우주의 큐브. 일반적으로 Tesseract 및 n차원 큐브. 예술 속의 하이퍼큐브

어벤져스 영화의 팬이라면, '테서렉트'라는 단어를 들으면 가장 먼저 떠오르는 것은 무한한 힘을 담고 있는 투명한 큐브 모양의 인피니티 스톤 용기일 것입니다.

Marvel Universe의 팬들에게 Tesseract는 지구뿐만 아니라 다른 행성의 사람들도 미치게 만드는 빛나는 파란색 큐브입니다. 이것이 바로 테서렉트의 극도로 파괴적인 힘으로부터 지구인들을 보호하기 위해 모든 어벤저스가 모인 이유입니다.

그러나 이것은 말해야 합니다: Tesseract는 실제 기하학적 개념, 또는 오히려 4D에 존재하는 모양입니다. 그냥 어벤저스에 나오는 블루큐브가 아니라... 실제 컨셉이에요.

테서렉트는 4차원 물체이다. 하지만 자세히 설명하기 전에 처음부터 시작해 보겠습니다.

"측정"이란 무엇입니까?

공간에 있는 2차원 또는 3차원 물체를 각각 나타내는 2D와 3D라는 용어는 누구나 들어본 적이 있을 것입니다. 그런데 이것들은 무엇입니까?

차원은 단순히 당신이 갈 수 있는 방향이다. 예를 들어, 종이에 선을 그리는 경우 왼쪽/오른쪽(x축) 또는 위/아래(y축)로 이동할 수 있습니다. 그래서 우리는 두 방향으로만 갈 수 있기 때문에 종이가 2차원이라고 말합니다.

3D에는 깊이감이 있습니다.

이제 현실 세계에서는 위에서 언급한 두 방향(왼쪽/오른쪽 및 위/아래) 외에도 "to/from"으로 이동할 수도 있습니다. 결과적으로 3D 공간에 깊이감이 더해집니다. 그러므로 우리는 이렇게 말합니다. 실생활 3차원.

점은 어떤 방향으로도 움직이지 않기 때문에 0차원을 나타낼 수 있고, 선은 1차원(길이)을 나타내고, 정사각형은 2차원(길이와 너비)을 나타내고, 큐브는 3차원(길이, 너비, 높이)을 나타냅니다. ).

3D 큐브를 가져와 각 면(현재 정사각형)을 큐브로 바꿉니다. 그래서! 당신이 얻는 모양은 정팔포체입니다.

정팔포체란 무엇입니까?

쉽게 말하면 정팔포체는 4차원 공간의 정육면체입니다. 큐브의 4D 아날로그라고 말할 수도 있습니다. 이것은 각 면이 정육면체인 4D 모양입니다.

두 개의 직교 평면을 중심으로 이중 회전을 수행하는 정팔포체의 3D 투영입니다.
이미지: 제이슨 하이세

차원을 개념화하는 간단한 방법은 다음과 같습니다. 정사각형은 2차원입니다. 따라서 각 모서리에는 서로 90도 각도로 연장되는 2개의 선이 있습니다. 큐브는 3D이므로 각 모서리에는 3개의 선이 있습니다. 마찬가지로 정팔포체는 4D 모양이므로 각 모서리에는 4개의 선이 연장되어 있습니다.

정팔포체를 상상하기 어려운 이유는 무엇입니까?

인간으로서 우리는 물체를 3차원으로 시각화하도록 진화했기 때문에 4D, 5D, 6D 등과 같은 추가 차원으로 들어가는 모든 것은 전혀 소개할 수 없기 때문에 우리에게 별 의미가 없습니다. 우리의 뇌는 우주의 4차원을 이해하지 못합니다. 우리는 그것에 대해 생각할 수 없습니다.

수술 후 강의를 할 수 있게 되자마자 학생들이 가장 먼저 던진 질문은 다음과 같았습니다.

4차원 큐브는 언제 그려주실 건가요? Ilyas Abdulkhaevich는 우리에게 약속했습니다!

사랑하는 친구들이 가끔 수학 교육 활동의 순간을 좋아했던 기억이 납니다. 그러므로 나는 여기서 수학자들을 위한 강의의 일부를 쓸 것이다. 그리고 지루하지 않게 노력하겠습니다. 물론 어떤 시점에서는 강의를 더 엄격하게 읽었습니다.

먼저 동의합시다. 4차원, 더욱이 5-6-7- 및 일반적으로 k차원 공간은 감각 감각으로 우리에게 주어지지 않습니다.
4차원 큐브가 무엇인지 처음 알려준 주일학교 선생님은 이렇게 말했습니다. “우리는 단지 3차원일 뿐이기 때문에 비참합니다.” 주일학교는 당연히 극도로 종교적이고 수학적이었습니다. 그 당시 우리는 하이퍼큐브를 연구하고 있었습니다. 일주일 전, 수학적 귀납법, 일주일 후 해밀턴이 그래프로 순환합니다. 따라서 이것은 7학년입니다.

우리는 4차원 큐브를 만질 수도, 냄새 맡을 수도, 듣거나 볼 수도 없습니다. 우리는 그것으로 무엇을 할 수 있나요? 우리는 그것을 상상할 수 있습니다! 우리의 뇌는 눈과 손보다 훨씬 더 복잡하기 때문입니다.

따라서 4차원 큐브가 무엇인지 이해하기 위해 먼저 우리가 사용할 수 있는 것이 무엇인지 이해해 봅시다. 3차원 큐브란 무엇인가?

그래 그래! 나는 당신에게 명확한 수학적 정의를 요구하는 것이 아닙니다. 가장 단순하고 일반적인 3차원 큐브를 상상해 보세요. 소개?

