Kako predstaviti 10 kao decimalu. Kako predstaviti razlomak kao decimalu. Koji razlomci postoje
U ovom ćemo članku analizirati kako pretvaranje običnih razlomaka u decimale , a također razmotrite obrnuti proces - pretvorbu decimalnih frakcija u obične frakcije. Ovdje ćemo izraziti pravila za okretanje razlomaka i dati detaljna rješenja tipičnih primjera.
Navigacija po stranici.
Pretvaranje običnih razlomaka u decimale
Označimo slijed kojim ćemo se baviti pretvaranje običnih razlomaka u decimale.
Prvo ćemo pogledati kako predstaviti obične razlomke s nazivnicima 10, 100, 1000, ... kao decimalne razlomke. To je zato što su decimalni razlomci u biti kompaktni oblik običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ....
Nakon toga ćemo ići dalje i pokazati kako se svaki obični razlomak (ne samo s nazivnicima 10, 100, ...) može napisati kao decimalni razlomak. Ovom pretvorbom običnih razlomaka dobivaju se i konačni decimalni razlomci i beskonačni periodični decimalni razlomci.
Sada o svemu po redu.
Pretvaranje običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke
Neki pravilni razlomci trebaju "preliminarnu pripremu" prije pretvaranja u decimale. To se odnosi na obične razlomke, čiji je broj znamenki u brojniku manji od broja nula u nazivniku. Na primjer, obični razlomak 2/100 mora se prvo pripremiti za pretvorbu u decimalni razlomak, ali razlomak 9/10 ne treba pripremiti.
“Preliminarna priprema” ispravnih običnih razlomaka za pretvorbu u decimalne razlomke sastoji se u dodavanju toliko nula s lijeve strane brojnika da ukupan broj tamošnjih znamenki postane jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, razlomak nakon dodavanja nula izgledat će kao .
Nakon što pripremite točan obični razlomak, možete ga početi pretvarati u decimalni razlomak.
Dajmo pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka s nazivnikom 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalni razlomak. Sastoji se od tri koraka:
- zapišite 0;
- staviti decimalni zarez iza njega;
- zapisati broj iz brojnika (zajedno s dodanim nulama, ako smo ih dodali).
Razmotrite primjenu ovog pravila u rješavanju primjera.
Primjer.
Pretvorite pravilan razlomak 37/100 u decimalni.
Riješenje.
Nazivnik sadrži broj 100 koji ima dvije nule. Brojnik sadrži broj 37, u njegovom zapisu postoje dvije znamenke, stoga ovaj ulomak ne treba pripremati za pretvorbu u decimalni ulomak.
Sada upišemo 0, stavimo decimalnu točku i iz brojnika upišemo broj 37, a decimalni razlomak dobijemo 0,37.
Odgovor:
0,37 .
Da bismo učvrstili vještine prevođenja redovitih običnih razlomaka s brojnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke, analizirat ćemo rješenje drugog primjera.
Primjer.
Zapišite pravi razlomak 107/10 000 000 kao decimalu.
Riješenje.
Broj znamenki u brojniku je 3, a broj nula u nazivniku je 7, pa ovaj obični razlomak treba pripremiti za pretvaranje u decimalni. Moramo dodati 7-3=4 nule lijevo u brojniku tako da ukupan broj znamenki tamo postane jednak broju nula u nazivniku. Dobivamo .
Ostaje formirati željeni decimalni razlomak. Da bismo to učinili, prvo zapišemo 0, drugo, stavimo zarez, treće, zapišemo broj iz brojnika zajedno s nulama 0000107 , kao rezultat imamo decimalni razlomak 0,0000107 .
Odgovor:
0,0000107 .
Nepravilni obični razlomci ne trebaju pripremu prilikom pretvaranja u decimalne razlomke. Treba se pridržavati sljedećeg pravila za pretvaranje nepravih običnih razlomaka s nazivnicima 10, 100, ... u decimalne razlomke:
- zapisati broj iz brojnika;
- odvajamo decimalnom točkom onoliko znamenki s desne strane koliko ima nula u nazivniku izvornog razlomka.
Analizirajmo primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera.
Primjer.
Pretvorite nepravilan obični razlomak 56 888 038 009/100 000 u decimalu.
Riješenje.
Prvo zapisujemo broj iz brojnika 56888038009, a drugo decimalnom točkom odvajamo 5 znamenki s desne strane, jer u nazivniku izvornog razlomka ima 5 nula. Kao rezultat, imamo decimalni razlomak 568 880,38009.
Odgovor:
568 880,38009 .
Za pretvaranje mješovitog broja u decimalni razlomak, čiji je nazivnik razlomka broj 10, ili 100, ili 1000, ..., možete mješoviti broj pretvoriti u nepravi obični razlomak, nakon čega dobiveni razlomak može se pretvoriti u decimalni razlomak. Ali također možete koristiti sljedeće pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva s nazivnikom razlomaka 10, ili 100, ili 1000, ... u decimalne razlomke:
- ako je potrebno, vršimo "preliminarnu pripremu" frakcijskog dijela izvornog mješovitog broja dodavanjem potrebnog broja nula s lijeve strane u brojniku;
- zapisati cjelobrojni dio izvornog mješovitog broja;
- staviti decimalnu točku;
- zapisujemo broj iz brojnika zajedno s dodanim nulama.
