3.5. 분산 및 표준 편차 찾기:

디엑스 = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

정규 분포

임의 값 엑스확률 밀도 함수의 형식이 다음과 같은 경우 정규 분포를 따릅니다.

어디 M x- 예상 값;

는 표준편차입니다.

확률 변수가 구간( ㅏ, 비)는 공식에 의해 발견됩니다.

아르 자형(ㅏ < 엑스 < 비) = F – F = F( 지 2) – 에프( 지 1), (5)

여기서 F( 지) = 라플라스 함수입니다.

에 대한 라플라스 함수의 값 다른 의미 지부록 2에 나와 있습니다.

3.9. 정규 분포 확률 변수의 수학적 기대치 엑스같음 M x= 5, 분산은 디엑스= 9. 확률 밀도에 대한 식을 작성하십시오.

3.10. 정규 분포 확률 변수의 수학적 기대치 및 표준 편차 엑스는 각각 12와 2입니다. 랜덤 변수가 구간 (14; 16)에 포함된 값을 취할 확률을 구합니다.

해결책. 우리는 다음을 고려하여 공식 (21.2)를 사용합니다. M x = 12, = 2:

아르 자형(14 < 엑스 < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Laplace 함수의 값 표에 따르면 Ф(1) = 0.3413, Ф(2) = 0.4772입니다. 대체 후 원하는 확률 값을 얻습니다.

아르 자형(14 <엑스 < 16) = 0,1359.

3.11. 확률변수가 있다 엑스, 수학적 기대치가 20이고 표준 편차가 3인 정규 법칙에 따라 분포됩니다. 수학적 기대치에 대해 대칭인 구간을 찾으십시오. 아르 자형= 0.9972는 랜덤 변수를 얻습니다.

해결책. 왜냐하면 아르 자형(엑스 1 < 엑스 < 엑스 2) = 아르 자형= 2Ф(( 엑스 2 – M x)/ ), Ф( 지) = 아르 자형/2 = 0.4986. 라플라스 함수 표에 따라 값을 찾습니다. 지, 함수 Ф( 지) = 0,4986: 지= 2.98. 이라는 사실을 감안할 때 지 = (엑스 2 – M x)/ , 우리는 = 엑스 2 – M x = 지= 3 2.98 = 8.94. 원하는 간격은 (11.06; 28.94)와 같습니다.

우리는 그것을 고려 에프(엑스) = 에프"(엑스). 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

수학적 기대치를 식으로 대체

.

부품으로 통합하면 다음을 얻습니다. M x= 1/ 또는 M x = 1/0,1.

분산을 결정하기 위해 첫 번째 항을 부분으로 적분합니다. 결과적으로 다음을 얻습니다.

.

에 대해 발견된 표현을 고려합시다. M x. 어디에

.

이 경우 M x = 10, 디엑스 = 100.

무작위 변수 시스템

$X$를 확률 분포 함수 $F(x)$를 갖는 연속 확률 변수라고 합시다. 분포 함수의 정의를 상기하십시오.

정의 1

분포 함수는 $F\left(x\right)=P(X 조건을 만족하는 $F(x)$ 함수입니다.

확률 변수는 연속적이므로 이미 알고 있는 것처럼 확률 분포 함수 $F(x)$는 연속 함수가 됩니다. $F\left(x\right)$도 전체 정의 영역에서 미분 가능하다고 하자.

$(x,x+\triangle x)$ 구간을 고려하십시오(여기서 $\triangle x$는 $x$의 증분임). 그의 위에

이제 증분 $\triangle x$의 값이 0이 되도록 하면 다음을 얻습니다.

그림 1.

따라서 우리는 다음을 얻습니다.

분포 밀도는 분포 함수와 마찬가지로 확률 변수의 분포 법칙의 형태 중 하나입니다. 그러나 분포 법칙은 연속 확률 변수에 대해서만 분포 밀도로 작성할 수 있습니다.

