20. izd. - M.: 2010.- 416 str.

Knjiga ocrtava osnove mehanike materijalne točke, sustav materijalnih točaka i čvrsto tijelo u iznosu koji odgovara programima tehničkih sveučilišta. Navedeno je mnogo primjera i zadataka čija su rješenja popraćena odgovarajućim smjernice. Za studente redovitih i dopisnih tehničkih sveučilišta.

Format: pdf

Veličina: 14 MB

Pogledajte, preuzmite: voziti.google

SADRŽAJ
Predgovor trinaestom izdanju 3
Uvod 5
PRVI ODJELJAK STATIKA ČVRSTOG STANJA
Poglavlje I. Osnovni pojmovi Početne odredbe članaka 9
41. Apsolutno kruto tijelo; snaga. Zadaci statike 9
12. Početne pozicije statika » 11
$ 3. Veze i njihove reakcije 15
poglavlje II. Sastav snaga. Sustav konvergentnih sila 18
§ četiri. Geometrijski! Metoda kombiniranja snaga. Rezultanta konvergentnih sila, razlaganje sila 18
f 5. Projekcije sila na os i na ravninu, Analitička metoda zadavanja i zbrajanja sila 20
16. Ravnoteža sustava konvergentnih sila_. . . 23
17. Rješavanje problema statike. 25
poglavlje III. Moment sile oko središta. Moćni par 31
i 8. Moment sile oko središta (ili točke) 31
| 9. Par sila. trenutak par 33
f 10*. Teoremi o ekvivalenciji i adiciji parova 35
Poglavlje IV. Dovođenje sustava sila u središte. Uvjeti ravnoteže... 37
f 11. Teorem o paralelnom prijenosu sile 37
112. Dovođenje sustava sila u zadani centar - . .38
§ 13. Uvjeti ravnoteže sustava sila. Teorem o momentu rezultante 40
Poglavlje V. Ravni sustav sila 41
§ 14. Algebarski momenti sila i parovi 41
115. Svođenje ravnog sustava sila na najjednostavniji oblik .... 44
§ 16. Ravnoteža ravnog sustava sila. Slučaj paralelnih sila. 46
§ 17. Rješavanje problema 48
118. Ravnoteža sustava tijela 63
§ 19*. Statički određeni i statički neodređeni sustavi tijela (konstrukcije) 56"
f 20*. Definicija unutarnjih sila. 57
§ 21*. Distribuirane sile 58
E22*. Proračun ravnih rešetki 61
Poglavlje VI. Trenje 64
! 23. Zakoni trenja klizanja 64
: 24. Reakcije grube veze. Kut trenja 66
: 25. Ravnoteža uz trenje 66
(26*. Trenje navoja na cilindričnoj površini 69
1 27*. Trenje kotrljanja 71
Poglavlje VII. Prostorni sustav sila 72
§28. Moment sile oko osi. Izračun glavnog vektora
a glavni moment sustava sila 72
§ 29*. Svođenje prostornog sustava sila na najjednostavniji oblik 77
§trideset. Ravnoteža proizvoljnog prostornog sustava sila. Slučaj paralelnih sila
Poglavlje VIII. Težište 86
§31. Centar paralelnih sila 86
§ 32. Polje sila. Težište krutog tijela 88
§ 33. Koordinate težišta homogenih tijela 89
§ 34. Metode određivanja koordinata težišta tijela. 90
§ 35. Težišta nekih homogenih tijela 93
DRUGI DIO KINEMATIKA TOČKE I KRUTOG TIJELA
Poglavlje IX. Kinematika točke 95
§ 36. Uvod u kinematiku 95
§ 37. Metode zadavanja kretanja točke. . 96
§38. Vektor brzine točke,. 99
§ 39
§40. Određivanje brzine i ubrzanja točke koordinatnom metodom zadavanja kretanja 102
§41. Rješavanje problema kinematike točke 103
§ 42. Osi prirodnog triedra. Numerička vrijednost brzina 107
§ 43. Tangenta i normalna akceleracija točke 108
§44. Neki posebni slučajevi gibanja točke u softveru
§45. Grafi kretanja, brzine i ubrzanja točke 112
§ 46. Rješavanje problema< 114
§47*. Brzina i akceleracija točke u polarnim koordinatama 116
Poglavlje X. Translacijska i rotacijska gibanja krutog tijela. . 117
§48. Translatorno kretanje 117
§ 49. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko osi. Kutna brzina i kutna akceleracija 119
§pedeset. Ravnomjerna i ravnomjerna rotacija 121
§51. Brzine i ubrzanja točaka rotirajućeg tijela 122
Poglavlje XI. Planparalelno gibanje krutog tijela 127
