Slučajna varijabla x ima gustoću distribucije vjerojatnosti. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable. Primjer rješenja. Gustoća vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable

1. Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable je njezina iscrpna probabilistička karakteristika. Ali ima nedostatak koji se sastoji u činjenici da je teško procijeniti prirodu distribucije slučajne varijable u malom susjedstvu jedne ili druge točke numeričke osi. Vizualniji prikaz prirode distribucije kontinuirane slučajne varijable u blizini različitih točaka daje funkcija koja se naziva gustoća distribucije vjerojatnosti ili diferencijalni zakon distribucije slučajne varijable. U ovom ćemo pitanju razmotriti distribuciju gustoće vjerojatnosti i njezina svojstva.

Neka postoji kontinuirana slučajna varijabla x s distribucijskom funkcijom. Izračunajmo vjerojatnost pogađanja ove slučajne varijable na elementarnom segmentu
:

Sastavite omjer ove vjerojatnosti i duljine dionice
:

Dobiveni omjer naziva se prosječna vjerojatnost,što je po jedinici duljine ovog segmenta.

Uzimajući u obzir funkciju distribucije F(X) diferencijabilan, prelazimo u jednakosti (1) do limita na
; tada dobivamo:

Granica omjera vjerojatnosti pogotka kontinuirane slučajne varijable na elementarnoj dionici od x do x + ∆x prema duljini te dionice ∆x, kada je ∆x teži nuli, naziva se gustoća distribucije slučajne varijable u točki x i označava sef (x).

Na temelju jednakosti (2), gustoća distribucije f(X) jednak izvodu funkcije distribucije F(X), tj.

.

Značenje gustoće distribucije f(X) je da pokazuje koliko se često slučajna varijabla pojavljuje x u nekom susjedstvu točke x kod ponavljanja eksperimenata.

Krivulja koja prikazuje gustoću distribucije f(X) zove se slučajna varijabla distribucijska krivulja. Približan prikaz krivulje distribucije prikazan je na sl.1.

Imajte na umu da ako moguće vrijednosti slučajne varijable ispunjavaju neki konačni interval, tada je gustoća distribucije f(x) = 0 izvan ovog intervala.

Izdvojimo na apscisnoj osi elementarni presjek ∆ x, uz točku x(Sl. 2), te pronaći vjerojatnost pogotka slučajne varijable x ovom području. S jedne strane, ta je vjerojatnost jednaka prirastu
funkcije distribucije F(X), odgovarajući prirast ∆ x= dx argument X. IZ s druge strane, vjerojatnost pogađanja slučajne varijable x na osnovno područje dxS na infinitezimale višeg reda od ∆ x jednako je f(x) dx (jer ∆ F(x)≈ dF(x) =f (x) dx). Geometrijski, ovo je područje elementarnog pravokutnika s visinom f(x) i temelj dx (slika 2). Vrijednost f (x) dx nazvao element vjerojatnosti.

Treba napomenuti da nisu sve slučajne varijable čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval kontinuirane slučajne varijable. Postoje takve slučajne varijable čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval, ali za koje funkcija distribucije nije svugdje kontinuirana, već trpi diskontinuitete u određenim točkama. Takve slučajne varijable nazivamo mješoviti. Tako je, na primjer, u problemu detekcije signala u šumu korisna amplituda signala miješana slučajna varijabla x, koji može imati bilo koju vrijednost, pozitivnu ili negativnu.

Dajmo sada strožu definiciju kontinuirane slučajne varijable.

Slučajna vrijednostxnazivamo kontinuiranom ako je njegova funkcija raspodjeleF(x\ je kontinuiran na cijeloj x-osi, a gustoća distribucijef (x) postoji svugdje, osim možda za konačni broj točaka.

Razmotrite svojstva gustoće distribucije.

Svojstvo 1.Gustoća distribucije je nenegativna, tj.

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz činjenice da gustoća distribucije
je derivacija neopadajuće funkcije distribucije F(x).

