3 גבהים של משולש. סיכום השיעור "המשפט על מפגש גבהים של משולש". היחס בין יסודות במשולש ישר זווית

משולשים.

מושגי יסוד.

משולש- זהו דמות המורכבת משלושה קטעים ושלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד.

הקטעים נקראים מסיבות, והנקודות פסגות.

סכום זוויותמשולש שווה ל-180º.

גובה המשולש.

גובה משולשהוא מאונך שנמשך מקודקוד לצד הנגדי.

במשולש חד זווית, הגובה מוכל בתוך המשולש (איור 1).

במשולש ישר זווית, הרגליים הן גבהים של המשולש (איור 2).

במשולש קהה, הגובה עובר מחוץ למשולש (איור 3).

מאפייני גובה המשולש:

חוצה של משולש.

חוצה של משולש- זהו קטע החוצה את פינת הקודקוד ומחבר את הקודקוד לנקודה בצד הנגדי (איור 5).

תכונות ביסקטור:

החציון של משולש.

חציון משולש- זהו קטע המחבר את הקודקוד עם אמצע הצד הנגדי (איור 9א).

ניתן לחשב את אורך החציון באמצעות הנוסחה: 2ב 2 + 2ג 2 - א 2 מ א 2 = —————— 4 איפה מ א- חציון נמשך הצידה א. במשולש ישר זווית, החציון הנמשך לתחתית הנוזל הוא מחצית התחתון: ג mc = — 2 איפה mcהוא החציון הנמשך אל תת-המנוזה ג(איור 9ג) החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת (במרכז המסה של המשולש) ומחולקים בנקודה זו ביחס של 2:1, בספירה מלמעלה. כלומר, הקטע מהקודקוד למרכז הוא פי שניים מהקטע מהמרכז לצד של המשולש (איור 9ג). שלושת החציונים של משולש מחלקים אותו לשישה משולשים בעלי שטח שווה.

הקו האמצעי של המשולש.

קו אמצע של המשולש- זהו קטע המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעותיו (איור 10).

קו האמצע של משולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

הפינה החיצונית של המשולש.

פינה חיצוניתמשולש שווה לסכום של שתי זוויות פנימיות שאינן סמוכות (איור 11).

הזווית החיצונית של משולש גדולה יותר מכל זווית שאינה סמוכה.

משולש ישר זווית.

משולש ישר זווית- זהו משולש שיש לו זווית ישרה (איור 12).

הצלע של משולש ישר זווית מול הזווית הישרה נקראת אֲלַכסוֹן.

שני הצדדים האחרים נקראים רגליים.

קטעים פרופורציונליים במשולש ישר זווית.

1) במשולש ישר זווית, הגובה הנמשך מהזווית הישרה יוצר שלושה משולשים דומים: ABC, ACH ו-HCB (איור 14א). בהתאם לכך, הזוויות הנוצרות מהגובה שוות לזוויות A ו-B.

איור 14א

משולש שווה שוקיים.

משולש שווה שוקיים- זהו משולש שבו שתי צלעות שוות (איור 13).

צלעות שוות אלו נקראות הצדדים, והשלישי בָּסִיסמשולש.

במשולש שווה שוקיים, הזוויות בבסיס שוות. (במשולש שלנו, זווית A שווה לזווית C).

במשולש שווה שוקיים, החציון הנמשך לבסיס הוא גם החציון וגם גובה המשולש.

משולש שווה צלעות.

משולש שווה צלעות הוא משולש שכל הצלעות בו שוות (איור 14).

תכונות של משולש שווה צלעות:

תכונות מדהימות של משולשים.

