Postupak nalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija. Derivacija se mora pronaći u brojnim problemima tijekom matematičke analize. Na primjer, kod pronalaženja točaka ekstrema i točaka infleksije grafa funkcije.

Kako pronaći?

Da biste pronašli derivaciju funkcije, potrebno je poznavati tablicu derivacija elementarnih funkcija i primijeniti osnovna pravila diferenciranja:

1. Izuzimanje konstante iz predznaka izvoda: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivacija zbroja/razlike funkcija: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivacija umnoška dviju funkcija: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivat razlomka: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Izvod složene funkcije: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Riješenje

Derivacija zbroja/razlike funkcija jednaka je zbroju/razlici derivacija: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Korištenjem pravila izvoda funkcije snage $ (x^p)" = px^(p-1) $ imamo: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Također je uzeto u obzir da je derivacija konstante jednaka nuli. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Dat ćemo detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračuna i prikupiti informacije. To će vam pomoći da pravodobno dobijete kredit od nastavnika!

Odgovor

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Što je derivat?
Definicija i značenje izvoda funkcije

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim mjestom ovog članka u mom autorskom tečaju o izvodu funkcije jedne varijable i njegovim primjenama. Uostalom, kako je bilo iz škole: standardni udžbenik, prije svega, daje definiciju derivata, njegovo geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivacije funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada se usavršava tehnika diferenciranja pomoću tablice izvedenica.

Ali s moje točke gledišta, sljedeći pristup je pragmatičniji: prije svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMIJETI granica funkcije, i pogotovo infinitezimalne. Činjenica je da definicija derivacije temelji se na konceptu granice, što se slabo razmatra u školski tečaj. Zato značajan dio mladih potrošača granitnog znanja slabo prodire u samu bit derivata. Stoga, ako ste loše orijentirani u diferencijalnom računu, ili mudar mozak za duge godine uspješno riješio ovu prtljagu, počnite od granice funkcije. U isto vrijeme svladajte / zapamtite svoju odluku.

Isti praktični smisao sugerira da je prvo isplativo naučiti pronalaziti izvedenice, uključujući izvode složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. U tom smislu, bolje je razraditi navedene osnovne lekcije, a možda i postati majstor diferencijacije a da i ne shvaćaju bit svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi s izvodnicom, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali može se odgoditi. Činjenica je da mnoge primjene derivata ne zahtijevaju njegovo razumijevanje, te ne čudi da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje intervala povećanja/padanja i ekstrema funkcije. Štoviše, bio je u temi dosta dugo " Funkcije i grafovi“, sve dok ga ranije nisam odlučio staviti.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti upijati esenciju derivata, poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Pojam rastućeg, opadajućeg, maksimuma, minimuma funkcije

Puno vodiči za učenje dovesti do pojma izvedenice uz pomoć nekih praktičnih problema, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da moramo putovati u grad do kojeg se može doći na različite načine. Odmah odbacujemo zakrivljene vijugave staze, a razmatrat ćemo samo ravne linije. Međutim, pravocrtni pravci su također drugačiji: možete doći do grada ravnom autocestom. Ili na brdovitom autoputu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ljubitelji uzbuđenja odabrat će rutu kroz klanac sa strmom liticom i strmim usponom.

No bez obzira na vaše želje, preporučljivo je poznavati područje ili ga barem locirati. topografska karta. Što ako takvih informacija nema? Uostalom, možete odabrati, na primjer, ravnu stazu, ali kao rezultat toga, naletjeti na skijašku stazu sa smiješnim Fincima. Nije činjenica da će navigator, pa čak i satelitska slika dati pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef staze pomoću matematike.

Razmotrite neku cestu (bočni pogled):

Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanje se odvija s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da funkcija stalan u području koje se razmatra.

Koje su karakteristike ove karte?

U intervalima funkcija povećava se, odnosno svaku njegovu sljedeću vrijednost više prethodni. Grubo rečeno, raspored ide dolje gore(penjemo se na brdo). A na intervalu funkcija smanjujući se- svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored ide vrh prema dolje(spuštanje niz padinu).

Također obraćamo pozornost na posebne točke. Na točki do koje dolazimo maksimum, to je postoji takav dio puta na kojem će vrijednost biti najveća (najveća). U istoj točki, minimum, I postoji takvo njegovo susjedstvo, u kojem je vrijednost najmanja (najniža).

