Der Prozess, die Ableitung einer Funktion zu finden, wird aufgerufen Unterscheidung. Die Ableitung muss in einer Reihe von Problemen im Verlauf der mathematischen Analyse gefunden werden. Zum Beispiel beim Auffinden von Extrempunkten und Wendepunkten eines Funktionsgraphen.

Wie findet man?

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie die Ableitungstabelle elementarer Funktionen kennen und die Grundregeln der Differentiation anwenden:

1. Entfernen der Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Ableitung von Summe/Differenz von Funktionen: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Ableitung des Produkts zweier Funktionen: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Bruchableitung : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. Ableitung zusammengesetzter Funktionen: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Lösungsbeispiele

Beispiel 1

Finde die Ableitung der Funktion $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Lösung

Die Ableitung der Summe/Differenz der Funktionen ist gleich der Summe/Differenz der Ableitungen: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Unter Verwendung der Potenzfunktions-Ableitungsregel $ (x^p)" = px^(p-1) $ haben wir: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Es wurde auch berücksichtigt, dass die Ableitung der Konstanten gleich Null ist. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden eine detaillierte Lösung anbieten. Sie können sich mit dem Ablauf der Berechnung vertraut machen und Informationen sammeln. Dies wird Ihnen helfen, rechtzeitig eine Gutschrift vom Lehrer zu erhalten!

Antworten

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Was ist ein Derivat?
Definition und Bedeutung der Ableitung einer Funktion

Viele werden über die unerwartete Stelle dieses Artikels im Kurs meines Autors über die Ableitung einer Funktion einer Variablen und ihre Anwendungen überrascht sein. Immerhin, wie es aus der Schule war: Ein Standard-Lehrbuch gibt zunächst einmal eine Definition einer Ableitung, ihrer geometrischen, mechanischen Bedeutung. Als nächstes finden die Schüler Ableitungen von Funktionen per Definition, und tatsächlich wird nur dann die Ableitungstechnik perfektioniert Ableitungstabellen.

Pragmatischer ist aus meiner Sicht aber folgender Ansatz: Zunächst einmal empfiehlt es sich, GUT ZU VERSTEHEN Funktionsgrenze, und speziell unendlich klein. Die Sache ist die Die Definition des Derivats basiert auf dem Konzept einer Grenze, was in schlecht berücksichtigt wird Schulkurs. Aus diesem Grund dringt ein erheblicher Teil der jungen Konsumenten von Granitwissen schlecht in die Essenz des Derivats ein. Also, wenn Sie in der Differentialrechnung schlecht orientiert sind, oder ein kluger Kopf für lange Jahre dieses Gepäck erfolgreich entsorgt haben, beginnen Sie bitte mit Funktionsgrenzen. Gleichzeitig meistern / erinnern Sie sich an ihre Entscheidung.

Der gleiche praktische Sinn legt nahe, dass es zuerst profitabel ist lernen, Derivate zu finden, einschließlich Ableitungen komplexer Funktionen. Theorie ist Theorie, aber man will ja immer differenzieren. Diesbezüglich ist es besser, die aufgeführten Grundlektionen zu erarbeiten und vielleicht zu werden Meister der Differenzierung ohne die Essenz ihres Handelns überhaupt zu erkennen.

Ich empfehle, mit den Materialien auf dieser Seite zu beginnen, nachdem Sie den Artikel gelesen haben. Die einfachsten Probleme mit einem Derivat, wobei insbesondere das Problem der Tangente an den Funktionsgraphen betrachtet wird. Aber es kann sich verzögern. Tatsache ist, dass viele Anwendungen der Ableitung kein Verständnis erfordern, und es ist nicht verwunderlich, dass die theoretische Lektion ziemlich spät erschien – als ich sie erklären musste Auffinden von Anstiegs-/Abnahmeintervallen und Extrema Funktionen. Außerdem war er ziemlich lange in dem Thema " Funktionen und Graphen“, bis ich beschloss, es früher einzubauen.

