유효하지만 합리적인 예는 아닙니다. 유리수: 정의, 예. 유리수. 정의

10 - 수학적 논리 i) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; a) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; b) x ~ y; k) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy ; c) *xy; m) (x ∨ y) x ∨ z ; d) xyz; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z); n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; h) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. SDNF를 획득한 후 SCNF로 이동합니다. b) * (x → y) → (y → x); 18.* 세 개의 인수(기본 명령문) x, y, z 및 f(x, y, z)= x에서 함수 f(복소 명령문)가 제공된다고 가정합니다. 이 기능에 대한 SDNF를 구성하십시오. 19. SCNF를 가져온 다음 SDNF로 이동합니다. d) * (x | y) xy ; 20. 다음 공식에 대해 MDNF를 구합니다. a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; e) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz; g) * (x → y) → z ∨ x; h) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* 접점 x, y, z에서 세 개의 접점 x, y, z 중 두 개가 닫히는 경우에만 닫히도록 회로를 구성하십시오. 24.* 그림 1, a 및 b의 다이어그램을 단순화하십시오. 가) 나) 그림. 1 - 11 - 수학적 논리 25.* 술어의 언어로 작성: a) 모든 학생은 공부합니다. b) 일부 학생들은 우수한 학생입니다. c) 어떤 숫자에 대해서도 더 큰 숫자를 찾을 수 있습니다. d) x + y = z; e) 모든 객체에는 속성 A가 있습니다. f) 어떤 것이 속성 A를 가지고 있습니다. g) 모든 객체는 속성 A를 소유하지 않습니다. h) 속성 A가 없는 것; i) 모든 유리수는 실수이다. j) 일부 실수는 합리적입니다. k) 유리수는 실수가 아닙니다. m) 일부 유리수는 실수가 아닙니다. 26.* 연습문제 25a와 25i에서는 함축어가 사용되었고, 연습문제 25b와 25k에서는 접속사가 사용된 이유를 설명해보세요. 27.* 술어의 언어로 쓰십시오: a) 16세 미만 어린이(D(x)) 및 로봇(R(x))은 (B(x))에 입장하는 것이 금지됩니다. b) 16세 미만의 모든 어린이(D(x))와 로봇(R(x))은 인증서(C(x))를 취득해야 합니다. 28.* 술어의 언어로 쓰십시오: a) 12로 나누어지는 N은 2, 4, 6으로 나누어집니다. b) 각 학생은 적어도 하나의 실험실 작업을 완료했습니다. c) 하나의 직선이 두 개의 서로 다른 점을 통과합니다. 29. 술어의 언어로 쓰십시오: e)* 모든 학생 (C(x)) - 운동 선수 (S(x))는 영화 예술가 (K(y) 중 우상 (y) (B(x,y))를 가지고 있습니다. ) ; e)* 일부 대형 컴퓨터(B(x))가 다른 대형 컴퓨터(B(y))와 (C(x,y)) 연결되어 있는 경우 이는 다음을 갖춘 미니컴퓨터(M(x))가 없음을 의미합니다. 인터페이싱 수단(S(x)); 서른. * 어떤 조건에서: a) ∀x P (x) ‚ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ‚ O, a ∀x P(x) ∅ 1; 33.* 이것은 부정과 관련된 추가적인 어려움을 보여주는 고전적인 예입니다. "현재 프랑스 왕은 대머리입니다"라는 문장은 사실이 아닌 것으로 알려져 있습니다. 술어 언어로 이것을 작성하는 방법. 솔루션과 답변. - 12 - 수학적 논리 1a. 공식적인 방식으로 기본 진술을 선택해 보겠습니다. A – 학생은 우수한 학생입니다. B – 학생이 사회 사업에 참여하고 있습니다. C – 학생에게 장애가 있습니다. D – 학생이 장학금을 받습니다. 그러면 복소문의 기호 형식은 A ⋅B⋅C → D 가 됩니다. 1b. 기호 표기법은 다음과 같습니다: P⋅Z → S⋅P → P.() 3. 명제 논리에서 "Petya가 대학에 갔다는 것은 사실이 아닙니다."와 같은 진술은 나눌 수 없으므로 올바른 것으로 간주되어야 합니다. 8. A ∨ B ‚ A → B ‚ (A → B) → B, A & B ‚ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC 또는 이와 같지만 더 간단한 형태는 AB ∨ AC ∨ BC입니다. 11b. A B ∨ BC ∨ AC. 13a. xy z . 13세기 공식은 이미 DNF에 있습니다. 왜? 14a. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14b. 공식은 이미 KNF에 있습니다. 왜? 15a. xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz . 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (= 1) . 16a. () ()() xy ∨ xy 먼트 xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ל (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) EMA (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16 세기 (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF가 없는 이유는 다음과 같습니다. 이것은 동어반복입니다. - 13 - 수학적 논리 17b. 이는 동어반복이므로 SKNF가 없습니다. 18. xyz ∨ xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 이는 모순이므로 이에 대한 SKNF가 없습니다. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x = (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x = () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x = (x ⊕ y ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x = (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x = xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ y z ∨ yz - SKDNF 및 MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ‚ (xy ⊕ xz)∨ yz ‚ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ‚ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz ∨ xyz ∨ x ∨ y z ∨ yz ‚ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20 세기 xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SCNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20d. A∨C∨ D. 20일. x∨z . 20g. x∨z . 20z. xy ∨ x y ∨ xz 또는 xy ∨ x y ∨ yz. 21 세기 xy ∨ xz. 21 1. 22. 그림을 참조하십시오. 2. - 14 - 수학적 논리 그림. 2 23a. 그림을 참조하십시오. 3. a) b) 그림. 3 23. 단순화된 다이어그램은 그림 3과 같습니다. 4. a) b) 그림. 4 25a. ∀x (C(x)→Y(x)), 여기서 C(x)는 "x는 학생"이고 Y(x)는 "x는 학생"입니다. 25b. ∃x(C(x) & O(x)) . 25세기 일반적인 관계의 형태로 두 자리 술어를 작성해 보겠습니다: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает 다음 솔루션: a) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , 이는 ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) 와 동일합니다. b) D(x) & R(x)가 비어 있으므로 ∀x (D(x) & R(x) → C(x))라고 쓰는 것은 오류가 됩니다. 올바른 해는 ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) 또는 ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x))입니다. . 28a. ∀x(A(x) → D(x) & H(x) & W(x)). 28b. ∀x ∃y B(x,y) . 28세기 ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29d . ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29e. ∃x B(x) & ∀y (C(x,y) → B(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) 30a x가 한 요소의 정의역에 정의된 경우 30b 정의역이 비어 있는 경우(그러나 여기서 논쟁이 있을 수 있음) 31. 부정에 의해 다음이 발생합니다. 문장 c와 d가 됩니다. 술어 ∀x ∃y B(x,y)에 대해 부정을 취하고 동등한 변환을 수행하면 답을 공식적으로 얻을 수 있습니다: ¬∀x ∃y B(x,y)ל∃x ¬∃y B(x,y)ל∃x ∀y ¬B(x,y) 32. 술어 언어로 된 원래 문장 자체는 다음과 같이 작성됩니다. ∃x K(x) & ∀x (K(x )→Л(x)). 문헌에서 "Sweeping" 거부 옵션은 일반적으로 논의되지 않습니다(예: ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→А(x)). 거부되는 내용을 명확히 합니다: 왕의 대머리 사실 또는 프랑스에 왕이 존재한다는 사실 이와 관련하여 거부에 대한 두 가지 옵션이 제안됩니다: - 16 - 수학적 논리 ∃x K(x) & ∀x (K(x) → ¬ L(x)); ¬ ∃x K(x) & ∀x (K(x) → L(x)) 참고 자료 1. Kleene S. 수학적 논리. – M.: Mir, 1973, p. 11 – 126. 2. Stoll R. 세트. 논리. 공리 이론. – M.: 교육, 1968, p. 71 – 93, 108 – 132. 3. Kolmogorov A.N., Dragalin A.G. 수학적 논리 소개. – M .: MSU, 1982, p. 1 – 95. 4. Gilberg D., Bernays P. 수학 기초. 논리적 미적분학 및 산술의 형식화. – M.: 과학, 1권, p. 23 – 45, 74 – 141. 5. 노비코프 추신. 수학적 논리의 요소. – M.: Nauka, 1973, pp. 36 – 65, 123 – 135. 6. Gindikin S.G. 문제의 논리 대수. – M.: 나우카, 1972.