정의 3

분포곡선은 확률변수의 분포밀도인 $\varphi\left(x\right)$ 함수의 그래프이다(Fig. 1).

그림 2. 분포 밀도 플롯.

기하학적 감각 1:연속 확률 변수가 $(\alpha ,\beta)$ 구간에 속할 확률은 분포 함수 그래프 $\varphi \left(x\right)$에 의해 경계를 이루는 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다. 직선 $x=\alpha ,$ $x=\beta $ 및 $y=0$ (그림 2).

그림 3. 연속 확률 변수가 $(\alpha ,\beta)$ 구간에 들어갈 확률의 기하학적 표현.

기하학적 감각 2:분포 함수 $\varphi\left(x\right)$, 선 $y=0$ 및 변수 선 $x$의 그래프로 둘러싸인 무한 곡선 사다리꼴의 면적은 분포 함수 $ F(x)$(도 3).

그림 4. 분포 밀도 $\varphi\left(x\right)$ 측면에서 확률 함수 $F(x)$의 기하학적 표현.

실시예 1

확률변수 $X$의 분포함수 $F(x)$를 다음과 같은 형태로 만든다.

4. 연속 확률 변수의 확률 분포 밀도

분포 함수를 사용하여 연속 확률 변수를 지정할 수 있습니다. 에프(엑스) . 이러한 설정 방법은 한 가지가 아닙니다. 연속 확률 변수는 분포 밀도 또는 확률 밀도(미분 함수라고도 함)라는 다른 함수를 사용하여 지정할 수도 있습니다.

정의 4.1: 연속 확률 변수의 분포 밀도 엑스함수를 호출 에프 (엑스) - 분포 함수의 1차 도함수 에프(엑스) :

에프 ( 엑스 ) = 에프 "( 엑스 ) .

이 정의에서 분포 함수는 분포 밀도의 역도함수임을 알 수 있습니다. 이산 확률 변수의 확률 분포를 설명하기 위해 분포 밀도는 적용할 수 없습니다.

주어진 간격에서 연속 랜덤 변수를 칠 확률

분포 밀도를 알면 연속 확률 변수가 주어진 간격에 속하는 값을 취할 확률을 계산할 수 있습니다.

정리: 연속 확률 변수 X가 구간에 속하는 값을 취할 확률(ㅏ, 비), 다음 범위에서 취한 분포 밀도의 특정 적분과 같습니다.ㅏ~ 전에비 :

증거:우리는 비율을 사용합니다

피(ㅏ ≤ 엑스비) = 에프(비) – 에프(ㅏ).

뉴턴-라이프니츠 공식에 따르면,

이런 식으로,

.

왜냐하면 피(ㅏ ≤ 엑스 비)= 피(ㅏ 엑스 비) , 그럼 우리는 마침내

.

기하학적으로 결과는 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 연속 확률 변수가 구간(ㅏ, 비), 축으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 면적과 같습니다.황소, 분포 곡선에프(엑스) 및 직접엑스 = ㅏ그리고엑스 = 비.

논평:특히, 만약 에프(엑스) 는 짝수 함수이고 구간의 끝이 원점에 대해 대칭인 경우

.

예시.랜덤 변수의 확률 밀도가 주어졌을 때 엑스

테스트 결과 확률을 구하십시오. 엑스간격 (0.5; 1)에 속하는 값을 취합니다.

해결책:원하는 확률

.

알려진 분포 밀도에서 분포 함수 찾기

분포 밀도 알기 에프(엑스) , 우리는 분포 함수를 찾을 수 있습니다 에프(엑스) 공식에 따라

.

진짜, 에프(엑스) = 피(엑스 엑스) = 피(-∞ 엑스 엑스) .

따라서,

.

이런 식으로, 분포 밀도를 알면 분포 함수를 찾을 수 있습니다. 물론 알려진 분포 함수에서 분포 밀도를 찾을 수 있습니다., 즉:

에프(엑스) = 에프"(엑스).

