3 Dreieckshöhen. Zusammenfassung der Lektion „Satz über den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks“. Verhältnis der Elemente in einem rechtwinkligen Dreieck
Dreiecke.
Grundlegendes Konzept.
Dreieck ist eine Figur, die aus drei Segmenten und drei Punkten besteht, die nicht auf derselben Geraden liegen.
Die Segmente werden aufgerufen Parteien, und die Punkte sind Gipfel.
Summe der Winkel Dreieck ist 180º.
Höhe des Dreiecks.
Dreieckshöhe- Dies ist eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird.
Bei einem spitzen Dreieck ist die Höhe innerhalb des Dreiecks enthalten (Abb. 1).
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel die Höhen des Dreiecks (Abb. 2).
In einem stumpfen Dreieck erstreckt sich die Höhe über das Dreieck hinaus (Abb. 3).
Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks:
Winkelhalbierende eines Dreiecks.
Winkelhalbierende eines Dreiecks- Dies ist ein Segment, das die Ecke des Scheitelpunkts in zwei Hälften teilt und den Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet (Abb. 5).
Eigenschaften der Winkelhalbierenden:
Median eines Dreiecks.
Median eines Dreiecks- Dies ist ein Segment, das den Scheitelpunkt mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet (Abb. 9a).
| Die Länge des Medians kann mit der Formel berechnet werden: 2B 2 + 2C 2 - A 2 Wo m a- Median zur Seite gezogen A. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse: C Wo m c- Median zur Hypotenuse gezogen C(Abb.9c) Die Mediane des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (im Massenmittelpunkt des Dreiecks) und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Das heißt, die Strecke vom Scheitelpunkt zur Mitte ist doppelt so groß wie die Strecke von der Mitte zur Seite des Dreiecks (Abb. 9c). Die drei Mediane eines Dreiecks teilen es in sechs gleich große Dreiecke. |
Die Mittellinie des Dreiecks.
Mittellinie des Dreiecks- Dies ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet (Abb. 10).
Die Mittellinie des Dreiecks verläuft parallel zur dritten Seite und entspricht der Hälfte davon
Außenwinkel eines Dreiecks.
Außenecke eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel (Abb. 11).
Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder nicht benachbarte Winkel.
Rechtwinkliges Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen rechten Winkel hat (Abb. 12).
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse.
Die anderen beiden Seiten werden aufgerufen Beine.
Proportionale Segmente in einem rechtwinkligen Dreieck.
1) In einem rechtwinkligen Dreieck bildet die aus dem rechten Winkel gezogene Höhe drei ähnliche Dreiecke: ABC, ACH und HCB (Abb. 14a). Dementsprechend sind die durch die Höhe gebildeten Winkel gleich den Winkeln A und B.
Abb.14a
Gleichschenkligen Dreiecks.
Gleichschenkligen Dreiecks ist ein Dreieck, dessen beiden Seiten gleich sind (Abb. 13).
Diese gleichen Seiten werden aufgerufen Seiten, und der dritte - Basis Dreieck.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Grundwinkel gleich. (In unserem Dreieck ist Winkel A gleich Winkel C).
In einem gleichschenkligen Dreieck ist der zur Basis gezogene Mittelwert sowohl die Winkelhalbierende als auch die Höhe des Dreiecks.
Gleichseitiges Dreieck.
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind (Abb. 14).
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks:
Bemerkenswerte Eigenschaften von Dreiecken.