섹션 3의 실제 작업

술어의 개념과 이에 대한 조작.

3.1. 다음 표현식 중 술어는 무엇입니까?

ㅏ) " 엑스 5"( 엑스 Î N);

b) "강" 엑스바이칼 호수로 흘러 들어갑니다." ( 엑스모든 종류의 강의 많은 이름을 통과합니다);

V) " x2 + 2엑스+ 4" ( 엑스Î 아르 자형) ;

G) "( 엑스 + ~에)2 = x2 + 2엑스와이 + 와이 2" ( 엑스, 와이Î 아르 자형);

d) " 엑스형제가 있다 ~에» ( 엑스, 와이많은 사람들이 지나가고 있습니다);

전자) " 엑스그리고 ~에» ( 엑스, ~에주어진 그룹의 모든 학생 세트를 살펴봅니다.

그리고) " 엑스그리고 ~에반대편에 누워 지» ( 엑스, ~에모든 점의 집합을 살펴보고, 지 - 한 평면의 모든 라인);

h) "ctg 45° = 1";

그리고) " 엑스수직 ~에» ( 엑스, ~에한 평면의 모든 직선 집합을 통과합니다.)

3.2. 다음 각 명령문에 대해 주제 변수를 해당 도메인의 적절한 값으로 대체할 때 주어진 명령문으로 바뀌는 술어(단수 또는 복수)를 찾으십시오.

가) “3 + 4 = 7”;

b) “믿음과 희망은 자매입니다.”

c) “오늘은 화요일입니다”;

d) “사라토프 시는 볼가 강 유역에 위치해 있습니다.

e) “sin 30° = 1/2”;

f) "-위대한 러시아 시인";

g) “32 + 42= 52;

h) "인디기르카 강은 바이칼 호수로 흘러든다";

그러한 술어를 구성한 후에는 해당 진리 영역을 정확하게 나타내거나 어떻게든 그 윤곽을 잡아 보십시오.

해결책. i) 세 개의 술어가 지정될 수 있으며, 각 술어는 적절한 대체를 통해 주어진 명령문으로 전환됩니다. 첫 번째 술어는 단항입니다.

"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. 대체하면 이 문으로 변합니다. 결과 문은 true입니다. 지정된 값 구성된 술어의 설정된 참을 모두 소진하지 않습니다. 설정하기 쉽기 때문에 이 집합은 다음과 같습니다. . 두 번째 술어도 단항입니다: "" (와이Î 아르 자형). 대입하면 이런 문장으로 변합니다. 와이 = 1. 이 값은 이 술어의 진리 집합을 모두 소진한다는 것이 분명합니다..png" width="240" height="48">. 대체 시 다음 문장으로 변합니다. ~에= 1. 진리 영역은 정렬된 쌍의 집합이며, 그 집합은 탄젠소이드(tangentsoids)라고 하는 무한한 곡선 계열로 그래픽으로 표시됩니다.

3.3. 다음 문장을 읽고 모든 변수가 실수 집합을 통해 실행된다고 가정하고 그 중 어느 것이 참이고 어느 것이 거짓인지 판단하십시오.

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">

l) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" 변수 기준 엑스, 이는 집합 R을 통해 실행됩니다. 결과 표현식에서 변수는 다음과 같습니다. ~에연결되어 있고 변수는 엑스무료. 변수 대신 ~에우리는 더 이상 아무것도 대체할 수 없습니다. 엑스실수는 대체될 수 있으며 그 결과 단항 술어가 명령문으로 변합니다. 예를 들어, " "는 다음과 같이 읽을 수 있습니다. "실수가 있습니다. ~에, 그렇게 엑스)($y)( 엑스+ ~에= 7)'이 사실이다. 이는 다음과 같이 읽을 수 있습니다: "모든 실수에 대해 첫 번째와의 합이 7인 실수가 있습니다." "(" 표현에서 엑스)($y)( 엑스+ ~에= 7)” 더 이상 자유 변수가 없습니다. 두 변수 모두 엑스그리고 ~에수량자의 표시 아래에 있으므로 관련이 있습니다. 표현 자체는 더 이상 술어가 아니며, 우리가 확립한 바와 같이 참인 진술입니다. 그러나 술어의 개념을 발전시키고자 한다면 명제는 0자리 술어, 즉 변수가 없는 술어라고 가정할 수 있습니다. 그러나 우리는 한 자리 술어에서 0자리 술어로의 양적 전환이 질적 도약으로 이어진다는 점을 깨달아야 하며, 따라서 0자리 술어는 조건부로 포섭하더라도 1자리 술어와 질적으로 다른 대상이다. "술어"라는 개념으로.

b) "($у)("라는 진술 엑스)(엑스+ ~에= 7)"은 다음과 같이 읽을 수 있습니다. "실수에 더하면 7이 되는 실수가 있습니다." 이 진술이 거짓임을 아는 것은 어렵지 않습니다. 실제로, 단항 술어 "("를 고려하십시오. 엑스)(엑스+ ~에= 7)" 변수에 상대적 와이,주어진 명제를 얻는 존재 수량자를 적용함으로써. 대상 변수에 어떤 실수가 대체되든 상관없이 분명합니다. 와이,예를 들어 "(" 엑스)(엑스+ 4 = 7)", 술어는 거짓 진술로 변합니다. (문 "(" 엑스)(엑스+ 4 = 7)"은 단항 술어 "(이므로 거짓입니다. 엑스+ 4 = 7)"은 예를 들어 변수를 대체할 때 거짓 진술로 변합니다. 엑스 5번.) 따라서 “($y)("라는 진술은 엑스)(엑스+ ~에= 7)", 단항 술어 "("의 결과 엑스)(엑스+ ~에= 7)"로 존재 수량자를 취하는 연산을 이용하여 와이,거짓.

i) 이 명제는 다음과 같이 읽을 수 있습니다: "모든 실수는 1보다 크거나 2보다 작은 경우에만 그 자체와 같습니다." 이 진술이 참인지 거짓인지 알아내기 위해, 우리는 그러한 실수를 찾아보도록 노력할 것입니다 x0,이는 단항 술어를 바꿀 것입니다

거짓 진술로. 그러한 숫자를 찾으면 일반 수량자를 "부착"(즉, 취하는 연산을 적용)하여 이 술어에서 얻은 주어진 명령문은 거짓입니다. 모순이 있다고 가정하면 x0존재한다면 주어진 진술은 참입니다.

