러시아 연방 교육과학부

연방 국가 자치 교육 기관

고등 전문 교육

"러시아 초대 대통령 B.N. 옐친의 이름을 딴 우랄 연방 대학교"

무선 전자 및 정보 기술 연구소 - RTF

부서 자동화 및 정보 기술

스플라인 보간

규율에 대한 실험실 작업을 위한 방법론 지침 " 수치적 방법»

선임 강사 인 I.A. Selivanova가 편집했습니다.

스플라인 보간:"숫자 방법" 분야의 실습 지침

지침은 230100 - "정보 및 컴퓨터 공학" 방향의 모든 형태의 교육을 받는 학생을 대상으로 합니다.

Ó FSAEI HPE "러시아 초대 대통령 B.N. 옐친의 이름을 딴 UrFU", 2011

1. 스플라인에 의한 보간. 4

1.1. 큐빅 스플라인. 4

1.2. 스플라인 작성의 특수한 형태입니다. 5

1.3. 2차 스플라인. 13

1.4. 연습 과제. 18

1.5. 작업 옵션. 19

참고 문헌 21

1. 스플라인에 의한 보간.

간격 [ ㅏ,비], 기능을 대체해야 하는 위치 에프(엑스) 크면 스플라인 보간을 적용할 수 있습니다.

1.1. 큐빅 스플라인.

보간 스플라인 3위차수는 다항식 3 조각으로 구성된 함수입니다. 일주문하다. 컨쥬게이션 노드는 함수의 연속성, 1차 및 2차 도함수를 보장합니다. 근사 함수는 일반적으로 동등하게 작은 정도의 별도의 다항식으로 구성되며 각 다항식은 세그먼트의 자체 부분에서 정의됩니다.

세그먼트에 보자 [ ㅏ, 비] 실제 축 엑스 값이 정의된 노드에서 그리드가 제공됩니다.
기능 에프(엑스). 세그먼트 [ ㅏ, 비] 연속 스플라인 기능 에스(엑스), 이는 다음 조건을 만족합니다.

원하는 스플라인을 구성하려면 계수를 찾아야 합니다.
다항식
,나=1,… N, 즉. 4 N 다음을 만족하는 알 수 없는 계수 4 N-2 방정식 (1), (2), (3). 연립방정식이 해를 갖기 위해서는 두 가지 추가(경계) 조건이 추가됩니다. 세 가지 유형의 경계 조건이 사용됩니다.

조건 (1), (2), (3) 및 조건 (4), (5), (6) 중 하나는 순서의 SLAE를 형성합니다. 4 N. 가우스 방법을 사용하여 시스템을 풀 수 있습니다. 그러나 3차 다항식을 작성하는 특별한 형식을 선택하면 해결되는 방정식 시스템의 차수를 크게 줄일 수 있습니다.

1.2. 스플라인 작성의 특수한 형태입니다.

세그먼트 고려
. 변수에 대한 다음 표기법을 소개합니다.

여기
- 세그먼트 길이
,

,
- 보조 변수,

엑스- 세그먼트의 중간 지점
.

언제 엑스 간격의 모든 값을 실행합니다.
, 변수 0에서 1로 변경하고
1에서 0으로 변경됩니다.

입방 다항식
세그먼트에서
다음과 같이 보입니다.

변수 그리고
특정 보간 세그먼트와 관련하여 결정됩니다.

스플라인 값 찾기
세그먼트의 끝에서
. 점
세그먼트의 이니셜입니다.
, 그래서 =0,
=1 및 (3.8)에 따라:
.

세그먼트의 끝에서
=1,
=0 및
.

간격
점
최종이므로 =1,
=0이고 공식 (9)에서 다음을 얻습니다.
. 따라서 함수의 연속성 조건이 충족됩니다. 에스(엑스) 숫자 선택에 관계없이 입방 다항식의 연결점에서  나는 .

계수  i를 결정하려면, 나=0,… N 우리는 (8)을 다음의 복잡한 함수로 두 번 미분합니다. 엑스. 그 다음에

스플라인의 2차 도함수를 정의합니다.
그리고
:

다항식의 경우
점 보간 세그먼트의 시작이며 =0,
=1이므로

(15)와 (16)에서 세그먼트 [ ㅏ,비] 3차 다항식 조각에서 "접착된" 스플라인 함수는 2차 연속 도함수를 가집니다.

함수의 1차 도함수의 연속성을 얻으려면 에스(엑스), 내부 보간 노드에서 다음 조건이 충족되어야 합니다.

자연 3차 스플라인의 경우
, 따라서 방정식 시스템은 다음과 같습니다.

방정식 시스템 (17)은 다음과 같습니다.

예.

초기 데이터:

교체 기능
보간 큐빅 스플라인, 주어진 절점(표 참조)에서의 값은 동일한 지점에서의 함수 값과 일치합니다. 다른 경계 조건을 고려하십시오.

절점에서 함수의 값을 계산해 봅시다. 이를 위해 테이블의 값을 주어진 함수로 대체합니다.

서로 다른 경계 조건 (4), (5), (6)에 대해 3차 스플라인 계수를 찾습니다.

1. 첫 번째 경계 조건을 고려하십시오.

우리의 경우 N=3,
,
,
. 찾다
방정식 시스템(3.18)을 사용합니다.

컴퓨팅 그리고 , 공식 (7) 및 (11) 사용:

얻은 값을 방정식 시스템으로 대체합니다.

.

시스템 솔루션:

첫 번째 경계 조건을 고려하면 스플라인 계수는 다음과 같습니다.

경계 조건(3.5)을 고려하여 스플라인 계수의 정의를 고려하십시오.

함수의 도함수를 구해봅시다
:

컴퓨팅
그리고
:

방정식 시스템(21)에 값을 대입해 보겠습니다. 그리고 :

공식 (20)을 사용하여  0과  3을 결정합니다.

주어진 특정 값:

및 계수 벡터:

보간 세그먼트의 중간점에서 3차 스플라인 S(x)의 값을 계산해 봅시다.

중간 섹션:

보간 세그먼트의 중간점에서 3차 스플라인 값을 계산하기 위해 공식 (7)과 (9)를 사용합니다.

3.1.

찾아보자 그리고
:

공식 (3.9)에서 계수를 대체합니다.

3.2.

찾아보자 그리고
:

, 경계 조건 (4), (5), (6):

3.3.

찾아보자 그리고
:

공식 (9)에서 계수를 대체합니다.
, 경계 조건 (4), (5), (6):

테이블을 만들어 봅시다:

	(1 cr. 조건.)	(2 cr. 조건)	(3 cr. 조건)

주요 작업 보간- 지정되지 않은 주어진 간격 내의 해당 지점에서 표 함수 값 찾기. 초기 표 데이터는 실험적으로(이 경우 기본적으로 추가 작업 없이는 중간 데이터가 없음), 복잡한 종속성을 사용한 계산(이 경우 보간법을 사용하여 값 찾기)으로 얻을 수 있습니다. 복잡한 기능복잡한 수식을 사용하여 직접 계산하는 것보다 쉽습니다.)

보간의 개념

보간 및 외삽 문제의 솔루션은 보간 기능의 구성으로 제공됩니다. 엘(엑스), 대략 원본 교체 에프(엑스), 테이블에 제공되고 주어진 모든 포인트를 통과합니다. 보간 노드.이 함수를 사용하면 언제든지 원래 함수의 원하는 값을 계산할 수 있습니다.

보간과 관련하여 세 가지 주요 문제가 고려됩니다.

1) 보간 기능 선택 엘(엑스);

2) 보간 오차 추정 아르 자형(엑스);

3) 함수 복원의 가능한 최고 정확도를 보장하기 위한 보간 노드 배치( 엑스 1 , 엑스 2 ,…,엑스엔).

특수 보간 방법을 사용하면 보간 함수를 직접 구성하지 않고도 함수의 원하는 값을 결정할 수 있습니다. 원칙적으로 보간 함수로 다항식을 사용하는 모든 보간 방법은 동일한 결과를 제공하지만 비용은 다릅니다. 이것은 다항식 때문입니다. N포함하는 학위 N+1 매개 변수 및 주어진 모든 통과 N+1 포인트, - 유일한 것. 또한, 다항식은 원래의 미분 가능 함수가 확장된 잘린 테일러 급수로 나타낼 수 있습니다. 이것은 보간 함수로서 다항식의 주요 장점 중 하나일 것입니다. 따라서 다른 함수(예: 삼각 다항식, 의미 있는 문제의 비공식 조건에서 선택한 다른 함수)를 사용할 수 있지만 보간 함수로 다항식을 선택하여 보간의 첫 번째 문제를 더 자주 해결합니다.

쌀. 3.2 보간의 예시

보간 함수의 유형을 선택하는 것은 일반적으로 중요한 작업입니다. 특히 주어진 점을 통해 여러 함수를 그릴 수 있다는 것을 기억하는 경우에 특히 그렇습니다(그림 3.2). 보간 함수를 구성하는 분명한 방법이 있다는 점에 유의해야 합니다. 함수가 모든 점을 통과하는 조건에서 방정식 시스템이 컴파일되고 매개 변수가 발견되는 솔루션에서 컴파일됩니다. 그러나 이 경로는 특히 포인트 수가 많을 때 가장 효율적이지 않습니다.

로컬 보간과 글로벌 보간을 구분하는 것이 일반적입니다. 전체 보간 영역에 대해 다항식이 같은 경우 보간이라고 합니다. 글로벌. 서로 다른 노드 간에 다항식이 다른 경우 조각으로 또는 로컬 보간.

