함수의 파생물을 찾는 과정을 호출합니다. 분화.도함수는 수학적 분석 과정에서 여러 문제에서 찾아야 합니다. 예를 들어 함수 그래프의 극한점과 변곡점을 찾을 때.

찾는 방법?

함수의 도함수를 찾으려면 기본 함수의 도함수 표를 알고 미분의 기본 규칙을 적용해야 합니다.

1. 도함수 부호에서 상수 빼기: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. 함수의 합/차의 도함수: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. 두 함수의 파생물: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. 미분 분수 : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. 복합 함수 도함수 : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

솔루션 예시

예 1

함수 $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $의 도함수 구하기

해결책

함수의 합/차의 도함수는 도함수의 합/차와 같습니다: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ 거듭제곱 함수 미분 규칙 $(x^p)" = px^(p-1) $를 사용하여 다음을 얻습니다. $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ 상수의 도함수가 0과 같다는 점도 고려되었습니다. 문제를 해결할 수 없으면 저희에게 보내주십시오. 상세한 솔루션을 제공하겠습니다. 계산 진행 상황을 파악하고 정보를 수집할 수 있습니다. 이것은 적시에 선생님으로부터 학점을 받는 데 도움이 될 것입니다!

답변

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

파생 상품이란 무엇입니까?
함수 도함수의 정의와 의미

한 변수의 함수 파생과 그 응용에 대한 필자의 과정에서 이 기사의 예상치 못한 위치에 많은 사람들이 놀랄 것입니다. 결국 학교에서와 마찬가지로 표준 교과서는 우선 파생물의 정의, 기하학적, 기계적 의미를 제공합니다. 다음으로, 학생들은 정의에 의해 함수의 도함수를 찾고, 실제로 그래야만 다음을 사용하여 미분 기법이 완성됩니다. 파생 테이블.

그러나 내 관점에서 볼 때 다음 접근 방식이 더 실용적입니다. 우선 잘 이해하는 것이 좋습니다. 기능 제한, 특히 무한소. 사실은 미분의 정의는 극한의 개념에 기초합니다.에서 제대로 고려되지 않은 학교 과정. 그렇기 때문에 화강암 지식의 젊은 소비자 중 상당 부분이 파생 상품의 본질에 제대로 침투하지 못합니다. 따라서 미적분학에 소질이 없거나 현명한 두뇌라면 오랜 세월이 수하물을 성공적으로 처리하려면 다음부터 시작하십시오. 기능 한계. 동시에 마스터 / 그들의 결정을 기억하십시오.

동일한 실용적인 의미는 먼저 수익성이 있음을 시사합니다. 미분을 찾는 법을 배우십시오, 포함 복소 함수의 도함수. 이론은 이론이지만 그들이 말했듯이 당신은 항상 차별화를 원합니다. 이와 관련하여 나열된 기본 수업을 수행하는 것이 더 좋으며 아마도 차별화 마스터그들의 행동의 본질조차 깨닫지 못한 채.

기사를 읽은 후 이 페이지의 자료를 시작하는 것이 좋습니다. 미분의 가장 간단한 문제, 여기서 특히 함수 그래프에 대한 탄젠트 문제가 고려됩니다. 그러나 지연될 수 있습니다. 사실 파생 상품의 많은 응용 프로그램은 그것을 이해할 필요가 없으며 이론적 교훈이 상당히 늦게 나타난 것은 놀라운 일이 아닙니다. 설명해야 할 때 증가/감소 구간 및 극한값 찾기기능. 더욱이 그는 꽤 오랫동안 주제에 있었다 " 함수와 그래프”, 더 일찍 넣기로 결정할 때까지.

따라서 친애하는 찻 주전자 여러분, 배고픈 동물처럼 파생물의 본질을 흡수하기 위해 서두르지 마십시오. 채도가 맛이없고 불완전하기 때문입니다.