"라는 술어가 분명하다. x = x"를 대체하면 참 진술로 변합니다. 엑스모든 실수, 즉 그것은 동일하게 참입니다. 문제는 술어 "를 변환하는 실수를 나타내는 것이 가능한가입니다. » 거짓 진술로? 아니요, 어떤 실수를 취하든 그것은 1보다 크거나 2보다 작습니다(또는 1보다 크고 2보다 작습니다. 이는 우리의 경우 전혀 금지되지 않습니다). 그러므로 술어 " "도 마찬가지다. 그러면 술어는 동일하게 참이 될 것입니다

그리고 그것은 이 진술을 의미합니다

일반 수량자를 취하는 연산의 정의에 따르면 이는 참입니다.

3.4. P(x) 및 Q(x)를 집합 M에 정의된 단항 조건부로 설정하여 https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height=23" 명령문이 되도록 합니다. " height="23">거짓입니다.

3.5. 실수 집합에 정의된 술어 중 하나가 다른 술어의 결과인지 확인합니다.


a) "| 엑스 |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) "x4 = 16", "x2 = - 2";

c) "x - 1 > 0", "(x - 2) (x + 5) = 0";

d) "sin x = 3", "x2 + 5 = 0";

e) "x2 + 5x - 6 > 0", "x + 1 = 1 + x";

e) "x2 £ 0", "x = 죄 p";

g) “x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0”, “| x - 2| = 1".

해결책. g) 두 번째 술어는 x = 1 및 x = 3의 두 가지 대체만으로 참 명제로 변합니다. 이러한 대체가 첫 번째 술어도 참 명제로 바꾸는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다(이들은 이 삼차 방정식의 근입니다). . 따라서 첫 번째 술어는 두 번째 술어의 결과입니다.

3.6. 이 세트에서 두 번째 술어가 첫 번째 술어의 결과가 되도록 주제 변수 값의 세트 M을 정의하십시오.

ㅏ) " 엑스 3의 배수", " 엑스심지어";

비) " 엑스 2 = 1", " 엑스-1 = 0";

V) " 엑스이상한", " 엑스- 정사각형 자연수»;

G) " 엑스- 마름모", " 엑스- 평행사변형";

d) " 엑스- 평행사변형", " 엑스- 마름모";

전자) " 엑스- 러시아 과학자", " 엑스- 수학자";

그리고) " 엑스- 정사각형", " 엑스- 평행사변형."

해결책. g) 모든 정사각형은 평행사변형이므로 모든 사변형의 집합은 두 번째 술어가 첫 번째 술어의 결과인 집합으로 간주될 수 있습니다.

3.7. 동일하게 참인 술어와 동일한 변수에 따른 다른 술어의 결합이 후자와 동일함을 증명하십시오.

3.8. 동일한 거짓 결과를 갖는 동일한 변수에 의존하는 두 술어의 함축이 전제를 부정하는 것과 동일하다는 것을 증명하십시오.

술어 대수의 언어에 대한 참고 사항

및 술어대수를 이용한 추론 분석

실시예 1. "선 a와 b가 평행하지 않습니다"라는 진술은 무엇을 의미합니까?

공식 Ø(a || b)의 의미를 밝히려면 공식 $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)의 부정을 찾아야 합니다. Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b 1 Æ & a 1 b.

그러나 러시아어로 "선 a와 b를 모두 포함하는 평면은 없습니다"를 의미하는 공식 Ø$a(a Ì a & b Ì a)는 교차 선의 관계를 전달하며 공식 a Ç b 1 Æ & a 1 b는 "선 a와 b는 공통점이 있지만 일치하지 않습니다"라는 문장으로 러시아어로 번역되어 선의 교차 관계를 표현합니다.

따라서 평행하지 않은 선은 교차점 또는 교차점을 의미합니다. 실시예 2. 추론에 자주 사용되는 소위 "아리스토텔레스식 범주적 판단"을 술어 대수학의 언어로 적어 보십시오. 에스본질 아르 자형", "일부 에스본질 아르 자형", "없음 에스요점이 아니야 아르 자형", "일부 에스요점이 아니야 아르 자형».

항목은 표에 나와 있습니다. 1.1. 이 표의 첫 번째 열은 양적 판단(일반 판단과 특정 판단)을 고려한 복잡한 기준에 따라 범주적 판단을 분류할 때 발생하는 판단 유형을 나타내며, 수량어 "모두", "일부" 및 "일부"로 표현됩니다. 품질(긍정적 판단과 부정적 판단)은 "본질", "본질이 아님", "이다"라는 접속사를 통해 전달됩니다.

두 번째 열은 전통적인 논리의 판단에 대한 표준 구두 공식을 제공하고 다섯 번째 열은 술어 대수학의 언어로 기록하는 반면 에스(x)"x는 다음과 같은 속성을 가지고 있습니다"로 이해되어야 합니다. 에스", ㅏ 피(x)- 예를 들어 “x에는 속성이 있습니다. 아르 자형».

네 번째 열은 개념의 볼륨 V와 VP 간의 관계를 보여줍니다. 에스그리고 아르 자형, 판단이 가장 잘 이해된다면 일반적인 견해, 주제에 대한 포괄적인 정보만 제공하는 경우. 예를 들어, “Everything 에스본질 아르 자형"우리가 모든 사람에 대해 이야기하고 있다는 것은 분명합니다 에스, 술어의 범위가 정의되지 않았습니다. 속성을 가진 모든 개체에 대해 이야기하고 있습니까? 피, 또는 일부에 대해서만; 경우에만 에스본질 피, 또는 다른 객체도 아르 자형. 때로는 술어의 범위에 관한 이러한 불확실성 아르 자형컨텍스트를 제거하지만 때로는 이러한 제거가 필요하지 않습니다. 부피 VP 대 부피 Vs의 비율을 강조하기 위해 보다 구체적인 공식이 사용됩니다. 에스뿐만 아니라 에스본질 아르 자형" 아니면 전부 에스그리고 그것들만이 본질이다 아르 자형" 두 번째 공식은 다음과 같습니다. 일반화하다 긍정 판단. 첫 번째 판단은 그림 1에 표시된 Venn 다이어그램으로 답됩니다. 1, a, 두 번째 - 그림에서. 1, ㄴ. 이에 대해 판단은 “일부 에스본질 아르 자형"는 일반적으로 "일부"로 이해됩니다. 에스그리고 그들만이 아니다 아르 자형"는 그림의 다이어그램에 해당합니다. 2, a, 그러나 이는 "일부"를 의미할 수도 있습니다. 에스그리고 그것들만이 본질이다 에스"(그림 2, b). 판단은 “모든 것 에스요점이 아니야 아르 자형"는 일반적인 형태로 이해하면 그림 1의 다이어그램에 해당합니다. 3, 에이. 동일한 판단에 대해 “모든 것”이라는 강조된 형태로 에스그리고 그들은 그렇지 않습니다 아르 자형"는 그림의 다이어그램에 응답합니다. 3, ㄴ. 이 공식은 다음과 같은 관계에 대한 설명에 해당합니다. 모순되는 개념 , 즉 볼륨이 교차하지 않고 보다 일반적인 일반적인 개념의 볼륨을 소진하는 볼륨입니다. 마지막으로 “일부 에스먹지 않는다 아르 자형» 일반적으로 그림 1의 다이어그램에 해당합니다. 4, a 및 강조 표시 형식 "일부 에스그리고 그들은 그렇지 않습니다 아르 자형" -그림의 다이어그램. 4, ㄴ. 표 3.1