§52. Jednadžbe planparalelnog gibanja (gibanja ravna figura). Rastavljanje gibanja na translatorno i rotacijsko 127
§53*. Određivanje putanja točaka ravnog lika 129
§54. Određivanje brzina točaka na ravnoj slici 130
§ 55. Teorem o projekcijama brzina dviju točaka tijela 131
§ 56. Određivanje brzina točaka ravnog lika pomoću trenutnog središta brzina. Pojam centroida 132
§57. Rješavanje problema 136
§58*. Određivanje ubrzanja točaka ravnog lika 140
§59*. Trenutno središte ubrzanja "*"*
Poglavlje XII*. Gibanje krutog tijela oko fiksne točke i gibanje slobodnog krutog tijela 147
§ 60. Gibanje krutog tijela koje ima jednu nepokretnu točku. 147
§61. Kinematske Eulerove jednadžbe 149
§62. Brzine i ubrzanja točaka tijela 150
§ 63. Opći slučaj gibanja slobodnog krutog tijela 153
Poglavlje XIII. Složeno kretanje točke 155
§ 64. Relativno, figurativno i apsolutno gibanje 155
§ 65, Teorem zbrajanja brzina » 156
§66. Teorem o zbrajanju ubrzanja (Coriolsov teorem) 160
§67. Rješavanje problema 16*
Poglavlje XIV*. Složeno gibanje krutog tijela 169
§68. Dodavanje translatornih pokreta 169
§69. Zbrajanje rotacija oko dvije paralelne ose 169
§70. Cilindrični zupčanici 172
§ 71. Zbrajanje rotacija oko siječnih osi 174
§72. Dodavanje translacijskih i rotacijskih gibanja. Kretanje vijka 176
TREĆI ODJELJAK DINAMIKA TOČKE
Poglavlje XV: Uvod u dinamiku. Zakoni dinamike 180
§ 73. Osnovni pojmovi i definicije 180
§ 74. Zakoni dinamike. Problemi dinamike materijalne točke 181
§ 75. Sustavi jedinica 183
§76. Osnovne vrste sila 184
Poglavlje XVI. Diferencijalne jednadžbe gibanja točke. Rješavanje problema dinamike točke 186
§ 77. Diferencijalne jednadžbe, gibanja materijalne točke br. 6
§ 78. Rješenje prvog zadatka dinamike (određivanje sila iz zadanog gibanja) 187
§ 79. Rješenje glavnog problema dinamike za pravocrtno gibanje točke 189
§ 80. Primjeri rješavanja zadataka 191
§81*. Pad tijela u sredstvu otpora (u zraku) 196
§82. Rješenje glavnog problema dinamike, uz krivocrtno gibanje točke 197
Poglavlje XVII. Opći teoremi dinamike točke 201
§83. Količina kretanja točke. Impuls sile 201
§ S4. Teorem o promjeni količine gibanja točke 202
§ 85. Teorem o promjeni kutne količine gibanja točke (teorem momenata) "204
§86*. Gibanje pod djelovanjem središnje sile. Zakon o područjima.. 266
§ 8-7. Prisilni rad. Snaga 208
§88. Primjeri izračuna rada 210
§89. Teorem o promjeni kinetičke energije točke. "... 213J
Poglavlje XVIII. Neslobodno i relativno gibanje točke 219
§90. Neslobodno kretanje točke. 219
§91. Relativno kretanje točke 223
§ 92. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i gibanje tijela... 227
Članak 93*. Odstupanje upadne točke od okomice zbog rotacije Zemlje “230
Poglavlje XIX. Pravocrtne fluktuacije točke. . . 232
§ 94. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora 232
§ 95. Slobodne oscilacije s viskoznim otporom (prigušene oscilacije) 238
§96. Prisilne vibracije. Rezonancija 241
Poglavlje XX*. Gibanje tijela u polju gravitacije 250
§ 97. Kretanje bačenog tijela u gravitacijskom polju Zemlje "250
§98. Umjetni sateliti Zemlje. Eliptične putanje. 254
§ 99. Pojam bestežinskog stanja "Lokalni referentni sustavi 257
ČETVRTI ODJELJAK DINAMIKA SUSTAVA I KRUTOG TIJELA
G i a v a XXI. Uvod u dinamiku sustava. momenti tromosti. 263
§ 100. Mehanički sustav. Sile vanjske i unutarnje 263
§ 101. Masa sustava. Težište 264
§ 102. Moment tromosti tijela oko osi. Polumjer tromosti. . 265
$ 103. Momenti tromosti tijela oko paralelnih osi. Huygensov teorem 268