Razmotrimo primjer u čijem ćemo rješavanju izvršiti sve potrebne korake za predstavljanje mješovitog broja kao decimalnog razlomka.
Primjer.
Pretvori mješoviti broj u decimalni.
Riješenje.
U nazivniku razlomka su 4 nule, au brojniku broj 17, koji se sastoji od 2 znamenke, dakle, trebamo dodati dvije nule lijevo u brojniku tako da broj znakova tamo postane jednak broj nula u nazivniku. Time će brojnik biti 0017 .
Sada zapisujemo cijeli dio izvornog broja, odnosno broja 23, stavljamo decimalnu točku, nakon čega upisujemo broj iz brojnika zajedno s dodanim nulama, odnosno 0017, pri čemu dobivamo željenu decimalu. razlomak 23.0017.
Zapišimo ukratko cijelo rješenje: 
.
Nedvojbeno je bilo moguće najprije prikazati mješoviti broj kao nepravi razlomak, a zatim ga pretvoriti u decimalni razlomak. S ovim pristupom, rješenje izgleda ovako:
Odgovor:
23,0017 .
Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimalne razlomke
Ne samo obični razlomci s nazivnicima 10, 100, ... mogu se pretvoriti u decimalni razlomak, već i obični razlomci s drugim nazivnicima. Sada ćemo shvatiti kako se to radi.
U nekim se slučajevima izvorni obični razlomak lako svodi na jedan od nazivnika 10, ili 100, ili 1000, ... (vidi svođenje običnog razlomka na novi nazivnik), nakon čega nije teško prikazati rezultirajući razlomak kao decimalni razlomak. Na primjer, očito je da se razlomak 2/5 može svesti na razlomak s nazivnikom 10, za to je potrebno brojnik i nazivnik pomnožiti s 2, što će dati razlomak 4/10, što prema pravila razmotrena u prethodnom paragrafu, mogu se lako pretvoriti u decimalni razlomak 0, četiri .
U drugim slučajevima, morate koristiti drugačiji način pretvaranja običnog razlomka u decimalu, što ćemo sada razmotriti.
Za pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak, brojnik razlomka podijeli se s nazivnikom, a brojnik se prvo zamijeni jednakim decimalnim razlomkom s bilo kojim brojem nula iza decimalne točke (o tome smo govorili u odjeljku jednako i nejednaki decimalni razlomci). Dijeljenje se u ovom slučaju izvodi na isti način kao i dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, a decimalna točka se stavlja u količniku kada završi dijeljenje cijelog dijela dividende. Sve će to postati jasno iz rješenja dolje navedenih primjera.
Primjer.
Pretvorite obični razlomak 621/4 u decimalu.
Riješenje.
Broj u brojniku 621 predstavljamo kao decimalni razlomak dodavanjem decimalne točke i nekoliko nula iza nje. Za početak ćemo dodati 2 znamenke 0, kasnije po potrebi uvijek možemo dodati još nula. Dakle, imamo 621,00 .
Podijelimo sada broj 621 000 s 4 stupcem. Prva tri koraka ne razlikuju se od dijeljenja stupcem prirodnih brojeva, nakon čega dolazimo do sljedeće slike: 
Dakle, došli smo do decimalne točke u dividendi, a ostatak je različit od nule. U ovom slučaju u kvocijent stavljamo decimalnu točku i nastavljamo dijeljenje po stupcu, zanemarujući zareze: 
Ovo dijeljenje je završeno, a kao rezultat smo dobili decimalni razlomak 155,25, koji odgovara izvornom običnom razlomku.
Odgovor:
155,25 .
Da biste učvrstili gradivo, razmotrite rješenje drugog primjera.
Primjer.
Pretvorite obični razlomak 21/800 u decimalu.
Riješenje.
Da pretvorimo ovaj obični razlomak u decimalu, podijelimo decimalni razlomak 21 000 ... s 800 stupcem. Nakon prvog koraka morat ćemo staviti decimalnu točku u kvocijent, a zatim nastaviti dijeljenje: 
Na kraju smo dobili ostatak 0, time je pretvorba običnog razlomka 21/400 u decimalni razlomak završena i došli smo do decimalnog razlomka 0,02625.
Odgovor:
0,02625 .
Može se dogoditi da pri dijeljenju brojnika s nazivnikom običnog razlomka nikada ne dobijemo ostatak 0. U tim slučajevima, dijeljenje se može nastaviti koliko god se želi. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci se periodički počinju ponavljati, a ponavljaju se i znamenke u kvocijentu. To znači da se izvorni obični razlomak prevodi u beskonačnu periodičku decimalu. Pokažimo to primjerom.
Primjer.
Zapišite obični razlomak 19/44 kao decimalu.
Riješenje.
Za pretvaranje običnog razlomka u decimalu, izvodimo dijeljenje sa stupcem: 
Već je jasno da su se pri dijeljenju ostaci 8 i 36 počeli ponavljati, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 1 i 8. Dakle, izvorni obični razlomak 19/44 preveden je u periodični decimalni razlomak 0,43181818…=0,43(18) .
Odgovor:
0,43(18) .
U zaključku ovog paragrafa otkrit ćemo koji se obični razlomci mogu pretvoriti u konačne decimalne razlomke, a koji se mogu pretvoriti samo u periodične.