판결의 종류

구두 공식의 전통적인 논리로 녹음

술어 대수학 언어의 표기법

볼륨 Vs와 VP 간의 관계

일반 긍정

모두 에스본질 피

그림 1

개인 긍정

일부 에스본질 아르 자형

쌀. 2

일반 부정

없음 에스요점이 아니야 아르 자형

부분적 부정

일부 에스요점이 아니야 아르 자형

그림 4

실시예 3. “모든 사람은 죽는다. 소크라테스는 사람이다. 그러므로 소크라테스는 죽는다." 논증의 첫 번째 전제는 일반적으로 긍정적인 명제입니다(예 2 참조). 다음 표기법을 소개하겠습니다. H(x): x - 사람; C(x): x - 필사자; c - 소크라테스.

논증의 구조:

"x(H(x)xC(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)

(3.1)을 유지하지 마십시오. 그런 다음 일부 도메인 Do에는 (c, H(x), C(x))에 대한 집합 (a, li(x), lj(x))가 있어야 하며, 이 경우 다음 조건이 충족됩니다.

"x(li(x) Þ lj (x)) = И; li(a) = И; lj(a) = Л.

그러나 그러면 li(a) Þ lj (a)는 값 A를 가지며, 이는 일반 수량자의 정의에 따라 "x(li(x) Þ lj (x)) = A를 의미하며 이는 첫 번째 조건과 모순됩니다. 따라서 Corollary 2.8이 정확하고 원래의 추론도 정확합니다.

실시예 4. 추론을 분석하십시오. “CSKA를 이길 수 있는 하키 팀은 모두 메이저 리그 팀입니다. 어떤 메이저리그 팀도 CSKA를 이길 수 없습니다. 이것은 CSKA가 무적이라는 것을 의미합니다.”

O 표기법: P(x): x 팀이 CSKA를 이길 수 있습니다. B(x): 메이저 리그의 팀 x.

논증의 구조:

"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).

등가 변환 방법을 사용하여 결과 결과가 올바른지 확인합니다. 명제 1.10 일반화의 결과 b)를 사용하여 공식 “x(P(x) Þ B(x))&”x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x)를 변환합니다.

우리는 다음과 같습니다: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $хП(х)) =

= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.

이러한 등가 형태에서는 접속사 A & ØA = А의 속성이 두 번 사용되었고 분리 A Ú A = A의 속성이 한 번 사용되었습니다.

따라서 원래 공식은 일반적으로 유효하며 이는 추론이 정확하다는 것을 의미합니다.

실시예 5. 추론을 분석하십시오. “어떤 팀이 CSKA를 이길 수 있다면 일부 메이저 리그 팀도 이길 수 있습니다. 디나모(민스크)는 메이저리그 팀이지만 CSKA를 이길 수는 없다. 이것은 CSKA가 무적이라는 것을 의미합니다.”

표기법: P(x): x 팀이 CSKA를 이길 수 있습니다. B(x): 메이저 리그의 팀 x; d - "디나모"(민스크).

논증의 구조:

"엑스피( 엑스) Þ $ 엑스(안에( 엑스)&피( 엑스)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ 엑스피( 엑스). (3.2)

논평.추론을 형식화할 때 자연어에서는 동일한 단어나 문구가 자주 반복되는 것을 피하기 위해 동의어 문구가 널리 사용된다는 점을 고려해야 합니다. 번역 중에 동일한 공식으로 전달되어야 한다는 것은 분명합니다. 이 예에서 이러한 동의어는 "명령"이라는 술어입니다. 엑스 CSKA'와 '팀'을 이길 수 있다 엑스 CSKA를 이길 수 있습니다.", 둘 다 공식 P( 엑스).

(3.2)의 의미는 올바르지 않습니다. 이를 증명하려면 전제와 결론을 표현하는 공식에 대한 적어도 하나의 해석을 나타내는 것으로 충분합니다. 여기서 전제는 I 값을 취하고 결론은 L 값을 갖습니다. 예를 들어 이러한 해석은 다음과 같습니다. D = (1, 2, 3, 4) . 이 해석에서 우리는 계산 후에 다음을 얻습니다.

I Þ I, I &ØL ├ ØI 또는 I, I ├ L.

따라서 이 해석에서는 두 전제 모두 I의 값을 갖고 결론의 값은 L을 갖습니다. 이는 다음 (3.2)가 틀렸고 추론도 틀렸다는 것을 의미합니다.

3.9. 해당 도메인에 적합한 단항 술어를 도입한 후 다음 명령문을 술어 대수의 언어로 번역하십시오.

a) 모든 유리수는 실수입니다.

b) 유리수는 실수가 아닙니다.

c) 일부 유리수는 실수입니다.

d) 일부 유리수는 실수가 아닙니다.

해결책.다음 단항 술어를 소개하겠습니다.

질문(x): « 엑스- 유리수";

R(x): « 엑스- 실수요."

그러면 위의 진술을 술어 대수의 언어로 번역하면 다음과 같습니다.

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">

3.10. 해당 도메인에 단항 술어를 도입하고 이를 사용하여 술어 대수 공식의 형태로 다음 명령문을 작성합니다.

a) 12로 나누어지는 모든 자연수는 2, 4, 6으로 나누어집니다.

b) 스위스 거주자는 프랑스어, 이탈리아어 또는 독일어를 구사해야 합니다.

c) 구간에서 연속인 함수는 부호를 유지하거나 0 값을 갖습니다.

d) 일부 뱀은 독성이 있습니다.

e) 모든 개는 좋은 후각을 가지고 있습니다.

3.11. 다음 예에서는 반드시 단항 조건자로 제한하지 않고 이전 문제와 동일한 작업을 수행합니다.


a) a가 실수 계수를 갖는 하나의 변수에서 다항식의 근이라면 이는 또한 이 다항식의 근이기도 합니다.

b) 직선 위의 서로 다른 두 점 사이에는 일치하지 않는 점이 하나 이상 있습니다.

c) 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 단 하나뿐입니다.

d) 각 학생은 적어도 하나의 실험실 작업을 완료했습니다.

e) 자연수의 곱이 소수로 나누어지면, 적어도 하나의 인수가 소수로 나누어집니다.

f) 단일 평면은 같은 선상에 있지 않은 세 점을 통과합니다.

g) 숫자의 최대공약수 ㅏ그리고 비모든 공약수로 나누어집니다.

h) 모든 실수에 대해 엑스그런 게 있어요 ~에그건 모두를 위한 거야 지, 금액이라면 지그리고 1개 적음 ~에, 그 다음 합계 엑스 2는 4보다 작습니다.

그리고) 엑스- 소수.

j) 4보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합입니다(골드바흐의 추측).