함수의 증가, 감소, 최대, 최소의 개념

많은 학습 가이드몇 가지 실용적인 문제의 도움으로 도함수 개념으로 이어지고 흥미로운 예도 생각해 냈습니다. 다양한 방법으로 도달할 수 있는 도시로 여행해야 한다고 상상해 보십시오. 구부러진 굴곡 경로를 즉시 버리고 직선만 고려합니다. 그러나 직선 방향도 다릅니다. 평평한 아우토반을 따라 도시로 갈 수 있습니다. 또는 언덕이 많은 고속도로에서 위아래, 위아래로. 또 다른 길은 오르막길만 있고, 또 다른 길은 항상 내리막길입니다. 스릴을 찾는 사람들은 가파른 절벽과 가파른 오르막이 있는 협곡을 통과하는 경로를 선택할 것입니다.

그러나 귀하의 선호도가 무엇이든 해당 지역을 알고 있거나 최소한 위치를 찾는 것이 좋습니다. 지형도. 그런 정보가 없다면? 결국 예를 들어 평평한 길을 선택할 수 있지만 결과적으로 재미있는 핀란드 인과 함께 스키 슬로프를 우연히 발견합니다. 네비게이터와 위성 이미지가 신뢰할 수 있는 데이터를 제공한다는 사실은 아닙니다. 따라서 수학을 통해 경로의 구호를 공식화하는 것이 좋을 것입니다.

일부 도로 고려(측면 보기):

만일을 대비하여 기본적인 사실을 상기시켜 드리겠습니다. 왼쪽에서 오른쪽으로. 단순화를 위해 함수가 다음과 같다고 가정합니다. 마디 없는고려중인 지역에서.

이 차트의 특징은 무엇입니까?

간격으로 기능 증가즉, 각각의 다음 값 더이전 것. 대략적으로 말하면 일정이 진행됩니다. 아래로(우리는 언덕을 올라갑니다). 그리고 간격에 기능 감소하다- 각 다음 값 더 적은이전 일정과 일정이 진행됩니다. 위에서 아래로(슬로프를 내려갑니다).

우리는 또한 주목 특별 포인트. 도착한 지점에서 최고, 그건 존재한다값이 가장 큰(가장 높은) 경로 섹션. 같은 지점에서 최저한의, 그리고 존재한다값이 가장 작은(최저) 이웃입니다.

수업에서 더 엄격한 용어와 정의를 다룰 것입니다. 함수의 극한값에 대해, 하지만 지금은 한 가지 더 중요한 기능인 간격에 대해 살펴보겠습니다. 기능이 증가하고 있지만 증가하고 있습니다. 와 함께 다른 속도 . 그리고 가장 먼저 눈에 띄는 것은 차트가 구간에서 위로 치솟는다는 것입니다. 훨씬 더 멋진간격보다. 수학적 도구를 사용하여 도로의 경사도를 측정할 수 있습니까?

기능 변화율

아이디어는 이것입니다: 어떤 가치를 취하십시오 ("델타 x" 읽기), 우리가 부를 것입니다 인수 증분, 경로의 다양한 지점에서 "시도"를 시작하겠습니다.

1) 가장 왼쪽 지점을 보자: 거리를 우회하여 경사를 높이(녹색 선)까지 올라갑니다. 값은 기능 증분, 이 경우 이 증분은 양수입니다(축을 따라 값의 차이가 0보다 큼). 우리 도로의 가파른 정도를 측정할 비율을 만들어 봅시다. 분명히 는 매우 특정한 숫자이며 두 증분 모두 양수이므로 .

주목! 명칭은 하나기호, 즉 "x"에서 "델타"를 "찢을" 수 없으며 이러한 문자를 별도로 고려할 수 없습니다. 물론 주석은 함수의 증분 기호에도 적용됩니다.

더 의미 있는 결과 분수의 특성을 살펴보겠습니다. 처음에 높이가 20미터(왼쪽 검은색 점)에 있다고 가정합니다. 미터 거리(왼쪽 빨간색 선)를 극복하면 높이 60m에 도달하게 됩니다. 그러면 함수의 증분은 미터(녹색 선) 및: . 따라서, 모든 미터에서도로의 이 구간 키가 커진다 평균 4미터…클라이밍 장비를 잊으셨나요? =) 즉, 구성된 비율은 함수의 AVERAGE RATE OF CHANGE(이 경우 성장)를 특징짓습니다.

메모 : 수치고려 중인 예의 비율은 대략적으로만 도면의 비율과 일치합니다.

