כיצד לייצג 10 כעשרוני. כיצד לייצג שבר בתור עשרוני. אילו שברים קיימים

במאמר זה ננתח כיצד המרת שברים רגילים ל עשרונים , ושקול גם את התהליך ההפוך - המרה של שברים עשרוניים לשברים רגילים. כאן נשמיע את הכללים להיפוך שברים וניתן פתרונות מפורטים לדוגמאות טיפוסיות.

ניווט בדף.

המרת שברים נפוצים לעשרונים

נסמן את הרצף בו נעסוק המרת שברים רגילים לעשרונים.

ראשית, נבחן כיצד לייצג שברים רגילים עם מכנים 10, 100, 1000, ... כשברים עשרוניים. הסיבה לכך היא ששברים עשרוניים הם בעצם צורה קומפקטית של שברים רגילים עם מכנים 10, 100, ....

לאחר מכן, נמשיך ונראה כיצד ניתן לכתוב כל שבר רגיל (לא רק עם מכנים 10, 100,...) כשבר עשרוני. עם המרה זו של שברים רגילים, מתקבלים גם שברים עשרוניים סופיים וגם שברים עשרוניים מחזוריים אינסופיים.

עכשיו בערך הכל מסודר.

המרת שברים רגילים עם מכנים 10, 100, ... לשברים עשרוניים

חלק מהשברים הרגילים זקוקים ל"הכנה מקדימה" לפני ההמרה לעשרונים. זה חל על שברים רגילים, שמספר הספרות במונה שלהם קטן ממספר האפסים במכנה. לדוגמה, תחילה יש להכין את השבר הנפוץ 2/100 להמרה לשבר עשרוני, אך אין צורך להכין את השבר 9/10.

"ההכנה המוקדמת" של שברים רגילים נכונים להמרה לשברים עשרוניים מורכבת מהוספת כל כך הרבה אפסים שמאלה במונה כך שמספר הספרות הכולל שם ישתווה למספר האפסים במכנה. לדוגמה, שבר לאחר הוספת אפסים ייראה כמו .

לאחר הכנת השבר הרגיל הנכון, ניתן להתחיל להמיר אותו לשבר עשרוני.

בואו ניתן כלל להמרת שבר משותף תקין עם מכנה של 10, או 100, או 1,000, ... לשבר עשרוני. זה מורכב משלושה שלבים:

• רשום 0;
• שים אחריו נקודה עשרונית;
• רשום את המספר מהמונה (יחד עם הוספת אפסים, אם הוספנו אותם).

שקול את היישום של כלל זה בפתרון דוגמאות.

דוגמא.

המר את השבר הנכון 37/100 לעשרוני.

פִּתָרוֹן.

המכנה מכיל את המספר 100, שבערך שני אפסים. המונה מכיל את המספר 37, יש שתי ספרות ברשומתו, לכן, אין צורך להכין שבר זה להמרה לשבר עשרוני.

כעת אנו כותבים 0, שמים נקודה עשרונית, ונכתוב את המספר 37 מהמונה, בעוד שנקבל את השבר העשרוני 0.37.

תשובה:

0,37 .

כדי לגבש את המיומנויות של תרגום שברים רגילים רגילים עם המונה 10, 100, ... לשברים עשרוניים, ננתח את הפתרון של דוגמה אחרת.

דוגמא.

כתוב את השבר הנכון 107/10,000,000 בתור עשרוני.

פִּתָרוֹן.

מספר הספרות במונה הוא 3, ומספר האפסים במכנה הוא 7, לכן יש להכין את השבר הרגיל הזה להמרה לעשרוני. צריך להוסיף 7-3=4 אפסים שמאלה במונה כך שמספר הספרות הכולל שם ישתווה למספר האפסים במכנה. אנחנו מקבלים .

נותר ליצור את השבר העשרוני הרצוי. כדי לעשות זאת, ראשית, נרשום 0, שנית שמים פסיק, שלישית, נרשום את המספר מהמונה יחד עם אפסים 0000107, כתוצאה מכך יש לנו שבר עשרוני 0.0000107.

תשובה:

0,0000107 .

שברים נפוצים לא תקינים אינם זקוקים להכנה בעת המרה לשברים עשרוניים. יש להקפיד על הדברים הבאים כללים להמרת שברים משותפים לא תקינים עם מכנים 10, 100, ... לשברים עשרוניים:

• רשום את המספר מהמונה;
• אנו מפרידים בנקודה עשרונית כמה ספרות בצד ימין כמו שיש אפסים במכנה של השבר המקורי.

הבה ננתח את היישום של כלל זה בעת פתרון דוגמה.

דוגמא.

המר שבר נפוץ לא תקין 56 888 038 009/100 000 לעשרוני.

פִּתָרוֹן.

ראשית, אנו רושמים את המספר מהמונה 56888038009, ושנית, אנו מפרידים 5 ספרות מימין עם נקודה עשרונית, מכיוון שיש 5 אפסים במכנה של השבר המקורי. כתוצאה מכך, יש לנו שבר עשרוני 568 880.38009.

תשובה:

568 880,38009 .

כדי להמיר מספר מעורב לשבר עשרוני, שהמכנה של חלקו השבר הוא המספר 10, או 100, או 1,000, ..., ניתן להמיר את המספר המעורב לשבר רגיל לא תקין, ולאחר מכן השבר המתקבל ניתן להמיר לשבר עשרוני. אבל אתה יכול גם להשתמש בדברים הבאים הכלל להמרת מספרים מעורבים עם מכנה של חלק השבר 10, או 100, או 1,000, ... לשברים עשרוניים:

• במידת הצורך, אנו מבצעים "הכנה מקדימה" של החלק השבר של המספר המעורב המקורי על ידי הוספת המספר הנדרש של אפסים משמאל במונה;
• רשום את החלק השלם של המספר המעורב המקורי;
• שים נקודה עשרונית;
• נכתוב את המספר מהמונה יחד עם האפסים שנוספו.

הבה נשקול דוגמה, בפתרון אשר נבצע את כל השלבים הדרושים כדי לייצג מספר מעורב כשבר עשרוני.

דוגמא.

המרת מספר מעורב לעשרוני.

פִּתָרוֹן.