U lekciji će se razmotriti rigoroznija terminologija i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važnu značajku: na intervalima funkcija raste, ali se povećava S različita brzina . I prva stvar koja upada u oči je da grafikon raste na intervalu mnogo više cool nego na intervalu. Je li moguće izmjeriti strminu ceste pomoću matematičkih alata?

Stopa promjene funkcije

Ideja je sljedeća: uzeti neku vrijednost (čitaj "delta x"), koju ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo ga "isprobavati" na raznim točkama našeg puta:

1) Pogledajmo krajnju lijevu točku: zaobilazeći udaljenost, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Vrijednost se zove prirast funkcije, au ovom slučaju taj priraštaj je pozitivan (razlika vrijednosti duž osi je veća od nule). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine naše ceste. Očito, je vrlo specifičan broj, a budući da su oba povećanja pozitivna, tada je .

Pažnja! Imenovanje su JEDAN simbol, odnosno ne možete "otkinuti" "deltu" od "x" i razmatrati ova slova odvojeno. Naravno, komentar se također odnosi na simbol inkrementa funkcije.

Hajdemo smislenije istražiti prirodu rezultirajuće frakcije. Pretpostavimo da smo u početku na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj točki). Nakon što smo prevladali udaljenost od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će prirast funkcije biti metara (zelena linija) i: . Tako, na svakom metru ovaj dio puta povećava se visina prosjek za 4 metra…zaboravili ste opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rasta) funkcije.

Bilješka : brojčane vrijednosti primjera koji se razmatra samo približno odgovaraju proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne točke. Ovdje je uspon blaži, pa je prirast (grmizna linija) relativno malen, a omjer u odnosu na prethodni slučaj bit će dosta skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje za svaki metar ceste postoji prosjek pola metra gore.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu točku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet svladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na razini od 30 metara. Budući da je pokret napravljen vrh prema dolje(u "suprotnom" smjeru od osi), zatim završni prirast funkcije (visine) bit će negativan: metara (smeđa linija na crtežu). A u ovom slučaju govorimo o stopa raspadanja karakteristike: , odnosno za svaki metar staze ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj točki.

Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara vrlo grubo. Na njih bez problema stane dobrih desetak kvrga. Zašto postoje izbočine, ispod može biti dubok klanac, a nakon nekoliko metara - njegova druga strana s daljnjim strmim usponom. Dakle, s desetmetarskim nećemo dobiti razumljivu karakteristiku takvih dionica staze kroz omjer.

Iz gornje rasprave proizlazi sljedeći zaključak: kako manje vrijednosti , točnije ćemo opisati reljef ceste. Štoviše, istinite su sljedeće činjenice:

– Za bilo koje točke dizanja možete odabrati vrijednost (iako vrlo malu) koja se uklapa u granice jednog ili drugog porasta. A to znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno pokazati rast funkcije u svakoj točki ovih intervala.

- Isto tako, za bilo koji točka nagiba, postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovaj nagib. Stoga je pripadni porast visine jednoznačno negativan, a nejednadžba će ispravno pokazati pad funkcije u svakoj točki zadanog intervala.

– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti prirast visine () znak je ravnomjerne putanje. I drugo, postoje i druge znatiželjne situacije čije primjere vidite na slici. Zamislimo da nas je sudbina odvela na sam vrh brda gdje lebde orlovi ili na dno gudure s kreketom žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, tada će promjena visine biti zanemariva i možemo reći da je brzina promjene funkcije zapravo nula. Isti obrazac se opaža na točkama.

Tako smo se približili nevjerojatnoj prilici da savršeno točno karakteriziramo brzinu promjene funkcije. Na kraju krajeva, matematička analiza nam omogućuje da usmjerimo povećanje argumenta na nulu: to jest, da ga infinitezimalnog.

Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: je li moguće pronaći cestu i njen raspored drugu funkciju, koji bi nam rekao o svim ravninama, uzbrdicama, nizbrdicama, vrhovima, nizinama, kao i stopi povećanja/smanjenja na svakoj točki staze?

Što je derivat? Definicija izvedenice.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala

Čitajte promišljeno i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako se na nekim mjestima nešto čini nejasno, uvijek se možete kasnije vratiti na članak. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se kvalitativno razumjele sve točke (savjet je posebno relevantan za studente "tehničkih" za koje viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).