2) 이제 가장 오른쪽 검은 점에서 같은 거리를 가봅시다. 여기에서는 상승이 더 완만하므로 증분(진홍색 선)이 상대적으로 작고 이전 사례에 비해 비율이 상당히 완만할 것입니다. 상대적으로 말하면 미터와 기능 성장 속도이다 . 즉, 도로의 모든 미터마다 여기에 있습니다. 평균반 미터 위로.

3) 산비탈에서의 작은 모험. y축에 위치한 상단 검은색 점을 살펴보겠습니다. 이것이 50미터의 표시라고 가정해 봅시다. 다시 우리는 거리를 극복하고 그 결과 30m 수준에서 더 낮아집니다. 움직임이 생긴 이후로 위에서 아래로(축의 "반대" 방향으로), 최종 함수(높이)의 증분은 음수가 됩니다.: 미터(도면의 갈색 선). 이 경우에 대해 이야기하고 있습니다. 감쇠율특징: , 즉, 이 섹션 경로의 각 미터마다 높이가 감소합니다. 평균 2미터씩. 다섯 번째 항목에서 옷을 관리하십시오.

이제 질문을 해보자: "측정 표준"을 사용하는 데 가장 좋은 값은 무엇입니까? 10미터는 매우 거친 것이 분명합니다. 수십 개의 범프가 쉽게 들어갈 수 있습니다. 범프가있는 이유는 아래에 깊은 협곡이있을 수 있으며 몇 미터 후에 더 가파른 오르막이있는 반대편입니다. 따라서 10 미터의 경우 비율을 통과하는 경로 섹션의 이해 가능한 특성을 얻지 못할 것입니다.

이상의 논의로부터 다음과 같은 결론을 얻는다. 어떻게 적은 가치 , 더 정확하게 도로의 구호를 설명합니다. 또한 다음 사실이 사실입니다.

– 어떠한 것도리프팅 포인트 하나 또는 다른 상승의 경계 내에 맞는 값(매우 작지만)을 선택할 수 있습니다. 그리고 이것은 해당 높이 증가가 양수임을 보장하고 부등식이 이러한 간격의 각 지점에서 함수의 성장을 올바르게 나타냄을 의미합니다.

- 비슷하게, 어떠한 것도기울기 점에는 이 기울기에 완전히 맞는 값이 있습니다. 따라서 해당 높이의 증가는 분명히 음수이며 부등식은 주어진 간격의 각 지점에서 함수의 감소를 올바르게 표시합니다.

– 특히 흥미로운 것은 함수의 변화율이 0인 경우입니다. 첫째, 0 높이 증분()은 평탄한 경로의 표시입니다. 둘째, 그림에서 볼 수 있는 다른 흥미로운 상황이 있습니다. 운명이 우리를 독수리가 날아오르는 언덕 꼭대기나 개구리가 우는 계곡 바닥으로 데려갔다고 상상해 보십시오. 어떤 방향으로든 작은 발걸음을 떼면 높이의 변화는 무시할 수 있으며 함수의 변화율은 실제로 0이라고 말할 수 있습니다. 지점에서 동일한 패턴이 관찰됩니다.

따라서 우리는 함수의 변화율을 완벽하게 정확하게 특성화할 수 있는 놀라운 기회에 접근했습니다. 결국 수학적 분석을 통해 인수의 증가를 0으로 지정할 수 있습니다. 극소.

결과적으로 또 다른 논리적 질문이 발생합니다. 도로와 일정을 찾을 수 있습니까? 다른 기능, 어느 우리에게 말할 것이다모든 평지, 오르막, 내리막, 봉우리, 저지대와 경로의 각 지점에서의 증가/감소율에 대해?

파생 상품이란 무엇입니까? 파생 상품의 정의.
도함수와 미분의 기하학적 의미

너무 빨리 읽지 말고 신중하게 읽으십시오. 자료는 간단하고 모든 사람이 사용할 수 있습니다! 어떤 곳에서 무언가 명확하지 않은 것 같더라도 괜찮습니다. 나중에 언제든지 기사로 돌아갈 수 있습니다. 더 말할 것입니다. 모든 요점을 질적으로 이해하기 위해 이론을 여러 번 공부하는 것이 유용합니다 (조언은 특히 고등 수학이 교육 과정에서 중요한 역할을하는 "기술"학생과 관련이 있습니다).