Deshalb, liebe Teekannen, beeilen Sie sich nicht, die Essenz des Derivats wie hungrige Tiere aufzunehmen, da die Sättigung geschmacklos und unvollständig sein wird.

Das Konzept des Erhöhens, Verringerns, Maximums, Minimums einer Funktion

Viele Studienführer führten mit Hilfe einiger praktischer Probleme zum Konzept eines Derivats, und ich fand auch ein interessantes Beispiel. Stellen Sie sich vor, wir müssten in eine Stadt reisen, die auf verschiedenen Wegen zu erreichen ist. Wir verwerfen sofort die gekrümmten gewundenen Pfade und betrachten nur gerade Linien. Aber auch die direkte Anfahrt ist anders: Über eine ebene Autobahn gelangt man in die City. Oder auf einer hügeligen Autobahn – auf und ab, auf und ab. Eine andere Straße geht nur bergauf, und eine andere geht die ganze Zeit bergab. Abenteuerlustige wählen eine Route durch die Schlucht mit einer steilen Felswand und einem steilen Anstieg.

Aber was auch immer Ihre Vorlieben sind, es ist ratsam, die Gegend zu kennen oder zumindest zu lokalisieren. topographische Karte. Was ist, wenn es keine solchen Informationen gibt? Immerhin kann man zum Beispiel einen flachen Weg wählen, stolpert dabei aber über eine Skipiste mit lustigen Finnen. Nicht die Tatsache, dass der Navigator und sogar ein Satellitenbild zuverlässige Daten liefern. Daher wäre es schön, die Entlastung des Weges mathematisch zu formalisieren.

Betrachten Sie eine Straße (Seitenansicht):

Für alle Fälle erinnere ich Sie an eine elementare Tatsache: Die Reise findet statt von links nach rechts. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Funktion kontinuierlich im betrachteten Bereich.

Was sind die Merkmale dieses Diagramms?

In Intervallen Funktion steigt, das heißt, jeder von seinem nächsten Wert mehr Der vorherige. Grob gesagt geht der Zeitplan nach oben(wir besteigen den Hügel). Und auf dem Intervall die Funktion sinkt- jeder nächste Wert weniger der vorherige, und unser Zeitplan geht von oben nach unten(geht den Abhang hinunter).

Darauf achten wir auch besondere Punkte. An dem Punkt, an dem wir ankommen maximal, also existiert ein solcher Abschnitt des Pfades, auf dem der Wert am größten (höchsten) sein wird. An der gleichen Stelle, Minimum, und existiert so seine Nachbarschaft, in der der Wert am kleinsten (niedrigsten) ist.

Strengere Terminologie und Definitionen werden in der Lektion berücksichtigt. über die Extrema der Funktion, aber lassen Sie uns jetzt ein weiteres wichtiges Merkmal untersuchen: die Intervalle die Funktion nimmt zu, aber sie nimmt zu Mit unterschiedliche Geschwindigkeit . Und das erste, was auffällt, ist, dass der Chart im Intervall nach oben steigt viel cooler als im Intervall. Ist es möglich, die Steilheit der Straße mit mathematischen Mitteln zu messen?

Funktionsänderungsrate

Die Idee ist folgende: Nehmen Sie etwas Wert (lesen Sie "Delta x"), die wir anrufen werden Argumenterhöhung, und beginnen wir mit dem "Anprobieren" an verschiedenen Punkten unseres Weges:

1) Betrachten wir den Punkt ganz links: Unter Umgehung der Distanz steigen wir den Hang bis zu einer Höhe (grüne Linie) hinauf. Der Wert wird aufgerufen Funktionsinkrement, und in diesem Fall ist dieses Inkrement positiv (die Differenz der Werte entlang der Achse ist größer als Null). Machen wir das Verhältnis , das das Maß für die Steilheit unserer Straße sein wird. Offensichtlich ist eine sehr spezifische Zahl, und da beide Inkremente positiv sind, dann .