Naravno, u samoj definiciji derivacije u točki zamijenit ćemo je sa:

Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu je usklađen druga funkcija, koji se zove izvodna funkcija(ili jednostavno izvedenica).

Izvedenica karakterizira stopa promjene funkcije . Kako? Misao ide kao crvena nit od samog početka članka. Razmotrite neku točku domene funkcije . Neka je funkcija diferencijabilna u danoj točki. Zatim:

1) Ako je , tada funkcija raste u točki . A očito postoji interval(čak i ako je vrlo mala) koja sadrži točku u kojoj funkcija raste, a njezin graf ide "odozdo prema gore".

2) Ako je , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži točku u kojoj funkcija opada (graf ide "odozgo prema dolje").

3) Ako je , tada beskrajno blizu u blizini točke, funkcija održava svoju brzinu konstantnom. Ovo se događa, kao što je navedeno, za funkcijsku konstantu i na kritičnim točkama funkcije, posebno u minimalnim i maksimalnim točkama.

Neka semantika. Što znači glagol "razlikovati" u širem smislu? Razlikovati znači izdvojiti značajku. Diferencirajući funkciju, "odabiremo" brzinu njezine promjene u obliku derivacije funkcije. I što se, usput, podrazumijeva pod riječju "derivat"? Funkcija dogodilo se od funkcije.

Pojmovi vrlo uspješno tumače mehaničko značenje izvedenice :
Razmotrimo zakon promjene koordinate tijela koji ovisi o vremenu i funkciju brzine kretanja dato tijelo. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinate tijela, stoga je prva derivacija funkcije po vremenu: . Da koncept "kretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ne bi postojao izvedenica koncept "brzine".

Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: . Da izvorni koncepti “kretanja tijela” i “brzine kretanja tijela” ne postoje u prirodi, onda ih ne bi ni bilo izvedenica pojam ubrzanja tijela.

U zadatku B9 zadan je graf funkcije ili derivacije iz kojeg je potrebno odrediti jednu od sljedećih veličina:

1. Vrijednost derivacije u nekoj točki x 0,
2. Visoke ili niske točke (ekstremne točke),
3. Intervali rastućih i padajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije prikazane u ovom problemu uvijek su kontinuirane, što uvelike pojednostavljuje rješenje. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, sasvim je u moći i najslabijih učenika, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Za pronalaženje vrijednosti derivacije, točaka ekstrema i intervala monotonosti postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - o svima će biti riječi u nastavku.

Pažljivo pročitajte uvjet zadatka B9 kako ne biste napravili glupe pogreške: ponekad naiđete na prilično obimne tekstove, ali važni uvjeti, koji utječu na tijek rješenja, malo je.

Izračun vrijednosti derivata. Metoda dvije točke

Ako je problemu dan graf funkcije f(x), tangenta na taj graf u nekoj točki x 0 , i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u toj točki, primjenjuje se sljedeći algoritam:

1. Pronađite dvije "odgovarajuće" točke na grafu tangente: njihove koordinate moraju biti cijeli brojevi. Označimo te točke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Točno zapišite koordinate - to je ključna točka rješenja, a svaka pogreška ovdje dovodi do pogrešnog odgovora.
2. Poznavajući koordinate, lako je izračunati priraštaj argumenta Δx = x 2 − x 1 i priraštaj funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Konačno, nalazimo vrijednost derivacije D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti prirast funkcije s prirastom argumenta - i to će biti odgovor.

Još jednom napominjemo: točke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što je to često slučaj. Tangenta će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke, inače je problem pogrešno formuliran.

Promotrimo točke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađimo priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Nađimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangente na nju u točki s apscisom x 0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .

Razmotrite točke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite povećanja:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sada nalazimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangente na nju u točki s apscisom x 0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .

Razmotrite točke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite povećanja:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osi OX, derivacija funkcije u točki dodira jednaka je nuli. U ovom slučaju ne morate ništa izračunati - samo pogledajte grafikon.

