למשתנה האקראי x יש צפיפות התפלגות הסתברות. ציפייה מתמטית למשתנה אקראי רציף. דוגמה לפתרון. צפיפות הסתברות של משתנה אקראי רציף

1. צפיפות התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי רציף

פונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי רציף היא המאפיין ההסתברותי הממצה שלו. אבל יש לו חסרון, המורכב מהעובדה שקשה לשפוט את אופי ההתפלגות של משתנה מקרי בשכונה קטנה של נקודה כזו או אחרת של הציר המספרי. ייצוג חזותי יותר של אופי ההתפלגות של משתנה מקרי רציף בקרבת נקודות שונות ניתן על ידי פונקציה הנקראת צפיפות התפלגות ההסתברות או חוק ההתפלגות הדיפרנציאלית של משתנה מקרי. בשאלה זו נשקול את התפלגות צפיפות ההסתברות ואת תכונותיה.

שיהיה משתנה אקראי רציף איקסעם פונקציית הפצה. הבה נחשב את ההסתברות לפגוע במשתנה האקראי הזה בקטע היסודי
:

חבר את היחס בין הסתברות זו לאורך הקטע
:

היחס המתקבל נקרא הסתברות ממוצעת,שהוא ליחידת אורך של סעיף זה.

בהתחשב בפונקציית ההפצה ו(איקס)ניתן להבדיל, אנו עוברים בשוויון (1) עד הגבול ב
; ואז נקבל:

גבול היחס בין ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי רציף בחתך יסודי מ-x עד x + ∆x לאורך קטע זה ∆x, כאשר ∆x שואף לאפס, נקרא צפיפות ההתפלגות של המשתנה המקרי בנקודה x ומסומןו (איקס).

מכוח השוויון (2), צפיפות ההתפלגות ו(איקס)שווה לנגזרת של פונקציית ההתפלגות ו(איקס),כְּלוֹמַר

.

המשמעות של צפיפות הפצה ו(איקס)הוא שהוא מציין באיזו תדירות מופיע המשתנה האקראי איקסבאיזו שכונה של הנקודה איקסכאשר חוזרים על ניסויים.

עקומה המתארת ​​את צפיפות ההתפלגות ו(איקס)משתנה אקראי נקרא עקומת התפלגות.תצוגה משוערת של עקומת ההתפלגות מוצגת באיור 1.

שימו לב שאם הערכים האפשריים של משתנה אקראי ממלאים מרווח סופי כלשהו, ​​אזי צפיפות ההתפלגות ו(איקס) = 0 מחוץ למרווח הזה.

הבה נפרט על ציר האבשיסה קטע אלמנטרי ∆ איקס, צמוד לנקודה איקס(איור 2), ומצא את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי איקס לאזור הזה. מצד אחד, הסתברות זו שווה לתוספת
פונקציות הפצה ו(איקס),תוספת מקבילה ∆ איקס= dx טַעֲנָה איקס. ממצד שני, ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי איקס לאזור היסודי dxעםלאינפיניטסימאלים מסדר גבוה מ-∆ איקסשווה ל ו(איקס) dx (כי ∆ ו(איקס)≈ dF(x) =ו (איקס) dx). מבחינה גיאומטרית, זהו השטח של מלבן יסודי עם גובה ו(איקס) וקרן dx (איור 2). ערך ו (איקס) dx שקוראים לו אלמנט של הסתברות.

יש לציין שלא כל המשתנים האקראיים שהערכים האפשריים שלהם ממלאים ברציפות מרווח מסוים הם משתנים אקראיים רציפים. ישנם משתנים אקראיים כאלה, שהערכים האפשריים שלהם ממלאים ברציפות מרווח מסוים, אך עבורם פונקציית ההתפלגות אינה רציפה בכל מקום, אלא סובלת מחוסר המשכיות בנקודות מסוימות. משתנים אקראיים כאלה נקראים מעורב.כך, למשל, בבעיה של זיהוי אות ברעש, משרעת האות השימושית היא משתנה אקראי מעורב איקס, שיכול לקחת כל ערך, חיובי או שלילי.

כעת ניתן הגדרה קפדנית יותר של משתנה אקראי רציף.

ערך אקראיאיקסנקרא רציף אם פונקציית ההפצה שלוו(x\ הוא רציף על כל ציר ה-x, וצפיפות ההתפלגותו (איקס) קיים בכל מקום, למעט אולי מספר סופי של נקודות.

שקול את המאפיינים של צפיפות ההפצה.

נכס 1.צפיפות ההפצה אינה שלילית,כְּלוֹמַר

תכונה זו נובעת ישירות מהעובדה שצפיפות ההפצה
היא הנגזרת של פונקציית ההתפלגות הלא יורדת ו(איקס).