당연히 한 지점에서 미분의 정의에서 다음과 같이 대체합니다.

우리는 무엇에 왔습니까? 그리고 우리는 법에 따른 기능을 위해 정렬됨 다른 기능, 호출 미분 함수(또는 간단히 유도체).

파생 상품의 특징 변화율기능 . 어떻게? 생각은 기사의 맨 처음부터 붉은 실처럼 간다. 몇 가지 점을 고려 도메인기능 . 함수가 주어진 점에서 미분가능하다고 하자. 그 다음에:

1) 이면 함수는 점에서 증가합니다. 그리고 분명히 있습니다. 간격(매우 작더라도) 함수가 성장하는 지점을 포함하고 그 그래프는 "아래에서 위로" 이동합니다.

2) 이면 함수는 지점에서 감소합니다. 그리고 함수가 감소하는 지점을 포함하는 간격이 있습니다(그래프는 "위에서 아래로" 이동).

3) 그렇다면 무한히 가까운지점 근처에서 함수는 속도를 일정하게 유지합니다. 이는 언급한 바와 같이 함수 상수 및 기능의 중요한 지점에서, 특히 최소 및 최대 지점에서.

일부 의미론. "차별화하다"라는 동사는 넓은 의미에서 무엇을 의미합니까? 구별한다는 것은 특징을 골라내는 것을 의미합니다. 미분 함수 , 우리는 함수의 미분 형태로 변경 속도를 "선택"합니다. 그런데 "파생"이라는 단어는 무엇을 의미합니까? 기능 일어난기능에서.

이 용어는 파생물의 기계적 의미를 매우 성공적으로 해석합니다. :
시간에 따라 달라지는 신체 좌표의 변화 법칙과 이동 속도의 함수를 살펴보겠습니다. 주어진 몸. 함수는 신체 좌표의 변화율을 특성화하므로 시간에 대한 함수의 1차 도함수입니다. "신체 운동"이라는 개념이 자연에 존재하지 않았다면 존재하지 않았을 것입니다. 유도체"속도"의 개념.

물체의 가속도는 속도의 변화율이므로 다음과 같습니다. . "신체 이동"과 "신체 이동 속도"라는 원래 개념이 자연에 존재하지 않았다면 유도체몸의 가속도 개념.

문제 B9에는 다음 수량 중 하나를 결정하는 데 필요한 함수 또는 도함수의 그래프가 제공됩니다.

1. 어떤 점 x 0에서의 미분 값,
2. 고점 또는 저점(극단점),
3. 함수의 증가 및 감소 간격(단조성 간격).

이 문제에 제시된 함수와 도함수는 항상 연속적이므로 솔루션을 크게 단순화합니다. 작업이 수학적 분석 섹션에 속한다는 사실에도 불구하고 여기에는 깊은 이론적 지식이 필요하지 않기 때문에 가장 약한 학생도 할 수 있습니다.

도함수의 값, 극한점 및 단조 간격을 찾기 위해 간단하고 보편적인 알고리즘이 있습니다. 모두 아래에서 설명합니다.

어리석은 실수를하지 않도록 문제 B9의 조건을주의 깊게 읽으십시오. 때때로 상당히 방대한 텍스트가 나오지만 중요한 조건, 솔루션 과정에 영향을 미치는 것은 거의 없습니다.

파생 상품의 가치 계산. 2점 방식

어떤 점 x 0 에서 이 그래프에 접하는 함수 f(x)의 그래프가 문제에 주어지고 이 점에서 도함수 값을 찾아야 하는 경우 다음 알고리즘이 적용됩니다.

1. 탄젠트 그래프에서 두 개의 "적절한" 지점을 찾으십시오. 해당 좌표는 정수여야 합니다. 이 점들을 A(x 1 ; y 1) 및 B(x 2 ; y 2)로 나타내자. 좌표를 올바르게 기록하십시오. 이것이 솔루션의 핵심이며 여기에서 실수하면 잘못된 답으로 이어집니다.
2. 좌표를 알면 인수 Δx = x 2 − x 1 의 증분과 함수 Δy = y 2 − y 1 의 증분을 쉽게 계산할 수 있습니다.
3. 마지막으로 미분 값 D = Δy/Δx를 찾습니다. 즉, 함수 증분을 인수 증분으로 나누어야 합니다. 이것이 답이 될 것입니다.