Svojstvo 2. Funkcija distribucije slučajne varijable jednaka je integralu gustoće u rasponu od –∞ do x, tj.

. (3)

Svojstvo 3.Vjerojatnost pogađanja kontinuirane slučajne varijablexna stranicu
jednak je integralu gustoće distribucije uzetom u ovom odsječku, tj.

. (4)

Svojstvo 4. Integral u beskonačnim granicama gustoće raspodjele jednak je jedinici:

.

Ako interval mogućih vrijednosti slučajne varijable ima konačne granice a i b, zatim gustoća distribucije f(X)= 0 izvan raspona
a svojstvo 4 se tada može napisati kao:

.

Primjer. Slučajna vrijednost x pokorava se zakonu raspodjele s gustoćom

.

Potreban:

1) Pronađite koeficijent a.

2) Pronađite vjerojatnost pogotka slučajne varijable u području od 0 do .

Riješenje. 1) Za određivanje koeficijenta a koristimo svojstvo 4 gustoće distribucije:

,

gdje .

2) Prema formuli (4) imamo:

.

Moda
kontinuirana slučajna varijabla X naziva se vrijednost pri kojoj je gustoća raspodjele najveća.

Medijan kontinuirana slučajna varijabla X naziva se njegova vrijednost, za koju je jednako vjerojatno hoće li slučajna varijabla biti manja ili veća , to je:

Geometrijski, moda je apscisa one točke krivulje distribucije, čija je ordinata najveća (za diskretnu slučajnu varijablu, moda je apscisa točke poligona s maksimalnom ordinatom).

Geometrijski, medijan je apscisa točke u kojoj je površina omeđena krivuljom distribucije podijeljena na pola.

Imajte na umu da ako je distribucija unimodalna i simetrična, tada su srednja vrijednost, mod i medijan isti.

Primijetimo također da treći središnji moment ili zakrivljenost je karakteristika "zakrivljenosti" distribucije. Ako je distribucija simetrična u odnosu na matematičko očekivanje, tada za krivulju distribucije (histogram)
. Četvrti središnji trenutak služi za karakterizaciju šiljate ili ravne distribucije. Ova svojstva distribucije opisuju se pomoću tzv kurtosis. O formulama za određivanje zakrivljenosti i kurtoze govorili smo u prethodnom predavanju.

2.Normalna raspodjela

Među distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli središnje mjesto zauzima normalni zakon ili Gaussov zakon distribucije čija gustoća vjerojatnosti ima oblik:

, (5)

gdje
su parametri normalne distribucije.

Budući da normalna distribucija ovisi o dva parametra i
, tada se i zove dvoparametarska distribucija.

Zakon normalne distribucije primjenjuje se u slučajevima kada slučajna varijabla x rezultat je velikog broja različitih faktora. Svaki faktor zasebno po vrijednosti x malo utječe i nemoguće je odrediti koji u većoj mjeri od ostalih. Primjeri slučajnih varijabli koje imaju normalnu distribuciju su: odstupanje stvarnih dimenzija dijelova koji se obrađuju na stroju od nominalnih dimenzija, pogreške mjerenja, odstupanja tijekom snimanja i dr.

Dokažimo da je u formuli (5) parametar a je matematičko očekivanje, a parametar
– standardna devijacija:

.

Prvi od integrala je jednak nuli, jer je integrand neparan. Drugi integral je poznat kao Poissonov integral:

.

Izračunajmo varijancu:

.

Graf gustoće vjerojatnosti normalne distribucije naziva se normalna Gaussova krivulja (slika 3).

Napominjemo neka svojstva krivulje:

1. Funkcija gustoće vjerojatnosti definirana je na cijeloj numeričkoj osi tj
.

2. Raspon funkcija
, odnosno Gaussova krivulja se nalazi iznad x-osi i ne siječe je.

3. Grane Gaussove krivulje asimptotski teže prema osi
, to je

4. Krivulja je simetrična u odnosu na ravnu liniju
. Dakle, za normalnu distribuciju, matematičko očekivanje se podudara s modom i medijanom distribucije.