נכס 2. פונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי שווה לאינטגרל של הצפיפות בטווח שבין -∞ ל-x,כְּלוֹמַר

. (3)

נכס 3.הסתברות לפגיעה במשתנה אקראי רציףאיקסלעלילה
שווה לאינטגרל של צפיפות ההפצה שהשתלט על קטע זה,כְּלוֹמַר

. (4)

נכס 4. האינטגרל בגבולות האינסופיים של צפיפות ההתפלגות שווה לאחדות:

.

אם למרווח הערכים האפשריים של משתנה אקראי יש גבולות סופיים או ב, ואז צפיפות ההפצה ו(איקס)= 0 מחוץ לטווח
ואז ניתן לכתוב מאפיין 4 כך:

.

דוגמא. ערך אקראי איקס מציית לחוק ההפצה בצפיפות

.

נדרש:

1) מצא את המקדם א.

2) מצא את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי באזור מ-0 עד .

פִּתָרוֹן. 1) כדי לקבוע את המקדם אאנו משתמשים בתכונה 4 של צפיפות ההתפלגות:

,

איפה .

2) לפי הנוסחה (4) יש לנו:

.

אופנה
משתנה אקראי מתמשך Xנקרא הערך שבו צפיפות ההתפלגות היא מקסימלית.

חֲצִיוֹן משתנה אקראי מתמשך Xהערך שלו נקרא, שעבורו סביר באותה מידה אם המשתנה האקראי יהיה קטן או יותר , זה:

מבחינה גיאומטרית, המצב הוא האבשסיס של אותה נקודה של עקומת ההתפלגות, שהאורדינטה שלה היא מקסימלית (עבור משתנה אקראי בדיד, המצב הוא האבשסיס של נקודת המצולע עם האסמינטה המקסימלית).

מבחינה גיאומטרית, החציון הוא האבססיס של הנקודה שבה מחולק השטח התחום על ידי עקומת ההתפלגות לשניים.

שימו לב שאם ההתפלגות היא חד-מודאלית וסימטרית, אז הממוצע, המצב והחציון זהים.

שימו לב גם שהרגע המרכזי השלישי או שיפוע הוא מאפיין של ה"עקה" של ההתפלגות. אם ההתפלגות היא סימטרית ביחס לתוחלת המתמטית, אז עבור עקומת ההתפלגות (היסטוגרמה)
. רגע מרכזי רביעי משמש לאפיין את התפלגות השיא או השטוחה. מאפייני הפצה אלה מתוארים באמצעות מה שנקרא קורטוזיס.הנוסחאות למציאת עיוות וקורטוזיס נדונו על ידינו בהרצאה הקודמת.

2. התפלגות נורמלית

בין ההתפלגויות של משתנים אקראיים רציפים, המקום המרכזי תופס על ידי החוק הרגיל או חוק ההתפלגות הגאוסי, שצפיפות ההסתברות שלו היא בצורה:

, (5)

איפה
הם הפרמטרים של ההתפלגות הנורמלית.

מאז ההתפלגות הנורמלית תלויה בשני פרמטרים ו
, אז זה נקרא גם חלוקה של שני פרמטרים.

חוק ההתפלגות הנורמלית מיושם במקרים בהם המשתנה האקראי איקסהוא תוצאה של מספר רב של גורמים שונים. כל גורם בנפרד לפי הערך איקסמשפיע מעט ואי אפשר לציין איזה מהם במידה רבה יותר מהאחרים. דוגמאות למשתנים אקראיים בעלי התפלגות נורמלית הם: סטיית המידות בפועל של חלקים המעובדים במכונה מהממדים הנומינליים, שגיאות מדידה, סטיות במהלך הצילום ועוד.

הבה נוכיח שבנוסחה (5) הפרמטר אהיא הציפייה המתמטית, והפרמטר
- סטיית תקן:

.

הראשון מבין האינטגרלים שווה לאפס, מכיוון שהאינטגרנד הוא אי זוגי. האינטגרל השני מכונה אינטגרל פואסון:

.

בוא נחשב את השונות:

.

גרף צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נקרא עקומה גאוסית נורמלית (איור 3).

נציין כמה מאפיינים של העקומה:

1. פונקציית צפיפות ההסתברות מוגדרת על כל הציר המספרי, כלומר
.

2. טווח פונקציות
, כלומר, העקומה גאוסית ממוקמת מעל ציר ה-x ואינה חותכת אותו.

3. ענפים של עקומת גאוס נוטים בצורה אסימפטוטית לציר
, זה

4. העקומה סימטרית על קו ישר
. לפיכך, עבור התפלגות נורמלית, הציפייה המתמטית עולה בקנה אחד עם אופן ההתפלגות והחציון.