선형 보간

가장 간단하고 가장 일반적으로 사용되는 로컬 보간 형식은 다음과 같습니다. 선형 보간.그것은 주어진 포인트가 있다는 사실로 구성됩니다 중(x 나는 , y 나는) (나는 = 0, 1, …,N) 직선 세그먼트로 연결되며 함수 에프(엑스) 이 점에서 정점이 있는 폴리라인에 접근합니다(그림 3.3). .

쌀. 3.3 선형 보간

파선의 각 세그먼트의 방정식은 일반적으로 다릅니다. 있기 때문에 N간격 (x 나는 , x 나는 + 1) 그런 다음 각각에 대해 방정식으로

보간 다항식은 두 점을 지나는 직선의 방정식을 사용합니다. 특히, 나 -간격, 우리는 점을 통과하는 직선의 방정식을 쓸 수 있습니다 ( x 나는 , y 나는) 그리고 ( x 내가 + 1 , y i + 1), 처럼:

(3.2)

따라서 선형 보간법을 사용할 때는 먼저 인수의 값이 떨어지는 구간을 정해야 합니다. 엑스, 식(3.2)에 대입하여 이 때 함수의 대략적인 값을 구한다.

그림 3.4는 MathCAD 프로그램에서 선형 보간을 사용하는 예를 보여줍니다. 선형 보간의 경우 함수가 사용됩니다. 린터프 (엑스,와이,지). 여기 엑스, 와이- 초기 데이터, 지- 함수의 값이 있는 지점.

쌀. 3.4. 선형 보간

2차 보간

언제 2차 보간세그먼트에 대한 보간 함수로( x 나는 — 1 ,x 나는 + 1) 삼항식을 취하십시오. 제곱 삼항식의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

y = 에이엑스 2 + b i x + c i , x i — 1 엑스 x 내가 + 1 , (3.3)

모든 점에 대한 보간 엑스 [엑스 0 , xn]는 가장 가까운 세 점 위에 그려집니다.

3차 스플라인 보간

안에 지난 몇 년현대 전산 수학의 새로운 분야가 집중적으로 발전하고 있습니다 - 이론 스플라인.스플라인을 사용하면 다소 복잡한 구조를 가진 매개변수 간의 실험적 종속성을 처리하는 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.

위에서 설명한 로컬 보간 방법은 본질적으로 1차(선형 보간용) 및 2차(2차 보간용)의 가장 단순한 스플라인입니다.

가장 넓은 실용, 단순성으로 인해 입방체 스플라인을 찾았습니다. 큐빅 스플라인 이론의 주요 아이디어는 탄성 재료(기계적 스플라인)로 만든 유연한 레일을 수학적으로 설명하려는 시도의 결과로 형성되었습니다. 탄성 재질의 레일은 일정한 위치에 고정되어 평형을 이루며 에너지가 최소가 되는 형태를 취하는 것으로 알려져 있다. 이 기본 속성은 실험 정보를 처리하는 실제 문제를 해결하는 데 스플라인을 효과적으로 사용할 수 있게 합니다.

일반적으로 함수의 경우 y=에프(엑스) 근사치를 찾아야 합니다. y=j(엑스) 그런 식으로 에프(x 나는)= j(x 나는) 포인트에서 엑스 = 엑스 i , 세그먼트의 다른 지점에서 a [ 가, 나] 값

기능 에프(엑스) 그리고 제이(엑스) 서로 가까웠다. 적은 수의 실험 포인트(예: 6-8)로 보간 다항식을 구성하는 방법 중 하나를 사용하여 보간 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 노드 수가 많으면 보간 다항식을 실제로 사용할 수 없게 됩니다. 이것은 보간 다항식의 정도가 함수의 실험값의 수보다 하나 적기 때문입니다. 물론 함수가 정의된 세그먼트를 적은 수의 실험 포인트를 포함하는 세그먼트로 나누고 각각에 대해 보간 다항식을 구성하는 것이 가능합니다. 그러나 이 경우 근사 함수에는 도함수가 연속적이지 않은 지점이 있습니다. 즉, 함수의 그래프에 "중단" 지점이 포함됩니다.

큐빅 스플라인에는 이러한 단점이 없습니다. 빔 이론에 대한 연구에 따르면 두 노드 사이의 유연한 얇은 빔은 3차 다항식으로 꽤 잘 설명되며 붕괴되지 않기 때문에 근사 함수는 적어도 연속적으로 미분 가능해야 합니다. 이것은 기능이 제이(엑스), 제이'(엑스), 제이"(엑스) 세그먼트 [ 가, 나].

3차 보간 스플라인 , 이 기능에 적합 에프(엑스) 및 주어진 노드 x 나는 ,함수라고 와이(엑스), 다음 조건을 만족합니다.

1. 각 세그먼트에서 [ x 나는 — 1 , x 나는], 나는 = 1, 2, ..., N기능 와이(엑스)는 3차 다항식이며,

기능 와이(엑스), 또한 1차 및 2차 도함수는 다음 구간에서 연속적입니다. a,b],

3차 스플라인 3차 다항식에서 함께 붙어 있습니다. 나섹션은 다음과 같이 작성됩니다.

전체 간격에 대해 각각 피계수가 다른 3차 다항식 ㅏ나, 비 나는, 씨 나는, 디 나는. 대부분의 경우 스플라인 보간 동안 노드의 간격은 균등합니다. 엑스나 +1 -엑스나 = const = 시간 (필수는 아니지만).

각 다항식이 두 점(x 나,와이 나) 그리고 (엑스 나 +1 ,와이 나 +1 ) , 그 결과 다음과 같은 명백한 방정식이 생성됩니다.

첫 번째 조건은 시작점을 통과하는 다항식의 통과에 해당하고 두 번째 조건은 끝점을 통과합니다. 필요한 매개변수보다 조건이 적기 때문에 이러한 방정식에서 모든 계수를 찾는 것은 불가능합니다. 따라서 이러한 조건은 보간 노드에서 함수의 평활성(즉, 1차 미분의 연속성) 및 1차 미분의 평활성(즉, 2차 미분의 연속성) 조건으로 보완됩니다. 수학적으로 이러한 조건은 끝에 있는 1차 도함수와 2차 도함수의 등식으로 각각 작성됩니다. 나일 및 처음에 ( 나+1 ) 번째 플롯.

이후 및 , 저것

(와이’ (x 나는 +1 ) 끝에 나-th 섹션은 다음과 같습니다. 유'(엑스나 +1 ) 처음에는 ( 나+1 )-번째),

(에"(엑스나 +1 ) 마지막에 나-th 섹션은 다음과 같습니다. 와이"(엑스나 +1 ) 처음에는 ( 나+1)-번째).

결과는 4n개의 미지수(unknowns a 1 , a 2 ,…, an , b 1 ,…, dn - 스플라인 계수)가 있는 4n - 2개의 방정식을 포함하는 선형 방정식 시스템(모든 섹션에 대한)입니다. 시스템을 풀기 위해 다음 유형 중 하나의 두 경계 조건이 추가됩니다(1이 더 자주 사용됨).

4n 방정식의 공동 솔루션을 사용하면 모든 4n 계수를 찾을 수 있습니다.

도함수를 복원하기 위해 각 섹션에서 해당 3차 다항식을 미분할 수 있습니다. 노드에서 도함수를 결정해야 하는 경우 원하는 2차 또는 1차 도함수와 관련하여 더 간단한 방정식 시스템을 풀기 위해 도함수의 정의를 줄이는 특수 기술이 있습니다. 큐빅 스플라인 보간법의 중요한 이점은 가능한 최소 곡률을 갖는 함수를 얻는 것입니다. 스플라인 보간법의 단점은 상대적으로 많은 수의 매개변수를 얻어야 한다는 것입니다.

MathCAD 프로그램을 이용하여 보간법 문제를 풀어봅시다. 이를 위해 내장 함수를 사용합니다. 보간(VS,x,y,z) . 변수 엑스 그리고 와이 절점의 좌표를 설정하고, 지 함수 인수입니다. VS 유형을 정의합니다

간격 끝의 경계 조건.

세 가지 유형의 3차 스플라인에 대한 보간 함수를 정의합니다.

여기 cspline (VX , VY) 벡터를 반환 VS 3차 다항식에 대한 기준점에 접근할 때 2차 도함수;

pspline(VX, VY) 벡터를 반환 VS포물선 곡선에 대한 기준점에 접근할 때 2차 미분;

LS플라인(VX, VY) 벡터를 반환 VS직선의 기준점에 접근할 때 2차 미분;

인터프(VS, VX, VY, 엑스) 값을 반환 와이(엑스) 주어진 벡터에 대해 VS, VX, VY값을 설정 엑스.

주어진 지점에서 보간 함수의 값을 계산하고 결과를 다음과 비교합니다. 정확한 값

다른 유형의 3차 스플라인에 의한 보간 결과는 간격의 내부 지점에서 거의 동일하며 함수의 정확한 값과 일치합니다. 간격의 가장자리 근처에서 차이가 더 두드러지고 지정된 간격 외부로 외삽하면 다른 유형의 스플라인이 상당히 다른 결과를 제공합니다. 명확성을 높이기 위해 결과를 그래프로 표시합니다(그림 3.5).

쌀. 3.5 큐빅 스플라인 보간

함수가 불연속적으로 지정된 경우 보간을 위해 데이터 매트릭스가 지정됩니다.