3.12. 술어 대수학 언어로 다음 명령문을 작성하십시오.

a) 정확히 하나가 있습니다 엑스, 그렇게 피(x).

b) 적어도 두 가지 다른 것이 있습니다 엑스, 그렇게 피(x).

c) 2개 이하 엑스, 그렇게 P(x).

d) 정확히 두 가지 다른 점이 있습니다. 엑스, 그렇게 P(x).

3.13. 어떤 술어에 대해 집합 M에 대해 말할 수 있는 것은 무엇입니까? 비(엑스)세트 M에 대한 진술은 사실입니까?

3.14. 허락하다 피(x)수단 " 엑스- 소수", 전)수단 " 엑스- 짝수", 오) - « 엑스- 홀수", D ( 엑스,와이) - « 엑스나누다 ~에" 또는 " ~에로 나눈 엑스" 변수를 고려하여 다음 기호 표기법을 술어 대수의 언어로 러시아어로 번역하십시오. 엑스그리고 ~에자연수 집합을 살펴봅니다.

ㅏ) 피( 7) ;

비) 이자형( 2) & 피( 2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src=">;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src=">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src=">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?

전제와 결론이 하나의 변수에 의존하는 단일 술어인 경우 벤 다이어그램을 사용하여 다음의 정확성을 확인할 수도 있습니다. 우리 예에서 전제와 결론인 범주적 판단의 경우, 개념의 양 사이의 관계 에스그리고 아르 자형예제 2에 설명되어 있습니다. 이 설명을 사용하겠습니다.

단일 전제의 경우 벤다이어그램 방법은 다음과 같습니다. 우리는 개념의 양 사이의 관계에 대한 모든 가능한 사례를 다이어그램으로 묘사합니다. 에스그리고 아르 자형, 소포에 해당합니다.

각 결과 다이어그램에서 결론이 사실로 판명되면 다음이 정확합니다. 다이어그램 중 적어도 하나에서 결론이 거짓인 경우 다음은 잘못된 것입니다..

(a) 전제는 부정적인 명제이므로 그림 1에 표시된 다이어그램이 이에 대해 가능합니다. 5.

이 다이어그램 중 어느 것도 https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> 특정 긍정적 판단에 대한 판단이 없으며 이에 대한 가능한 다이어그램은 다음과 같습니다. 그림 6에 표시됩니다.

이 기사는 "유리수"라는 주제에 대해 연구합니다. 다음은 유리수의 정의, 예, 숫자가 유리수인지 아닌지를 결정하는 방법입니다.

유리수. 정의

유리수의 정의를 제공하기 전에 다른 숫자 집합이 무엇인지, 그리고 서로 어떻게 관련되어 있는지 기억해 보겠습니다.

자연수는 그 반대 수와 0과 함께 정수 집합을 형성합니다. 차례로, 정수 분수의 집합은 유리수 집합을 형성합니다.

정의 1. 유리수

유리수는 양의 공통 분수 a b, 음의 공통 분수 a b 또는 숫자 0으로 표시될 수 있는 숫자입니다.

따라서 우리는 유리수의 여러 속성을 유지할 수 있습니다.

  1. 모든 자연수는 유리수입니다. 분명히, 모든 자연수 n은 분수 1n으로 표현될 수 있습니다.
  2. 숫자 0을 포함한 모든 정수는 유리수입니다. 실제로, 양의 정수와 음의 정수는 각각 양수 또는 음수 일반 분수로 쉽게 표현될 수 있습니다. 예를 들어 15 = 15 1, - 352 = - 352 1입니다.
  3. 양수 또는 음수 공통 분수 a b 는 유리수입니다. 이는 위에 주어진 정의에서 직접적으로 따릅니다.
  4. 모든 대분수는 합리적입니다. 실제로, 대분수는 일반적인 가분수로 표현될 수 있습니다.
  5. 모든 유한 또는 주기 소수는 분수로 표시될 수 있습니다. 그러므로 모든 주기적 또는 유한 소수유리수이다.
  6. 무한소수와 비주기소수는 유리수가 아닙니다. 일반적인 분수의 형태로는 표현할 수 없습니다.

유리수의 예를 들어 보겠습니다. 숫자 5, 105, 358, 1100055는 자연수, 양수 및 정수입니다. 분명히 이것은 합리적인 숫자입니다. 숫자 - 2, - 358, - 936은 음의 정수이며 정의에 따라 유리수이기도 합니다. 공통 분수 3 5, 8 7, - 35 8도 유리수의 예입니다.

위의 유리수 정의는 더 간단하게 공식화될 수 있습니다. 다시 한 번 우리는 유리수란 무엇인가라는 질문에 답할 것입니다.

정의 2. 유리수

유리수는 분수 ± z n으로 표현될 수 있는 숫자입니다. 여기서 z는 정수이고 n은 자연수입니다.

이 정의는 유리수의 이전 정의와 동일하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 이렇게 하려면 분수선이 나누기 기호와 동일하다는 점을 기억하세요. 정수 나누기의 규칙과 속성을 고려하여 다음과 같은 공정 불평등을 작성할 수 있습니다.

0n = 0 ¼ n = 0 ; - m n = (- m) ¼ n = - m n .

따라서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

z n = z n , p r 및 z > 0 0 , p r 및 z = 0 - z n , p r 및 z< 0

사실 이 녹음은 증거입니다. 두 번째 정의를 기반으로 유리수의 예를 들어 보겠습니다. 숫자 - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 및 - 1 3 5를 고려하십시오. 이 숫자는 모두 정수 분자와 자연 분모가 있는 분수로 쓸 수 있으므로 합리적입니다. - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

유리수 정의에 대한 또 다른 동등한 형식을 제공하겠습니다.

정의 3. 유리수

유리수(rational number)는 유한 또는 무한 주기 소수로 쓸 수 있는 숫자입니다.

이 정의는 이 단락의 첫 번째 정의에서 직접 따릅니다.

이 요점을 요약하고 공식화해 보겠습니다.

  1. 양수와 음수의 분수와 정수가 유리수 세트를 구성합니다.
  2. 모든 유리수는 분자가 정수이고 분모가 자연수인 일반 분수로 표현될 수 있습니다.
  3. 각 유리수는 소수 분수(유한 또는 무한 주기)로 표시될 수도 있습니다.

어떤 숫자가 합리적인가요?

우리가 이미 알고 있듯이 모든 자연수, 정수, 고유 및 가분수, 주기 및 유한 소수는 유리수입니다. 이러한 지식을 바탕으로 특정 숫자가 합리적인지 쉽게 판단할 수 있습니다.

그러나 실제로는 숫자가 아닌 근, 거듭제곱, 로그를 포함하는 수치 표현을 다루어야 하는 경우가 많습니다. 어떤 경우에는 "숫자가 합리적인가?"라는 질문에 대한 대답이 나옵니다. 분명하지 않습니다. 이 질문에 답하는 방법을 살펴보겠습니다.

유리수와 그 사이의 산술 연산만을 포함하는 표현식으로 숫자가 주어지면 그 표현식의 결과는 유리수입니다.

예를 들어, 표현식 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3)의 값은 유리수이며 18과 같습니다.

따라서 복잡한 수치 표현을 단순화하면 주어진 숫자가 합리적인지 여부를 확인할 수 있습니다.

이제 루트의 부호를 살펴보겠습니다.