Neka je pred nama nesvodivi obični razlomak (ako je razlomak svodiv, onda prvo izvršimo redukciju razlomka), a trebamo saznati u koji decimalni razlomak se on može pretvoriti - u konačni ili periodični.
Jasno je da ako se obični razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ..., onda se dobiveni razlomak može lako pretvoriti u konačni decimalni razlomak prema pravilima o kojima se govori u prethodnom paragrafu. Ali na nazivnike 10, 100, 1000 itd. nisu navedeni svi obični razlomci. Na takve nazivnike mogu se svesti samo razlomci, čiji je nazivnik barem jedan od brojeva 10, 100, ... A koji brojevi mogu biti djelitelji 10, 100, ...? Na ovo pitanje odgovorit će nam brojevi 10, 100, …, a oni su sljedeći: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Iz toga slijedi da su djelitelji 10, 100, 1000 itd. mogu postojati samo brojevi čija dekompozicija na proste faktore sadrži samo brojeve 2 i (ili) 5 .
Sada možemo donijeti opći zaključak o pretvorbi običnih razlomaka u decimalne razlomke:
- ako su samo brojevi 2 i (ili) 5 prisutni u rastavljanju nazivnika na proste faktore, tada se taj razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;
- ako uz dvojku i peticu ima još drugih u proširenju nazivnika primarni brojevi, onda se ovaj razlomak prevodi u beskonačni decimalni periodični razlomak.
Primjer.
Bez pretvaranja običnih razlomaka u decimale, recite mi koji se od razlomaka 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 mogu pretvoriti u konačni decimalni razlomak, a koji se može pretvoriti samo u periodični.
Riješenje.
Rastavljanje na proste faktore nazivnika razlomka 47/20 ima oblik 20=2 2 5 . U ovom proširenju postoje samo dvojke i petice, pa se ovaj razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000, ... (u ovom primjeru na nazivnik 100), dakle, može se pretvoriti u konačnu decimalu frakcija.
Rastavljanje na proste faktore nazivnika razlomka 7/12 ima oblik 12=2 2 3 . Budući da sadrži jednostavni faktor 3 različit od 2 i 5, ovaj se razlomak ne može prikazati kao konačni decimalni razlomak, ali se može pretvoriti u periodični decimalni razlomak.
Frakcija 21/56 - kontraktibilan, nakon redukcije poprima oblik 3/8. Rastavljanje nazivnika na proste faktore sadrži tri faktora jednaka 2, stoga se obični razlomak 3/8, a time i njemu jednak razlomak 21/56, može prevesti u konačni decimalni razlomak.
Konačno, proširenje nazivnika razlomka 31/17 je samo po sebi 17, stoga se ovaj razlomak ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak, ali se može pretvoriti u beskonačni periodični.
Odgovor:
47/20 i 21/56 mogu se pretvoriti u konačnu decimalu, dok se 7/12 i 31/17 mogu pretvoriti samo u periodičku decimalu.
Obični razlomci ne pretvaraju se u beskonačne decimale koje se ne ponavljaju
Informacije iz prethodnog odlomka postavljaju pitanje: "Može li se dobiti beskonačni neperiodični razlomak kada se brojnik razlomka podijeli s nazivnikom"?
Odgovor: ne. Pri prevođenju običnog razlomka može se dobiti ili konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični decimalni razlomak. Objasnimo zašto je to tako.
Iz teorema o djeljivosti s ostatkom jasno je da je ostatak uvijek manji od djelitelja, odnosno ako neki cijeli broj podijelimo s cijelim brojem q, tada samo jedan od brojeva 0, 1, 2, ..., q −1 može biti ostatak. Iz toga slijedi da će nakon što se završi dijeljenje cijelog broja brojnika običnog razlomka s nazivnikom q, nakon najviše q koraka, doći do jedne od sljedeće dvije situacije:
- ili dobijemo ostatak 0, ovo će završiti dijeljenje i dobit ćemo konačni decimalni razlomak;
- ili ćemo dobiti ostatak koji se već prije pojavio, nakon čega će se ostaci početi ponavljati kao u prethodnom primjeru (budući da se pri dijeljenju jednakih brojeva s q dobivaju jednaki ostaci, što slijedi iz već spomenutog teorema o djeljivosti), pa dobit će se beskonačni periodični decimalni razlomak.
Ne mogu postojati druge mogućnosti, stoga se pri pretvaranju običnog ulomka u decimalni ulomak ne može dobiti beskonačni neperiodični decimalni ulomak.
Iz obrazloženja navedenog u ovom paragrafu također proizlazi da je duljina perioda decimalnog razlomka uvijek manja od vrijednosti nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka.
Pretvorite decimale u obične razlomke
Sada shvatimo kako pretvoriti decimalni razlomak u obični. Počnimo pretvaranjem konačnih decimala u obične razlomke. Nakon toga razmotrite metodu invertiranja beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka. Zaključno, recimo o nemogućnosti pretvaranja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke.
Pretvaranje krajnjih decimala u obične razlomke
Dobivanje običnog razlomka, koji je zapisan kao konačni decimalni razlomak, vrlo je jednostavno. Pravilo za pretvaranje konačnog decimalnog razlomka u obični razlomak sastoji se od tri koraka:
- prvo zadani decimalni razlomak upišite u brojnik, prethodno odbacivši decimalnu točku i sve nule s lijeve strane, ako ih ima;
- drugo, upišite jedan u nazivnik i dodajte mu onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalne točke u izvornom decimalnom razlomku;
- treće, ako je potrebno, smanjite rezultirajuću frakciju.
