Linear Diophantische Gleichungen

Algebra-Forschungspapier

Schüler der 9. Klasse der städtischen Bildungseinrichtung „Upshinskaya-Sekundarschule“

Antonova Yuri

„Wenn du schwimmen lernen willst, dann

Fühlen Sie sich frei, ins Wasser zu gehen, und wenn Sie möchten

Lernen Sie, Probleme zu lösen, und lösen Sie sie dann.“

D. Poya

Leiter – Sofronova N.A. .

Aufgabe

Um einen Boden mit einer Breite von 3 Metern zu verlegen, gibt es Bretter mit einer Breite von 11 cm und 13 cm. Wie viele Bretter jeder Größe müssen Sie nehmen?

Wenn X – die Anzahl der Bretter mit einer Breite von 11 cm und bei – die Anzahl der Bretter mit einer Breite von 13 cm, dann müssen wir die Gleichung lösen:

11 X + 13 Jahre = 300

Merkmale der Gleichung 11 x + 13 y = 300: ▪ Die Quoten 11, 13, 300 sind ganze Zahlen. ▪ Die Anzahl der Unbekannten übersteigt die Anzahl der Gleichungen. ▪ Die Lösungen dieser Gleichung x und y müssen ganze Zahlen sein positive Zahlen

Algebraische Gleichungen oder Systeme algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, bei denen die Anzahl der Unbekannten die Anzahl der Gleichungen übersteigt und für die ganzzahlige Lösungen gefunden werden müssen, werden als unbestimmt oder bezeichnet diophantin, benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophanta .

Beispiele für diophantische Gleichungen

1 . Finden Sie alle Ganzzahlpaare

X , j , wofür es wahr ist Gleichwertigkeit

2 . Zeigen Sie, dass die Gleichung

hat unendlich viele Lösungen

ganze Zahlen

Ziel der Arbeit:

Herausfinden:

• Welche Methoden Mit existieren Für Lösungen für diophantische Gleichungen?

Aufgaben:

• Finden und und Lösungsmethoden erlernen linear Diophantische Gleichungen mit zwei Variablen.

• Betrachten Sie die Möglichkeiten der Theorie linearer diophantischer Gleichungen.

Pythagoreische Tripel

• Unbestimmte Gleichungen in ganzen Zahlen wurden bereits vor Diophantus gelöst. Beispielsweise war die algebraische Gleichung von großem Interesse X 2 + j 2 = z 2 , verbindliche Parteien X , bei , z rechtwinkliges Dreieck. Ganze Zahlen X , j Und z , die Lösungen dieser Gleichung sind, werden aufgerufen „Pythagoreische Drillinge“ .

Fermats Gleichung

• Auch die mathematischen Forschungen des französischen Mathematikers Pierre Fermat stehen in direktem Zusammenhang mit der Arbeit von Diophantus. Es wird angenommen, dass mit Fermats Arbeit eine neue Welle in der Entwicklung der Zahlentheorie begann. Und eines seiner Probleme ist die berühmte Fermat-Gleichung

X N + J N = z N

Kein einziger großer Mathematiker ist an der Theorie der diophantischen Gleichungen vorbeigekommen.

Fermat, Euler, Lagrange, Gauß und Tschebyschew haben diese interessante Theorie unauslöschlich geprägt.

1, (Catalana); ax 2 + bxy + sy 2 + dx + ey + f = 0, wobei a, b, c, d, e, f ganze Zahlen sind, also allgemein inhomogene Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten (P. Fermat, J. Wallis, L. Euler, J. Lagrange und K. Gauss) " width="640"

Beispiele für unbestimmte Gleichungen von großen Mathematikern gelöst 19. und 20. Jahrhundert: X 2 − ny 2 = 1 , Wo N ist kein exaktes Quadrat (Fermat, Pelle); X z − j T = 1 , Wo z , T 1, (Catalana); Oh 2 + bxy + su 2 + dx + EU + F = 0 , Wo A , B , Mit , D , e , F - ganze Zahlen, also eine allgemeine inhomogene Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten (P. Fermat, J. Wallis, L. Euler, J. Lagrange und K. Gauss)

Diophantische Gleichungen im 20. Jahrhundert

1900 Internationaler Mathematikkongress.

Hilberts 10. Problem

Gegeben sei eine diophantische Gleichung mit einer bestimmten Anzahl von Unbekannten und rationalen ganzzahligen Koeffizienten. Es ist notwendig, ein Verfahren zu entwickeln, das in einer endlichen Anzahl von Operationen bestimmen kann, ob die Gleichung in rationalen ganzen Zahlen lösbar ist.

Russischer Mathematiker Juri Matijasewitsch bewiesen :

Hilberts 10. Problem ist unlösbar – der erforderliche Algorithmus existiert nicht.

Ist es immer möglich, alle ganzzahligen Lösungen für eine bestimmte unsichere Gleichung zu finden oder deren Abwesenheit zu beweisen?

• Das Problem der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen ist nur für Gleichungen ersten Grades mit zwei oder drei Unbekannten vollständig gelöst.
• DEs zweiten Grades mit zwei Unbekannten sind nur sehr schwer zu lösen.
• DEs zweiten Grades mit der Anzahl der Unbekannten größer als zwei werden nur in bestimmten Sonderfällen gelöst, beispielsweise der Gleichung X 2 + j 2 = z 2 .
• DEs mit höherem Grad als dem zweiten haben in der Regel nur eine endliche Anzahl von Lösungen (in ganzen Zahlen).
• Für Gleichungen oberhalb des zweiten Grades mit zwei oder mehr Unbekannten ist selbst das Problem der Existenz ganzzahliger Lösungen recht schwierig. Es ist beispielsweise nicht bekannt, ob die Gleichung erfüllt ist

X 3 + j 3 + z 3 = 30 mindestens eine ganzzahlige Lösung.

• Um einzelne Differentialgleichungen und manchmal auch für bestimmte Gleichungen zu lösen, müssen neue Methoden erfunden werden. Es ist offensichtlich, dass es keinen Algorithmus gibt, der es ermöglichen würde, Lösungen für beliebige Differentialgleichungen zu finden.

Lineare diophantische Gleichungen

Generelle Form:

LDE mit zwei Variablen:

A X + von = c

LDE mit drei Variablen:

A X + von + cz = d

LDE mit zwei Unbekannten

LDE mit zwei Variablen:

A X + von = c

Lösungen:

X = x 0 - BT

bei = bei 0 + bei

Homogen:

A X + durch = 0

Lösungen:

X = - BT

bei = bei

Suchen Sie nach einer privaten Lösung

Lösungsmethoden:

• Multiples-Methode.
• Anwendung des Euklidischen Algorithmus.
• Brute-Force-Methode.
• Abstiegsmethode.

• Methode zur Berücksichtigung von Divisionsresten

Multiples-Methode

Löse die Gleichung 11 x + 2 y = 69

Wir suchen einen Betrag von 69: 55 + 14 = 69 Teillösung der Gleichung

X 0 = 5, y 0 = 7

Anwendung des Euklidischen Algorithmus

Löse die Gleichung 4 x + 7 y = 16

• Lassen Sie uns den gcd der Zahlen 4 und 7 mithilfe des euklidischen Algorithmus ermitteln: gcd(4,7) = 1

• Lassen Sie uns die Zahl ausdrücken 1 durch Koeffizienten A = 4 und B =7, unter Verwendung des Satzes zur linearen Zerlegung von GCD:

GCD ( A, B ) = au + bv .

• Wir erhalten: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1

• Besondere Lösung der Gleichung: X 0 = 2 ∙ 16 = 32,

bei 0 = -1 ∙ 16 = -16

Brute-Force-Methode

Löse die Gleichung 7 x + 12 y = 100

• 7x + 12y = 100
• 7x = 100 – 12y
• 100 – 12 mal 7

Besondere Lösung der Gleichung: X 0 = 4, y 0 = 6

100-12u

Abstiegsmethode: 3x+8y=60

Lassen Sie uns ausdrücken

Variable X

durch bei

Lassen Sie uns ausdrücken

Variable X

durch T

Antwort:

Untersuchung:

Methode zur Berücksichtigung von Divisionsresten

• Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen 3x – 4y = 1
• 3 x = 4 y + 1
• Die linke Seite der Gleichung ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die rechte Seite durch 3 teilbar sein muss. Bei einer Division durch 3 können die Reste 0, 1 und 2 sein.
• Betrachten wir 3 Fälle.

3 x = 4 ∙ 3p + 1 = 12 p + 1

y = 3p + 1

Nicht durch 3 teilbar

3 x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12 p + 3

y = 3p + 2

Nicht durch 3 teilbar

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12 p + 9

3 x = 3 (4 p + 3)

x = 4 p + 3

Antwort:

Durch 3 teilbar

x = 4 p + 3 ; y = 3p + 2

Möglichkeiten der LDE-Theorie Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung X 2 + 5 Jahre 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0

Was hat mir die Arbeit an dem Projekt gebracht?

• Einblicke in die Arbeit an einem Forschungsprojekt gewonnen.
• Ich habe mich mit der Entwicklungsgeschichte der diophantischen Gleichungen und der Biographie von Diophantus vertraut gemacht.
• Untersuchte Methoden zur Lösung von LDEs mit zwei und drei Unbekannten.
• löste eine Reihe praktischer Probleme, die auch bei Olympiaden und Prüfungen für einen Grundschulkurs auftreten
• Erworbene Fähigkeiten zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme.

Ich denke, dass ich mich in Zukunft weiterhin mit diophantischen Gleichungen zweiten Grades und Methoden zu ihrer Lösung befassen werde.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

• Mathematik in Konzepten, Definitionen und Begriffen. Teil 1. Handbuch für Lehrer. Ed. L. V. Sabinina. M., „Aufklärung“, 1978. -320 S. (Bibliothek für Mathematiklehrer.) Auf der Rückseite, Titelseite: O. V. Manturov, Yu. K. Solntsev, Yu. I. Sorokin, N. G. Fedin.
• Nagibin F.F., Kanin E.S. Mathe-Box: Ein Handbuch für Schüler. – 4. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Bildung, 1984. – 160 Seiten, mit Abb.
• N. P. Tuchnin. Wie stellt man eine Frage? (Zur mathematischen Kreativität von Schülern): Ein Buch für Schüler. – M.: Bildung, 1993. – 192 S., mit Abb.
• S.N.Olekhnik, Yu.V.Nesterenko, M.K.Potapov Alte unterhaltsame Probleme. –M.: Bustard, 2002. -176 S., Abb.
• Ya.I.Perelman. Unterhaltsame Algebra. – M.: Nauka, 1975. – 200 Seiten, mit Abb.
• Wahlressource: http :// www.yugzone.ru /X/ diofant-i-diophantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova „Diophantische und diophantische Gleichungen.“
• Wahlressource: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_rus.html Hilberts 10. Problem: die Geschichte einer mathematischen Entdeckung (Diophantus, Fermat, Hilbert, Julia Robinson, Nikolai Vorobyov, Yuri Matiyasevich).
• Wahlressource: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Diophantische Gleichungen.
• Wahlressource: http :// revolution.allbest.ru / Mathematik /d00013924.html Belov Denis Vladimirovich Lineare diophantische Gleichungen.
• Wahlressource: http :// revolution.allbest.ru / Mathematik /d00063111.html Lineare diophantische Gleichungen
• Wahlressource: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 Zyurjukina Olga. Unbestimmte Gleichungen in ganzen Zahlen oder diophantische Gleichungen.
• Wahlressource: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 Arapow Alexander. Diophantus und seine Gleichungen.
• Wahlressource: http :// en.wikipedia.org / Wiki / Euklids Algorithmus.

Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation

Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Bildung

Berufsausbildung

„Staatliche Sozial- und Pädagogische Akademie Tobolsk

ihnen. DI. Mendelejew“

Fakultät für Mathematik, TiMOM

Einige diophantische Gleichungen

Kursarbeit

Student im dritten Jahr bei FMF

Mataev Evgeniy Viktorovich

Wissenschaftlicher Leiter:

Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften Valickas A.I.

Grad: ____________

Tobolsk – 2011

Einführung………………………………………………………………………………........2

§ 1. Lineare diophantische Gleichungen……………………………..3

§ 2. Diophantische GleichungX 2 – j 2 = A………………………………….....9

§ 3. Diophantische GleichungX 2 + j 2 = A…………………………………... 12

§ 4. Gleichung x 2 + x + 1 = 3y 2 …………………………………………….. 16

§ 5. Pythagoräische Drillinge…………………………………………………………….. 19

§ 6. Fermats letzter Satz………………………………………………………23

Fazit……………………………………………………………………………….….....29

Referenzliste...........………………………………………………..30

EINFÜHRUNG

Die diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form P(X 1 , … , X N ) = 0 , wobei die linke Seite ein Polynom in Variablen ist X 1 , … , X N mit ganzzahligen Koeffizienten. Jedes bestellte Set (u 1 ; … ; u N ) Ganzzahlen mit der Eigenschaft P(u 1 , … , u N ) = 0 heißt eine (besondere) Lösung der diophantischen Gleichung P(X 1 , … , X N ) = 0 . Eine diophantische Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden, d. h. allgemeine Lösung dieser Gleichung.

Unser Ziel wird es sein, zu lernen, wie man Lösungen für einige diophantische Gleichungen findet, sofern diese Lösungen existieren.

Dazu müssen Sie folgende Fragen beantworten:

A. Hat die diophantische Gleichung immer eine Lösung? Finden Sie die Bedingungen für die Existenz einer Lösung.

B. Gibt es einen Algorithmus, mit dem Sie eine Lösung für die diophantische Gleichung finden können?

Beispiele: 1. Diophantische Gleichung 5 X – 1 = 0 hat keine Lösungen.

2. Diophantische Gleichung 5 X – 10 = 0 hat eine Lösung X = 2 , das ist das einzige.

3. Die gleichung ln X – 8 X 2 = 0 ist kein Diophantin.

4. Oft Gleichungen der Form P(X 1 , … , X N ) = Q(X 1 , … , X N ) , Wo P(X 1 , … , X N ) , Q(X 1 , … , X N ) – Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, auch Diophantin genannt. Sie können im Formular geschrieben werden P(X 1 , … , X N ) – Q(X 1 , … , X N ) = 0 , was für diophantische Gleichungen Standard ist.

5. X 2 – j 2 = A– Diophantische Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten x und y für jede ganze Zahl a. Es gibt Lösungen unter A = 1 , hat aber keine Lösungen für A = 2 .

§ 1. Lineare diophantische Gleichungen

Lassen A 1 , … , A N , MitZ . Gleichung des Formulars A 1 X 1 + … + a N X N = c wird eine lineare diophantische Gleichung mit Koeffizienten genannt A 1 , … , A N , rechte Seite c und Unbekannte X 1 , … , X N . Wenn die rechte Seite c einer linearen diophantischen Gleichung Null ist, dann heißt eine solche diophantische Gleichung homogen.

Unser unmittelbares Ziel ist es zu lernen, wie man spezielle und allgemeine Lösungen für lineare diophantische Gleichungen mit zwei Unbekannten findet. Offensichtlich jede homogene diophantische Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = 0 hat immer eine bestimmte Lösung (0; … ; 0).

Es ist offensichtlich, dass eine lineare diophantische Gleichung, deren Koeffizienten alle gleich Null sind, nur dann eine Lösung hat, wenn ihre rechte Seite gleich Null ist. Generell gilt:

Satz (über die Existenz einer Lösung einer linearen diophantischen Gleichung). Lineare diophantische Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = c, deren Koeffizienten nicht alle Null sind, hat genau dann eine Lösung, wenn GCD(a 1 , … , A N ) | C.

Nachweisen. Die Notwendigkeit der Bedingung liegt auf der Hand: GCD(a 1 , … , A N ) | A ich (1 ich N) , Also GCD(a 1 , … , A N ) | (A 1 X 1 + … + A N X N ) , was bedeutet, dass es und teilt

C = A 1 X 1 + … + A N X N .

Lassen D= gcd(A 1 , … , A N ) , c =Dt Und A 1 u 1 + … + a N u N = D – lineare Entwicklung des größten gemeinsamen Teilers von Zahlen A 1 , … , A N. Beide Seiten mit multiplizieren T, wir bekommen A 1 (u 1 T) + … + a N (u N T) = Dt = C, d.h. ganze Zahl

N-ka (X 1 T; ... ; X N T) ist eine Lösung der ursprünglichen Gleichung mit N Unbekannt.

Der Satz ist bewiesen.

Dieser Satz stellt einen konstruktiven Algorithmus zum Finden von Teillösungen linearer diophantischer Gleichungen bereit.

Beispiele: 1. Lineare diophantische Gleichung 12x+21y = 5 hat keine Lösungen, weil gcd(12, 21) = 3 teilt sich nicht 5 .

2. Finden Sie eine bestimmte Lösung der diophantischen Gleichung 12x+21y = 6.

Das ist jetzt klar gcd(12, 21) = 3 | 6, also gibt es eine Lösung. Schreiben wir die lineare Entwicklung GCD(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1). Deshalb das Paar (2; –1) – bestimmte Lösung der Gleichung 12x+21y = 3, und ein paar (4; –2) – bestimmte Lösung der ursprünglichen Gleichung 12x+21y = 6.

3. Finden Sie eine bestimmte Lösung für eine lineare Gleichung 12x + 21y – 2z = 5.

Als (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , dann existiert eine Lösung. Nach dem Beweis des Satzes finden wir zunächst eine Lösung der Gleichung (12.21)x–2y=5, und indem wir dann die lineare Entwicklung des größten gemeinsamen Teilers aus dem vorherigen Problem einsetzen, erhalten wir eine Lösung für die ursprüngliche Gleichung.

Um die Gleichung zu lösen 3x – 2y = 5 Schreiben wir eine lineare Entwicklung GCD(3, –2) = 1 = 31 – 21 offensichtlich. Deshalb ein paar Zahlen (1; 1) ist eine Lösung der Gleichung 3 X – 2 j = 1 , und ein paar (5; 5) – eine besondere Lösung der diophantischen Gleichung 3x – 2y = 5.

Also, (12, 21)5 – 25 = 5 . Ersetzen wir hier die zuvor gefundene lineare Entwicklung (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , wir bekommen (122+21(–1))5 – 25 = 5 , oder 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , d.h. Tripel ganzer Zahlen (10; –5; 5) ist eine besondere Lösung der ursprünglichen diophantischen Gleichung 12x + 21y – 2z = 5.

Satz (Über die Struktur der allgemeinen Lösung einer linearen diophantischen Gleichung). Für eine lineare diophantische Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = c die folgenden Aussagen sind wahr:

(1) wenn = (u 1 ; ... ; u N ), = (V 1 ; ... ; v N ) sind seine besonderen Lösungen, dann der Unterschied (u 1 – V 1 ; ... ; u N – V N ) – bestimmte Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = 0 ,

(2) die Menge der Teillösungen der linearen diophantischen homogenen Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = 0 abgeschlossen unter Addition, Subtraktion und Multiplikation mit ganzen Zahlen,

(3) wenn M ist die allgemeine Lösung einer gegebenen linearen diophantischen Gleichung und L ist die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen diophantischen Gleichung, dann für jede bestimmte Lösung = (u 1 ; ... ; u N ) der ursprünglichen Gleichung ist die Gleichheit wahr M = +L .

Nachweisen. Gleichheit subtrahieren A 1 v 1 + … + A N v N = C aus der Gleichheit A 1 u 1 + … +a N u N = c, wir bekommen A 1 (u 1 – V 1 ) + … + a N (u N – v N ) = 0 , also eine Menge

(u 1 – V 1 ; ... ; u N – V N ) – eine besondere Lösung einer linearen homogenen diophantischen Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = 0 . Damit ist es bewiesen

= (u 1 ; ... ; u N ), = (V 1 ; ... ; v N ) ML .

Dies beweist Aussage (1).

Aussage (2) wird auf ähnliche Weise bewiesen:

, L z Z L z L .

Um (3) zu beweisen, notieren wir zunächst Folgendes M+L. Dies ergibt sich aus dem vorherigen: M+L .

Zurück wenn = (l 1 ; ... ; l N ) L und = (u 1 ; ... ; u N ) M, dann M:

A 1 (u 1 + l 1 )+ …+a N (u N + l N ) = (ein 1 u 1 + … + a N u N )+(a 1 l 1 + … + a N l N ) = c + 0 = c.

Auf diese Weise, +LM, und am Ende M = +L .

Der Satz ist bewiesen.

Der bewährte Satz hat eine klare geometrische Bedeutung. Wenn wir die lineare Gleichung betrachten A 1 X 1 + … + a N X N = c, Wo X ich R, dann definiert es sich, wie aus der Geometrie bekannt, im Raum R N Hyperebene, die aus einer Ebene erhalten wird L mit homogener Gleichung A 1 X 1 + … +a N X N =0 , durch den Ursprung verlaufend, um einen Vektor verschoben R N. Oberfläche anzeigen + L wird auch lineare Mannigfaltigkeit mit Richtungsraum genannt L und Verschiebungsvektor . Damit ist die allgemeine Lösung bewiesen M diophantische Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = c besteht aus allen Punkten einer linearen Mannigfaltigkeit mit ganzzahligen Koordinaten. In diesem Fall sind die Koordinaten des Verschiebungsvektors ebenfalls ganze Zahlen und die Menge L Lösungen der homogenen diophantischen Gleichung A 1 X 1 + … + a N X N = 0 besteht aus allen Punkten im Richtungsraum mit ganzzahligen Koordinaten. Aus diesem Grund wird oft gesagt, dass die Lösungsmenge einer beliebigen diophantischen Gleichung eine lineare Mannigfaltigkeit mit einem Translationsvektor bildet und leitender Raum L.

