ליניארי משוואות דיופנטיות

עבודת מחקר באלגברה

תלמיד כיתה ט' MOU "Upshinskaya OOSh"

אנטונוב יורי

"אם אתה רוצה ללמוד לשחות, אז

היכנס באומץ למים, ואם אתה רוצה

ללמוד לפתור בעיות ואז לפתור אותן.

ד.פויה

ראש - Sofronova N.A. .

משימה

לריצוף ברוחב 3 מטר ישנם לוחות ברוחב 11 ס"מ ו-13 ס"מ. כמה לוחות בכל גודל צריך?

אם איקס - מספר הלוחות ברוחב 11 ס"מ, ו בְּ- - מספר הלוחות ברוחב 13 ס"מ, אז אנחנו צריכים לפתור את המשוואה:

11 איקס + 13 שנים = 300

תכונות של המשוואה 11 x + 13 y \u003d 300: ▪ מקדמים 11, 13, 300 הם מספרים שלמים. ▪ מספר הלא ידועים עולה על מספר המשוואות. ▪ פתרונות של משוואה זו x ו-y חייבים להיות מספר שלם מספרים חיוביים

משוואות אלגבריות או מערכות של משוואות אלגבריות עם מקדמים שלמים, שבהן מספר הלא ידועים עולה על מספר המשוואות ועבורן יש למצוא פתרונות שלמים, נקראות אינסופיות או דיופנטין, על שם מתמטיקאי יווני דיופנטוס .

דוגמאות למשוואות דיופנטיות

1 . מצא את כל זוגות המספרים השלמים

איקס , y , לגבי זה נכון שוויון

2 . הראה את המשוואה

יש אינסוף פתרונות

מספרים שלמים

מַטָרָה:

לגלות:

• איזה סוג שיטות עם קיימים ל פתרונות למשוואות דיופנטיות?

משימות:

• מצא ו ו ללמוד שיטות פתרון ליניארי משוואות דיופנטיות בשני משתנים.

• שקול את האפשרויות של התיאוריה של משוואות דיופנטיות ליניאריות.

שלישיות פיתגורס

• משוואות בלתי מוגדרות במספרים שלמים נפתרו עוד לפני דיופנטוס. עניין רב הייתה, למשל, המשוואה האלגברית איקס 2 + y 2 = ז 2 , צדדים מחייבים איקס , בְּ- , ז משולש ישר זווית. מספרים שלמים איקס , y ו ז , שהם פתרונות של משוואה זו, נקראים "שלישייה פיתגורית" .

המשוואה של פרמה

• עבודותיו של דיופנטוס קשורות גם ישירות למחקר המתמטי של המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה. מאמינים שעבודתו של פרמה היא שהחלה גל חדש בפיתוח תורת המספרים. ואחת הבעיות שלו היא המשוואה המפורסמת של פרמה

איקס נ +y נ =z נ

אף מתמטיקאי מרכזי אחד לא עבר את תורת המשוואות הדיופנטיות.

פרמה, אוילר, לגראנז', גאוס, צ'בישב הותירו חותם בל יימחה על התיאוריה המעניינת הזו.

1, (קטאלנה); ax 2 + bxy + su 2 + dx + ey + f \u003d 0, כאשר a, b, c, d, e, f הם מספרים שלמים, כלומר סך הכל משוואה לא הומוגניתתואר שני עם שני אלמונים (P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange and K. Gauss) "width="640"

דוגמאות למשוואות בלתי מוגדרות נפתרו על ידי מתמטיקאים גדולים המאות ה-19 וה-20: איקס 2 − ny 2 = 1 , איפה נ אינו ריבוע מדויק (Fermat, Pell); איקס ז − y ט = 1 , איפה ז , ט 1, (קטאלנה); אה 2 + b.xy + סו 2 + dx + ey + ו = 0 , איפה א , ב , עם , ד , ה , ו - מספרים שלמים, כלומר משוואה כללית לא הומוגנית מהמעלה השנייה עם שני לא ידועים (P. Fermat, J. Vallis, L. Euler, J. Lagrange and K. Gauss)

משוואות דיופנטיות במאה ה-20

1900 קונגרס מתמטי בינלאומי.

הבעיה העשירית של הילברט

נתון משוואה דיופנטית עם מספר מסוים של לא ידועים ומקדמי מספרים רציונליים. יש צורך להמציא נוהל שיוכל לקבוע במספר סופי של פעולות האם המשוואה ניתנת לפתרון במספרים שלמים רציונליים.

מתמטיקאי רוסי יורי מתיאסביץ' הוכיח :

הבעיה ה-10 של הילברט אינה ניתנת לפתרון - האלגוריתם הנדרש אינו קיים.

האם תמיד אפשר למצוא את כל הפתרונות השלמים למשוואה מסוימת בלתי מוגדרת או להוכיח את היעדר כזו?

• הבעיה של פתרון משוואות במספרים שלמים נפתרה לחלוטין רק עבור משוואות מהמעלה הראשונה עם שניים או שלושה לא ידועים.
• DE של התואר השני עם שני אלמונים כבר נפתר בקושי רב.
• DE של המעלה השנייה עם יותר משני לא ידועים נפתרים רק במקרים מיוחדים מסוימים, למשל, המשוואה איקס 2 + y 2 = ז 2 .
• ל-DE בדרגה גבוהה מהשנייה יש, ככלל, רק מספר סופי של פתרונות (במספרים שלמים).
• עבור משוואות מעל המעלה השנייה עם שניים או יותר לא ידועים, אפילו הבעיה של קיומם של פתרונות שלמים היא די קשה. לדוגמה, לא ידוע אם יש למשוואה

איקס 3 + y 3 + ז 3 = 30 לפחות פתרון מספר שלם אחד.

• כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות בודדות, ולפעמים עבור משוואות ספציפיות, יש להמציא שיטות חדשות. ברור שאין אלגוריתם שיאפשר מציאת פתרונות ל-DE שרירותי.

משוואות דיופנטיות לינאריות

טופס כללי:

LDE עם שני משתנים:

א איקס + by = ג

LDE עם שלושה משתנים:

א איקס + by + cz = ד

LDE עם שני לא ידועים

LDE עם שני משתנים:

א איקס + by = ג

פתרונות:

איקס = x 0 - bt

בְּ- = בְּ- 0 + בְּ-

הוֹמוֹגֵנִי:

א איקס + על ידי = 0

פתרונות:

איקס = - bt

בְּ- = ב

מציאת פתרון פרטי

שיטות פתרון:

• שיטה מרובה.
• יישום אלגוריתם אוקלידס.
• שיטת איטרציה.
• שיטת ירידה.

• שיטה לבחינת שאריות החלוקה

שיטה מרובה

פתור את המשוואה 11 x + 2 y = 69

אנחנו מחפשים סכום השווה ל-69: 55 + 14 = 69 פתרון מיוחד של המשוואה

איקס 0 = 5, y 0 = 7

יישום אלגוריתם אוקלידס

פתור את המשוואה 4 x + 7 y = 16

• בוא נמצא את ה-gcd של המספרים 4 ו-7 באמצעות האלגוריתם של אוקלידס: gcd(4,7) = 1

• בואו נביע את המספר 1 באמצעות מקדמים א = 4 ו ב =7 באמצעות משפט ההרחבה הלינארית של GCD:

GCD ( א, ב ) = au+bv .

• נקבל: 1 = 4 ∙ 2 + 7 ∙ (-1) u = 2, v = -1

• פתרון מיוחד של המשוואה: איקס 0 = 2 ∙ 16 = 32,

בְּ- 0 = -1 ∙ 16 = -16

שיטת ספירה

פתור את המשוואה 7 x + 12 y = 100

• 7x + 12y = 100
• 7x \u003d 100 - 12y
• כפולה של 100 - 12 של 7

פתרון מיוחד של המשוואה: איקס 0 = 4, y 0 = 6

100-12u

שיטת שחרור: 3x+8y=60

אֶקְסְפּרֶס

מִשְׁתַנֶה איקס

דרך בְּ-

אֶקְסְפּרֶס

מִשְׁתַנֶה איקס

דרך ט

תשובה:

בְּדִיקָה:

שיטה לבחינת שאריות החלוקה

• פתור את המשוואה במספרים שלמים 3x - 4y \u003d 1
• 3 x = 4 y + 1
• הצד השמאלי של המשוואה מתחלק ב-3, ולכן הצד הימני חייב להיות מתחלק ב-3. חלוקה ב-3 יכולה לגרום לשאריות 0, 1 ו-2.
• בואו נבחן 3 מקרים.

3x = 4 ∙ 3p + 1 = 12p + 1

y=3p+1

לא מתחלק ב-3

3x = 4 ∙ (3p + 1) +1 = 12p + 3

y=3p+2

לא מתחלק ב-3

3 x = 4 ∙ (3p + 2) +1 = 12p + 9

3x=3(4p+3)

x = 4 p + 3

תשובה:

מתחלק ב-3

x = 4 p + 3 ; y=3p+2

האפשרויות של תיאוריית ה-LDE מצא את כל פתרונות המספרים השלמים של משוואה איקס 2 + 5 שנים 2 + 34z 2 + 2xy - 10xz - 22uz =0

מה הפרויקט נתן לי?

• השגת תובנה בעבודה על פרויקט מחקר.
• הוא התוודע להיסטוריה של התפתחות משוואות דיופנטיות ולביוגרפיה של דיופנטוס.
• למד שיטות לפתרון LDEs עם שניים ושלושה לא ידועים.
• פתר קבוצה של בעיות בעלות אופי מעשי, ומתרחשות גם באולימפיאדות, בחינות לקורס בית הספר הבסיסי
• רכש את הכישורים לפתור בעיות לא סטנדרטיות.

אני חושב שבעתיד אמשיך ללמוד משוואות דיופנטיניות מהדרגה השנייה ושיטות לפתרונן.