5. Funkcija ima jedan maksimum u točki s apscisom
, jednak
. S povećanjem
Gaussova krivulja postaje ravnija, a kako se smanjuje
- više "šiljasti".

6. Gaussova krivulja ima dvije točke infleksije s koordinatama
i
.

7.Ako pri konstanti
promijeniti matematičko očekivanje, tada će se Gaussova krivulja pomaknuti duž osi
: desno - pri povećanju a, a lijevo - kada se smanjuje.

8. Zakrivljenost i kurtoza za normalnu distribuciju su nula.

Pronađite vjerojatnost pogađanja slučajne varijable raspoređene prema normalnom zakonu na dijagramu
. Poznato je da

.

.

Korištenje promjene varijable

,

. (6)

Sastavni
nije izražen u terminima elementarnih funkcija, stoga se za izračun integrala (6) koriste tablice vrijednosti posebne funkcije, koja se naziva Laplaceova funkcija, a izgleda ovako:

.

Nakon jednostavnih transformacija dobivamo formulu za vjerojatnost da slučajna varijabla padne u zadani interval
:

. (7)

Laplaceova funkcija ima sljedeća svojstva:

1.
.

2.
je čudna funkcija.

3.
.

Graf funkcije distribucije prikazan je na sl.4.

Neka se traži izračunati vjerojatnost da je odstupanje normalno raspodijeljene slučajne varijable x u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi zadani pozitivni broj , odnosno vjerojatnost nejednakosti
.

Koristimo formulu (7) i svojstvo neobičnosti Laplaceove funkcije:

.

Stavimo
i izabrati
. Tada dobivamo:

.

To znači da za normalno raspodijeljenu slučajnu varijablu s parametrima a i
ispunjenje nejednakosti
je gotovo izvjestan događaj. Ovo je takozvano pravilo "tri sigme".

Očekivana vrijednost

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određena je jednakošću:

Dodjela usluge. Online kalkulator osmišljen za rješavanje problema u kojima bilo gustoća distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) (vidi primjer). Obično je u takvim zadacima potrebno pronaći matematičko očekivanje, standardna devijacija, crtanje funkcija f(x) i F(x).

Uputa. Odaberite vrstu ulaznih podataka: gustoća distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) .

Gustoća distribucije f(x) je dana:

Funkcija distribucije F(x) dana je:

Kontinuirana slučajna varijabla definirana je gustoćom vjerojatnosti
(Rayleighov zakon distribucije – koristi se u radiotehnici). Nađi M(x) , D(x) .

Poziva se slučajna varijabla X stalan , ako je njegova distribucijska funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u zadani interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
štoviše, za kontinuiranu slučajnu varijablu nije važno jesu li njezine granice uključene u ovaj interval ili ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustoća distribucije kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f(x)=F'(x) , izvod funkcije distribucije.

Svojstva gustoće distribucije

1. Gustoća distribucije slučajne varijable je nenegativna (f(x) ≥ 0) za sve vrijednosti x.
2. Uvjet normalizacije:

Geometrijsko značenje uvjeta normalizacije: površina ispod krivulje gustoće raspodjele jednaka je jedinici.
3. Vjerojatnost pogotka slučajne varijable X u intervalu od α do β može se izračunati po formuli

Geometrijski, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla X padne u interval (α, β) jednaka je površini krivuljastog trapeza ispod krivulje gustoće distribucije na temelju ovog intervala.
4. Funkcija distribucije izražava se u smislu gustoće na sljedeći način:

Vrijednost gustoće distribucije u točki x nije jednaka vjerojatnosti uzimanja te vrijednosti; za kontinuiranu slučajnu varijablu možemo govoriti samo o vjerojatnosti pada u zadani interval. Neka , ako njegova gustoća vjerojatnosti ima oblik:

Matematičko očekivanje i varijanca jednoliko raspodijeljene slučajne varijable definirani su izrazima

3.8. Slučajna vrijednost x ravnomjerno raspoređeni po segmentu. Nađi funkciju distribucije F(x), matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija vrijednosti.

