라그랑주 보간 다항식을 찾습니다. 라그랑주 보간 공식. 표에 주어진 함수의 근사치

n은 노드 수입니다.

보간 작업은 점에서 동일한 값을 취하는 함수를 찾는 것입니다.

어떤 값도 동일하지 않다고 가정합니다. 점을 보간 노드라고 합니다. 보간 노드는 세그먼트 [ .

함수를 함수 보간이라고 합니다.

간격 [ 에서 값을 찾는 경우 이 작업을 일반적으로 보간 작업이라고 하고 이 간격을 벗어나면 외삽 작업입니다.

문제에는 많은 해결책이 있습니다. 왜냐하면 주어진 점 i=0, 1,..., n을 통해 무한히 많은 곡선을 그릴 수 있으며, 각 곡선은 모든 조건(1.2)을 만족하는 함수의 그래프가 됩니다.

근사의 목적에 따라 보간(점 근사) 또는 근사가 사용됩니다. 근사는 테이블 함수를 고려 중인 세그먼트의 함수에서 제한된 편차가 있는 함수로 대체하는 것입니다.

보간 조건:

(1.2)

여기서 는 알 수 없는 계수의 벡터입니다.

일반적으로 종은 미리 알려져 있습니다. 보간 문제를 해결하려면 계수가 필요합니다.

보간 문제를 푸는 것은 주어진 및 에 대해 찾는 것을 의미합니다.

에 일반보기시스템은 시스템을 나타냅니다 비선형 방정식큰 n에 대한 솔루션이 없는 경우가 많습니다.

보간 문제를 해결하는 첫 번째 방법은 Lagrange 방법입니다.

가장 간단하고 가장 일반적으로 사용되는 함수는 다항식입니다.

(1.3)

여기서 , , , ..., 다항식 계수,

m은 근사 다항식의 차수입니다.

보간은 테이블에 주어진 함수를 함수와 동일한 값을 취하는 함수로 대략적으로 대체하는 것으로 구성됩니다.

모든 보간 방법은 로컬 및 글로벌로 나눌 수 있습니다. 전역 보간의 경우 전체 구간 [ . 전역 보간 방법은 일반적으로 소수의 점으로 정의된 함수에 사용됩니다. 점 수가 증가하면 보간 다항식의 차수가 증가하여 결과 함수의 평활도에 부정적인 영향을 미치기 때문입니다. 테이블의 모든 노드를 한 번에 사용하는 다항식 근사(전역 보간)에는 그리드 노드 사이의 간격에 큰 극값이 나타날 가능성이 있다는 심각한 단점이 있습니다. 저것들. 보간 다항식에는 원본 데이터의 특성이 아닌 변동이 있을 수 있습니다. 또한 다항식의 차수가 증가할수록 반올림 오차가 급격히 누적된다. 이러한 바람직하지 않은 효과를 피하기 위해 실제로 로컬 보간이 사용됩니다. . 로컬 보간의 경우 각 구간에 대해 별도의 다항식이 생성됩니다. 로컬 보간의 경우 노드 수 매우 중요한이 없습니다.

일부 유형의 로컬 및 글로벌 보간을 고려해 보겠습니다.

로컬 보간:

1. 조각별 선형 보간

2. 스플라인에 의한 보간

전역 보간:

1. 라그랑주 다항식

2. 뉴턴의 다항식

전역 보간

라그랑주 다항식에 의한 보간

전역 보간을 사용하면 전체 간격에 대해 단일 다항식이 생성됩니다. 전역 보간을 위한 보간 다항식을 작성하는 형식 중 하나는 라그랑주 다항식입니다.

n차의 라그랑주 보간 다항식은 기본 라그랑주 다항식의 선형 조합입니다.

즉, 라그랑주 다항식:

(2.3)

다항식은 다음 조건을 충족합니다.

이 조건은 다항식이 이 다항식의 근인 , , , … 를 제외하고 각각에 대해 0과 같다는 것을 의미합니다. 따라서 다항식의 차수는 n과 같으며 에서 i=j인 항을 제외하고 합계의 모든 항은 와 같습니다.

점에서 값 1을 취하고 다른 보간 노드에서 0을 취합니다. 따라서 점에서 원래 다항식은 다음 값을 취합니다.