예시.주어진 분포 밀도에 대한 분포 함수를 찾습니다.

해결책:공식을 사용하자

만약 엑스 ≤ ㅏ, 그 다음에 에프(엑스) = 0 , 결과적으로, 에프(엑스) = 0 . 만약 에이, 그럼 f(x) = 1/(b-a),

따라서,

.

만약 엑스 > 비, 그 다음에

.

따라서 원하는 분포 함수

논평:균일 분포 확률 변수의 분포 함수를 얻었습니다(균일 분포 참조).

분포 밀도 속성

속성 1:분포 밀도는 음이 아닌 함수입니다.

에프 ( 엑스 ) ≥ 0 .

속성 2:-∞에서 ∞ 범위의 분포 밀도의 부적절한 적분은 1과 같습니다.

.

논평:분포 밀도의 플롯은 분포 곡선.

논평:연속 확률 변수의 분포 밀도는 분포 법칙이라고도 합니다.

예시.확률 변수의 분포 밀도는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

상수 매개변수 찾기 ㅏ.

해결책:분포 밀도는 조건을 충족해야 하므로 평등이 필요합니다.

.

여기에서
. 무한 적분을 구해 봅시다.

.

부적절한 적분을 계산합니다.

따라서 필요한 매개변수

.

분포 밀도의 가능한 의미

허락하다 에프(엑스) 연속 확률 변수의 분포 함수입니다. 엑스. 분포 밀도의 정의에 의해, 에프(엑스) = 에프"(엑스) , 또는

.

차이점 에프(엑스+∆х) -에프(엑스) 확률을 결정합니다 엑스간격에 속하는 값을 취합니다 (엑스, 엑스+∆х). 따라서 연속 확률 변수가 구간에 속하는 값을 취할 확률의 비율의 한계 (엑스, 엑스+∆х), 이 간격의 길이까지(에서 ∆х→0)는 점에서 분포 밀도의 값과 같습니다. 엑스.

그래서 기능 에프(엑스) 각 점에 대한 확률 분포 밀도를 결정합니다. 엑스. 미분 미적분학에서 함수의 증분은 함수의 미분과 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

왜냐하면 에프"(엑스) = 에프(엑스) 그리고 DX = ∆ 엑스, 그 다음에 에프(엑스+∆ 엑스) - 에프(엑스) ≈ 에프(엑스)∆ 엑스.

이 평등의 확률적 의미는 다음과 같습니다. 확률 변수가 구간(엑스, 엑스+∆ 엑스) 는 점 x에서의 확률 밀도와 구간 ∆х의 길이의 곱과 거의 같습니다..

기하학적으로 이 결과는 다음과 같이 해석될 수 있습니다.: 확률 변수가 구간(엑스, 엑스+∆ 엑스), 밑변 ∆х와 높이가 있는 직사각형의 면적과 거의 같습니다.에프(엑스).

5. 이산 확률 변수의 일반적인 분포

5.1. 베르누이 분포

정의 5.1: 임의 값 엑스, 두 값을 취합니다 1 그리고 0 확률("성공") 피그리고 ("실패") 큐, 라고 한다 베르누이:

, 어디 케이=0,1.

5.2. 이항 분포

생산하자 N 각각의 사건에서 독립적인 시험 ㅏ나타날 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 모든 시행에서 사건이 발생할 확률은 일정하고 다음과 같습니다. 피(따라서 미출시 확률 큐 = 1 - 피).

확률 변수 고려 엑스– 이벤트 발생 횟수 ㅏ이 테스트에서. 임의 값 엑스가치를 취하다 0,1,2,… N Bernoulli 공식에 의해 계산된 확률: , 어디 케이 = 0,1,2,… N.

정의 5.2: 이항식베르누이 공식에 의해 결정된 확률 분포라고 합니다.