Dreiecke verfügen über einzigartige Eigenschaften, die Ihnen dabei helfen, Probleme im Zusammenhang mit diesen Formen erfolgreich zu lösen. Einige dieser Eigenschaften sind oben beschrieben. Aber wir wiederholen sie noch einmal und fügen ihnen noch einige weitere wunderbare Funktionen hinzu:
| 1) In einem rechtwinkligen Dreieck mit Winkeln von 90°, 30° und 60° B, einem Winkel von 30° gegenüberliegend, ist gleich die Hälfte der Hypotenuse. Ein BeinA mehr BeinB√3 Mal (Abb. 15 A). Wenn beispielsweise Bein b 5 ist, dann ist die Hypotenuse C notwendigerweise gleich 10, und das Bein A entspricht 5√3. 2) In einem rechtwinkligen gleichschenkligen Dreieck mit den Winkeln 90°, 45° und 45° ist die Hypotenuse √2-mal größer als das Bein (Abb. 15). B). Wenn zum Beispiel die Beine 5 sind, dann ist die Hypotenuse 5√2. 3) Die Mittellinie des Dreiecks entspricht der Hälfte der parallelen Seite (Abb. 15). Mit). Wenn zum Beispiel die Seite eines Dreiecks 10 ist, dann ist die dazu parallele Mittellinie 5. 4) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse (Abb. 9c): m c= s/2. 5) Die Mittelwerte eines Dreiecks, das sich in einem Punkt schneidet, werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 geteilt. Das heißt, die Strecke vom Scheitelpunkt bis zum Schnittpunkt der Mediane ist doppelt so groß wie die Strecke vom Schnittpunkt der Mediane zur Seite des Dreiecks (Abb. 9c) 6) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Mitte der Hypotenuse der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises (Abb. 15). D). |
Zeichen der Gleichheit von Dreiecken.
Erstes Zeichen der Gleichberechtigung: Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.
Zweites Zeichen der Gleichheit: Wenn eine Seite und ihre angrenzenden Winkel eines Dreiecks gleich der Seite und ihre angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.
Drittes Zeichen der Gleichheit: Wenn drei Seiten eines Dreiecks gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.
Dreiecksungleichung.
In jedem Dreieck ist jede Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten.
Satz des Pythagoras.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel:
C 2 = A 2 + B 2 .
Fläche eines Dreiecks.
1) Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Seite und der zu dieser Seite gezeichneten Höhe:
Ah
S = ——
2
2) Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus zwei beliebigen Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:
1
S = —
AB ·
A.C. ·
Sünde A
2
Ein um einen Kreis umschriebenes Dreieck.
Ein Kreis heißt in ein Dreieck eingeschrieben, wenn er alle seine Seiten berührt (Abb. 16). A).
Ein in einen Kreis eingeschriebenes Dreieck.
Ein Dreieck gilt als in einen Kreis eingeschrieben, wenn es diesen mit allen seinen Ecken berührt (Abb. 17). A).
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks (Abb. 18).
Sinus spitzer Winkel X Gegenteil Bein zur Hypotenuse.
Es wird wie folgt bezeichnet: SündeX.
Kosinus spitzer Winkel X eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis benachbart Bein zur Hypotenuse.
Wird wie folgt bezeichnet: cos X.
Tangente spitzer Winkel X- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite.
Es wird wie folgt bezeichnet: tgX.
Kotangens spitzer Winkel X- Dies ist das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.
Es wird wie folgt bezeichnet: ctgX.
Regeln:
Bein gegenüber der Ecke X, ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und Sünde X:
b = c Sünde X
Bein neben der Ecke X, ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und cos X:
a = c cos X
Bein gegenüber der Ecke X, ist gleich dem Produkt des zweiten Beins mit tg X:
b = a tg X
Bein neben der Ecke X, ist gleich dem Produkt des zweiten Abschnitts mit ctg X:
a = b· ctg X.
Für jeden spitzen Winkel X:
Sünde (90° - X) = cos X
cos (90° - X) = Sünde X
Es ist fast nie möglich, alle Parameter eines Dreiecks ohne zusätzliche Konstruktionen zu bestimmen. Diese Konstruktionen sind einzigartige grafische Merkmale eines Dreiecks, die dabei helfen, die Größe der Seiten und Winkel zu bestimmen.
Definition
Eines dieser Merkmale ist die Höhe des Dreiecks. Die Höhe ist eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt eines Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Ein Scheitelpunkt ist einer der drei Punkte, die zusammen mit den drei Seiten ein Dreieck bilden.