Riješenje. Gustoća vjerojatnosti za količinu x izgleda kao:

Dakle, funkcija distribucije, izračunata formulom:

,

bit će napisan na sljedeći način:

Matematičko očekivanje će biti M x= (1 + 6)/2 = 3,5. Pronađite varijancu i standardnu ​​devijaciju:

Dx = (6 – 1) 2 /12 = 25/12, .

Normalna distribucija

Slučajna vrijednost x je normalno distribuiran ako njegova funkcija gustoće vjerojatnosti ima oblik:

gdje M x- očekivana vrijednost;

je standardna devijacija.

Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval ( a, b) nalazi se formulom

R(a < x < b) = F – F = F( z 2) – F( z 1), (5)

gdje je F( z) = je Laplaceova funkcija.

Vrijednosti Laplaceove funkcije za različita značenja z dati su u Dodatku 2.

3.9. Matematičko očekivanje normalno distribuirane slučajne varijable x jednaki M x= 5, varijanca je Dx= 9. Napiši izraz za gustoću vjerojatnosti.

3.10. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable x su 12 odnosno 2. Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost sadržanu u intervalu (14; 16).

Riješenje. Koristimo formulu (21.2), uzimajući u obzir da M x = 12, = 2:

R(14 < x < 16) = Ф((16 – 12)/2) – Ф(14 – 12)/2) = Ф(2) – Ф(1).

Prema tablici vrijednosti Laplaceove funkcije, nalazimo F(1) = 0,3413, F(2) = 0,4772. Nakon zamjene dobivamo vrijednost željene vjerojatnosti:

R(14 <x < 16) = 0,1359.

3.11. Postoji slučajna varijabla x, raspodijeljen prema normalnom zakonu, čije je matematičko očekivanje jednako 20, standardna devijacija jednaka 3. Nađite interval simetričan s obzirom na matematičko očekivanje, u kojem je s vjerojatnošću R= 0,9972 dobit će slučajnu varijablu.

Riješenje. Jer R(x 1 < x < x 2) = R= 2F(( x 2 – M x)/ ), tada F( z) = R/2 = 0,4986. Prema tablici Laplaceove funkcije nalazimo vrijednost z, što odgovara dobivenoj vrijednosti funkcije F( z) = 0,4986: z= 2,98. S obzirom na činjenicu da z = (x 2 – M x)/ , definiramo = x 2 – M x = z= 3 2,98 = 8,94. Željeni interval će izgledati kao (11.06; 28.94).

To uzimamo u obzir f(x) = F"(x). Tada dobivamo:

Zamjena u izrazu za matematičko očekivanje

.

Integrirajući po dijelovima, dobivamo M x= 1/ , ili M x = 1/0,1.

Za određivanje disperzije prvi član integriramo po dijelovima. Kao rezultat toga dobivamo:

.

Uzmimo u obzir pronađeni izraz za M x. Gdje

.

U ovom slučaju M x = 10, Dx = 100.

SUSTAVI SLUČAJNIH VARIJABLI

Neka je $X$ kontinuirana slučajna varijabla s funkcijom distribucije vjerojatnosti $F(x)$. Prisjetimo se definicije funkcije distribucije:

Definicija 1

Funkcija raspodjele je funkcija $F(x)$ koja zadovoljava uvjet $F\lijevo(x\desno)=P(X

Budući da je slučajna varijabla kontinuirana, tada će, kao što već znamo, funkcija distribucije vjerojatnosti $F(x)$ biti kontinuirana funkcija. Neka je $F\lijevo(x\desno)$ također diferencijabilan na cijeloj domeni definicije.