Aufmerksamkeit! Bezeichnung sind EINES Symbol, das heißt, Sie können das „Delta“ nicht vom „x“ „abreißen“ und diese Buchstaben separat betrachten. Der Kommentar gilt natürlich auch für das Inkrementsymbol der Funktion.

Lassen Sie uns die Art des resultierenden Bruchs aussagekräftiger untersuchen. Angenommen, wir befinden uns zunächst in einer Höhe von 20 Metern (im linken schwarzen Punkt). Nachdem wir die Entfernung von Metern (linke rote Linie) überwunden haben, befinden wir uns auf einer Höhe von 60 Metern. Dann wird das Inkrement der Funktion sein Meter (grüne Linie) und: . Auf diese Weise, auf jedem Meter diesen Straßenabschnitt Höhe nimmt zu im mittleren um 4 Meter… hast du deine Kletterausrüstung vergessen? =) Mit anderen Worten, das konstruierte Verhältnis charakterisiert die DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE (in diesem Fall das Wachstum) der Funktion.

Notiz : Zahlenwerte des betrachteten Beispiels entsprechen nur annähernd den Proportionen der Zeichnung.

2) Lassen Sie uns nun die gleiche Entfernung vom schwarzen Punkt ganz rechts gehen. Hier ist der Anstieg sanfter, daher ist die Schrittweite (rote Linie) relativ klein, und das Verhältnis im Vergleich zum vorherigen Fall wird ziemlich bescheiden sein. Relativ gesehen, Meter und Funktionswachstumsrate ist . Das heißt, hier für jeden Meter der Straße gibt es im mittleren einen halben Meter hoch.

3) Ein kleines Abenteuer am Berghang. Schauen wir uns den oberen schwarzen Punkt auf der y-Achse an. Nehmen wir an, dass dies eine Marke von 50 Metern ist. Wieder überwinden wir die Distanz, wodurch wir uns niedriger befinden - auf einer Höhe von 30 Metern. Da wurde die Bewegung gemacht von oben nach unten(in der "entgegengesetzten" Richtung der Achse), dann das Finale das Inkrement der Funktion (Höhe) wird negativ sein: Meter (braune Linie in der Zeichnung). Und in diesem Fall sprechen wir über Zerfallsrate Merkmale: , das heißt, für jeden Meter des Weges dieses Abschnitts nimmt die Höhe ab im mittleren um 2 Meter. Achten Sie beim fünften Punkt auf die Kleidung.

Stellen wir uns nun die Frage: Was ist der beste Wert für "Messstandard"? Es ist klar, dass 10 Meter sehr grob sind. Ein gutes Dutzend Beulen passen problemlos darauf. Warum gibt es Unebenheiten, es kann eine tiefe Schlucht darunter sein, und nach ein paar Metern - seine andere Seite mit einem weiteren steilen Anstieg. Mit einem Zehn-Meter-Wert erhalten wir daher keine verständliche Eigenschaft solcher Abschnitte des Pfades durch das Verhältnis.

Aus der obigen Diskussion folgt folgende Schlussfolgerung: wie weniger Wert , desto genauer werden wir das Relief der Straße beschreiben. Darüber hinaus sind die folgenden Tatsachen wahr:

– Für alle Hebepunkte Sie können einen Wert (wenn auch einen sehr kleinen) wählen, der in die Grenzen des einen oder anderen Anstiegs passt. Und das bedeutet, dass das entsprechende Höheninkrement garantiert positiv ist und die Ungleichung das Wachstum der Funktion an jedem Punkt dieser Intervalle korrekt anzeigt.

- Ebenfalls, für alle Steigungspunkt, gibt es einen Wert, der vollständig auf diese Steigung passt. Daher ist die entsprechende Höhenzunahme eindeutig negativ, und die Ungleichung zeigt die Abnahme der Funktion an jedem Punkt des angegebenen Intervalls korrekt an.

– Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die Änderungsrate der Funktion Null ist: . Erstens ist ein Höheninkrement von Null () ein Zeichen für einen geraden Pfad. Und zweitens gibt es noch andere merkwürdige Situationen, Beispiele dafür sehen Sie in der Abbildung. Stellen Sie sich vor, das Schicksal hat uns auf die Spitze eines Hügels mit hochfliegenden Adlern oder auf den Grund einer Schlucht mit quakenden Fröschen geführt. Wenn Sie einen kleinen Schritt in eine beliebige Richtung machen, ist die Höhenänderung vernachlässigbar, und wir können sagen, dass die Änderungsrate der Funktion tatsächlich Null ist. Das gleiche Muster wird an bestimmten Stellen beobachtet.

Somit haben wir uns einer erstaunlichen Gelegenheit genähert, die Änderungsrate einer Funktion vollkommen genau zu charakterisieren. Schließlich erlaubt uns die mathematische Analyse, das Inkrement des Arguments auf Null zu lenken, das heißt, es zu machen unendlich klein.

Infolgedessen stellt sich eine weitere logische Frage: Ist es möglich, die Straße und ihren Zeitplan zu finden? eine andere Funktion, die würde es uns sagenüber alle Ebenen, Anstiege, Abfahrten, Gipfel, Niederungen sowie die Anstiegs- / Abfallrate an jedem Punkt des Pfades?

Was ist ein Derivat? Definition eines Derivats.
Die geometrische Bedeutung der Ableitung und des Differentials

Bitte aufmerksam und nicht zu schnell lesen – das Material ist einfach und für jeden zugänglich! Es ist in Ordnung, wenn an manchen Stellen etwas nicht ganz klar erscheint, Sie können später immer noch zum Artikel zurückkehren. Ich werde mehr sagen, es ist nützlich, die Theorie mehrmals zu studieren, um alle Punkte qualitativ zu verstehen (der Rat ist besonders relevant für „technische“ Studenten, für die höhere Mathematik eine wichtige Rolle im Bildungsprozess spielt).

Natürlich werden wir es in der Definition der Ableitung an einem Punkt ersetzen durch:

Wozu sind wir gekommen? Und wir kamen zu dem Schluss, dass für eine Funktion nach dem Gesetz ausgerichtet ist andere Funktion, Was heisst Ableitungsfunktion(oder einfach Derivat).

Die Ableitung charakterisiert Änderungsrate Funktionen . Auf welche Weise? Der Gedanke zieht sich wie ein roter Faden von Anfang an durch den Artikel. Betrachten Sie einen Punkt Domänen Funktionen . Die Funktion sei an einem gegebenen Punkt differenzierbar. Dann:

1) Wenn , dann steigt die Funktion am Punkt . Und offensichtlich gibt es das Intervall(auch wenn sehr klein), der den Punkt enthält, an dem die Funktion wächst, und ihr Diagramm geht „von unten nach oben“.

2) Wenn , dann nimmt die Funktion am Punkt ab. Und es gibt ein Intervall, das einen Punkt enthält, an dem die Funktion abnimmt (der Graph geht „von oben nach unten“).

3) Wenn, dann unendlich nah In der Nähe des Punktes hält die Funktion ihre Geschwindigkeit konstant. Dies geschieht, wie erwähnt, für ein funktionskonstantes und an kritischen Stellen der Funktion, insbesondere an den minimalen und maximalen Punkten.

Etwas Semantik. Was bedeutet das Verb „differenzieren“ im weitesten Sinne? Differenzieren bedeutet, ein Merkmal hervorzuheben. Indem wir die Funktion differenzieren, „wählen“ wir die Rate ihrer Änderung in Form einer Ableitung der Funktion . Und was ist übrigens mit dem Wort "Ableitung" gemeint? Funktion passiert aus der Funktion.