(2.4)

식 (2.1)은 균등한 간격의 노드와 균등하지 않은 간격의 노드 모두에 적용할 수 있습니다.

라그랑주 다항식은 보간 노드에서 함수의 값을 명시적으로 포함하므로 함수의 값은 변경되지만 보간 노드는 변경되지 않을 때 유용합니다. 라그랑주 다항식을 구성하는 데 필요한 산술 연산의 수는 비례하며 모든 형식의 표기법에서 가장 작습니다. 이 형식의 표기법의 단점은 노드 수가 변경되면 전체 계산을 다시 수행해야 한다는 사실입니다.

2.2. 뉴턴 다항식

임의의 단계로 함수 g(x)가 주어지고 값 테이블의 포인트에 임의의 순서로 번호가 매겨집니다.

뉴턴의 다항식은 나눗셈의 개념에 크게 의존합니다.

0차로 나눈 차이는 노드에서 함수의 값과 일치합니다. 1차 분할 차분은 0차 분할 차분으로 정의됩니다.

k차 나눗셈 차이는 차수 나눗셈으로 정의됩니다.

보간 정확도를 높이기 위해 합계에 새 멤버를 추가할 수 있으며, 여기에는 추가 노드 연결이 필요합니다. 동시에 뉴턴의 공식은 새로운 노드가 어떤 순서로 연결되어도 상관없지만, 라그랑주 다항식의 경우 새로운 노드가 추가되면 모든 계산을 다시 해야 합니다.

테이블에 노드를 하나 더 추가하여 다항식의 차수를 1 증가시켜야 한다고 가정해 봅시다. 계산하려면 하나의 항만 더하면 충분합니다.

로컬 보간

3.1. 조각별 선형 보간.

가장 많이 사용되는 간단한 로컬 보간 유형 중 하나는 조각별 선형 보간으로, 모든 두 점과 테이블 함수가 직선 세그먼트로 연결됩니다(즉, 1차 다항식이 그려짐).

	(3.3)
	(3.4)

조각별 선형 보간은 가장 단순하므로 보간 노드 간의 값을 계산하는 데 자주 사용됩니다. 추가 과학 및 공학 계산에 사용되는 보간 관계를 구성하기 위해 일반적으로 더 복잡한 보간 방법이 사용됩니다.

3.2. 스플라인 보간

때때로 보간 기능뿐만 아니라 필요한 수의 도함수의 연속성을 보장해야 하는 경우가 있는데 이를 위해 스플라인 보간법을 사용합니다.

스플라인은 정의 영역이 유한한 수의 세그먼트로 분할되는 함수이며, 각 세그먼트에서 스플라인은 대수 다항식과 일치합니다. 사용된 다항식의 최대 차수를 스플라인 차수라고 합니다.

기존의 보간 방법에 비해 스플라인 보간의 장점은 계산 프로세스의 수렴과 안정성에 있습니다. 실제로, 3차 스플라인이 가장 자주 사용됩니다. 적어도 연속적인 1차 도함수가 있는 3차 스플라인입니다. 이 때 그 값을 점(노드)에서 스플라인의 기울기라고 합니다.

세그먼트를 N개의 동일한 세그먼트 [ , ]로 나눕니다. 여기서 , i=0,1,…,N-1입니다.

노드 , 가 3차 스플라인이 취하는 값으로 설정되면 부분 세그먼트 [ , ]에서 다음 형식을 취합니다.

(3.3)

실제로 이것을 계산하고 점에서 확인하는 것은 쉽습니다.

3차 다항식이 점에서 값을 취하고 이 점에서 각각 도함수가 있으면 다항식(3.3)과 일치함을 증명할 수 있습니다.

따라서 세그먼트에 3차 스플라인을 설정하려면 노드에서 N+1에 ​, i=0,1…,N 값을 설정해야 합니다.

보간 오류

보간할 때 함수는 항상 메서드 자체의 오류와 반올림 오류로 구성된 오류를 수신합니다.

보간 다항식으로 함수를 근사하는 동안 오류가 발생했습니다. n번째 학위점에서 x는 차이에 의해 결정됩니다.

여기서, 는 어떤 지점에서 함수 차수의 도함수(n+1)이며, 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

그런 다음 보간 오류에 대한 추정치가 따릅니다.

(4.4)

점 x에서 오류의 특정 값은 분명히 이 점에서 함수의 값에 따라 다릅니다. 종속성의 질적 특성은 그림 2에 나와 있습니다.