רשימת מקורות בשימוש

• מתמטיקה במושגים, הגדרות ומונחים. חלק 1. מדריך למורים. אד. L.V. Sabinina. מ., "נאורות", 1978. -320 עמ'. (ספריית מורה למתמטיקה.) בגב ספר הכותרת: O.V. Manturov, Yu.K. Solntsev, Yu.I. Sorokin, N.G. Fedin.
• Nagibin F.F., Kanin E.S. תיבת מתמטיקה: מדריך לתלמיד. – מהדורה רביעית, מתוקנת. ועוד - מ.: נאורות, 1984. - שנות ה-160, ill.
• נ.פ. טוכנין. איך לשאול שאלה? (על יצירתיות מתמטית של תלמידי בית ספר): ספר לתלמידים. - מ .: חינוך, 1993. - 192 עמ', ill.
• S.N.Olekhnik, Yu.V.Nesterenko, M.K.Potapov בעיות משעשעות עתיקות. –M.: Bustard, 2002. -176s., ill.
• יא.י. פרלמן. אלגברה משעשעת. - מ.: נאוקה, 1975. - שנות ה-200, חולה.
• משאב אלקטורלי: http :// www.yugzone.ru /איקס/ diofant-i-diofantovy-uravneniya / I.G. Bashmakova "משוואות דיופנטיות ודיופנטיות".
• משאב אלקטורלי: http :// www.goldenmuseum.com /1612Hilbert_eng.htmlהבעיה העשירית של הילברט: ההיסטוריה של תגלית מתמטית (דיופנטוס, פרמה, הילברט, ג'וליה רובינסון, ניקולאי וורוביוב, יורי מתיאסביץ').
• משאב אלקטורלי: http://ru.wikipedia.org/wiki/ משוואות דיופנטיות.
• משאב אלקטורלי: http :// revolution.allbest.ru / מָתֵימָטִיקָה /d00013924.html בלוב דניס ולדימירוביץ' משוואות דיופנטיות לינאריות.
• משאב אלקטורלי: http :// revolution.allbest.ru / מָתֵימָטִיקָה /d00063111.html משוואות דיופנטיות לינאריות
• משאב אלקטורלי: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=570768 זיוריוקינה אולגה. משוואות בלתי מוגדרות במספרים שלמים או משוואות דיופנטיות.
• משאב אלקטורלי: http ://portfolio.1september.ru/work.php?id=561773 אראפוב אלכסנדר. דיופנטוס והמשוואות שלו.
• משאב אלקטורלי: http :// en.wikipedia.org / ויקי / האלגוריתם של אוקלידס.

משרד החינוך והמדע של הפדרציה הרוסית

מוסד חינוך ממלכתי גבוה

חינוך מקצועי

"האקדמיה החברתית והפדגוגית הממלכתית של טובולסק

אוֹתָם. DI. מנדלייב"

המחלקה למתמטיקה, TIMOM

כמה משוואות דיופנטיות

עבודה בקורס

סטודנט שנה ג' של FMF

מטאיב יבגני ויקטורוביץ'

יועץ מדעי:

מועמד למדעי הפיזיקה והמתמטיקה A.I. Valitskas

כיתה: ____________

טובולסק - 2011

מבוא……………………………………………………………………........2

§ 1. משוואות דיופנטיות לינאריות…………………………………………..3

§ 2. משוואה דיופנטיתאיקס 2 – y 2 = א………………………………….....9

§ 3. משוואה דיופנטיתאיקס 2 + y 2 = א…………………………………... 12

§ 4. משוואה x 2 + x + 1 = 3y 2 …………………………………………….. 16

§ 5. שלשות פיתגורס………………………………………………………………….. 19

§ 6. המשפט האחרון של פרמה…………………………………………………………………23

מסקנה……………………………………………………………………………….…………29

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה...........………………………………………………..30

מבוא

משוואה דיופנטית היא משוואה של הצורה פ(איקס 1 , … , איקס נ ) = 0 , כאשר הצד השמאלי הוא פולינום במשתנים איקס 1 , … , איקס נעם מקדמים שלמים. כל סט שהוזמן (u 1 ; … ; u נ ) מספרים שלמים עם מאפיין פ(u 1 , … , u נ ) = 0 נקרא פתרון (חלקי) של המשוואה הדיופנטית פ(איקס 1 , … , איקס נ ) = 0 . לפתור משוואה דיופנטית פירושו למצוא את כל הפתרונות שלה, כלומר. הפתרון הכללי של משוואה זו.

המטרה שלנו תהיה ללמוד כיצד למצוא פתרונות לכמה משוואות דיופנטיות, אם הפתרונות הללו זמינים.

לשם כך, עליך לענות על השאלות הבאות:

א. האם למשוואה דיופנטית תמיד יש פתרון, מצא את התנאים לקיומו של פתרון.

ב. האם יש אלגוריתם המאפשר מציאת פתרון למשוואה דיופנטית.

דוגמאות: 1.משוואה דיופנטית 5 איקס – 1 = 0 אין פתרונות.

2. משוואה דיופנטית 5 איקס – 10 = 0 יש פתרון איקס = 2 , שהוא היחיד.

3. המשוואה ב איקס – 8 איקס 2 = 0 אינו דיופנטי.

4. לעתים קרובות משוואות של הצורה פ(איקס 1 , … , איקס נ ) = ש(איקס 1 , … , איקס נ ) , איפה פ(איקס 1 , … , איקס נ ) , ש(איקס 1 , … , איקס נ ) הם פולינומים בעלי מקדמים שלמים, הנקראים גם דיופנטין. ניתן לכתוב אותם בצורה פ(איקס 1 , … , איקס נ ) – ש(איקס 1 , … , איקס נ ) = 0 , שהוא תקן עבור משוואות דיופנטיות.

5. איקס 2 – y 2 = אהיא משוואה דיופנטית מהמעלה השנייה עם שני לא ידועים x ו-y עבור כל מספר שלם a. יש לזה פתרונות ל א = 1 , אבל אין לו פתרונות א = 2 .

§ 1. משוואות דיופנטיות לינאריות

תן א 1 , … , א נ , עםז . סוג משוואה א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = גנקרא משוואה דיופנטית לינארית עם מקדמים א 1 , … , א נ , צד ימין c ולא ידוע איקס 1 , … , איקס נ . אם הצד הימני c של משוואה דיופנטית לינארית היא אפס, אז משוואה דיופנטית כזו נקראת הומוגנית.

המטרה המיידית שלנו היא ללמוד כיצד למצוא פתרונות ספציפיים וכלליים של משוואות דיופנטיות ליניאריות בשני לא ידועים. ברור שכל משוואה דיופנטית הומוגנית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 תמיד יש פתרון מסוים (0; … ; 0).

ברור שלמשוואה דיופנטית ליניארית, שכל המקדמים שלה שווים לאפס, יש פתרון רק במקרה שהצד הימני שלה שווה לאפס. באופן כללי, יש לנו את הדברים הבאים

משפט (על קיומו של פתרון למשוואה דיופנטית לינארית).משוואה דיופנטית לינארית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = ג, שלא כולם שווים לאפס, יש פתרון אם ורק אם GCD(a 1 , … , א נ ) | ג.

הוכחה.נחיצות התנאי ברורה: GCD(a 1 , … , א נ ) | א אני (1 אני נ) , כך GCD(a 1 , … , א נ ) | (א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ ) , כלומר זה מחלק ו

ג = א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ .

תן ד= gcd(א 1 , … , א נ ) , c =Dt ו א 1 u 1 + … + א נ u נ = ד - התפשטות לינארית של המחלק המשותף הגדול ביותר של מספרים א 1 , … , א נ. הכפלת שני הצדדים ב ט, אנחנו מקבלים א 1 (u 1 ט) + … + א נ (u נ ט) = Dt = ג, כלומר מספר שלם

נ-קה (איקס 1 ט; … ; איקס נ ט)הוא פתרון למשוואה המקורית עם נלא ידוע.

המשפט הוכח.

משפט זה נותן אלגוריתם בונה למציאת פתרונות מסוימים למשוואות דיופנטיות לינאריות.

דוגמאות: 1.משוואה דיופנטית לינארית 12x+21y=5אין פתרון כי gcd(12, 21) = 3לא מתחלק 5 .

2. מצא פתרון מסוים של המשוואה הדיופנטית 12x+21y = 6.

ברור שעכשיו gcd(12, 21) = 3 | 6, אז הפתרון קיים. אנו כותבים את ההרחבה הליניארית gcd(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1). לכן, זוג (2; –1) הוא פתרון מסוים של המשוואה 12x+21y = 3, וזוג (4; –2) הוא פתרון מסוים של המשוואה המקורית 12x+21y = 6.

3. מצא פתרון מסוים למשוואה לינארית 12x + 21y - 2z = 5.

כי (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 , אז הפתרון קיים. בעקבות הוכחת המשפט, אנו מוצאים תחילה פתרון למשוואה (12.21)x–2y=5, ולאחר מכן, בהחלפת ההתפשטות הליניארית של המחלק המשותף הגדול ביותר מהבעיה הקודמת, נקבל את הפתרון של המשוואה המקורית.

כדי לפתור את המשוואה 3x - 2y = 5רשום את ההרחבה הליניארית gcd(3, -2) = 1 = 31 - 21מובן מאליו. אז כמה מספרים (1; 1) הוא פתרון למשוואה 3 איקס – 2 y = 1 , וזוג (5; 5) הוא פתרון מסוים של המשוואה הדיופנטית 3x - 2y = 5.

כך, (12, 21)5 – 25 = 5 . מחליף כאן את ההרחבה הליניארית שנמצאה קודם לכן (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , אנחנו מקבלים (122+21(–1))5 – 25 = 5 , או 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , כלומר שלישיה של מספרים שלמים (10; –5; 5) הוא פתרון מסוים של המשוואה הדיופנטית המקורית 12x + 21y - 2z = 5.

משפט (על מבנה הפתרון הכללי של משוואה דיופנטית לינארית).עבור משוואה דיופנטית לינארית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = גההצהרות הבאות נכונות:

(1) אם = (u 1 ; … ; u נ ), = (v 1 ; … ; v נ ) הם הפתרונות המיוחדים שלו, ואז ההבדל (u 1 -v 1 ; … ; u נ -v נ ) הוא פתרון מסוים של המשוואה ההומוגנית המתאימה א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 ,

(2) קבוצת הפתרונות המיוחדים של המשוואה ההומוגנית הדיופנטית הליניארית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 סגור בחיבור, חיסור וכפל במספרים שלמים,

(3) אם Mהוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיופנטית הליניארית הנתונה, ו להוא הפתרון הכללי של המשוואה הדיופנטית ההומוגנית המתאימה, ואז לכל פתרון מסוים = (u 1 ; … ; u נ ) של המשוואה המקורית, השוויון M = +L .

הוכחה.הפחתת שוויון א 1 v 1 + … + א נ v נ = ג מתוך שוויון א 1 u 1 + … +א נ u נ = ג, אנחנו מקבלים א 1 (u 1 -v 1 ) + … + א נ (u נ -v נ ) = 0 , כלומר, הסט

(u 1 -v 1 ; … ; u נ -v נ ) הוא פתרון מסוים של המשוואה הדיופנטית ההומוגנית ליניארית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 . לפיכך, הוכח כי

= (u 1 ; … ; u נ ), = (v 1 ; … ; v נ ) Mל .

זה מוכיח קביעה (1).

הצהרה (2) מוכחת באופן דומה:

, ל ז ז ל ז ל .

כדי להוכיח (3), ראשית נציין זאת M+L. זה נובע מהקודם: M+L .

לעומת זאת, אם = (ל 1 ; … ; ל נ ) L ו-=(u 1 ; … ; u נ ) M, ואז מ:

א 1 (u 1 +l 1 )+ …+א נ (u נ +l נ ) = (א 1 u 1 + … + א נ u נ )+(א 1 ל 1 + … + א נ ל נ ) = c + 0 = c.

בדרך זו, + לM, ובסופו של דבר M = +L .

המשפט הוכח.