전역 보간에서는 다항식 보간이 가장 자주 사용됩니다. N차수 또는 라그랑주 보간.

고전적인 접근 방식은 값의 엄격한 일치 요구 사항을 기반으로 합니다. 에프(엑스) 그리고 제이(엑스) 포인트에서 x 나는(나는 = 0, 1, 2, … N).

우리는 보간 기능을 찾을 것입니다 제이(엑스) 차수 다항식 N.

이 다항식은 n+ 1 계수. 라고 가정하는 것은 당연하다. n+ 1 조건

제이(엑스 0) = 와이 0 , 제이(엑스 1) = 와이 1 , . . ., 제이(엑스엔) = yn (3.4)

다항식에 중첩

계수를 고유하게 결정할 수 있습니다. 실제로 요구하는 제이(엑스) 조건 충족 (3.4) , 우리는 시스템을 얻는다 n+ 1 방정식 n+ 1 알 수 없음:

(3.6)

미지수에 대해 이 시스템 풀기 ㅏ 0 , ㅏ 1 , ...,다항식(3.5)에 대한 분석적 표현을 얻습니다. 시스템(3.6)에는 항상 고유한 솔루션이 있습니다. , 왜냐하면 결정 요인

대수학에서 다음과 같이 알려진 Vandermonde 행렬식, 0과 다른 . 이것은 의미한다 , 보간 다항식은 무엇입니까 제이(엑스) 기능 에프(엑스) 테이블에 주어진 고유합니다.

결과 곡선 방정식은 주어진 점을 정확히 통과합니다. 보간 노드 외부에서는 수학적 모델에 상당한 오류가 있을 수 있습니다.

라그랑주 보간 공식

일부 기능의 값을 알려주세요 에프(엑스) V n+ 1개의 다른 임의 포인트 y 나는 = 에프(x 나는) , 나 = 0,…, 피.어떤 지점에서 함수를 보간(복원)하려면 엑스,세그먼트에 속하는 [ x 0, x 피], Lagrange 방법에서 다음과 같이 표현되는 n차 보간 다항식을 구성해야 합니다.

그리고 그것은 쉽게 볼 수 있습니다 Qj(x 나는) = 0, 만약에 나¹ 제이, 그리고 Qj(x 나는) =1, 만약에 나= 제이. 분자에 있는 모든 괄호의 곱을 확장하면(분모에서 모든 괄호는 숫자임) 다음에서 n차 다항식을 얻습니다. 엑스,분자는 n개의 1차 인수를 포함하기 때문입니다. 따라서 라그랑주 보간 다항식은 특정 표기법에도 불구하고 일반적인 n차 다항식에 지나지 않습니다.

점에서 보간 오차 추정 엑스에서 [ 엑스 0, 엑스N] (즉, 두 번째 해결

보간 문제)는 공식으로 주어질 수 있습니다.

공식에서 - 원래 함수의 (n+1)차 도함수의 최대값 에프(엑스)세그먼트에서 [ 엑스 0, 엑스N]. 따라서 보간 오차를 추정하기 위해서는 원래 함수에 대한 추가 정보가 필요합니다(무수히 많은 서로 다른 함수가 주어진 초기 지점을 통과할 수 있으므로 오류가 다를 수 있으므로 이는 명확해야 합니다). 이러한 정보는 n + 1 차수의 파생물이므로 찾기가 쉽지 않습니다. 이 상황에서 벗어나는 방법이 아래에 나와 있습니다. 또한 오차 공식의 적용은 함수가 n + 1번 미분 가능할 때만 가능하다는 점에 유의하십시오.

건축용 라그랑주 보간 공식 MathCAD에서는 함수를 사용하는 것이 편리합니다. 만약에.

만약에 (조건, x, y)

cond가 0(참)이 아닌 경우 x 값을 반환합니다. cond가 0(거짓)이면 y를 반환합니다(그림 3.6).

보간 공식 Lagrange, Newton, Stirling 등 전체 세그먼트에 많은 수의 보간 노드를 사용할 때 [ ㅏ, 비] 계산 과정에서 오류가 누적되어 근사치가 좋지 않은 경우가 많습니다. 또한 보간 과정의 차이로 인해 노드 수를 늘린다고 해서 반드시 정확도가 높아지는 것은 아닙니다. 오류를 줄이기 위해 전체 세그먼트 [ ㅏ, 비] 부분 세그먼트로 나뉘고 각각에서 함수는 대략 낮은 차수의 다항식으로 대체됩니다. 그것은이라고 조각별 다항식 보간.

전체 세그먼트에 대한 보간 방법 중 하나 [ ㅏ, 비] 이다 스플라인 보간.

운형자세그먼트 [ ㅏ, 비] 이 세그먼트에 특정 수의 연속 파생 상품이 있습니다. 기존의 보간 방법에 비해 스플라인 보간의 장점은 계산 프로세스의 수렴 및 안정성에 있습니다.

실제로 가장 일반적인 경우 중 하나인 함수 보간을 고려하십시오. 3차 스플라인.
세그먼트에 보자 [ ㅏ, 비]는 연속 함수입니다. 세그먼트의 파티션을 소개하겠습니다.

그리고 를 나타냅니다. .

주어진 함수와 보간 노드(6)에 해당하는 스플라인은 다음 조건을 만족하는 함수입니다.

1) 각 세그먼트에서 함수는 3차 다항식입니다.

2) 함수 , 그것의 1차 및 2차 도함수는 [ ㅏ, 비] ;

세 번째 조건은 보간 조건. 조건 1) - 3)에 의해 정의된 스플라인을 호출합니다. 보간 3차 스플라인.

큐빅 스플라인을 구성하는 방법을 고려하십시오.

각 세그먼트에서, 3차 다항식 형태의 스플라인 함수를 찾습니다.

(7)

어디 원하는 계수.

우리는 다음과 관련하여 (7)을 세 번 미분합니다. 엑스:

그것이 따르는 곳

보간 조건 3)에서 다음을 얻습니다.

함수의 연속성 조건에 따릅니다.

러시아 연방 교육 과학부

연방 주 예산 교육 기관고등 전문 교육

"돈주립대학교"

"컴퓨터 공학 및 자동화 시스템을 위한 소프트웨어" 부서 "POVT 및 AS"

전문 분야: 정보 시스템의 수학적 지원 및 관리

코스 작업

"계산 방법" 분야에서

주제: "스플라인에 의한 보간"

작업 관리자:

메드베데바 타티아나 알렉산드로브나

로스토프나도누

운동

"계산 방법" 분야의 기말 보고서

학생: Alexander Moiseenko VBMO21 그룹

주제: "스플라인에 의한 보간"

방어 작업 제출 마감일 "__"_______ 201_

에 대한 초기 데이터 기말 보고서: 계산 방법에 대한 강의 노트, ru.wikipedia.org, 책. 고등 수학 워크숍 Sobol B.V.

주요 부분의 섹션: 1 개요, 2 보간 공식, 3 큐브 보간 알고리즘, 4 소프트웨어 설계, 5 소프트웨어 작동 결과.

작업 책임자: /Medvedeva T.A./

추상적인

보고서에는 페이지-19, 그래프-3, 소스-3, 블록 다이어그램-1이 포함됩니다.

키워드: INTERPOLATION, SPLINE, Mathcad System, CUBIC INTERPOLATION BY SPLINES.

큐빅 스플라인에 의한 보간 방법을 자세히 살펴봅니다. 해당 소프트웨어 모듈이 표시됩니다. 프로그램 모듈의 블록 다이어그램이 설명되어 있습니다. 몇 가지 예가 고려되었습니다.

소개

1. 이론적 고찰

2. 보간

2.1 2차 스플라인을 사용한 보간

2.2 큐빅 스플라인을 사용한 보간

2.3 문제 진술

3. CUBIC SPLINE을 이용한 보간 알고리즘

4. 소프트웨어 설계

5. 소프트웨어 작동 결과

5.1 예시 설명

5.2 테스트 결과

5.3 테스트 사례 1

5.4 테스트 사례 2

5.5 테스트 사례 3

결론

서지

소개

함수의 근사는 주어진 함수의 대략적인 대체로 구성됩니다. 에프(엑스) 어떤 함수 j( 엑스) 함수 j( 엑스) 에서 에프(엑스) 주어진 영역에서 가장 작았습니다. 함수 j( 엑스) 근사치라고합니다. 일반적인 함수 근사 문제는 보간 문제입니다. 함수 보간의 필요성은 주로 다음 두 가지 이유 때문입니다.

1. 기능 에프(엑스) 복잡한 분석 설명이 있어 사용에 어려움이 있음(예: 에프(엑스)는 특수 함수입니다: 감마 함수, 타원 함수 등).

2. 기능의 분석적 설명 에프(엑스) 알 수 없음, 즉 에프(엑스)는 표에 나와 있습니다. 이 경우 대략적으로 나타내는 분석적 기술이 필요하다. 에프(엑스)(예: 값을 계산하려면 에프(엑스) 임의의 지점에서 다음의 적분 및 도함수의 정의 에프(엑스) 등등.).