Razmotrimo primjere.
Primjer.
Pretvorite decimalno 3,025 u obični razlomak.
Riješenje.
Uklonimo li decimalnu točku u izvornom decimalnom razlomku, tada ćemo dobiti broj 3025. Nema nula s lijeve strane koje bismo odbacili. Dakle, u brojnik traženog razlomka upisujemo 3025.
Broj 1 upisujemo u nazivnik i desno od njega dodamo 3 nule, jer u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke postoje 3 znamenke.
Dakle, dobili smo obični razlomak 3 025/1 000. Ovaj se razlomak može smanjiti za 25, dobivamo 
.
Odgovor:
.
Primjer.
Pretvorite decimalni broj 0,0017 u obični razlomak.
Riješenje.
Bez decimalne točke izvorni decimalni razlomak izgleda kao 00017, odbacivanjem nula s lijeve strane dobivamo broj 17 koji je brojnik željenog običnog razlomka.
U nazivnik upisujemo jedinicu s četiri nule, jer u izvornom decimalnom razlomku iza decimalne točke postoje 4 znamenke.
Kao rezultat, imamo obični razlomak 17/10 000. Ovaj razlomak je nesvodiv, a pretvorba decimalnog razlomka u obični je završena.
Odgovor:
.
Kada je cjelobrojni dio izvornog konačnog decimalnog razlomka različit od nule, tada se može odmah pretvoriti u mješoviti broj, zaobilazeći obični razlomak. Dajmo pravilo za pretvaranje konačne decimale u mješoviti broj:
- broj ispred decimalne točke mora biti zapisan kao cijeli dio željenog mješovitog broja;
- u brojniku frakcijskog dijela trebate napisati broj dobiven iz frakcijskog dijela izvornog decimalnog razlomka nakon što ste u njemu odbacili sve nule s lijeve strane;
- u nazivnik razlomka potrebno je upisati broj 1, kojemu s desne strane dodati onoliko nula koliko ima znamenki u unosu izvornog decimalnog razlomka iza decimalne točke;
- ako je potrebno, smanjite razlomački dio dobivenog mješovitog broja.
Razmotrimo primjer pretvaranja decimalnog razlomka u mješoviti broj.
Primjer.
Izrazite decimalu 152,06005 kao mješoviti broj
Do racionalni broj m / n je napisan kao decimalni razlomak, potrebno je podijeliti brojnik nazivnikom. U tom slučaju kvocijent se piše kao konačni ili beskonačni decimalni razlomak.
Napiši zadani broj kao decimalu.
Riješenje. Podijelite brojnik svakog razlomka s njegovim nazivnikom: a) podijeli 6 sa 25; b) podijeliti 2 sa 3; u) podijelite 1 s 2, a zatim dobiveni razlomak dodajte jedinici - cjelobrojnom dijelu ovog mješovitog broja.
Nesvodivi obični razlomci čiji nazivnici ne sadrže proste djelitelje osim 2 i 5 , zapisuju se kao posljednji decimalni razlomak.
NA primjer 1 kada a) nazivnik 25=5 5; kada u) nazivnik je 2, pa smo dobili konačne decimale 0,24 i 1,5. Kada b) nazivnik je 3, pa se rezultat ne može napisati kao konačna decimala.
Je li moguće, bez dijeljenja u stupac, pretvoriti takav obični razlomak u decimalni razlomak, čiji nazivnik ne sadrži druge djelitelje, osim 2 i 5? Idemo to shvatiti! Koji se razlomak naziva decimalnim i piše bez razlomačke crte? Odgovor: razlomak s nazivnikom 10; 100; 1000 itd. I svaki od ovih brojeva je proizvod jednak broj dvojke i petice. Zapravo: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 itd.
Stoga će nazivnik nesvodivog običnog razlomka trebati predstaviti kao umnožak dvojki i petica, a zatim pomnožiti s 2 i (ili) 5 tako da dvojke i petice postanu jednaki. Tada će nazivnik razlomka biti jednak 10 ili 100 ili 1000, itd. Kako se vrijednost razlomka ne bi promijenila, brojnik razlomka pomnožimo s istim brojem kojim smo pomnožili nazivnik.
Izrazite sljedeće razlomke kao decimalne brojeve:
Riješenje. Svaki od ovih razlomaka je nesvodiv. Rastavimo nazivnik svakog razlomka na proste faktore.
20=2 2 5. Zaključak: fali jedna "petica".
8=2 2 2. Zaključak: nisu dovoljne tri "petice".
25=5 5. Zaključak: nedostaju dvije "dvojke".
Komentar. U praksi se često ne koriste faktoriziranjem nazivnika, već jednostavno postavljaju pitanje: s koliko treba pomnožiti nazivnik da rezultat bude jedinica s nulama (10 ili 100 ili 1000 itd.). I onda se brojnik množi s istim brojem.
Dakle, u slučaju a)(primjer 2) od broja 20 možete dobiti 100 množenjem sa 5, dakle, potrebno je brojnik i nazivnik pomnožiti sa 5.