ישנם 4 אפסים במכנה של החלק השבר, והמספר 17 במונה, המורכב מ-2 ספרות, לכן עלינו להוסיף שני אפסים שמאלה במונה כך שמספר התווים שם ישתווה ל- מספר אפסים במכנה. על ידי כך, המונה יהיה 0017.

כעת נכתוב את החלק השלם של המספר המקורי, כלומר המספר 23, שים נקודה עשרונית, ולאחר מכן נכתוב את המספר מהמונה יחד עם האפסים שנוספו, כלומר 0017, תוך כדי שנקבל את המספר העשרוני הרצוי. שבר 23.0017.

נרשום בקצרה את כל הפתרון: .

ללא ספק, ניתן היה לייצג תחילה את המספר המעורב כשבר לא תקין, ולאחר מכן להמיר אותו לשבר עשרוני. בגישה זו, הפתרון נראה כך:

תשובה:

23,0017 .

המרת שברים רגילים לשברים עשרוניים סופיים ואינסופיים

לא רק שברים רגילים עם מכנים 10, 100, ... ניתן להמיר לשבר עשרוני, אלא שברים רגילים עם מכנים אחרים. עכשיו נבין איך זה נעשה.

במקרים מסוימים, השבר הרגיל המקורי מצטמצם בקלות לאחד מהמכנים 10, או 100, או 1000, ... (ראה הפחתת שבר רגיל למכנה חדש), ולאחר מכן לא קשה להציג את השבר הרגיל. השבר המתקבל כשבר עשרוני. לדוגמה, ברור שניתן לצמצם את השבר 2/5 לשבר עם מכנה 10, לשם כך צריך להכפיל את המונה והמכנה ב-2, מה שייתן שבר 4/10, שלפי כללים שנדונו בפסקה הקודמת, ניתנים להמרה בקלות לשבר עשרוני 0, ארבע .

במקרים אחרים, עליך להשתמש בדרך אחרת להמרת שבר רגיל לשבר עשרוני, שכעת נשקול.

כדי להמיר שבר רגיל לשבר עשרוני, מחלקים את המונה של השבר במכנה, המונה מוחלף תחילה בשבר עשרוני שווה עם כל מספר של אפסים אחרי הנקודה העשרונית (דיברנו על זה בסעיף שווה ו שברים עשרוניים לא שווים). במקרה זה, החלוקה מתבצעת באותו אופן כמו החלוקה בעמודה של מספרים טבעיים, ונקודה עשרונית ממוקמת במנה כאשר החלוקה של החלק השלם של הדיבידנד מסתיימת. כל זה יתבהר מהפתרונות של הדוגמאות המובאות להלן.

דוגמא.

המר את השבר הנפוץ 621/4 לעשרוני.

פִּתָרוֹן.

אנו מייצגים את המספר במונה 621 כשבר עשרוני על ידי הוספת נקודה עשרונית וכמה אפסים אחריו. מלכתחילה נוסיף 2 ספרות 0, בהמשך, במידת הצורך, תמיד נוכל להוסיף עוד אפסים. אז יש לנו 621.00 .

כעת נחלק את המספר 621,000 ב-4 בעמודה. שלושת השלבים הראשונים אינם שונים מחלוקה בעמודה של מספרים טבעיים, ולאחר מכן אנו מגיעים לתמונה הבאה:

אז הגענו לנקודה העשרונית בדיווידנד, והשאר שונה מאפס. במקרה זה, אנו שמים נקודה עשרונית במנה, וממשיכים את החלוקה בעמודה, תוך התעלמות מהפסיקים:

החלוקה הזו הושלמה, וכתוצאה מכך קיבלנו את השבר העשרוני 155.25, המתאים לשבר הרגיל המקורי.

תשובה:

155,25 .

כדי לאחד את החומר, שקול את הפתרון של דוגמה אחרת.

דוגמא.

המר את השבר הנפוץ 21/800 לעשרוני.

פִּתָרוֹן.

כדי להמיר את השבר הנפוץ הזה לעשרוני, בואו נחלק את השבר העשרוני 21,000 ... ב-800 בעמודה. לאחר השלב הראשון, נצטרך לשים נקודה עשרונית במנה, ולאחר מכן להמשיך בחלוקה:

לבסוף, קיבלנו את השארית 0, על זה הושלמה ההמרה של השבר הרגיל 21/400 לשבר העשרוני, והגענו לשבר העשרוני 0.02625.

תשובה:

0,02625 .

יכול לקרות שכאשר מחלקים את המונה במכנה של שבר רגיל, לעולם לא נקבל שארית של 0. במקרים אלו ניתן להמשיך בחלוקה ככל שרוצים. עם זאת, החל משלב מסוים, השאריות מתחילות לחזור על עצמן מדי פעם, בעוד שהספרות במנה חוזרות גם הן. המשמעות היא שהשבר הרגיל המקורי מתורגם לעשרוני מחזורי אינסופי. בואו נראה זאת עם דוגמה.

דוגמא.

כתוב את השבר הנפוץ 19/44 בתור עשרוני.

פִּתָרוֹן.

כדי להמיר שבר רגיל לעשרוני, נבצע חלוקה בעמודה:

כבר ברור שכאשר מחלקים החלו לחזור על שאריות 8 ו-36 בעוד שבמנה חוזרים על המספרים 1 ו-8. לפיכך, השבר הרגיל המקורי 19/44 מתורגם לשבר עשרוני מחזורי 0.43181818...=0.43(18) .

תשובה:

0,43(18) .

לסיכום פסקה זו, נבין אילו שברים רגילים ניתן להמיר לשברים עשרוניים סופיים, ואילו ניתן להמיר רק לשברים מחזוריים.

בוא יהיה לפנינו שבר רגיל בלתי ניתן לצמצום (אם השבר ניתן לצמצום, אז קודם כל מבצעים את הפחתת השבר), וצריך לברר לאיזה שבר עשרוני ניתן להמיר אותו - סופי או מחזורי.

ברור שאם ניתן לצמצם שבר רגיל לאחד מהמכנים 10, 100, 1000, ..., אזי ניתן להמיר את השבר המתקבל בקלות לשבר עשרוני סופי לפי הכללים שנדונו בפסקה הקודמת. אבל למכנים 10, 100, 1,000 וכו'. לא כל השברים הרגילים ניתנים. ניתן לצמצם רק שברים למכנים כאלה, שהמכנים שלהם הם לפחות אחד מהמספרים 10, 100, ... ואיזה מספרים יכולים להיות מחלקים של 10, 100, ...? המספרים 10, 100, … יאפשרו לנו לענות על שאלה זו, והם כדלקמן: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . מכאן נובע שהמחלקים של 10, 100, 1,000 וכו'. יכולים להיות רק מספרים שהפירוקים שלהם לגורמים ראשוניים מכילים רק את המספרים 2 ו-(או) 5.