1. 이론적 고찰

보간 - 전산 수학에서 기존 이산 세트에서 양의 중간 값을 찾는 방법 알려진 값. 과학 및 공학적 계산으로 문제를 풀 때 경험적으로 또는 방법으로 얻은 값 세트로 작동해야 하는 경우가 종종 있습니다. 무작위 샘플. 일반적으로 이러한 세트를 기반으로 다른 얻은 값이 높은 정확도로 떨어질 수 있는 함수를 구성해야 합니다. 이 문제를 함수 근사라고 합니다. 보간은 구성된 함수의 곡선이 사용 가능한 데이터 포인트를 정확히 통과하는 일종의 함수 근사입니다.

스플라인은 정의 영역이 유한한 수의 세그먼트로 나누어지는 함수이며 각 세그먼트에서 스플라인은 일부 대수 다항식과 일치합니다. 사용된 다항식의 최대 차수를 스플라인 차수라고 합니다. 스플라인의 정도와 그에 따른 매끄러움의 차이를 스플라인 결함이라고 합니다.

스플라인을 사용하면 다소 복잡한 구조를 가진 매개변수 간의 실험적 종속성을 처리하는 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.

큐빅 스플라인은 폭넓은 실용적인 응용 프로그램을 찾았습니다. 큐빅 스플라인 이론의 주요 아이디어는 탄성 재료(기계적 스플라인)로 만든 유연한 레일을 수학적으로 설명하려는 시도의 결과로 형성되었습니다. 탄성 재질의 레일은 일정한 위치에 고정되어 평형을 이루며 에너지가 최소가 되는 형태를 취하는 것으로 알려져 있다. 이 기본 속성은 실험 정보를 처리하는 실제 문제를 해결하는 데 스플라인을 효과적으로 사용할 수 있게 합니다.

2. 보간

2.1 2차 스플라인을 사용한 보간

따라서 보간의 각 부분 세그먼트에서 다음 형식의 함수를 빌드합니다.

다음 조건에서 스플라인 계수를 찾습니다.

a) 라그랑주 조건

b) 절점에서 1차 도함수의 연속성

마지막 두 조건은 방정식을 제공하고 알려지지 않은 계수의 수입니다. 누락된 방정식은 스플라인의 동작에 부과된 추가 조건에서 얻을 수 있습니다. 예를 들어 점 x 0에서 스플라인 s 1의 1차 도함수 값이 0이 되도록 요구할 수 있습니다.

이 식을 대입하면 다음과 같은 방정식이 됩니다.

여기서 표기

두 번째 방정식의 계수를 표현합시다. 씨 1 , 계수 값을 대입 한 후 ㅏ 1 첫 번째 방정식에서:

그런 다음 이 식을 시스템 방정식에 대입하면 계수에 대한 간단한 재귀 관계를 얻습니다.

이제 스플라인 계수를 결정하는 알고리즘이 매우 명확해졌습니다. 먼저 공식을 사용하여 사실을 고려하여 모든 계수의 값을 결정합니다. 그런 다음 공식에 따라 계수를 계산합니다. 계수는 시스템의 첫 번째 방정식에서 결정됩니다. 이 경우 스플라인 계수를 계산하는 절차는 한 번만 수행하면 됩니다.

계수를 계산한 후 스플라인 자체를 계산하려면 보간점이 떨어지는 간격의 수를 결정하고 공식을 사용하면 충분합니다. 간격 번호를 결정하기 위해 조각별 2차 보간을 위해 이전 예제에서 사용된 것과 유사한 알고리즘을 사용합니다.

2.2 큐빅 스플라인을 사용한 보간

3차 보간 스플라인 , 이 기능에 적합 에프(엑스) 및 주어진 노드 엑스 나, 함수라고 에스(엑스), 다음 조건을 만족합니다.

1. 각 세그먼트에서 [ 엑스 나- 1 , x 나], 나는 = 1, 2, ..., N기능 에스(엑스)는 3차 다항식이며,

2. 기능 에스(엑스), 또한 1차 및 2차 도함수는 다음 구간에서 연속적입니다. 가, 나],

3. 에스(엑스 나)= 에프(엑스 나), 나는 = 0, 1, ..., N.

각 세그먼트에서 [엑스 나- 1 , x 나], 나는 = 1, 2, ..., N우리는 기능을 찾을 것입니다 에스(엑스)= 에스 나(엑스) 3차 다항식의 형태로:

에스 나(엑스)= 나+비 나(더블 엑스 나- 1)+c 나(더블 엑스 나- 1) 2 +디 나(엑스- 1) 3 ,

엑스 나- 1 Ј 엑스Ј 엑스 나,

어디 ㅏ 나,비 나, 씨 나, 디 나- 전혀 결정되지 않은 계수 N기본 세그먼트. 대수 방정식 시스템이 해를 갖기 위해서는 방정식의 수가 미지수의 수와 정확히 같아야 합니다. 그래서 우리는 4를 받아야합니다 N방정식.

처음 2 N우리는 함수의 그래프가 에스(엑스) 주어진 지점을 통과해야 합니다.

에스 나(엑스 나- 1)=y 나- 1 , S 나(엑스 나) = 와이 나.

이러한 조건은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

에스 나(엑스 나- 1)= 나=y 나- 1 ,

에스 나(엑스 나)= 나+비 나시간 나+c 나시 + 디 나h = y 나,

시간 나= 엑스 나-엑스 나- 1 , 나는 = 1, 2, ..., N.

다음 2 N-보간 절점에서 1차 미분과 2차 미분의 연속성 조건, 즉 모든 지점에서 곡선이 매끄러운 조건에서 2개의 방정식이 따릅니다.

에스" 내가 + 1 (엑스 나)=에스" 나(엑스 나), 나는 = 1, ..., N - 1,

에스"" 내가 + 1 (엑스 나)=에스"" 나(엑스 나), 나는 = 1, ..., N - 1,

에스" 나(엑스)= b 나 + 2 씨 나(더블 엑스 나- 1) + 3 디 나(더블 엑스 나- 1),

에스" 내가 + 1 (엑스)= b 내가 + 1 + 2 씨 내가 + 1 (더블 엑스 나) + 3 디 내가 + 1 (더블 엑스 나).

모든 내부 노드에서 동일화 엑스 = 엑스 나노드의 왼쪽과 오른쪽 간격으로 계산되는 이러한 미분 값을 얻습니다 (고려 시간 나= 엑스 나-엑스 나- 1):

비 내가 + 1 = b 나 + 2 시간 나씨 나 + 3시간 디 나, 나는 = 1, ..., N - 1,

에스"" 나(엑스) = 2 씨 나 + 6 디 나(더블 엑스 나- 1),

에스"" 내가 + 1 (엑스) = 2 씨 내가 + 1 + 6 디 내가 + 1 (더블 엑스 나),

만약에 엑스 = 엑스 나

씨 내가 + 1 = c 나 + 3 시간 나디 나, 나는 = 1, 2, ..., N- 1.

~에 이 단계우리는 4 N알 수 없음 및 4 N- 2 방정식. 따라서 두 개의 방정식을 더 찾아야 합니다.

끝을 자유롭게 고정하면 이 지점에서 선의 곡률을 0으로 만들 수 있습니다. 양 끝의 곡률이 0인 조건에서 이차 도함수는 다음 지점에서 0과 같습니다.

에스 1" " (엑스 0) = 0과 에스 N" "(엑스 N) = 0,

씨 나 = 0 그리고 2 씨 N + 6 디 N시간 N = 0.

방정식은 4를 결정하는 선형 대수 방정식 시스템을 구성합니다. N계수: ㅏ 나,비 나, 씨 나, 디 나 (나 = 1, 2, . . ., N).

이 시스템은 보다 편리한 형태로 축소될 수 있습니다. 조건에서 모든 계수를 즉시 찾을 수 있습니다. ㅏ나 .

나는 = 1, 2, ..., N- 1,

대체하면 다음을 얻습니다.

비 나 = - (씨 내가 + 1 + 2씨 나), 나는 = 1, 2, ..., N- 1,

비 N = - (시간 N씨 N)

방정식에서 계수를 제거하십시오. 비 나그리고 디 나. 마지막으로 계수에 대해서만 다음 방정식 시스템을 얻습니다. 와 함께 나:

씨 1 = 0과 씨 n+ 1 = 0:

시간 나- 1 씨 나- 1 + 2 (시간 나- 1 + 시간 나) 씨 나+ 시간 나씨 내가 + 1 = 3 ,

나는 = 2, 3, ..., N.

발견된 계수에 따르면 와 함께 나 계산하기 쉬운 디 나,비 나.

2.3 문제 진술

세그먼트에서 [ 가, 나]가 주어진다 N + 1 포인트들 엑스 나 = 엑스 0 , 엑스 1 , . . ., 엑스 N, 노드라고 함 보간 , 그리고 어떤 함수의 값 에프(엑스) 이 시점에서

에프(엑스 0)=y 0 , f(엑스 1) = 와이 1 , . . ., f(엑스 N)=y N.

3차 스플라인을 사용하여 보간 함수 작성 에프(엑스).

3. CUBIC SPLINE을 이용한 보간 알고리즘

프로그램의 알고리즘에 대해 알아 봅시다.

1. 값을 계산하고

2. 이 값을 기반으로 스위프 계수와 o를 계산합니다.

3. 얻은 데이터를 바탕으로 계수를 계산합니다.

4. 그런 다음 스플라인을 사용하여 함수 값을 계산합니다.

4. 소프트웨어 설계

5. 소프트웨어 결과

5.1 테스트 케이스 설명

이 코스 작업 과정에서 사용 가능한 포인트를 통해 해당 곡선을 그리는 소프트웨어 모듈이 개발되었습니다. 작업의 효율성을 확인하기 위해 테스트 케이스를 수행했습니다.