5. לפונקציה יש מקסימום אחד בנקודה עם האבשיסה
, שווה ל
. עם הגדלת
העקומה של גאוס הופכת שטוחה יותר, וככל שהיא פוחתת
- יותר "חודד".

6. לעקומה גאוסית יש שתי נקודות פיתול עם קואורדינטות
ו
.

7.אם בקבוע
לשנות את הציפייה המתמטית, אז העקומה של גאוס תזוז לאורך הציר
: מימין - בעת הגדלת א, ומשמאל - בעת ירידה.

8. עקמת וקורטוזיס להתפלגות נורמלית הם אפס.

מצא את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי המחולק לפי החוק הרגיל על העלילה
. ידוע ש

.

.

שימוש בשינוי המשתנה

,

. (6)

בלתי נפרד
אינו מתבטא במונחים של פונקציות אלמנטריות, לכן, כדי לחשב את האינטגרל (6), הם משתמשים בטבלאות ערכים של פונקציה מיוחדת, הנקראת פונקציית לפלס, ונראה כך:

.

לאחר טרנספורמציות פשוטות, נקבל נוסחה להסתברות של משתנה מקרי ליפול למרווח נתון
:

. (7)

לפונקציית Laplace יש את המאפיינים הבאים:

1.
.

2.
היא פונקציה מוזרה.

3.
.

הגרף של פונקציית ההתפלגות מוצג באיור 4.

יידרש לחשב את ההסתברות שהסטייה של משתנה אקראי שחולק נורמלית איקסבערך מוחלט אינו עולה על מספר חיובי נתון כלומר, ההסתברות לאי השוויון
.

אנו משתמשים בנוסחה (7) ובתכונת המוזרות של פונקציית Laplace:

.

בוא נשים
ולבחור
. ואז נקבל:

.

משמעות הדבר היא שעבור משתנה אקראי המחולק נורמלי עם פרמטרים או
הגשמת אי השוויון
הוא אירוע כמעט בטוח. זהו הכלל שנקרא "שלוש סיגמות".

ערך צפוי

פְּזִירָהמשתנה אקראי מתמשך X, שהערכים האפשריים שלו שייכים לכל הציר Ox, נקבע על ידי השוויון:

הקצאת שירות. מחשבון מקווןנועד לפתור בעיות שבהן צפיפות הפצה f(x) , או פונקציית התפלגות F(x) (ראה דוגמה). בדרך כלל במשימות כאלה נדרש למצוא תוחלת מתמטית, סטיית תקן, צייר את הפונקציות f(x) ו-F(x).

הוראה. בחר את סוג נתוני הקלט: צפיפות התפלגות f(x) או פונקציית הפצה F(x) .

צפיפות ההתפלגות f(x) ניתנת:

פונקציית ההתפלגות F(x) ניתנת:

משתנה מקרי רציף ניתן על ידי צפיפות ההסתברות
(חוק ההפצה של ריילי - משמש בהנדסת רדיו). מצא את M(x) , D(x) .

המשתנה האקראי X נקרא רָצִיף , אם פונקציית ההפצה שלו F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי רציף משמשת לחישוב ההסתברויות של משתנה מקרי ליפול למרווח נתון:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
יתרה מכך, עבור משתנה אקראי רציף, אין זה משנה אם הגבולות שלו נכללים במרווח זה או לא:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
צפיפות הפצה משתנה מקרי רציף נקרא הפונקציה
f(x)=F'(x) , נגזרת של פונקציית ההתפלגות.

מאפייני צפיפות הפצה

1. צפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי אינה שלילית (f(x) ≥ 0) עבור כל הערכים של x.
2. מצב נורמליזציה:

המשמעות הגיאומטרית של תנאי הנורמליזציה: השטח מתחת לעקומת צפיפות ההתפלגות שווה לאחד.
3. ניתן לחשב את ההסתברות לפגיעה במשתנה אקראי X במרווח מ-α ל-β על ידי הנוסחה

מבחינה גיאומטרית, ההסתברות שמשתנה אקראי רציף X נופל לתוך המרווח (α, β) שווה לשטח הטרפז העקום מתחת לעקומת צפיפות ההתפלגות המבוססת על מרווח זה.
4. פונקציית ההתפלגות מתבטאת במונחים של צפיפות באופן הבא:

ערך צפיפות ההתפלגות בנקודה x אינו שווה להסתברות לקחת ערך זה; עבור משתנה אקראי רציף, נוכל לדבר רק על ההסתברות ליפול למרווח נתון. תן , אם לצפיפות ההסתברות שלו יש את הצורה:

הציפייה והשונות המתמטית של משתנה אקראי המחולק באופן אחיד מוגדרות על ידי הביטויים

3.8. ערך אקראי איקסמופץ באופן שווה על פני הקטע. מצא את פונקציית ההפצה ו(איקס), תוחלת מתמטית, שונות וסטיית תקן של הערך.