괜찮은.
3차원 큐브를 4차원 공간으로 일반화하는 방법을 이해하기 위해 2차원 큐브가 무엇인지 알아보겠습니다. 정말 간단해요 - 정사각형이에요!

정사각형에는 2개의 좌표가 있습니다. 큐브에는 3개가 있습니다. 정사각형 점은 두 개의 좌표가 있는 점입니다. 첫 번째는 0에서 1까지입니다. 두 번째는 0에서 1까지입니다. 큐브의 점에는 세 개의 좌표가 있습니다. 그리고 각각은 0부터 1까지의 숫자입니다.

4차원 큐브는 4개의 좌표를 가지고 있고 모든 것이 0부터 1까지인 것이라고 상상하는 것이 논리적입니다.

/* 0에서 1까지의 단순한 세그먼트에 불과한 1차원 큐브를 상상하는 것은 즉시 논리적입니다. */

그럼, 4차원 큐브는 어떻게 그리는 걸까요? 결국, 우리는 평면 위에 4차원 공간을 그릴 수 없습니다!
그런데 우리도 평면에 3차원 공간을 그리는 게 아니라 그리는 거죠. 투사 2차원 드로잉 평면에 드로잉 평면의 축이 "우리를 향하여" 향한다고 가정하여 세 번째 좌표(z)를 특정 각도로 배치합니다.

이제 4차원 큐브를 그리는 방법이 완전히 명확해졌습니다. 세 번째 축을 특정 각도에 배치한 것과 같은 방식으로 네 번째 축도 특정 각도에 배치하겠습니다.
그리고 - 짜잔! -- 4차원 큐브를 평면에 투영하는 것입니다.

무엇? 어쨌든 이것은 무엇입니까? 항상 뒷자리에서 속삭이는 소리가 들립니다. 이 뒤죽박죽된 선이 무엇인지 좀 더 자세히 설명하겠습니다.
먼저 3차원 큐브를 살펴보세요. 우리는 무엇을 했나요? 정사각형을 가져와 세 번째 축(z)을 따라 드래그했습니다. 그것은 더미로 함께 붙어 있는 수많은 정사각형 종이와 같습니다.
4차원 큐브도 마찬가지다. 편의상 그리고 SF 소설에서는 네 번째 축을 "시간 축"이라고 부르겠습니다. 우리는 일반적인 3차원 큐브를 가져와서 "지금"의 시간에서 "1시간 후"의 시간으로 드래그해야 합니다.

"현재" 큐브가 있습니다. 사진에서는 핑크색인데

이제 시간 축(녹색으로 표시)을 따라 네 번째 축을 따라 드래그합니다. 그리고 우리는 미래의 큐브인 파란색을 얻습니다.

"나우 큐브"의 각 꼭지점은 시간에 따른 흔적, 즉 세그먼트를 남깁니다. 그녀의 현재와 미래를 연결합니다.

간단히 말해서 가사 없이 두 개의 동일한 3차원 큐브를 그리고 해당 꼭지점을 연결했습니다.
3차원 큐브에서 했던 것과 똑같습니다. (동일한 2차원 큐브 2개를 그리고 꼭지점을 연결하세요.)

5차원 큐브를 그리려면 4차원 큐브(5번째 좌표가 0인 4차원 큐브와 5번째 좌표가 1인 4차원 큐브)의 복사본 두 개를 그리고 해당 정점을 가장자리와 연결해야 합니다. 사실, 비행기에는 가장자리가 너무 뒤죽박죽되어 아무것도 이해하는 것이 거의 불가능할 것입니다.

4차원 큐브를 상상하고 그릴 수 있게 되면 다양한 방식으로 이를 탐색할 수 있습니다. 당신의 마음과 그림 모두에서 그것을 탐험하는 것을 기억하십시오.
예를 들어. 2차원 큐브는 4개의 면이 1차원 큐브로 둘러싸여 있습니다. 이는 논리적입니다. 2개의 좌표 각각에 대해 시작과 끝이 모두 있습니다.
3차원 큐브는 6개의 면이 2차원 큐브로 둘러싸여 있습니다. 세 좌표 각각에는 시작과 끝이 있습니다.
이는 4차원 큐브가 8개의 3차원 큐브로 제한되어야 함을 의미합니다. 4개의 좌표 각각에 대해 - 양쪽에 있습니다. 위 그림에서 우리는 "시간" 좌표를 따라 제한하는 2개의 면을 분명히 볼 수 있습니다.

여기에 하이퍼큐브를 왼쪽과 오른쪽으로 제한하는 두 개의 큐브(평면에 비스듬히 투영된 2차원이 있기 때문에 약간 비스듬함)가 있습니다.

'상부'와 '하부'도 쉽게 알 수 있습니다.

가장 어려운 것은 "앞"과 "뒤"가 어디에 있는지 시각적으로 이해하는 것입니다. 앞쪽은 "현재 큐브"의 앞쪽 가장자리에서 시작하여 "미래의 큐브"의 앞쪽 가장자리까지 빨간색입니다. 뒷면은 보라색이에요.

다른 큐브가 발 밑에 얽혀 있어 다른 투영 좌표에서 하이퍼큐브가 제한되기 때문에 눈에 띄기 가장 어렵습니다. 그러나 큐브는 여전히 다릅니다! 여기에 "현재의 큐브"와 "미래의 큐브"가 강조 표시된 그림이 다시 있습니다.