숫자 m의 n제곱의 근으로 주어진 숫자 mn은 m이 어떤 자연수의 n제곱일 때만 유리하다는 것이 밝혀졌습니다.

예를 살펴보겠습니다. 숫자 2는 합리적이지 않습니다. 반면 9, 81은 유리수입니다. 9와 81은 각각 3과 9의 완전제곱수입니다. 숫자 199, 28, 15 1은 유리수가 아닙니다. 왜냐하면 루트 기호 아래의 숫자는 자연수의 완전제곱수가 아니기 때문입니다.

이제 좀 더 가져가자 어려운 경우. 243 5는 유리수인가요? 3을 5승하면 243이 되므로 원래 수식은 243 5 = 3 5 5 = 3과 같이 다시 쓸 수 있습니다. 그러므로 이 숫자는 합리적이다. 이제 숫자 121 5를 살펴보겠습니다. 이 수는 무리수입니다. 왜냐하면 5승을 올리면 121이 되는 자연수는 없기 때문입니다.

a에서 b를 밑으로 한 로그가 유리수인지 확인하려면 모순의 방법을 적용해야 합니다. 예를 들어, 로그 2 5가 유리수인지 알아봅시다. 이 숫자가 합리적이라고 가정해 봅시다. 그렇다면 일반 분수 log 2 5 = mn의 형태로 쓸 수 있습니다. 로그의 속성과 차수의 속성에 따라 다음 등식이 유효합니다.

5 = 2 로그 2 5 = 2m n 5n = 2m

당연히 왼쪽과 오른쪽에 각각 홀수와 짝수가 포함되어 있으므로 마지막 동일성은 불가능합니다. 따라서 가정은 올바르지 않으며 log 2 5 는 유리수가 아닙니다.

숫자의 합리성과 비합리성을 결정할 때 갑작스러운 결정을 내려서는 안된다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, 무리수를 곱한 결과가 항상 무리수가 되는 것은 아닙니다. 예시: 2 · 2 = 2.

또한 무리수(irrational number)가 있는데, 이를 무리수로 거듭제곱하면 유리수(rational number)가 됩니다. 2 log 2 3 형식의 거듭제곱에서 밑수와 지수는 무리수입니다. 그러나 숫자 자체는 유리수입니다: 2 log 2 3 = 3.

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문제 2. 1

P(x)가 집합 M에 정의된 단항 술어인 경우 아래 나열된 기호 명령문을 단어로 표현하십시오.

문제 2. 2

부등호 x*x로 정의되는 술어 A(x)의 확장은 어떻게 되나요?<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

문제 2.3

R(x) - "x는 실수입니다"라고 가정합니다.

Q(x) - "x는 유리수입니다." 이 기호를 사용하여 공식을 작성하십시오.

1. 모든 유리수는 실수이다

2. 유리수는 실수가 아니다

3. 일부 유리수는 실수입니다.

4. 일부 유리수는 실수가 아니다

문제 2.4

다음 술어가 도입되었습니다.

J(x)- "x가 판사입니다",

L(x)- "x는 변호사입니다",

S(x)- "x는 사기꾼이다",

Q(x)- "x는 노인이다",

V(x)- "x - 쾌활한",

P(x)- "x는 정치인이다",

C(x)- "x는 국회의원이다",

W(x)- "x는 여자입니다",

U(x)- "x는 주부입니다",

A(x, y) - "x는 y를 존경합니다",

j - 존스.

구두 설명과 공식 사이의 대응 관계를 찾으십시오.

    판사는 모두 변호사다

    일부 변호사는 사기꾼이다

    판사는 사기꾼이 아니다

    일부 판사는 나이가 많지만 활기가 넘칩니다.

    존스 판사는 늙지도 않고 우쭐하지도 않습니다.

    변호사가 모두 판사는 아니다

    정치인, 국회의원 등 일부 변호사

    유쾌한 국회의원은 없다

    역대 국회의원은 모두 변호사

    일부 여성은 변호사이자 국회의원이기도 합니다.

    정치인이면서 주부인 여성은 없습니다

    일부 여성 변호사는 주부이기도 하다.

    모든 여성 변호사들은 어떤 판사를 존경한다

    어떤 변호사는 판사만 존경한다

    일부 변호사는 여성을 존경합니다.

    일부 사기꾼은 어떤 변호사도 존경하지 않습니다.

    존스 판사는 어떤 사기꾼도 존경하지 않습니다

    존스 판사를 존경하는 변호사와 사기꾼도 있다

판사만이 판사를 존경한다

ㅏ. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))

비. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))

씨. "x (C(x) ® ù "(x))

디. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))

이자형. $x(W(x)/\L(x)/\C(x))

에프. $x(W(x)/\L(x)/\U(x))

g. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))

시간. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))

제이. "x(J(x) ®L(x))

케이. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

엘. $x(L(x)/\S(x))

중. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))

N. "x (J(x) ® ù S(x))

영형. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))

피. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))

큐. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

아르 자형. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)

에스. ù "x (L(x) ®J(x))

티. $x(L(x)/\P(x)/\C(x))

문제 2.5

다음 문구를 공식 언어로 번역하세요.

    모든 숫자가 모든 숫자로 나누어지면 짝수입니다.

    모든 실수 x에 대해 y가 있으며, 모든 k에 대해 k와 1의 합이 y보다 작으면 x와 2의 합은 4보다 작습니다.

    이 숫자가 소수이면 어떤 숫자로도 나누어지는 짝수가 있습니다.

    숫자 a와 b의 최대 공약수는 각 공약수로 나누어집니다.

    어떤 숫자가 소수가 되려면 어떤 홀수로도 나누어져서는 안 됩니다.

    모든 실수에 대해 더 큰 실수가 있습니다

    x와 y의 합이 x와 k의 곱보다 큰 실수 x, y, k가 있습니다.

    유한한 수의 요소의 곱이 0이면 요소 중 적어도 하나는 0입니다.

문제 2.6

다음 술어가 도입되었습니다.

P(x) - "x는 소수입니다."

E(x) - "x는 짝수입니다."

O(x) - "x는 홀수입니다."

D(x, y) - "y를 x로 나눈 값"

수식을 러시아어로 번역하십시오.

3. "x(D(2, x) ®E(x))

4. $x(E(x)/\D(x, 6))

5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))

6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))

7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))

8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))

문제 2.7

다음 등가성을 증명하십시오.

1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))

2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))

문제 2.8

다음 동어반복을 증명하십시오:

1. = "x A(x)® $x A(x)

2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)

3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)

문제 2.9

올바른 정규 형식으로 조건자 표현식을 가져옵니다.

1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))

2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))

문제 2. 10

표현식을 결합 정규형으로 줄입니다.

"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\

/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))

문제 2. 11

다음 공식에 대한 진리표를 구성합니다(술어는 두 요소 집합에 정의됩니다).

1. "x(P(x) ®Q)\/(Q/\P(y))

2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)

3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))

4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)

5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)

6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))

7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)

문제 2. 12

주어진 경우: D=(a, b), P(a, a)=and, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=그리고 진리값 결정 ​공식 중:

1. "x$yP(x,y)

2. $x "y P(x, y)

3. "x"y (P(x, y) ®P(y, x))

4. "x"y P(x,y)

5. $y ù P(a, y)

7. "x$y(P(x, y)/\P(y, x))

8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)

문제 2. 13

일관성에 대한 다음 추론을 확인하십시오.