פִּתָרוֹן. צפיפות הסתברות לכמות איקסנראה כמו:

לכן, פונקציית ההתפלגות, המחושבת על ידי הנוסחה:

,

ייכתב כך:

הציפייה המתמטית תהיה M x= (1 + 6)/2 = 3.5. מצא את השונות וסטיית התקן:

D x = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

התפלגות נורמלית

ערך אקראי איקסמתחלק נורמלית אם לפונקציית צפיפות ההסתברות שלו יש את הצורה:

איפה M x- ערך צפוי;

היא סטיית התקן.

ההסתברות של משתנה מקרי ליפול לתוך המרווח ( א, ב) נמצא על ידי הנוסחה

ר(א < איקס < ב) = F – F = F( ז 2) – F( ז 1), (5)

שבו F( ז) = היא פונקציית לפלס.

הערכים של Laplace מתפקדים עבור משמעויות שונות זמובאים בנספח 2.

3.9. תוחלת מתמטית של משתנה אקראי המחולק נורמלית איקסשווים M x= 5, השונות היא D x= 9. כתבו ביטוי לצפיפות ההסתברות.

3.10. תוחלת מתמטית וסטיית תקן של משתנה אקראי המחולק נורמלית איקסהם 12 ו- 2, בהתאמה. מצא את ההסתברות שהמשתנה המקרי לוקח את הערך הכלול במרווח (14; 16).

פִּתָרוֹן. אנו משתמשים בנוסחה (21.2), תוך התחשבות בכך M x = 12, = 2:

ר(14 < איקס < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

לפי טבלת הערכים של פונקציית לפלס, אנו מוצאים Ф(1) = 0.3413, Ф(2) = 0.4772. לאחר ההחלפה, נקבל את הערך של ההסתברות הרצויה:

ר(14 <איקס < 16) = 0,1359.

3.11. יש משתנה אקראי איקס, בחלוקה לפי החוק הנורמלי, שהתוחלת המתמטית שלו שווה ל-20, סטיית התקן שווה ל-3. מצא מרווח סימטרי ביחס לתוחלת המתמטית, שבו בהסתברות ר= 0.9972 יקבל משתנה אקראי.

פִּתָרוֹן. כי ר(איקס 1 < איקס < איקס 2) = ר= 2Ф(( איקס 2 – M x)/ ), ואז Ф( ז) = ר/2 = 0.4986. לפי הטבלה של פונקציית לפלס, אנו מוצאים את הערך ז, המתאים לערך המתקבל של הפונקציה Ф( ז) = 0,4986: ז= 2.98. בהתחשב בעובדה ש ז = (איקס 2 – M x)/ , אנו מגדירים = איקס 2 – M x = ז= 3 2.98 = 8.94. המרווח הרצוי ייראה כך (11.06; 28.94).

אנחנו לוקחים את זה בחשבון ו(איקס) = F"(איקס). ואז נקבל:

תחליף בביטוי לציפייה המתמטית

.

אינטגרציה לפי חלקים, אנחנו מקבלים M x= 1/ , או M x = 1/0,1.

כדי לקבוע את הפיזור, אנו משלבים את המונח הראשון לפי חלקים. כתוצאה מכך, אנו מקבלים:

.

הבה ניקח בחשבון את הביטוי שנמצא עבור M x. איפה

.

במקרה הזה M x = 10, D x = 100.

מערכות של משתנים אקראיים

תן $X$ להיות משתנה אקראי רציף עם פונקציית התפלגות הסתברות $F(x)$. זכור את ההגדרה של פונקציית ההפצה:

הגדרה 1

פונקציית הפצה היא פונקציה $F(x)$ המקיימת את התנאי $F\left(x\right)=P(X

מכיוון שהמשתנה המקרי הוא רציף, אז, כפי שאנו כבר יודעים, פונקציית התפלגות ההסתברות $F(x)$ תהיה פונקציה רציפה. תן ל-$F\left(x\right)$ להיות גם ניתן להבדיל בכל תחום ההגדרה.

שקול את המרווח $(x,x+\triangle x)$ (כאשר $\triangle x$ הוא התוספת של $x$). עליו

כעת, אם נותנים לערכי התוספת $\משולש x$ לשאוף לאפס, נקבל:

תמונה 1.

לפיכך, אנו מקבלים:

צפיפות ההתפלגות, כמו פונקציית ההתפלגות, היא אחת מצורות חוק ההתפלגות של משתנה מקרי. עם זאת, ניתן לכתוב את חוק ההתפלגות במונחים של צפיפות ההתפלגות רק עבור משתנים אקראיים רציפים.