그림에서 볼 수 있듯이 보간 오차가 클수록 점 x가 세그먼트의 끝 부분에 가까울수록 더 커집니다. 보간 세그먼트 외부(즉,

외삽할 때)가 급격히 증가하므로 오류가 크게 증가합니다.

그림 2

설명된 오류 동작으로 인해 경우에 따라 전역 보간이 완전히 불만족스러운 결과를 줄 수 있습니다.

5. 라그랑지 및 뉴턴 다항식에 의한 함수 보간 예

특정 지점에서 원하는 값을 취하는 다항식을 찾으려면 Mathcad 패키지를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 초기 데이터를 만족하는 라그랑주 다항식을 찾는 문제를 고려하십시오.

Mathcad 패키지에서 Lagrange 다항식을 작성해 보겠습니다.

초기 데이터:

계산 실습에서 유한한 값 집합에 대한 값 테이블로 정의된 함수를 처리해야 하는 경우가 종종 있습니다. 엑스 : .

문제를 해결하는 과정에서 값을 사용하는 것이 필요합니다.
인수의 중간 값. 이 경우 함수 Ф(x)가 만들어지며, 이는 주어진 지점에서 계산하기에 충분히 간단합니다. 엑스 0 , x 1 ,...,엑스 N , 보간 노드라고 하며 값을 취하고 정의 영역에 속하는 세그먼트(x 0 ,x n)의 다른 지점에서
, 대략적으로 기능을 나타냅니다.
어느 정도의 정확도로.

이 경우 문제를 해결할 때 함수 대신
Ф(x) 기능으로 작동합니다. 이러한 함수 Ф(x)를 구성하는 작업을 보간 문제라고 합니다. 대부분의 경우 보간 함수 Ф(x)는 대수 다항식의 형태로 발견됩니다.

1. 보간 다항식

모든 기능에 대해
[ 에이, ㄴ] 및 모든 노드 집합 엑스 0 , x 1 ,...,엑스 N (엑스 나
[에이, ㄴ], 엑스 나 엑스 제이나를 위해 j) 차수가 n 이하인 대수 다항식 중에서 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있는 고유한 보간 다항식 Ф(x)가 있습니다.

, (3.1)

어디
는 n차 다항식으로 다음과 같은 속성을 갖습니다.

보간 다항식의 경우 다항식
다음과 같이 보입니다.

이 다항식(3.1)은 보간 문제를 해결하며 라그랑주 보간 다항식이라고 합니다.

예를 들어 다음 형식의 함수를 고려하십시오.
간격에
표 형식으로 제공됩니다.

x-2.5 지점에서 함수의 값을 결정할 필요가 있습니다. 이를 위해 Lagrange 다항식을 사용합니다. 공식(3.1 및 3.3)을 기반으로 이 다항식을 명시적으로 작성합니다.

(3.4).

그런 다음 우리 테이블의 초기 값을 공식 (3.4)에 대입하면 다음을 얻습니다.

얻은 결과는 이론에 해당합니다. .

1. 라그랑주 보간 공식

라그랑주 보간 다항식은 다른 형식으로 작성할 수 있습니다.

(3.5)

(3.5) 형식으로 다항식을 작성하는 것이 프로그래밍에 더 편리합니다.

보간 문제를 풀 때 값은 N보간 다항식의 차수라고 합니다. 이 경우 식 (3.1)과 (3.5)에서 알 수 있듯이 보간 노드의 수는 항상 다음과 같습니다. n+1그리고 의미 엑스, 값이 결정되는
, 보간 노드의 영역 내에 있어야 합니다. 저것들.

. (3.6)

일부 실제 경우에 알려진 총 보간 노드 수 중보간 다항식의 차수보다 클 수 있습니다. N.

이 경우, 공식 (3.5)에 따른 보간 절차를 구현하기 전에 조건 (3.6)이 유효한 보간 노드를 결정하는 것이 필요합니다. 값을 찾을 때 가장 작은 오류가 달성된다는 것을 기억해야 합니다. 엑스 보간 영역의 중앙에 있습니다. 이를 보장하기 위해 다음 절차를 제안합니다.

보간법의 주요 목적은 비절점(중간) 인수 값에 대해 표로 작성된 함수 값을 계산하는 것이므로 보간법을 종종 "행 사이의 표를 읽는 기술"이라고 합니다.