Razmotrimo interval $(x,x+\trokut x)$ (gdje je $\trokut x$ prirast od $x$). Na njega

Sada, puštajući da vrijednosti prirasta $\trokuta x$ teže nuli, dobivamo:

Slika 1.

Dakle, dobivamo:

Gustoća distribucije, kao i funkcija distribucije, jedan je od oblika zakona distribucije slučajne varijable. Međutim, zakon distribucije može se napisati u terminima gustoće distribucije samo za kontinuirane slučajne varijable.

Definicija 3

Krivulja distribucije je graf funkcije $\varphi \left(x\right)$, gustoće distribucije slučajne varijable (slika 1).

Slika 2. Grafički prikaz gustoće distribucije.

Geometrijski smisao 1: Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u interval $(\alpha ,\beta)$ jednaka je površini krivocrtnog trapeza omeđenog grafom funkcije distribucije $\varphi \left(x\right)$ i ravne linije $x=\alpha ,$ $x=\beta $ i $y=0$ (slika 2).

Slika 3. Geometrijski prikaz vjerojatnosti da kontinuirana slučajna varijabla padne u interval $(\alpha ,\beta)$.

Geometrijski smisao 2: Područje beskonačnog krivocrtnog trapeza omeđeno grafom funkcije distribucije $\varphi \left(x\right)$, pravcem $y=0$ i varijabilnim pravcem $x$ nije ništa drugo nego funkcija distribucije $ F(x)$ (slika 3).

Slika 4. Geometrijski prikaz funkcije vjerojatnosti $F(x)$ u smislu gustoće distribucije $\varphi \left(x\right)$.

Primjer 1

Neka funkcija raspodjele $F(x)$ slučajne varijable $X$ ima sljedeći oblik.

4. Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirana slučajna varijabla može se odrediti pomoću funkcije distribucije F(x) . Ovakav način postavljanja nije jedini. Kontinuirana slučajna varijabla također se može odrediti pomoću druge funkcije koja se naziva gustoća distribucije ili gustoća vjerojatnosti (ponekad se naziva diferencijalna funkcija).

Definicija 4.1: Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable x pozvati funkciju f (x) - prva derivacija funkcije distribucije F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Iz ove definicije slijedi da je funkcija distribucije antiderivacija gustoće distribucije. Imajte na umu da za opisivanje distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable, gustoća distribucije nije primjenjiva.

Vjerojatnost pogađanja kontinuirane slučajne varijable u zadanom intervalu

Poznavajući gustoću distribucije, možemo izračunati vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja pripada zadanom intervalu.

Teorema: Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti koje pripadaju intervalu (a, b), jednak je određenom integralu gustoće distribucije, uzetom u rasponu odaprijeb :

Dokaz: Koristimo omjer

P(a ≤ xb) = F(b) – F(a).

Prema Newton-Leibnizovoj formuli,

Na ovaj način,

.

Jer P(a ≤ x b)= P(a x b) , onda konačno dobivamo

.

Geometrijski, rezultat se može protumačiti na sljedeći način: vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost koja pripada intervalu (a, b), jednaka je površini krivocrtnog trapeza omeđenog osiVol, krivulja distribucijef(x) i izravnix = aix = b.

Komentar: Konkretno, ako f(x) je parna funkcija i krajevi intervala su simetrični u odnosu na ishodište, tada

.

Primjer. S obzirom na gustoću vjerojatnosti slučajne varijable x

Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu (0,5; 1).

Riješenje:Željena vjerojatnost

.

Određivanje funkcije distribucije iz poznate gustoće distribucije

Poznavajući gustoću distribucije f(x) , možemo pronaći funkciju distribucije F(x) prema formuli

.

Stvarno, F(x) = P(x x) = P(-∞ x x) .

Posljedično,

.

Na ovaj način, znajući gustoću distribucije, možete pronaći funkciju distribucije. Naravno, iz poznate funkcije distribucije može se pronaći gustoća distribucije, naime:

f(x) = F"(x).