כעת נוכל להגיע למסקנה כללית לגבי ההמרה של שברים רגילים לשברים עשרוניים:

• אם רק המספרים 2 ו-(או) 5 קיימים בפירוק המכנה לגורמים ראשוניים, אזי ניתן להמיר את השבר הזה לשבר עשרוני סופי;
• אם בנוסף לשניים וחמישיות יש אחרים בהרחבת המכנה מספרים ראשוניים, אז השבר הזה מתורגם לשבר עשרוני אינסופי.

דוגמא.

בלי להמיר שברים רגילים לעשרונים, אמור לי איזה מהשברים 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 ניתן להמיר לשבר עשרוני סופי, ואיזה ניתן להמיר רק לשבר מחזורי.

פִּתָרוֹן.

לפירוק ראשוני של המכנה של השבר 47/20 יש את הצורה 20=2 2 5 . יש רק שתיים וחמישיות בהרחבה הזו, כך שניתן להקטין את השבר הזה לאחד מהמכנים 10, 100, 1000, ... (בדוגמה זו, למכנה 100), לכן, ניתן להמיר אותו לעשרוני סופי שבריר.

לפירוק ראשוני של המכנה של השבר 7/12 יש את הצורה 12=2 2 3 . מכיוון שהוא מכיל פקטור פשוט 3 השונה מ-2 ו-5, לא ניתן לייצג שבר זה כשבר עשרוני סופי, אלא ניתן להמירו לשבר עשרוני מחזורי.

שבריר 21/56 - מתכווץ, לאחר צמצום הוא מקבל את הצורה 3/8. פירוק המכנה לגורמים ראשוניים מכיל שלושה גורמים השווים ל-2, לכן, ניתן לתרגם את השבר הרגיל 3/8, ומכאן השבר השווה לו 21/56, לשבר עשרוני סופי.

לבסוף, הרחבת המכנה של השבר 31/17 היא עצמה 17, לכן אי אפשר להמיר את השבר הזה לשבר עשרוני סופי, אבל אפשר להמיר אותו לשבר מחזורי אינסופי.

תשובה:

ניתן להמיר את 47/20 ו-21/56 לעשרוני סופי, בעוד ש-7/12 ו-31/17 ניתנים להמרה לעשרוני מחזורי בלבד.

שברים נפוצים אינם הופכים לאינסוף מספרים עשרוניים שאינם חוזרים על עצמם

המידע של הפסקה הקודמת מעלה את השאלה: "האם ניתן לקבל שבר אינסופי שאינו מחזורי כאשר מחלקים את המונה של שבר במכנה"?

תשובה: לא. כאשר מתרגמים שבר רגיל, ניתן לקבל שבר עשרוני סופי או שבר עשרוני מחזורי אינסופי. בואו נסביר מדוע זה כך.

ממשפט ההתחלקות עם שארית ברור שהשארית תמיד קטנה מהמחלק, כלומר אם נחלק מספר שלם במספר q, אז רק אחד מהמספרים 0, 1, 2, ..., q −1 יכול להיות השאר. מכאן נובע שלאחר השלמת חלוקת החלק השלם של המונה של שבר רגיל במכנה q, לאחר לא יותר מ-q שלבים, ייווצר אחד משני המצבים הבאים:

• או שנקבל את השארית 0, זה יסיים את החלוקה, ונקבל את השבר העשרוני האחרון;
• או שנקבל שארית שכבר הופיעה קודם, שלאחריה השאריות יתחילו לחזור כמו בדוגמה הקודמת (שכן כשמחלקים מספרים שווים ב-q מתקבלות שאריות שוות, שנובע ממשפט ההתחלקות שכבר הוזכר), אז יתקבל שבר עשרוני מחזורי אינסופי.

לא יכולות להיות אפשרויות אחרות, לכן, כאשר ממירים שבר רגיל לשבר עשרוני, לא ניתן לקבל שבר עשרוני אינסופי שאינו מחזורי.

עוד עולה מהנימוק שניתן בפסקה זו שאורך התקופה של שבר עשרוני תמיד קטן מערכו של המכנה של השבר הרגיל המקביל.

המרת מספר עשרוני לשברים נפוצים

עכשיו בואו נבין כיצד להמיר שבר עשרוני לשבר רגיל. נתחיל בהמרת עשרונים סופיים לשברים נפוצים. לאחר מכן, שקול את השיטה של ​​היפוך אינסוף שברים עשרוניים תקופתיים. לסיכום, נניח על חוסר האפשרות להמיר אינסוף שברים עשרוניים לא מחזוריים לשברים רגילים.

המרת קצה עשרוני לשברים נפוצים

קבלת שבר רגיל, שנכתב כשבר עשרוני סופי, היא די פשוטה. הכלל להמרת שבר עשרוני סופי לשבר רגילמורכב משלושה שלבים:

• ראשית, כתוב את השבר העשרוני הנתון למונה, לאחר שהשליך קודם לכן את הנקודה העשרונית ואת כל האפסים משמאל, אם קיימים;
• שנית, כתוב אחד במכנה והוסף לו כמה אפסים שיש ספרות אחרי הנקודה העשרונית בשבר העשרוני המקורי;
• שלישית, במידת הצורך, הפחיתו את החלק המתקבל.

בואו נבחן דוגמאות.

דוגמא.

המר את העשרוני 3.025 לשבר משותף.

פִּתָרוֹן.

אם נסיר את הנקודה העשרונית בשבר העשרוני המקורי, נקבל את המספר 3025. אין לו אפסים בצד שמאל שהיינו פוסקים. אז, במונה של השבר הנדרש אנו כותבים 3025.

נכתוב את המספר 1 במכנה ונוסיף 3 אפסים מימין לו, מכיוון שיש 3 ספרות בשבר העשרוני המקורי אחרי הנקודה העשרונית.

אז קיבלנו שבר רגיל 3 025/1 000. ניתן להפחית את השבר הזה ב-25, אנחנו מקבלים .

תשובה:

.