הגדרה 3

עקומת ההתפלגות היא גרף של הפונקציה $\varphi \left(x\right)$, צפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי (איור 1).

איור 2. חלקת צפיפות התפלגות.

חוש גיאומטרי 1:ההסתברות שמשתנה מקרי רציף ייפול לתוך המרווח $(\alpha ,\beta)$ שווה לשטח הטרפז העקום התחום על ידי גרף פונקציית ההתפלגות $\varphi \left(x\right)$ וה- קווים ישרים $x=\alpha ,$ $x=\beta $ ו-$y=0$ (איור 2).

איור 3. ייצוג גיאומטרי של ההסתברות של משתנה מקרי רציף ליפול לתוך המרווח $(\alpha ,\beta)$.

חוש גיאומטרי 2:השטח של טרפז עקמומי אינסופי התחום על ידי הגרף של פונקציית ההתפלגות $\varphi \left(x\right)$, הקו $y=0$ והקו המשתנה $x$ אינו אלא פונקציית ההתפלגות $ F(x)$ (איור 3).

איור 4. ייצוג גיאומטרי של פונקציית ההסתברות $F(x)$ במונחים של צפיפות ההתפלגות $\varphi \left(x\right)$.

דוגמה 1

תן לפונקציית ההתפלגות $F(x)$ של המשתנה האקראי $X$ להיות בצורה הבאה.

4. צפיפות התפלגות ההסתברות של משתנה מקרי רציף

ניתן לציין משתנה אקראי רציף באמצעות פונקציית ההתפלגות ו(איקס) . דרך הגדרה זו אינה היחידה. ניתן לציין משתנה אקראי רציף גם באמצעות פונקציה אחרת הנקראת צפיפות ההתפלגות או צפיפות ההסתברות (לפעמים נקראת הפונקציה הדיפרנציאלית).

הגדרה 4.1: צפיפות התפלגות של משתנה אקראי רציף איקסלקרוא לפונקציה ו (איקס) - הנגזרת הראשונה של פונקציית ההתפלגות ו(איקס) :

ו ( איקס ) = ו "( איקס ) .

מהגדרה זו נובע שפונקציית ההתפלגות היא הנגזרת האנטי-נגזרת של צפיפות ההתפלגות. שימו לב שכדי לתאר את התפלגות ההסתברות של משתנה אקראי בדיד, צפיפות ההתפלגות אינה ישימה.

הסתברות לפגיעה במשתנה אקראי רציף במרווח נתון

בידיעה של צפיפות ההתפלגות, נוכל לחשב את ההסתברות שמשתנה אקראי רציף ייקח ערך ששייך למרווח נתון.

מִשׁפָּט: ההסתברות שמשתנה אקראי רציף X ייקח ערכים השייכים למרווח (א, ב), שווה לאינטגרל מסוים של צפיפות ההתפלגות, נלקח בטווח מאלפניב :

הוכחה:אנו משתמשים ביחס

פ(א ≤ איקסב) = ו(ב) – ו(א).

לפי הנוסחה של ניוטון-לייבניץ,

בדרך זו,

.

כי פ(א ≤ איקס ב)= פ(א איקס ב) , אז סוף סוף נקבל

.

מבחינה גיאומטרית, ניתן לפרש את התוצאה באופן הבא: ההסתברות שמשתנה אקראי רציף מקבל ערך השייך למרווח (א, ב), שווה לשטח הטרפז העקום התחום על ידי הצירשׁוֹר, עקומת התפלגותו(איקס) וישיראיקס = אואיקס = ב.

תגובה:בפרט, אם ו(איקס) היא פונקציה זוגית וקצוות המרווח הם סימטריים ביחס למקור, אם כן

.

דוגמא.בהינתן צפיפות ההסתברות של משתנה אקראי איקס

מצא את ההסתברות שכתוצאה מהמבחן איקסייקח ערכים השייכים למרווח (0.5; 1).

פִּתָרוֹן:הסתברות רצויה

.

מציאת פונקציית ההתפלגות מצפיפות התפלגות ידועה

הכרת צפיפות ההפצה ו(איקס) , נוכל למצוא את פונקציית ההפצה ו(איקס) לפי הנוסחה

.

בֶּאֱמֶת, ו(איקס) = פ(איקס איקס) = פ(-∞ איקס איקס) .

כתוצאה מכך,

.

בדרך זו, לדעת את צפיפות ההפצה, אתה יכול למצוא את פונקציית ההפצה. כמובן, מפונקציית ההתפלגות הידועה, ניתן למצוא את צפיפות ההתפלגות, כלומר:

ו(איקס) = ו"(איקס).