5.2 테스트 결과

테스트 케이스의 올바른 실행을 확인하기 위해 MATHCAD 패키지에 내장된 cspline 함수가 사용되며, 이 함수는 기준점에서 3차 다항식에 접근할 때 2차 도함수 벡터를 반환합니다.

5.3 테스트 사례 1

그림 1.1 - 프로그램 결과

테스트 사례 2

그림 1.2 - 프로그램 결과

테스트 사례 3

그림 1.3 - 프로그램 결과

결론

스플라인 보간 함수 전산

계산 수학에서 함수의 보간은 필수적인 역할을 합니다. 특정 수의 포인트에서 주어진 함수의 값과 일치하는 다른 함수(일반적으로 더 간단한 함수)의 구성. 또한 보간법은 실용적이고 이론적으로 중요합니다. 실제로, 예를 들어 일부 실험 과정에서 얻은 것과 같은 표 값에서 연속 함수를 복원하는 문제가 자주 발생합니다. 많은 함수를 계산하려면 다항식이나 분수 유리 함수로 근사하는 것이 효율적입니다. 보간 이론은 미분 및 적분 방정식을 푸는 방법을 얻기 위해 수치 적분을 위한 구적 공식의 구성 및 연구에 사용됩니다. 다항식 보간법의 주요 단점은 가장 편리하고 일반적으로 사용되는 그리드 중 하나인 등거리 노드가 있는 그리드에서 불안정하다는 것입니다. 문제가 허용하는 경우 Chebyshev 노드가 있는 그리드를 선택하여 이 문제를 해결할 수 있습니다. 그러나 보간 노드를 자유롭게 선택할 수 없거나 노드 선택에 대해 너무 요구하지 않는 알고리즘이 필요한 경우 합리적 보간이 다항식 보간에 적합한 대안이 될 수 있습니다.

스플라인 보간법의 장점은 계산 알고리즘의 처리 속도가 빠르다는 점입니다. 스플라인은 조각별 다항식 함수이고 보간 중에 고려되는 조각에 속하는 소수의 측정 지점에 대해 데이터가 동시에 처리되기 때문입니다. 이 순간. 보간된 표면은 서로 다른 스케일의 공간적 변동성을 설명하고 동시에 매끄럽습니다. 후자의 경우 분석 절차를 사용하여 표면의 기하학 및 토폴로지를 직접 분석할 수 있습니다.