דוגמא.

המר עשרוני 0.0017 לשבר רגיל.

פִּתָרוֹן.

ללא נקודה עשרונית, השבר העשרוני המקורי נראה כמו 00017, אם מבטלים אפסים משמאל, נקבל את המספר 17, שהוא המונה של השבר הרגיל הרצוי.

במכנה נכתוב יחידה עם ארבעה אפסים, שכן בשבר העשרוני המקורי יש 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

כתוצאה מכך, יש לנו שבר רגיל 17/10,000. שבר זה אינו ניתן לצמצום, וההמרה של שבר עשרוני לשבר רגיל הושלמה.

תשובה:

.

כאשר החלק השלם של השבר העשרוני הסופי המקורי שונה מאפס, ניתן להמיר אותו מיד למספר מעורב, תוך עקיפת השבר הרגיל. בואו ניתן כלל להמרת עשרוני סופי למספר מעורב:

• יש לכתוב את המספר לפני הנקודה העשרונית כחלק השלם של המספר המעורב הרצוי;
• במונה של החלק השבר, אתה צריך לכתוב את המספר המתקבל מהחלק השבר של השבר העשרוני המקורי לאחר השלכת כל האפסים משמאל בו;
• במכנה של החלק השברי, עליך לרשום את המספר 1, שלצד ימין, להוסיף כמה אפסים שיש ספרות בכניסה של השבר העשרוני המקורי אחרי הנקודה העשרונית;
• במידת הצורך, צמצם את החלק השברי של המספר המעורב שנוצר.

שקול דוגמה להמרת שבר עשרוני למספר מעורב.

דוגמא.

הבטא עשרוני 152.06005 כמספר מעורב

ל מספר ראציונאלי m/n נכתב כשבר עשרוני, אתה צריך לחלק את המונה במכנה. במקרה זה, המנה נכתבת כשבר עשרוני סופי או אינסופי.

כתוב את המספר הנתון בתור עשרוני.

פִּתָרוֹן. מחלקים את המונה של כל שבר במכנה שלו: א)מחלקים 6 ב-25; ב)לחלק 2 על 3; ב)חלקו 1 ב-2, ולאחר מכן הוסף את השבר שנוצר לאחדות - החלק השלם של המספר המעורב הזה.

שברים רגילים בלתי ניתנים לצמצום שהמכנים שלהם אינם מכילים מחלקים ראשוניים מלבד 2 ו 5 , נכתבים כשבר עשרוני סופי.

בְּ דוגמה 1מתי א)מכנה 25=5 5; מתי ב)המכנה הוא 2, אז קיבלנו את העשרוניות הסופית 0.24 ו-1.5. מתי ב)המכנה הוא 3, כך שלא ניתן לכתוב את התוצאה כעשרונית סופית.

האם ניתן, מבלי לחלק לעמודה, להמיר שבר רגיל כזה לשבר עשרוני, שהמכנה שלו אינו מכיל מחלקים אחרים, מלבד 2 ו-5? בואו נבין את זה! איזה שבר נקרא עשרוני ונכתב ללא קו שבר? תשובה: שבר עם מכנה 10; 100; 1000 וכו' וכל אחד מהמספרים האלה הוא מוצר שווהמספר שתיים וחמישיות. למעשה: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 וכו'.

לכן, המכנה של שבר רגיל בלתי ניתן לצמצום יצטרך להיות מיוצג כמכפלה של שתיים וחמישיות, ולאחר מכן להכפיל ב-2 ו(או) 5 כך שהשניים והחמישיות יהיו שווים. אז המכנה של השבר יהיה שווה ל-10 או 100 או 1000 וכו'. כדי שערך השבר לא ישתנה, נכפיל את מונה השבר באותו מספר שבו הוכפל המכנה.

הבע את השברים הבאים בתור עשרוני:

פִּתָרוֹן. כל אחד מהשברים הללו אינו ניתן לצמצום. הבה נפרק את המכנה של כל שבר לגורמים ראשוניים.

20=2 2 5. מסקנה: "חמש" אחד חסר.

8=2 2 2. מסקנה: אין מספיק שלוש "חמישיות".

25=5 5. מסקנה: חסרים שני "שניים".

תגובה.בפועל, לרוב לא משתמשים בפירוק של המכנה לגורמים, אלא פשוט שואלים את השאלה: בכמה צריך להכפיל את המכנה כך שהתוצאה תהיה יחידה עם אפסים (10 או 100 או 1000 וכו'). ואז המונה מוכפל באותו מספר.

אז, במקרה א)(דוגמה 2) מהמספר 20 אתה יכול לקבל 100 על ידי הכפלה ב-5, לכן, עליך להכפיל את המונה והמכנה ב-5.

מתי ב)(דוגמה 2) מהמספר 8, המספר 100 לא יעבוד, אבל המספר 1000 יתקבל על ידי הכפלה ב-125. גם המונה (3) וגם המכנה (8) של השבר מוכפלים ב-125.

מתי ב)(דוגמה 2) מתוך 25 מקבלים 100 כשמכפילים ב-4. זה אומר שגם המונה 8 חייב להיות מוכפל ב-4.

שבר עשרוני אינסופי שבו ספרה אחת או יותר חוזרות תמיד באותו רצף נקרא תְקוּפָתִישבר עשרוני. קבוצת הספרות החוזרות נקראת התקופה של השבר הזה. למען הקיצור, התקופה של השבר נכתבת פעם אחת, ומקיפה אותה בסוגריים.

מתי ב)(דוגמה 1) הספרה החוזרת היא אחת ושווה ל-6. לכן, התוצאה שלנו 0.66... ​​תיכתב כך: 0,(6) . הם קוראים: אפס מספרים שלמים, שישה בתקופה.

אם יש ספרה אחת או יותר שאינה חוזרת על עצמה בין הפסיק לנקודה הראשונה, אזי שבר מחזורי כזה נקרא שבר מחזורי מעורב.

שבר משותף בלתי ניתן לצמצום שהמכנה שלו יחד עם אחריםמכפיל מכיל מכפיל 2 אוֹ 5 , הופך מעורבשבר תקופתי.

כתוב את המספר בתור עשרוני.

נקודה שבריר- מגוון שברים, שיש לו מספר "עגול" במכנה: 10, 100, 1000 וכו', למשל, שברירל-5/10 יש סימון עשרוני של 0.5. על בסיס עיקרון זה, שברירניתן להציג ב טופסנקודה שברים.