실험 데이터의 샘플은 주어진 시간 동안(또는 다른 변수와 관련하여) 측정된 신호를 변경하는 프로세스를 특성화하는 데이터 배열입니다. 측정된 신호의 이론적인 분석을 수행하려면 실험 데이터의 이산 세트를 연속 함수(보간 다항식)와 연결하는 근사 함수를 찾아야 합니다. N - 학위. 주어진 n차 보간 다항식을 나타내는 한 가지 방법은 라그랑주 형식의 다항식을 사용하는 것입니다.

보간 다항식 의 형태로라그랑주다항식을 작성할 수 있는 수학 함수입니다. N -경험적으로 또는 방법으로 얻은 값 집합에서 주어진 모든 점을 연결하는 정도 무작위 샘플측정의 일정하지 않은 시간 단계로 다른 시점에서.

1. 라그랑주의 보간 공식

일반적으로 보간 다항식은라그랑주 형식으로 다음과 같이 작성됩니다.

어디 ˗ 다항식 차수;

˗ 보간 함수 값의 값그 시점에 ;

˗ 다음 공식에 의해 결정되는 기본 다항식(라그랑주 승수):

예를 들어, 보간 다항식주어진 세 점을 지나는 라그랑주 형태, 다음 형식으로 작성됩니다.

라그랑주 다항식은 보간 노드에서 함수 값을 명시적으로 포함하므로 함수 값은 변경되지만 보간 노드는 변경되지 않은 상태로 유지될 때 유용합니다. 라그랑주 다항식을 구성하는 데 필요한 산술 연산의 수는 에 비례합니다.모든 형태의 표기법에서 가장 작습니다. 이 쓰기 형식의 단점은 차수가 n + 1인 다항식을 구성할 때 차수가 n인 이전 다항식에 대한 정보가 완전히 손실된다는 것입니다. 노드 수가 변경되면 전체 계산을 새로 수행해야 합니다.

2. 라그랑주 형식의 보간 다항식의 오차

기능을 고려하십시오 f(x ), 이는 고려된 세그먼트에서 연속적이고 미분 가능합니다. 보간 다항식엘 (x) 라그랑주 형태의 점은기능 설정값. 다른 점에서 보간 다항식은엘(x) 함수 값과 다름 f(x) 금액으로 잔여 멤버 , 라그랑주 보간 공식의 절대 오차를 결정합니다.

하지만 라그랑주 보간 공식의 절대 오차는 다음과 같이 결정됩니다.

여기서 n ˗ 다항식 차수

변하기 쉬운 모듈러스 값의 상한을 나타냅니다(n주어진 간격에서 함수 f(x)의 +1)차 도함수

Lagrange 방법에 의한 보간 오차는 함수의 속성에 따라 다릅니다. f(x) 및 또한 보간 노드의 위치와 점에서 엑스. 오류가 필요한 정확도에 도달하지 않으면 세그먼트를 여러 부분으로 분할하고 각 부분을 개별적으로 보간해야 합니다(조각별 보간).

보간 노드 선택

노드를 올바르게 선택하면 값을 최소화할 수 있습니다.오류 추정에서 보간 정확도를 향상시킵니다. 이 문제는 Chebyshev 다항식을 사용하여 해결할 수 있습니다.

노드로서 이 다항식의 근, 즉 점을 취해야 합니다.

3. 라그랑주 형식의 다항식 계산 기법

라그랑주 형식의 다항식을 계산하는 알고리즘을 사용하면 계수를 결정하고 다항식 값을 계산하는 작업을 분리할 수 있습니다. 다른 값논쟁:

1. 샘플 N - 함수의 값과 함수 인수의 값을 포함하는 포인트.

2. n차 다항식은 다음 공식을 사용하여 라그랑주 형식으로 계산됩니다.

다음 형식의 다항식을 계산하는 알고리즘라그랑주 그림 1에 나와 있습니다.

형식의 다항식을 계산하는 기술 라그랑주

함수가 값과 함께 노드의 일부 시퀀스에서 세그먼트에 주어졌다고 하자. 대수적 보간의 문제는 보간 조건을 만족하는 차수의 다항식을 구성하는 것입니다.