Beispiel: für die diophantische Gleichung x – y = 1 gemeinsame Entscheidung M sieht aus wie (1+y; y), wobei yZ, seine besondere Lösung = (1; 0) und die allgemeine Lösung L homogene Gleichung x – y = 0 wird in das Formular geschrieben (y; y), Wo beiZ. Somit können wir das folgende Bild zeichnen, in dem die Lösungen der ursprünglichen diophantischen Gleichung und der entsprechenden homogenen diophantischen Gleichung als fette Punkte in der linearen Mannigfaltigkeit dargestellt sind M und Raum L jeweils.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der diophantischen Gleichung 12x + 21y – 2z = 5.

Private Lösung (10; –5; 5) Da diese Gleichung früher gefunden wurde, finden wir eine allgemeine Lösung für die homogene Gleichung 12x + 21y – 2z = 0, äquivalent zur diophantischen Gleichung 12 X + 21 j = 2 z.

Damit diese Gleichung lösbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Bedingung erfüllt ist gcd(12, 21) = 3 | 2z, diese. 3 | z oder z = 3t für einige ganze T. Beide Teile reduzieren um 3 , wir bekommen 4x + 7y = 2t. Besondere Lösung (2; –1) der diophantischen Gleichung 4x + 7y = 1 gefunden im vorherigen Beispiel. Deshalb (4t ; –2t)– bestimmte Lösung der Gleichung 4x + 7y = 2tüberhaupt

T Z. Allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung

(7 u ; –4 u) schon gefunden. Somit ist die allgemeine Lösung der Gleichung 4x + 7y = 2t hat die Form: (4t + 7u; –2t – 4u) und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 12x + 21y – 2z = 0 wird so geschrieben:

(4t + 7u; –2t – 4u; 3t).

Es ist leicht zu überprüfen, dass dieses Ergebnis dem oben formulierten Theorem entspricht, ohne dass ein Beweis für Lösungen der homogenen diophantischen Gleichung erforderlich ist A 1 X 1 + … + a N X N = 0 : Wenn P = , Das R Und

(u; T) P ist die allgemeine Lösung der betrachteten homogenen Gleichung.

Also die allgemeine Lösung der diophantischen Gleichung 12x + 21y – 2z = 5 sieht so aus: (10 + 4t + 7u; –5 – 2t – 4u; 5+3t).

3. Am Beispiel der vorherigen Gleichung veranschaulichen wir eine andere Methode zur Lösung diophantischer Gleichungen in vielen Unbekannten, die darin besteht, den Maximalwert der Moduli ihrer Koeffizienten sukzessive zu verringern.

12x + 21y – 2z = 5 12x + (102 + 1)y – 2z = 5

12x + y – 2(z – 10y) = 5

Somit kann die allgemeine Lösung der betrachteten Gleichung wie folgt geschrieben werden: (x; 5 – 12x + 2u; 50 – 120x + 21u), Wo x, u– beliebige ganzzahlige Parameter.

§ 2. Diophantische GleichungX 2 – j 2 = A

Beispiele: 1. Bei A = 0 wir erhalten unendlich viele Lösungen: X = j oder X = – j für jeden j Z.

2. Bei A = 1 wir haben X 2 – j 2 = 1 (X + j)(X – j) = 1 . Somit wird die Zahl 1 in das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren zerlegt X + j Und X – j(wichtig, dass X, j- ganz!). Da die Nummer 1 nur zwei Erweiterungen in das Produkt ganzzahliger Faktoren 1 = 11 Und 1 = (–1)(–1) , dann erhalten wir zwei Möglichkeiten: .

3. Für A = 2 wir haben X 2 – j 2 = 2 (X + j)(X – j) = 2. Wir gehen analog zum vorherigen vor und betrachten die Erweiterungen

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), wir stellen die Systeme zusammen:, die im Gegensatz zum vorherigen Beispiel keine Lösungen haben. Die betrachtete diophantische Gleichung hat also auch keine Lösungen X 2 – j 2 = 2.

4. Die bisherigen Überlegungen lassen einige Schlussfolgerungen zu. Lösungen der Gleichung X 2 – j 2 = A sind durch Zersetzung A = km in das Produkt ganzer Zahlen aus dem System . Dieses System hat genau dann vollständige Lösungen, wenn k + M Und k – M sind gerade, d.h. wenn die Zahlen k Und M von gleicher Parität (gleichzeitig gerade oder ungerade). Somit hat die diophantische Gleichung x 2 – y 2 = a genau dann eine Lösung, wenn a in das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren gleicher Parität zerlegt werden kann. Es bleibt nur noch, alle diese zu finden.

Satz (über die GleichungX 2 – j 2 = A ). (1) Gleichung X 2 – j 2 = 0 hat unendlich viele Lösungen .

(2) Jede Lösung der Gleichung hat die Form , Wo A = km– Zerlegung der Zahl a in das Produkt zweier ganzzahliger Faktoren gleicher Parität.

(3) Gleichung X 2 – j 2 = A hat genau dann eine Lösung, wenn A 2 (Mod 4).

Nachweisen.(1) wurde bereits bewiesen.

(2) wurde bereits bewiesen.

(3) () Lassen Sie uns zunächst die diophantische Gleichung betrachten X 2 – j 2 = A hat eine Lösung. Lasst uns das beweisen A 2 (Mod 4) . Wenn A = km – Zerlegung in das Produkt ganzer Zahlen gleicher Parität, dann für gerade k Und M wir haben k = 2 l, M = 2 N Und A = km = 4 ln 0 (Mod 4) . Im Falle von ungeraden k, M ihre Arbeit A auch seltsam, Unterschied A – 2 ist ungerade und nicht durch teilbar 4 , d.h. wieder

A 2 (Mod 4).

() Wenn jetzt A 2 (Mod 4) , dann können wir eine Lösung der Gleichung konstruieren X 2 – j 2 = A. In der Tat, wenn a ungerade ist, dann A = 1 A ist eine Entwicklung in ein Produkt ungerader ganzer Zahlen, also – Lösung der diophantischen Gleichung. Wenn a gerade ist, dann wegen A 2 (Mod 4) Das verstehen wir 4 | A, A = 4 B = 2(2 B) ist eine Entwicklung in ein Produkt gerader ganzer Zahlen, also – Lösung der diophantischen Gleichung.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiele: 1. Diophantische Gleichung X 2 – j 2 = 2012 hat keine Lösungen, weil 2010 = 4502 + 2 2 (Mod 4).

2. Diophantische Gleichung X 2 – j 2 = 2011 hat Lösungen, weil

2011 3 (Mod 4). Wir haben offensichtliche Erweiterungen

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

Für jedes davon finden wir Lösungen (beliebige Zeichenkombination). Es gibt keine anderen Lösungen, denn... Nummer 2011 einfach(?!).

§ 3. Diophantische GleichungX 2 + j 2 = A

Beispiele: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , k 2 = 0 2 + k 2 . Somit kann offensichtlich jedes Quadrat trivial als Summe zweier Quadrate dargestellt werden.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. Es gibt keine Lösungen für A = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

Die Analyse der obigen Ergebnisse könnte darauf hindeuten, dass das Fehlen von Lösungen irgendwie mit den Primzahlen dieser Form zusammenhängt

4 N+3 , vorhanden bei der Faktorisierung von Zahlen, die nicht als Summen zweier Quadrate dargestellt werden können.

Satz (über die Darstellung natürlicher Zahlen durch Summen zweier Quadrate). Eine natürliche Zahl a ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn es in ihrer kanonischen Entwicklung Primzahlen der Form gibt 4 N + 3 haben gerade Exponenten.

Nachweisen. Lassen Sie uns zunächst beweisen, dass, wenn eine natürliche Zahl a als Summe zweier Quadrate darstellbar ist, in ihrer kanonischen Entwicklung alle Primzahlen der Form vorliegen 4 N + 3 muss gerade Exponenten haben. Nehmen wir entgegen allem, was bewiesen wurde, an, dass A= S 2 k +1 B = X 2 + j 2 , Wo

R - Primzahl der Form 4 N+3 Und B P. Stellen wir uns die Zahlen vor X Und bei als

x =Dz, j = Dt, WoD= gcd(X, j) = S S w, P w; z, T, S N 0 . Dann erhalten wir die Gleichheit R 2 k +1 B = D 2 (z 2 + T 2 ) = S 2 S w 2 (z 2 + T 2 ) , d.h. R 2( k – S )+1 B = w 2 (z 2 + T 2 ) . Auf der linken Seite der Gleichheit steht p (der ungerade Grad ist ungleich Null), was bedeutet, dass einer der Faktoren auf der rechten Seite durch die Primzahl p geteilt wird. Weil das P w, Das r | (z 2 + T 2 ) , wo die Zahlen z, T gegenseitig einfach. Dies widerspricht dem nächsten Lemma (?!).

Lemma (über die Teilbarkeit der Summe zweier Quadrate durch eine Primzahl der Form

4 N + 3 ). Wenn eine Primzahl p = 4N+3 dividiert die Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen und dividiert dann jede dieser Zahlen.

Nachweisen. Vom Gegenteil. Lassen X 2 + j 2 0(Mod P) , Aber X0(Mod P) oder j 0 (Mod P) . Weil das X Und j symmetrisch, sie können vertauscht werden, also können wir davon ausgehen X P.

Lemma (zur Modulo-InvertibilitätP ). Für jede ganze Zahl X, nicht durch eine Primzahl teilbar P, es gibt ein inverses Modulo-Element P – so eine ganze Zahl 1 u < P, Was xu 1 (Mod P).

Nachweisen. Nummer X koprimieren mit P, also können wir die lineare Entwicklung schreiben GCD(X, P) = 1 = xu + pv (u, v Z) . Es ist klar, dass xu1(modp) , d.h. u– Umkehrelement zu X Modulo P. Wenn u erfüllt die Einschränkung nicht 1 u < P, dann dividieren u mit eingeschalteter Waage P, wir bekommen den Rest R u (Mod P) , wofür xr xu 1 (Mod P) Und 0 R < P.

Modulo-Invertibilitätslemma P bewiesen.

Multiplizierender Vergleich X 2 + j 2 0 (Mod P) pro Quadrat u 2 Umkehrelement zu X Modulo P, wir bekommen 0 = 0u 2 X 2 u 2 + J 2 u 2 = (xu) 2 + (yu) 2 1+t 2 (mod p).

Also z T = Yu Vergleich gemacht T 2 –1 (Mod P) , was zu einem Widerspruch führen wird. Es ist klar, dass T P: ansonsten T 0 (Mod P) Und 0 T 2 –1 (Mod P) , was unmöglich ist. Nach dem Satz von Fermat haben wir T P –1 1 (Mod P), die zusammen mit T 2 –1 (Mod P) Und P = 4 N + 3 führt zu einem Widerspruch:

1 t p–1 = t 4n+3–1 = t 2(2n+1) = (t 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (mod p).