הוראה

נניח שאנחנו צריכים לדמיין טופסנקודה שבריר 18/25.
ראשית עליך לוודא שאחד המספרים ה"עגולים" מופיע במכנה: 100, 1000 וכו'. כדי לעשות זאת, אתה צריך להכפיל את המכנה ב-4. אבל ב-4, תצטרך להכפיל גם את המונה וגם את המכנה.

הכפלת המונה והמכנה שברים 18/25 כפול 4 זה 72/100. זה מוקלט שברירבעשרוני טופסאז: 0.72.

שבר במתמטיקה הוא מספר רציונלי השווה לחלק אחד או יותר שלתוכו מחלקים יחידה. במקרה זה, רשומת השבר חייבת להכיל אינדיקציה של שני מספרים: אחד מהם מציין בדיוק לכמה מניות חולקה היחידה בעת יצירת השבר הזה, והשני - כמה מחלקים אלו כוללים מספר שבר. אם שני המספרים הללו נכתבים כמונה ומכנה מופרדים בפס, אז פורמט ההקלטה הזה נקרא שבר "רגיל". עם זאת, יש פורמט נוסף לכתיבת שברים, הנקרא "עשרוני".

צורת כתיבת המספרים בת שלוש הקומות, שבה המכנה ממוקם מעל המונה, ויש גם קו מפריד ביניהם, לא תמיד נוחה. במיוחד אי הנוחות הזו החלה להתבטא בהפצה המונית של מחשבים אישיים. הצורה העשרונית של ייצוג שברים נטולת חיסרון זה - אין צורך לציין בה את המונה, שכן בהגדרה הוא תמיד שווה לעשר בחזקת שלילית. לכן, ניתן לכתוב מספר שבר בשורה אחת, אם כי אורכו ברוב המקרים יהיה גדול בהרבה מאורך השבר הרגיל המקביל.

יתרון נוסף בכתיבת מספרים בפורמט עשרוני הוא שקל הרבה יותר להשוות ביניהם. מכיוון שהמכנה של כל ספרה של שני מספרים כאלה זהה, מספיק להשוות רק שתי ספרות מהספרות המתאימות, בעוד שבהשוואת שברים רגילים יש לקחת בחשבון גם את המונה וגם את המכנה של כל אחד מהם. יתרון זה חשוב לא רק לבני אדם, אלא גם למחשבים - השוואת מספרים בפורמט עשרוני קלה מספיק לתכנות.

ישנם כללים בני מאות שנים לחיבור, כפל ופעולות מתמטיות אחרות המאפשרות לבצע חישובים על נייר או בראש עם מספרים בפורמט עשרוני. זהו יתרון נוסף של פורמט זה על פני שברים רגילים. אמנם עם התפתחות טכנולוגיית המחשוב, כשהמחשבון אפילו בשעון, זה הופך פחות ופחות מורגש.

היתרונות המתוארים של הפורמט העשרוני להקלטת מספרים שברים מראים שמטרתו העיקרית היא לפשט את העבודה עם כמויות מתמטיות. לפורמט הזה יש גם חסרונות - למשל, כדי לכתוב שברים מחזוריים לשבר עשרוני, צריך להוסיף גם מספר בסוגריים, ולמספרים אי-רציונליים בפורמט עשרוני תמיד יש ערך משוער. עם זאת, ברמת הפיתוח הנוכחית של אנשים והטכנולוגיות שלהם, זה הרבה יותר נוח לשימוש מאשר הפורמט הרגיל להקלטת שברים.

שבר עשרוני הוא שבר שבו המכנה הוא חזקת טבעית של 10. כזה, למשל, הוא שבר. ניתן לכתוב שבר זה בצורה הבאה: רשום את המספרים של המונה בשורה והפרד ב- פסיק בצד ימין ככל שישנם אפסים במכנה, כלומר:

ברשומה כזו, המספרים משמאל לנקודה העשרונית יוצרים את החלק השלם, והמספרים מימין לנקודה העשרונית מהווים את החלק השבר של השבר העשרוני הזה.

תנו ל-p/q להיות מספר רציונלי חיובי כלשהו. מהחשבון, תהליך החלוקה מוכר היטב, המאפשר לייצג מספר כשבר עשרוני. המהות של תהליך החלוקה היא שקודם כל מצא מהו המספר השלם הגדול ביותר של הפעמים ש-q כלול ב-p; אם p היא כפולה של q, אז כאן מסתיים תהליך החלוקה. אחרת, מופיעה שארית. לאחר מכן, הם מוצאים כמה עשיריות מ-q מכילות שארית זו, ובשלב זה התהליך עשוי להסתיים, או שיופיע שארית חדשה. במקרה האחרון, מצא כמה מאיות q הוא מכיל, וכן הלאה.

אם למכנה q אין מחלקים ראשוניים אחרים מ-2 או 5, אז לאחר מספר סופי של צעדים השארית תהיה שווה לאפס, תהליך החלוקה יסתיים והשבר הרגיל הנתון יהפוך לשבר עשרוני סופי. למעשה, במקרה זה, תמיד אפשר לבחור מספר שלם כזה שאחרי הכפלת המונה והמכנה של השבר הנתון בו, תקבל שבר השווה לו, שבו המכנה יהיה חזקת טבעית של עשר. כזה, למשל, הוא שבר

אשר ניתן לייצג באופן הבא:

עם זאת, מבלי לבצע טרנספורמציות אלה, לחלק את המונה במכנה, הקורא יקבל את אותה תוצאה:

אם למכנה של שבר בלתי ניתן לצמצום יש לפחות מחלק ראשוני אחד מלבד 2 או 5, אז תהליך החלוקה ב-q לעולם לא יסתיים (אף אחד מהשאריות הבאות לא יהפוך לאפס).

לאחר חלוקה, אנו מוצאים

כדי לכתוב את התוצאה המתקבלת בדוגמה זו, המספרים 0 ו-6 שחוזרים על עצמם מעת לעת מוקפים בסוגריים ונכתבים:

בדוגמה זו ובמקרים דומים אחרים, פעולת החלוקה אינה מביאה לתוצאה עשרונית סופית. אפשר, בהכללה של המושג שבר עשרוני, בכל זאת לומר שהמנה 965/132 מיוצגת בשבר מחזורי אינסופי. מספרים חוזרים 06 נקראים תקופה של שבר זה, ומספרם, השווה בדוגמה שלנו, הוא משך התקופה.