§ 104*. centrifugalni momenti tromosti. Pojmovi o glavnim osima tromosti tijela 269
105 USD*. Moment tromosti tijela oko proizvoljne osi. 271
Poglavlje XXII. Teorem o gibanju središta mase sustava 273
$ 106. Diferencijalne jednadžbe gibanja sustava 273
§ 107. Teorem o gibanju središta mase 274
$ 108. Zakon očuvanja gibanja centra mase 276
§ 109. Rješavanje zadataka 277
Poglavlje XXIII. Teorem o promjeni količine pomičnog sustava. . 280
$ ALI. Broj sustava kretanja 280
§111. Teorem o promjeni količine gibanja 281
§ 112. Zakon očuvanja količine gibanja 282
113 USD*. Primjena teorema na gibanje tekućine (plina) 284
§ 114*. Tijelo promjenljive mase. Kretanje rakete 287
Gdawa XXIV. Teorem o promjeni momenta količine gibanja sustava 290
§ 115. Glavni moment veličina gibanja sustava 290
$ 116. Teorem o promjeni glavnog momenta količine gibanja sustava (teorem momenata) 292
117 dolara. Zakon održanja glavnog momenta količine gibanja. . 294
$ 118. Rješavanje problema 295
119 USD*. Primjena teorema o momentu na gibanje tekućine (plina) 298
§ 120. Uvjeti ravnoteže mehanički sustav 300
Poglavlje XXV. Teorem o promjeni kinetičke energije sustava. . 301.
§ 121. Kinetička energija sustava 301
122 dolara. Neki slučajevi računanja rade 305
$ 123. Teorem o promjeni kinetičke energije sustava 307
$ 124. Rješavanje problema 310
$ 125*. Mješoviti zadaci "314
$ 126. Potencijalno polje sile i funkcija sile 317
127 dolara, potencijalna energija. Zakon održanja mehaničke energije 320
Poglavlje XXVI. "Primjena općih teorema na dinamiku krutog tijela 323
12 dolara&. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomične osi ". 323"
$ 129. Fizičko njihalo. Eksperimentalno određivanje momenata tromosti. 326
130 dolara. Planparalelno gibanje krutog tijela 328
131 USD*. Osnovna teorija žiroskopa 334
132 USD*. Gibanje krutog tijela oko fiksne točke i gibanje slobodnog krutog tijela 340
Poglavlje XXVII. d'Alembertov princip 344
$ 133. d'Alembertov princip za točku i mehanički sustav. . 344
$ 134. Glavni vektor i glavni moment sila tromosti 346
$ 135. Rješavanje problema 348
$136*, Didemične reakcije koje djeluju na os rotirajućeg tijela. Uravnoteženje rotirajućih tijela 352
Poglavlje XXVIII. Princip mogućih pomaka i opća jednadžba dinamike 357
§ 137. Razvrstavanje veza 357
§ 138. Mogući pomaci sustava. Broj stupnjeva slobode. . 358
§ 139. Načelo mogućih kretanja 360
§ 140. Rješavanje zadataka 362
§ 141. Opća jednadžba dinamike 367
Poglavlje XXIX. Uvjeti ravnoteže i jednadžbe gibanja sustava u generaliziranim koordinatama 369
§ 142. Generalizirane koordinate i generalizirane brzine. . . 369
§ 143. Generalizirane sile 371
§ 144. Uvjeti ravnoteže sustava u generaliziranim koordinatama 375
§ 145. Lagrangeove jednadžbe 376
§ 146. Rješavanje zadataka 379
Poglavlje XXX*. Male oscilacije sustava oko položaja stabilne ravnoteže 387
§ 147. Pojam stabilnosti ravnoteže 387
§ 148. Male slobodne vibracije sustava s jednim stupnjem slobode 389
§ 149. Male prigušene i prisilne oscilacije sustava s jednim stupnjem slobode 392
§ 150. Male sumarne oscilacije sustava s dva stupnja slobode 394
Poglavlje XXXI. Teorija elementarnog udara 396
§ 151. Osnovna jednadžba teorije udara 396
§ 152. Opći teoremi teorije udara 397
§ 153. Faktor povrata udarca 399
§ 154. Udarac tijela o nepomičnu ogradu 400
§ 155. Izravni središnji udar dvaju tijela (udar lopte) 401
§ 156. Gubitak kinetičke energije pri neelastičnom udaru dvaju tijela. Carnotov teorem 403
§ 157*. Udarac u tijelo koje se okreće. Udarni centar 405
Indeks 409