물론 4차원 큐브를 3차원 공간에 투영하는 것도 가능합니다.
가능한 첫 번째 공간 모델은 그것이 어떻게 생겼는지 명확합니다. 2개의 큐브 프레임을 가져와 해당 정점을 새 가장자리와 연결해야 합니다.
지금은 이 모델 재고가 없습니다. 강의에서는 학생들에게 4차원 큐브의 조금 다른 3차원 모델을 보여줍니다.

여러분은 큐브가 이와 같은 평면에 어떻게 투영되는지 알고 있습니다.
그것은 우리가 위에서 큐브를 보는 것과 같습니다.

물론 가까운 가장자리는 큽니다. 그리고 먼 쪽 가장자리는 더 작게 보입니다. 우리는 가까운 쪽을 통해 그것을 봅니다.

이것이 4차원 큐브를 투영하는 방법입니다. 이제 큐브가 더 커졌습니다. 멀리서 미래의 큐브가 보이기 때문에 더 작아 보입니다.

반대편에. 위쪽에서.

가장자리 측면에서 직접:

갈비뼈 쪽에서:

그리고 마지막 각도는 비대칭입니다. 섹션에서 "내가 그의 갈비뼈 사이를 보았다고 말해주세요."

그렇다면 무엇이든 생각해 낼 수 있습니다. 예를 들어, 3차원 정육면체를 평면으로 전개하는 것과 마찬가지로(종이를 잘라서 접으면 정육면체를 얻는 것과 같습니다), 4차원 정육면체를 평면으로 전개하는 경우에도 마찬가지입니다. 공간. 이는 나무 조각을 잘라서 4차원 공간에서 접어서 정팔포체를 얻는 것과 같습니다.

4차원 큐브뿐만 아니라 n차원 큐브 전반에 대해 공부할 수 있습니다. 예를 들어, n차원 정육면체 주위에 외접하는 구의 반지름이 이 정육면체의 모서리 길이보다 작다는 것이 사실입니까? 아니면 더 간단한 질문이 있습니다. n차원 큐브에는 몇 개의 꼭지점이 있습니까? 모서리(1차원 면)는 몇 개입니까?

기하학에서 하이퍼큐브- 이것 N정사각형의 차원적 비유( N= 2) 및 큐브( N= 3). 도형의 반대쪽 가장자리에 위치하고 서로 직각으로 연결된 평행선 그룹으로 구성된 닫힌 볼록 도형입니다.

이 수치는 다음으로도 알려져 있습니다. 정팔포체(테서랙트). 정육면체는 정육면체에 속하고 정육면체는 정사각형에 속합니다. 보다 공식적으로, 정팔포체는 경계가 8개의 입방체 셀로 구성된 규칙적인 볼록한 4차원 폴리토프(다면체)로 설명될 수 있습니다.

옥스포드 영어 사전(Oxford English Dictionary)에 따르면, "테서렉트(tesseract)"라는 단어는 1888년 찰스 하워드 힌튼(Charles Howard Hinton)에 의해 만들어졌으며 그의 저서 "사고의 새로운 시대(A New Era of Thought)"에서 사용되었습니다. 이 단어는 4개의 좌표축 형태로 그리스어 "τεσσερες ακτινες"("4개의 광선")에서 파생되었습니다. 또한 일부 출처에서는 동일한 수치가 호출되었습니다. 테트라큐브(테트라큐브).

N차원 하이퍼큐브라고도 불린다. n-큐브.

점은 차원 0의 초입방체입니다. 점을 길이 단위만큼 이동하면 단위 길이의 선분, 즉 차원 1의 초입방체를 얻게 됩니다. 또한 선분을 수직 방향으로 길이 단위만큼 이동하면 세그먼트 방향으로 큐브를 얻습니다 - 차원 2의 하이퍼큐브. 사각형을 사각형 평면에 수직인 방향으로 길이 단위만큼 이동하면 큐브가 얻어집니다 - 차원 3의 하이퍼큐브. 이 프로세스 다양한 차원으로 일반화할 수 있습니다. 예를 들어, 네 번째 차원에서 정육면체를 길이 단위만큼 이동하면 정팔포체가 생성됩니다.

초입방체군은 모든 차원에서 표현될 수 있는 몇 안 되는 정다면체 중 하나입니다.

하이퍼큐브의 요소

차원 하이퍼큐브 N 2개 있다 N"변"(1차원 선에는 2개의 점이 있고, 2차원 정사각형에는 4개의 변이 있고, 3차원 정육면체에는 6개의 면이 있고, 4차원 정육면체에는 8개의 셀이 있습니다). 하이퍼큐브의 꼭지점(점) 수는 2입니다. N(예를 들어 큐브의 경우 - 2 3 꼭지점).

수량 중-경계에 있는 차원 하이퍼큐브 N-큐브는 같음

예를 들어 하이퍼큐브의 경계에는 정육면체 8개, 정사각형 24개, 모서리 32개, 꼭지점 16개가 있습니다.

하이퍼큐브의 요소

n-큐브	이름	꼭지점 (0면)	가장자리 (1면)	가장자리 (2면)	셀 (3면)	(4면)	(5면)	(6면)	(7면)	(8면)
0-큐브	점	1
1큐브	선분	2	1
2큐브	정사각형	4	4	1
3큐브	입방체	8	12	6	1
4큐브	테서렉트	16	32	24	8	1
5큐브	펜터랙트	32	80	80	40	10	1
6큐브	육각형	64	192	240	160	60	12	1
7큐브	헵터랙트	128	448	672	560	280	84	14	1
8큐브	옥터랙트	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9큐브	에너랙트	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

평면에 투영

하이퍼큐브의 형성은 다음과 같은 방식으로 표현될 수 있습니다.