Der resultierende Widerspruch zeigt, dass die Annahme über X 0 (Mod P) stimmte nicht.

Lemma zur Teilbarkeit der Summe zweier Quadrate durch eine Primzahl 4 N+3 bewiesen.

Somit wurde bewiesen, dass eine Zahl, deren kanonische Entwicklung eine Primzahl enthält P = 4 N + 3 zu einer ungeraden Potenz, kann nicht als Summe zweier Quadrate dargestellt werden.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass jede Zahl, in deren kanonischer Entwicklung Primzahlen vorkommen, vorhanden ist P = 4 N + 3 nehmen nur an geraden Potenzen teil und können als Summe zweier Quadrate dargestellt werden.

Die Beweisidee basiert auf folgender Identität:

(A 2 + b 2 )(C 2 + d 2 ) = (ac – bd) 2 + (ad + v. Chr.) 2 ,

was aus der bekannten Eigenschaft des Moduls komplexer Zahlen erhalten werden kann – der Modul eines Produkts ist gleich dem Produkt der Module. Wirklich,

| z|| T| = | zt| | A + Bi|| C + di| = |(A + Bi)(C + di)|

|a + bi| 2 |c + di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(A 2 + b 2 )(C 2 + d 2 ) = (ac – bd) 2 + (ad + v. Chr.) 2 .

Aus dieser Identität folgt, dass, wenn zwei Zahlen u, v als Summe zweier Quadrate darstellbar sind: u = X 2 + j 2 , v = z 2 + T 2 , dann kann ihr Produkt uv als Summe zweier Quadrate dargestellt werden: UV = (xz – yt) 2 + (xt + yz) 2 .

Beliebig natürliche Zahl A > 1 kann in das Formular geschrieben werden A= S 1 … R k M 2 , Wo R ich– paarweise verschiedene Primzahlen, M N . Dazu reicht es aus, die kanonische Erweiterung zu finden , Schreiben Sie jede Potenz der Form auf R in Form eines Quadrats (R) 2 für gerade = 2, oder im Formular R = R(R) 2 für ungerade = 2 + 1 , und gruppieren Sie dann die Quadrate und die verbleibenden einzelnen Primzahlen getrennt. Zum Beispiel,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , M = 15.

Nummer M 2 hat eine triviale Darstellung als Summe zweier Quadrate: M 2 = 0 2 + M 2 . Beweisen wir die Darstellbarkeit als Summe zweier Quadrate aller Primzahlen R ich (1 ich k) , dann wird unter Verwendung der Identität die Darstellung der Zahl a erhalten. Nach Bedingung, unter den Zahlen R 1 , … , R k kann nur treffen 2 = 1 2 + 1 2 und Primzahlen der Form 4 N + 1 . Es bleibt also noch eine Darstellung in Form der Summe zweier Quadrate einer Primzahl zu erhalten p = 4t + 1. Lassen Sie uns diese Aussage in einen separaten Satz unterteilen (siehe unten).

Zum Beispiel, z A = 29250 = 2513(15) 2 sequentiell erhalten wir:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

Der Satz ist bewiesen.

§ 4. Gleichungx+ x + 1 = 3y

Befassen wir uns nun mit der Gleichung x+x+1=Zu. Es hat bereits seine eigene Geschichte. 1950 schlug R. Oblate dies zusätzlich zur Lösung vor

X=y=1. es gibt keine anderen Lösungen in natürlichen Zahlen x, y, wobei x eine ungerade Zahl ist. Im selben Jahr zeigte T. Nagel die Lösung auf X= 313, y = 181. Eine ähnliche Methode wie oben für Gl. x+x-2y=0, wird es uns ermöglichen, alle Lösungen der Gleichung zu bestimmen X+x+1=3y (1)

in natürlichen Zahlen X, u. Tun wir mal so (x, y) ist eine Lösung der Gleichung (1) in natürlichen Zahlen und x > 1. Sie können leicht überprüfen, dass Gleichung (18) keine Lösungen in natürlichen Zahlen hat X, ja, Wo x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9; so muss es sein x10.

Zeigen wir das 12u<7 X+3, 7у>4X+ 2. 4у> 2X+1 . (2)

Wenn es wäre 12 Jahre> 7x+3, Wir würden haben 144u> 49 X+42 X+9 . und da, im Hinblick auf (18), 144u = 48X+ 48 X + 48 , dann wäre es so X< 6 X +3 9, von wo

(x-3)< 48 und deshalb angesichts dessen X> 10, 7 < 148 , was unmöglich ist. Damit ist die erste der Ungleichungen (2) bewiesen.

Wenn es wäre 7u< 4 X+2 , Wir würden haben 49u< 16 X+ 16 X+4 , und da, im Hinblick auf (1), 16 X+ 16 X+ 16 = 48u, dann wäre es so 49u< 48u-12, was unmöglich ist. Damit ist die zweite der Ungleichungen (2) bewiesen, aus der sich direkt die dritte ergibt. Ungleichungen (2) sind also wahr.

Lassen Sie uns jetzt sagen

w= 7x - 12y+3,H = -4 X+ 7u-2. (3)

Basierend auf (2) finden wir das w > 0 , H > 0 Und X -w=3(4 j-2 X-1)>0 und deshalb, w<х . Nach (3) haben wir w 2 + w+1=3 H 2 Daher akzeptieren wir im Hinblick auf (1). g(x, y) = (7x- 12y + 3, -4x + 7y -2).

Das können wir also sagen, basierend auf jeder Entscheidung (x, y) Gleichung (1) in natürlichen Zahlen, wobei x > 1, wir bekommen eine neue Lösung (w, H) = g(x, y) Gleichung (1) in natürlichen Zahlen w, H Wo w < х (und daher liegt die Lösung in kleineren natürlichen Zahlen). Von hier aus finden wir, wie oben beschrieben, das für jede Lösung der Gleichung (1) in natürlichen Zahlen x, y, Wo x > 1, es gibt eine natürliche Zahl n, so dass g(x, y) = (l, 1).

Akzeptiert f(x, y) = (7X+12û + 3, 4X+ 7u + 2), (4) Das können wir leicht finden f(g(x,y)) = (x, y) und deshalb (X, j) = F(1,1) Andererseits ist es leicht zu überprüfen, ob (x, y) ist dann eine Lösung der Gleichung (1) in natürlichen Zahlen F(X, j) Es gibt auch eine Lösung für Gleichung (1) in natürlichen Zahlen (bzw. größer als). X Und bei).

Akzeptiert x=y=1(x, y) = f(1, 1) Für N=2,3,…..,

wir bekommen die Reihenfolge { X, j} Für N= 1, 2,….., enthält alle Lösungen der Gleichung (1) in natürlichen Zahlen und nur solche Lösungen.

Hier haben wir (X,j)= F(1,1)= F(x, y), daher erhalten wir aufgrund von (4).

x=7X+12J+3,j=4 x+7 y+2 (5) (N=1, 2, ...)

Formeln, mit denen Sie alle Lösungen konsistent ermitteln können (x, y) Gleichung (1) in natürlichen Zahlen. Auf diese Weise gelangen wir leicht zu Lösungen (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

Es gibt offensichtlich unendlich viele dieser Lösungen. Von Gleichheiten

x=y=1 und (4) mittels Induktion finden wir die Zahlen leicht X mit ungeraden Indizes sind sie ungerade, mit geraden Indizes sind sie gerade und Zahlen j Das Wesentliche ist seltsam N = 1, 2, ... Um alle Lösungen der Gleichung (1) in ganzen Zahlen zu erhalten x, y, wie leicht zu beweisen ist, würde sich aus den bereits erhaltenen Lösungen ergeben (x, y) verbinden (x, -y) Und (-x-1, ±y) Für N=1, 2, .. .

Hier haben wir also zum Beispiel folgende Lösungen: (-2,1) (-23,13), (-314,181). A. Rotkevich stellte fest, dass von allen Lösungen der Gleichung (1) natürliche Zahlen vorliegen x > 1 und y Sie können alle Lösungen der Gleichung erhalten (z+1)-z= y (6)

in natürlichen Zahlen z, y. Nehmen wir tatsächlich an, dass die natürlichen Zahlen z,y Gleichung (5) erfüllen. Putten x=3z+l erhalten wir, wie leicht zu überprüfen ist, natürliche Zahlen x > 1 Und bei, die Gleichung (1) erfüllt.

Andererseits, wenn die natürlichen Zahlen x > 1 Und bei Gleichung (1) erfüllen, dann gilt, wie leicht zu überprüfen ist (x-1)= 3(y-x), was impliziert, dass die Zahl (natürlich) x-1 geteilt durch 3 , somit x-1= 3 z, wo z ist eine natürliche Zahl und die Gleichheit gilt 3z=y-X=y3z-1 , was beweist, dass die Zahlen z Und bei Gleichung (6) erfüllen. Also basierend auf den Entscheidungen (22,13),(313,181), (4366,2521) Gleichung (1) erhalten wir Lösungen (7,13),(104,181),(1455,2521) Gleichung (6). Beachten wir hier auch, dass es sich um die natürlichen Zahlen handelt z, y Gleichung (6) erfüllen, dann ist das bewiesen bei ist beispielsweise die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadrate 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . Ebenso wie zuvor für Gleichung (1) konnten wir alle Lösungen der Gleichung finden X+(X+1)= j in natürlichen Zahlen x, y, akzeptiert für x > 3 g(x. y) = (3x -2y+1, 3y - 4x- 2) und für X> 1 f(x, y) = (3X+ 2y+l, 4x + Zu + 2), was zur Formel führt ( x, y)F(3,5) und zu dem Schluss, dass alle Lösungen der Gleichung (6) in natürlichen Zahlen x, y in der Folge enthalten sind { X, j} Für N= 1, 2,…., Wo x=3, y=5, aX=3 X+2 j+1 . j = 4 X+3 j+2 (N=1, 2, ...). Zum Beispiel, x = 3 3 + 2 5 + 1 = 20, y = 4 3 + 3 5 + 2 = 29;X=119, y=169:X=69b, y= 985;X=4059, y=5741.

Die geometrische Bedeutung der betrachteten Gleichung besteht darin, dass sie alle pythagoräischen Dreiecke (rechtwinklige Dreiecke mit natürlichen Seiten) angibt, deren Schenkel durch aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ausgedrückt werden. Es gibt unendlich viele solcher Dreiecke (*).

Die gleichung X+(X+1)= j, hat nachweislich keine Lösungen in natürlichen Zahlen x, y.