Die Begriffe interpretieren sehr erfolgreich die mechanische Bedeutung der Ableitung :
Betrachten wir das Änderungsgesetz der Körperkoordinate, das von der Zeit abhängt, und die Funktion der Bewegungsgeschwindigkeit Körper gegeben. Die Funktion charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Körperkoordinate, ist also die erste Ableitung der Funktion nach der Zeit: . Wenn das Konzept der „Körperbewegung“ in der Natur nicht existierte, dann würde es auch nicht existieren Derivat Begriff „Geschwindigkeit“.

Die Beschleunigung eines Körpers ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also: . Wenn die ursprünglichen Konzepte „Körperbewegung“ und „Körperbewegungsgeschwindigkeit“ in der Natur nicht existierten, dann gäbe es keine Derivat das Konzept der Beschleunigung eines Körpers.

In Aufgabe B9 ist ein Graph einer Funktion oder Ableitung gegeben, aus dem eine der folgenden Größen bestimmt werden muss:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Hoch- oder Tiefpunkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung stark vereinfacht. Obwohl die Aufgabe in den Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für schwächste Schüler durchaus machbar, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu finden, gibt es einfache und universelle Algorithmen - alle werden unten besprochen.

Lesen Sie die Bedingung von Aufgabe B9 genau durch, um keine dummen Fehler zu machen: Manchmal kommen recht umfangreiche Texte rüber, aber wichtige Bedingungen, die den Verlauf der Lösung beeinflussen, gibt es wenige.

Berechnung des Wertes des Derivats. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph der Funktion f(x) gegeben wird, der diesen Graphen an einem Punkt x 0 tangiert, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei "geeignete" Punkte auf dem Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Lassen Sie uns diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2) bezeichnen. Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf - das ist der Schlüsselpunkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Mit Kenntnis der Koordinaten ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten, Sie müssen das Funktionsinkrement durch das Argumentinkrement dividieren - und dies wird die Antwort sein.

Wir halten noch einmal fest: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente wird zwangsläufig mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst ist die Aufgabe falsch formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und finden Sie die Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung finden: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0), finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Jetzt finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Es bleibt der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir die Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse ist, ist die Ableitung der Funktion im Tangentenpunkt gleich Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas berechnen - schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung von Hochs und Tiefs

Manchmal wird in Aufgabe B9 anstelle eines Graphen einer Funktion ein Ableitungsgraph angegeben, und es ist erforderlich, den maximalen oder minimalen Punkt der Funktion zu finden. In diesem Szenario ist die Zweipunktmethode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Lassen Sie uns zunächst die Terminologie definieren:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximumpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte im Graphen der Ableitung zu finden, genügt es, die folgenden Schritte auszuführen:

1. Zeichnen Sie den Graphen der Ableitung neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, stören zusätzliche Daten nur die Lösung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse - und das war's.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Möglichkeiten möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist leicht aus der Originalzeichnung zu bestimmen: liegt der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≥ 0. Umgekehrt, liegt der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, gibt es einen Minimalpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Es wird immer von links nach rechts gezählt.

Dieses Schema funktioniert nur für stetige Funktionen - es gibt keine anderen in Problem B9.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−5; 5]. Finde den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden - wir werden nur die Grenzen verlassen [−5; 5] und die Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Beachten Sie auch die Schilder:

Offensichtlich ändert sich an der Stelle x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von minus nach plus. Dies ist der Mindestpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns den Graphen neu zeichnen und nur die Grenzen [−3; 7] und die Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus - dies ist der Maximalpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−6; vier]. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x), die zum Intervall [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den Teil des Graphen zu betrachten, der durch die Strecke [−4; 3]. Deshalb bauen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und die darin enthaltenen Nullstellen der Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen maximalen Punkt x = 2. Darin ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Zum Beispiel wurde in der letzten Aufgabe der Punkt x = −3,5 betrachtet, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 nehmen. Bei richtiger Problemformulierung sollten solche Änderungen die Antwort nicht beeinflussen, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ nicht direkt an der Lösung des Problems beteiligt sind. Bei ganzzahligen Punkten funktioniert ein solcher Trick natürlich nicht.

Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion finden

Bei einem solchen Problem wird vorgeschlagen, wie bei den Punkten des Maximums und des Minimums, Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst aus dem Graphen der Ableitung zunimmt oder abnimmt. Lassen Sie uns zunächst definieren, was aufsteigend und absteigend ist:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einer Strecke wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Mit anderen Worten, je größer der Wert des Arguments, desto größer der Wert der Funktion.
2. Eine Funktion f(x) heißt fallend auf einer Strecke, wenn für je zwei Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Diese. Größerer Wert argument entspricht dem kleineren Wert der Funktion.

Wir formulieren hinreichende Bedingungen für Zunahme und Abnahme:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment zunimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d.h. f'(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d.h. f'(x) ≤ 0.

Wir akzeptieren diese Behauptungen ohne Beweis. So erhalten wir ein Schema zum Auffinden von Zunahme- und Abnahmeintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle redundanten Informationen. Auf dem ursprünglichen Graphen der Ableitung interessieren uns hauptsächlich die Nullstellen der Funktion, also lassen wir nur sie.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullen. Bei f'(x) ≥ 0 nimmt die Funktion zu und bei f'(x) ≤ 0 ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x hat, markieren wir diese zusätzlich auf dem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und der Einschränkung kennen, bleibt es, den erforderlichen Wert im Problem zu berechnen.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Intervalle der fallenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Summe der ganzen Zahlen, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Wie üblich zeichnen wir den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie die Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann markieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es bleibt, alle ganzen Zahlen zu summieren, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Segment [−10; vier]. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Länge des größten von ihnen.

Lassen Sie uns redundante Informationen loswerden. Wir lassen nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, die sich diesmal als vier herausstellte: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung und erhalten Sie das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. wobei f'(x) ≥ 0. Es gibt zwei solche Intervalle in der Grafik: (−8; −6) und (−3; 2). Lassen Sie uns ihre Länge berechnen:
l 1 = – 6 – (–8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da es erforderlich ist, die Länge des größten Intervalls zu finden, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.

Die geometrische Bedeutung der Ableitung

BESTIMMUNG DER Tangente an eine Kurve Tangente an Kurve y=ƒ(x) am Punkt M heißt Grenzlage der durch den Punkt gezogenen Sekante M und seinem Nachbarpunkt M 1 Kurve, sofern der Punkt M 1 nähert sich unendlich entlang der Kurve einem Punkt M. GEOMETRISCHE BEDEUTUNG DER DERIVATE Ableitung der Funktion y=ƒ(x) am Punkt X 0 ist numerisch gleich dem Tangens des Neigungswinkels an die Achse Oh Tangente an die Kurve gezogen y=ƒ(x) am Punkt M (x 0; f (x 0)).

DOTIC BIS GEBOGEN Dotichnaya zu den Krummen y=ƒ(x) auf den Punkt M genannt die Grenzposition des Sichno, gezeichnet durch den Punkt M und beurteile einen Punkt damit M 1 krumm, wohlgemerkt, was für ein Punkt M 1 die Kurve nähert sich dem Punkt M. GEOMETRISCH ZNEBEL GUT Andere Funktionen y=ƒ(x) auf den Punkt x 0 Erhöhen Sie numerisch die Tangente des Kuta Nahil an die Achse Oh dotichny, durchgeführt zur Kurve y=ƒ(x) auf den Punkt M (x 0; f (x 0)).

Die praktische Bedeutung der Ableitung

Betrachten wir, was der von uns gefundene Wert als Ableitung einer Funktion praktisch bedeutet.

Vor allem, Derivat- Dies ist das Grundkonzept der Differentialrechnung, das die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt charakterisiert.