Statika je grana teorijske mehanike koja proučava uvjete ravnoteže materijalnih tijela pod djelovanjem sila, kao i metode pretvaranja sila u ekvivalentne sustave.

Pod stanjem ravnoteže, u statici, podrazumijeva se stanje u kojem svi dijelovi mehaničkog sustava miruju u odnosu na neki inercijski koordinatni sustav. Jedan od osnovnih objekata statike su sile i točke njihove primjene.

Sila koja djeluje na materijalnu točku s radijus vektorom iz drugih točaka mjera je utjecaja drugih točaka na razmatranu točku, uslijed čega ona dobiva ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Vrijednost snaga određuje se formulom:
,
gdje je m masa točke – vrijednost koja ovisi o svojstvima same točke. Ova se formula naziva drugi Newtonov zakon.

Primjena statike u dinamici

Važna značajka jednadžbi gibanja apsolutno krutog tijela je da se sile mogu pretvoriti u ekvivalentne sustave. Takvom transformacijom jednadžbe gibanja zadržavaju svoj oblik, ali se sustav sila koje djeluju na tijelo može transformirati u više jednostavan sustav. Dakle, točka primjene sile može se pomicati duž linije njezina djelovanja; sile se mogu proširiti prema pravilu paralelograma; sile primijenjene u jednoj točki mogu se zamijeniti njihovim geometrijskim zbrojem.

Primjer takvih transformacija je gravitacija. Djeluje na sve točke krutog tijela. Ali zakon gibanja tijela neće se promijeniti ako se sila gravitacije raspoređena na sve točke zamijeni jednim vektorom primijenjenim u središtu mase tijela.

Pokazuje se da ako glavnom sustavu sila koje djeluju na tijelo dodamo ekvivalentni sustav u kojem su smjerovi sila obrnuti, tada će tijelo pod djelovanjem tih sustava biti u ravnoteži. Time se zadatak određivanja ekvivalentnih sustava sila svodi na problem ravnoteže, odnosno na problem statike.

Glavni zadatak statike je uspostavljanje zakona za transformaciju sustava sila u ekvivalentne sustave. Dakle, metode statike koriste se ne samo u proučavanju tijela u ravnoteži, već iu dinamici krutog tijela, u transformaciji sila u jednostavnije ekvivalentne sustave.

Statika materijalne točke

Razmotrimo materijalnu točku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., br.

Ako je materijalna točka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1) .

U ravnoteži je geometrijski zbroj sila koje djeluju na točku jednak nuli.

Geometrijska interpretacija. Ako se početak drugog vektora postavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora i zatim se taj proces nastavi, onda će kraj posljednjeg, n-tog vektora kombinirati s početkom prvog vektora. Odnosno, dobivamo zatvorenu geometrijsku figuru čije su duljine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravnini, tada dobivamo zatvoreni poligon.

Često je zgodno odabrati pravokutni koordinatni sustav Oxyz. Tada su zbrojevi projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:

Ako odaberete bilo koji smjer definiran nekim vektorom, tada je zbroj projekcija vektora sile na taj smjer jednak nuli:
.
Jednadžbu (1) množimo skalarno s vektorom:
.
Ovdje je skalarni produkt vektora i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.

Statika krutog tijela

Moment sile oko točke

Određivanje momenta sile

Moment sile, primijenjen na tijelo u točki A, u odnosu na fiksno središte O, naziva se vektor jednak vektorskom umnošku vektora i:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Moment sile jednak je umnošku sile F i kraka OH.

Neka se vektori i nalaze u ravnini figure. Prema svojstvu križnog umnoška vektor je okomit na vektore i , odnosno okomit na ravninu lika. Njegov smjer je određen pravilom desnog vijka. Na slici je vektor momenta usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost trenutka:
.
Jer, dakle
(3) .

Pomoću geometrije može se dati drugačija interpretacija momenta sile. Da biste to učinili, nacrtajte ravnu liniju AH kroz vektor sile. Iz središta O spustimo okomicu OH na ovaj pravac. Duljina te okomice naziva se rame snage. Zatim
(4) .
Kako je , formule (3) i (4) su ekvivalentne.

Na ovaj način, apsolutna vrijednost momenta sile u odnosu na središte O je proizvod sile na ramenu ova sila u odnosu na odabrano središte O .

Prilikom izračunavanja momenta često je zgodno rastaviti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi točkom O. Stoga je njegov impuls jednak nuli. Zatim
.
Apsolutna vrijednost trenutka:
.

Komponente momenta u pravokutnim koordinatama

Odaberemo li pravokutni koordinatni sustav Oxyz sa središtem u točki O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ovo su koordinate točke A u odabranom koordinatnom sustavu:
.
Komponente su vrijednosti momenta sile oko osi, odnosno.

Svojstva momenta sile oko središta

Moment oko središta O, od sile koja prolazi kroz to središte, jednak je nuli.

Ako se točka primjene sile pomiče duž pravca koji prolazi kroz vektor sile, tada se moment, tijekom takvog kretanja, neće promijeniti.

Moment vektorskog zbroja sila primijenjenih na jednu točku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu točku:
.

Isto vrijedi i za sile čije se produžne linije sijeku u jednoj točki.

Ako je vektorski zbroj sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne ovisi o položaju središta, u odnosu na koji se momenti izračunavaju:
.

Snažni par

Snažni par- to su dvije sile jednake u apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, koje se primjenjuju na različite točke tijela.