Primjer. Pronađite funkciju distribucije za zadanu gustoću distribucije:

Riješenje: Upotrijebimo formulu

Ako a x ≤ a, onda f(x) = 0 , Posljedično, F(x) = 0 . Ako a a , onda f(x) = 1/(b-a),

Posljedično,

.

Ako a x > b, onda

.

Dakle, željena funkcija distribucije

Komentar: Dobili smo funkciju distribucije jednoliko raspodijeljene slučajne varijable (vidi uniformna distribucija).

Svojstva gustoće distribucije

Svojstvo 1: Gustoća distribucije je nenegativna funkcija:

f ( x ) ≥ 0 .

Svojstvo 2: Nepravi integral gustoće distribucije u području od -∞ do ∞ jednak je jedan:

.

Komentar: Grafički prikaz gustoće raspodjele naziva se distribucijska krivulja.

Komentar: Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable naziva se i zakon distribucije.

Primjer. Gustoća distribucije slučajne varijable ima sljedeći oblik:

Pronađite konstantni parametar a.

Riješenje: Gustoća distribucije mora zadovoljiti uvjet , pa zahtijevamo jednakost

.

Odavde
. Nađimo neodređeni integral:

.

Izračunavamo nepravi integral:

Dakle, traženi parametar

.

Vjerojatno značenje gustoće distribucije

Neka F(x) je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable x. Prema definiciji gustoće distribucije, f(x) = F"(x) , ili

.

Razlika F(x+∆h) -F(x) određuje vjerojatnost da xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆h). Dakle, granica omjera vjerojatnosti da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆h), na duljinu ovog intervala (at ∆h→0) jednaka je vrijednosti gustoće raspodjele u točki x.

Dakle funkcija f(x) određuje gustoću distribucije vjerojatnosti za svaku točku x. Iz diferencijalnog računa je poznato da je prirast funkcije približno jednak diferencijalu funkcije, tj.

Jer F"(x) = f(x) i dx = ∆ x, onda F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Vjerojatno značenje ove jednakosti je sljedeće: vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆ x) , približno je jednaka umnošku gustoće vjerojatnosti u točki x i duljine intervala ∆h.

Geometrijski, ovaj se rezultat može protumačiti kao: vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost koja pripada intervalu (x, x+∆ x), približno jednako površini pravokutnika s bazom ∆h i visinomf(x).

5. Tipične distribucije diskretnih slučajnih varijabli

5.1. Bernoullijeva distribucija

Definicija 5.1: Slučajna vrijednost x, koji ima dvije vrijednosti 1 i 0 s vjerojatnostima ("uspjeh") str i ("neuspjeh") q, Zove se Bernoulli:

, gdje k=0,1.

5.2. Binomna distribucija

Neka se proizvodi n neovisna ispitivanja, u svakom od njih događaj A može se ili ne mora pojaviti. Vjerojatnost da se događaj dogodi u svim pokušajima je konstantna i jednaka str(dakle vjerojatnost nepojavljivanja q = 1 - str).

Razmotrimo slučajnu varijablu x– broj pojavljivanja događaja A u ovim testovima. Slučajna vrijednost x uzima vrijednosti 0,1,2,… n s vjerojatnostima izračunatim Bernoullijevom formulom: , gdje k = 0,1,2,… n.

Definicija 5.2: Binomni naziva se distribucija vjerojatnosti određena Bernoullijevom formulom.

Primjer. U metu se ispaljuju tri hica, a vjerojatnost pogotka svakog hica je 0,8. Smatramo slučajnu varijablu x- broj pogodaka u metu. Pronađite njegove distribucijske serije.

Riješenje: Slučajna vrijednost x uzima vrijednosti 0,1,2,3 s vjerojatnostima izračunatim Bernoullijevom formulom, gdje n = 3, str = 0,8 (vjerojatnost pogotka), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (vjerojatnost nestanka).