두 점 A와 B를 연결하여 선분 AB를 형성할 수 있습니다.
두 개의 평행 세그먼트 AB와 CD를 연결하여 정사각형 ABCD를 형성할 수 있습니다.
두 개의 평행한 정사각형 ABCD와 EFGH를 연결하여 ABCDEFGH 정육면체를 만들 수 있습니다.
두 개의 병렬 큐브 ABCDEFGH 및 IJKLMNOP을 연결하여 하이퍼큐브 ABCDEFGHIJKLMNOP을 형성할 수 있습니다.

후자의 구조는 시각화하기 쉽지 않지만, 2차원이나 3차원 공간으로의 투영을 묘사하는 것은 가능하다. 더욱이, 2차원 평면에 투영하는 것은 투영된 꼭지점의 위치를 재배열할 수 있게 함으로써 더욱 유용할 수 있습니다. 이 경우, 아래 예와 같이 정팔면체 내 요소의 공간적 관계를 더 이상 반영하지 않지만 꼭지점 연결의 구조를 나타내는 이미지를 얻을 수 있습니다.

첫 번째 그림은 원칙적으로 두 개의 정육면체를 결합하여 정육면체를 형성하는 방법을 보여줍니다. 이 구성표는 두 개의 사각형으로 큐브를 만드는 구성표와 유사합니다. 두 번째 다이어그램은 정팔포체의 모든 가장자리의 길이가 동일함을 보여줍니다. 이 구성표는 또한 서로 연결된 큐브를 찾도록 강요합니다. 세 번째 다이어그램에서 정팔포체의 정점은 바닥점을 기준으로 면을 따른 거리에 따라 위치합니다. 이 방식은 병렬 컴퓨팅을 구성할 때 프로세서를 연결하는 네트워크 토폴로지에 대한 기본 방식으로 사용된다는 점에서 흥미롭습니다. 두 노드 사이의 거리는 4개의 가장자리 길이를 초과하지 않으며 로드 균형을 맞추기 위한 다양한 경로가 있습니다.

예술 속의 하이퍼큐브

하이퍼큐브는 로버트 하인라인(Robert Heinlein)이 "그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다"라는 이야기에서 정팔포체 스캔 모양으로 지어진 집을 묘사한 1940년부터 SF 문학에 등장했습니다. 이야기 속 이번 넥스트에서는 이 집이 무너지면서 4차원 정팔각형으로 변한다. 이후 하이퍼큐브는 많은 책과 단편 소설에 등장합니다.

영화 '큐브 2: 하이퍼큐브'는 하이퍼큐브 네트워크에 갇힌 여덟 명의 사람들의 이야기를 그린다.

살바도르 달리(Salvador Dali)의 그림 "Crucifixion (Corpus Hypercubus)"(1954)은 정팔각형 스캔으로 십자가에 못박힌 예수를 묘사합니다. 이 그림은 뉴욕 메트로폴리탄 미술관에서 볼 수 있다.

결론

하이퍼큐브는 가장 단순한 4차원 물체 중 하나로, 4차원의 복잡성과 특이성을 볼 수 있습니다. 그리고 3차원에서는 불가능해 보이는 것이 4차원에서는 가능합니다. 예를 들어 불가능한 도형이 있습니다. 예를 들어, 4차원의 불가능한 삼각형 막대는 직각으로 연결됩니다. 그리고 이 그림은 모든 관점에서 보면 이렇게 보일 것이며, 3차원 공간에서 불가능한 삼각형을 구현하는 것과는 달리 왜곡되지 않을 것입니다(참조.

바칼랴르 마리아

4차원 정육면체(tesseract)의 개념을 도입하는 방법과 그 구조 및 일부 속성을 연구합니다. 입체적인 물체는 4차원 입방체를 3차원 면에 평행한 초평면과 주 대각선에 수직인 초평면을 교차하여 얻습니다. 연구에 사용되는 다차원 해석기하학 장치를 고려합니다.

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시사:

소개..........................................................................................................2

주요 부분..........................................................................................4

결론...........................................................................................................12

참고자료...........................................................................13

소개

4차원 공간은 오랫동안 전문 수학자뿐 아니라 이 과학을 연구하지 않는 사람들의 관심을 끌었습니다. 4차원에 대한 관심은 평면이 3차원 공간에 "몰입"되고 직선이 3차원 공간에 "몰입"되는 것처럼 우리의 3차원 세계가 4차원 공간에 "몰입"된다는 가정에서 비롯될 수 있습니다. 평면이고 한 점이 직선 위에 있습니다. 또한 4차원 공간도 중요한 역할을 합니다. 현대 이론상대성 이론(이른바 시공간 또는 Minkowski 공간)은 특수한 경우로 간주될 수도 있습니다.차원 유클리드 공간().

4차원 큐브(테서랙트)는 가능한 최대 차원을 갖는 4차원 공간의 개체입니다(일반 큐브가 3차원 공간의 개체인 것처럼). 이는 직접적인 관심 사항이기도 합니다. 즉, 최적화 문제에 나타날 수 있습니다. 선형 프로그래밍(4개 변수의 선형 함수의 최소값 또는 최대값을 구하는 영역), 디지털 마이크로 전자 공학(전자 시계 디스플레이의 작동을 프로그래밍할 때)에도 사용됩니다. 또한, 4차원 큐브를 연구하는 과정 자체가 공간적 사고와 상상력의 발달에 기여합니다.