Par sila karakterizira trenutak kada stvaraju. Budući da je vektorski zbroj sila uključenih u par jednak nuli, moment koji stvara par ne ovisi o točki u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stajališta statičke ravnoteže, priroda sila u paru je irelevantna. Par sila se koristi za označavanje da na tijelo djeluje moment sila koji ima određenu vrijednost.

Moment sile oko zadane osi

Često postoje slučajevi kada ne moramo znati sve komponente momenta sile oko odabrane točke, već samo moment sile oko odabrane osi.

Moment sile oko osi koja prolazi točkom O je projekcija vektora momenta sile, oko točke O, na smjer osi.

Svojstva momenta sile oko osi

Moment oko osi od sile koja prolazi kroz ovu os jednak je nuli.

Moment oko osi od sile paralelne s tom osi jednak je nuli.

Proračun momenta sile oko osi

Neka na tijelo u točki A djeluje sila. Nađimo moment te sile u odnosu na os O′O′′.

Izgradimo pravokutni koordinatni sustav. Neka se os Oz podudara s O′O′′. Iz točke A spustimo okomicu OH na O′O′′ . Kroz točke O i A povučemo os Ox. Povučemo os Oy okomito na Ox i Oz. Silu rastavljamo na komponente duž osi koordinatnog sustava:
.
Sila prelazi os O′O′′. Stoga je njegov impuls jednak nuli. Sila je paralelna s osi O′O′′. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Po formuli (5.3) nalazimo:
.

Uočimo da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čije je središte točka O . Smjer vektora određen je pravilom desnog vijka.

Uvjeti ravnoteže krutog tijela

U ravnoteži je vektorski zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, a vektorski zbroj momenata tih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1) ;
(6.2) .

Naglašavamo da se središte O , u odnosu na koje se računaju momenti sila, može odabrati proizvoljno. Točka O može pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se odabire središte O kako bi se olakšali proračuni.

Uvjeti ravnoteže mogu se formulirati na drugi način.

U ravnoteži je zbroj projekcija sila na bilo koji smjer zadan proizvoljnim vektorom jednak nuli:
.
Zbroj momenata sila oko proizvoljne osi O′O′′ također je jednak nuli:
.

Ponekad su ovi uvjeti prikladniji. Postoje trenuci kada se izborom osi proračuni mogu učiniti jednostavnijim.

Težište tijela

Razmotrite jednu od najvažnijih sila - gravitaciju. Ovdje sile ne djeluju na određene točke tijela, već su kontinuirano raspoređene po njegovom volumenu. Za svaki dio tijela s infinitezimalnim volumenom ∆V, djeluje gravitacijska sila. Ovdje je ρ gustoća tvari tijela, a akceleracija slobodnog pada.

Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka točka A k definira položaj ovog odsječka. Nađimo veličine koje se odnose na silu teže, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).

Nađimo zbroj gravitacijskih sila koje tvore svi dijelovi tijela:
,
gdje je masa tijela. Dakle, zbroj sila teže pojedinih infinitezimalnih dijelova tijela može se zamijeniti jednim vektorom gravitacije cijelog tijela:
.

Nađimo zbroj momenata sila teže, u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:

.
Ovdje smo uveli točku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj težišta u koordinatnom sustavu sa središtem u točki O određuje se formulom:
(7) .

Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže zbroj sila teže pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjen na središte mase tijela C čiji je položaj određen formulom (7).

Položaj težišta za razne geometrijski oblici mogu se pronaći u odgovarajućim vodičima. Ako tijelo ima os ili ravninu simetrije, tada se težište nalazi na toj osi ili ravnini. Dakle, težišta sfere, kruga ili kruga nalaze se u središtima krugova ovih figura. Težišta pravokutnog paralelopipeda, pravokutnika ili kvadrata također se nalaze u njihovim središtima - na sjecištima dijagonala.

Jednoliko (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.

Postoje i slučajevi slični sili gravitacije, kada sile ne djeluju na određene točke tijela, već su kontinuirano raspoređene po njegovoj površini ili volumenu. Takve se sile nazivaju raspoređene snage ili .

(Slika A). Također, kao u slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine , primijenjenom u težištu dijagrama. Kako je dijagram na slici A pravokutnik, težište dijagrama je u njegovom središtu - točki C: | AC| = | CB |.

(slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultirajuće jednaka je površini dijagrama:
.
Točka primjene je u težištu parcele. Težište trokuta, visine h, udaljeno je od osnovice. Zato .

Sile trenja

Trenje klizanja. Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (sila pritiska). Tada je sila trenja klizanja paralelna s podlogom i usmjerena u stranu, sprječavajući tijelo da se pomiče. Njegova najveća vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzijska veličina.

trenje kotrljanja. Pustite zaobljeno tijelo da se kotrlja ili može da se kotrlja po površini. I neka je sila tlaka okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, na mjestu dodira s podlogom, djeluje moment sile trenja koji sprječava kretanje tijela. Najveća vrijednost momenta trenja je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, “ postdiplomske studije“, 2010.