서지

1. B.V. Sobol, B.Ch. Meskhi, I.M. Peshkhoev. 계산 수학에 대한 워크샵. - 로스토프나도누: 피닉스, 2008;

2. NS Bakhvalov, N.P. Zhidkov, G.M. Kobelkov. 수치적 방법. 출판사 "기본 지식의 실험실". 2003년

3. www.wikipedia.ru/spline

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실제 문제에서 발생하는 곡선과 표면은 종종 다소 복잡한 모양을 가지므로 기본 기능의 도움으로 전체적으로 보편적인 분석 사양을 허용하지 않습니다. 따라서 그것들은 상대적으로 단순한 매끄러운 조각들 - 세그먼트(곡선) 또는 컷(표면)으로 조립되며, 각각은 하나 또는 두 개의 변수의 기본 기능을 사용하여 상당히 만족스럽게 설명될 수 있습니다. 이 경우 부분적인 곡선이나 표면을 구성하는 데 사용되는 평활 함수는 예를 들어 동일한 차수의 다항식과 같이 유사한 특성을 가져야 합니다. 결과 곡선이나 표면이 충분히 매끄럽게 되려면 해당 조각의 교차점에서 특히 주의해야 합니다. 다항식의 정도는 간단한 기하학적 고려 사항에서 선택되며 일반적으로 작습니다. 전체 복합곡선을 따라 접선의 부드러운 변화를 위해서는 3차 다항식인 3차 다항식을 사용하여 접합곡선을 기술하는 것으로 충분합니다. 이러한 다항식의 계수는 해당 합성 곡선의 곡률이 연속적이도록 항상 선택할 수 있습니다. 1차원 문제를 해결하는 데 발생하는 3차원 스플라인은 복합 표면의 조각 모양에 적용할 수 있습니다. 그리고 여기서 아주 자연스럽게 두 변수 각각에서 3차 다항식으로 설명되는 쌍삼차 스플라인이 나타납니다. 이러한 스플라인으로 작업하려면 훨씬 더 많은 계산이 필요합니다. 그러나 적절하게 구성된 프로세스를 통해 지속적으로 성장하는 컴퓨터 기술의 기능을 최대한 고려할 수 있습니다. 스플라인 기능 세그먼트에 보자 , 즉 비고. 숫자 a^의 인덱스(t)는 그것을 나타냅니다. 함수 S(x)가 각 부분 세그먼트 D에서 결정되는 계수 집합은 그 자체입니다. 각 세그먼트 D1에서 스플라인 5(x)는 차수 p의 다항식이며 이 세그먼트에서 p + 1 계수에 의해 결정됩니다. 총 부분 세그먼트 - 그런 다음. 따라서 스플라인을 완전히 결정하기 위해서는 (p + 1) 다음 숫자를 찾아야 합니다. 조건)은 모든 내부 그리드 노드 w에서 함수 S(x)와 그 미분의 연속성을 의미합니다. 이러한 노드의 수는 m - 1입니다. 따라서 모든 다항식의 계수를 찾으려면 p(m - 1) 조건(방정식)을 구합니다. 스플라인의 완전한 정의에는 충분하지 않습니다 (조건 (방정식). 추가 조건의 선택은 고려중인 문제의 특성에 따라 결정되며 때로는 단순히 사용자의 요구에 따라 결정됩니다. 스플라인 이론 솔루션의 예 평면의 주어진 점 배열에서 하나 또는 다른 스플라인을 작성해야 할 때 보간 및 평활화 문제가 가장 자주 고려됩니다. 보간 문제에서 스플라인 그래프는 계수에 m + 1 추가 조건(방정식)을 부과하는 점을 통과해야 합니다. 스플라인의 고유한 구성을 위한 나머지 p-1 조건(방정식)은 고려 중인 세그먼트의 끝에서 스플라인의 하위 도함수 값의 형태로 가장 자주 설정됩니다. [a, 6] - 경계(경계) 조건. 다양한 경계 조건을 선택할 수 있는 기능을 통해 다양한 속성을 가진 스플라인을 만들 수 있습니다. 평활화 문제에서 스플라인은 그래프가 점(i "" Y "), * = 0, 1, ..., m 근처를 통과하지만 통과하지 않도록 구성됩니다. 이 근접도의 척도는 다양한 방식으로 정의될 수 있으며, 이는 상당히 다양한 평활화 스플라인으로 이어집니다. 스플라인 함수를 구성할 때 선택할 수 있는 설명된 옵션은 그 다양성을 소진하는 것과는 거리가 멉니다. 그리고 처음에 조각별 다항식 스플라인 함수만 고려했다면 응용 범위가 확장됨에 따라 스플라인이 나타나기 시작했고 다른 기본 함수에서도 "접착"되었습니다. Interpolation cubic splines 보간 문제에 대한 설명 간격 [a, 6)에서 그리드 w를 지정하자. 일련의 숫자 문제를 고려하십시오. 간격(a, 6]에서 매끄럽고 그리드 노드 o에서 주어진 값을 취하는 함수를 구성합니다. 공식화된 보간 문제는 표(그림 2)에 주어진 매끄러운 함수를 복원하는 것으로 구성됩니다. 이러한 문제에는 다양한 솔루션이 있음이 분명합니다. 구성되는 함수에 추가 조건을 부과하면 필요한 고유성을 달성할 수 있습니다. 세그먼트 [a, 6]의 지점에서 주어진 함수 f(x)의 값은 상당한 어려움과 관련이 있으며 /또는 주어진 함수 f(x)에 필요한 평활도가 없으면 주어진 함수에 충분히 근접하고 단점이 없는 다른 함수를 사용하는 것이 편리합니다. 보간 3차 스플라인의 정의 메쉬 w에 대한 보간 3차 스플라인 S(x)는 1) 각 세그먼트에서 3차 다항식이고, 2) 세그먼트 [a, b]에서 두 번 연속 미분 가능, 즉 클래스 C2[a, 6]에 속하고 3) 조건을 만족하는 함수입니다. 4개의 계수로 분할합니다. 세그먼트의 총 수는 m입니다. 이것은 스플라인을 완전히 결정하기 위해서는 4m 개의 수를 찾아야 함을 의미합니다. 조건은 모든 내부 그리드 노드 w에서 함수 S (x)와 그 파생물 S "(x) 및 5"(x)의 연속성을 의미합니다. 이러한 노드의 수는 m - 1입니다. 따라서 모든 다항식의 계수를 찾으려면 3(m - 1) 더 많은 조건(방정식)을 구합니다. 조건 (2)와 함께 조건(방정식)을 구합니다. 경계(경계) 조건 구간 [a, 6]의 끝에서 스플라인 및/또는 해당 도함수의 값에 대한 제한으로 두 개의 누락 조건이 지정됩니다. 보간 3차 스플라인을 구성할 때 다음 네 가지 유형의 경계 조건이 가장 많이 사용됩니다. A. 첫 번째 유형의 경계 조건. - 간격 [a, b]의 끝에서 원하는 함수의 1차 도함수 값이 제공됩니다. B. 두 번째 유형의 경계 조건. - 간격(a, 6)의 끝에서 원하는 함수의 2차 도함수 값이 설정됩니다. B. 세 번째 유형의 경계 조건. 주기적이라고 합니다. 보간된 함수가 주기 T = b-a인 주기적인 경우 이러한 조건을 충족해야 하는 것은 당연합니다. D. 네 번째 유형의 경계 조건. 특별한 코멘트가 필요합니다. 코멘트. 내부 패혈증 노드에서 함수 S(x)의 3차 도함수는 일반적으로 불연속입니다. 그러나 3차 미분의 불연속점 수는 4차 유형의 조건을 사용하여 줄일 수 있습니다. 이 경우 구성된 스플라인은 구간에서 연속적으로 세 번 미분 가능합니다.보간 3차 스플라인의 구성결정해야 할 양이 동일한 3차 스플라인의 계수를 계산하는 방법을 설명하겠습니다. 각 간격에서 보간 스플라인 함수는 다음 형식으로 구합니다. 첫 번째와 두 번째 유형의 경계 조건에 대해 이 시스템은 경계 조건의 선택에 따라 계수가 달라지는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 제1종 경계조건: 제2종 경계조건: 제3종 경계조건의 경우 수를 결정하는 체계는 다음과 같이 쓴다. 네 번째 유형의 경계 조건에 대해 숫자를 결정하는 시스템의 형식은 다음과 같습니다. 세 선형 대수 시스템의 행렬은 모두 대각선 우세 행렬입니다. 이러한 행렬은 퇴화되지 않으므로 각 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 정리. 조건 (2)와 나열된 네 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 만족하는 보간 3차 스플라인이 존재하고 고유합니다. 따라서 보간 3차 스플라인을 구성한다는 것은 그 계수를 구하는 것을 의미하며, 스플라인의 계수를 구하면 [a, b] 부분의 임의의 지점에서 스플라인 S(x)의 값을 식(3)을 통해 구할 수 있다. 그러나 실제 계산을 위해서는 수량 S(x)를 찾는 다음 알고리즘이 더 적합합니다. Let x 6 [x”, 먼저 공식을 사용하여 값 A와 B를 계산한 다음 값 5(x)를 찾습니다. 이 알고리즘을 사용하면 값을 결정하는 계산 비용이 크게 줄어듭니다. A. 경계(경계) 조건의 선택. 경계 조건의 선택은 함수 보간에서 핵심적인 문제 중 하나입니다. 세그먼트 [a, 6]의 끝 근처에서 스플라인 5(g)에 의한 함수 f(x)의 근사치의 높은 정확도를 보장해야 하는 경우에 특히 중요합니다. 경계 값은 점 a와 b 근처의 스플라인 5(g)의 거동에 눈에 띄는 영향을 미치며, 이 효과는 이들로부터 멀어짐에 따라 급격히 약해집니다. 경계 조건의 선택은 종종 존재 여부에 따라 결정됩니다. 추가 정보 근사되는 함수 f(x)의 동작에 대해. 세그먼트 (a, 6)의 끝에서 1차 도함수 f"(x)의 값을 알면 1차 유형의 경계 조건을 사용하는 것이 자연스럽습니다. 세그먼트 [a, 6]의 끝에서 2차 도함수 f"(x)의 값을 알면 2차 유형의 경계 조건을 사용하는 것이 당연합니다. 1유형과 2유형의 경계조건 중 선택이 가능하다면 1유형의 조건을 우선적으로 선택해야 한다. f(x)가 주기 함수라면 세 번째 유형의 경계 조건에서 멈춰야 합니다. 근사되는 함수의 동작에 대한 추가 정보가 없으면 소위 자연 경계 조건이 종종 사용됩니다. 그러나 이러한 경계 * 조건 선택으로 세그먼트 (a, ft] 끝 근처의 스플라인 S (x)에 의해 함수 f (x)를 근사하는 정확도가 급격히 감소한다는 점을 명심해야합니다. 때때로 1 차 또는 2 차 유형의 경계 조건이 사용되지만 해당 도함수의 정확한 값이 아니라 서로 다른 근사치로 . 이 접근법의 정확도는 높지 않습니다. 계산의 실제 경험에 따르면 고려중인 상황에서 4 유형의 경계 조건 선택이 가장 적합합니다. B. 보간 노드 선택. 함수의 3 차 미분 f ""(x)가 세그먼트 [a, b]의 일부 지점에서 불연속이면 근사 품질을 향상시키기 위해 이러한 점을 보간 노드 수에 포함해야합니다. 2 차 미분 / "(x)가 불연속이면 순서대로 불연속점 근처에서 스플라인 진동을 방지하려면 특별한 주의를 기울여야 합니다. 