Kada b)(primjer 2) od broja 8 neće uspjeti broj 100, ali će se broj 1000 dobiti množenjem sa 125. I brojnik (3) i nazivnik (8) razlomka se množe sa 125.
Kada u)(primjer 2) od 25 dobijete 100 kada pomnožite s 4. To znači da se i brojnik 8 mora pomnožiti s 4.
Zove se beskonačni decimalni razlomak u kojem se jedna ili više znamenki uvijek ponavljaju u istom nizu časopis decimalni razlomak. Skup znamenki koje se ponavljaju naziva se periodom ovog razlomka. Radi sažetosti, period razlomka piše se jednom, zatvarajući ga u zagrade.
Kada b)(primjer 1 ) ponovljena znamenka je jedan i jednaka je 6. Stoga će naš rezultat 0,66... biti napisan ovako: 0,(6) . Oni glase: nula cijelih brojeva, šest u točki.
Ako između zareza i prve točke postoji jedna ili više znamenki koje se ne ponavljaju, tada se takav periodički razlomak naziva mješoviti periodički razlomak.
Nesvodivi obični razlomak čiji nazivnik zajedno s ostalima množitelj sadrži množitelj 2 ili 5 , postaje mješoviti periodički razlomak.
Zapišite broj kao decimalu.
Decimal frakcija- raznolikost razlomci, koji u nazivniku ima "okrugli" broj: 10, 100, 1000 itd., npr. frakcija 5/10 ima decimalni zapis od 0,5. Na temelju ovog principa, frakcija može se predstaviti u oblik decimal razlomci.
Uputa
Pretpostavimo da trebamo zamisliti oblik decimal frakcija 18/25.
Najprije se morate uvjeriti da se u nazivniku pojavljuje jedan od "okruglih" brojeva: 100, 1000 itd. Da biste to učinili, trebate pomnožiti nazivnik s 4. Ali s 4, morat ćete pomnožiti i brojnik i nazivnik.
Množenje brojnika i nazivnika razlomci 18/25 puta 4 je 72/100. Ovo se snima frakcija u decimalnom oblik dakle: 0,72.
Razlomak u matematici je racionalan broj jednak jednom ili više dijelova na koje je jedinica podijeljena. U tom slučaju, zapis razlomka mora sadržavati naznaku dva broja: jedan od njih označava točno na koliko je dionica jedinica podijeljena pri stvaranju ovog razlomka, a drugi - koliko tih dionica uključuje frakcijski broj. Ako su ova dva broja napisana kao brojnik i nazivnik odvojeni crtom, tada se ovaj format zapisa naziva "običnim" razlomkom. Međutim, postoji još jedan format za pisanje razlomaka, koji se zove "decimalni".
Trokatni oblik pisanja brojeva, u kojem se nazivnik nalazi iznad brojnika, a između njih postoji i linija za razdvajanje, nije uvijek prikladan. Posebno se ta neugodnost počela manifestirati masovnom distribucijom osobnih računala. Decimalni oblik predstavljanja razlomaka lišen je ovog nedostatka - u njemu nije potrebno navesti brojnik, jer je po definiciji uvijek jednak deset na negativnu potenciju. Stoga se razlomački broj može napisati u jednom retku, iako će njegova duljina u većini slučajeva biti puno veća od duljine odgovarajućeg običnog razlomka.
Još jedna prednost pisanja brojeva u decimalnom formatu je ta što ih je mnogo lakše usporediti. Budući da je nazivnik svake znamenke dvaju takvih brojeva isti, dovoljno je usporediti samo dvije znamenke odgovarajućih znamenki, dok se pri usporedbi običnih razlomaka moraju uzeti u obzir i brojnik i nazivnik svakoga od njih. Ova prednost nije važna samo za ljude, već i za računala - usporedbu brojeva u decimalnom formatu dovoljno je jednostavno programirati.
Postoje stoljećima stara pravila za zbrajanje, množenje i druge matematičke operacije koje vam omogućuju izračune na papiru ili u vašem umu s brojevima u decimalnom formatu. Ovo je još jedna prednost ovog formata u odnosu na obične razlomke. Iako se razvojem računalne tehnologije, kada je kalkulator čak i u satu, sve manje primjećuje.
Opisane prednosti decimalnog formata za zapis razlomaka pokazuju da je njegova glavna svrha pojednostaviti rad s matematičke veličine. Ovaj format ima i nedostatke - na primjer, da biste periodične razlomke zapisali u decimalni razlomak, također morate dodati broj u zagradama, a iracionalni brojevi u decimalnom formatu uvijek imaju približnu vrijednost. Međutim, na trenutnoj razini razvoja ljudi i njihovih tehnologija, mnogo je praktičniji za korištenje od uobičajenog formata za snimanje razlomaka.
Decimalni razlomak je razlomak u kojem je nazivnik prirodna potencija broja 10. Takav je, na primjer, razlomak. Taj se razlomak može napisati u sljedećem obliku: brojeve brojnika upišite u red i odvojite s zarez s desne strane onoliko koliko ih ima nula u nazivniku, naime:
U takvom zapisu, brojevi s lijeve strane decimalne zareze čine cijeli dio, a brojevi s desne strane decimalne zareze čine razlomački dio tog decimalnog razlomka.