Opći teoremi dinamike sustava tijela. Teoremi o gibanju središta mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavnog momenta količine gibanja, o promjeni kinetičke energije. Načela d'Alemberta i mogući pomaci. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.

Sadržaj

Posao koji obavlja sila, jednak je skalarnom umnošku vektora sile i infinitezimalnog pomaka točke njezine primjene:
,
odnosno umnožak modula vektora F i ds i kosinusa kuta između njih.

Rad koji izvrši moment sile, jednak je skalarnom umnošku vektora momenta i infinitezimalnog kuta rotacije :
.

d'Alembertov princip

Bit d'Alembertova principa je svođenje problema dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode sile tromosti i (ili) momenti sila tromosti, koji su po veličini jednaki i smjeru recipročni silama i momentima sila, koji bi prema zakonima mehanike stvarali zadana ubrzanja ili kutna ubrzanja

Razmotrite primjer. Tijelo se translatorno giba i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje, pretpostavljamo da te sile stvaraju akceleraciju središta mase sustava. Prema teoremu o kretanju središta mase, središte mase tijela imalo bi istu akceleraciju da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
;
.

Za rotacijsko kretanje postupite na sličan način. Neka tijelo rotira oko osi z i na njega djeluju vanjski momenti sila M e zk. Pretpostavljamo da ti momenti stvaraju kutnu akceleraciju ε z . Zatim uvodimo moment sila tromosti M I = - J z ε z . Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
Pretvara se u statičan zadatak:
;
.

Princip mogućih kretanja

Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od pisanja jednadžbi ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s vezama (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima), koji se sastoje od mnogo tijela

Princip mogućih kretanja.
Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli.

Moguće premještanje sustava- ovo je mali pomak, pri kojem se veze nametnute sustavu ne prekidaju.

Savršene veze- to su obveznice koje ne rade kada se sustav pomakne. Točnije, zbroj rada samih karika prilikom pomicanja sustava je nula.

Opća jednadžba dinamike (d'Alembertov - Lagrangeov princip)

D'Alembertovo-Lagrangeovo načelo kombinacija je d'Alembertovog načela s načelom mogućih pomaka. Odnosno, kod rješavanja problema dinamike uvodimo sile tromosti i problem svodimo na problem statike koji rješavamo na principu mogućih pomaka.

d'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav giba s idealnim ograničenjima u svakom trenutku vremena, zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih sila tromosti na bilo koji mogući pomak sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba dinamike.

Lagrangeove jednadžbe

Generalizirane koordinate q 1, q 2, ..., q n je skup od n vrijednosti koje jednoznačno određuju položaj sustava.

Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.

Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.

Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n .
Razmotrimo mogući pomak sustava, u kojem će koordinata q k dobiti pomak δq k . Ostatak koordinata ostaje nepromijenjen. Neka je δA k rad vanjskih sila tijekom takvog pomaka. Zatim
δA k = Q k δq k , odn
.

Ako se s mogućim pomakom sustava mijenjaju sve koordinate, tada rad vanjskih sila tijekom takvog pomaka ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalne derivacije rada pomaka:
.

Za potencijalne snage s potencijalom Π,
.

Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:

Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i možda vremena. Stoga je njegova parcijalna derivacija također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da bismo pronašli ukupnu derivaciju s obzirom na vrijeme, moramo primijeniti pravilo diferenciranja složena funkcija:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, Viša škola, 2010.

Sadržaj

Kinematika

Kinematika materijalne točke

Određivanje brzine i ubrzanja točke prema zadanim jednadžbama njezina gibanja

Zadano je: Jednadžbe gibanja točke: x = 12 sin(πt/6), cm; y= 6 cos 2 (πt/6), cm.

Postavite vrstu njegove putanje i za trenutak t = 1 s pronaći položaj točke na putanji, njezinu brzinu, punu, tangencijalnu i normalnu akceleraciju, kao i polumjer zakrivljenosti putanje.

Translatorno i rotacijsko gibanje krutog tijela

dano:
t = 2 s; r 1 = 2 cm, R 1 = 4 cm; r 2 = 6 cm, R 2 = 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Odredite u trenutku t = 2 brzine točaka A, C; kutno ubrzanje kotača 3; ubrzanje točke B i ubrzanje u zupčanici 4.

Kinematička analiza ravnog mehanizma

dano:
R1, R2, L, AB, ω1.
Nađi: ω 2 .