דוגמא.מצא את פונקציית ההתפלגות עבור צפיפות התפלגות נתונה:

פִּתָרוֹן:בואו נשתמש בנוסחה

אם איקס ≤ א, לאחר מכן ו(איקס) = 0 , כתוצאה מכך, ו(איקס) = 0 . אם א, אז f(x) = 1/(b-a),

כתוצאה מכך,

.

אם איקס > ב, לאחר מכן

.

אז, פונקציית ההפצה הרצויה

תגובה:השגנו את פונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי המחולק באופן אחיד (ראה התפלגות אחידה).

מאפייני צפיפות הפצה

נכס 1:צפיפות ההתפלגות היא פונקציה לא שלילית:

ו ( איקס ) ≥ 0 .

נכס 2:האינטגרל הלא תקין של צפיפות ההפצה בטווח שבין -∞ ל-∞ שווה לאחד:

.

תגובה:העלילה של צפיפות ההפצה נקראת עקומת התפלגות.

תגובה:צפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי רציף נקראת גם חוק ההתפלגות.

דוגמא.לצפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי יש את הצורה הבאה:

מצא פרמטר קבוע א.

פִּתָרוֹן:צפיפות ההפצה חייבת לעמוד בתנאי, ולכן אנו דורשים את השוויון

.

מכאן
. בואו נמצא את האינטגרל הבלתי מוגדר:

.

אנו מחשבים את האינטגרל הלא תקין:

לפיכך, הפרמטר הנדרש

.

משמעות אפשרית של צפיפות הפצה

תן ו(איקס) היא פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי רציף איקס. לפי הגדרת צפיפות ההפצה, ו(איקס) = ו"(איקס) , או

.

הֶבדֵל ו(איקס+∆х) -ו(איקס) קובע את ההסתברות לכך איקסייקח את הערך השייך למרווח (איקס, איקס+∆х). לפיכך, גבול היחס בין ההסתברות שמשתנה אקראי רציף מקבל ערך השייך למרווח (איקס, איקס+∆х), לאורך המרווח הזה (ב ∆х→0) שווה לערך צפיפות ההתפלגות בנקודה איקס.

אז הפונקציה ו(איקס) קובע את צפיפות התפלגות ההסתברות עבור כל נקודה איקס. ידוע מחשבון דיפרנציאלי שהתוספת של פונקציה שווה בערך להפרש של הפונקציה, כלומר.

כי ו"(איקס) = ו(איקס) ו dx = ∆ איקס, לאחר מכן ו(איקס+∆ איקס) - ו(איקס) ≈ ו(איקס)∆ איקס.

המשמעות ההסתברותית של שוויון זה היא כדלקמן: ההסתברות שמשתנה אקראי לוקח ערך השייך למרווח (איקס, איקס+∆ איקס), שווה בקירוב למכפלת צפיפות ההסתברות בנקודה x ואורך המרווח ∆х.

מבחינה גיאומטרית, תוצאה זו יכולה להתפרש כ: ההסתברות שמשתנה אקראי לוקח ערך השייך למרווח (איקס, איקס+∆ איקס), שווה בערך לשטח של מלבן עם בסיס ∆х וגובהו(איקס).

5. התפלגויות אופייניות של משתנים אקראיים בדידים

5.1. הפצת ברנולי

הגדרה 5.1: ערך אקראי איקס, שלוקח שני ערכים 1 ו 0 עם הסתברויות ("הצלחה") עו ("כישלון") ש, נקרא ברנולי:

, איפה ק=0,1.

5.2. התפלגות הבינומית

תן לזה להיות מיוצר נ ניסויים עצמאיים, שבכל אחד מהם אירוע אעשוי להופיע או לא. ההסתברות להתרחשות אירוע בכל הניסויים היא קבועה ושווה ל ע(ומכאן ההסתברות לאי הופעה ש = 1 - ע).

שקול משתנה אקראי איקס- מספר אירועי האירוע אבמבחנים אלו. ערך אקראי איקסלוקח ערכים 0,1,2,… נעם הסתברויות המחושבות על ידי נוסחת ברנולי: , איפה ק = 0,1,2,… נ.

הגדרה 5.2: בינומינקראת התפלגות ההסתברות שנקבעת על ידי נוסחת ברנולי.

דוגמא.שלוש יריות נורות לעבר המטרה, וההסתברות לפגיעה בכל ירייה היא 0.8. אנו רואים משתנה אקראי איקס- מספר הפגיעות במטרה. מצא את סדרת ההפצה שלו.

פִּתָרוֹן:ערך אקראי איקסלוקח ערכים 0,1,2,3 עם הסתברויות המחושבות על ידי נוסחת ברנולי, איפה נ = 3, ע = 0,8 (הסתברות לפגיעה), ש = 1 - 0,8 = = 0,2 (הסתברות להחמצה).