למשולשים יש מאפיינים מקוריים שיעזרו לך לפתור בהצלחה בעיות הקשורות לצורות אלו. חלק מהמאפיינים הללו מתוארים לעיל. אבל אנחנו חוזרים עליהם שוב, ומוסיפים להם עוד כמה תכונות נהדרות:

1) במשולש ישר זווית עם זוויות 90º, 30º ו-60º, הרגל ב, השוכב מול הזווית של 30º, שווה ל מחצית מההיפוטנוזה. רגלא יותר רגלב√3 פעמים (איור 15 א). לדוגמה, אם הרגל של b היא 5, אז התחתון גשווה בהכרח ל-10, והרגל אשווה 5√3. 2) במשולש שווה שוקיים ישר זווית עם זוויות של 90º, 45º ו-45º, התחתון הוא פי √ 2 מהרגל (איור 15) ב). לדוגמה, אם הרגליים הן 5, אז התחתון הוא 5√2. 3) הקו האמצעי של המשולש שווה למחצית הצלע המקבילה (איור 15). עם). לדוגמה, אם הצלע של משולש היא 10, אז קו האמצע המקביל לה הוא 5. 4) במשולש ישר זווית, החציון הנמשך לתחתית השכבה שווה למחצית מהתחתית (איור 9ג): mc= c/2. 5) החציונים של משולש, החותכים בנקודה אחת, מחולקים בנקודה זו ביחס של 2:1. כלומר, הקטע מהקודקוד לנקודת החיתוך של החציונים הוא פי שניים מהקטע מנקודת החיתוך של החציונים לצלע המשולש (איור 9ג). 6) במשולש ישר זווית, נקודת האמצע של ההיפוטנוזה היא מרכז המעגל המוקף (איור 15) ד).

סימני שוויון של משולשים.

הסימן הראשון לשוויון: אם שתי צלעות והזווית ביניהן של משולש אחד שווים לשתי צלעות והזווית ביניהן של משולש אחר, אז משולשים כאלה חופפים.

הסימן השני לשוויון: אם הצלע והזוויות הסמוכות לה של משולש אחד שוות לצלע ולזוויות הסמוכות לה של משולש אחר, אז משולשים כאלה חופפים.

הסימן השלישי לשוויון: אם שלוש צלעות של משולש אחד שוות לשלוש צלעות של משולש אחר, אז משולשים כאלה חופפים.

אי שוויון במשולש.

בכל משולש, כל צלע קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות.

משפט פיתגורס.

במשולש ישר זווית, ריבוע התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים:

ג 2 = א 2 + ב 2 .

שטח של משולש.

1) שטחו של משולש שווה למחצית המכפלה של הצלע שלו והגובה הנמשך לצלע זו:

אה
ס = ——
2

2) שטחו של משולש שווה למחצית המכפלה של כל שתי צלעותיו ולסינוס של הזווית ביניהן:

1
ס = — AB · AC · חטא א
2

משולש מוקף סביב מעגל.

מעגל נקרא רשום במשולש אם הוא נוגע בכל צלעותיו (איור 16 א).

משולש רשום במעגל.

משולש נקרא רשום במעגל אם הוא נוגע בו בכל הקודקודים (איור 17 א).

סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט של זווית חדה של משולש ישר זווית (איור 18).

סִינוּסזוית חדה איקס מולקטטר ליותר התחתון.
מסומן כך: חטאאיקס.

קוסינוסזוית חדה איקסמשולש ישר זווית הוא היחס סמוךקטטר ליותר התחתון.
הוא מסומן כדלקמן: cos איקס.

מַשִׁיקזוית חדה איקסהוא היחס בין הרגל הנגדית לרגל הסמוכה.
מסומן כך: tgאיקס.

קוטנגנטזוית חדה איקסהוא היחס בין הרגל הסמוכה לרגל הנגדית.
מסומן כך: ctgאיקס.

כללים:

רגל מול פינה איקס, שווה למכפלת התחתון והחטא איקס:

b=cחטא איקס

רגל צמודה לפינה איקס, שווה למכפלת ההיפוטנוזה וה-cos איקס:

a = גחַסַת עָלִים איקס

רגל מול פינה איקס, שווה למכפלת הרגל השנייה ו-tg איקס:

b = א tg איקס

רגל צמודה לפינה איקס, שווה למכפלת הרגל השנייה וה-ctg איקס:

a = ב ctg איקס.