초기 점에서 주어진 값을 취하는 , 보다 높지 않은 차수의 고유한 다항식이 있는 것으로 알려져 있습니다. 다항식 계수는 방정식 시스템에서 결정할 수 있습니다.

이 시스템의 행렬식은 Vandermonde 행렬식이므로 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다.

예시.함수와 일치하는 보간 다항식 생성 점에서.

해결책.허락하다 , 그래서 우리는

그러므로 에.

라그랑주 다항식

차수 집합의 선형 조합 형태로 다항식을 찾습니다.

이 경우 1인 경우를 제외하고 모든 보간 노드에서 각 다항식이 필요합니다. 이러한 조건이 다음 형식의 다항식으로 충족되는지 확인하는 것은 쉽습니다.

.

진짜, . 표현식의 누산기는 0입니다. 유추하여 다음을 얻습니다.

,

이 공식을 원래 다항식에 대입하면 다음을 얻습니다.

이 공식을 라그랑주 보간 다항식이라고 합니다.

예시.점에서 함수와 일치하는 라그랑주 보간 다항식을 구성합니다.

.

해결책.테이블을 만들자

이 값을 Lagrange 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

함수가 차수를 포함하여 연속적으로 미분 가능한 경우 라그랑주 형식의 보간 다항식의 나머지 항은 다음 형식을 갖습니다.

여기서 는 보간 노드와 점을 포함하는 최소 세그먼트의 내부 점입니다.

유한 차분을 갖는 뉴턴 다항식

등거리 보간 노드의 경우를 고려하십시오. 즉, 단계라고 합니다.

유한 차분의 개념을 소개하겠습니다. 노드에서 함수의 값을 알려줍니다. 함수 값의 차이를 작성하십시오.

이러한 차이를 1차 차이라고 합니다.

2차 차이를 만들 수 있습니다.

k번째 차수의 차이는 유사하게 컴파일됩니다.

함수 값의 관점에서 유한 차이를 직접 표현합니다.

따라서 모든 k에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

노드의 차이 값에 대해 다음 공식을 작성해 보겠습니다.

유한 차분을 사용하여 다음을 결정할 수 있습니다.

뉴턴의 보간 다항식의 구성으로 진행합시다. 우리는 이 다항식을 다음 형식으로 찾을 것입니다.

다항식 그래프는 주어진 노드, 즉 . 다음 조건을 사용하여 다항식의 계수를 찾습니다.

여기에서 계수를 구해 봅시다.

따라서 임의의 -번째 계수에 대해 공식은 다음 형식을 취합니다.

.

이 공식을 뉴턴 다항식 표현식에 대입하면 다음 형식을 얻습니다.

결과 수식은 다른 형식으로 작성할 수 있습니다. 이를 위해 변수를 도입합니다.

이 경우

이러한 관계를 고려하여 뉴턴 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

결과 표현식은 인수 변경의 전체 세그먼트에 대해 주어진 함수를 근사할 수 있습니다. 그러나 (계산의 정확성을 높이고 결과 수식의 항 수를 줄이는 관점에서) 우리 자신을 사례로 제한하는 것, 즉 모든 사람에게이 공식을 사용하는 것이 더 편리합니다. 다른 경우에는 if at을 수락하는 대신. 이 경우 보간 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

결과 공식을 순방향 보간을 위한 Newton의 첫 번째 보간 다항식이라고 합니다. 이 보간 공식은 일반적으로 고려되는 세그먼트의 왼쪽 절반 지점에서 함수 값을 계산하는 데 사용됩니다. 이것은 다음으로 설명됩니다. 또한 함수의 값을 통해 차이가 계산됩니다. 이 때문에 x의 값이 크면 더 높은 차수를 계산할 수 없습니다.

고려중인 세그먼트의 오른쪽 절반의 경우 오른쪽에서 왼쪽으로의 차이를 계산하는 것이 좋습니다. 이 경우, 즉, Newton의 보간 다항식은 다음과 같은 형식으로 얻을 수 있습니다.

결과 공식을 두 번째 역방향 보간 다항식이라고 합니다.

예시.뉴턴 보간 다항식을 사용하여 계산 , 여기서 함수는 다음 표로 제공됩니다.

해결책.유한 차분 테이블을 컴파일합니다.

계산하기 위해 Newton의 보간 다항식을 다음과 같이 제시합니다.