Algorithmen zur Lösung diophantischer Gleichungen

Euklids Algorithmus

• Beispiel #1 (einfach)
• Beispiel Nr. 2 (kompliziert)

Lösen von Nummernzuordnungsproblemen ohne Zuordnung

• Problem mit Hühnern, Kaninchen und ihren Pfoten
• Problem mit einer Verkäuferin und Veränderung

Laut den Bewertungen von Geschwistern ist das der eigentliche Stolperstein Schulkurs Mathematiker werden nicht nur für Schüler, sondern auch für Eltern zu diophantischen Gleichungen. Was sind sie und wie löst man sie richtig? Die Mathematiklehrerin am Gornostai-Bildungszentrum Aelita Bekesheva und der Kandidat für physikalische und mathematische Wissenschaften Yuri Shanko haben uns dabei geholfen, es herauszufinden.

Wer ist Diophantus?

Sogar die alten Ägypter erfanden zur Vereinfachung der Argumentation ein spezielles Wort, das eine unbekannte Zahl bezeichnete, aber zu dieser Zeit gab es weder Aktionszeichen noch ein Gleichheitszeichen, sodass sie nicht wussten, wie man Gleichungen schreibt.

Der erste Mensch, der herausfand, wie man die Gleichung aufstellt, war der wunderbare Wissenschaftler Diophantus von Alexandria. Alexandria war ein großartiges kulturelles, kommerzielles und Wissenschaftliches Zentrum antike Welt. Diese Stadt existiert noch immer, sie liegt an der Mittelmeerküste Ägyptens.

Diophantus lebte offenbar im 3. Jahrhundert n. Chr. und war der letzte große Mathematiker der Antike. Zwei seiner Werke haben uns erreicht – „Arithmetik“ (von dreizehn Büchern sind sechs erhalten) und „Über vieleckige Zahlen“ (in Fragmenten). Die Arbeit von Diophantus hatte großen Einfluss auf die Entwicklung der Algebra, der mathematischen Analysis und der Zahlentheorie.

Aber Sie wissen etwas über diophantische Gleichungen ...

Jeder kennt diophantische Gleichungen! Dabei handelt es sich um Aufgaben für Grundschüler, die durch Auswahl gelöst werden.

” Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene Wege Kann man Eis bezahlen, das 96 Kopeken kostet, wenn man nur Kopeken und Fünf-Kopeken-Münzen hat?“

Wenn wir die diophantische Gleichung angeben allgemeine Definition, dann können wir sagen, dass dies eine algebraische Gleichung mit ist Zusätzlicher Zustand: Alle seine Lösungen müssen ganze Zahlen sein (und im allgemeinen Fall rationale).

” Oftmals glauben Mütter (insbesondere solche, die im entwickelten Sozialismus die Schule abgeschlossen haben), dass das Hauptziel solcher Aufgaben darin besteht, den Kindern beizubringen, Eis mit Kleingeld zu bezahlen. Und als sie wirklich davon überzeugt sind, dass das Anhäufen von Kleinigkeiten der Vergangenheit angehört, stellt ihre geliebte Siebtklässlerin (oder Achtklässlerin) eine unerwartete Frage: „Mama, wie löse ich das?“ und präsentiert ein Geschenk eine Gleichung mit zwei Variablen. Früher gab es im Lehrplan der Schule keine derartigen Probleme (wir erinnern uns alle daran, dass es genauso viele Gleichungen wie Variablen geben sollte), sodass die Mutter eines Nicht-Mathematikers oft in Benommenheit verfällt. Aber das ist das gleiche Problem mit Kleingeld und Eiscreme, nur geschrieben Gesamtansicht!

Übrigens, warum kehren sie in der siebten Klasse plötzlich zu ihr zurück? Es ist ganz einfach: Der Zweck des Studiums diophantischer Gleichungen besteht darin, die Grundlagen der Theorie der ganzen Zahlen zu schaffen, die sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik und Programmierung weiterentwickelt wird. Diophantische Gleichungen finden sich häufig unter den Aufgaben in Teil „C“ des Einheitlichen Staatsexamens. Die Schwierigkeit besteht zunächst darin, dass es viele Lösungsmethoden gibt, aus denen der Absolvent die richtige auswählen muss. Lineare diophantische Gleichungen ax + by = c lassen sich jedoch mit speziellen Algorithmen relativ einfach lösen.

Algorithmen zur Lösung diophantischer Gleichungen

Das Studium diophantischer Gleichungen beginnt in einem vertiefenden Algebrakurs ab der 7. Klasse. Im Lehrbuch Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk stellt einige Probleme und Gleichungen bereit, die mit gelöst werden können Euklidischer Algorithmus Und Methode der Aufzählung durch Reste, - sagt Aelita Bekesheva.- Später, in der 8. bis 9. Klasse, wenn wir uns bereits mit Gleichungen in ganzen Zahlen höherer Ordnung beschäftigen, zeigen wir es den Schülern Faktorisierungsmethode und weitere Analyse der Lösung dieser Gleichung, Bewertungsmethode. Stellen wir uns vor mit der vollständigen quadratischen Auswahlmethode. Bei der Untersuchung der Eigenschaften von Primzahlen führen wir den kleinen Satz von Fermat ein, einen der grundlegenden Sätze in der Theorie der Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen. Auf einer höheren Ebene wird diese Bekanntschaft in den Klassen 10-11 fortgesetzt. Gleichzeitig führen wir die Kinder in das Studium und die Anwendung der Theorie der „Modulo-Vergleiche“ ein und üben die Algorithmen, die wir in den Klassen 7–9 kennengelernt haben. Dieses Material wird im Lehrbuch von A.G. sehr gut behandelt. Mordkovich „Algebra und Anfänge der Analysis, Klasse 10“ und G.V. Dorofeeva „Mathematik“ für die 10. Klasse.

Euklids Algorithmus

Euklids Methode selbst bezieht sich auf ein anderes mathematisches Problem – die Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler: Anstelle des ursprünglichen Zahlenpaares wird ein neues Paar geschrieben – eine kleinere Zahl und die Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl des ursprünglichen Zahlenpaares. Dieser Vorgang wird fortgesetzt, bis die Zahlen im Paar gleich sind – dies ist der größte gemeinsame Faktor. Eine Version des Algorithmus wird auch zum Lösen diophantischer Gleichungen verwendet – jetzt wir zusammen mit Yuri Shanko Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie man Probleme „über Münzen“ löst.

Wir betrachten die lineare diophantische Gleichung Axt + by = c, wobei a, b, c, x und y ganze Zahlen sind. Wie Sie sehen, enthält eine Gleichung zwei Variablen. Aber wie Sie sich erinnern, brauchen wir nur ganze Wurzeln, was die Sache vereinfacht – es können Zahlenpaare gefunden werden, für die die Gleichung wahr ist.

Allerdings gibt es für diophantische Gleichungen nicht immer Lösungen. Beispiel: 4x + 14y = 5. Es gibt keine Lösungen, weil Auf der linken Seite der Gleichung ist das Ergebnis für jede ganze Zahl x und y eine gerade Zahl und 5 eine ungerade Zahl. Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern. Wenn in Gl. Axt + by = c die Koeffizienten a und b durch eine ganze Zahl d teilbar sind, aber die Zahl c nicht durch diese d teilbar ist, dann hat die Gleichung keine Lösungen. Wenn andererseits alle Koeffizienten (a, b und c) durch d teilbar sind, kann die gesamte Gleichung durch dieses d geteilt werden.

In der Gleichung 4x + 14y = 8 werden beispielsweise alle Koeffizienten durch 2 geteilt. Teilen Sie die Gleichung durch diese Zahl und erhalten Sie: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Mit dieser Technik (Dividieren der Gleichung durch eine Zahl) können Sie manchmal Berechnungen vereinfachen .

Gehen wir jetzt von der anderen Seite. Nehmen wir an, dass einer der Koeffizienten auf der linken Seite der Gleichung (a oder b) gleich 1 ist. Dann ist unsere Gleichung tatsächlich gelöst. Sei beispielsweise a = 1, dann können wir jede ganze Zahl als y annehmen, mit x = c − by. Wenn wir lernen, die ursprüngliche Gleichung auf eine Gleichung zu reduzieren, in der einer der Koeffizienten gleich 1 ist, dann lernen wir, jede lineare diophantische Gleichung zu lösen!

Ich zeige dies am Beispiel der Gleichung 2x + 7y = 4.

Es kann wie folgt umgeschrieben werden: 2(x + 3y) + y = 4.

Führen wir eine neue Unbekannte z = x + 3y ein, dann wird die Gleichung wie folgt geschrieben: 2z + y = 4.

Wir haben eine Gleichung mit einem Koeffizienten von eins! Dann ist z eine beliebige Zahl, y = 4 − 2z.

Jetzt bleibt nur noch x zu finden: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

Sei z=1. Dann ist y=2, x=-5. 2 * (-5)+7 * 2=4

Sei z=5. Dann ist y=-6, x=23. 2 * (23)+7 * (-6)=4

” In diesem Beispiel ist es wichtig zu verstehen, wie wir von einer Gleichung mit den Koeffizienten 2 und 7 zu einer Gleichung mit den Koeffizienten 2 und 1 übergegangen sind. In diesem Fall (und immer!) ist der neue Koeffizient (in diesem Fall eins). Der Rest besteht darin, die ursprünglichen Koeffizienten durcheinander zu dividieren (7 durch 2).

In diesem Beispiel hatten wir Glück: Unmittelbar nach der ersten Ersetzung erhielten wir eine Gleichung mit einem Koeffizienten von 1. Das passiert nicht immer, aber wir können den vorherigen Trick wiederholen, indem wir neue Unbekannte einführen und neue Gleichungen aufschreiben. Früher oder später erhält man nach solchen Ersetzungen eine Gleichung mit einem Koeffizienten von 1.

Versuchen wir, eine komplexere Gleichung zu lösen, schlägt Aelita Bekesheva vor.

Betrachten Sie die Gleichung 13x - 36y = 2.

Schritt 1

36/13=2 (10 übrig). Somit kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden: 13x-13* 2y-10y=2. Lassen Sie es uns umwandeln: 13(x-2y)-10y=2. Lassen Sie uns eine neue Variable z=x-2y einführen. Jetzt haben wir die Gleichung: 13z-10y=2.

Schritt 2

13/10=1 (3 übrig). Die ursprüngliche Gleichung 13z-10y=2 kann wie folgt umgeschrieben werden: 10z-10y+3z=2. Lassen Sie es uns umwandeln: 10(z-y)+3z=2. Lassen Sie uns eine neue Variable m=z-y einführen. Jetzt haben wir die Gleichung: 10m+3z=2.

Schritt 3

10/3=3 (1 übrig). Die ursprüngliche Gleichung 10m+3z=2 kann wie folgt umgeschrieben werden: 3* 3m+3z+1m=2. Lassen Sie es uns umwandeln: 3(3m+z)+1m=2. Lassen Sie uns eine neue Variable n=3m+z einführen. Jetzt haben wir die Gleichung: 3n+1m=2.