Die Definition der Höhe eines Dreiecks könnte so klingen: Die Höhe ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Dreiecks zu der Geraden gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.
Diese Definition klingt komplizierter, spiegelt die Situation jedoch genauer wider. Tatsache ist, dass es in einem stumpfen Dreieck nicht möglich ist, die Höhe innerhalb des Dreiecks einzutragen. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, ist die Höhe in diesem Fall außen. Darüber hinaus ist es keine Standardsituation, die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck zu konstruieren. In diesem Fall verlaufen zwei der drei Höhen des Dreiecks durch die Schenkel und die dritte vom Scheitelpunkt bis zur Hypotenuse.
Reis. 1. Höhe eines stumpfen Dreiecks.
Typischerweise wird die Höhe eines Dreiecks mit dem Buchstaben h bezeichnet. Die Höhe ist auch in anderen Abbildungen angegeben.
Wie finde ich die Höhe eines Dreiecks?
Es gibt drei Standardmethoden, um die Höhe eines Dreiecks zu ermitteln:
Durch den Satz des Pythagoras
Diese Methode wird für gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke verwendet. Lassen Sie uns die Lösung für ein gleichschenkliges Dreieck analysieren und dann sagen, warum dieselbe Lösung für ein gleichseitiges Dreieck gilt.
Gegeben: gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis AC. AB=5, AC=8. Finden Sie die Höhe des Dreiecks.
Reis. 2. Zeichnen für das Problem.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist es wichtig zu wissen, welche Seite die Basis ist. Dies bestimmt die Seiten, die gleich sein müssen, sowie die Höhe, in der bestimmte Eigenschaften wirken.
Eigenschaften der Höhe eines zur Basis gezogenen gleichschenkligen Dreiecks:
- Die Höhe stimmt mit dem Median und der Winkelhalbierenden überein
- Teilt die Basis in zwei gleiche Teile.
Wir bezeichnen die Höhe als ÂD. Wir finden DC als die Hälfte der Basis, da die Höhe des Punktes D die Basis in zwei Hälften teilt. DC=4
Die Höhe ist eine Senkrechte, was bedeutet, dass BDC ein rechtwinkliges Dreieck ist und die Höhe BH ein Schenkel dieses Dreiecks ist.
Lassen Sie uns die Höhe mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$
Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichschenklig, nur seine Grundfläche ist gleich seinen Seiten. Das heißt, Sie können dasselbe Verfahren verwenden.
Durch die Fläche eines Dreiecks
Diese Methode kann für jedes Dreieck verwendet werden. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Fläche des Dreiecks und die Seite kennen, auf der die Höhe gezeichnet wird.
Die Höhen in einem Dreieck sind nicht gleich, daher kann für die entsprechende Seite die entsprechende Höhe berechnet werden.
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet: $$S=(1\over2)*bh$$, wobei b die Seite des Dreiecks und h die zu dieser Seite gezogene Höhe ist. Lassen Sie uns die Höhe anhand der Formel ausdrücken:
$$h=2*(S\über b)$$
Wenn die Fläche 15 beträgt, die Seite 5 beträgt, beträgt die Höhe $$h=2*(15\over5)=6$$
Durch die trigonometrische Funktion
Die dritte Methode ist geeignet, wenn Seite und Winkel an der Basis bekannt sind. Dazu müssen Sie die trigonometrische Funktion verwenden.
Reis. 3. Zeichnen für das Problem.
Winkel ВСН=300 und Seite BC=8. Wir haben immer noch das gleiche rechtwinklige Dreieck BCH. Verwenden wir den Sinus. Sinus ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse, das heißt: BH/BC=cos BCH.
Der Winkel ist bekannt, ebenso die Seite. Lassen Sie uns die Höhe des Dreiecks ausdrücken:
$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$
Der Kosinuswert wird im Allgemeinen den Bradis-Tabellen entnommen, die Werte der trigonometrischen Funktionen für 30,45 und 60 Grad sind jedoch Tabellenzahlen.