Neka je p/q neki pozitivan racionalni broj. Iz aritmetike je dobro poznat proces dijeljenja, koji vam omogućuje da broj predstavite kao decimalni razlomak. Bit procesa dijeljenja je da prvo nađete koji je najveći cijeli broj puta q sadržan u p; ako je p višekratnik q, onda ovdje proces dijeljenja završava. U protivnom se pojavljuje ostatak. Zatim pronalaze koliko je desetina q sadržano u tom ostatku, i na ovom koraku proces može završiti ili će se pojaviti novi ostatak. U potonjem slučaju, pronađite koliko stotinki q sadrži, i tako dalje.
Ako nazivnik q nema drugih prostih djelitelja osim 2 ili 5, tada će nakon konačnog broja koraka ostatak biti jednak nuli, proces dijeljenja će završiti i zadani obični razlomak pretvorit će se u konačni decimalni razlomak. Zapravo, u ovom slučaju uvijek možete odabrati takav cijeli broj da nakon množenja brojnika i nazivnika zadanog razlomka s njim dobijete razlomak jednak njemu, u kojem će nazivnik biti prirodna potencija desetice. Takav je, na primjer, razlomak
koji se može predstaviti na sljedeći način:
Međutim, bez ovih transformacija, dijeljenjem brojnika s nazivnikom, čitatelj će dobiti isti rezultat:
Ako nazivnik nesvodljivog razlomka ima barem jedan prosti djelitelj osim 2 ili 5, tada proces dijeljenja s q nikada neće završiti (nijedan od sljedećih ostataka neće se pretvoriti u nulu).
Nakon dijeljenja nalazimo
Za zapisivanje rezultata dobivenog u ovom primjeru, brojevi 0 i 6 koji se periodički ponavljaju stavljaju se u zagrade i pišu:
U ovom primjeru i drugim sličnim slučajevima, operacija dijeljenja ne rezultira konačnim decimalnim rezultatom. Moguće je, generalizirajući pojam decimalnog razlomka, ipak reći da je kvocijent 965/132 predstavljen beskonačnim periodičnim razlomkom. Brojevi koji se ponavljaju 06 nazivaju se periodom tog razlomka, a njihov broj, jednak u našem primjeru, je duljina razdoblja.
Da bismo razumjeli razlog fenomena periodičnosti razlomka, analizirajmo, na primjer, proces dijeljenja sa 7. Ako dijeljenje nije u potpunosti obavljeno, tada se pojavljuje ostatak, koji može imati samo jednu od sljedećih vrijednosti: : 1, 2, 3, 4, 5, 6. I na svakom od sljedećih koraka ostatak će opet imati jednu od ovih šest vrijednosti. Stoga, najkasnije u sedmom koraku, neizbježno ćemo se susresti s jednom od preostalih vrijednosti koje su se već pojavile. Počevši od ove točke, proces dijeljenja će postati periodičan. Povremeno će se ponavljati i vrijednosti ostataka i brojevi kvocijenta. Ovo razmišljanje je primjenjivo u slučaju bilo kojeg drugog djelitelja.
Dakle, svaki obični razlomak predstavljen je konačnim ili beskonačnim periodičkim decimalnim razlomkom. Zanimljivo je da se, obrnuto, bilo koji periodični decimalni razlomak može prikazati kao običan razlomak. Pokažimo kako se ova radnja izvodi. U ovom slučaju koristi se formula za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije (paragraf 92).
može se shvatiti ovako:
ovdje članovi desne strane, počevši od druge, čine beskonačnu geometrijsku progresiju s nazivnikom i prvim članom
Korištenje formule (92.2):
Jasno je da će isti postupak omogućiti bilo kojem danom beskonačnom periodičnom razlomku da bude predstavljen u obliku običnog razlomka (i, kao što se može pokazati, upravo onog iz kojeg se dani beskonačni periodički razlomak dobiva u procesu podjela). Međutim, ovdje postoji jedna iznimka. Razmotrimo razlomak
i primijeniti na njega postupak pretvaranja u obični razlomak:
Došli smo do broja 1/2, koji je predstavljen konačnim decimalnim razlomkom
Sličan rezultat će se dobiti kad god period zadanog beskonačnog razlomka ima oblik (9). Stoga identificiramo takve parove brojeva, kao što su npr.
Ponekad je također korisno dopustiti zapise obrasca
predstavljajući formalno konačne decimalne razlomke kao beskonačne s točkom (0).
Sve rečeno o pretvorbi običnog razlomka u decimalni periodični razlomak i obrnuto primijenjeno na pozitivne racionalne brojeve. U slučaju negativnog broja, možete učiniti dvije stvari.
1) Uzmite pozitivan broj nasuprot zadanom negativnom broju, pretvorite ga u decimalni razlomak, a zatim stavite znak minus ispred njega. Na primjer, za - 5/3 dobivamo
2) Predstavite ovaj negativni racionalni broj kao zbroj njegovog cijelog (negativnog) i razlomačkog dijela (nenegativnog), a zatim samo taj razlomački dio broja pretvorite u decimalni razlomak. Na primjer:
Za pisanje brojeva predstavljenih kao zbroj njihovog negativnog cijelog dijela i konačnog ili beskonačnog decimalnog razlomka, usvojena je sljedeća oznaka (umjetni oblik pisanja negativnog broja):
Ovdje se znak minus ne stavlja ispred cijelog razlomka, već iznad njegovog cijelog dijela, kako bi se naglasilo da je samo cijeli dio negativan, a razlomak iza zareza pozitivan.