예시.표가 주어집니다. 찾다 .

계산할 때 우리는

.

계산할 때 우리는

.

뉴턴 공식의 오류를 앞뒤로 추정해 보겠습니다.

근사 미분 공식은 Newton의 첫 번째 보간 공식을 기반으로 합니다. 뉴턴의 보간 다항식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이항식을 곱하면 다음을 얻습니다.

왜냐하면 , 그 다음에

유사하게, 모든 차수의 함수의 도함수를 계산할 수 있습니다.

어떤 경우에는 주 테이블 포인트에서 함수의 도함수를 찾아야 합니다. 표 값을 초기 값으로 간주할 수 있으므로 다음을 가정합니다.

1차 뉴턴 다항식의 도함수의 경우 오류는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다. ,

여기서 는 뉴턴 다항식의 유한 차분 수입니다.

예시.테이블에 주어진 함수를 찾습니다.

해결책.

오류를 계산하면 다음을 얻습니다.

.

진짜, .

따라서 결과는 네 번째 자리까지 일치합니다.

다음 형식으로 보간 다항식을 구성합니다.

차수의 다항식은 어디 있습니까 피,다음 속성을 가짐:

실제로 이 경우 각 노드에서 다항식(4.9) xj, j=0,1,…n, 함수의 해당 값과 같습니다. 요제, 즉. 보간이다.

이러한 다항식을 구성해 보겠습니다. x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n 의 경우 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

여기서 c는 상수입니다. 우리가 얻는 조건에서

다음 형식으로 작성된 보간 다항식(4.1)

라그랑주 보간 다항식이라고 합니다.

한 점에서 함수의 대략적인 값 x *, 라그랑주 다항식을 사용하여 계산된 잔차 오차(4.8)가 있습니다. 함수 값의 경우 야 나보간 노드에서 엑스 나거의 동일한 절대 오차로 주어진 다음 대신 정확한 값대략적인 값이 계산되며,

여기서 는 라그랑주 보간 다항식의 계산 절대 오차입니다. 마지막으로 근사값의 총 오차에 대한 다음 추정치가 있습니다.

특히, 1차 및 2차 라그랑주 다항식은 다음 형식을 갖습니다.

점 x *에서의 총 오차

동일한 보간 다항식(4.1)을 작성하는 다른 형식이 있습니다. 예를 들어, 아래에서 고려되는 Newton의 나눗셈 차분 보간 공식과 그 변형이 있습니다. 정확한 계산으로 값 Pn(x *), 동일한 절점에서 구성된 다른 보간 공식으로 얻은 는 일치합니다. 계산 오류가 있으면 이러한 공식으로 얻은 값의 차이가 발생합니다. 라그랑주 형식으로 다항식을 작성하면 일반적으로 더 작은 계산 오류가 발생합니다.

보간 중에 발생하는 오류를 추정하기 위한 공식의 사용은 문제 설명에 따라 다릅니다. 예를 들어, 노드의 수를 알고 있고 함수가 충분히 많은 수의 유효한 부호로 제공되면 계산 작업을 설정할 수 있습니다. f(x*)가장 높은 정확도로. 반대로 올바른 부호의 수가 적고 노드의 수가 많으면 계산 문제를 제기할 수 있습니다. f(x*)함수의 테이블 형식 값이 허용하는 정확도와 이 문제를 해결하려면 테이블의 희박화와 압축이 모두 필요할 수 있습니다.

§4.3. 분리된 차이점과 그 속성.

나눗셈의 개념은 도함수의 일반화된 개념입니다. 점에서 하자 x 0 , x 1 ,… x n 함수의 값 f(x 0), f(x 1),...,f(x n). 1차 나눗셈 차이는 평등에 의해 정의됩니다.

2 차 차의 분할 차이 - 평등,

그리고 나누어진 차이점 케이차수는 다음 재귀 공식에 의해 결정됩니다.

분할된 차이는 일반적으로 다음과 같은 테이블에 배치됩니다.

엑스 나	f(x i)	분할된 차이
1차 주문	II 주문	III 주문	IV 주문
x 0	0 0
		에프
x 1	1		에프
		에프		에프
x 2	y2		에프		에프
		에프		에프
x 3	3		에프
		에프
x 4	4

분할된 차이의 다음 속성을 고려하십시오.