예시. 3발의 발사가 목표물에 발사되며 각 발사의 명중 확률은 0.8입니다. 우리는 확률 변수를 고려합니다 엑스- 표적에 대한 안타 수. 배포 시리즈를 찾으십시오.

해결책:임의 값 엑스가치를 취하다 0,1,2,3 베르누이 공식에 의해 계산된 확률로, 여기서 N = 3, 피 = 0,8 (적중 확률), 큐 = 1 - 0,8 = = 0,2 (실패 확률).

따라서 분포 계열은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

큰 값에 대해 베르누이 공식 사용 N따라서 해당 확률을 계산하기가 다소 어렵기 때문에 로컬 라플라스 정리가 사용되어 이벤트가 정확히 발생할 확률을 대략적으로 찾을 수 있습니다. 케이한번 N시행 횟수가 충분히 큰 경우 시행합니다.

국부 라플라스 정리: 확률이라면 피사건의 발생 ㅏ
그 사건 ㅏ 에 나타날 것입니다 N정확하게 테스트 케이시간, 대략 같음(정확할수록 N) 함수 값
, 어디
,
.

참고 1:함수 값을 포함하는 테이블
, 부록 1에 나와 있으며,
. 기능 표준 정규 분포의 밀도입니다(정규 분포 참조).

예시:사건이 일어날 확률을 구하라 ㅏ 정확히 온다 80 한번 400 각 시행에서 이 사건의 발생 확률이 다음과 같은 경우 시행 0,2.

해결책:조건별 N = 400, 케이 = 80, 피 = 0,2 , 큐 = 0,8 . 문제 데이터에 의해 결정된 값을 계산하자 엑스:
. 부록 1의 표에 따르면,
. 그러면 원하는 확률은 다음과 같습니다.

이벤트가 발생할 확률을 계산하려면 ㅏ에 나타날 것입니다 N적어도 테스트 케이 1 한 번 그리고 더 이상 케이 2 시간이면 라플라스 적분 정리를 사용해야 합니다.

라플라스 적분 정리: 확률이라면 피사건의 발생 ㅏ각 테스트에서 일정하고 0과 1과 다르면 확률
그 사건 ㅏ 에 나타날 것입니다 N에서 테스트 케이 1 ~ 전에 케이 2 시간, 대략적으로 한정된 적분과 동일

, 어디
그리고
.

즉, 사건이 일어날 확률 ㅏ 에 나타날 것입니다 N에서 테스트 케이 1 ~ 전에 케이 2 시간, 대략 같음

어디
, 그리고 .

비고2:기능
라플라스 함수라고 합니다(정규 분포 참조). 함수 값을 포함하는 테이블 , 부록 2에 나와 있으며,
.

예시:중에서 다음 확률을 구하십시오. 400 무작위로 선택된 부품은 부품이 품질 관리 검사를 통과하지 못할 확률이 0,2.

해결책:조건별 N = 400, 피 = 0,2 , 큐 = 0,8, 케이 1 = 70, 케이 2 = 100 . 적분의 하한과 상한을 계산해 보겠습니다.

;
.

따라서 다음이 있습니다.

부록 2의 표에 따르면,
그리고
. 그러면 필요한 확률은 다음과 같습니다.

비고3:일련의 독립적인 시행(n이 크면 p가 작을 때)에서 포아송 공식은 이벤트가 발생할 확률을 계산하기 위해 정확히 k번 사용됩니다(푸아송 분포 참조).

5.3. 포아송 분포

정의 5.3: 이산 확률 변수라고 합니다. 포아송,유통법이 다음 형식을 갖는 경우:

, 어디
그리고
(일정한 값).

푸아송 확률 변수의 예:

시간 간격에서 자동 스테이션에 대한 호출 수 티.

일정 기간 동안 일부 방사성 물질의 붕괴 입자 수 티.