    모든 학생은 정직합니다. 존은 솔직하지 않아요. 그래서 John은 학생이 아닙니다.

    성 프란치스코는 누군가를 사랑하는 모든 사람의 사랑을 받습니다. 모두가 누군가를 사랑합니다. 그러므로 모두가 성 프란치스코를 사랑합니다.

    불멸의 동물은 없습니다. 고양이는 동물입니다. 이것은 일부 고양이가 불멸의 존재가 아니라는 것을 의미합니다.

    새들만이 깃털을 가지고 있습니다. 어떤 포유류도 새가 아닙니다. 이는 모든 포유류에게 깃털이 없다는 것을 의미합니다.

    정치인은 모두 배우이다. 일부 배우들은 위선자입니다. 이것은 일부 정치인이 위선자라는 것을 의미합니다.

    바보라면 이런 일을 할 수 있을 것이다. 나는 이것을 할 수 없습니다. 그러니 나는 바보가 아니다.

    누구든지 이 문제를 풀 수 있다면 어떤 수학자도 풀 수 있습니다. 사샤는 수학자이지만 할 수 없습니다. 이는 문제를 해결할 수 없음을 의미합니다.

    누구든지 이 문제를 풀 수 있다면 어떤 수학자라도 이 문제를 풀 수 있습니다. 사샤는 수학자이지만 문제를 풀 수 없습니다. 이는 문제가 해결 불가능하다는 것을 의미합니다.

    이 문제를 풀 수 있는 사람은 바로 수학자이다. 사샤는 그것을 해결할 수 없습니다. 따라서 사샤는 수학자가 아닙니다.

    이 문제를 풀 수 있는 사람은 바로 수학자이다. 어떤 수학자도 이 문제를 풀 수 없습니다. 따라서 결정할 수 없습니다.

    1과 101 사이에 있는 숫자가 101을 나누면 11보다 작은 소수는 101을 나눌 수 없습니다. 11보다 작은 소수는 101을 나눌 수 없습니다. 따라서 1과 101 사이의 어떤 숫자도 101을 나눌 수 없습니다.

    한 개인의 조상이 모두 그 개인의 조상이고, 어느 개인도 자신의 조상이 아니라면, 반드시 조상이 없는 사람이 있을 것입니다.

    사람마다 그보다 나이가 많은 사람이 있습니다. x가 y의 자손이면 x는 y보다 오래되지 않습니다. 모든 사람은 아담의 후손입니다. 그러므로 아담은 사람이 아니다.

    임의의 집합 x에 대해 y의 카디널리티가 x의 카디널리티보다 큰 집합 y가 있습니다. x가 y에 포함되면 x의 거듭제곱은 y의 거듭제곱보다 크지 않습니다. 모든 집합은 V에 포함됩니다. 따라서 V는 집합이 아닙니다.

    모든 파충류는 다리가 4개이거나 다리가 전혀 없습니다. 개구리의 다리는 4개입니다. 그래서 그녀는 파충류입니다.

    기한 내에 시험에 합격한 모든 학생은 장학금을 받습니다. Petrov는 장학금을 받지 않습니다. 그러므로 그는 학생이 아니다.

    모든 새는 알을 낳습니다. 악어는 새가 아닙니다. 따라서 악어는 알을 낳지 않습니다.

    교사는 모든 학생이 첫 번째 시도에서 시험에 합격하면 만족합니다. 누구도 첫 번째 시도에서 논리를 통과할 수 없습니다. 결과적으로 논리 교사는 항상 불만족스러워합니다.

    모든 5학년 학생은 모든 시험에 합격하면 졸업장을 받습니다. 모두가 졸업장을 받은 것은 아닙니다. 이는 누군가가 모든 시험을 통과하지 못했다는 것을 의미합니다.

    곤충을 좋아하는 사람은 없습니다. 거미는 곤충이 아닙니다. 누군가가 그들을 사랑한다는 뜻입니다.

    미술선생님은 모두 남자예요. 저학년의 모든 수업은 여성이 진행합니다. 따라서 저학년에서는 그림을 가르치지 않습니다.

    학교를 졸업한 사람이라면 누구나 영어를 할 수 있습니다. Mueller의 가족 중 누구도 영어를 할 수 없습니다. 중등 교육을받지 않은 사람은 연구소에 입학 할 수 없습니다. 결과적으로 Müllers 중 누구도 연구소에서 공부하지 않습니다.

    모든 주유소는 수익성이 있습니다. 모든 요리 수집 지점은 수익성이 없습니다. 기업은 수익성이 있을 수도 있고 수익성이 없을 수도 없습니다. 결과적으로 어떤 주유소도 병을 받지 않습니다.

    건전한 정신을 가진 사람이라면 누구나 수학을 이해할 수 있습니다. Tom의 아들 중 누구도 수학을 이해할 수 없습니다. 미친 사람은 투표할 수 없습니다. 결과적으로 Tom의 아들 중 누구도 투표할 수 없습니다.

    N의 모든 이발사는 스스로 면도하지 않는 사람만 면도합니다. 결과적으로 N에는 미용사가 한 명도 없습니다.

    모든 운동선수는 강하다. 강하고 똑똑한 사람은 누구나 인생에서 성공합니다. 피터는 운동선수입니다. 피터는 똑똑해요. 그러므로 그는 인생에서 성공할 것입니다.

문제 2. 14

다음 추론이 논리적이 되도록 누락된 전제나 결론을 복원하십시오.

    용감한 자만이 사랑받을 가치가 있습니다. 그는 사랑에 운이 좋다. 그는 용감하지 않습니다.

    어른은 아이를 동반한 경우에만 입장이 허용되었습니다. 그들은 나를 들여보냈습니다. 그래서 저는 아이이거나 아이와 함께 왔습니다.

문제 2. 15

다음 진술은 사실입니다.

    정신 훈련을 향상하려면 데이터 구조에 대한 지식이 필요합니다.

    프로그래밍 경험만이 규율 있는 마음을 만들 수 있습니다.

    컴파일러를 작성하려면 문제를 분석할 수 있어야 합니다.

    훈련되지 않은 마음은 문제를 분석할 수 없습니다.

    구조화된 프로그램을 작성한 사람은 누구나 숙련된 프로그래머로 간주될 수 있습니다.

이러한 가정으로부터 다음 진술의 타당성을 결정하는 것이 가능합니까?

6. 컴파일러를 작성하려면 구조화된 프로그램 작성 경험이 필요합니다.

7. 데이터 구조에 대한 지식은 프로그래밍 경험의 일부입니다.

8. 데이터 구조를 무시하는 사람들에게는 작업 분석이 불가능합니다.

9. 구조화된 프로그램을 작성하고, 문제를 분석할 수 있고, 훈련된 마음을 가진 숙련된 프로그래머는 컴파일러를 작성할 수 있는 프로그래머입니다.

문제 2. 16

전제를 공식 형태로 작성하고 알려진 모든 방법을 적용하여 결론의 정확성을 증명하십시오.

전제: 1. 모든 자식이 날 수 있으면 용은 행복합니다.

2. 그린 드래곤은 날 수 있습니다.

3. 부모 중 적어도 하나가 녹색이면 드래곤은 녹색이고, 그렇지 않으면 밝은 분홍색입니다.