결과적으로, 4차원 입방체의 구조와 특정 특성에 대한 연구는 매우 적합합니다. 구조적인 측면에서 4차원 큐브가 꽤 잘 연구되었다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 훨씬 더 흥미로운 것은 다양한 초평면에 의한 단면의 특성입니다. 따라서 이 작업의 주요 목표는 정팔각형의 구조를 연구하는 것뿐만 아니라 4차원 정육면체를 3차원 큐브 중 하나에 평행한 초평면으로 분할하면 어떤 3차원 개체를 얻을 수 있는지에 대한 질문을 명확히 하는 것입니다. 차원 면 또는 주 대각선에 수직인 초평면으로 구성됩니다. 4차원 공간의 초평면을 3차원 부분공간이라고 합니다. 평면 위의 직선은 1차원 초평면이고, 3차원 공간의 평면은 2차원 초평면이라고 말할 수 있습니다.

목표는 연구의 목적을 결정했습니다.

1) 다차원 해석 기하학의 기본 사실을 연구합니다.

2) 0에서 3까지 차원의 큐브를 구성하는 기능을 연구합니다.

3) 4차원 큐브의 구조를 연구합니다.

4) 4차원 큐브를 분석적이고 기하학적으로 설명합니다.

5) 3차원 및 4차원 큐브의 전개 및 중심 투영 모델을 만듭니다.

6) 다차원 분석 기하학 장치를 사용하여 4차원 입방체와 3차원 면 중 하나에 평행한 초평면 또는 주 대각선에 수직인 초평면이 교차하여 생성된 3차원 객체를 설명합니다.

이런 방식으로 얻은 정보를 통해 우리는 정팔포체의 구조를 더 잘 이해할 수 있을 뿐만 아니라 다양한 차원의 큐브의 구조와 속성에 대한 깊은 유추를 식별할 수 있습니다.

주요 부분

먼저, 본 연구에서 사용할 수학적 장치에 대해 설명합니다.

1) 벡터 좌표: if, 저것

2) 법선 벡터와 초평면의 방정식여기처럼 생겼어

3) 비행기와 평행인 경우와 다음 경우에만

4) 두 점 사이의 거리는 다음과 같이 결정됩니다., 저것

5) 벡터의 직교성을 위한 조건:

먼저 4차원 큐브를 어떻게 표현하는지 알아보겠습니다. 이는 기하학적 방법과 분석적 방법의 두 가지 방법으로 수행할 수 있습니다.

지정의 기하학적 방법에 대해 이야기하는 경우 0차원부터 시작하여 큐브를 구성하는 과정을 추적하는 것이 좋습니다. 0차원 큐브는 점입니다(참고로 점은 0차원 공의 역할도 할 수 있습니다). 다음으로 첫 번째 차원(x축)을 소개하고 해당 축에 서로 1의 거리에 있는 두 점(두 개의 0차원 큐브)을 표시합니다. 결과는 1차원 큐브인 세그먼트입니다. 즉시 메모하자 특징: 1차원 큐브(세그먼트)의 경계(끝)는 두 개의 0차원 큐브(두 점)입니다. 다음으로 두 번째 차원(세로축)과 평면을 소개합니다.두 개의 1차원 큐브(두 개의 세그먼트)를 구성해 보겠습니다. 그 끝은 서로 1의 거리에 있습니다(실제로 세그먼트 중 하나는 다른 세그먼트의 직교 투영입니다). 세그먼트의 해당 끝을 연결하여 2차원 큐브인 정사각형을 얻습니다. 다시 말하지만, 2차원 큐브(사각형)의 경계는 4개의 1차원 큐브(4개 세그먼트)입니다. 마지막으로 3차원(적용 축)을 도입하고 공간에 구성합니다.두 개의 정사각형 중 하나가 다른 정사각형의 직교 투영이 되도록 합니다(정사각형의 해당 정점은 서로 1의 거리에 있습니다). 해당 정점을 세그먼트와 연결해 보겠습니다. 3차원 큐브를 얻습니다. 3차원 큐브의 경계는 6개의 2차원 큐브(6개의 정사각형)임을 알 수 있습니다. 설명된 구성을 통해 다음 패턴을 식별할 수 있습니다. 각 단계에서차원 큐브는 "움직이며 흔적을 남깁니다"e는 1의 거리에서 측정하며 이동 방향은 큐브에 수직입니다. 우리가 4차원 큐브의 개념에 도달할 수 있게 해주는 것은 이러한 과정의 형식적인 연속입니다. 즉, 3차원 큐브를 4차원 방향(큐브에 수직)으로 거리 1만큼 이동하도록 강제합니다. 이전 큐브와 유사하게 작동합니다. 즉, 큐브의 해당 정점을 연결하여, 우리는 4차원 큐브를 얻을 것입니다. 우리 공간에서 기하학적으로 그러한 구성은 불가능하지만(3차원이기 때문에) 여기서는 논리적 관점에서 어떤 모순도 만나지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 이제 4차원 큐브에 대한 분석적 설명으로 넘어가겠습니다. 또한 유추를 사용하여 공식적으로 얻습니다. 따라서 0차원 단위 큐브의 분석 사양은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

1차원 단위 큐브의 분석 작업은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

2차원 단위 큐브의 분석 작업은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

3차원 단위 큐브의 분석 작업은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

이제 4차원 큐브를 다음과 같이 분석적으로 표현하는 것이 매우 쉽습니다.

보시다시피, 4차원 입방체를 정의하는 기하학적 방법과 해석적 방법 모두 유추 방법을 사용했습니다.