כדי להבין את הסיבה לתופעת המחזוריות של שבר, הבה ננתח, למשל, את תהליך החלוקה ב-7. אם החלוקה לא מתבצעת במלואה, אז מופיעה שארית שיכולה להיות לה רק אחד מהערכים הבאים : 1, 2, 3, 4, 5, 6. ובכל אחד מהשלבים הבאים, לשאר יהיה שוב אחד מששת הערכים הללו. לכן, לא יאוחר מהשלב השביעי, בהכרח ניפגש עם אחד משאר הערכים שכבר הופיעו בעבר. החל מנקודה זו, תהליך החלוקה יהפוך למחזורי. מדי פעם, הן הערכים של השאריות והן המספרים של המנה יחזרו על עצמם. נימוק זה ישים במקרה של כל מחלק אחר.

לפיכך, כל שבר רגיל מיוצג על ידי שבר עשרוני תקופתי סופי או אינסופי. זה מדהים שלהפך, כל שבר עשרוני תקופתי יכול להיות מיוצג כשבר רגיל. בואו נראה כיצד מתבצעת פעולה זו. במקרה זה, נעשה שימוש בנוסחה לסכום של התקדמות גיאומטרית פוחתת אינסופית (סעיף 92).

ניתן להבין כך:

כאן האיברים של הצד הימני, החל מהשני, יוצרים התקדמות גיאומטרית אינסופית עם המכנה והאיבר הראשון

שימוש בנוסחה (92.2):

ברור שאותו תהליך יאפשר לכל שבר מחזורי אינסופי נתון להיות מיוצג בצורה של שבר רגיל (וכפי שניתן להראות, בדיוק זה שממנו מתקבל השבר המחזורי האינסופי הנתון בתורו בתהליך של חֲלוּקָה). עם זאת, יש כאן חריג אחד. קחו בחשבון שבריר

ולהחיל עליו את תהליך ההמרה לשבר רגיל:

הגענו למספר 1/2, שמיוצג על ידי השבר העשרוני הסופי

תוצאה דומה תתקבל בכל פעם שלתקופה של שבר אינסופי נתון יש את הצורה (9). לכן, אנו מזהים זוגות מספרים כאלה, כמו למשל,

לפעמים זה גם שימושי לאפשר רישומים של הטופס

המייצגים באופן רשמי שברים עשרוניים סופיים כאינסופיים עם נקודה (0).

כל מה שנאמר על המרה של שבר רגיל לשבר מחזורי עשרוני ולהיפך חל על מספרים רציונליים חיוביים. במקרה של מספר שלילי, אתה יכול לעשות שני דברים.

1) קח מספר חיובי מנוגד למספר שלילי נתון, הפוך אותו לשבר עשרוני, ולאחר מכן שים סימן מינוס לפניו. לדוגמה, עבור - 5/3 אנחנו מקבלים

2) הצג את המספר הרציונלי השלילי הזה כסכום של חלקו השלם (שלילי) והחלק השברי שלו (לא שלילי), ולאחר מכן המר רק את החלק השברי הזה של המספר לשבר עשרוני. לדוגמה:

כדי לכתוב מספרים המיוצגים כסכום של החלק השלם השלילי שלהם ושבר עשרוני סופי או אינסופי, מאמצים את הכינוי הבא (צורה מלאכותית של כתיבת מספר שלילי):

כאן, סימן המינוס ממוקם לא לפני השבר השלם, אלא מעל החלק השלם שלו, כדי להדגיש שרק החלק השלם הוא שלילי, והחלק השבר שלאחר הפסיק חיובי.

סימון כזה יוצר אחידות בסימון של שברים עשרוניים חיוביים ושליליים וישמש בעתיד בתורת הלוגריתמים העשרוניים (סעיף 28). אנו מציעים לקורא להתאמן לבדוק את המעבר מרשומה אחת לאחרת בדוגמאות:

עכשיו כבר אפשר לנסח את המסקנה הסופית: כל מספר רציונלי יכול להיות מיוצג בשבר מחזורי עשרוני אינסופי, ולהפך, כל שבר כזה מגדיר מספר רציונלי. השבר העשרוני הסופי מאפשר גם שתי צורות כתיבה בצורה של שבר עשרוני אינסופי: עם נקודה (0) ועם נקודה (9).

כבר בפנים בית ספר יסודיתלמידים מתמודדים עם שברים. ואז הם מופיעים בכל נושא. אי אפשר לשכוח פעולות עם המספרים האלה. לכן, אתה צריך לדעת את כל המידע על שברים רגילים ועשרוניים. המושגים האלה פשוטים, העיקר להבין הכל לפי הסדר.

למה צריך שברים?

העולם סביבנו מורכב מחפצים שלמים. לכן אין צורך במניות. אבל חיי היום - יוםכל הזמן דוחף אנשים לעבוד עם חלקים של חפצים ודברים.

לדוגמה, שוקולד מורכב ממספר פרוסות. שקול את המצב שבו האריח שלו נוצר על ידי שנים עשר מלבנים. אם מחלקים אותו לשניים, מקבלים 6 חלקים. זה יהיה מחולק היטב לשלושה. אבל החמישה לא יוכלו לתת מספר שלם של פרוסות שוקולד.

אגב, הפרוסות האלה הן כבר שברים. וחלוקה נוספת שלהם מובילה להופעת מספרים מורכבים יותר.

מה זה "שבר"?

זהו מספר המורכב מחלקים של אחד. כלפי חוץ, זה נראה כמו שני מספרים מופרדים על ידי קו אופקי או לוכסן. תכונה זו נקראת שברים. המספר הכתוב למעלה (משמאל) נקרא מונה. זה בתחתית (מימין) הוא המכנה.

למעשה, פס השבר מתברר כסימן חלוקה. כלומר, ניתן לקרוא למונה דיבידנד, ולמכנה ניתן לכנות מחלק.

מהם השברים?

במתמטיקה יש רק שני סוגים מהם: שברים רגילים ושברים עשרוניים. תלמידי בית הספר מתוודעים לראשונים בכיתות היסודי, ומכנים אותם פשוט "שברים". השני לומד בכיתה ה'. אז מופיעים השמות האלה.