일반적으로 보간 노드는 2차 미분의 불연속점이 간격 \xif) 내에 속하도록 선택됩니다. a 값은 수치 실험으로 선택할 수 있습니다(종종 a = 0.01로 설정하면 충분함). 첫 번째 도함수 f "(x)가 불연속일 때 발생하는 어려움을 극복하기 위한 일련의 레시피가 있습니다. 가장 간단한 것 중 하나로 다음을 제안할 수 있습니다. 근사 세그먼트를 도함수가 연속적인 간격으로 나누고 각 간격에서 스플라인을 구성합니다. 보간 함수 선택(플러스 및 마이너스) 접근법 1. 라그랑주 보간 다항식 주어진 배열에 대해 SPLINE 이론 솔루션의 예(그림 3) 보간 라그랑주 보간 라그랑주 보간 다항식의 특성은 단점과 별도로 주요 장점을 논의하는 두 개의 반대 위치에서 고려되어야 합니다. 첫 번째 접근법의 주요 장점: 1) 라그랑주 보간 다항식의 그래프가 배열의 각 지점을 통과합니다. 임의 차수의 연속 도함수, 4) 배열이 주어지면 보간 다항식이 고유하게 결정됩니다. 첫 번째 접근법의 주요 단점: 1) 라그랑주 보간 다항식의 차수는 그리드 노드의 수에 따라 다르며, 이 수가 클수록 보간 다항식의 차수가 높아져 더 많은 계산이 필요합니다. 4) 무제한 메쉬 세분화로 라그랑주 보간 다항식의 정도가 무한정 증가합니다. 무제한 메시 세분화에서 라그랑주 보간 다항식의 동작은 일반적으로 특별한 주의가 필요합니다. 설명 A. 다항식에 의한 연속 함수의 근사. 구간에 대한 임의의 연속(그리고 훨씬 더 매끄러운) 함수는 다항식에 의해 이 구간에서 원하는 대로 근사화될 수 있다는 것이 알려져 있습니다(Weierstrass, 1885). 이 사실을 공식의 언어로 설명하겠습니다. f(x)를 세그먼트 [a, 6]에서 연속적인 함수라고 합니다. 그런 다음 임의의 e > 0에 대해 다항식 Рn(x)가 있으므로 간격 [a, 6]의 임의 x에 대해 부등식이 유지됩니다(그림 4) 지정된 정확도로 함수 f(x)를 근사하는 1도의 다항식이 무한히 많이 있음에 유의하십시오. 세그먼트 [a, 6]에서 그리드 w를 구성합니다. 일반적으로 노드가 다항식 그래프의 교차점과 일치하지 않는다는 것이 분명합니다. Pn(x) 및 함수 f(x) (그림 5). 따라서 취해진 그리드에 대해 다항식 Pn(x)는 보간 다항식이 아닙니다. 연속 함수가 Jla-grajj 보간 다항식에 의해 근사될 때, 그 그래프는 구간 [a, b)의 모든 지점에서 함수 f(x)의 그래프에 근접할 필요가 없을 뿐만 아니라 원하는 만큼 이 함수에서 벗어날 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다. 예 1(Rung, 1901). 간격 [-1, 1]에서 함수의 노드 수가 무제한으로 증가하면 한계 평등이 충족됩니다(그림 6) 예 2(Berichtein, 1912). 연속 함수 /(x) = |x|에 대해 균일한 그리드 nm에 구성된 일련의 라그랑주 보간 다항식 노드 수가 증가하는 세그먼트에서 m은 함수 f(x)가 되는 경향이 없습니다(그림 7). 2차 접근. 조각별 선형 보간 보간 함수의 평활도를 포기하면 장단점의 비율이 전자의 방향으로 눈에 띄게 변할 수 있다. 점(xit y)을 직선 세그먼트로 연속적으로 연결하여 조각별 선형 함수를 구성해 보겠습니다(그림 8). 두 번째 접근법의 주요 장점은 1) 조각별 선형 함수의 그래프가 배열의 각 지점을 통과함, 2) 구성된 함수가 쉽게 설명됨(그리드(1)에 대해 결정되는 해당 선형 함수의 계수의 수는 2m임), 3) 구성된 함수는 주어진 배열에 의해 고유하게 결정됨, 4) 보간 함수를 설명하는 데 사용되는 다항식의 정도는 그리드 노드(1과 같음)의 수에 의존하지 않음, 5) 하나를 변경함 배열의 점은 4개의 숫자(새 점에서 나오는 두 개의 직선 링크의 coe 계수)의 계산이 필요합니다. 6) 배열에 추가 점을 추가하려면 4개의 계수 계산이 필요합니다. 조각별 선형 함수는 그리드를 세분화할 때 꽤 잘 작동합니다. i 두 번째 접근법의 주요 단점은 근사 조각별 선형 함수가 매끄럽지 않다는 것입니다. 첫 번째 도함수는 그리드 노드(보간 귀)에서 불연속성을 겪습니다. 3번째 접근. 스플라인 보간 제안된 접근 방식을 결합하여 두 접근 방식의 나열된 장점 수를 유지하면서 단점 수를 줄일 수 있습니다. 이것은 정도 p의 부드러운 보간 스플라인 함수를 구성하여 수행할 수 있습니다. 세 번째 접근법의 주요 장점: 1) 구성된 함수의 그래프가 배열의 각 지점을 통과함, 2) 구성된 함수가 상대적으로 설명하기 쉬움(그리드에 대해 결정될 해당 다항식의 계수의 수가 3과 같음) 구성된 함수가 주어진 배열에 의해 고유하게 결정됨, 4) 다항식의 차수가 그리드 노드의 수에 의존하지 않으므로 증가에 따라 변경되지 않음, 5) 구성된 함수가 차수까지 연속 도함수를 가짐 p - 1 포함, 6) 구성된 함수는 좋은 근사 속성을 가집니다. 간략한 참조. 제안된 이름인 스플라인은 우연이 아닙니다. 우리가 도입한 매끄러운 조각별 다항식 함수와 드로잉 스플라인은 밀접하게 관련되어 있습니다. (x, y) 평면에 위치한 배열의 기준점을 통과하는 유연하고 이상적으로 얇은 눈금자를 고려하십시오. Bernoulli-Euler 법칙에 따르면 곡선 눈금자의 선형 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 눈금자를 설명하는 함수 S(x)는 배열(지지점)의 각 지점과 인접한 두 지점 사이의 3차 다항식이며 전체 구간(a, 6)에서 두 번 연속 미분 가능합니다. 코멘트. 06 Interpolation of a continuous function 라그랑주 보간 다항식과 달리 균일한 그리드에 연속된 보간 3차 스플라인은 항상 보간된 연속 함수로 수렴하며, 이 함수의 미분 특성이 개선됨에 따라 수렴률이 높아집니다. 예. 함수의 경우, 절점이 m=6인 그리드에 3차 스플라인을 주면 보간 다항식 Ls(z)와 같은 차수의 근사 오차가 나오며, 절점이 m=21인 그리드에서는 이 오차가 너무 작아서 일반 서적 그림의 축척으로 나타낼 수 없습니다(그림 10)(이 경우 보간 다항식 1>2o(z)는 약 10,000W의 오차를 나타냅니다). 보간된 큐빅 스플라인의 속성 A. 큐빅 스플라인의 근사 속성. 보간 스플라인의 근사 특성은 함수 f(x)의 평활도에 따라 달라집니다. 보간 함수의 평활도가 높을수록 근사 차수가 높아지고 메시가 세분화될 때 수렴 속도가 높아집니다. 보간 함수 f(x)가 구간에서 연속이면 보간 함수 f(x)가 구간 [a, 6]에서 연속적인 1차 도함수, 즉 1유형 또는 3유형의 경계 조건을 만족하는 보간 스플라인을 가지면 h О에 대해 다음과 같이 됩니다. 스플라인 S(x)가 세그먼트 [a, b]에서 함수 f(x)에 근사하고 1차 및 2차 도함수는 각각 함수 B에 근사하는 경우 3차 스플라인의 극한 속성. 보간 큐빅 스플라인에는 하나 더 있습니다. 유용한 재산 . 다음 예를 고려하십시오. 예. 그래프가 배열의 점을 통과하는 공간 C2에서 함수 클래스에 대한 범함수를 최소화하는 함수 /(x)를 구성합니다. 참조 지점(x;, /(x,))을 통과하고 지정된 공간에 속하는 모든 함수 중 함수에 극한(최소)을 제공하는 경계 조건을 만족하는 3차 스플라인 5(x)입니다. 비고 2. 보간 3차 스플라인이 매우 광범위한 함수 클래스, 즉 클래스 |0, 5]에 대해 위에서 설명한 극한 속성을 갖는다는 점은 흥미롭습니다. 1.2. 스무딩 3차 스플라인 스무딩 문제 공식에 그리드와 일련의 숫자가 주어집니다. 사실 이것은 각각에 대해 간격이 지정되어 있고 이 간격의 모든 숫자를 y, 의 값으로 취할 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 임의의 오류를 포함하는 변수 x의 주어진 값에 대한 일부 함수 y(x)의 측정 결과로 y의 값을 해석하는 것이 편리합니다. 이러한 "실험적" 값에서 함수를 복원하는 문제를 해결할 때 보간을 사용하는 것은 거의 권장되지 않습니다. 보간 함수는 배열(y,)의 임의 구성 요소로 인해 발생하는 기괴한 진동을 순종적으로 재현하기 때문입니다. 보다 자연스러운 접근 방식은 측정 결과의 임의성 요소를 줄이기 위해 설계된 평활화 절차를 기반으로 합니다. 일반적으로 이러한 문제에서는 x = x, * = 0, 1, .... m에 대한 값이 해당 간격에 속하고 충분히 좋은 속성을 갖는 함수를 찾아야 합니다. 예를 들어 연속적인 1차 및 2차 도함수를 가지거나 그래프가 너무 심하게 구부러지지 않을 것입니다. 즉, 강한 진동이 없을 것입니다. 이러한 종류의 문제는 주어진 (정확한) 배열에 따라 지정되지 않은 지점을 통과하지만 그 근처에 있고 더욱이 매우 부드럽게 변경되는 함수를 구성해야 하는 경우에도 발생합니다. 즉, 원하는 함수는 주어진 배열을 그대로 평활화하고 보간하지 않았습니다. 그리드 w와 두 세트의 숫자가 주어진다고 하자 스플라인 이론 솔루션의 예 문제. 그리드의 노드에서 값이 주어진 값만큼 숫자 y와 다른 세그먼트 [a, A]에 평활 함수를 구성합니다. 공식화된 스무딩 문제는 다음과 같습니다.회복 부드러운 기능은 표에 나와 있습니다. 이러한 문제에는 다양한 솔루션이 있음이 분명합니다. 구성된 함수에 추가 조건을 부과하여 필요한 고유성을 얻을 수 있습니다. 스무딩 3차 스플라인의 정의 그리드 w의 스무딩 3차 스플라인 S(x)는 1) 각 세그먼트에서 3차 다항식이고, 2) 세그먼트 [a, 6]에서 두 번 연속 미분 가능, 즉 클래스 C2 [a, b]에 속하고, 3) 주어진 숫자가 있는 함수에 최소값을 전달하고, 4) 아래 표시된 세 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 만족하는 함수입니다. 경계(boundary) 조건 경계 조건은 메쉬 w의 경계 노드에서 스플라인 및 그 파생물의 값에 대한 제한으로 지정됩니다. A. 첫 번째 유형의 경계 조건. - 간격 [a, b)의 끝에서 원하는 함수의 1차 도함수 값이 제공됩니다. 두 번째 유형의 경계 조건. - 구간(a, b]의 끝에서 원하는 함수의 2차 도함수는 0입니다. B. 3번째 유형의 경계 조건을 주기적이라고 합니다. 