일정 기간 동안 작업장에 들어오는 TV 수 티대도시에서 .

대도시의 교차로 정지선에 도착하는 차량의 수 .

참고 1:이러한 확률을 계산하기 위한 특별 표는 부록 3에 나와 있습니다.

비고2:일련의 독립적인 시험에서(때 N엄청난, 피 small) 이벤트가 정확히 발생할 확률을 계산하기 위해 케이포아송 공식이 사용되면:
, 어디
, 즉, 이벤트의 평균 발생 횟수는 일정하게 유지됩니다.

비고3:포아송 법칙에 따라 분포하는 확률 변수가 있으면 반드시 지수 법칙에 따라 분포하는 확률 변수가 있고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다(지수 분포 참조).

예시.공장을 기지로 보냈습니다. 5000 좋은 품질의 제품. 제품이 운송 중에 손상될 확률은 다음과 같습니다. 0,0002 . 정확히 3개의 사용할 수 없는 품목이 기지에 도착할 확률을 구하십시오.

해결책:조건별 N = 5000, 피 = 0,0002, 케이 = 3. 찾자 λ: λ = NP= 5000 0.0002 = 1.

포아송 공식에 따르면 원하는 확률은 다음과 같습니다.

, 여기서 랜덤 변수 엑스- 불량품의 수.

5.4. 기하학적 분포

각각의 사건에서 사건의 발생 확률을 나타내는 독립적인 시도를 해보자. 하지만와 동등하다 피(0p

큐 = 1 - 피. 이벤트가 나타나는 즉시 평가판이 종료됩니다. 하지만. 따라서 이벤트가 발생하면 하지만에 나타났다 케이-번째 테스트, 그 다음 이전에서 케이 – 1 테스트에서는 나타나지 않았습니다.

로 나타내다 엑스이산 확률 변수 - 사건이 처음 발생하기 전에 수행할 시행 횟수 하지만. 분명히 가능한 값은 엑스자연수 x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

먼저 하자 케이-1 테스트 이벤트 하지만오지 않았지만 케이 th 테스트가 나타났습니다. 이 "복잡한 사건"의 확률은 독립 사건의 확률 곱셈의 정리에 따라, 피 (엑스 = 케이) = 큐 케이 -1 피.

정의 5.4: 이산 확률 변수는 기하학적 분포유통법이 다음 형식을 갖는 경우:

피 ( 엑스 = 케이 ) = 큐 케이 -1 피 , 어디
.

참고 1:가정 케이 = 1,2,… , 우리는 첫 번째 항으로 기하학적 진행을 얻습니다. 피그리고 분모 큐 (0큐. 이러한 이유로 분포를 기하학적이라고 합니다.

비고2:열
수렴하고 그 합은 1과 같습니다. 실제로 시리즈의 합은
.

예시.총은 첫 번째 타격까지 목표물을 향해 발사됩니다. 표적을 맞출 확률 피 = 0,6 . 세 번째 샷에서 히트가 발생할 확률을 찾으십시오.

해결책:조건별 피 = 0,6, 큐 = 1 – 0,6 = 0,4, 케이 = 3. 원하는 확률은 다음과 같습니다.

피 (엑스 = 3) = 0,4 2 0.6 = 0.096.

5.5. 초기하 분포

다음 문제를 고려하십시오. 파티를 나가자 N사용 가능한 제품 중기준 (중N). 파티에서 무작위로 선택 N제품(각 제품은 동일한 확률로 제거될 수 있음)이며 선택한 제품은 다음 제품을 선택하기 전에 배치로 반환되지 않습니다(따라서 베르누이 공식은 여기에 적용되지 않음).

로 나타내다 엑스랜덤 변수 - 숫자 중중 표준 제품 N선택된. 그런 다음 가능한 값 엑스 0, 1, 2,…, 분 ; 레이블을 지정하고 ... ~에독립 변수(Fonds)의 값은 버튼( 장 ...

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