Ravni mehanizam sastoji se od šipki 1, 2, 3, 4 i klizača E. Šipke su spojene pomoću cilindričnih zglobova. Točka D nalazi se u sredini šipke AB.
Zadano je: ω 1 , ε 1 .
Nađi: brzine V A , V B , V D i V E ; kutne brzine ω 2 , ω 3 i ω 4 ; ubrzanje a B ; kutno ubrzanje ε AB karike AB; položaji trenutnih središta brzina P 2 i P 3 karika 2 i 3 mehanizma.

Određivanje apsolutne brzine i apsolutne akceleracije točke

Pravokutna ploča rotira oko nepomične osi po zakonu φ = 6 t 2 - 3 t 3. Pozitivan smjer očitanja kuta φ prikazan je na slikama lučnom strelicom. Os rotacije OO 1 leži u ravnini ploče (ploča se okreće u prostoru).

Točka M se giba duž pravca BD po ploči. Zadan je zakon njegovog relativnog gibanja, tj. ovisnost s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - u centimetrima, t - u sekundama). Udaljenost b = 20 cm. Na slici je točka M prikazana u poziciji gdje je s = AM > 0 (za s< 0 točka M je s druge strane točke A).

Odredite apsolutnu brzinu i apsolutnu akceleraciju točke M u trenutku t 1 = 1 s.

Dinamika

Integracija diferencijalnih jednadžbi gibanja materijalne točke pod djelovanjem promjenljivih sila

Teret D mase m, koji je dobio početnu brzinu V 0 u točki A, kreće se u zakrivljenoj cijevi ABC koja se nalazi u vertikalnoj ravnini. Na dionici AB, duljine l, na teret djeluje konstantna sila T (smjer joj je prikazan na slici) i sila otpora sredstva R (modul te sile je R = μV 2, vektor R usmjeren je suprotno od brzine V opterećenja).

Teret, nakon što je završio svoje kretanje u presjeku AB, u točki B cijevi, bez promjene vrijednosti modula brzine prelazi na presjek BC. Na presjeku BC na teret djeluje promjenljiva sila F čija je projekcija F x na os x dana.

Promatrajući teret kao materijalnu točku, pronađite zakon njegovog gibanja na presjeku BC, tj. x = f(t), gdje je x = BD. Zanemarite trenje tereta na cijevi.

Preuzmite rješenje

Teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava

Mehanički sustav sastoji se od utega 1 i 2, cilindričnog valjka 3, dvostupanjskih remenica 4 i 5. Tijela sustava povezana su navojima namotanim na remenice; presjeci navoja su paralelni s odgovarajućim ravninama. Valjak (čvrsti homogeni cilindar) kotrlja se duž referentne ravnine bez klizanja. Polumjeri koraka remenica 4 i 5 su redom R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Masa svake remenice smatra se ravnomjerno raspoređenom duž njezinog vanjskog ruba. Noseće ravnine utega 1 i 2 su hrapave, koeficijent trenja klizanja za svaki uteg je f = 0,1.

Pod djelovanjem sile F, čiji se modul mijenja po zakonu F = F(s), gdje je s pomak točke njezina djelovanja, sustav se počinje pomicati iz stanja mirovanja. Kada se sustav kreće, sile otpora djeluju na remenicu 5, čiji je moment u odnosu na os rotacije konstantan i jednak M 5 .

Odredite vrijednost kutne brzine remenice 4 u trenutku kada pomak s točke primjene sile F postane jednak s 1 = 1,2 m.

Preuzmite rješenje

Primjena opće jednadžbe dinamike na proučavanje gibanja mehaničkog sustava

Za mehanički sustav odredite linearno ubrzanje a 1 . Uzmite u obzir da su za blokove i valjke mase raspoređene duž vanjskog radijusa. Kabeli i pojasevi smatraju se bestežinskim i nerastezljivim; nema klizanja. Zanemarite trenje kotrljanja i klizanja.

Preuzmite rješenje

Primjena d'Alembertova principa na određivanje reakcija oslonaca rotirajućeg tijela

Vertikalno vratilo AK, koje jednoliko rotira kutnom brzinom ω = 10 s -1 , učvršćeno je aksijalnim ležajem u točki A i cilindričnim ležajem u točki D.

Na osovinu je kruto pričvršćen bestežinski štap 1 duljine l 1 = 0,3 m na čijem se slobodnom kraju nalazi teret mase m 1 = 4 kg, a homogeni štap 2 duljine l 2 = 0,6 m, mase m 2 = 8 kg. Oba štapa leže u istoj okomitoj ravnini. Točke pričvršćenja šipki na osovinu, kao i kutovi α i β navedeni su u tablici. Mjere AB=BD=DE=EK=b, gdje je b = 0,4 m. Teret uzmite kao materijalnu točku.

Zanemarujući masu vratila, odrediti reakcije aksijalnog ležaja i ležaja.

Kinematika točke.