Was ist „Änderungsrate“? Stellen Sie sich eine Funktion vor f(x) = 5. Unabhängig vom Wert des Arguments (x) ändert sich sein Wert in keiner Weise. Das heißt, die Änderungsrate ist Null.

Betrachten Sie nun die Funktion f(x) = x. Die Ableitung von x ist gleich eins. Tatsächlich ist leicht zu erkennen, dass für jede Änderung des Arguments (x) um eins auch der Wert der Funktion um eins zunimmt.

Betrachten wir nun aus Sicht der erhaltenen Informationen die Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen. Davon ausgehend wird sofort die physikalische Bedeutung der Bestimmung der Ableitung einer Funktion klar. Ein solches Verständnis sollte die Lösung praktischer Probleme erleichtern.

Wenn also die Ableitung die Änderungsrate der Funktion zeigt, dann zeigt die doppelte Ableitung die Beschleunigung.

2080.1947

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, wir werden nicht weit gehen, wir werden sofort die Umkehrfunktion betrachten. Was ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Notation: wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ebenfalls sehr einfach:

Beispiele:

1. Finde die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die in Bezug auf die Ableitung einzigartig einfach sind. Exponential- und Logarithmusfunktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Ableitungsregeln durchgegangen sind.

Abgrenzungsregeln

Welche Regeln? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Unterscheidung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Vorgang? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik heißt das eigentliche Inkrement der Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir zwei Funktionen, zum Beispiel und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Es gibt insgesamt 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich funktioniert diese Regel auch für die Differenz: .

Beweisen wir es. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Ableitung eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden ihre Schrittweite:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion findet, und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl.

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier, prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, dh nicht in einfacherer Form geschrieben werden kann. Daher wird es in der Antwort in dieser Form belassen.

Beachten Sie, dass hier der Quotient zweier Funktionen ist, also wenden wir die entsprechende Differenzierungsregel an:

In diesem Beispiel das Produkt zweier Funktionen:

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie verändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Nur jetzt werden wir anstelle von schreiben:

Der Nenner war nur eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen werden fast nie in der Prüfung gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (obwohl Ihnen der Logarithmus schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird funktionieren), aber in mathematischer Hinsicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen einige Aktionen mit einigen Objekten aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, der mit einem Band umwickelt und gebunden ist. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die entgegengesetzten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Lassen Sie uns eine ähnliche mathematische Pipeline erstellen: Zuerst finden wir den Kosinus einer Zahl und dann quadrieren wir die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Wrapper) und dann quadrierst du, was ich bekommen habe (binde es mit einem Band). Was ist passiert? Funktion. Dies ist das Beispiel komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu finden, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für unser Beispiel .

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders sein wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich die Funktion.

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen "externe" Funktion, bzw. die zuerst durchgeführte Aktion "interne" Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst festzustellen, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ist sehr ähnlich wie beim Ändern von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

1. Welche Maßnahmen ergreifen wir zuerst? Zuerst berechnen wir den Sinus und erst dann erhöhen wir ihn auf einen Würfel. Es ist also eine interne Funktion, keine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokolade extrahieren - suchen Sie nach dem Derivat. Dabei wird immer umgekehrt vorgegangen: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Für das ursprüngliche Beispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Formulieren wir also endlich die offizielle Regel:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach zu sein, oder?

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nicht zu reduzieren! Nichts wird unter dem Kosinus herausgenommen, erinnern Sie sich?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies an sich schon eine komplexe Funktion, und wir extrahieren noch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle stecken und mit einem Band in einer Aktentasche). Aber kein Grund zur Angst: Jedenfalls werden wir diese Funktion in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: von hinten.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es zweckmäßig, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto "externer" wird die entsprechende Funktion. Die Reihenfolge der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist die Verschachtelung im Allgemeinen 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise bestimmen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Nebenhöhlen. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Ableitung der Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Basische Derivate:

Unterscheidungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.