שברים נפוצים הם כל אלה שנכתבים כשני מספרים המופרדים בפס. לדוגמה, 4/7. עשרוני הוא מספר שבו לחלק השבר יש סימון מיקום והוא מופרד מהמספר השלם בפסיק. לדוגמה, 4.7. לתלמידים צריך להיות ברור ששתי הדוגמאות שניתנו הן מספרים שונים לחלוטין.

כל שבר פשוט יכול להיכתב בתור עשרוני. הצהרה זו נכונה כמעט תמיד גם הפוך. ישנם כללים המאפשרים לכתוב שבר עשרוני כשבר רגיל.

איזה תת-מינים יש לסוגי השברים האלה?

עדיף להתחיל בסדר כרונולוגי, כפי שהם נחקרים. השברים הנפוצים באים קודם. ביניהם ניתן להבחין ב-5 תת-מינים.

נכון. המונה שלו תמיד קטן מהמכנה.

שגוי. המונה שלו גדול או שווה למכנה.

ניתן לצמצום / בלתי ניתן לצמצום. זה יכול להיות נכון או לא נכון. דבר נוסף חשוב, האם למונה ולמכנה יש גורמים משותפים. אם יש, אז הם אמורים לחלק את שני חלקי השבר, כלומר להקטין אותו.

מעורב. מספר שלם מוקצה לחלק השבר הנכון (שגוי) הרגיל שלו. והוא תמיד עומד בצד שמאל.

מרוכבים. הוא נוצר משני שברים המחולקים זה לזה. כלומר, יש לו שלוש תכונות חלקיות בבת אחת.

לעשרונים יש רק שני תת-מינים:

סופי, כלומר כזה שבו החלק השבר מוגבל (יש לו סוף);

אינסופי - מספר שהספרות שלו אחרי הנקודה העשרונית אינן מסתיימות (ניתן לכתוב אותן בלי סוף).

איך להמיר עשרוני לרגיל?

אם זה מספר סופי, אזי מיושמת שיוך המבוסס על הכלל - כמו שאני שומע, אז אני כותב. כלומר, אתה צריך לקרוא אותו נכון ולכתוב אותו, אבל בלי פסיק, אבל עם קו שבר.

כרמז לגבי המכנה הנדרש, זכרו שזה תמיד אחד וכמה אפסים. את האחרון צריך לכתוב כמה כמו הספרות בחלק השבר של המספר הנדון.

איך להמיר שברים עשרוניים לשברים רגילים אם כל החלק שלהם חסר, כלומר שווה לאפס? לדוגמה, 0.9 או 0.05. לאחר החלת הכלל שצוין, מסתבר שאתה צריך לכתוב אפס מספרים שלמים. אבל זה לא מצוין. נותר לרשום רק את החלקים השברים. עבור המספר הראשון, המכנה יהיה 10, עבור השני - 100. כלומר, בדוגמאות המצוינות יהיו מספרים כתשובות: 9/10, 5/100. יתרה מכך, את האחרון מתברר שניתן להפחית ב-5. לכן, התוצאה עבורו חייבת להיכתב 1/20.

איך יוצרים שבר רגיל משבר עשרוני אם החלק השלם שלו שונה מאפס? לדוגמה, 5.23 או 13.00108. שתי הדוגמאות קוראות את החלק השלם וכותבות את ערכו. במקרה הראשון, זה 5, בשני, 13. אז אתה צריך לעבור לחלק השבר. איתם יש צורך לבצע את אותה פעולה. למספר הראשון יש 23/100, לשני יש 108/100000. יש להפחית שוב את הערך השני. התשובה היא שברים מעורבים: 5 23/100 ו-13 27/25000.

איך ממירים אינסוף עשרוני לשבר מצוי?

אם זה לא תקופתי, אז לא ניתן לבצע פעולה כזו. עובדה זו נובעת מהעובדה שכל שבר עשרוני מומר תמיד לסופי או למחזורי.

הדבר היחיד שמותר לעשות עם שבר כזה הוא לעגל אותו. אבל אז המספר העשרוני יהיה שווה בערך לאין הסוף הזה. כבר אפשר להפוך אותו לרגיל. אבל התהליך ההפוך: המרה לעשרוני - לעולם לא ייתן את הערך ההתחלתי. כלומר, אינסוף שברים לא מחזוריים אינם מתורגמים לשברים רגילים. יש לזכור זאת.

איך כותבים שבר מחזורי אינסופי בצורה של שבר רגיל?

במספרים אלו מופיעה תמיד ספרה אחת או יותר אחרי הנקודה העשרונית, שחוזרות על עצמן. הם נקראים מחזורים. לדוגמה, 0.3(3). כאן "3" בתקופה. הם מסווגים כרציונליים, מכיוון שניתן להמיר אותם לשברים רגילים.

מי שנתקל בשברים תקופתיים יודע שהם יכולים להיות טהורים או מעורבים. במקרה הראשון, הנקודה מתחילה מיד מהפסיק. בחלק השני, החלק השברי מתחיל במספרים כלשהם, ואז מתחילה החזרה.

הכלל שלפיו אתה צריך לכתוב אינסוף עשרוני בצורה של שבר רגיל יהיה שונה עבור שני סוגי המספרים הללו. די קל לכתוב שברים תקופתיים טהורים כשברים רגילים. כמו באחרונים, יש להמיר אותם: כתוב את הנקודה למונה, והמספר 9 יהיה המכנה, וחוזר על עצמו כמה פעמים שיש ספרות בתקופה.

לדוגמה, 0,(5). למספר אין חלק שלם, אז אתה צריך להמשיך מיד לחלק השברי. כתוב 5 במונה, ובמכנה כתוב 9. כלומר, התשובה תהיה השבר 5/9.

כלל כיצד לכתוב שבר עשרוני מצוי שהוא שבר מעורב.

תסתכל על אורך התקופה. כל כך הרבה 9 יהיה מכנה.

רשום את המכנה: קודם תשע, ואז אפסים.

כדי לקבוע את המונה, עליך לכתוב את ההפרש של שני מספרים. כל הספרות אחרי הנקודה העשרונית יקטן, יחד עם הנקודה. ניתן לחסר - זה ללא נקודה.