정리. 범함수(4)를 최소화하고 표시된 세 가지 유형 중 하나의 경계 조건을 만족하는 3차 스플라인 S(x)를 고유하게 정의합니다. 정의. 함수 J(f)를 최소화하고 i-유형의 경계 조건을 만족하는 3차 스플라인을 호출합니다. i-type의 평활화 스플라인 . 비고. 각 세그먼트(, 스플라인 5(x)는 순간 3차이고 이 세그먼트에서 4개의 계수에 의해 결정됩니다. 총 세그먼트 수는 m입니다. 따라서 스플라인을 완전히 결정하기 위해서는 4m개의 숫자를 찾아야 합니다. 조건은 함수 5(ar)와 그 도함수가 그리드 o의 모든 내부 노드에서 연속임을 의미합니다. ) 조건(방정식) 평활 3차 스플라인의 구성을 설명하겠습니다. 결정해야 할 양이 2m + 2 인 3 차 스플라인의 계수를 계산하는 방법. 각 구간에서 평활화 스플라인 함수는 다음 형식으로 구합니다. 먼저 양 n*을 찾는 방법을 설명하겠습니다. 첫 번째 및 두 번째 유형의 경계 조건에 대해 Hi 값을 결정하기 위한 선형 방정식 시스템은 알려진 숫자가 있는 다음 형식으로 작성됩니다. 계수는 경계 조건의 선택에 따라 달라집니다. 제 1 유형의 경계 조건: 제 2 유형의 경계 조건: 제 3 유형의 경계 조건의 경우 숫자를 결정하는 시스템은 다음과 같이 작성됩니다. 또한 모든 계수는 공식 (5)로 계산됩니다(지수 k 및 m + k가 있는 값은 동일한 것으로 간주됩니다. 중요* 참고. 시스템의 매트릭스는 퇴화되지 않으므로 이러한 각 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 숫자 n, -가 발견되면 수량은 공식에 의해 쉽게 결정됩니다. 모든 것과 스무딩 스플라인이 보간 스플라인으로 판명되는 경우. 이것은 특히 값이 더 정확하게 주어질수록 해당 가중 계수의 프리스케일 값이 작아진다는 것을 의미합니다. 반면에 스플라인이 점 (x^, yk)를 통과해야 하는 경우 이에 해당하는 가중치 계수 p\는 0으로 설정되어야 합니다. 실제 계산에서 가장 중요한 것은 pi-Let D 값의 선택입니다. - 값 y의 측정 오류입니다. 그런 다음 평활화 스플라인이 조건을 충족하도록 요구하는 것이 자연스럽습니다. 가장 간단한 경우에 가중치 계수 pi는 예를 들어 다음과 같은 형식으로 제공될 수 있습니다. 여기서 c는 충분히 작은 상수입니다. 그러나 이러한 가중치 p의 선택은 y, - 값의 오류로 인해 "복도"를 사용할 수 없습니다. p, -의 ​​값을 결정하기 위한 보다 합리적이지만 시간 소모적인 알고리즘은 다음과 같이 보일 수 있습니다. 값이 fc-th 반복에서 발견되면 e가 작은 숫자라고 가정하며 컴퓨터의 비트 그리드, D 값 및 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 정확도를 고려하여 실험적으로 선택됩니다. 포인트 i에서 fc번째 반복에서 조건 (6)이 위반되면 마지막 공식은 해당 가중치 계수 p의 감소를 보장합니다. 그렇다면 다음 반복에서 p가 증가하면 "코리더"(6)가 더 완전하게 사용되며 궁극적으로 스플라인이 더 부드럽게 변경됩니다. 약간의 이론 A. 보간 큐빅 스플라인의 계수를 계산하기 위한 공식의 입증. 여기서 m은 미지의 양이라는 표기법을 소개합니다. 그들의 수는 m + 1과 같습니다. 스플라인은 보간 조건을 만족하고 전체 구간 [a, b \\: 공식에 넣으면 각각 얻습니다. 또한 구간 [a, 6]에서 연속적인 1차 도함수를 가집니다. 관계식 (7)을 미분하고 그에 따라 설정합니다. 실제로. 스플라인 함수(7)가 간격 [a, 6]에서 연속적인 2차 도함수를 갖도록 숫자 m이 선택될 수 있음을 보여줍시다. 간격에서 스플라인의 2차 도함수를 계산합니다. 점 x에서 - 0(t = 1)에서 간격에서 스플라인의 2차 도함수를 계산합니다. 내부 그리드 노드에서 2차 도함수의 연속성 조건 a; 우리는 m - 1 관계를 얻습니다. 경계 조건에서 발생하는 이러한 m - 1 방정식에 두 개 더 추가하면 m + I unknown miy i = 0, 1인 m + 1 선형 대수 방정식의 시스템을 얻습니다. ... , 중. 제1종 및 제2종 경계조건의 경우 gw의 값을 계산하는 연립방정식은 (제1종 경계조건), (제2종 경계조건)의 형태를 갖는다. 주기적 경계 조건(세 번째 유형의 경계 조건)의 경우 그리드 o; 노드를 하나 더 늘리고 가정합니다. 그런 다음 r * 값을 결정하는 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 숫자 r을 결정하기위한 방정식 시스템을 얻기 위해 네 번째 유형의 경계 조건의 경우 세그먼트에서 스플라인 (7)의 3 차 도함수를 찾습니다. 그리드의 두 번째 및 (th-!) 노드에서 연속성이 필요합니다. 우리는 마지막 두 관계에서 네 번째 유형의 경계 조건에 해당하는 누락된 두 개의 방정식을 얻습니다. 방정식에서 미지의 r0을 제거하고 방정식에서 미지의 pc를 제거하여 결과적으로 방정식 시스템을 얻습니다. 이 시스템에서 미지의 수는 -I와 같습니다. Zi와 nj가 아직 미지수인 표기법을 소개합니다. 그들의 수는 2m + 2. 형태로 쓰여진 스플라인 함수는 전체 구간(a, 6]에서 연속적이다: 이 식을 대입하면 각각 얻는다. t = 1에서 우리는 구간에서 스플라인의 1차 도함수 5(x)를 계산한다: 지점에서 우리는 그리드의 내부 노드에서 스플라인의 1차 도함수의 연속성 조건으로부터 --> m - 1 관계를 얻는다. 이 관계를 행렬 형식으로 작성하는 것이 편리하다. 기능의 (4). 마지막 두 행렬 등식은 2m + 2개의 미지수에서 2m + 2개의 선형 대수 방정식의 선형 시스템으로 간주될 수 있습니다. 첫 번째 평등의 열 r을 관계식 (9)에서 얻은 식으로 바꾸면 행렬 방정식 SPLINE THEORY 열 M을 결정하기 위한 해의 예에 도달합니다. 이 방정식은 행렬 A + 6HRH7이 항상 비축퇴적이라는 사실로 인해 고유한 해를 갖습니다. 그를 찾으면 Eamshine 씨를 쉽게 식별할 수 있습니다. 삼각형 마골 행렬 A 및 H의 요소는 그리드 매개변수 u(단계 hi 포함)에 의해서만 n을 결정하고 값 yj에 의존하지 않습니다. 3차 스플라인 함수의 선형 공간 그리드 wcra + l 노드를 따라 세그먼트 [a, 6)에 구축된 cubic spline의 집합은 차원 m + 3의 선형 공간입니다. 이 노드에서 y 값의 + 1 값과 두 개의 경계 조건 - 총 m + 3 매개 변수. 이 공간에서 m + 3개의 선형 독립 스플라인으로 구성된 기저를 선택하면 고유한 방식으로 이들의 선형 조합으로 임의의 3차 스플라인 a(x)를 작성할 수 있습니다. 논평. 이러한 스플라인 사양은 계산 실습에서 널리 사용됩니다. 소위 입방체 B-스플라인(기본 또는 기본 스플라인)으로 구성된 기초가 특히 편리합니다. D-스플라인을 사용하면 컴퓨터 메모리 요구 사항을 크게 줄일 수 있습니다. L-스플라인. 그리드 w를 따라 수직선에 구축된 0도의 B-스플라인은 피치 함수입니다. 그리드 u를 따라 수직선에 구축된 차수 k^I의 B-스플라인은 재귀 공식에 의해 결정됩니다. 첫 번째 B, -1"(g) 및 두 번째 in \ 7\x)도의 B-스플라인 그래프는 각각 그림 11 및 12에 표시됩니다. 임의의 차수 k의 B-스플라인은 특정 세그먼트(k + 스플라인 B, -3 * (n)이 세그먼트 ir, - + 2]에서 0과 다르도록 3차 B-스플라인에 번호를 매기는 것이 더 편리합니다. 균일한 그리드의 경우(단계 A)에 대해 3도의 3차 스플라인에 대한 공식을 제공합니다. 다른 경우도 있습니다. 확장된 메시 w*를 기반으로 m + 3개의 큐빅 B-스플라인 패밀리를 구성할 수 있습니다. 이 패밀리는 세그먼트 (a, b)의 큐빅 스플라인 공간에서 기초를 형성합니다. 따라서 그리드 o의 세그먼트 |s, 6]에 구성된 임의의 3차 스플라인 S(z); +1 노드에서 이 세그먼트에 선형 조합으로 나타낼 수 있습니다. 이 확장의 계수 ft는 문제의 조건에 따라 고유하게 결정됩니다. ... 그리드 노드의 함수 값과 그리드 끝의 함수의 1차 도함수 값이 "(제1종 경계 조건의 보간 문제)인 경우 이러한 계수는 다음 형식의 시스템에서 계산됩니다. 값 b-i및 &m+i, 우리는 미지수 5q, ... , bm 및 3-diajunal 행렬을 갖는 선형 시스템을 얻습니다. 이 조건은 대각선 우위를 보장하므로 이를 해결하기 위해 스윕 방법을 적용할 가능성이 있습니다. 3MMCHMYU 1. 다른 보간 문제를 고려할 때도 유사한 형태의 선형 시스템이 발생합니다. Zmmchm* 2. 섹션 1.1에 설명된 알고리즘과 비교하여 * 보간 문제에서 R-스플라인을 사용하면 *가 저장된 정보의 양을 줄일 수 있습니다. 즉, 작업 수가 증가하지만 컴퓨터 메모리 요구 사항을 크게 줄일 수 있습니다. 스플라인 함수를 사용한 스플라인 곡선 구성 위에서 배열을 고려했으며, 배열의 점은 가로 좌표가 엄격하게 증가하는 순서를 형성하도록 번호가 매겨졌습니다. 예를 들어, 그림 1에 묘사된 경우입니다. 14, 배열의 서로 다른 지점이 동일한 가로 좌표를 갖는 경우 허용되지 않았습니다. 이 상황은 근사 곡선 클래스(함수의 트래픽)의 선택과 이를 구성하는 방법을 모두 결정했습니다. 그러나 위에서 제안한 방법은 일반적으로 배열 점의 번호 지정과 평면에서의 위치가 관련되지 않은 보다 일반적인 경우 보간 곡선을 성공적으로 구성할 수 있습니다(그림 15). 또한, 보간 곡선을 구성하는 문제를 제기할 때 주어진 배열이 비평면적이라고 생각할 수 있습니다. 즉, 이 일반적인 문제를 해결하기 위해 허용 가능한 곡선의 클래스를 크게 확장할 필요가 있음이 분명합니다. 파라 메트릭 방정식을 사용하여 이러한 곡선을 설명하는 것이 편리합니다. 또한 함수가 충분한 평활도를 가지도록 예를 들어 클래스 C1 [a, /0] 또는 클래스에 속합니다. 배열의 모든 점을 연속적으로 통과하는 곡선의 파라메트릭 방정식을 찾으려면 다음과 같이 진행하십시오. 1단계. 임의의 간격으로)