다시 한 번, 점 A와 B는 종종 그렇듯이 함수 f(x)의 그래프가 아니라 접선에서 정확하게 찾아야 합니다. 접선에는 이러한 점이 적어도 두 개 이상 포함되어야 합니다. 그렇지 않으면 문제가 잘못 공식화됩니다.

점 A(−3; 2) 및 B(−1; 6)를 고려하고 증분을 찾으십시오.
Δx \u003d x 2-x 1 \u003d -1-(-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2-y 1 \u003d 6-2 \u003d 4.

도함수의 값을 찾아봅시다: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

일. 이 그림은 함수 y \u003d f (x)의 그래프와 가로 좌표 x 0이 있는 지점에서의 접선을 보여줍니다. 점 x 0 에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

점 A(0; 3) 및 B(3; 0)를 고려하고 증분을 찾으십시오.
Δx \u003d x 2-x 1 \u003d 3-0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

이제 미분 값을 찾습니다. D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

일. 이 그림은 함수 y \u003d f (x)의 그래프와 가로 좌표 x 0이 있는 지점에서의 접선을 보여줍니다. 점 x 0 에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

점 A(0; 2) 및 B(5; 2)를 고려하고 증분을 찾으십시오.
Δx \u003d x 2-x 1 \u003d 5-0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

도함수의 값을 찾아야 합니다: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

마지막 예에서 우리는 규칙을 공식화할 수 있습니다. 접선이 OX 축과 평행한 경우 접선 지점에서 함수의 도함수는 0입니다. 이 경우 아무것도 계산할 필요가 없습니다. 그래프를 보기만 하면 됩니다.

고점 및 저점 계산

때로는 문제 B9에서 함수의 그래프 대신 미분 그래프가 주어지며 함수의 최대점 또는 최소점을 찾는 것이 필요합니다. 이 시나리오에서 2점 방법은 쓸모가 없지만 더 간단한 또 ​​다른 알고리즘이 있습니다. 먼저 용어를 정의해 보겠습니다.

1. 점 x 0은 함수 f(x)의 최대 점이라고 합니다. f(x 0) ≥ f(x).
2. 점 x 0은 함수 f(x)의 최소 점이라고 합니다. f(x 0) ≤ f(x)와 같은 부등식이 이 점 근처에서 유지되는 경우입니다.

도함수 그래프에서 최대점과 최소점을 찾으려면 다음 단계를 수행하면 됩니다.

1. 불필요한 정보를 모두 제거하고 미분 그래프를 다시 그립니다. 실습에서 알 수 있듯이 추가 데이터는 결정을 방해할 뿐입니다. 따라서 좌표축에서 미분의 0을 표시합니다. 그게 다입니다.
2. 0 사이의 간격에서 도함수의 부호를 찾으십시오. 어떤 점 x 0에 대해 f'(x 0) ≠ 0인 것으로 알려진 경우 f'(x 0) ≥ 0 또는 f'(x 0) ≤ 0의 두 가지 옵션만 가능합니다. 도함수의 부호는 다음과 같습니다. 원래 그림에서 쉽게 결정할 수 있습니다. 미분 그래프가 OX 축 위에 있으면 f'(x) ≥ 0입니다. 반대로 미분 그래프가 OX 축 아래에 있으면 f'(x) ≤ 0입니다.
3. 미분의 0과 부호를 다시 확인합니다. 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌는 곳에 최소점이 있습니다. 반대로 미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 바뀌면 이것이 최대점입니다. 계산은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 이루어집니다.

이 체계는 연속 함수에만 적용됩니다. 문제 B9에는 다른 체계가 없습니다.

일. 그림은 구간 [-5; 5]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최소점을 찾습니다.

불필요한 정보를 제거합시다 - 테두리 [−5; 5] 및 미분의 영점 x = −3 및 x = 2.5. 또한 다음 징후에 유의하십시오.