Ovakav zapis stvara ujednačenost u zapisu pozitivnih i negativnih decimalnih razlomaka i koristit će se u budućnosti u teoriji decimalnih logaritama (odjeljak 28). Predlažemo čitatelju da u praksi provjeri prijelaz s jednog zapisa na drugi u primjerima:
Sada je već moguće formulirati konačni zaključak: bilo koji racionalni broj može se prikazati beskonačnim decimalnim periodičnim razlomkom, i obrnuto, svaki takav razlomak definira racionalni broj. Konačni decimalni razlomak dopušta i dva oblika zapisa u obliku beskonačnog decimalnog razlomka: s točkom (0) i s točkom (9).
Već unutra osnovna škola učenici se bave razlomcima. I onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti akcije s ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve u redu.
Zašto su razlomci potrebni?
Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Stoga nema potrebe za dionicama. Ali svakidašnjica stalno tjera ljude da rade s dijelovima predmeta i stvari.
Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko kriški. Razmotrimo situaciju u kojoj njegovu pločicu čini dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva dijela, dobit ćete 6 dijelova. Dobro će se podijeliti na tri. Ali pet neće moći dati cijeli broj kriški čokolade.
Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.
Što je "razlomak"?
Ovo je broj koji se sastoji od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova značajka naziva se frakcijska. Broj napisan gore (lijevo) naziva se brojnik. Onaj dolje (desno) je nazivnik.
Zapravo, ispada da je razlomačka crta znak dijeljenja. Odnosno, brojnik se može nazvati dividendom, a nazivnik djeliteljem.
Što su razlomci?
U matematici ih postoje samo dvije vrste: obični i decimalni razlomci. Školarci se s prvašima upoznaju u osnovnim razredima, nazivajući ih jednostavno “razlomci”. Drugi uče u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.
Obični razlomci su svi oni koji su napisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomački dio ima položajni zapis i odvojen je zarezom od cijelog broja. Na primjer, 4.7. Učenicima treba biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.
Svaki prosti razlomak može se napisati kao decimalni broj. Ova izjava je gotovo uvijek istinita i obrnuto. Postoje pravila koja vam omogućuju pisanje decimalnog razlomka kao običnog razlomka.
Koje podvrste imaju ove vrste razlomaka?
Bolje je početi kronološkim redom, budući da se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.
Točno. Njegov brojnik uvijek je manji od nazivnika.
krivo Njegov brojnik je veći ili jednak nazivniku.
Smanjiv / nesvodljiv. Može biti ispravno ili pogrešno. Bitno je još nešto, imaju li brojnik i nazivnik zajedničke faktore. Ako ih ima, onda trebaju podijeliti oba dijela razlomka, odnosno smanjiti ga.
Mješoviti. Cijeli broj se pridružuje njegovom uobičajenom ispravnom (netočnom) razlomačkom dijelu. I uvijek stoji s lijeve strane.
Kompozitni. Formira se od dvije frakcije međusobno podijeljene. To jest, ima tri frakcijske značajke odjednom.
Decimale imaju samo dvije podvrste:
konačni, odnosno onaj u kojem je razlomački dio ograničen (ima kraj);
beskonačno - broj čije znamenke iza decimalne točke ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).
Kako pretvoriti decimalni u obični?
Ako je to konačan broj, tada se primjenjuje asocijacija po pravilu - kako čujem, tako i napišem. Odnosno, trebate ga pravilno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.
Kao savjet o potrebnom nazivniku, zapamtite da je to uvijek jedan i nekoliko nula. Potonje treba napisati onoliko koliko ima znamenki u razlomku dotičnog broja.
Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako njihov cijeli dio nedostaje, odnosno jednak je nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispostavlja se da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomke. Za prvi broj, nazivnik će biti 10, za drugi - 100. To jest, navedeni primjeri će imati brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štoviše, pokazalo se da je potonji moguće smanjiti za 5. Stoga, rezultat za njega mora biti zapisan 1/20.
Kako od decimale napraviti običan razlomak ako je njegov cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. Oba primjera čitaju cijeli broj i pišu njegovu vrijednost. U prvom slučaju, ovo je 5, u drugom, 13. Zatim morate prijeći na frakcijski dio. S njima je potrebno provesti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost potrebno je ponovno smanjiti. Odgovor su mješoviti razlomci: 5 23/100 i 13 27/25000.
Kako pretvoriti beskonačnu decimalu u obični razlomak?
Ako je neperiodičan, tada se takva operacija ne može provesti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara u konačni ili periodični.
Jedino što je dopušteno učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka tom beskonačnom. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvaranje u decimale - nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne prevode u obične razlomke. Ovo se mora zapamtiti.
Kako napisati beskonačni periodični razlomak u obliku običnog?
U ovim brojevima iza decimalne točke uvijek se pojavljuje jedna ili više znamenki koje se ponavljaju. Zovu se mjesečnice. Na primjer, 0,3(3). Ovdje "3" u razdoblju. Klasificiraju se kao racionalni jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.
Oni koji su se susreli s periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju točka počinje odmah od zareza. U drugom, frakcijski dio počinje bilo kojim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.