Dakle, serija distribucije ima sljedeći oblik:

Koristite Bernoullijevu formulu za velike vrijednosti n stoga je prilično teško izračunati odgovarajuće vjerojatnosti, koristi se lokalni Laplaceov teorem, koji omogućuje približno pronalaženje vjerojatnosti da će se događaj dogoditi točno k jednom n pokusa ako je broj pokusa dovoljno velik.

Lokalni Laplaceov teorem: Ako je vjerojatnost str pojava događaja A
da je događaj A pojavit će se u n testovi točno k puta, približno jednako (što točnije, to više n) vrijednost funkcije
, gdje
,
.

Napomena 1: Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija
, dati su u Dodatku 1, i
. Funkcija je gustoća standardne normalne distribucije (vidi normalna distribucija).

Primjer: Nađite vjerojatnost da događaj A dolazi točno 80 jednom 400 pokusa ako je vjerojatnost pojavljivanja ovog događaja u svakom pokusu jednaka 0,2.

Riješenje: Po stanju n = 400, k = 80, str = 0,2 , q = 0,8 . Izračunajmo vrijednost određenu podacima problema x:
. Prema tablici u Dodatku 1 nalazimo
. Tada će željena vjerojatnost biti:

Ako želite izračunati vjerojatnost da neki događaj A pojavit će se u n barem testovi k 1 jednom i ne više k 2 puta, tada morate koristiti Laplaceov integralni teorem:

Laplaceov integralni teorem: Ako je vjerojatnost str pojava događaja A u svakom testu konstantna i različita od nule i jedan, tada je vjerojatnost
da je događaj A pojavit će se u n testovi iz k 1 prije k 2 puta, približno jednako određenom integralu

, gdje
i
.

Drugim riječima, vjerojatnost da neki događaj A pojavit će se u n testovi iz k 1 prije k 2 puta, približno jednako

gdje
, i .

Napomena 2: Funkcija
naziva se Laplaceova funkcija (vidi normalnu distribuciju). Tablice koje sadrže vrijednosti funkcija , dati su u Dodatku 2, i
.

Primjer: Nađite vjerojatnost da među 400 nasumično odabrani dijelovi neće biti provjereni od 70 do 100 dijelova, ako je vjerojatnost da dio nije prošao QCD provjeru jednaka 0,2.

Riješenje: Po stanju n = 400, str = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Izračunajmo donju i gornju granicu integracije:

;
.

Dakle, imamo:

Prema tablici u prilogu 2 nalazimo da
i
. Tada je tražena vjerojatnost:

Napomena3: U nizu neovisnih pokusa (kada je n velik, p je mali), Poissonova formula koristi se točno k puta za izračunavanje vjerojatnosti događanja događaja (vidi Poissonovu distribuciju).

5.3. Poissonova distribucija

Definicija 5.3: Diskretna slučajna varijabla naziva se poisson, ako njegov zakon distribucije ima sljedeći oblik:

, gdje
i
(konstantna vrijednost).

Primjeri Poissonovih slučajnih varijabli:

Broj poziva na automatsku stanicu u vremenskom intervalu T.

Broj čestica raspada neke radioaktivne tvari tijekom određenog vremenskog razdoblja T.

Broj televizora koji ulaze u radionicu u određenom vremenskom razdoblju T u velikom gradu .

Broj automobila koji će stići na zaustavnu liniju raskrižja u velikom gradu .

Napomena 1: Posebne tablice za izračun ovih vjerojatnosti dane su u Dodatku 3.

Napomena 2: U nizu neovisnih ispitivanja (kada n Sjajno, str mali) kako bi se točno izračunala vjerojatnost događaja k kada se koristi Poissonova formula:
, gdje
, odnosno prosječan broj pojavljivanja događaja ostaje konstantan.

Napomena3: Ako postoji slučajna varijabla koja je raspodijeljena prema Poissonovom zakonu, tada nužno postoji slučajna varijabla koja je raspodijeljena prema eksponencijalnom zakonu i obrnuto (vidi eksponencijalnu distribuciju).