Hurra! Wir haben eine Gleichung mit einem Koeffizienten von eins!

m=2-3n und n kann eine beliebige Zahl sein. Allerdings müssen wir x und y finden. Lassen Sie uns die Variablen in umgekehrter Reihenfolge ändern. Denken Sie daran, dass wir x und y durch n ausdrücken müssen, das eine beliebige Zahl sein kann.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Sei n=1. Dann ist y=5, x=24. 13 * (14)-36 * 5=2

Sei n=5. Dann ist y=57, x=158. 13 * (158)-36 * (57)=2

Ja, es ist nicht ganz einfach, es herauszufinden, aber jetzt können Sie die Probleme, die durch Auswahl gelöst werden, immer allgemein lösen!

Lösen von Nummernzuordnungsproblemen

Beispiele für Probleme für Grundschüler, die durch Auswahl gelöst werden können: Konkurrieren Sie mit Ihrem Kind, wer sie schneller löst: Sie mit dem Euklidischen Algorithmus oder der Schüler mit Auswahl?

Pfotenproblem

Bedingungen

Hühner und Kaninchen sitzen in einem Käfig. Sie haben insgesamt 20 Pfoten. Wie viele Hühner darf es geben und wie viele Kaninchen?

Lösung

Lasst uns x Hühner und y Kaninchen haben. Stellen wir eine Gleichung auf: 2x+4y=20. Reduzieren wir beide Seiten der Gleichung um zwei: x+2y=10. Daher ist x=10-2y, wobei x und y positive ganze Zahlen sind.

Antwort

Anzahl Kaninchen und Hühner: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Ich stimme zu, es ging schneller, als „Lass ein Kaninchen im Käfig sein ...“ durchzugehen.

Problem mit Münzen

Bedingungen

Eine Verkäuferin hatte nur Fünf- und Zwei-Rubel-Münzen. Auf wie viele Arten kann sie 57 Rubel Wechselgeld sammeln?

Lösung

Nehmen wir x Zwei-Rubel-Münzen und y Fünf-Rubel-Münzen. Stellen wir eine Gleichung auf: 2x+5y=57. Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln: 2(x+2y)+y=57. Sei z=x+2y. Dann ist 2z+y=57. Somit, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Bitte beachten Sie, dass die Variable z nicht kleiner als 23 sein darf (andernfalls ist x, die Anzahl der Zwei-Rubel-Münzen, negativ) und größer als 28 (andernfalls ist y, die Anzahl der Fünf-Rubel-Münzen, negativ). Für uns sind alle Werte von 23 bis 28 geeignet.

Antwort

Sechs Wege.

Vorbereitet von Tatyana Yakovleva

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

weiterführende Schule Nr. 1

Pawlowo.

Forschungsarbeit

Methoden zur Lösung diophantischer Gleichungen.

Abteilung: Physik und Mathematik

Abschnitt: Mathematik

Vollendet:

Schüler der Klasse 8A Trukhin Nikolay (14 Jahre alt)

Wissenschaftlicher Leiter:

Mathematiklehrer

Lefanova N. A.

Pawlowo

2013

Inhaltsverzeichnis

I Einleitung………………………………………………………………………………3

II Literaturübersicht……………………………………………………………...5

III Hauptteil……………………………………………………………………………6

IV Fazit………………………………………………………………………………...15

V Referenzen……………………………………………………………16

VI Anhang………………………………………………………………………………..17

Einführung.

In den Jahren 2011-2012 bin ich aufgetreten Forschungsarbeit zum Thema: „Gleichungen lösen in Antikes Griechenland und Indien.“ Während meiner Arbeit lernte ich die Werke von Diophantus von Alexandria und Muhammad al-Khwarizmi kennen. In meiner vorherigen Arbeit habe ich mir einige Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten angesehen und mich mit einigen alten Problemen vertraut gemacht, die zur Lösung von Gleichungen ersten Grades mit zwei Unbekannten führen.

Muhammad Ben Moussa al-Khorezmi oder Magomed, der Sohn von Moses von Khorezm, ein Mitglied des „Hauses der Weisheit“ im Iran, schrieb um 820 in unserer Chronologie ein Buch, in dem er lehrte, wie man einfache und komplexe Rechenfragen löst die Menschen bei der Erbschaftsaufteilung, der Testamentserstellung, der Vermögensaufteilung und bei Gerichtsverfahren, im Handel und bei Transaktionen aller Art benötigen. Der Name al-Khorezmi ist mit den Konzepten „Algebra“, „arabische Ziffern“ und „Algorithmus“ verbunden. Er trennte die Algebra von der Geometrie und leistete große Beiträge zur Mathematik des islamischen Mittelalters. Muhammad al-Khorezmi war sowohl zu seinen Lebzeiten als auch nach seinem Tod bekannt und respektiert.

Aber ich wollte mehr über Diophantus wissen. Und das Thema meiner diesjährigen Forschung: „ Methoden zur Lösung diophantischer Gleichungen“

Diophantus von Alexandria ist einer der originellsten antiken griechischen Mathematiker, dessen Werke es je gab sehr wichtig für Algebra und Zahlentheorie. Das wichtigste Werk von Diophantus ist die Arithmetik, von der bis heute nur 6 von 13 Büchern erhalten sind. Die erhaltenen Bücher enthalten 189 Probleme mit Lösungen. Das erste Buch stellt Probleme vor, die zu bestimmten Gleichungen ersten und zweiten Grades führen. Die übrigen fünf Bücher enthalten größtenteils unbestimmte Gleichungen (Gleichungen, die mehr als eine Unbekannte enthalten, werden als unbestimmt bezeichnet). Diese Bücher enthalten noch keine systematische Theorie unbestimmter Gleichungen; die Lösungsmethoden variieren von Fall zu Fall. Diophantus begnügt sich mit einer Lösung, ganz oder teilweise, solange sie positiv ist. Allerdings bilden Methoden zur Lösung unbestimmter Gleichungen den wichtigsten Beitrag von Diophantus zur Mathematik. In der Symbolik des Diophantus gab es nur ein Zeichen für das Unbekannte. Beim Lösen unsicherer Gleichungen verwendete er beliebige Zahlen als mehrere Unbekannte, anstelle derer beliebige andere verwendet werden konnten, wodurch die Allgemeingültigkeit seiner Lösungen gewahrt blieb.

Der Zweck meiner Arbeit:

1. Setzen Sie Ihre Bekanntschaft mit diophantischen Gleichungen fort.

2. Untersuchen Sie Methoden der Aufzählung und Dispersion (Grinding) bei der Lösung diophantischer Gleichungen.

3. Untersuchen Sie die Möglichkeit, diophantische Gleichungen zur Lösung einiger praktischer Probleme zu verwenden.

II. Literaturische Rezension.

Beim Verfassen der Arbeit habe ich folgende Literatur verwendet:

Ich habe Informationen über Diophantus und al-Khorezmi verwendet.

Das Buch ist den Methoden von Diophantus zur Lösung unbestimmter Gleichungen gewidmet. Es erzählt vom Leben von Diophantus selbst. Ich habe diese Informationen in meiner Arbeit verwendet.

Das Buch erzählt von der Geschichte der Algebra seit der Antike. Ich nutze seit der Antike Informationen über die Gleichungstheorie.

Dieses Buch enthält etwa 200 Artikel, die den Grundkonzepten der Mathematik und ihren Anwendungen gewidmet sind. Ich habe Materialien aus den Artikeln „Algebra“, „Gleichungen“, „Diophantische Gleichungen“ verwendet.

Die Texte der Aufgaben zur praktischen Anwendung sind dem Buch entnommen.

Zum Thema habe ich die Seite genutzt:

http :// ru . Wikipedia . org (Informationen über al-Khorezmi und Diophantus. Über Methoden zur Lösung diophantischer Gleichungen).

Hauptteil

Heutzutage hat jeder, der Mathematik studiert hat, von diophantischen Gleichungen gehört. Algebraische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, die in der Menge ganzzahliger (seltener rationaler) Zahlen lösbar sind, gingen als diophantische Gleichungen in die Geschichte der Mathematik ein . Diophantische Gleichungen 1. und 2. Grades sind die am häufigsten untersuchten. Der Inhalt meiner Arbeit umfasst Probleme, die darauf hinauslaufen, eine Gleichung ersten Grades mit zwei Unbekannten zu lösen

(1)

Betrachten wir das Problem.

Aufgabe 1. Es gibt einen Käfig X Fasane und bei Kaninchen. Wie viele Fasane und Kaninchen gibt es in einem Käfig, wenn die Gesamtzahl der Beine 62 beträgt?

Gesamtzahl Beine können mit der Gleichung 2x+4y=62 (2) geschrieben werden.

Diese Gleichheit, die ich entsprechend den Bedingungen des Problems zusammengestellt habe, wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet. Diese Gleichung wird als lineare Gleichung bezeichnet. Lineare Gleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung verschiedener Probleme. Ich möchte Sie an die wichtigsten Bestimmungen erinnern, die mit diesem Konzept verbunden sind.

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form ax +by =c, wobei x und y Variablen sind und a, b und c einige Zahlen sind.

Bestimmen Sie aus Gleichung (2) eindeutig die Werte X Und j es ist verboten. Auch wenn wir uns nur auf natürliche Variablenwerte beschränken, kann es solche Fälle geben: 1 und 15, 3 und 14, 5 und 13 usw.

Ein Zahlenpaar ( a, b) heißt Lösung einer Gleichung in zwei Variablen, wenn wir durch Ersetzen von x durch a und y durch b eine echte Gleichheit erhalten.

Jede Gleichung mit zwei Variablen entspricht einer Menge ihrer Lösungen, also einer Menge, die aus allen Zahlenpaaren (a, b) besteht. Wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, erhält man eine echte Gleichheit. In diesem Fall natürlich, wenn die Mengen X und Y im Voraus angegeben werden, welches die Unbekannten x und y annehmen kann, dann müssen Sie nur solche Paare (a, b) nehmen, für die a zu X und b zu Y gehört.

Ein paar Zahlen ( a, b) kann auf der Ebene durch einen Punkt M mit Koordinaten dargestellt werden A und b, M= M(a, b). Betrachtet man die Bilder aller Punkte der Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten, erhält man eine bestimmte Teilmenge der Ebene. Man nennt ihn den Graphen der Gleichung .

Es kann bewiesen werden, dass durch die grafische Darstellung einer linearen Gleichung in zwei Variablen, in denen mindestens einer der Koeffizienten ungleich Null ist, ist eine Gerade. Um diese Gleichung grafisch darzustellen, reicht es aus, zwei Punkte mit Koordinaten zu nehmen und eine gerade Linie durch sie zu zeichnen. In meiner vorherigen Arbeit habe ich die grafische Lösungsmethode verwendet.

Zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden als äquivalent bezeichnet.

Beispielsweise sind die Gleichungen x+2y=5 und 3x+6y=15 äquivalent – ​​jedes Zahlenpaar, das eine dieser Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die zweite.