Was haben wir gelernt?
Wir haben gelernt, wie hoch ein Dreieck ist, welche Höhen es gibt und wie sie bezeichnet werden. Wir haben typische Probleme herausgefunden und drei Formeln für die Höhe eines Dreiecks aufgeschrieben.
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Bei der Lösung verschiedener Arten von Problemen, sowohl rein mathematischer als auch angewandter Natur (insbesondere im Bauwesen), ist es häufig erforderlich, den Wert der Höhe einer bestimmten geometrischen Figur zu bestimmen. Wie berechnet man diesen Wert (Höhe) in einem Dreieck?
Wenn wir 3 Punkte paarweise kombinieren, die nicht auf einer einzigen Linie liegen, dann ist die resultierende Figur ein Dreieck. Die Höhe ist der Teil einer geraden Linie von einem beliebigen Scheitelpunkt einer Figur, der beim Schnitt mit der gegenüberliegenden Seite einen Winkel von 90° bildet.
Finden Sie die Höhe eines ungleichseitigen Dreiecks
Bestimmen wir den Wert der Höhe eines Dreiecks für den Fall, dass die Figur beliebige Winkel und Seiten hat.
Herons Formel
h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, wobei
p – halber Umfang der Figur, h(a) – ein Segment zur Seite a, im rechten Winkel dazu gezeichnet,
p=(a+b+c)/2 – Berechnung des Halbumfangs.
Wenn es eine Fläche der Figur gibt, können Sie die Beziehung h(a)=2S/a verwenden, um deren Höhe zu bestimmen.
Trigonometrische Funktionen
Um die Länge eines Segments zu bestimmen, das beim Schnitt mit Seite a einen rechten Winkel bildet, können Sie die folgenden Beziehungen verwenden: Wenn Seite b und Winkel γ oder Seite c und Winkel β bekannt sind, dann ist h(a)=b*sinγ oder h(a)=c *sinβ.
Wo:
γ – Winkel zwischen Seite b und a,
β ist der Winkel zwischen Seite c und a.
Zusammenhang mit Radius
Wenn das ursprüngliche Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist, können Sie den Radius eines solchen Kreises zur Bestimmung der Höhe verwenden. Sein Mittelpunkt befindet sich an dem Punkt, an dem sich alle drei Höhen schneiden (von jedem Scheitelpunkt aus) – dem Orthozentrum, und der Abstand von ihm zum Scheitelpunkt (beliebig) ist der Radius.
Dann ist h(a)=bc/2R, wobei:
b, c – 2 andere Seiten des Dreiecks,
R ist der Radius des Kreises, der das Dreieck umschreibt.
Finden Sie die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck
Bei dieser Art von geometrischer Figur bilden zwei Seiten, wenn sie sich schneiden, einen rechten Winkel – 90°. Wenn Sie also den Höhenwert darin bestimmen möchten, müssen Sie entweder die Größe eines der Beine oder die Größe des Segments berechnen, das mit der Hypotenuse einen 90°-Winkel bildet. Bei der Benennung:
a, b – Beine,
c – Hypotenuse,
h(c) – senkrecht zur Hypotenuse.
Mithilfe der folgenden Beziehungen können Sie die notwendigen Berechnungen durchführen:
- Satz des Pythagoras:
a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, weil S=ab/2, dann h(c)=ab/c.
- Trigonometrische Funktionen:
a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.
Finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks
Das geometrische Figur Es zeichnet sich durch das Vorhandensein von zwei gleich großen Seiten und einer dritten – der Basis – aus. Um die Höhe der dritten, unterschiedlichen Seite zu bestimmen, hilft der Satz des Pythagoras. Mit Notation
a – Seite,
c – Basis,
h(c) ist ein Segment zu c in einem Winkel von 90°, dann ist h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).