למשפט המוכח יש משמעות גיאומטרית ברורה. אם ניקח בחשבון את המשוואה הליניארית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = ג, איפה איקס אני ר, אם כן, כידוע מהגיאומטריה, הוא קובע במרחב ר נהיפרפלונר המתקבל מהמטוס ל עם משוואה הומוגנית א 1 איקס 1 + … +א נ איקס נ =0 עובר דרך מקור הקואורדינטות על ידי תזוזה של וקטור כלשהו ר נ. צפה במשטח + לנקראת גם סעפת לינארית עם מרווח מנחה לוקטור העברה . לפיכך, מוכח כי הפתרון הכללי Mמשוואה דיופנטית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = גמורכב מכל הנקודות של סעפת לינארית כלשהי עם קואורדינטות שלמות. במקרה זה, הקואורדינטות של וקטור ההיסט הן גם מספרים שלמים, והקבוצה לפתרונות של המשוואה הדיופנטית ההומוגנית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 מורכב מכל הנקודות במרחב המדריך עם קואורדינטות שלמות. מסיבה זו, נאמר לעתים קרובות שקבוצת הפתרונות של משוואה דיופנטית שרירותית יוצרת סעפת ליניארית עם וקטור היסט ומרחב מוביל ל.

דוגמא:עבור המשוואה הדיופנטית x - y \u003d 1החלטה משותפת Mיש את הצורה (1+y; y), כאשר yז, הפתרון המיוחד שלו = (1; 0) , והפתרון הכללי למשוואה הומוגנית x – y = 0ייכתב בטופס (י; y), איפה בְּ-ז. לפיכך, נוכל לצייר את התמונה הבאה, שבה הפתרונות של המשוואה הדיופנטית המקורית והמשוואה הדיופנטית ההומוגנית המתאימה מוצגים על ידי נקודות עבות בסעפת הליניארית Mוחלל לבהתאמה.

2. מצא את הפתרון הכללי של המשוואה הדיופנטית 12x + 21y - 2z = 5.

החלטה פרטית (10; –5; 5) משוואה זו נמצאה קודם לכן, אנו מוצאים את הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית 12x + 21y - 2z = 0, שווה ערך למשוואה דיופנטית 12 איקס + 21 y = 2 ז.

כדי שמשוואה זו תהיה פתירה, יש צורך ומספיק שהתנאי gcd(12, 21) = 3 | 2z,הָהֵן. 3 | זאוֹ z = 3tעבור מספר שלם כלשהו ט. צמצום שני החלקים ל 3 , אנחנו מקבלים 4x + 7y = 2t. פתרון מסוים (2; –1) של המשוואה הדיופנטית 4x+7y= 1 נמצא בדוגמה הקודמת. בגלל זה (4ט ; -2ט)הוא פתרון מסוים של המשוואה 4x + 7y = 2tלכל

ט ז. פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה

(7 u ; –4 u) כבר נמצא. לפיכך, הפתרון הכללי של המשוואה 4x + 7y = 2tנראה כמו: (4ט + 7u; -2ט - 4u) , והפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית 12x + 21y - 2z = 0ייכתב כך:

(4ט + 7u; -2ט - 4u; 3ט).

קל לאמת שתוצאה זו תואמת את המשפט שהוזכר לעיל ללא הוכחה על פתרונות של המשוואה הדיופנטית ההומוגנית א 1 איקס 1 + … + א נ איקס נ = 0 : אם P = ,לאחר מכן רו

(u; ט) פהוא הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית הנחשבת.

אז, הפתרון הכללי של המשוואה הדיופנטית 12x + 21y - 2z = 5נראה כך: (10 + 4ט + 7u; –5 – 2ט – 4u; 5+3ט).

3. בדוגמה של המשוואה הקודמת, אנו מדגים שיטה נוספת לפתרון משוואות דיופנטיות בלא ידועים רבים, אשר מורכבת מהקטנה ברציפות של הערך המרבי של המודולים של המקדמים שלה.

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

לפיכך, ניתן לכתוב את הפתרון הכללי של המשוואה הנחשבת באופן הבא: (x; 5 - 12x + 2u; 50 - 120x + 21u), איפה x, uהם פרמטרים שלמים שרירותיים.

§ 2. משוואה דיופנטיתאיקס 2 – y 2 = א

דוגמאות: 1.בְּ א = 0 נקבל אינסוף פתרונות: איקס = yאוֹ איקס = – yלכל אחד y ז.

2. בְּ א = 1 יש לנו איקס 2 – y 2 = 1 (איקס + y)(איקס – y) = 1 . לפיכך, המספר 1 מפורק למכפלה של שני גורמים שלמים איקס + yו איקס – y(חשוב, זה איקס, y- שלם!). בגלל המספר 1 רק שתי הרחבות למכפלה של גורמים שלמים 1 = 11 ו 1 = (–1)(–1) , אנו מקבלים שתי אפשרויות: .

3. ל א = 2 יש לנו איקס 2 – y 2 = 2 (איקס + y)(איקס – y) = 2. בהתנהלות דומה לקודמתה, אנו רואים את ההרחבות

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1), אנו מרכיבים מערכות:, שבניגוד לדוגמא הקודמת, אין להם פתרונות. אז אין פתרונות למשוואה הדיופנטית הנחשבת איקס 2 – y 2 = 2.

4. השיקולים הקודמים מובילים לכמה מסקנות. פתרונות משוואות איקס 2 – y 2 = א נמצאים בפירוק א = ק"מלמכפלת המספרים השלמים מהמערכת . למערכת הזו יש פתרונות שלמים אם ורק אם ק + M ו ק – M הם זוגיים, כלומר. כאשר המספרים ק ו M אותה זוגיות (בו זמנית זוגית או אי זוגית). לפיכך, למשוואה הדיופנטית x 2 – y 2 = a יש פתרון אם ורק אם ניתן להרחיב את a למכפלה של שני גורמים שלמים באותה זוגיות. נותר רק למצוא כל כזה .

משפט (על המשוואהאיקס 2 – y 2 = א ). (1) משוואה איקס 2 – y 2 = 0 יש אינסוף פתרונות .

(2) כל פתרון של המשוואה מתקבל כ , איפה א = ק"מהוא הפירוק של המספר a למכפלה של שני גורמים שלמים באותה זוגיות.

(3) משוואה איקס 2 – y 2 = איש פתרון אם ורק אם א 2 (mod 4).

הוכחה.(1) כבר הוכח.

(2) כבר הוכח.

(3) () תן קודם את המשוואה הדיופנטית איקס 2 – y 2 = א יש פתרון. בואו נוכיח את זה א 2 (mod 4) . אם א = ק"מ היא ההתפשטות למכפלה של מספרים שלמים מאותה זוגיות, אז עבור זוגיות קו Mיש לנו ק = 2 ל, M = 2 נו א = ק"מ = 4 ב 0 (mod 4) . במקרה של מוזר ק, Mהעבודה שלהם אגם מוזר, הבדל א – 2 אי זוגי ואינו מתחלק ב 4 , כלומר שוב

א 2 (mod 4).

() אם עכשיו א 2 (mod 4) , אז נוכל לבנות פתרון למשוואה איקס 2 – y 2 = א. אכן, אם a הוא מוזר, אז א = 1 אהוא פירוק תוצר של מספרים שלמים אי-זוגיים, כך ש הוא הפתרון של המשוואה הדיופנטית. אם a זוגי, אז לאור א 2 (mod 4) אנחנו מקבלים את זה 4 | א, א = 4 ב = 2(2 ב) הוא פירוק תוצר של מספרים שלמים זוגיים, כך ש הוא הפתרון של המשוואה הדיופנטית.

המשפט הוכח.

דוגמאות: 1.משוואה דיופנטית איקס 2 – y 2 = 2012 אין פתרונות, מאז 2010 = 4502 + 2 2 (mod 4).

2. משוואה דיופנטית איקס 2 – y 2 = 2011 יש פתרונות, כי

2011 3 (mod 4). יש לנו הרחבות ברורות

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

לכל אחד מהם אנו מוצאים פתרונות (כל שילוב של תווים). אין פתרונות אחרים, כי מספר 2011 פשוט (?!).

§ 3. משוואה דיופנטיתאיקס 2 + y 2 = א

דוגמאות: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , ק 2 = 0 2 + ק 2 . לפיכך, ברור שניתן לייצג כל ריבוע באופן טריוויאלי כסכום של שני ריבועים.

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. אין פתרונות ל א = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

ניתוח של התוצאות לעיל יכול להצביע על כך שהיעדר פתרונות קשור איכשהו למספרים ראשוניים של הצורה

4 נ+3 נוכח בפירוק של מספרים שלא ניתן לייצגם כסכומים של שני ריבועים.

משפט (על ייצוג המספרים הטבעיים בסכומים של שני ריבועים).מספר טבעי a יכול להיות מיוצג כסכום של שני ריבועים אם ורק אם, בהתרחבותו הקנונית, מספרים ראשוניים של הצורה 4 נ + 3 יש אפילו מעריכים.

הוכחה.ראשית אנו מוכיחים שאם מספר טבעי a יכול להיות מיוצג כסכום של שני ריבועים, אז בהתפשטותו הקנונית כל המספרים הראשוניים של הצורה 4 נ + 3 חייב להיות אקספוננטים. נניח, בניגוד למה שהוכח, ש א= p 2 ק +1 ב = איקס 2 + y 2 , איפה

ר -מספר ראשוני של הטופס 4 נ+3 ו ב ע. דמיינו מספרים איקסו בְּ-כפי ש

x =Dz, y = Dt, איפהד= gcd(איקס, y) = p ס w, ע w; ז, ט, ס נ 0 . ואז נקבל את השוויון ר 2 ק +1 ב = ד 2 (ז 2 + ט 2 ) = p 2 ס w 2 (ז 2 + ט 2 ) , כלומר ר 2( ק – ס )+1 ב = w 2 (ז 2 + ט 2 ) . יש p בצד שמאל של השוויון (החזקה האי-זוגית לא שווה לאפס), כלומר אחד הגורמים בצד ימין מתחלק במספר הראשוני p. בגלל ה ע w, לאחר מכן p | (ז 2 + ט 2 ) , איפה המספרים ז, ט פשוטה הדדית. זה סותר את הלמה הבאה (?!).

למה (על חלוקת סכום שני ריבועים במספר ראשוני של הצורה

4 נ + 3 ). אם מספר ראשוני p = 4נ+3 מחלק את סכום הריבועים של שני מספרים טבעיים, ואז הוא מחלק כל אחד מהמספרים הללו.

הוכחה.מההפך. תן איקס 2 + y 2 0(mod ע) , אבל איקס0(mod ע) אוֹ y 0 (mod ע) . בגלל ה איקסו yהם סימטריים, אפשר להחליף ביניהם, אז אנחנו יכולים להניח את זה איקס ע.

Lemma (על הפיכות מודולוע ). לכל מספר שלם איקס, לא מתחלק במספר ראשוני ע, יש אלמנט הפוך מודולו ע – מספר שלם כזה 1 u < ע, מה xi 1 (mod ע).