לפיכך, לסדרת ההפצה יש את הצורה הבאה:

השתמש בנוסחת ברנולי עבור ערכים גדולים נדי קשה, לכן, לחשב את ההסתברויות המתאימות, נעשה שימוש במשפט לפלס המקומי, המאפשר למצוא בערך את ההסתברות של אירוע להתרחש בדיוק קפעם א נניסויים אם מספר הניסויים גדול מספיק.

משפט לפלס מקומי: אם הסתברות עהתרחשות של אירוע א
כי האירוע א יופיע ב נבדיקות בדיוק קפעמים, בערך שווה (ככל שיותר מדויק, יותר נ) ערך הפונקציה
, איפה
,
.

הערה 1:טבלאות המכילות ערכי פונקציות
, ניתנים בנספח 1, ו
. פוּנקצִיָה היא הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (ראה התפלגות נורמלית).

דוגמא:מצא את ההסתברות שהאירוע א מגיע בדיוק 80 פעם א 400 ניסויים אם ההסתברות להתרחשות של אירוע זה בכל ניסוי שווה ל 0,2.

פִּתָרוֹן:לפי תנאי נ = 400, ק = 80, ע = 0,2 , ש = 0,8 . הבה נחשב את הערך שנקבע על ידי נתוני הבעיה איקס:
. על פי הטבלה בנספח 1 אנו מוצאים
. אז ההסתברות הרצויה תהיה:

אם אתה רוצה לחשב את ההסתברות לאירוע איופיע ב נבדיקות לפחות ק 1 פעם אחת ולא יותר ק 2 פעמים, אז אתה צריך להשתמש במשפט האינטגרל של לפלס:

משפט האינטגרל של לפלס: אם הסתברות עהתרחשות של אירוע אבכל מבחן קבוע ושונה מאפס ואחד, ואז ההסתברות
כי האירוע א יופיע ב נבדיקות מ ק 1 לפני ק 2 פעמים, שווה בערך לאינטגרל המוגדר

, איפה
ו
.

במילים אחרות, ההסתברות לאירוע א יופיע ב נבדיקות מ ק 1 לפני ק 2 פעמים, בערך שווה ל

איפה
, ו .

הערה 2:פוּנקצִיָה
נקראת פונקציית Laplace (ראה התפלגות נורמלית). טבלאות המכילות ערכי פונקציות , ניתנים בנספח 2, ו
.

דוגמא:מצא את ההסתברות שבין 400 חלקים שנבחרו באקראי יבוטלו מ-70 עד 100 חלקים, אם ההסתברות שהחלק לא עבר את בדיקת בקרת האיכות שווה ל- 0,2.

פִּתָרוֹן:לפי תנאי נ = 400, ע = 0,2 , ש = 0,8, ק 1 = 70, ק 2 = 100 . הבה נחשב את הגבול התחתון והעליון של אינטגרציה:

;
.

לפיכך, יש לנו:

על פי הטבלה בנספח 2, אנו מוצאים זאת
ו
. אז ההסתברות הנדרשת היא:

הערה 3:בסדרה של ניסויים עצמאיים (כאשר n גדול, p קטן), משתמשים בנוסחת הפואסון בדיוק k פעמים כדי לחשב את ההסתברות להתרחשות של אירוע (ראה התפלגות פואסון).

5.3. התפלגות פואסון

הגדרה 5.3: משתנה אקראי בדיד נקרא רעל,אם לחוק ההפצה שלו יש את הצורה הבאה:

, איפה
ו
(ערך קבוע).

דוגמאות למשתנים אקראיים של Poisson:

מספר שיחות לתחנה אוטומטית במרווח זמן ט.

מספר חלקיקי ההתפרקות של חומר רדיואקטיבי כלשהו לאורך תקופה ט.

מספר הטלוויזיות שנכנסות לסדנה בפרק זמן טבעיר הגדולה .

מספר המכוניות שיגיעו לקו העצירה של צומת בעיר גדולה .

הערה 1:טבלאות מיוחדות לחישוב הסתברויות אלו מופיעות בנספח 3.

הערה 2:בסדרה של ניסויים עצמאיים (מתי נגדול, עקטן) כדי לחשב את ההסתברות שאירוע יתרחש בדיוק קלאחר השימוש בנוסחת הפואסון:
, איפה
, כלומר, המספר הממוצע של התרחשויות של אירועים נשאר קבוע.

הערה 3:אם יש משתנה מקרי שמתחלק לפי חוק פואסון, אז בהכרח יש משתנה מקרי שמתחלק לפי החוק המעריכי ולהיפך (ראה ההתפלגות המעריכית).

דוגמא.המפעל נשלח לבסיס 5000 מוצרים באיכות טובה. ההסתברות שהמוצר ייפגע במעבר שווה ל 0,0002 . מצא את ההסתברות שבדיוק שלושה פריטים בלתי שמישים יגיעו לבסיס.