이제 분석기하학의 장치를 이용하여 4차원 입방체의 구조가 무엇인지 알아보겠습니다. 먼저 어떤 요소가 포함되어 있는지 알아 보겠습니다. 여기서도 (가설을 제시하기 위해) 비유를 사용할 수 있습니다. 1차원 큐브의 경계는 점(0차원 큐브), 2차원 큐브의 세그먼트(1차원 큐브), 3차원 큐브의 사각형(2차원 면)입니다. 정팔포체의 경계는 3차원 큐브라고 가정할 수 있다. 이를 증명하기 위해 꼭지점, 모서리, 면이 무엇을 의미하는지 명확히 합시다. 큐브의 꼭지점은 꼭지점입니다. 즉, 정점의 좌표는 0일 수도 있고 1일 수도 있습니다. 따라서 큐브의 차원과 정점 수 사이의 연결이 드러납니다. 조합곱 규칙을 적용해 보겠습니다.측정된 입방체는 정확히각각이 0 또는 1(다른 모든 것과 독립적)인 좌표, 그러면 총계는 다음과 같습니다.봉우리 따라서 모든 정점에 대해 모든 좌표는 고정되어 있으며 다음과 같을 수 있습니다.또는 . 모든 좌표를 고정하면(각 좌표를 동일하게 설정)또는 , 다른 것에 관계없이) 하나를 제외하고는 큐브의 모서리를 포함하는 직선을 얻습니다. 이전과 유사하게, 정확히 다음이 있다고 셀 수 있습니다.것들. 이제 모든 좌표를 고정하면(각 좌표를 동일하게 설정)또는 , 다른 것과는 독립적으로) 일부 두 개를 제외하고 우리는 큐브의 2차원 면을 포함하는 평면을 얻습니다. 조합론의 법칙을 사용하여 우리는 정확히 다음이 있음을 발견합니다.것들. 다음으로 마찬가지로 모든 좌표를 고정합니다(각 좌표를 동일하게 설정).또는 , 다른 것과는 독립적으로) 일부 세 개를 제외하고 우리는 큐브의 3차원 면을 포함하는 초평면을 얻습니다. 동일한 규칙을 사용하여 숫자를 계산합니다.등. 이것은 우리 연구에 충분할 것입니다. 얻은 결과를 4차원 큐브의 구조, 즉 우리가 입력한 모든 파생 공식에 적용해 보겠습니다.. 따라서 4차원 큐브에는 꼭지점 16개, 모서리 32개, 2차원 면 24개, 3차원 면 8개가 있습니다. 명확성을 위해 모든 요소를 분석적으로 정의하겠습니다.

4차원 큐브의 꼭지점:

4차원 큐브의 모서리():

4차원 큐브의 2차원 면(비슷한 제한 사항):

4차원 큐브의 3차원 면(비슷한 제한 사항):

이제 4차원 큐브의 구조와 이를 정의하는 방법이 충분히 자세히 설명되었으므로 큐브의 다양한 섹션의 특성을 명확하게 하는 주요 목표의 구현을 진행해 보겠습니다. 큐브의 단면이 3차원 면 중 하나와 평행한 기본 사례부터 시작해 보겠습니다. 예를 들어, 면과 평행한 초평면이 있는 단면을 생각해 보세요.분석 기하학으로부터 그러한 단면은 다음 방정식으로 주어질 것으로 알려져 있습니다.해당 섹션을 분석적으로 정의해 보겠습니다.

보시다시피 초평면에 놓인 3차원 단위 큐브에 대한 분석 사양을 얻었습니다.

비유를 하기 위해 3차원 정육면체의 단면을 평면으로 표현해 보겠습니다.우리는 다음을 얻습니다:

이것은 평면에 누워있는 사각형입니다. 비유는 분명합니다.

초평면에 의한 4차원 큐브의 단면완전히 비슷한 결과를 제공합니다. 이것들은 또한 초평면에 놓인 단일 3차원 큐브일 것입니다.각기.

이제 주 대각선에 수직인 초평면이 있는 4차원 큐브의 단면을 고려해 보겠습니다. 먼저 3차원 큐브에 대한 이 문제를 해결해 보겠습니다. 단위 3차원 입방체를 정의하는 위에서 설명한 방법을 사용하여 그는 주 대각선으로 예를 들어 끝이 있는 세그먼트를 사용할 수 있다고 결론지었습니다.그리고 . 이는 주 대각선의 벡터에 좌표가 있음을 의미합니다.. 따라서 주대각선에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

매개변수 변경의 한계를 결정합시다.. 왜냐하면 , 그런 다음 용어별로 이러한 불평등을 추가하면 다음을 얻습니다.

또는 .

그렇다면 (제한으로 인해). 마찬가지로 - 만약, 저것 . 그래서, 언제, 언제 절단 평면과 큐브에는 정확히 하나의 공통점이 있습니다(그리고 각기). 이제 다음 사항에 주목해 보겠습니다. 만약에(다시 변수 제한으로 인해). 해당 평면은 동시에 3개의 면과 교차합니다. 그렇지 않으면 절단 평면이 그 중 하나와 평행하게 되어 조건에 따라 발생하지 않기 때문입니다. 만약에, 평면은 큐브의 모든 면과 교차합니다. 만약에, 그러면 평면이 면과 교차합니다.. 해당 계산을 제시해 보겠습니다.

허락하다 그럼 비행기선을 넘다직선으로 그리고. 게다가 가장자리. 가장자리 비행기가 직선으로 교차한다, 그리고

허락하다 그럼 비행기선을 넘다:

직선의 가장자리, 그리고 .

이번에는 순차적으로 공통된 목적을 갖는 6개의 세그먼트를 얻습니다.

허락하다 그럼 비행기선을 넘다직선으로 그리고. 가장자리 비행기가 직선으로 교차한다, 그리고 . 가장자리 비행기가 직선으로 교차한다, 그리고 . 즉, 쌍별로 공통된 끝을 갖는 세 개의 세그먼트를 얻습니다.따라서 지정된 매개변수 값에 대해평면은 정점이 있는 정삼각형을 따라 큐브와 교차합니다.