הוכחה.מספר איקס coprime עם ע, כדי שנוכל לכתוב הרחבה ליניארית GCD(איקס, ע) = 1 = xi + pv (u, v ז) . זה ברור xi1(modp) , כלומר u- אלמנט הפוך ל איקסמודולו ע. אם uאינו עומד במגבלה 1 u < ע, ואז מחלקים uעם השאר על ע, אנחנו מקבלים את השארית ר u (mod ע) , לאיזה xr xi 1 (mod ע) ו 0 ר < ע.

Lemma הפיך מודולו עמוּכָח.

השוואת כפל איקס 2 + y 2 0 (mod ע) לכל ריבוע u 2 אלמנט הפוך ל איקסמודולו ע, אנחנו מקבלים 0 = 0u 2 איקס 2 u 2 +y 2 u 2 = (xu) 2 + (יו) 2 1+ט 2 (מוד p).

אז בשביל ט = אתהההשוואה נעשתה ט 2 –1 (mod ע) , שאנו מביאים לסתירה. זה ברור ט ע: אחרת ט 0 (mod ע) ו 0 ט 2 –1 (mod ע) , וזה בלתי אפשרי. לפי המשפט של פרמה יש לנו ט ע –1 1 (mod ע), אשר יחד עם ט 2 –1 (mod ע) ו ע = 4 נ + 3 מוביל לסתירה:

1 ט p–1 = t 4n+3–1 = t 2(2n+1) = (ת 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (modp).

הסתירה שהתקבלה מלמדת שההנחה על איקס 0 (mod ע) לא היה נכון.

הלמה על חלוקה של סכום שני ריבועים במספר ראשוני 4 נ+3 מוּכָח.

כך, מוכח שהמספר שהפירוק הקנוני שלו כולל מספר ראשוני ע = 4 נ + 3 בחזקת אי זוגי, לא ניתן לייצג כסכום של שני ריבועים.

הבה נוכיח כעת שכל מספר שבהתרחבותו הקנונית המספרים הראשוניים ע = 4 נ + 3 להשתתף רק בחזקות זוגיות, המיוצגות כסכום של שני ריבועים.

רעיון ההוכחה מבוסס על הזהות הבאה:

(א 2 +ב 2 )(ג 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (מודעה + bc) 2 ,

שניתן לקבל מהתכונה הידועה של מודול המספרים המרוכבים - מודול המכפלה שווה למכפלת המודולים. בֶּאֱמֶת,

| ז|| ט| = | Z T| | א + דוּ|| ג + די| = |(א + דוּ)(ג + די)|

|a+bi| 2 |c + di| 2 = |(ac – bd) + (ad + bc)i| 2

(א 2 +ב 2 )(ג 2 +d 2 ) = (ac – bd) 2 + (מודעה + bc) 2 .

מזהות זו נובע שאם שני מספרים u, ניתן לייצג את v כסכום של שני ריבועים: u = איקס 2 + y 2 , v = ז 2 + ט 2 , אזי המוצר שלהם uv יכול להיות מיוצג גם כסכום של שני ריבועים: UV = (xz – yt) 2 + (xt + yz) 2 .

כל מספר טבעי א > 1 ניתן לכתוב בטופס א= p 1 … ר ק M 2 , איפה ר אניהם מספרים ראשוניים נפרדים בזוגיות, M נ . לשם כך, די למצוא את הפירוק הקנוני , רשום כל דרגה בטופס רבצורת ריבוע (ר) 2 אפילו = 2, או בצורה ר = ר(ר) 2 עבור מוזר = 2 + 1 , ולאחר מכן קבץ בנפרד את הריבועים ואת ראשוני הבודדים הנותרים. לדוגמה,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , M = 15.

מספר M 2 יש ייצוג טריוויאלי כסכום של שני ריבועים: M 2 = 0 2 + M 2 . אם נוכיח ייצוג כסכום של שני ריבועים של כל המספרים הראשוניים ר אני (1 אני ק) , ואז באמצעות הזהות, יתקבל גם ייצוג המספר a. לפי תנאי, בין המספרים ר 1 , … , ר ק יכול רק להיפגש 2 = 1 2 + 1 2 ומספרים ראשוניים של הצורה 4 נ + 1 . לפיכך, נותר לקבל ייצוג כסכום של שני ריבועים של מספר ראשוני p = 4 מ' + 1. אנו מפרידים משפט זה למשפט נפרד (ראה להלן)

למשל, עבור א = 29250 = 2513(15) 2 ברציפות נקבל:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

המשפט הוכח.

§ 4. משוואהx + x + 1 = 3y

כעת נעסוק במשוואה x+x+1=Zu.יש לזה כבר את ההיסטוריה שלו. ב-1950 הציע ר' אובלט כי בנוסף לפתרון

איקס=y=1. אין לו פתרונות אחרים במספרים טבעיים x, yכאשר x הוא מספר אי-זוגי. באותה שנה הצביע ט' נגל על ​​הפתרון איקס= 313, y = 181.שיטה דומה לזו שלמעלה עבור המשוואה x+x-2y=0, יאפשר לנו לקבוע את כל הפתרונות של המשוואה איקס+x+1=3y (1)

במספרים טבעיים איקס, ב.בואו נעמיד פנים כך (x, y)הוא פתרון של משוואה (1) במספרים טבעיים, ו x > 1. ניתן לראות בקלות שלמשוואה (18) אין פתרונות במספרים טבעיים איקס, י, איפה x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9;כך צריך להיות x10.

בואו נראה את זה 12 שנה<7 איקס+3, 7y>4איקס+ 2. 4y > 2איקס+1 . (2)

אם זה היה 12 שנה> 7x+3, יהיה לנו 144 שנה> 49 איקס+42 איקס+9 . ומאחר, לאור (18), 144י= 48איקס+ 48 איקס + 48 , אז זה יהיה איקס< 6 איקס +3 9, מאיפה

(x-z)< 48 ולפיכך, בהתחשב בכך איקס> 10, 7 < 148 , וזה בלתי אפשרי. כך מוכח הראשון באי-השוויון (2).

אם זה היה 7 שנים< 4 איקס+2 , יהיה לנו 49 שנה< 16 איקס+ 16 איקס+4 , ומאחר, לאור (1), 16 איקס+ 16 איקס+ 16 = 48 שנים, אז זה יהיה 49 שנה< 48u- 12, וזה בלתי אפשרי. כך מוכח השני מבין אי השוויון (2), ממנו נובע ישירות השלישי. אז אי השוויון (2) נכונים.

בואו נשים עכשיו

w\u003d 7x - 12y + 3,ח = -4 איקס+ 7u-2. (3)

בהתבסס על (2), אנו מוצאים את זה w > 0 , ח > 0 ו איקס -w=3(4 y-2 איקס-1)>0 ולכן, w<х . לפי (3), יש לנו w 2 + w+1=3 ח 2 מהיכן, לאור (1), אנו מקבלים g(x, y) = (7x - 12y + 3, -4x + 7y -2).

אז, אנחנו יכולים לומר את זה, בהתבסס על כל פתרון (x, y)משוואות (1) במספרים טבעיים, איפה x > 1, אנחנו מקבלים פתרון חדש (w, ח) = g(x, y)משוואות (1) במספרים טבעיים w, חאיפה w < х (ומכאן הפתרון במספרים טבעיים קטנים יותר). לפיכך, פועלים כאמור לעיל, אנו מוצאים שלכל פתרון של משוואה (1) במספרים טבעיים x, y, איפה x > 1, יש מספר טבעי n כזה ש g(x, y) = (l, 1).

לאחר שקיבל f(x, y) = (7איקס+12y + 3, 4איקס+ 7 שנים + 2), (4) נוכל למצוא את זה בקלות f(g(x, y)) = (x, y)ולכן (איקס, y) = ו(1,1) מצד שני, קל לבדוק שאם (x, y)הוא פתרון של משוואה (1) במספרים טבעיים, אם כן ו(איקס, y) יש גם פתרון של משוואה (1) במספרים טבעיים (בהתאמה, גדולים מ איקסו בְּ-).

לאחר שקיבל x=y=1(x, y) = f(1, 1)ל נ=2,3,…..,

אנחנו מקבלים את הרצף { איקס, y} ל נ= 1, 2,….., המכיל את כל הפתרונות של המשוואה (1) במספרים טבעיים ורק פתרונות כאלה.

כאן יש לנו (איקס,y)= ו(1,1)= ו(x, y),לכן, עקב (4), אנו משיגים

x=7איקס+12Y+3,y=4x+7y+2 (5) (נ=1, 2, ...)

נוסחאות המאפשרות לך לקבוע באופן עקבי את כל הפתרונות (x, y)משוואות (1) במספרים טבעיים. בדרך זו אנו משיגים בקלות פתרונות (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

ברור שיש אינסוף פתרונות אלה. משוויון

x=y=1ו-(4) באינדוקציה אנו מוצאים בקלות שהמספרים איקסעם מדדים אי-זוגיים הם אי-זוגיים, עם מדדים זוגיים הם זוגיים, והמספרים yמהות מוזרה עבור נ = 1, 2, ... להשיג את כל הפתרונות של משוואה (1) במספרים שלמים x, y, כפי שקל להוכיח, זה יגיע לפתרונות שכבר הושגו (x, y)לְהִצְטַרֵף (x, -y)ו (-x-1,±y)ל נ=1, 2, .. .

אז הנה יש לנו, למשל, עוד פתרונות כאלה: (-2,1) (-23,13), (-314,181). א.רוטקביץ' ציין שמכל הפתרונות של משוואה (1) במספרים טבעיים x > 1ו-y יכול לקבל את כל הפתרונות של המשוואה (z+1)-ז=y (6)

במספרים טבעיים ז, י.אכן, נניח שהמספרים הטבעיים z, y עומדים במשוואה (5). לשים x=3z+l, אנו מקבלים, מכיוון שקל לבדוק, מספרים טבעיים x > 1ו בְּ-משוואה מספקת (1).

מצד שני, אם מספרים טבעיים x > 1ו בְּ-לספק את המשוואה (1), אז יש לנו, כפי שקל לבדוק, (x-1)= 3(y-x), מכאן נובע שהמספר (טבעי) x-1מחולק ב 3 , כתוצאה מכך x-1=3ז, איפה זהוא מספר טבעי, והשוויון 3z=y-איקס=y3ז-1 , מה שמוכיח שהמספרים זו בְּ-לספק משוואה (6). לפיכך, על סמך ההחלטות (22,13),(313,181), (4366,2521) משוואה (1), נקבל פתרונות (7,13),(104,181),(1455,2521) משוואות (6). נציין גם כאן שאם המספרים הטבעיים ז, ילספק משוואה (6), הוכח כי בְּ-הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, למשל 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . באופן דומה, כמו קודם למשוואה (1), נוכל למצוא את כל הפתרונות של המשוואה איקס+(איקס+1)= yבמספרים טבעיים x, y, לוקח עבור x > 3 גרם (x. y) \u003d (3x -2y + 1, 3y - 4x - 2)ועבור איקס> 1 f(x, y) = (3איקס+ 2y+l, 4x + Zu + 2),מה שמוביל לנוסחה ( x, y)ו(3,5) ולמסקנה שכל הפתרונות של משוואה (6) במספרים הטבעיים x, y כלולים ברצף { איקס, y} ל נ= 1, 2,…., איפה x=3, y=5, ואיקס=3 איקס+2 y+1 . y = 4 איקס+3 y+2 (נ=1, 2, ...). לדוגמה, x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;איקס=119, y=169:איקס=69b, y=985;איקס=4059, y=5741.