분명히 점 x = −3에서 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 변경됩니다. 이것이 최소 포인트입니다.

일. 그림은 세그먼트 [-3; 7]. 이 세그먼트에서 함수 f(x)의 최대 지점을 찾습니다.

경계 [−3; 7] 및 미분의 영점 x = −1.7 및 x = 5. 결과 그래프에서 미분의 부호에 유의하십시오. 우리는:

분명히 점 x = 5에서 미분 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다. 이것이 최대 점입니다.

일. 그림은 세그먼트 [-6; 4]. 구간 [−4; 삼].

문제의 조건에서 세그먼트 [-4; 삼]. 따라서 경계 [−4; 3] 및 그 안에 있는 미분의 0입니다. 즉, 점 x = −3.5 및 x = 2입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이 그래프에는 x = 2의 최대 지점이 하나만 있습니다. 미분의 부호가 플러스에서 마이너스로 변경됩니다.

정수가 아닌 좌표를 가진 점에 대한 작은 참고 사항입니다. 예를 들어, 마지막 문제에서 점 x = −3.5가 고려되었지만 동일한 성공으로 x = −3.4를 취할 수 있습니다. 문제가 올바르게 공식화되면 "고정된 거주지가없는"포인트는 문제 해결에 직접 관여하지 않기 때문에 이러한 변경 사항은 답변에 영향을 미치지 않아야합니다. 물론 정수 포인트에서는 이러한 트릭이 작동하지 않습니다.

함수의 증가 및 감소 간격 찾기

이러한 문제에서 최대점과 최소점과 같이 함수 자체가 증가하거나 감소하는 영역을 도함수의 그래프에서 찾는 것이 제안됩니다. 먼저 오름차순과 내림차순이 무엇인지 정의해 보겠습니다.

1. 함수 에프(엑스) 이 세그먼트에서 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 세그먼트에서 증가라고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ 에프(엑스 1) ≤ 에프(엑스 2). 즉, 인수의 값이 클수록 함수의 값도 커집니다.
2. 함수 에프(엑스) 이 세그먼트에서 두 점 x 1 및 x 2에 대해 다음 진술이 참인 경우 세그먼트에서 감소라고 합니다. x 1 ≤ x 2 ⇒ 에프(엑스 1) ≥ 에프(엑스 2). 저것들. 더 큰 가치인수는 함수의 더 작은 값에 해당합니다.

우리는 증가 및 감소를 위한 충분한 조건을 공식화합니다.

1. 연속 함수 f(x)가 세그먼트에서 증가하려면 세그먼트 내부의 도함수가 양수이면 충분합니다. f'(x) ≥ 0.
2. 연속 함수 f(x)가 세그먼트에서 감소하려면 세그먼트 내부의 도함수가 음수이면 충분합니다. f'(x) ≤ 0.

우리는 증거 없이 이러한 주장을 받아들입니다. 따라서 극한점을 계산하는 알고리즘과 여러면에서 유사한 증가 및 감소 간격을 찾는 체계를 얻습니다.

1. 모든 중복 정보를 제거합니다. 미분의 원래 그래프에서 우리는 주로 함수의 영점에 관심이 있으므로 영점만 남깁니다.
2. 0 사이의 간격으로 미분의 부호를 표시하십시오. f'(x) ≥ 0이면 함수가 증가하고 f'(x) ≤ 0이면 감소합니다. 문제에 변수 x에 대한 제한이 있는 경우 추가로 새 차트에 표시합니다.
3. 이제 함수의 동작과 제약 조건을 알았으므로 이제 문제에서 필요한 값을 계산해야 합니다.

일. 그림은 구간 [-3; 7.5]. 감소하는 함수 f(x)의 구간을 찾습니다. 답에 이 간격에 포함된 정수의 합을 쓰십시오.

평소와 같이 그래프를 다시 그리고 경계 [−3; 7.5], 미분 x = −1.5 및 x = 5.3의 0도 포함됩니다. 그런 다음 미분의 부호를 표시합니다. 우리는:

도함수는 구간(− 1.5)에서 음수이므로 감소 함수의 구간입니다. 이 간격 안에 있는 모든 정수를 합산해야 합니다.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

일. 그림은 세그먼트 [-10; 4]. 증가 함수 f(x)의 구간을 찾습니다. 답에 가장 큰 것의 길이를 쓰십시오.