Primjer. Tvornica poslana u bazu 5000 kvalitetni proizvodi. Vjerojatnost da će se proizvod oštetiti u transportu jednaka je 0,0002 . Nađite vjerojatnost da točno tri neupotrebljiva predmeta stignu u bazu.

Riješenje: Po stanju n = 5000, str = 0,0002, k = 3. Nađimo λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Prema Poissonovoj formuli, željena vjerojatnost je jednaka:

, gdje je slučajna varijabla x- broj neispravnih proizvoda.

5.4. Geometrijska raspodjela

Neka se naprave neovisna ispitivanja, u svakom od njih je vjerojatnost pojavljivanja događaja ALI jednako je str(0str

q = 1 - str. Probe završavaju čim se događaj pojavi ALI. Dakle, ako događaj ALI pojavio u k-tom testu, zatim u prethodnom k – 1 Nije se pokazalo na testovima.

Označimo sa x diskretna slučajna varijabla - broj pokušaja koje treba provesti prije prvog pojavljivanja događaja ALI. Očito, moguće vrijednosti x su prirodni brojevi x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

Neka prvi k-1 ispitni događaj ALI nije došao, ali k pojavio se th test. Vjerojatnost ovog “složenog događaja”, prema teoremu množenja vjerojatnosti neovisnih događaja, P (x = k) = q k -1 str.

Definicija 5.4: Diskretna slučajna varijabla ima geometrijska raspodjela ako njegov zakon distribucije ima sljedeći oblik:

P ( x = k ) = q k -1 str , gdje
.

Napomena 1: Pretpostavljajući k = 1,2,… , dobivamo geometrijsku progresiju s prvim članom str i nazivnik q (0q. Zbog toga se raspodjela naziva geometrijskom.

Napomena 2: Red
konvergira i njegov je zbroj jednak jedan. Doista, zbroj niza je
.

Primjer. Puška puca u metu do prvog pogotka. Vjerojatnost pogađanja cilja str = 0,6 . Nađite vjerojatnost da će se pogodak dogoditi pri trećem hicu.

Riješenje: Po stanju str = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Željena vjerojatnost jednaka je:

P (x = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrijska raspodjela

Razmotrite sljedeći problem. Pustite zabavu N proizvodi dostupni M standard (MN). nasumično odabrani iz stranke n proizvoda (svaki proizvod može biti uklonjen s istom vjerojatnošću), a odabrani proizvod se ne vraća u seriju prije odabira sljedećeg (dakle, Bernoullijeva formula ovdje nije primjenjiva).

Označimo sa x slučajna varijabla – broj m standardni proizvodi među n odabran. Zatim moguće vrijednosti x bit će 0, 1, 2,…, min ; Označimo ih i... na vrijednosti nezavisne varijable (Fonds), koristite gumb ( poglavlje ...

Obrazovni i metodološki kompleks za disciplinu "Opća psihološka radionica"

Kompleks obuke i metodologije

... metodički upute na izvođenje praktičnog rada 5.1 metodički preporuke na provedba projekata osposobljavanja 5.2 metodički preporuke na... osjetljivost), jednodimenzionalni i višedimenzionalno... slučajan komponenta u veličina... Sa odjeljak"Izvođenje...

Obrazovno-metodički kompleks iz discipline fizika (naziv)

Kompleks obuke i metodologije

... odjeljci u udžbenicima. Rješavanje problema na svaka tema. razrada metodički upute na laboratorijski rad na ... slučajan i instrumentalna greška mjerenja 1.8 Predmeti kontrolnih radova i metodički upute na... Čestica u jednodimenzionalni potencijalna rupa. ...

Upute za laboratorijski rad iz discipline informatika

Smjernice

... metodički upute do LABORATORIJSKI RADOVI na ... veličina, a najveći iznos količinama... niz slučajan brojevi... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) jednodimenzionalni niz b) dvodimenzionalni niz Sl. 2– Datoteke... opisane su u odjeljak implementacija nakon...