Es wird eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen betrachtet. Es wird ein Beispiel für eine detaillierte Lösung einer Differentialgleichung mit separierbaren Variablen gegeben.

Inhalt

Definition

Lasst uns (X), Q (X)- Funktionen der Variablen x ;
P (y), R (y)- Funktionen der Variablen y .

Eine Differentialgleichung mit separierbaren Variablen ist eine Gleichung der Form

Methode zur Lösung einer Differentialgleichung mit separierbaren Variablen

Betrachten Sie die Gleichung:
(ich) .
Wir drücken die Ableitung y durch Differentiale aus.
;
.
Mit dx multiplizieren.
(ii)
Teilen Sie die Gleichung durch s (x)r(y). Dies ist möglich, wenn s (x) r(y) ≠ 0. Für s (x) r(y) ≠ 0 wir haben
.
Durch die Integration erhalten wir das allgemeine Integral in Quadraturen
(iii) .

Da wir durch s geteilt haben (x)r(y), dann erhalten wir das Integral der Gleichung für s (x) ≠ 0 und r (y) ≠ 0. Als nächstes müssen Sie die Gleichung lösen
R (y) = 0.
Wenn diese Gleichung Wurzeln hat, dann sind sie auch Lösungen der Gleichung (i). Sei die Gleichung r (y) = 0. hat n Wurzeln a i , r (a i ) = 0, ich = 1, 2, ... , n. Dann sind die Konstanten y = a i Lösungen der Gleichung (i). Einige dieser Lösungen sind möglicherweise bereits im allgemeinen Integral (iii) enthalten.

Beachten Sie, dass die Gleichung auch gelöst werden sollte, wenn die ursprüngliche Gleichung in der Form (ii) vorliegt
S (x) = 0.
Seine Wurzeln b j , s (bj) = 0, j = 1, 2, ... , m. Geben Sie Lösungen x = b j an.

Ein Beispiel für die Lösung einer Differentialgleichung mit trennbaren Variablen

löse die Gleichung

Wir drücken die Ableitung durch Differentiale aus:


Mit dx multiplizieren und durch dividieren. Für y ≠ 0 gilt:

Lasst uns integrieren.

Wir berechnen die Integrale nach der Formel.



Durch Einsetzen erhalten wir das allgemeine Integral der Gleichung
.

Betrachten Sie nun den Fall y = 0 .
Es ist offensichtlich, dass y = 0 ist eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Es ist nicht im allgemeinen Integral enthalten.
Fügen wir es also zum Endergebnis hinzu.

; y= 0 .

Verweise:
N.M. Günther, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, Lan, 2003.

Es wird eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen betrachtet, die auf Gleichungen mit separierbaren Variablen reduziert wird. Es wird ein Beispiel für eine detaillierte Lösung einer Differentialgleichung gegeben, die sich auf eine Gleichung mit trennbaren Variablen reduziert.

Inhalt

Formulierung des Problems

Betrachten Sie die Differentialgleichung
(ich) ,
wobei f eine Funktion ist, a, b, c Konstanten sind, b ≠ 0 .
Diese Gleichung wird auf eine Gleichung mit separierbaren Variablen reduziert.

Lösungsmethode

Wir nehmen eine Substitution vor:
u = ax + by + c
Hier ist y eine Funktion von x. Daher ist u auch eine Funktion von x .
Differenzieren Sie nach x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Ersatz (ich)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Oder:
(ii)
Separate Variablen. Mit dx multiplizieren und durch a + b f dividieren (u). Wenn a + b f (u) ≠ 0, Das

Durch die Integration erhalten wir das allgemeine Integral der ursprünglichen Gleichung (ich) in Quadraten:
(iii) .

Betrachten Sie abschließend den Fall
(iv) a + b f (u) = 0.
Angenommen, diese Gleichung hat n Wurzeln u = r i , a + b f (r i ) = 0, ich = 1, 2, ...n. Da die Funktion u = r i konstant ist, ist ihre Ableitung nach x gleich Null. Daher ist u = r i eine Lösung der Gleichung (ii).
Allerdings ist die Gleichung (ii) stimmt nicht mit der ursprünglichen Gleichung überein (ich) und möglicherweise erfüllen nicht alle Lösungen u = r i , ausgedrückt durch die Variablen x und y , die ursprüngliche Gleichung (ich).

Somit ist die Lösung der ursprünglichen Gleichung das allgemeine Integral (iii) und einige Wurzeln der Gleichung (iv).

Ein Beispiel für die Lösung einer Differentialgleichung, die sich auf eine Gleichung mit trennbaren Variablen reduziert

löse die Gleichung
(1)

Wir nehmen eine Substitution vor:
u = x - y
Differenzieren Sie nach x und führen Sie Transformationen durch:
;

Mit dx multiplizieren und durch u dividieren 2 .