המשמעות הגיאומטרית של המשוואה הנחשבת היא שהיא נותנת את כל המשולשים הפיתגוריים (מלבניים עם צלעות טבעיות), שרגליהם מתבטאות במספרים טבעיים עוקבים. יש אינסוף משולשים כאלה (*).

המשוואה היא איקס+(איקס+1)= y, הוכח שאין פתרונות במספרים טבעיים x, y.

אלגוריתמים לפתרון משוואות דיופנטיות

האלגוריתם של אוקלידס

• דוגמה מס' 1 (פשוטה)
• דוגמה מס' 2 (קשה)

אנו פותרים בעיות בבחירת מספרים ללא בחירה

• בעיה לגבי תרנגולות, ארנבות וכפותיהם
• משימת המוכרת והשינוי

על פי ביקורות של sibms, אבן נגף אמיתית פנימה קורס בית ספרמתמטיקה לא רק לתלמידים, אלא גם להורים הופכת למשוואות דיופנטיות. מה זה ואיך לפתור אותם נכון? אליתה בקשבע, מורה למתמטיקה במרכז החינוך גורנוסטאי, ויורי שנקו, מועמד למדעי הפיזיקה והמתמטיקה, עזרו לנו להבין את זה.

מי זה דיופנטוס?

אפילו המצרים הקדמונים, למען נוחות ההיגיון, העלו מילה מיוחדת המציינת מספר לא ידוע, אך באותה תקופה לא היו סימני פעולה וסימן שוויון, ולכן לא ידעו לכתוב משוואות.

הראשון שהגה איך לכתוב את המשוואה היה המדען הנפלא דיופנטוס מאלכסנדריה. אלכסנדריה הייתה תרבות, מסחרית וגדולה מרכז מדעיעולם עתיק. העיר הזו עדיין קיימת, היא ממוקמת על חוף הים התיכון של מצרים.

דיופנטוס חי, ככל הנראה, במאה ה-3 לספירה. והיה המתמטיקאי הגדול האחרון של העת העתיקה. שתיים מיצירותיו הגיעו אלינו - "חשבון" (מתוך שלושה עשר ספרים שרדו שישה) ו"על מספרים מצולעים" (בקטעים). לעבודתו של דיופנטוס הייתה השפעה רבה על התפתחות האלגברה, הניתוח המתמטי ותורת המספרים.

אבל אתה יודע משהו על משוואות דיופנטיות...

כולם מכירים משוואות דיופנטיות! אלו חידות לתלמידי בית ספר יסודי, הנפתרות על ידי בחירה.

” לדוגמה, "כמה דרכים שונותהאם אתה יכול לשלם על גלידה בשווי 96 קופיקות אם יש לך רק קופיקות ומטבעות של חמש קופיקות?"

אם ניתן את המשוואה הדיופנטית הגדרה כללית, אז נוכל לומר שזו משוואה אלגברית עם תנאי נוסף: כל הפתרונות שלה חייבים להיות מספרים שלמים (ובמקרה הכללי, גם רציונליים).

” לעתים קרובות, אמהות (במיוחד אלו שסיימו את בית הספר תחת סוציאליזם מפותח) מאמינות שהמטרה העיקרית של משימות כאלה היא ללמד ילדים לשלם תמורת גלידה. וכך, כשהם משוכנעים באמת ובתמים שלהכניס דברים קטנים בערימות זה נחלת העבר, כיתה ז' (או כיתה ח') האהובה עליהם מעלה שאלה לא צפויה: "אמא, איך פותרים את זה?", ומציגה משוואה עם שני משתנים. בעבר, לא היו בעיות כאלה בקורס בבית הספר (כולנו זוכרים שצריכות להיות כמה משוואות כמו שיש משתנים), כך שאמא שאינה מתמטיקאית נופלת לעתים קרובות בטירוף. אבל זו אותה בעיה לגבי שינוי וגלידה, רק כתובה השקפה כללית!

אגב, למה פתאום חוזרים אליה בכיתה ז'? זה פשוט: המטרה של לימוד משוואות דיופנטיות היא לתת את היסודות לתורת המספרים השלמים, שמפותחת בהמשך הן במתמטיקה והן במדעי המחשב ובתכנות. משוואות דיופנטיות נמצאות לעתים קרובות בין המשימות של חלק "ג" של בחינת המדינה המאוחדת. הקושי, קודם כל, הוא שיש הרבה שיטות פתרון, מהן על הבוגר לבחור אחת נכונה. עם זאת, ניתן לפתור בקלות יחסית את המשוואות הדיופנטיניות ax + by = c באמצעות אלגוריתמים מיוחדים.

אלגוריתמים לפתרון משוואות דיופנטיות

לימוד משוואות דיופנטיות מתחיל בקורס אלגברה מתקדמת מכיתה ז'. בספר הלימוד יו.נ. Makarycheva, N.G. מינדיוק, ניתנות כמה בעיות ומשוואות שנפתרות באמצעות האלגוריתם של אוקלידסו שיטת כוח גס, - אומרת אליתה בקשבע.- מאוחר יותר, בכיתות ח' - ט', כשאנחנו כבר בוחנים משוואות במספרים שלמים מסדרים גבוהים יותר, אנו מראים לתלמידים שיטת הפירוק לגורמים, וניתוח נוסף של הפתרון של משוואה זו, שיטת הערכה. אנחנו מציגים עם שיטת בחירת הריבוע המלא. כאשר לומדים את תכונות המספרים הראשוניים, אנו מציגים את המשפט הקטן של פרמה, אחד המשפטים היסודיים בתורת פתרונות משוואות במספרים שלמים. ברמה גבוהה יותר, היכרות זו נמשכת בכיתות י'-י"א. במקביל אנו מביאים את הילדים ללימוד ויישום תורת ה"מודולו השוואות", עובדים על האלגוריתמים שפגשנו בכיתות ז'-ט'. טוב מאוד, החומר הזה מאוית בספר הלימוד של א.ג. מורדקוביץ' "אלגברה ותחילת הניתוח, כיתה 10" ו-G.V. דורופייב "מתמטיקה" לכיתה י'.

האלגוריתם של אוקלידס

שיטת אוקלידס עצמה מתייחסת לבעיה מתמטית נוספת - מציאת המחלק המשותף הגדול ביותר: במקום זוג המספרים המקורי נכתב זוג חדש - מספר קטן יותר וההפרש בין המספר הקטן והגדול יותר של הזוג המקורי. פעולה זו נמשכת עד שהמספרים בזוג יהיו שווים - זה יהיה הגורם המשותף הגדול ביותר. וריאציה של האלגוריתם משמשת גם בפתרון משוואות דיופנטיות - עכשיו אנחנו יחד עם יורי שנקובואו נשתמש בדוגמה כדי להראות כיצד לפתור בעיות "בקשר למטבעות".

אנו רואים את המשוואה הדיופנטית הליניארית ax + by = c,כאשר a, b, c, x ו-y הם מספרים שלמים. כפי שאתה יכול לראות, משוואה אחת מכילה שני משתנים. אבל, כפי שאתה זוכר, אנחנו צריכים רק שורשים שלמים, מה שמפשט דברים - ניתן למצוא זוגות של מספרים שהמשוואה נכונה עבורם.

עם זאת, למשוואות דיופנטיות לא תמיד יש פתרונות. דוגמה: 4x + 14y = 5. אין פתרונות בגלל בצד שמאל של המשוואה, עבור כל מספר שלם x ו-y, יתקבל מספר זוגי, ו-5 הוא מספר אי זוגי. ניתן להכליל את הדוגמה הזו. אם במשוואה ax + by = cהמקדמים a ו-b מתחלקים במספר d כלשהו, ​​והמספר c אינו מתחלק ב-d הזה, אז אין למשוואה פתרונות. מצד שני, אם כל המקדמים (a, b ו-c) מתחלקים ב-d, אז ניתן לחלק את כל המשוואה ב-d זה.

לדוגמה, במשוואה 4x + 14y = 8, כל המקדמים מתחלקים ב-2. אנו מחלקים את המשוואה במספר זה ומקבלים: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. טכניקה זו (חלוקת המשוואה במספר כלשהו) מפשטת לפעמים חישובים.

בוא נלך מהצד השני עכשיו. נניח שאחד המקדמים בצד שמאל של המשוואה (a או b) שווה ל-1. אז למעשה נפתרת המשוואה שלנו. ואכן, נניח, למשל, a = 1, אז נוכל לקחת כל מספר שלם בתור y, בעוד x = c − by. אם נלמד לצמצם את המשוואה המקורית למשוואה שבה אחד המקדמים שווה ל-1, אז נלמד איך לפתור כל משוואה דיופנטית לינארית!

אני אראה זאת עם הדוגמה של המשוואה 2x + 7y = 4.

ניתן לכתוב אותו מחדש באופן הבא: 2(x + 3y) + y = 4.

הבה נציג חדש לא ידוע z = x + 3y, ואז המשוואה תיכתב באופן הבא: 2z + y = 4.

קיבלנו משוואה עם פקטור אחד! אז z הוא כל מספר, y = 4 − 2z.

נותר למצוא את x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

תן z=1. ואז y=2, x=-5. 2*(-5)+7*2=4

תן z=5. ואז y=-6, x=23. 2 * (23)+7 * (-6)=4

” בדוגמה זו, חשוב להבין כיצד עברנו ממשוואה עם מקדמים של 2 ו-7 למשוואה עם מקדמים של 2 ו-1. במקרה זה (ותמיד!) המקדם החדש (במקרה זה, אחד) הוא יתרת חלוקת המקדמים המקוריים זה בזה (7 על 2).

בדוגמה זו התמזל מזלנו, מיד לאחר ההחלפה הראשונה קיבלנו משוואה עם מקדם 1. זה לא תמיד קורה, אבל אנחנו יכולים לחזור על הטריק הקודם על ידי הכנסת אלמונים חדשים וכתיבת משוואות חדשות. במוקדם או במאוחר, לאחר החלפות כאלה, תתקבל משוואה עם מקדם 1.

בואו ננסה לפתור משוואה מורכבת יותר, מציעה אליתה בקשבע.

שקול את המשוואה 13x - 36y = 2.

שלב 1

36/13=2 (נותרו 10). לפיכך, ניתן לשכתב את המשוואה המקורית באופן הבא: 13x-13* 2y-10y=2. בואו נשנה את זה: 13(x-2y)-10y=2. בואו נציג משתנה חדש z=x-2y. כעת יש לנו את המשוואה: 13z-10y=2.