לכל זווית חדה איקס:

חטא (90° - איקס) = cos איקס

cos (90° - איקס) = חטא איקס

כמעט לעולם לא ניתן יהיה לקבוע את כל הפרמטרים של משולש ללא קונסטרוקציות נוספות. קונסטרוקציות אלו הן מעין מאפיינים גרפיים של משולש המסייעים בקביעת גודל הצלעות והזוויות.

הַגדָרָה

אחד המאפיינים הללו הוא גובה המשולש. גובה הוא מאונך הנמשך מקודקוד משולש לצלע הנגדית שלו. קודקוד הוא אחת משלוש הנקודות שמרכיבות יחד עם שלוש הצלעות משולש.

ההגדרה של גובה משולש יכולה להישמע כך: הגובה הוא האנך הנמשך מקודקוד המשולש אל הישר המכיל את הצלע הנגדית.

ההגדרה הזו נשמעת מסובכת יותר, אבל היא משקפת בצורה מדויקת יותר את המצב. העובדה היא שבמשולש קהה לא ניתן יהיה לצייר גובה בתוך המשולש. כפי שניתן לראות באיור 1, הגובה במקרה זה הוא חיצוני. בנוסף, מצב לא סטנדרטי הוא בניית גובה במשולש ישר זווית. במקרה זה, שניים משלושת הגבהים של המשולש יעברו דרך הרגליים, והשלישי מהקודקוד אל התחתון.

אורז. 1. גובהו של משולש קהה.

ככלל, גובה משולש מסומן באות ח. הגובה מצוין גם באיורים אחרים.

איך מוצאים את הגובה של משולש?

ישנן שלוש דרכים סטנדרטיות למצוא גובה של משולש:

דרך משפט פיתגורס

שיטה זו משמשת למשולשים שווי צלעות ושווי שוקיים. ננתח את הפתרון למשולש שווה שוקיים, ולאחר מכן נגיד מדוע אותו פתרון תקף למשולש שווה שוקיים.

נָתוּן: משולש שווה שוקיים ABC עם בסיס AC. AB=5, AC=8. מצא את גובה המשולש.

אורז. 2. ציור לבעיה.

למשולש שווה שוקיים, חשוב לדעת איזו צד הוא הבסיס. זה מגדיר את הצלעות שחייבות להיות שוות, כמו גם את הגובה שמאפיינים מסוימים פועלים עליו.

תכונות הגובה של משולש שווה שוקיים הנמשך לבסיס:

• הגובה זהה לחציון ולחציו
• מחלק את הבסיס לשני חלקים שווים.

נסמן את הגובה כ-BD. DС נמצא כמחצית מהבסיס, שכן גובה הנקודה D מחלק את הבסיס לשניים. DC=4

הגובה הוא מאונך, אז BDC הוא משולש ישר זווית, והגובה BH הוא הרגל של המשולש הזה.

מצא את הגובה באמצעות משפט פיתגורס: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

כל משולש שווה שוקיים הוא שווה שוקיים, רק הבסיס שלו שווה לצלעות. כלומר, אתה יכול להשתמש באותו הליך.

דרך שטח של משולש

שיטה זו יכולה לשמש עבור כל משולש. כדי להשתמש בו, אתה צריך לדעת את הערך של השטח של המשולש ואת הצלע שאליה נמשך הגובה.

הגבהים במשולש אינם שווים, ולכן עבור הצלע המתאימה ניתן יהיה לחשב את הגובה המתאים.

הנוסחה לשטח של משולש היא $$S=(1\over2)*bh$$, כאשר b היא הצלע של המשולש ו-h הוא הגובה הנמשך לאותה צד. הבע את הגובה מהנוסחה:

$$h=2*(S\over b)$$

אם השטח הוא 15, הצד הוא 5, אז הגובה הוא $$h=2*(15\over5)=6$$

דרך הפונקציה הטריגונומטרית

השיטה השלישית מתאימה אם הצד והזווית בבסיס ידועים. כדי לעשות זאת, תצטרך להשתמש בפונקציה הטריגונומטרית.

אורז. 3. ציור לבעיה.