Izračunavanje visokih i niskih točaka

Ponekad se umjesto grafa funkcije u zadatku B9 daje graf derivacije i traži se pronaći točku maksimuma ili minimuma funkcije. U ovom scenariju, metoda dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, definirajmo terminologiju:

1. Točku x 0 nazivamo točkom maksimuma funkcije f(x) ako u nekoj okolini te točke vrijedi nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Točku x 0 nazivamo točkom minimuma funkcije f(x) ako u nekoj okolini te točke vrijedi nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Za pronalaženje maksimalne i minimalne točke na grafu derivacije dovoljno je izvršiti sljedeće korake:

1. Ponovno nacrtajte graf derivacije, uklanjajući sve nepotrebne podatke. Kao što pokazuje praksa, dodatni podaci samo ometaju rješenje. Stoga na koordinatnoj osi označimo nule derivacije - i to je to.
2. Utvrdite predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku točku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak derivacije je lako odrediti iz izvornog crteža: ako derivacijski graf leži iznad OX osi, tada je f'(x) ≥ 0. Obrnuto, ako derivacijski graf leži ispod OX osi, tada je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovno provjeravamo nule i predznake izvoda. Tamo gdje se znak mijenja iz minusa u plus, nalazi se minimalna točka. Obrnuto, ako se predznak derivacije mijenja s plusa na minus, to je najveća točka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova shema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u problemu B9.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−5; 5]. Pronađite točku minimuma funkcije f(x) na tom segmentu.

Riješimo se nepotrebnih informacija - ostavit ćemo samo granice [−5; 5] i nulte derivacije x = −3 i x = 2,5. Također obratite pažnju na znakove:

Očito se u točki x = −3 predznak derivacije mijenja s minusa na plus. Ovo je minimalna točka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−3; 7]. Pronađite točku maksimuma funkcije f(x) na tom segmentu.

Ponovno nacrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule derivacije x = −1.7 i x = 5. Zabilježite predznake derivacije na dobivenom grafu. Imamo:

Očito, u točki x = 5, predznak derivacije se mijenja iz plusa u minus - to je maksimalna točka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definirane na intervalu [−6; 4]. Odredite broj maksimalnih točaka funkcije f(x) koje pripadaju intervalu [−4; 3].

Iz uvjeta zadatka proizlazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa omeđen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule derivacije unutar njega. Naime, točke x = −3.5 i x = 2. Dobivamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna točka x = 2. U njoj se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus.

Mala napomena o točkama s necijelobrojnim koordinatama. Na primjer, u prošlom zadatku razmatrana je točka x = −3,5, ali s istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem ispravno formuliran, takve izmjene ne bi trebale utjecati na odgovor, budući da točke "bez stalnog mjesta stanovanja" nisu izravno uključene u rješavanje problema. Naravno, s cijelim bodovima takav trik neće uspjeti.

Određivanje intervala rasta i opadanja funkcije

U takvom problemu, poput točaka maksimuma i minimuma, predlaže se pronaći područja u kojima sama funkcija raste ili opada s grafa derivacije. Prvo, definirajmo što su uzlazni i silazni:

1. Funkcija f(x) se naziva rastućom na segmentu ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz tog segmenta vrijedi tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, veća je i vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) se naziva padajućom na segmentu ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz tog segmenta vrijedi tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Oni. veću vrijednost argument odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formuliramo dovoljne uvjete za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) rasla na segmentu dovoljno je da njezina derivacija unutar segmenta bude pozitivna, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Da bi kontinuirana funkcija f(x) opadala na segmentu dovoljno je da njezina derivacija unutar segmenta bude negativna, tj. f'(x) ≤ 0.

Prihvaćamo ove tvrdnje bez dokaza. Dakle, dobivamo shemu za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja, koja je u mnogočemu slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih točaka:

1. Uklonite sve suvišne informacije. Na izvornom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nulte točke funkcije pa ostavljamo samo njih.
2. Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f'(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f'(x) ≤ 0, opada. Ako problem ima ograničenja na varijabli x, dodatno ih označavamo na novom grafikonu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, preostaje izračunati traženu vrijednost u zadatku.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−3; 7.5]. Odredite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite zbroj cijelih brojeva koji se nalaze u tim intervalima.

Kao i obično, ponovno crtamo graf i označavamo granice [−3; 7.5], kao i nulte derivacije x = −1.5 i x = 5.3. Zatim označavamo predznake izvoda. Imamo:

Budući da je derivacija negativna na intervalu (− 1,5), to je interval opadajuće funkcije. Ostaje zbrojiti sve cijele brojeve koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−10; 4]. Odredite intervale rastuće funkcije f(x). U svoj odgovor upiši duljinu najvećeg od njih.