Pravilo po kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za ove dvije vrste brojeva. Lako je čiste periodične razlomke napisati kao obične razlomke. Kao i završne, potrebno ih je pretvoriti: upišite točku u brojnik, a broj 9 će biti nazivnik, ponavljajući onoliko puta koliko ima znamenki u točki.
Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli dio, pa morate odmah prijeći na frakcijski dio. U brojnik upiši 5, a u nazivnik 9. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.
Pravilo kako napisati običan decimalni razlomak koji je mješoviti razlomak.
Pogledajte duljinu razdoblja. Dakle, 9 će imati nazivnik.
Zapišite nazivnik: prvo devetke, zatim nule.
Za određivanje brojnika potrebno je napisati razliku dvaju brojeva. Sve znamenke nakon decimalne točke bit će smanjene, zajedno s točkom. Oduzima se - bez točke je.
Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao obični razlomak. Razlomak prije točke je jedna znamenka. Dakle, nula će biti jedan. U točki je također samo jedna znamenka - 8. Odnosno, postoji samo jedna devetka. Odnosno, trebate napisati 90 u nazivniku.
Da biste odredili brojnik od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Na primjer, morat ćete napisati 53/90 kao odgovor.
Kako se obični razlomci pretvaraju u decimale?
Najjednostavnija opcija je broj čiji je nazivnik broj 10, 100 i tako dalje. Tada se nazivnik jednostavno odbaci, a između razlomaka i cijelog broja stavi se zarez.
Postoje situacije kada se nazivnik lako pretvori u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti s 2, 5 odnosno 4. Samo je potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik istim brojem.
Za sve ostale slučajeve dobro će doći jednostavno pravilo: brojnik podijelite nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.
Operacije s običnim razlomcima
Zbrajanje i oduzimanje
Učenici ih upoznaju ranije od ostalih. I razlomci u početku imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila mogu se svesti na takav plan.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.
Napiši dodatne faktore svim običnim razlomcima.
Pomnožite brojnike i nazivnike faktorima definiranim za njih.
Zbrojite (oduzmite) brojnike razlomaka, a zajednički nazivnik ostavite nepromijenjenim.
Ako je brojnik umanjenika manji od oduzetog, tada morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.
U prvom slučaju, cijeli broj treba uzeti jedan. Dodajte nazivnik brojniku razlomka. I onda izvršite oduzimanje.
U drugom - potrebno je primijeniti pravilo oduzimanja od manjeg broja do većeg. Odnosno, oduzmite modul umanjenika od modula umanjenika i stavite znak "-" kao odgovor.
Pažljivo pogledajte rezultat zbrajanja (oduzimanja). Ako dobijete netočan razlomak, tada treba odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojnik s nazivnikom.
Množenje i dijeljenje
Za njihovu provedbu razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. To olakšava poduzimanje radnji. Ali svejedno moraju poštovati pravila.
Pri množenju običnih razlomaka potrebno je uzeti u obzir brojeve u brojnicima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, tada se mogu smanjiti.
Pomnožite brojnike.
Pomnožite nazivnike.
Ako dobijete reducibilni razlomak, onda ga treba ponovno pojednostaviti.
Kod dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijenite brojnik i nazivnik).
Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od točke 1).
U zadacima u kojima treba množiti (dijeliti) cijelim brojem, potonji bi trebao biti zapisan kao nepravi razlomak. To jest, s nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.
Operacije s decimalama
Zbrajanje i oduzimanje
Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u običan razlomak. I postupite prema već opisanom planu. Ali ponekad je prikladnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje biti potpuno ista.
Izjednačite broj znamenki u razlomačkom dijelu broja, odnosno iza decimalne točke. Dodijeli mu broj nula koji nedostaje.
Napiši razlomke tako da zarez bude ispod zareza.
Zbrajati (oduzimati) kao prirodne brojeve.
Uklonite zarez.
Množenje i dijeljenje
Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti kako su dani u primjeru. I onda idite po planu.
Za množenje morate pisati razlomke jedan ispod drugog, ne obraćajući pažnju na zareze.
Množite kao prirodne brojeve.
Stavite zarez u odgovor, brojeći od desnog kraja odgovora onoliko znamenki koliko ih ima u razlomcima oba faktora.
Da biste podijelili, prvo morate pretvoriti djelitelj: napravite ga prirodni broj. Odnosno, pomnožite ga s 10, 100 itd., ovisno o tome koliko je znamenki u razlomačkom dijelu djelitelja.
Pomnožite dividendu s istim brojem.
Podijelite decimalu prirodnim brojem.
U odgovor stavite zarez u trenutku kada završi dijeljenje cijelog dijela.
Što ako u jednom primjeru postoje obje vrste razlomaka?
Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvoditi operacije na običnim i decimalnim razlomcima. Dva su moguća rješenja ovih problema. Trebate objektivno odvagnuti brojke i odabrati najbolju.
Prvi način: predstavlja obične decimale
Prikladno je ako se pri dijeljenju ili pretvaranju dobiju konačni udjeli. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.
Drugi način: decimalne razlomke zapišite kao obične
Ova tehnika je prikladna ako postoje 1-2 znamenke u dijelu nakon decimalne točke. Ako ih ima više, može ispasti vrlo veliki obični razlomak, a decimalni unosi će vam omogućiti da brže i lakše izračunate zadatak. Stoga je uvijek potrebno trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniju metodu rješenja.