פִּתָרוֹן:לפי תנאי נ = 5000, ע = 0,0002, ק = 3. בוא נמצא λ: λ = np= 5000 0.0002 = 1.

על פי נוסחת פויסון, ההסתברות הרצויה שווה ל:

, שבו משתנה אקראי איקס- מספר המוצרים הפגומים.

5.4. התפלגות גיאומטרית

תן לערוך ניסויים עצמאיים, שבכל אחד מהם ההסתברות להתרחשות של אירוע אבלשווה ל ע(0p

ש = 1 - ע. הניסויים מסתיימים ברגע שהאירוע מופיע אבל. לפיכך, אם אירוע אבלהופיע ב קמבחן -ה, ואז בקודם ק – 1 זה לא הופיע בבדיקות.

סמן ב איקסמשתנה אקראי בדיד - מספר הניסויים שיש לבצע לפני ההתרחשות הראשונה של האירוע אבל. ברור, הערכים האפשריים איקסהם מספרים טבעיים x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

תן את הראשון ק-1 אירוע מבחן אבללא הגיע, אבל קהבדיקה הופיעה. ההסתברות ל"אירוע מורכב זה", על פי משפט הכפלת ההסתברויות של אירועים בלתי תלויים, פ (איקס = ק) = ש ק -1 ע.

הגדרה 5.4: למשתנה אקראי בדיד יש התפלגות גיאומטריתאם לחוק ההפצה שלו יש את הצורה הבאה:

פ ( איקס = ק ) = ש ק -1 ע , איפה
.

הערה 1:בהנחה ק = 1,2,… , אנו מקבלים התקדמות גיאומטרית עם האיבר הראשון עומכנה ש (0ש. מסיבה זו, ההתפלגות נקראת גיאומטרית.

הערה 2:שׁוּרָה
מתכנס והסכום שלו שווה לאחד. אכן, סכום הסדרה הוא
.

דוגמא.האקדח יורה לעבר המטרה עד לפגיעה הראשונה. הסתברות לפגוע במטרה ע = 0,6 . מצא את ההסתברות שהפגיעה תתרחש בזריקה השלישית.

פִּתָרוֹן:לפי תנאי ע = 0,6, ש = 1 – 0,6 = 0,4, ק = 3. ההסתברות הרצויה שווה ל:

פ (איקס = 3) = 0,4 2 0.6 = 0.096.

5.5. התפלגות היפרגיאומטרית

שקול את הבעיה הבאה. תן למסיבה לצאת נמוצרים זמינים Mתֶקֶן (Mנ). נבחר באקראי מהמפלגה נמוצרים (ניתן להסיר כל מוצר באותה הסתברות), והמוצר הנבחר אינו מוחזר לאצווה לפני בחירת המוצר הבא (לכן, נוסחת ברנולי אינה ישימה כאן).

סמן ב איקסמשתנה אקראי - מספר Mמוצרים סטנדרטיים בין ננבחר. ואז הערכים האפשריים איקסיהיה 0, 1, 2,…, דקה ; בואו נסמן אותם ו... עַלערכים של המשתנה הבלתי תלוי (Fonds), השתמש בלחצן ( פֶּרֶק ...

מתחם חינוכי ומתודולוגי לדיסציפלינה "סדנה פסיכולוגית כללית"

מתחם הדרכה ומתודולוגיה

... שִׁיטָתִי הוראות עַלביצוע עבודה מעשית 5.1 שִׁיטָתִיהמלצות עַליישום פרויקטי הדרכה 5.2 שִׁיטָתִיהמלצות עַל... רגישות), חד מימדיורב מימדיים... אַקרַאִירכיב ב גודל... עם סָעִיף"ביצועים...

תסביך חינוכי ומתודולוגי בדיסציפלינה של הפיזיקה (שם)

מתחם הדרכה ומתודולוגיה

... מקטעיםבספרי לימוד. פתרון בעיות עַלכל נושא. שִׁכלוּל שִׁיטָתִי הוראותלעבודת מעבדה עַל ... אַקרַאִיושגיאת מדידה אינסטרומנטלית 1.8 נושאי בקרה ועבודות שִׁיטָתִי הוראות עַל... חלקיק פנימה חד מימדיחור פוטנציאלי. ...

הנחיות לעבודת מעבדה בדיסציפלינה של אינפורמטיקה

הנחיות

... שִׁיטָתִי הוראותלעבודות מעבדה עַל ... עוצמה, והכמות הגדולה ביותר כמיות... מערך אַקרַאִימספרים... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 א) חד מימדימערך ב) מערך דו מימדי איור. 2– קבצים... מתוארים ב סָעִיףיישום לאחר...