שלב 2

13/10=1 (נותרו 3). ניתן לשכתב את המשוואה המקורית 13z-10y=2 באופן הבא: 10z-10y+3z=2. בואו נשנה את זה: 10(z-y)+3z=2. בואו נציג משתנה חדש m=z-y. כעת יש לנו את המשוואה: 10m+3z=2.

שלב 3

10/3=3 (1 נותר). את המשוואה המקורית 10m+3z=2 ניתן לכתוב מחדש באופן הבא: 3*3m+3z+1m=2. בואו נשנה את זה: 3(3m+z)+1m=2. בואו נציג משתנה חדש n=3m+z. כעת יש לנו את המשוואה: 3n+1m=2.

הידד! קיבלנו משוואה עם מקדם של אחד!

m=2-3n, ו-n יכול להיות כל מספר. עם זאת, עלינו למצוא את x ו-y. בואו נשנה את המשתנים בסדר הפוך. זכור, עלינו לבטא את x ו-y במונחים של n, שיכול להיות כל מספר.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

תן n=1. ואז y=5, x=24. 13 * (14)-36 * 5=2

תן n=5. ואז y=57, x=158. 13*(158)-36*(57)=2

כן, זה לא מאוד קל להבין את זה, אבל עכשיו אתה תמיד יכול לפתור את הבעיות שנפתרות על ידי בחירה בצורה כללית!

אנו פותרים בעיות לבחירת המספרים

דוגמאות לבעיות לתלמידי בית ספר יסודי שנפתרות על ידי בחירה: התחרו עם הילד, מי יפתור אותן מהר יותר: אתה, באמצעות אלגוריתם אוקלידס, או תלמיד בית ספר - על ידי בחירה?

בעיה לגבי כפות

תנאים

תרנגולות וארנבות בכלוב. יש להם 20 כפות בסך הכל. כמה תרנגולות יכולות להיות, וכמה ארנבות?

פִּתָרוֹן

נניח שיש לנו X תרנגולות ו-Y ארנבות. בואו נעשה את המשוואה: 2х+4y=20. נקטין את שני הצדדים של המשוואה בשניים: x+2y=10. לכן, x=10-2y, כאשר x ו-y הם מספרים שלמים חיוביים.

תשובה

מספר ארנבות ותרנגולות: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

מסכים, זה יצא מהר יותר מאשר לברר "תן לארנב אחד לשבת בכלוב..."

בעיה לגבי מטבעות

תנאים

למוכרת אחת היו רק מטבעות של חמישה ושניים רובל. בכמה דרכים היא יכולה לאסוף 57 רובל בשינוי?

פִּתָרוֹן

תנו לנו x שני רובל ו-y מטבעות של חמישה רובל. בואו נעשה את המשוואה: 2х+5y=57. בואו נשנה את המשוואה: 2(x+2y)+y=57. תן z=x+2y. ואז 2z+y=57. כתוצאה מכך, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. שימו לב שהמשתנה z לא יכול להיות קטן מ-23 (אחרת x, מספר המטבעות של שני רובל, יהיה שלילי) וגדול מ-28 (אחרת, y, מספר המטבעות של חמישה רובל, יהיה שלילי). כל הערכים מ-23 עד 28 מתאימים לנו.

תשובה

שש דרכים.

הוכן על ידי טטיאנה יאקובלבה

מוסד חינוכי תקציבי עירוני

בית ספר תיכון מס' 1

פבלובו.

עבודת מחקר

שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות.

החוג: פיזיקה ומתמטיקה

מדור: מתמטיקה

הושלם:

תלמיד כיתה ח' ניקולאי טרוקין (בן 14)

יועץ מדעי:

מורה למתמטיקה

לפנובה נ.א.

פבלובו

2013

תוכן העניינים

I מבוא…………………………………………………………………………………………………3

II סקירת ספרות…………………………………………………………………………………....5

III חלק עיקרי…………………………………………………………………………………………6

מסקנה IV…………………………………………………………………………...15

V רשימת הפניות………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….

VI נספח………………………………………………………………………………..17

מבוא.

בשנים 2011-2012 הופעתי עבודת מחקרבנושא: "פתרון משוואות ב יוון העתיקהוהודו". תוך כדי העבודה על זה הכרתי את יצירותיהם של דיופנטוס מאלכסנדריה ומוחמד אל-ח'ואריזמי. בעבודתי הקודמת שקלתי כמה שיטות לפתרון משוואות מהמעלה הראשונה עם שני לא ידועים, הכרתי כמה בעיות ישנות שמובילות לפתרון משוואות ממעלה ראשונה עם שני לא ידועים.

מוחמד בן מוסא אל-ח'ואריזמי, או מוחמד בנו של משה מחורזם, שהוא חבר ב"בית החוכמה" באיראן, כתב ספר בסביבות 820 של הכרונולוגיה שלנו, שם לימד לפתור שאלות פשוטות ומורכבות של חשבון. שאנשים צריכים בעת חלוקת ירושה, עריכת צוואות, חלוקת רכוש ומשפטים, במסחר, כל מיני עסקאות. עם השם של אל-חורזמי, המושגים "אלגברה", "ספרות ערביות", "אלגוריתם" משויכים. הוא הפריד בין אלגברה לגיאומטריה, תרם תרומה רבה למתמטיקה של ימי הביניים האיסלאמיים. מוחמד אל-ח'ואריזמי היה ידוע ומוערך גם בחייו וגם לאחר מותו.

אבל רציתי לדעת יותר על דיופנטוס. והנושא של המחקר שלי השנה הוא: שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות»

דיופנטוס מאלכסנדריה הוא אחד מהמתמטיקאים היוונים הקדומים המוזרים ביותר, שעבודותיו היו חשיבות רבהלאלגברה ותורת המספרים. מבין יצירותיו של דיופנטוס, החשוב ביותר הוא "האריתמטיקה", מבין 13 ספריו שרדו עד היום רק 6. הספרים ששרדו מכילים 189 בעיות עם פתרונות. הספר הראשון מכיל בעיות המובילות למשוואות מסוימות מהמעלה הראשונה והשנייה. חמשת הספרים הנותרים מכילים בעיקר משוואות בלתי מוגדרות (משוואות בלתי מוגדרות נקראות משוואות המכילות יותר מאחד לא ידוע). לספרים אלו אין עדיין תיאוריה שיטתית של משוואות בלתי מוגדרות, שיטות הפתרון משתנות ממקרה למקרה. דיופנטוס מסתפק בפתרון אחד, שלם או חלקי, כל עוד הוא חיובי. עם זאת, שיטות לפתרון משוואות בלתי מוגדרות מהוות את תרומתו העיקרית של דיופנטוס למתמטיקה. בסמליות של דיופנטוס היה רק ​​סימן אחד ללא נודע. בעת פתרון משוואות בלתי מוגדרות, הוא השתמש במספרים שרירותיים כמספר לא ידועים, במקום שניתן היה לקחת כל אחד אחר, מה ששמר על אופי הכלליות של פתרונותיו.

מטרת העבודה שלי:

1. המשך היכרות עם משוואות דיופנטיות.

2. חקור את שיטות הספירה והפיזור (טחינה) בעת פתרון משוואות דיופנטיות.

3. בדוק את האפשרות להשתמש במשוואות דיופנטיות כדי לפתור כמה בעיות מעשיות.

II. סקירה ספרותית.

בעת כתיבת העבודה, השתמשתי בספרות הבאה:

השתמשתי במידע על דיופנטוס ואל-ח'ואריזמי.

הספר מוקדש לשיטות של דיופנטוס בפתרון משוואות בלתי מוגדרות. הוא מספר על חייו של דיופנטוס עצמו. מידע זה משמש אותי בעבודתי.

הספר מספר על ההיסטוריה של האלגברה מאז ימי קדם. השתמשתי במידע על תורת המשוואות מאז ימי קדם.

ספר זה מכיל כ-200 מאמרים על מושגי היסוד של המתמטיקה ויישומיה. השתמשתי בחומרים של המאמרים "אלגברה", "משוואות", "משוואות דיופנטיות"

טקסטים של משימות לשימוש מעשי לקוחים מהספר.

בנושא השתמשתי באתר:

http :// he . ויקיפדיה . org (מידע על אל-חורזמי ודיופאנטוס. על שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות).

חלק ראשי

כיום, כל מי שעשה מתמטיקה שמע על משוואות דיופנטיות. משוואות אלגבריות עם מקדמים שלמים, שנפתרו בקבוצת המספרים השלמים (לעיתים רחוקות רציונליים), נכנסו להיסטוריה של המתמטיקה כדיופנטי . משוואות דיופנטיות של דרגה 1 ו-2 הן הנחקרות ביותר. התוכן של עבודתי כולל בעיות המופחתות לפתרון משוואה מדרגה ראשונה עם שני לא ידועים

(1)

בואו נשקול את המשימה.

משימה 1. בתא נמצא איקס פסיונים ו בְּ-ארנבות. כמה פסיונים וארנבות יש בכלוב אם המספר הכולל של הרגליים הוא 62.

מספר כוללניתן לכתוב רגליים באמצעות המשוואה 2x + 4y \u003d 62 (2)

השוויון הזה, שעשיתי לפי מצב הבעיה, נקרא משוואה עם שני משתנים. משוואה זו נקראת משוואה לינארית. משוואות לינאריות ממלאות תפקיד חשוב בפתרון בעיות שונות. הרשו לי להזכיר לכם את ההוראות העיקריות הקשורות למושג זה.

משוואה ליניארית עם שני משתנים היא משוואה בצורת ax + by \u003d c, כאשר x ו-y הם משתנים, a, b ו-c הם כמה מספרים.

קבע באופן חד משמעי מתוך משוואה (2) את הערכים איקס ו yזה אסור. גם אם נגביל את עצמנו לערכי הטבע של המשתנים, ייתכנו מקרים כאלה: 1 ו-15, 3 ו-14, 5 ו-13 וכו'.

זוג מספרים ( a , b ) נקרא פתרון למשוואה עם שני משתנים אם, כאשר מחליפים את x ב-a ו-y ב-b, נקבל שוויון אמיתי.

כל משוואה עם שני משתנים מתאימה לקבוצת הפתרונות שלה, כלומר, הסט המורכב מכל זוגות המספרים (א, ב), ומחליף אותם במשוואה, מתקבל שוויון אמיתי. במקרה זה, כמובן, אם הקבוצות X ו-Y צוינו מראש, שיכול לקבל x ו-y לא ידועים, אז אתה צריך לקחת רק זוגות כאלה (א, ב), שעבורו a שייך ל-X ו-b שייך ל-Y.

כמה מספרים ( א, ב) יכול להיות מיוצג במישור בנקודה M, שיש לה את הקואורדינטות או-b, M \u003d M (א, ב). בהתחשב בתמונות של כל הנקודות של קבוצת הפתרונות של משוואה עם שני לא ידועים, נקבל תת-קבוצה מסוימת של המישור. זה נקרא גרף המשוואה .

ניתן להוכיח כי הגרף של משוואה לינארית בשני משתנים, שבהם לפחות אחד מהמקדמים אינו שווה לאפס, הוא קו ישר. כדי לשרטט את המשוואה הזו, מספיק לקחת שתי נקודות עם קואורדינטות ולצייר בהן קו ישר. השתמשתי בשיטת הפתרון הגרפי בעבודה הקודמת שלי.