중복 정보를 제거합시다. 경계 [−10; 4] 그리고 미분의 0은 이번에는 4로 판명되었습니다: x = −8, x = −6, x = −3 및 x = 2. 미분의 부호를 기록하고 다음 그림을 얻습니다.

우리는 증가하는 기능의 간격에 관심이 있습니다. 여기서 f'(x) ≥ 0. 그래프에는 (−8; −6) 및 (−3; 2)의 두 가지 간격이 있습니다. 길이를 계산해 봅시다.
내가 1 = − 6 − (−8) = 2;
엘 2 = 2 - (-3) = 5.

가장 큰 간격의 길이를 찾아야 하므로 응답으로 값 l 2 = 5를 씁니다.

미분의 기하학적 의미

곡선에 대한 탄젠트 결정 곡선에 접함 y=f(x)그 시점에 중점을 통해 그려진 할선의 제한 위치라고합니다. 중그리고 그 인접점 남 1곡선, 포인트 제공 남 1곡선을 따라 한 점에 무한정 접근 중. 미분의 기하학적 의미 함수 미분 y=f(x)그 시점에 엑스 0은 수치적으로 축에 대한 경사각의 접선과 같습니다. 오원곡선에 그려진 접선 y=f(x)그 시점에 남 (x 0; ƒ (x 0)).

도틱에서 곡선으로 비뚤어진 Dotichnaya y=f(x)요점에 중점을 통해 그려진 sichno의 경계 위치라고합니다. 중그리고 그것으로 점을 판단 남 1삐뚤어, 정신 차려, 요점이 뭐야 남 1곡선이 점에 가까워지고 있습니다. 중. 지오메트릭 ZMIST 굿 기타 기능 y=f(x)요점에 x 0축에 대한 kuta nahil의 탄젠트를 수치적으로 증가시킵니다. 오 dotichny, 곡선으로 수행 y=f(x)요점에 남 (x 0; ƒ (x 0)).

파생 상품의 실질적인 의미

어떤 함수의 도함수로 우리가 찾은 값이 실질적으로 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다.

가장 먼저, 유도체- 주어진 점에서 함수의 변화율을 특징짓는 미분학의 기본 개념입니다.

"변화율"이란 무엇입니까? 기능을 상상해보십시오 에프(엑스) = 5. 인수(x)의 값에 관계없이 해당 값은 어떤 식으로든 변경되지 않습니다. 즉, 변화율은 0입니다.

이제 기능을 고려하십시오 에프(엑스) = 엑스. x의 미분은 1과 같습니다. 실제로 인수 (x)가 1씩 변경될 때마다 함수 값도 1씩 증가한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

받은 정보의 관점에서 이제 간단한 함수의 미분 표를 살펴 보겠습니다. 이로부터 진행하면 함수의 도함수를 찾는 물리적 의미가 즉시 명확해집니다. 이러한 이해는 실제 문제의 해결을 용이하게 해야 합니다.

따라서 미분이 함수의 변화율을 나타내면 이중 미분은 가속도를 나타냅니다.

2080.1947

기억하기가 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며, 이를 위해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

무엇과 같습니까? 물론, .

자연 로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾으십시오.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수와 자연 로그는 도함수 측면에서 고유하게 단순한 함수입니다. 지수함수와 대수함수는 다른 밑수를 가지므로 미분법칙을 거친 후에 나중에 분석할 다른 도함수를 갖게 됩니다.

차별화 규칙

어떤 규칙? 또 새로운 용어, 또?!...

분화도함수를 찾는 과정입니다.

오직 모든 것. 이 과정을 다른 말로 하면? proizvodnovanie가 아니라... 수학의 미분을 함수의 증분이라고 합니다. 이 용어는 라틴어 Differentia - 차이에서 유래합니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 유도할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 함수를 사용합니다. 증분에 대한 공식도 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

If-일부 상수 (상수), 그러면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다. .

그것을 증명합시다. 시키거나 더 쉽게.

예.