1. Predmet teorijske mehanike. Osnovne apstrakcije.

Teorijska mehanikaje znanost koja proučava opći zakoni mehaničko kretanje i mehaničko međudjelovanje materijalnih tijela

Mehaničko kretanjenaziva se kretanje tijela u odnosu na drugo tijelo, koje se događa u prostoru i vremenu.

Mehanička interakcija naziva se takva interakcija materijalnih tijela, koja mijenja prirodu njihova mehaničkog kretanja.

Statika - To je grana teorijske mehanike koja proučava metode pretvaranja sustava sila u ekvivalentne sustave i utvrđuje uvjete ravnoteže sila koje djeluju na čvrsto tijelo.

Kinematika - je grana teorijske mehanike koja se bavi kretanje materijalnih tijela u prostoru s geometrijskog gledišta, bez obzira na sile koje na njih djeluju.

Dinamika - Ovo je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela u prostoru, ovisno o silama koje na njih djeluju.

Predmeti proučavanja teorijske mehanike:

materijalna točka,

sustav materijalnih točaka,

Apsolutno kruto tijelo.

Apsolutni prostor i apsolutno vrijeme neovisni su jedno o drugom. Apsolutni prostor - trodimenzionalni, homogeni, nepomični euklidski prostor. Apsolutno vrijeme - kontinuirano teče iz prošlosti u budućnost, homogena je, ista u svim točkama prostora i ne ovisi o kretanju materije.

2. Predmet kinematika.

Kinematika - je grana mehanike koja se bavi geometrijska svojstva kretanje tijela bez uzimanja u obzir njihove tromosti (tj. mase) i sila koje na njih djeluju

Odrediti položaj tijela (ili točke) u gibanju s tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje dato tijelo, kruto, povezuju neki koordinatni sustav, koji zajedno s tijelom tvori referentni sustav.

Glavni zadatak kinematike je da, poznavajući zakon gibanja danog tijela (točke), odredi sve kinematičke veličine koje karakteriziraju njegovo gibanje (brzinu i akceleraciju).

3. Metode zadavanja gibanja točke

· prirodan način

Treba znati:

Putanja kretanja točke;

Početak i smjer brojanja;

Zakon gibanja točke po zadanoj putanji u obliku (1.1)

· Metoda koordinata

Jednadžbe (1.2) su jednadžbe gibanja točke M.

Jednadžba za putanju točke M može se dobiti eliminacijom parametra vremena « t » iz jednadžbi (1.2)

· Vektorski način

(1.3) Odnos koordinatnih i vektorskih metoda za zadavanje kretanja točke (1.4)

Povezanost koordinatnog i prirodnog načina zadavanja kretanja točke

Odredite putanju točke, isključujući vrijeme iz jednadžbi (1.2);

-- pronaći zakon gibanja točke po putanji (upotrijebiti izraz za lučni diferencijal)

Nakon integracije dobivamo zakon gibanja točke po zadanoj putanji:

Povezanost koordinatnog i vektorskog načina zadavanja kretanja točke određena je jednadžbom (1.4)

4. Određivanje brzine točke vektorskom metodom zadavanja kretanja.

Neka trenutnotpoložaj točke određen je radijus vektorom , a u trenutku vremenat 1 – radijus-vektor , zatim za određeno vrijeme točka će se pomaknuti.

(1.5) prosječna brzina točke, smjer vektora je isti kao vektor

Brzina točke u ovaj trenutak vrijeme

Da bi se dobila brzina točke u određenom trenutku vremena, potrebno je napraviti prijelaz do granice

(1.6)

(1.7)

Vektor brzine točke u određenom trenutku jednaka je prvoj izvodnici radijus vektora u odnosu na vrijeme i usmjerena je tangencijalno na putanju u datoj točki.

(jedinica¾ m/s, km/h)

Vektor srednje akceleracije ima isti smjer kao vektorΔ v , odnosno usmjerena prema konkavnosti putanje.

Vektor ubrzanja točke u određenom trenutku jednak je prvoj derivaciji vektora brzine ili drugoj derivaciji radijus vektora točke u odnosu na vrijeme.

(jedinica - )

Kako se vektor nalazi u odnosu na putanju točke?

Kod pravocrtnog gibanja vektor je usmjeren duž pravca po kojem se giba točka. Ako je putanja točke ravna krivulja, tada vektor ubrzanja , kao i vektor cp, leži u ravnini te krivulje i usmjeren je prema njezinoj konkavnosti. Ako trajektorija nije ravninska krivulja, tada će vektor cp biti usmjeren prema konkavnosti putanje i ležat će u ravnini koja prolazi tangentom na putanju u točkiM a pravac paralelan s tangentom u susjednoj točkiM 1 . NA ograničiti kada točkaM 1 nastoji M ova ravnina zauzima položaj tzv. susjedne ravnine. Dakle, u općem slučaju, vektor ubrzanja leži u susjednoj ravnini i usmjeren je prema konkavnosti krivulje.