שתי משוואות בשני משתנים בעלי אותם פתרונות אמורים להיות שוות ערך.

לדוגמה, המשוואות x + 2y = 5 ו- 3x + 6y = 15 שוות ערך - כל זוג מספרים שמקיים את אחת מהמשוואות הללו עומד גם בשנייה.

למשוואות עם שני משתנים יש תכונות זהות למשוואות עם משתנה אחד:

1) אם במשוואה נעביר את המונח מחלק אחד לאחר, ונשנה את הסימן שלו, אז נקבל משוואה שווה ערך לנתון;

2) אם שני חלקי המשוואה מוכפלים או מחולקים באותו מספר שאינו אפס, אז מתקבלת משוואה ששווה לזו הנתונה.

ישנן מספר דרכים לפתור משוואות דיופנטיות:

שיטת בחירה

שימוש באלגוריתם אוקלידס

באמצעות המשך ירי

שיטת פיזור (טחינה).

שימוש בשפת תכנות Pascal

בעבודתי חקרתי שיטות - ספירת אפשרויות ופיזור (טחינה)

בהתחשב בדרך למנות אפשרויות, יש צורך לקחת בחשבון את מספר הפתרונות האפשריים למשוואה. לדוגמה, ניתן ליישם שיטה זו על ידי פתרון הבעיה הבאה:

משימה 2. אנדריי עובד בבית קפה בקיץ. עבור כל שעה משלמים לו 10 רובל. וחשבו 2 r. על כל צלחת שבורה. על שבוע שעברהוא הרוויח 180 r. קבעו כמה שעות הוא עבד וכמה צלחות הוא שבר, אם ידוע שהוא עובד לא יותר מ-3 שעות ביום.

פִּתָרוֹן.

תן איקסשעות שהוא עבד בשבוע, אם כן פי 10ר. שילמו לו אבל הוא נשבר בְּ-צלחות, והורידו ממנו 2 שניםר. יש לנו את המשוואה 10x - 2y \u003d 180, ו איקס פחות או שווה ל-21. נקבל: 5x-y=90, 5x=90+y, x=18+y:5.

כי איקס מספר שלם, אם כן בְּ-חייב להיות מתחלק באופן שווה ב-5 כדי לקבל מספר שלם בצד ימין. ישנם ארבעה מקרים

y=0, x=18, כלומר הפתרון הוא הזוג - (18, 0);

y=5, x=19, (19, 5);

y=10, x=20, (20, 10);

y=15, x=21, (21, 15).

פתרתי את הבעיה הזו באמצעות שיטת ספירת האפשרויות. התשובה מכילה ארבע אפשרויות אפשריות. ניסיתי לפתור עוד כמה בעיות בדרך זו.

משימה 3. הסכום של 23 רובל נעשה ממטבעות של שני רובל וחמישה רובל. כמה מהמטבעות האלה של שני רובל יש?

פִּתָרוֹן.

תן איקס - מספר מטבעות שני רובל, י -מספר המטבעות של חמישה רובל. בואו ניצור ונפתור את המשוואה: 2x+5y=23; 2x=23-5y; x \u003d (23 - 5y): 2; x \u003d (22 + 1 - 5y): 2, נחלק את 22 ב-2 ו- (1 - 5y) ב-2 איבר לפי מונח, נקבל: x \u003d 11 + (1 - 5y): 2.

כי איקס ו y מספרים טבעיים לפי מצב הבעיה, אז הצד השמאלי של המשוואה הוא מספר טבעי, כלומר גם הצד הימני חייב להיות מספר טבעי. בנוסף, על מנת לקבל מספר טבעי בצד ימין, יש צורך שהביטוי (1 - 5y) יהיה מתחלק לחלוטין ב-2. בואו נספור את האפשרויות.

y =1, x=9, כלומר, יכולים להיות 9 מטבעות של שני רובל;

y=2, בעוד שהביטוי (1 - 5y) אינו מתחלק ב-2;

y=3, x=4, כלומר, יכולים להיות 4 מטבעות של שני רובל;

כאשר y גדול או שווה ל-4, x אינו מספר טבעי.

לפיכך, התשובה בבעיה היא כדלקמן: בין המטבעות יש 9 או 4 מטבעות של שני רובל.

משימה 4. שחרזדה מספר את סיפוריו לשליט הגדול. בסך הכל היא צריכה לספר 1001 אגדות. כמה לילות ייקח לשחרזדה לספר את כל סיפוריו אם איקס לילות היא תספר 3 סיפורים, ושאר הסיפורים 5 עבור בְּ-לילות

פִּתָרוֹן.

מספר הסיפורים צריך x + y לילות , כאשר x ו-y - שורשים טבעיים של המשוואה 3x + 5y \u003d 1001

x \u003d (1001 - 5y): 3; כי איקסהוא מספר טבעי, אז הצד הימני של השוויון חייב להכיל גם מספר טבעי, כלומר הביטוי (1001 - 5y) חייב להיות מתחלק לחלוטין ב-3.

בואו נעבור על האפשרויות.

y=1, 1001 - 5y=1001-5= 996, 996 מתחלק ב-3, ומכאן x=332; החלטה(332;1);

y=2, 1001– 10=991, 991 אינו מתחלק ב-3;

y=3, 1001 - 15 = 986; 986 אינו מתחלק ב-3;

y \u003d 4, 1001 - 20 \u003d 981, 981 מתחלק ב-3, לכן, x \u003d 327, הפתרון הוא (327; 4) וכו'.

יש 67 זוגות שורשים אפשריים בבעיה הזו, לא הראיתי את כל הפתרונות לבעיה הזו, כי זה לוקח הרבה זמן.

המשוואה גַרזֶן + על ידי = ג (1) בבעיות לעיל, פתרתי את שיטת ספירת האפשרויות. הבנתי בעצמי ששיטת ספירת האפשרויות לא תמיד יעילה לפתרון בעיה זו, שכן לוקח זמן לא מבוטל למצוא את כל הפתרונות למשוואה. ולדעתי כרגע זה לא רלוונטי.

לכן, פתרתי את בעיית השחרזדה בשיטת הפיזור (השחזה).

שיטת הפיזור היא שיטה כללית לפתרון משוואות בלתי מוגדרות מהמעלה הראשונה עם מקדמי שלמים במספרים שלמים.

אז בואו נפתור את הבעיה לגבי Scheherazade בשיטת הפיזור:

נפנה למשוואה 3x + 5y = 1001.

בואו נשכתב את זה אחרת: 3x = 1001 - 5y; 3x \u003d 1001 - 2y - 3y;

x = -y +
ולסמן איקס ל= y + איקס

כתוצאה מכך, המשוואה תקבל את הצורה פי 3 1 = 1001 - 2 שנים או

y = - איקס ל
.

אם נחליף שוב את y 1 \u003d y + x 1, אז נגיע למשוואה

x 1 + 2y 1 \u003d 1001. שימו לב שהמקדמים עבור הלא ידועים ירדו - הם נגרסו.

כאן המקדם ב-x 1 שווה ל-1, ולכן, עבור כל מספר שלם y 1 \u003d t, המספר x 1 הוא גם מספר שלם. נותר לבטא את המשתנים המקוריים במונחים של t:

x 1 \u003d 1001 - 2 t, לפיכך, y \u003d - 1001 + 3 t, ו-x \u003d 2002 - 5 t. אז, אנו מקבלים רצף אינסופי (2002 - 5 t, - 1001 + 3 t) של פתרונות שלמים . הופעת הנוסחאות למציאת ערכי משתנים שונה מהפתרונות שהושגו קודם לכן, אך בהתחשב במצב הבעיה, השורשים זהים. אז הצמד (332;1) מתקבל ב-t =334.

לדעתי, השיטה הזו לא רק נוחה יותר (יש לה אלגוריתם של פעולות), אלא גם מעניינת. שיטה זו ידועהב הוחל לראשונה בהתחלהVIב. מתמטיקאי הודיאריאבהטה.

בשנה שעברה הראיתי את הפתרון של בעיית הברהמגופטה ההודית העתיקה לשיטות הפיזור שהציע ברהמגופטה עצמו. ההחלטה הייתה לא הגיונית.

הוא מוצג להלן:

"מצא שני מספרים שלמים, בידיעה שההבדל בין התוצרים של הראשון ב-19 והשני ב-8 הוא 13."

בבעיה נדרש למצוא את כל פתרונות המספרים השלמים של משוואות.

פִּתָרוֹן:

(1) 19איקס – 8y = 13

אני מביע yהוא הלא ידוע עם הערך המוחלט הקטן ביותר של מקדם דרך איקס, אני מקבל:

(2) y = (19איקס – 13)/8

כעת עלינו לברר עבור אילו ערכי מספר שלם איקס ערכים מתאימים y הם גם מספרים שלמים. אכתוב מחדש את המשוואה (2) באופן הבא:

(3) y = 2איקס + (3איקס – 13)/8

מ-(3) נובע ש-y עם מספר שלם x לוקח ערך שלם רק אם הביטוי (3 איקס-13)/8 הוא מספר שלם, נניח y 1 . בהנחה

(4) (3איקס - 13)/8 = y 1 ,

השאלה מצטמצמת לפתרון משוואה (4) במספרים שלמים עם שני לא ידועים x ו y 1 ; אפשר לכתוב את זה כך:

(5) 3איקס – 8y 1 = 13.

למשוואה זו יש יתרון על פני המשוואה המקורית (1) ש-3 - הקטן מבין הערכים האבסולוטיים של המקדמים לא ידועים - קטן מ-(1), כלומר. 8. זה הושג על ידי החלפת המקדם ב-x (19) בשאר של 8.

אם נמשיך באותו אופן, נקבל מ-(5):

(6) איקס= (8 שנים 1 +13)/3 = 2y 1 + (2y 1 + 13)/3.

אז, ה-x הלא ידוע עם המספר השלם y 1 לוקח רק ערכי מספר שלמים כאשר (2 y 1 + 13)/3 הוא מספר שלם, נניח y 2 :

(7) (2y 1 + 1)/3 = y 2 ,

אוֹ

(8) 3y 2 – 2 y 1 = 13.

(9) y 1 = (3y 2 - 13)/2 = y 2 + (y 2 - 13)/2

בהנחה

(10) (y 2 - 13)/2 = y 3 ,

לקבל

(11) y 2 – 2 y 3 = 13.

זוהי המשוואה הפשוטה ביותר מבין כל המשוואות הבלתי מוגדרות, שכן אחד המקדמים שווה ל-1.

מ-(11) אני מקבל:

(12) y 2 = 2y 3 + 13.

זה מראה ש-y 2 לוקח ערכים שלמים עבור כל ערכים שלמים של y 3. משוויון (6), (9), (12), (3) על ידי החלפות עוקבות, ניתן למצוא את הביטויים הבאים עבור ה-x ו-y הלא ידועים של המשוואה (1):

איקס= 2y 1 +y 2 = 2(y 2 +y 3 ) + y 2 = 3y2 + 2 y 3 = 3(2y 2 + 13) + 2y 3 = 8y 3 + 39;

בְּ-= 2איקס + y 1 = 2(8y 3 + 39) + y 2 + y 3 = 19y 3 +91.