함수의 도함수 찾기:

1. 그 시점에;
2. 그 시점에;
3. 그 시점에;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 선형 함수이기 때문에 모든 지점에서 동일합니다. 기억하십니까?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새 기능을 도입하고 증분을 찾습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 미분 찾기 및;
2. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

솔루션:

지수 함수의 도함수

이제 귀하의 지식은 지수뿐만 아니라 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 무엇인지 잊으셨습니까?).

그래서 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 가져와 보겠습니다.

이를 위해 다음과 같은 간단한 규칙을 사용합니다. 그 다음에:

글쎄요. 이제 도함수를 찾으려고 노력하고 이 함수가 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.

일어난?

여기에서 자신을 확인하십시오.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만 숫자 일뿐 변수가 아닌 요인 만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수 찾기:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자, 즉 더 간단한 형식으로 쓸 수 없는 숫자일 뿐입니다. 따라서 답안에는 이 형태로 남겨둔다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 적절한 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서 두 함수의 곱은 다음과 같습니다.

대수 함수의 도함수

여기서도 비슷합니다: 여러분은 이미 자연 로그의 도함수를 알고 있습니다:

따라서 밑이 다른 로그에서 임의의 것을 찾으려면, 예를 들면 다음과 같습니다.

이 로그를 밑으로 가져와야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 이 공식을 기억하시기 바랍니다.

대신 지금 만 작성합니다.

분모는 상수(변수가 없는 상수)로 밝혀졌습니다. 미분은 매우 간단합니다.

지수 함수와 대수 함수의 도함수는 시험에서 거의 찾을 수 없지만 알고 있는 것이 불필요하지는 않습니다.

복잡한 함수의 도함수.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 대수도 아니고 아크 탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어려워 보이더라도 "로그" 항목을 읽으면 모든 것이 해결될 것입니다).

작은 컨베이어를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고 두 번째는 리본으로 묶습니다. 리본으로 싸서 묶은 초콜릿 바입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 순서로 반대 단계를 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 그들은 우리에게 숫자(초콜릿)를 주고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 당신은 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수로 첫 번째 작업을 직접 수행한 다음 첫 번째 결과로 발생한 다른 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

이 예에서는 .

우리는 동일한 작업을 역순으로 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 기능: 작업 순서가 변경되면 기능이 변경됩니다.

두 번째 예: (동일). .

우리가 수행하는 마지막 작업은 "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름이며 간단한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).

어떤 기능이 외부이고 어떤 기능이 내부인지 스스로 결정하십시오.

답변:내부 함수와 외부 함수의 분리는 변수 변경과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 먼저 어떤 조치를 취할까요? 먼저 사인을 계산한 다음 큐브로 올립니다. 따라서 외부 기능이 아닌 내부 기능입니다.
   그리고 원래 기능은 그들의 구성입니다: .
2. 내부: ; 외부: .
   검사: .
3. 내부: ; 외부: .
   검사: .
4. 내부: ; 외부: .
   검사: .
5. 내부: ; 외부: .
   검사: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿을 추출하겠습니다. 파생 상품을 찾으십시오. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예의 경우 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화하겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단한 것 같죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금까지 줄이려고 하지 마세요! 코사인 아래에서 아무 것도 꺼내지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

여기에 3단계 복합 기능이 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 이미 그 자체로 복합 기능이고 우리는 여전히 그것에서 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 래퍼에 넣습니다). 서류 가방에 리본 포함). 그러나 두려워할 이유는 없습니다. 어쨌든 이 기능을 평소와 같은 순서로 "언패킹"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별한 다음 괄호 안의 표현만 구별합니다. 그런 다음 모두 곱합니다.

이러한 경우 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다.

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능이 더 "외부적"이 됩니다. 작업 순서 - 이전과 동일:

여기서 중첩은 일반적으로 4단계입니다. 행동 방침을 결정합시다.

1. 급진적 표현. .

2. 뿌리. .

3. 부비동. .

4. 광장. .

5. 종합:

유도체. 메인에 대해 간단히

함수 미분- 인수의 극미한 증분으로 함수 증분 대 인수 증분의 비율:

기본 파생 상품:

차별화 규칙:

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

합계의 미분:

파생 제품:

몫의 미분:

복잡한 함수의 도함수:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째와 두 번째 점의 결과를 곱합니다.