따라서 큐브가 주 대각선에 수직인 평면과 교차할 때 얻은 평면 도형에 대한 포괄적인 설명은 다음과 같습니다. 주요 아이디어는 다음과 같습니다. 평면이 교차하는 면, 교차하는 세트, 그리고 이러한 세트가 서로 어떻게 관련되어 있는지 이해하는 것이 필요합니다. 예를 들어 평면이 쌍으로 된 공통 끝이 있는 세그먼트를 따라 정확히 3개의 면과 교차하는 것으로 밝혀진 경우 섹션은 정삼각형(세그먼트의 길이를 직접 계산하여 입증됨)이며 정점은 이러한 끝입니다. 세그먼트의.

동일한 장치와 학습 섹션의 동일한 아이디어를 사용하여 다음 사실을 완전히 유사한 방식으로 추론할 수 있습니다.

1) 4차원 단위 입방체의 주 대각선 중 하나의 벡터는 다음 좌표를 갖습니다.

2) 4차원 정육면체의 주대각선에 수직인 초평면은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다..

3) 시컨트 초평면 방정식에서 매개변수는0에서 4까지 다양할 수 있습니다.

4) 시기와 시컨트 초평면과 4차원 정육면체는 하나의 공통점(그리고 각기);

5) 언제 단면은 정사면체를 생성합니다.

6) 언제 단면에서 결과는 팔면체가 될 것입니다.

7) 언제 단면은 정사면체를 생성합니다.

따라서 여기서 초평면은 변수의 제한으로 인해 삼각형 영역이 할당되는 평면을 따라 정팔면체와 교차합니다(비유 - 평면은 직선을 따라 큐브와 교차하며, 변수, 세그먼트가 할당되었습니다). 5)의 경우 초평면은 정팔각형의 3차원 면 4개와 정확히 교차합니다. 즉, 쌍으로 공통된 변을 갖는 4개의 삼각형이 얻어집니다. 즉, 사면체를 형성합니다(이를 계산하는 방법이 정확함). 6)의 경우 초평면은 정팔각형의 3차원 면 8개와 정확히 교차합니다. 즉, 연속적으로 공통된 변을 갖는 8개의 삼각형, 즉 팔면체를 형성하는 8개의 삼각형이 얻어집니다. 사례 7)은 사례 5)와 완전히 유사합니다.

말한 내용을 예시해 보겠습니다. 구체적인 예. 즉, 초평면을 통해 4차원 큐브의 단면을 연구합니다.다양한 제한으로 인해 이 초평면은 다음 3차원 면과 교차합니다.가장자리 평면을 따라 교차변수의 한계로 인해 다음과 같은 이점이 있습니다.정점이 있는 삼각형 영역을 얻습니다.더 나아가,우리는 삼각형을 얻습니다초평면이 면과 교차할 때우리는 삼각형을 얻습니다초평면이 면과 교차할 때우리는 삼각형을 얻습니다따라서 사면체의 꼭지점은 다음과 같은 좌표를 갖습니다.. 계산하기 쉽기 때문에 이 사면체는 실제로 정사면체입니다.

결론

그래서 본 연구를 진행하는 과정에서 다차원 해석기하학의 기본 사실을 연구하고, 0~3차원의 큐브를 구성하는 특징을 연구하고, 4차원 큐브의 구조를 연구하고, 4차원 큐브의 구조를 연구하였다. 분석적이고 기하학적으로 기술된, 3차원 및 4차원 큐브의 발달 및 중심 투영 모델이 만들어졌고, 3차원 큐브는 4차원 큐브와 3차원 큐브 중 하나에 평행한 초평면이 교차하여 생성된 물체를 분석적으로 기술했습니다. 차원 면 또는 주 대각선에 수직인 초평면이 있습니다.

수행된 연구를 통해 서로 다른 차원의 큐브의 구조와 속성에 대한 깊은 유추를 식별할 수 있었습니다. 사용된 유추 기법은 연구에 적용될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.차원 구 또는차원 단순. 즉,차원 구는 점들의 집합으로 정의될 수 있습니다.구의 중심이라고 불리는 주어진 점으로부터 등거리에 있는 차원 공간. 더 나아가,차원 단순은 부품으로 정의될 수 있습니다.최소 숫자로 제한되는 차원 공간차원 초평면. 예를 들어, 1차원 심플렉스는 세그먼트(1차원 공간의 일부, 두 점으로 제한됨)이고, 2차원 심플렉스는 삼각형(2차원 공간의 일부, 세 개의 선으로 제한됨)입니다. 3차원 심플렉스는 4면체(4개의 평면으로 제한되는 3차원 공간의 일부)입니다. 마지막으로,우리는 차원 단순을 부품으로 정의합니다.차원 공간, 제한됨차원의 초평면.

일부 과학 분야에서 정팔포체를 수많은 용도로 적용했음에도 불구하고 이 연구는 여전히 주로 수학적 연구입니다.

서지

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.고등 수학, 1권 – M.: Bustard, 2005 – 284p.

2) 양자. 4차원 큐브 / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) 양자. 그리는 방법 차원 큐브 / Demidovich N.B., No. 8, 1974.