זווית BCH=300 וצד BC=8. עדיין יש לנו את אותו משולש ישר זווית BCH. בואו נשתמש בסינוס. הסינוס הוא היחס בין הרגל הנגדית לתחתית, כלומר: BH/BC=cos BCH.

הזווית ידועה, וכך גם הצד. הביעו את גובה המשולש:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

ערך הקוסינוס נלקח בדרך כלל מהטבלאות של ברדיס, אבל הפונקציות הטריגונומטריות עבור 30.45 ו-60 מעלות הן מספרים טבלאריים.

מה למדנו?

למדנו מהו גובהו של משולש, מהם גבהים וכיצד הם מסומנים. הבנו משימות טיפוסיות ורשמנו שלוש נוסחאות לגובה משולש.

חידון נושא

דירוג מאמר

דירוג ממוצע: 4.6. סך הדירוגים שהתקבלו: 137.

כאשר פותרים סוגים שונים של בעיות, הן בעלות אופי מתמטי בלבד והן בעלות אופי יישומי (במיוחד בבנייה), לעתים קרובות יש צורך לקבוע את ערך הגובה של דמות גיאומטרית מסוימת. כיצד לחשב ערך נתון (גובה) במשולש?

אם נשלב 3 נקודות בזוגות שאינם ממוקמים על קו ישר אחד, אז הדמות המתקבלת תהיה משולש. גובה הוא חלק של קו מכל קודקוד של דמות שכאשר נחתך עם הצלע הנגדית, יוצר זווית של 90°.

מצא את הגובה במשולש בקנה מידה

הבה נקבע את הערך של גובה המשולש במקרה שלדמות יש זוויות וצלעות שרירותיות.

הנוסחה של הרון

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, כאשר

p - חצי מההיקף של הדמות, h(a) - קטע לצד a, מצויר בזוויות ישרות אליו,

p=(a+b+c)/2 – חישוב חצי ההיקף.

אם יש שטח של הדמות, כדי לקבוע את גובהה, אתה יכול להשתמש ביחס h(a)=2S/a.

פונקציות טריגונומטריות

כדי לקבוע את אורכו של קטע שיוצר זווית ישרה במפגש עם הצלע a, ניתן להשתמש בקשרים הבאים: אם ידועות הצלע b והזווית γ או הצלע c והזווית β, אז h(a)=b*sinγ או h(a)=c *sinβ.
איפה:
γ היא הזווית בין הצלע b ל-a,
β היא הזווית בין הצלע c ל-a.

קשר עם רדיוס

אם המשולש המקורי רשום במעגל, אתה יכול להשתמש ברדיוס של מעגל כזה כדי לקבוע את הגובה. מרכזו ממוקם בנקודה שבה כל 3 הגבהים מצטלבים (מכל קודקוד) - האורתוסנטר, והמרחק ממנו לקודקוד (כל שהוא) הוא הרדיוס.

ואז h(a)=bc/2R, כאשר:
b, c - 2 צלעות אחרות של המשולש,
R הוא רדיוס המעגל המתאר את המשולש.

מצא את הגובה במשולש ישר זווית

בצורה זו של דמות גיאומטרית, 2 צלעות בצומת יוצרות זווית ישרה - 90 מעלות. לכן, אם יש צורך לקבוע את ערך הגובה בו, אז יש צורך לחשב את גודל אחת הרגליים, או את הערך של הקטע שיוצר 90 מעלות עם התחתון. בעת ייעוד:
a, b - רגליים,
c הוא התחתון,
h(c) הוא הניצב לתחתית.
אתה יכול לבצע את החישובים הדרושים באמצעות היחסים הבאים:

• משפט פיתגורס:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, ואז h(c)=ab/c .

• פונקציות טריגונומטריות:

a=c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

מצא את הגובה במשולש שווה שוקיים

זֶה דמות גיאומטריתשונה בנוכחות שני צדדים בגודל שווה והשלישי - הבסיס. כדי לקבוע את הגובה הנמשך לצד השלישי, השונה, משפט פיתגורס נחלץ לעזרה. עם הכינויים
צד -
c - בסיס,
h(c) הוא קטע ל-c בזווית של 90°, ואז h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).