Oslobodimo se suvišnih informacija. Ostavljamo samo granice [−10; 4] i nulte derivacije kojih je ovoga puta ispalo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zabilježite predznake derivacije i dobit ćete sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f'(x) ≥ 0. Dva su takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove duljine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Budući da je potrebno pronaći duljinu najvećeg intervala, kao odgovor pišemo vrijednost l 2 = 5.

Geometrijsko značenje derivacije

ODREĐIVANJE tangente na krivulju Tangenta na krivulju y=ƒ(x) u točki M naziva se granični položaj sekante povučene kroz točku M i njegovu susjednu točku M 1 krivulja, pod uvjetom da točka M 1 približava se neograničeno duž krivulje točki M. GEOMETRIJSKO ZNAČENJE IZVEDENICE Derivacija funkcije y=ƒ(x) u točki x 0 je numerički jednak tangensu kuta nagiba prema osi Oh tangenta povučena na krivulju y=ƒ(x) u točki M (x 0; ƒ (x 0)).

DOTIC DO KRIV Dotichnaya do krivog y=ƒ(x) do točke M naziva se granični položaj sičnog, povučen kroz točku M i s njim suditi poen M 1 krivo, pazite, koja točka M 1 krivulja se približava točki M. GEOMETRIJSKI ZMIST DOBAR Ostale funkcije y=ƒ(x) do točke x 0 brojčano povećati tangentu kuta nahil na os Oh dotichny, izveden do krivulje y=ƒ(x) do točke M (x 0; ƒ (x 0)).

Praktično značenje izvedenice

Razmotrimo što praktično znači vrijednost koju smo pronašli kao derivat neke funkcije.

Kao prvo, izvedenica- ovo je osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakterizira brzinu promjene funkcije u danoj točki.

Što je "stopa promjene"? Zamislite funkciju f(x) = 5. Bez obzira na vrijednost argumenta (x), njegova se vrijednost ni na koji način ne mijenja. Odnosno, stopa promjene je nula.

Sada razmotrite funkciju f(x) = x. Derivacija od x jednaka je jedan. Doista, lako je vidjeti da se za svaku promjenu argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije također povećava za jedan.

S gledišta primljenih informacija, sada pogledajmo tablicu izvedenica jednostavnih funkcija. Polazeći od toga, fizičko značenje pronalaženja izvoda funkcije odmah postaje jasno. Takvo razumijevanje trebalo bi olakšati rješavanje praktičnih problema.

Prema tome, ako derivacija pokazuje brzinu promjene funkcije, onda dvostruka derivacija pokazuje ubrzanje.

2080.1947

Vrlo je lako zapamtiti.

Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Koja pravila? Opet novi mandat?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se uzima iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka, ili lakše.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u točki;
2. u točki;
3. u točki;
4. u točki.

rješenja:

1. (derivacija je ista u svim točkama, jer je to linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).

Pa gdje je neki broj.

Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristimo se jednostavnim pravilom: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kako je bilo, tako i ostaje, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljen u ovom obliku.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:

U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, za pronalaženje proizvoljnog iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :

Moramo dovesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto napisati:

Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:

Izvodnice eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikad ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "kompleksno" ne znači "teško".

Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi ga veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti suprotne korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati dobiveni broj. Dakle, oni nam daju broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda ti kvadriraš ono što sam ja dobio (vežeš vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.

Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer,.

Možemo učiniti iste radnje obrnutim redoslijedom: prvo kvadrirate, a zatim tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugi primjer: (isto). .

Pozvat će se zadnja akcija koju napravimo "vanjsku" funkciju, a prva izvršena radnja - respektivno "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Razdvajanje unutarnje i vanjske funkcije vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kub. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
   A izvorna funkcija je njihov sastav: .
2. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
3. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
4. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .
5. Interno: ; vanjski: .
   Ispitivanje: .

mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

Pa, sad ćemo izdvojiti našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za izvorni primjer to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Čini se da je jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(samo nemojte pokušavati reducirati do sada! Ništa nije izvađeno ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se ovdje radi o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s infinitezimalnim prirastom argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta se uzima iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Izvedeni proizvod:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

1. Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njen izvod.
2. Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge točke.