결론: 1. 그린 드래곤은 행복합니다.

2. 자식이 없는 드래곤은 행복합니다(여기서 분명히 놓친 전제가 필요할 수 있습니다).

3. 밝은 핑크색 드래곤이 행복하려면 어떻게 해야 하나요?

문제 2. 17

술어 및 산술 기호에 도입된 기호 사용(예: "+" 및 "<"), перевести на язык формул:

1. 유한 수의 인수의 곱이 0이면 인수 중 적어도 하나는 0입니다(Px는 "x가 유한 수의 인수의 곱"임을 의미하고 Fxy는 "x가 다음 인수 중 하나임"을 의미함). 와이").

2. 숫자 a와 b의 최대 공약수는 각 공약수로 나뉩니다. (Fxy는 "x가 숫자 y의 약수 중 하나입니다"를 의미하고 Gxyz - "z는 숫자 x의 최대 공약수입니다." 그리고 y”).

3. 모든 실수 x에 대해 더 큰 실수 y(Rx)가 있습니다.

4. 숫자 x와 y의 합이 숫자 x와 z의 곱보다 큰 실수 x, y, z가 있습니다.

5. 모든 실수 x에 대해 y가 있으므로 모든 z에 대해 z와 1의 합이 y보다 작으면 x와 2의 합은 4보다 작습니다.

문제 2. 18

A0, A1, ..., An, ...을 실수의 수열이라 하자. 제한된 수량자를 사용하여 기호 형식으로 변환합니다.

1. a가 이 수열의 극한이라는 진술; 2. 이 순서에는 한계가 있다는 진술; 3. 이 수열은 코시 수열이라는 진술(즉, e>0이 주어지면 n, m>k가 úAn - Amú를 의미하는 양수 k가 있습니다.< e).

각 수식의 부정을 써보세요.

문제 2. 19

다음 추론에 해당하는 결론을 도출합니다.

    공화당이나 민주당은 사회주의자가 아니다. 노먼 토마스는 사회주의자이다. 그러므로 그는 공화당원이 아니다.

    모든 유리수는 실수입니다. 합리적인 숫자가 있습니다. 따라서 실수가 있습니다.

    신입생이 2학년을 좋아하는 사람은 없어요. Dascombe에 거주하는 모든 사람은 2학년입니다. 결과적으로 신입생은 Duscombe에 사는 사람을 좋아하지 않습니다.

    일부 신입생은 2학년생을 모두 사랑합니다. 신입생 중 두 번째 학년 학생을 좋아하는 사람은 단 한 명도 없습니다. 결과적으로 2학년 학생은 단 한 명도 2학년 학생이 아닙니다.

    어떤 사람들은 엘비스를 좋아합니다. 어떤 사람들은 엘비스를 좋아하는 사람을 좋아하지 않습니다. 그러므로 어떤 사람들은 모든 사람에게 사랑받지 못합니다.

    마약 딜러는 마약 중독자가 아닙니다. 일부 마약 중독자들이 재판을 받았습니다. 결과적으로 기소된 사람들 중 일부는 마약상이 아닙니다.

    신입생은 모두 2학년을 만난다. 신입생 중 두 번째 학년의 학생과 데이트하는 사람은 단 한 명도 없습니다. 2학년이 있습니다. 결과적으로 2학년 학생은 단 한 명도 2학년 학생이 아닙니다.

    모든 유리수는 실수입니다. 일부 유리수는 정수입니다. 따라서 일부 실수는 정수입니다.

16. 다음 중 진술인 문장은 무엇입니까?

a) 철은 납보다 무겁습니다.

b) 죽 – 맛있는 요리;

c) 수학은 흥미로운 과목이다.

d) 오늘 날씨가 안 좋아요.

17. 다음 중 틀린 문장은 무엇입니까?

a) 철은 납보다 무겁습니다.

b) 산소 – 가스;

c) 컴퓨터 과학은 흥미로운 주제입니다.

d) 철은 납보다 가볍습니다.

18. 다음 진술 중 다음 진술을 부정하는 진술은 무엇입니까? 소수이상한":

a) "짝수 소수가 있습니다";

b) "홀수 소수가 있습니다";

c) "모든 소수는 짝수이다";

d) “모든 홀수는 소수이다”?

19. 다음 진리표에 해당하는 논리 연산은 무엇입니까?

a) 접속사;

b) 분리;

c) 의미;

d) 동등성.

20. 다음 진리표에 해당하는 논리 연산은 무엇입니까?

a) 동등성

b) 접속사;

c) 의미;

d) 분리.

21. A가 "이 삼각형은 이등변이다"라는 진술을 나타내고,

B - "이 삼각형은 정삼각형입니다."라는 진술입니다. 올바른 진술을 표시하십시오.

22. 명제 대수 공식 F(X 1, X 2, …, X n)을 참 명제로 바꾸는 일련의 진술 A 1, A 2, … An이 있는 경우 이 공식은 다음과 같이 호출됩니다.

a) 실현 가능하다.

b) 동어반복;

c) 모순;

d) 반박할 수 있다.

23. 동어반복은 다음과 같은 명제 대수 공식 F(X 1, X 2, …, X n)입니다:

a) 이는 모든 변수 세트에 대해 참인 진술로 변합니다.

b) 공식을 참 진술로 바꾸는 일련의 진술이 있습니다.

c) 이는 모든 변수 세트에 대해 잘못된 진술로 변합니다.

d) 공식을 잘못된 진술로 바꾸는 일련의 진술이 있습니다.

24. 다음 중 반박할 수 있는 공식은 무엇입니까?

25. 어느 공식이 실현 가능합니까?

26. "어떤 숫자에도 다음과 같은 숫자가 있습니다"라는 진술에 해당하는 진술은 무엇입니까?

27. 다음 진술에 해당하는 진술은 무엇입니까?

a) “다음과 같은 숫자가 있습니다.

b) “평등은 모든 사람에게 공평합니다.

c) "모든 숫자에 대해 다음과 같은 숫자가 있습니다."

d) "어떤 숫자에도 다음과 같은 숫자가 있습니다."

28. 다음 중 잘못된 설명은 무엇입니까?

29. 술어의 진리 집합을 지정하십시오. 엑스 3"의 배수, M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 집합에 대해 정의됨:

가) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP=(3, 6, 9, 12).

30. 술어의 진리 집합을 지정하십시오. 엑스 3"의 배수, M=(3, 6, 9, 12) 집합에 대해 정의됨:

가) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP=Æ.

31. 술어의 진리 집합을 지정하십시오. x 2 +x+6=0", 실수 집합에 대해 정의됨:

a) TP=Æ; b) TP=(1, 6); c) TP=(-2, 3); d) TP=(-3, 2).

32. 술어의 진리 세트를 지정하십시오.

33. 술어의 진리 집합을 지정합니다.

38. 다음과 같은 단항 술어를 소개하겠습니다.

질문(x): « 엑스– 유리수";

R(x): « 엑스실수야."

그런 다음 술어는 다음 명령문의 술어 대수 언어로의 번역으로 간주될 수 있습니다.

a) 일부 유리수는 실수입니다.

b) 일부 유리수는 실수가 아닙니다.

c) 어떤 유리수도 실수가 아니다;

d) 모든 유리수는 실수이다.