1. 모든 차수의 나눗셈 차이는 값의 선형 조합입니다. f(x i), 즉. 다음 공식이 성립합니다.

차분의 차수에 대한 귀납법으로 이 공식의 타당성을 증명합시다. 첫 번째 주문의 차이에 대해

공식(4.12)이 유효합니다. 이제 모든 차수 차이에 대해 유효하다고 가정하겠습니다.

그런 다음 (4.11) 및 (4.12)에 따라 순서의 차이에 대해 k=n+1우리는

다음을 포함하는 용어 f(x0)그리고 f(xn+1), 필요한 양식이 있어야 합니다. 다음을 포함하는 용어를 고려하십시오. f(x i), i=1, 2, …,n. 첫 번째와 두 번째 합계에서 두 가지 용어가 있습니다.

저것들. 공식 (4.12)는 차수 차이에 대해 유효합니다. k=n+1, 증명이 완료되었습니다.

2. 나눗셈은 인수 x 0 , x 1 ,…x n (즉, 순열로 변경되지 않음)의 대칭 함수입니다.

이 속성은 평등(4.12)에서 직접 따릅니다.

3. 분할된 차이의 단순 연결 에프및 파생 상품 f(n)(x)다음 정리를 제공합니다.

노드 x 0 , x 1 ,…x n이 세그먼트에 속하도록 합니다. 기능 f(x)순서의 연속 도함수가 있습니다 피. 그러면 그런 점이 있다. xO, 무엇

먼저 관계의 타당성을 증명하자.

(4.12)에 따르면, 대괄호 안의 표현은

에프.

나머지 항에 대한 식 (4.7)과의 비교 (4.14)에서 Rn(x)=f(x)-Ln(x)(4.13)을 얻으면 정리가 증명됩니다.

이 정리에서 간단한 결론이 나옵니다. 다항식의 경우 피학위

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…

차수 파생 상품 피분명히 있다

관계식(4.13)은 나눈 차이에 대한 값을 제공합니다.

따라서 차수의 다항식에 대해 피분할 차수 차이 피상수 값과 같습니다 - 다항식의 가장 높은 차수의 계수. 고차 분리된 차이
(더 피)는 분명히 0과 같습니다. 그러나 이 결론은 분할된 차이에 대한 계산 오류가 없는 경우에만 유효합니다.

§4.4. 나눗셈이 있는 뉴턴의 보간 다항식

라그랑주 보간 다항식을 다음 형식으로 작성합니다.

어디 패 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, ㅏ 엘케이(x)차수의 라그랑주 보간 다항식입니다. 케이, 노드에 의해 구축 x 0 , x 1 , … , x k. 그런 다음 차수 다항식이 있습니다. 케이, 루트가 포인트인 x 0 , x 1 , … , x k -1. 따라서 인수분해가 가능하다.

여기서 Ak는 상수입니다.

(4.14)에 따라 우리는

(4.16)과 (4.17)을 비교하면 (4.15)도 다음과 같은 형식을 취한다는 것을 알 수 있습니다.

이것은 분할된 차이를 갖는 뉴턴의 보간 다항식이라고 합니다.

보간 다항식의 이러한 유형의 기록은 더 시각적이며(하나의 노드를 추가하면 한 항의 모양에 해당함) 수학적 분석의 주요 구성으로 수행되는 구성의 유추를 더 잘 추적할 수 있습니다.

뉴턴 보간 다항식의 잔차 오차는 식 (4.8)로 표현되지만 (4.13)을 고려하면 다른 형태로도 쓸 수 있다

저것들. 잔류 오차는 다항식에서 첫 번째 폐기된 항의 계수로 추정할 수 있습니다. N n (x *).

계산 오류 Nn(x*)분할된 차이의 오류에 의해 결정됩니다. 보간된 값에 가장 가까운 보간 노드 x *, 보간 다항식에 더 큰 영향을 미치며 더 멀리 누워 있습니다. 따라서 가능하면 다음을 수행하는 것이 좋습니다. x0그리고 x 1에 오다 x *보간 노드를 만들고 먼저 이 노드에 대해 선형 보간을 수행합니다. 그런 다음 점차적으로 다음 노드를 끌어 당겨서 가능한 한 대칭이 되도록 합니다. x *, 다음 모듈로 항이 그것에 포함된 나눗셈의 절대 오차보다 작을 때까지.