테서랙트는 4차원 하이퍼큐브, 즉 4차원 공간의 큐브입니다.
옥스퍼드 사전에 따르면 테서랙트(tesseract)라는 단어는 1888년 Charles Howard Hinton(1853-1907)이 그의 저서 A New Age of Thought에서 만들어 사용했습니다. 나중에 어떤 사람들은 같은 그림을 4차원 큐브인 테트라큐브(그리스어 τετρα - 4)라고 불렀습니다.
유클리드 4차원 공간의 일반적인 정팔포체는 점(±1, ±1, ±1, ±1)의 볼록 껍질로 정의됩니다. 즉, 다음과 같은 집합으로 표현될 수 있습니다.
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = 정팔포체는 8개의 초평면으로 제한됩니다. x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , 교차점 정팔포체 자체는 이를 3차원 면(일반 큐브)으로 정의합니다. 평행하지 않은 3차원 면의 각 쌍이 교차하여 2차원 면(사각형)을 형성하는 식입니다. 마지막으로 정팔포체에는 8개의 3차원 면이 있습니다. 면, 24개의 2차원 면, 32개의 모서리 및 16개의 꼭지점.
인기 있는 설명
3차원 공간을 떠나지 않고 하이퍼큐브가 어떤 모습일지 상상해 봅시다.
1차원 "공간"(선 위)에서 길이 L의 세그먼트 AB를 선택합니다. AB에서 L 거리에 있는 2차원 평면에서 평행한 세그먼트 DC를 그리고 그 끝을 연결합니다. 결과는 정사각형 CDBA입니다. 평면에 대해 이 작업을 반복하면 3차원 큐브 CDBAGHFE를 얻을 수 있습니다. 그리고 4차원(처음 3차원에 수직)의 큐브를 거리 L만큼 이동하여 하이퍼큐브 CDBAGHFEKLJIOPNM을 얻습니다.
1차원 세그먼트 AB는 2차원 정사각형 CDBA의 측면 역할을 하고, 정사각형은 큐브 CDBAGHFE의 측면 역할을 하며, 이는 차례로 4차원 하이퍼큐브의 측면이 됩니다. 직선 부분에는 경계점이 2개 있고, 정사각형에는 꼭지점이 4개 있고, 정육면체에는 8개가 있습니다. 따라서 4차원 하이퍼큐브에는 16개의 꼭지점이 있습니다. 원래 큐브의 꼭지점 8개와 4차원에서 이동된 꼭지점 8개입니다. 여기에는 32개의 모서리가 있습니다. 각각 12개는 원래 큐브의 초기 및 최종 위치를 제공하고 또 다른 8개의 모서리는 4차원으로 이동한 8개의 꼭지점을 "그립니다". 하이퍼큐브의 면에 대해서도 동일한 추론을 할 수 있습니다. 2차원 공간에는 단 하나(정사각형 자체)만 있고, 큐브에는 6개가 있습니다(이동된 정사각형의 면 2개와 측면을 설명하는 4개가 더 있음). 4차원 하이퍼큐브에는 24개의 정사각형 면이 있습니다. 즉 두 위치에 원래 큐브의 12개 정사각형이 있고 12개 모서리에서 12개 정사각형이 있습니다.
정사각형의 변이 4개의 1차원 부분이고, 정육면체의 변(면)이 6개의 2차원 정사각형인 것처럼, "4차원 정육면체"(정사각형)의 경우 변은 8개의 3차원 정육면체입니다. . 정팔각형 큐브의 반대 쌍의 공간(즉, 이러한 큐브가 속하는 3차원 공간)은 평행합니다. 그림에는 CDBAGHFE 및 KLJIOPNM, CDBAKLJI 및 GHFEOPNM, EFBAMNJI 및 GHDCOPLK, CKIAGOME 및 DLJBHPNF 큐브가 있습니다.
비슷한 방식으로 우리는 더 많은 차원의 하이퍼큐브에 대한 추론을 계속할 수 있지만, 4차원 하이퍼큐브가 3차원 공간에 거주하는 우리를 어떻게 찾을지 보는 것이 훨씬 더 흥미롭습니다. 이를 위해 우리는 이미 친숙한 비유 방법을 사용할 것입니다.
와이어 큐브 ABCDHEFG를 가져와 가장자리 측면에서 한쪽 눈으로 살펴 보겠습니다. 우리는 4개의 선(측면 가장자리)으로 연결된 평면(가까운 가장자리와 먼 가장자리)에 두 개의 사각형을 보고 그릴 수 있습니다. 마찬가지로, 3차원 공간의 4차원 하이퍼큐브는 서로 삽입되고 8개의 모서리로 연결된 두 개의 입방체 "상자"처럼 보입니다. 이 경우 "상자" 자체(3차원 면)가 "우리" 공간에 투영되고 이를 연결하는 선이 네 번째 축 방향으로 늘어납니다. 투영이 아닌 공간 이미지로 큐브를 상상해 볼 수도 있습니다.
3차원 큐브가 면의 길이만큼 이동된 정사각형으로 형성되는 것처럼, 4차원으로 이동된 큐브는 하이퍼큐브를 형성합니다. 그것은 8개의 큐브로 제한되어 있으며 관점에서 보면 다소 복잡한 그림처럼 보일 것입니다. 4차원 하이퍼큐브 자체는 무한한 수의 큐브로 구성됩니다. 마치 3차원 큐브가 무한한 수의 평평한 사각형으로 "잘라낼" 수 있는 것과 같습니다.
3차원 정육면체의 6개 면을 잘라서 다음과 같이 분해할 수 있습니다. 평평한 그림- 스캔. 원래 면의 양쪽에 정사각형이 하나 더 있고 그 반대쪽 면에도 정사각형이 있습니다. 그리고 4차원 하이퍼큐브의 3차원 개발은 원래 큐브, 그로부터 "성장"하는 6개의 큐브, 그리고 최종 "하이퍼페이스"인 하나 더로 구성됩니다.
정팔포체의 속성은 속성의 확장입니다. 기하학적 모양작은 차원을 4차원 공간으로.