Gleichungen mit zwei Variablen haben die gleichen Eigenschaften wie Gleichungen mit einer Variablen:

1) Wenn Sie einen Term in einer Gleichung von einem Teil zum anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen ändern, erhalten Sie eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist;

2) Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diophantische Gleichungen zu lösen:

Aufzählungsmethode

Verwendung des Euklidischen Algorithmus

Kettenbruch verwenden

Streuverfahren (Mahlverfahren).

Durch die Programmierung in der Programmiersprache Pascal

In meiner Arbeit habe ich Methoden erforscht – Aufzählung von Optionen und Streuung (Grinding).

Bei der Betrachtung der Methode zur Aufzählung von Optionen muss die Anzahl der möglichen Lösungen der Gleichung berücksichtigt werden. Mit dieser Methode lässt sich beispielsweise folgendes Problem lösen:

Aufgabe 2. Andrey arbeitet im Sommer in einem Café. Für jede Stunde erhält er 10 Rubel. Und sie berechnen 2 Rubel. für jeden kaputten Teller. An letzte Woche er verdiente 180 Rubel. Bestimmen Sie, wie viele Stunden er gearbeitet hat und wie viele Teller er kaputt gemacht hat, wenn bekannt ist, dass er nicht mehr als 3 Stunden am Tag arbeitet.

Lösung.

Lassen X Er arbeitete also insgesamt Stunden pro Woche 10x R. Er wurde bezahlt, aber er hat es kaputt gemacht bei Teller, und von ihm abgezogen 2u R. Wir haben die Gleichung 10x – 2y =180, Und X kleiner oder gleich 21. Wir erhalten: 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

Als X also eine ganze Zahl bei muss vollständig durch 5 teilbar sein, damit die rechte Seite eine ganze Zahl wird. Es gibt vier mögliche Fälle

y=0, x=18, d. h. die Lösung ist das Paar – (18, 0);

y=5, x=19, (19, 5);

y=10, x=20, (20, 10);

y=15, x=21, (21, 15).

Ich habe dieses Problem mit der Methode der Aufzählung von Optionen gelöst. Die Antwort enthält vier mögliche Optionen. Ich habe versucht, auf diese Weise mehrere weitere Probleme zu lösen.

Aufgabe 3. Die Summe von 23 Rubel wird aus Zwei-Rubel- und Fünf-Rubel-Münzen gebildet. Wie viele dieser Münzen sind Zwei-Rubel-Münzen?

Lösung.

Lassen X - die Anzahl der Zwei-Rubel-Münzen, j – Anzahl der Fünf-Rubel-Münzen. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen: 2x+5y=23; 2x=23–5 Jahre; x = (23 – 5y):2; x = (22+1 – 5y):2, dividiere Term für Term 22 durch 2 und (1 – 5y) durch 2, wir erhalten: x = 11 + (1 – 5y):2.

Als X Und j Natürliche Zahlen gemäß den Bedingungen des Problems, dann ist die linke Seite der Gleichung eine natürliche Zahl, was bedeutet, dass die rechte Seite auch eine natürliche Zahl sein muss. Um außerdem eine natürliche Zahl auf der rechten Seite zu erhalten, muss der Ausdruck (1 – 5y) vollständig durch 2 teilbar sein. Lassen Sie uns die Optionen aufzählen.

y =1, x=9, das heißt, es können 9 Zwei-Rubel-Münzen sein;

y=2, während der Ausdruck (1 – 5y) nicht durch 2 teilbar ist;

y=3, x=4, das heißt, es können 4 Zwei-Rubel-Münzen sein;

Wenn y größer oder gleich 4 ist, ist x keine natürliche Zahl.

Die Antwort auf das Problem lautet also wie folgt: Unter den Münzen befinden sich 9 oder 4 Zwei-Rubel-Münzen.

Aufgabe 4. Scheherazade erzählt dem großen Herrscher ihre Geschichten. Insgesamt muss sie 1001 Geschichten erzählen. Wie viele Nächte wird Scheherazade brauchen, um all ihre Geschichten zu erzählen? X Abends wird sie 3 Märchen erzählen, die restlichen Märchen 5 pro Nacht bei Nächte

Lösung.

Der Geschichtenerzähler benötigt x + y Nächte , wo x und y – natürliche Wurzeln der Gleichung 3x+5y=1001

x = (1001 – 5y):3; als X eine natürliche Zahl ist, muss die rechte Seite der Gleichung auch eine natürliche Zahl enthalten, was bedeutet, dass der Ausdruck (1001 – 5y) gleichmäßig durch 3 teilbar sein muss.

Lassen Sie uns die Optionen durchgehen.

y=1, 1001 – 5y=1001-5= 996, 996 wird durch 3 geteilt, also x=332; Entscheidung (332;1);

y=2, 1001– 10=991, 991 ist nicht durch 3 teilbar;

y=3, 1001 – 15 = 986; 986 ist nicht durch 3 teilbar;

y = 4, 1001 – 20 = 981, 981 wird durch 3 geteilt, daher x = 327, Lösung (327;4) usw.

Es gibt 67 Paare möglicher Wurzeln in diesem Problem; ich habe nicht alle Lösungen für dieses Problem gezeigt, weil es viel Zeit in Anspruch nimmt.

Die gleichung Axt + von = C (1) Bei den oben genannten Problemen habe ich sie durch Aufzählen von Optionen gelöst. Ich habe selbst erkannt, dass die Methode der Aufzählung von Optionen zur Lösung dieses Problems nicht immer effektiv ist, da das Finden aller Lösungen der Gleichung viel Zeit in Anspruch nimmt. Und meiner Meinung nach ist es derzeit irrelevant.

Daher habe ich das Scheherazade-Problem mit der Streumethode (Mahlmethode) gelöst.

Die Streumethode ist eine allgemeine Methode zum Lösen undefinierter Gleichungen ersten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten in ganzen Zahlen.

Lösen wir also das Problem zu Scheherazade mithilfe der Streumethode:

Wenden wir uns der Gleichung 3x + 5y = 1001 zu.

Schreiben wir es anders um: 3x = 1001- 5y; 3x= 1001 - 2y - 3y;

x = – y +
und bezeichnen X l= y + X

Infolgedessen nimmt die Gleichung die Form 3x an 1 = 1001 – 2у oder

y = – X l
.

Machen wir erneut die Ersetzung y 1 = y + x 1, dann kommen wir zur Gleichung

x 1 + 2у 1 = 1001. Beachten Sie, dass die Koeffizienten für die Unbekannten abgenommen haben – kleiner geworden sind.

Hier ist der Koeffizient für x 1 gleich 1 und daher ist für jede ganze Zahl y 1 = t auch die Zahl x 1 eine ganze Zahl. Es bleibt noch, die ursprünglichen Variablen durch t auszudrücken:

x 1 = 1001 – 2 t, also y = – 1001 + 3 t und x = 2002 – 5 t. Wir erhalten also eine unendliche Folge (2002 – 5 t, – 1001 + 3 t) ganzzahliger Lösungen . Das Aussehen der Formeln zum Ermitteln der Werte von Variablen unterscheidet sich von den zuvor erhaltenen Lösungen, aber unter Berücksichtigung der Bedingungen des Problems sind die Wurzeln dieselben. Somit wird das Paar (332;1) bei t =334 erhalten.

Meiner Meinung nach ist diese Methode nicht nur bequemer (sie verfügt über einen Aktionsalgorithmus), sondern auch interessant. Es ist bekannt, dass diese Methode V Erstmals am Anfang verwendetVIV. Indischer Mathematiker Aryabhatta.

Letztes Jahr habe ich Brahmaguptas Lösung des altindischen Problems anhand der von Brahmagupta selbst vorgeschlagenen Dispersionsmethoden gezeigt. Die Entscheidung war irrational.

Nachfolgend wird es dargestellt:

„Finden Sie zwei ganze Zahlen und wissen Sie, dass die Differenz zwischen den Produkten der ersten mit 19 und der zweiten mit 8 13 beträgt.“

Das Problem erfordert das Finden aller ganzzahligen Lösungen von Gleichungen.

Lösung:

(1) 19X – 8j = 13

Ich drücke aus j– unbekannt mit dem kleinsten Absolutwertkoeffizienten durch X, Ich bekomme:

(2) j = (19X – 13)/8

Jetzt müssen wir herausfinden, bei welchen ganzzahligen Werten X entsprechende Werte j sind auch ganze Zahlen. Ich werde Gleichung (2) wie folgt umschreiben:

(3) j = 2X + (3X – 13)/8

Aus (3) folgt, dass y, wenn x eine ganze Zahl ist, nur dann einen ganzzahligen Wert annimmt, wenn der Ausdruck (3 X-13)/8 ist beispielsweise eine ganze Zahl j 1 . Glauben

(4) (3X - 13)/8 = j 1 ,

Die Frage reduziert sich auf die Lösung der Gleichung (4) in ganzen Zahlen mit zwei Unbekannten x und j 1 ; es kann so geschrieben werden:

(5) 3X – 8j 1 = 13.

Diese Gleichung hat gegenüber der ursprünglichen Gleichung (1) den Vorteil, dass 3 – der kleinste der Absolutwerte der Koeffizienten für die Unbekannten – kleiner ist als in (1), also 8. Dies wurde dadurch erreicht, dass der Koeffizient von x (19) durch den Rest der Division durch 8 ersetzt wurde.

Wenn wir auf die gleiche Weise fortfahren, erhalten wir aus (5):

(6) X= (8J 1 +13)/3 = 2j 1 + (2j 1 + 13)/3.

Das unbekannte x mit der Ganzzahl y 1 nimmt also nur dann ganzzahlige Werte an, wenn (2 j 1 + 13)/3 ist beispielsweise eine ganze Zahl j 2 :

(7) (2j 1 + 1)/3 = j 2 ,

oder

(8) 3j 2 – 2 j 1 = 13.

(9) j 1 = (3j 2 - 13)/2 = j 2 + (j 2 - 13)/2

Glauben

(10) (j 2 - 13)/2 = j 3 ,

Ich bekomme

(11) j 2 – 2 j 3 = 13.

Dies ist die einfachste aller betrachteten unbestimmten Gleichungen, da einer der Koeffizienten gleich 1 ist.

Aus (11) erhalte ich:

(12) j 2 = 2j 3 + 13.

Dies zeigt, dass y 2 für alle ganzzahligen Werte von y 3 ganzzahlige Werte annimmt. Aus den Gleichungen (6), (9), (12), (3) kann man durch aufeinanderfolgende Substitutionen die folgenden Ausdrücke für die Unbekannten x und y der Gleichung (1) finden:

X= 2j 1 +j 2 = 2(j 2 +j 3 ) + j 2 = 3y 2 + 2 j 3 = 3(2j 2 + 13) + 2j 3 = 8j 3 + 39;

bei= 2X + j 1 = 2(8j 3 + 39) + j 2 + j 3 = 19j 3 +91.

Daher die Formeln

x = 8 j 3 + 39,

y=19 j 3 + 91.

Bei y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, ... geben alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung (1) an.