לדוגמה, 0.5(8) - כתוב את השבר העשרוני המחזורי כשבר מצוי. החלק השברי לפני התקופה הוא ספרה אחת. אז אפס יהיה אחד. יש גם רק ספרה אחת בתקופה - 8. כלומר יש רק תשע אחת. כלומר, צריך לכתוב 90 במכנה.

כדי לקבוע את המונה מ-58, צריך להחסיר 5. מסתבר ש-53. לדוגמה, תצטרך לכתוב 53/90 כתשובה.

כיצד מומרים שברים נפוצים לעשרונים?

האפשרות הפשוטה ביותר היא מספר שהמכנה שלו הוא המספר 10, 100 וכן הלאה. ואז המכנה פשוט מושלך, ומציבים פסיק בין החלק השבר והשלם.

ישנם מצבים שבהם המכנה הופך בקלות ל-10, 100 וכו'. לדוגמה, המספרים 5, 20, 25. מספיק להכפיל אותם ב-2, 5 ו-4, בהתאמה. רק יש צורך להכפיל לא רק את המכנה, אלא גם את המונה באותו מספר.

בכל שאר המקרים, כלל פשוט יועיל: חלקו את המונה במכנה. במקרה זה, אתה עשוי לקבל שתי תשובות: שבר עשרוני סופי או מחזורי.

פעולות עם שברים נפוצים

חיבור וחיסור

התלמידים מכירים אותם מוקדם יותר מאחרים. ובתחילה יש לשברים אותם מכנים, ואחר כך שונים. חוקים כללייםניתן לצמצם לתוכנית כזו.

מצא את הכפולה המשותפת הפחותה של המכנים.

כתוב גורמים נוספים לכל השברים הרגילים.

הכפל את המונים והמכנים בגורמים שהוגדרו עבורם.

הוסף (תחסיר) את המונים של השברים, והשאר את המכנה המשותף ללא שינוי.

אם המונה של ה-minuend קטן מה-subtrahend, אז אתה צריך לברר אם יש לנו מספר מעורב או שבר תקין.

במקרה הראשון, החלק השלם צריך לקחת אחד. הוסף מכנה למונה של שבר. ואז תעשה את החיסור.

בשני - יש צורך להחיל את כלל החיסור ממספר קטן יותר לגדול יותר. כלומר, הורידו את מודול ה-minuend מהמודלוס של ה-subtrahend, ושימו את הסימן "-" בתגובה.

הסתכלו היטב על תוצאת החיבור (חיסור). אם אתה מקבל שבר לא תקין, אז זה אמור לבחור את כל החלק. כלומר, מחלקים את המונה במכנה.

כפל וחילוק

לצורך יישומם, אין צורך לצמצם את השברים למכנה משותף. זה מקל על ביצוע הפעולה. אבל הם עדיין צריכים לציית לכללים.

כאשר מכפילים שברים רגילים, יש צורך לשקול את המספרים במונים ובמכנים. אם למונה ולמכנה כלשהו יש גורם משותף, ניתן לצמצם אותם.

תכפילו מספרים.

תכפילו את המכנים.

אם אתה מקבל שבר ניתן לצמצום, אז זה אמור להיות מפושט שוב.

כאשר מחלקים, תחילה עליך להחליף את החלוקה בכפל, ואת המחלק (שבר שני) בהדדיות (להחליף את המונה והמכנה).

לאחר מכן המשך כמו בכפל (החל מנקודה 1).

במשימות שבהן אתה צריך להכפיל (לחלק) במספר שלם, האחרון אמור להיכתב כשבר לא תקין. כלומר, עם מכנה של 1. לאחר מכן המשך כמתואר לעיל.



פעולות עם עשרוניות

חיבור וחיסור

כמובן, אתה תמיד יכול להפוך את השבר העשרוני לשבר משותף. ולפעול על פי התוכנית שתוארה כבר. אבל לפעמים יותר נוח לפעול בלי התרגום הזה. אז הכללים עבור החיבור והחיסור שלהם יהיו זהים לחלוטין.

השווה את מספר הספרות בחלק השבר של המספר, כלומר אחרי הנקודה העשרונית. הקצה את המספר החסר של אפסים בו.

כתוב שברים כך שהפסיק יהיה מתחת לפסיק.

הוסף (חיסור) כמו מספרים טבעיים.

הסר את הפסיק.

כפל וחילוק

חשוב שלא תצטרכו להוסיף כאן אפסים. שברים אמורים להישאר כפי שהם ניתנים בדוגמה. ואז ללכת לפי התוכנית.

בשביל הכפל, אתה צריך לכתוב שברים אחד מתחת לשני, בלי לשים לב לפסיקים.

הכפל כמו מספרים טבעיים.

שים פסיק בתשובה, סופר מהקצה הימני של התשובה כמה ספרות שיש בחלקים השברים של שני הגורמים.

לחלק צריך קודם להמיר את המחלק: לעשות אותו מספר טבעי. כלומר, הכפלו אותו ב-10, 100 וכו', תלוי בכמה ספרות יש בחלק השבר של המחלק.

הכפל את הדיבידנד באותו מספר.

מחלקים עשרוני במספר טבעי.

שים פסיק בתשובה ברגע שבו מסתיימת החלוקה של כל החלק.



מה אם יש שני סוגי השברים בדוגמה אחת?

כן, במתמטיקה יש לעתים קרובות דוגמאות שבהן אתה צריך לבצע פעולות על שברים רגילים ועשרוניים. ישנם שני פתרונות אפשריים לבעיות אלו. אתה צריך לשקול באופן אובייקטיבי את המספרים ולבחור את הטוב ביותר.

דרך ראשונה: מייצגים עשרוניות רגילות

זה מתאים אם, בעת חלוקה או המרה, מתקבלים שברים סופיים. אם לפחות מספר אחד נותן חלק תקופתי, אז הטכניקה הזו אסורה. לכן, גם אם אתה לא אוהב לעבוד עם שברים רגילים, תצטרך לספור אותם.

הדרך השנייה: כתוב שברים עשרוניים כרגילים

טכניקה זו נוחה אם יש 1-2 ספרות בחלק שאחרי הנקודה העשרונית. אם יש יותר מהם, יכול להתברר שבר רגיל גדול מאוד וערכים עשרוניים יאפשרו לך לחשב את המשימה מהר יותר וקל יותר. לכן, תמיד יש צורך להעריך בצורה מפוכחת את המשימה ולבחור בשיטת הפתרון הפשוטה ביותר.