אז הנוסחאות

x=8 y 3 + 39,

y=19 y 3 + 91.

בְּ y 3 = 0, + 1,+ 2, + 3, ... תן את כל פתרונות המספרים השלמים של המשוואה (1).

הטבלה הבאה מספקת דוגמאות לפתרונות כאלה.

שולחן 1.

y3

איקס

y

בואו נפתור את הבעיה הזו בצורה רציונלית. הפתרון משתמש באלגוריתם מסוים.

משימה 5.

מצא שני מספרים אם ההפרש בין התוצרים של הראשון ב-19 והשני ב-8 הוא 13.

פִּתָרוֹן. זה נדרש לפתור את המשוואה 19x - 8y \u003d 13

בואו נשכתב את זה אחרת: 8y =19x –13; 8y =16x +3x -13; y = 2x +

ולסמן y 1 \u003d y - 2x.

כתוצאה מכך, המשוואה תקבל את הצורה 8y 1 = Zx - 13 או x = 2y 1
.

אם נחליף שוב את x 1 \u003d x - 2y 1, אז נגיע למשוואה

3x l - 2y 1 \u003d 13.

המקדמים של הלא ידועים ירדו - הם נמחצו. טחינה נוספת: y 1 = x l +
, אז נקבל y 2 \u003d y 1 -x 1.

כתוצאה מכך, המשוואה האחרונה מומרת לצורה x 1 - 2y 2: \u003d 13. כאן המקדם ב-x 1 שווה ל-1, ולכן, עבור כל מספר שלם y 2 \u003d t, המספר x 1 הוא גם מספר שלם.

נותר לבטא את המשתנים המקוריים במונחים של t:

ראשית אנו מבטאים x 1 \u003d 2t +13, y 1 \u003d 3t +13; ואז x = 8 t +39, y = 19 t + 91.

אז, אנחנו מקבלים רצף אינסופי (39 + 8ט, 91 + 19 ט) פתרונות מספרים שלמים. המשוואה גַרזֶן + על ידי = ג (1) בבעיות הנ"ל פתרתי את שיטת הפיזור (טחינה).

IV. סיכום.

בלימוד משוואות דיופנטיות כדי לפתור אותן, השתמשתי בשיטות של ספירת אפשרויות ופיזור (טחינה). בשיטות אלו פתרתי בעיות מודרניות ועתיקות כאחד. תוכן העבודה שלי כלל משימות המסתכמות בפתרון משוואות מדרגה ראשונה עם שני משתנים ax + b y \u003d c (1)

במהלך עבודתי הגעתי למסקנות הבאות:

שיטת הספירה דורשת עלויות זמן משמעותיות, מה שאומר שהיא לא מאוד נוחה ורציונלית.

רציונלית יותר, לדעתי, היא שיטת הפיזור. כשפתרתי בעיה הודית ישנה בשיטה הזו, הבנתי שיש אלגוריתם פתרון מסוים. היה לי מספיק ידע שצברתי בבית הספר. הייתי משוכנע שהשיטות לפתרון משוואות דופנטיות משתפרות כל הזמן עם התפתחות המתמטיקה.

בשנה הבאה אני רוצה להמשיך ללמוד שיטות לפתרון משוואות דיופנטיות.

V. בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

G. I. Glazer "תולדות המתמטיקה בבית הספר" מ.: ed. "נאורות" 1964 376s.

I. G. Bashmakova "משוואות דיופנטיות ודיופנטיות" מ.: ed. "מדע" 1972 שנות 68.

V. A. Nikiforovsky "בעולם המשוואות" מ.: ed. "מדע" 1987 שנות ה-176.

א.פ. סאווין" מילון אנציקלופדימתמטיקאי צעיר "M.: ed. "פדגוגיה" 1985

G. M. Voznyak, V. F. Gusev "Applied problems for extrema" M.: ed. "נאורות" 1985 144 שניות.

http :// he . ויקיפדיה . org

VI. יישום.

בחווה, יש צורך לבצע מערכת אספקת מים באורך של 167 מ'. צינורות זמינים באורך של 5 מ' ו-7 מ'. כמה צינורות יש להשתמש כדי לבצע את המספר המינימלי של חיבורים (לא לחתוך את הצינורות)?

בהתחשב בכך שמספר הצינורות האחד והשניים יכול להשתנות, מספר הצינורות של 7 מטר מסומן על ידי x,5- מטר - דרך בְּ-

ואז 7x הוא אורך של צינורות של 7 מטר, 5y הוא אורך של צינורות של 5 מטר.

מכאן נקבל את המשוואה הבלתי מוגדרת:

7x+5y=167

לאחר שהוצאת, למשל, משתנה בְּ-דרך משתנה איקס, אנחנו מקבלים:

קל למצוא זוגות ערכים תואמים על ידי איטרציה איקסו בְּ-, אשר עומדים במשוואה 7x+5y=167

(1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4).

מבין הפתרונות הללו, האחרון הוא המועיל ביותר, כלומר x=21; y=4.

דרכים עתיקות רבות לניחוש מספרים ותאריכי לידה מבוססות על פתרון משוואות דיופנטיות. אז, למשל, כדי לנחש את תאריך הלידה (חודש ויום) של בן השיח, מספיק לברר ממנו את הסכום שהתקבל מתוספת של שני מוצרים: מספר התאריך (איקס ) לפי 12 ומספרי חודשים (בְּ- ) ב-31.

2. תן לסכום היצירות המדוברות להיות 330. מצא את תאריך הלידה.

בואו נפתור את המשוואה הבלתי מוגדרת

12 איקס + 31 בְּ- = 330.

בשיטת הפיזור, אנו מקבלים:

איקס = 43 – 31 בְּ- 4 ,

בְּ- = 6 – 12 בְּ- 4 .

בשל מגבלות, קל לקבוע שהפתרון היחיד הוא

בְּ- 4 = 1, איקס = 12, בְּ- = 6.

אז, תאריך לידה: היום ה-12 של החודש השישי, כלומר. 12 ביוני.

כדי לפתור משוואה דיופנטית לינארית, עליך למצוא את ערכי המשתנים "x" ו-"y", שהם מספרים שלמים. פתרון המספרים השלמים יותר מסובך מהרגיל ודורש קבוצה מסוימת של פעולות. ראשית עליך לחשב את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) של המקדמים, ולאחר מכן למצוא את הפתרון. לאחר שמצאת פתרון מספר שלם אחד למשוואה לינארית, תוכל ליישם תבנית פשוטה כדי למצוא אינסוף פתרונות אחרים.

שלבים

חלק 1

איך כותבים משוואה

כתוב את המשוואה בצורה סטנדרטית.משוואה ליניארית היא משוואה שבה המעריכים של המשתנים אינם עולים על 1. כדי לפתור משוואה לינארית כזו, תחילה כתוב אותה בצורה סטנדרטית. הצורה הסטנדרטית של משוואה לינארית נראית כך: A x + B y = C (\displaystyle Ax+By=C), איפה A ,B (\displaystyle A,B)ו C (\displaystyle C)- מספרים שלמים.

פשט את המשוואה (אם אפשר).כאשר אתה כותב את המשוואה בצורה סטנדרטית, הסתכל על המקדמים A ,B (\displaystyle A,B)ו C (\displaystyle C). אם למקדמים אלה יש GCD, חלקו בו את כל שלושת המקדמים. הפתרון של משוואה מפושטת כזו יהיה גם פתרון למשוואה המקורית.

בדוק אם ניתן לפתור את המשוואה.במקרים מסוימים, אתה יכול להכריז מיד שלמשוואה אין פתרונות. אם המקדם "C" אינו מתחלק ב-GCD של המקדמים "A" ו-"B", למשוואה אין פתרונות.

חלק 2

איך לכתוב את האלגוריתם של אוקלידס

1. הבן את האלגוריתם של אוקלידס.זוהי סדרה של חלוקות חוזרות שבהן השארית הקודמת משמשת כמחלק הבא. המחלק האחרון שמחלק את המספרים באופן שווה הוא המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd) מבין שני המספרים.

   החל את האלגוריתם של אוקלידס על המקדמים "A" ו-"B".כאשר אתה כותב את המשוואה הליניארית בצורה סטנדרטית, קבע את המקדמים "A" ו-"B" ולאחר מכן הפעל עליהם את האלגוריתם של אוקלידס כדי למצוא את gcd. לדוגמה, בהינתן המשוואה הליניארית 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3).

   מצא את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd).מכיוון שהמחלק האחרון היה 1, GCD 87 ו-64 הם 1. אז 87 ו-64 הם מספרים ראשונייםביחס אחד לשני.

   נתח את התוצאה.כאשר אתה מוצא את GCD של המקדמים A (\displaystyle A)ו B (\displaystyle B), השוו אותו עם המקדם C (\displaystyle C)המשוואה המקורית. אם C (\displaystyle C)מחולק ל-NOD A (\displaystyle A)ו B (\displaystyle B), למשוואה יש פתרון מספר שלם; אחרת, למשוואה אין פתרונות.

חלק 3

כיצד למצוא פתרון באמצעות האלגוריתם של אוקלידס

מספר את השלבים לחישוב GCD.כדי למצוא פתרון למשוואה לינארית, יש להשתמש באלגוריתם האוקלידי כבסיס לתהליך ההחלפה והפישוט.

שימו לב לשלב האחרון, שבו יש שארית.כתוב מחדש את המשוואה עבור שלב זה כדי לבודד את השאר.

בודדים את שאר השלב הקודם.תהליך זה הוא שלב אחר שלב "עלייה למעלה". בכל פעם תבודד את השארית במשוואה מהשלב הקודם.

לעשות שינוי ולפשט.שימו לב שהמשוואה בשלב 6 מכילה את המספר 2, אך במשוואה בשלב 5, המספר 2 מבודד. אז במקום "2" במשוואה בשלב 6, החליפו את הביטוי בשלב 5:

חזור על תהליך ההחלפה והפישוט.חזור על התהליך המתואר, עובר דרך האלגוריתם האוקלידס בסדר הפוך. בכל פעם תכתוב מחדש את המשוואה של השלב הקודם ותחליף אותה במשוואה האחרונה שהתקבלה.

1. המשך בתהליך ההחלפה והפישוט.תהליך זה יחזור על עצמו עד שתגיעו לשלב הראשוני של אלגוריתם האוקלידס. מטרת התהליך היא לרשום משוואה עם מקדמים 87 ו-64 של המשוואה המקורית לפתרון. בדוגמה שלנו:

   • 1 = 2 (18) − 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
   • 1 = 2 (18) - 7 (23 - 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(ביטוי החלופי משלב 3)
   • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(החלפה של ביטוי משלב 2)
   • 1 = 9 (64) - 25 (87 - 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(ביטוי החלופי משלב 1)