Die folgende Tabelle enthält Beispiele für solche Lösungen.

Tabelle 1.

y3

X

j

Lassen Sie uns dieses Problem rational lösen. Die Lösung verwendet einen bestimmten Algorithmus.

Aufgabe 5.

Finden Sie zwei Zahlen, wenn die Differenz zwischen den Produkten der ersten mit 19 und der zweiten mit 8 13 beträgt.

Lösung. Sie müssen die Gleichung 19x - 8y = 13 lösen

Schreiben wir es anders um: 8y =19x –13; 8y =16x +3x –13; y = 2x +

und bezeichnen y 1 = y - 2x.

Infolgedessen nimmt die Gleichung die Form 8y 1 = 3x - 13 oder x = 2y 1 an
.

Machen wir erneut die Ersetzung x 1 = x - 2y 1, dann kommen wir zur Gleichung

3x l - 2у 1 = 13.

Die Koeffizienten für die Unbekannten haben abgenommen – sind kleiner geworden. Weiteres Schleifen: y 1 = x l +
, dann erhalten wir y 2 =y 1 – x 1.

Dadurch wird die letzte Gleichung in die Form x 1 - 2y 2: = 13 umgewandelt. Hier ist der Koeffizient für x 1 gleich 1 und daher ist für jede ganze Zahl y 2 = t auch die Zahl x 1 an ganze Zahl.

Es bleibt noch, die ursprünglichen Variablen durch t auszudrücken:

Zuerst drücken wir x 1 = 2t +13, y 1 = 3t +13 aus; und dann x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

Wir erhalten also eine unendliche Folge (39 + 8T, 91 + 19 T) ganzzahlige Lösungen. Die gleichung Axt + von = C (1) Bei den oben genannten Problemen habe ich sie mit der Streumethode (Mahlmethode) gelöst.

IV. Abschluss.

Als ich diophantische Gleichungen untersuchte, um sie zu lösen, verwendete ich die Methoden der Aufzählung von Optionen und der Dispersion (Mahlen). Mit diesen Methoden habe ich sowohl moderne als auch antike Probleme gelöst. Der Inhalt meiner Arbeit umfasste Probleme, die darauf hinausliefen, Gleichungen ersten Grades mit zwei Variablen ax+b y=c (1) zu lösen.

Im Laufe meiner Arbeit bin ich zu folgenden Schlussfolgerungen gekommen:

Die Brute-Force-Methode erfordert viel Zeit, was bedeutet, dass sie nicht sehr praktisch und rational ist.

Rationeller ist meiner Meinung nach die Streumethode. Als ich mit dieser Methode ein altes indisches Problem löste, wurde mir klar, dass es einen bestimmten Algorithmus zu seiner Lösung gab. Das Wissen, das ich in der Schule erhielt, reichte mir. Ich bin davon überzeugt, dass die Methoden zur Lösung von Gleichungen aus der Zeit vor Fant mit der Entwicklung der Mathematik ständig verbessert werden.

Nächstes Jahr möchte ich mich weiter mit Methoden zur Lösung diophantischer Gleichungen befassen.

V. Referenzliste

G. I. Glazer „Geschichte der Mathematik in der Schule“ M.: Hrsg. „Aufklärung“ 1964 376s.

I. G. Bashmakova „Diophantische und diophantische Gleichungen“ M.: Hrsg. „Wissenschaft“ 1972 68er.

V. A. Nikiforovsky „In der Welt der Gleichungen“ M.: Hrsg. „Wissenschaft“ 1987 176s.

A. P. Savin“ Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker" M.: Hrsg. „Pädagogik“ 1985

G. M. Voznyak, V. F. Gusev „Angewandte Probleme auf Extrema“ M.: Hrsg. „Aufklärung“ 1985 144s.

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VI. Anwendung.

Der Bauernhof muss ein 167 m langes Wasserversorgungssystem installieren. Rohre sind in den Längen 5m und 7m erhältlich. Wie viele dieser und anderer Rohre sollten verwendet werden, um möglichst wenige Verbindungen herzustellen (Rohre nicht durchtrennen)?

Da die Anzahl sowohl des einen als auch des anderen Rohrs variieren kann, wird die Anzahl der 7-Meter-Rohre mit bezeichnet x.5– Meter – durch bei

Dann ist 7x die Länge von 7-Meter-Rohren und 5y die Länge von 5-Meter-Rohren.

Von hier aus erhalten wir die unbestimmte Gleichung:

7x+5y=167

Indem Sie beispielsweise die Variable ausdrücken beiüber Variable X, wir bekommen:

Mit der Brute-Force-Methode ist es einfach, entsprechende Wertepaare zu finden X Und bei, die die Gleichung 7x+5y=167 erfüllen

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

Von diesen Lösungen ist die letzte die profitabelste, d. h. x = 21; y=4.

Viele alte Methoden zum Erraten von Zahlen und Geburtsdaten basieren auf der Lösung diophantischer Gleichungen. Um beispielsweise das Geburtsdatum (Monat und Tag) des Gesprächspartners zu erraten, reicht es aus, ihn nach der Summe zu fragen, die sich aus der Addition zweier Produkte ergibt: der Datumsnummer (X ) durch 12 und Monatszahlen (bei ) am 31.

2. Die Summe der betreffenden Produkte sei gleich 330. Ermitteln Sie das Geburtsdatum.

Lassen Sie uns eine unsichere Gleichung lösen

12 X + 31 bei = 330.

Mit der Streumethode erhalten wir:

X = 43 – 31 bei 4 ,

bei = 6 – 12 bei 4 .

Aufgrund der Einschränkungen kann man leicht sagen, dass dies die einzige Lösung ist

bei 4 = 1, X = 12, bei = 6.

Also Geburtsdatum: 12. Tag des 6. Monats, d.h. 12. Juni.

Um eine lineare diophantische Gleichung zu lösen, müssen Sie die Werte der Variablen „x“ und „y“ ermitteln, die ganze Zahlen sind. Die ganzzahlige Lösung ist komplexer als die übliche und erfordert eine Reihe bestimmter Aktionen. Zuerst müssen Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Koeffizienten berechnen und dann die Lösung finden. Wenn Sie eine ganzzahlige Lösung für eine lineare Gleichung finden, können Sie ein einfaches Muster anwenden, um eine unendliche Anzahl anderer Lösungen zu finden.

Schritte

Teil 1

Wie schreibt man eine Gleichung?

Schreiben Sie die Gleichung in Standardform. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Exponenten der Variablen 1 nicht überschreiten. Um eine solche lineare Gleichung zu lösen, schreiben Sie sie zunächst in Standardform. Die Standardform einer linearen Gleichung sieht folgendermaßen aus: A x + B y = C (\displaystyle Ax+By=C), Wo A , B (\displaystyle A,B) Und C (\displaystyle C)- ganze Zahlen.

Vereinfachen Sie die Gleichung (falls möglich). Wenn Sie die Gleichung in Standardform geschrieben haben, schauen Sie sich die Koeffizienten an A , B (\displaystyle A,B) Und C (\displaystyle C). Wenn diese Quoten einen GCD haben, dividieren Sie alle drei Quoten durch diesen. Die Lösung einer solchen vereinfachten Gleichung ist auch eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Prüfen Sie, ob die Gleichung lösbar ist. In manchen Fällen können Sie sofort erklären, dass die Gleichung keine Lösungen hat. Wenn der Koeffizient „C“ nicht durch den ggT der Koeffizienten „A“ und „B“ teilbar ist, hat die Gleichung keine Lösungen.

Teil 2

So schreiben Sie den euklidischen Algorithmus

1. Verstehen Sie den Algorithmus von Euklid. Dabei handelt es sich um eine Reihe wiederholter Divisionen, bei denen der vorherige Rest als nächster Teiler verwendet wird. Der letzte Teiler, der Zahlen durch eine ganze Zahl dividiert, ist der größte gemeinsame Teiler (GCD) der beiden Zahlen.

   Wenden Sie den euklidischen Algorithmus auf die Koeffizienten „A“ und „B“ an. Nachdem Sie die lineare Gleichung in Standardform geschrieben haben, bestimmen Sie die Koeffizienten „A“ und „B“ und wenden Sie dann den euklidischen Algorithmus auf sie an, um die GCD zu ermitteln. Zum Beispiel gegeben die lineare Gleichung 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3).

   Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD). Da der letzte Teiler 1 war, ist der gcd von 87 und 64 1. Somit sind 87 und 64 Primzahlen im Verhältnis zueinander.

   Analysieren Sie das Ergebnis. Wenn Sie den GCD der Koeffizienten finden A (\displaystyle A) Und B (\displaystyle B), vergleichen Sie es mit dem Koeffizienten C (\displaystyle C) ursprüngliche Gleichung. Wenn C (\displaystyle C) dividiert durch ggT A (\displaystyle A) Und B (\displaystyle B), die Gleichung hat eine ganzzahlige Lösung; andernfalls hat die Gleichung keine Lösungen.

Teil 3

So finden Sie eine Lösung mit dem Euklidischen Algorithmus

Nummerieren Sie die Schritte zur Berechnung des GCD. Um eine Lösung für eine lineare Gleichung zu finden, müssen Sie den Euklidischen Algorithmus als Grundlage für den Substitutions- und Vereinfachungsprozess verwenden.

Beachten Sie im letzten Schritt, wo noch ein Rest vorhanden ist. Schreiben Sie die Gleichung für diesen Schritt neu, um den Rest zu isolieren.

Isolieren Sie den Rest des vorherigen Schritts. Dieser Prozess ist ein schrittweises „Aufsteigen“. Jedes Mal isolieren Sie den Rest in der Gleichung des vorherigen Schritts.

Ersetzen und vereinfachen. Beachten Sie, dass die Gleichung in Schritt 6 die Zahl 2 enthält, in der Gleichung in Schritt 5 die Zahl 2 jedoch isoliert ist. Ersetzen Sie daher anstelle von „2“ in der Gleichung von Schritt 6 den Ausdruck von Schritt 5:

Wiederholen Sie den Ersetzungs- und Vereinfachungsprozess. Wiederholen Sie den beschriebenen Vorgang und durchlaufen Sie den euklidischen Algorithmus in umgekehrter Reihenfolge. Jedes Mal schreiben Sie die Gleichung aus dem vorherigen Schritt neu und setzen sie in die zuletzt erhaltene Gleichung ein.

1. Setzen Sie den Substitutions- und Vereinfachungsprozess fort. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis Sie den ersten Schritt des euklidischen Algorithmus erreichen. Ziel des Prozesses ist es, eine Gleichung mit den Koeffizienten 87 und 64 der zu lösenden Originalgleichung aufzuschreiben. In unserem Beispiel:

   • 1 = 2 (18) − 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
   • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(ersetzt den Ausdruck aus Schritt 3)
   • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(ersetzt den Ausdruck aus Schritt 2)
   • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(ersetzt den Ausdruck aus Schritt 1)