Wenn u ≠ 0, dann erhalten wir:

Wir integrieren:

Wir wenden die Formel aus der Integraltabelle an:

Wir berechnen das Integral

Dann
;
, oder

Gemeinsame Entscheidung:
.

Betrachten Sie nun den Fall u = 0 , oder u = x - y = 0 , oder
y=x.
Da y′ = (x)′ = 1, dann ist y = x eine Lösung der ursprünglichen Gleichung (1) .

;
.

Verweise:
N.M. Günther, R.O. Kuzmin, Sammlung von Problemen der höheren Mathematik, Lan, 2003.

Oftmals bereitet die bloße Erwähnung von Differentialgleichungen bei Schülern ein Unbehagen. Warum passiert das? Am häufigsten, weil beim Studium der Grundlagen des Materials eine Wissenslücke entsteht, aufgrund derer das weitere Studium der Diffusions zur bloßen Qual wird. Es ist nicht klar, was zu tun ist und wie man entscheidet, wo man anfangen soll.

Wir werden jedoch versuchen, Ihnen zu zeigen, dass Diffuses nicht so schwierig sind, wie sie scheinen.

Grundbegriffe der Theorie der Differentialgleichungen

Aus der Schule kennen wir die einfachsten Gleichungen, in denen wir die Unbekannte x finden müssen. In der Tat Differentialgleichung nur geringfügig von ihnen abweichend - statt einer Variablen X Sie müssen eine Funktion finden y(x) , wodurch die Gleichung in eine Identität umgewandelt wird.

Differentialgleichung sind von großer praktischer Bedeutung. Dies ist keine abstrakte Mathematik, die nichts mit der Welt um uns herum zu tun hat. Mit Hilfe von Differentialgleichungen werden viele reale Naturprozesse beschrieben. Beispielsweise ermitteln Saitenschwingungen, die Bewegung eines harmonischen Oszillators, mittels Differentialgleichungen in den Problemen der Mechanik die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers. Auch DU werden häufig in der Biologie, Chemie, Wirtschaft und vielen anderen Wissenschaften verwendet.

Differentialgleichung (DU) ist eine Gleichung, die die Ableitungen der Funktion y(x), die Funktion selbst, unabhängige Variablen und andere Parameter in verschiedenen Kombinationen enthält.

Es gibt viele Arten von Differentialgleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare und nichtlineare, homogene und inhomogene Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, partielle Differentialgleichungen und so weiter.

Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die sie in eine Identität umwandelt. Es gibt allgemeine und spezielle Lösungen der Fernbedienung.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist die allgemeine Menge von Lösungen, die die Gleichung in eine Identität umwandeln. Eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung ist eine Lösung, die zusätzliche, anfangs angegebene Bedingungen erfüllt.

Die Ordnung einer Differentialgleichung wird durch die höchste Ordnung der darin enthaltenen Ableitungen bestimmt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine unabhängige Variable enthalten.

Betrachten Sie die einfachste gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Es sieht aus wie:

Diese Gleichung kann durch einfache Integration ihrer rechten Seite gelöst werden.

Beispiele für solche Gleichungen:

Trennbare Variablengleichungen

IN Gesamtansicht Diese Art von Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Hier ist ein Beispiel:

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie die Variablen trennen und sie in die folgende Form bringen:

Danach müssen beide Teile integriert und eine Lösung gefunden werden.

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Solche Gleichungen haben die Form:

Hier sind p(x) und q(x) einige Funktionen der unabhängigen Variablen und y=y(x) ist die gewünschte Funktion. Hier ist ein Beispiel für eine solche Gleichung:

Beim Lösen einer solchen Gleichung verwenden sie meist die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder stellen die gewünschte Funktion als Produkt zweier anderer Funktionen dar y(x)=u(x)v(x).

Um solche Gleichungen zu lösen, ist eine gewisse Vorbereitung erforderlich, und es wird ziemlich schwierig sein, sie „aus einer Laune heraus“ zu lösen.

Ein Beispiel für die Lösung einer DE mit trennbaren Variablen

Deshalb haben wir uns die einfachsten Arten der Fernbedienung angesehen. Werfen wir nun einen Blick auf einen davon. Es sei eine Gleichung mit separierbaren Variablen.

Zuerst schreiben wir die Ableitung in eine bekanntere Form um:

Dann werden wir die Variablen trennen, das heißt, in einem Teil der Gleichung sammeln wir alle „Spiele“ und im anderen die „xes“:

Jetzt müssen noch beide Teile integriert werden:

Wir integrieren und erhalten die allgemeine Lösung dieser Gleichung:

Natürlich ist das Lösen von Differentialgleichungen eine Art Kunst. Sie müssen in der Lage sein, zu verstehen, zu welcher Art eine Gleichung gehört, und auch zu erkennen, welche Transformationen Sie daran vornehmen müssen, um sie in die eine oder andere Form zu bringen, ganz zu schweigen von der Fähigkeit zur Differenzierung und Integration. Und es erfordert Übung (wie bei allem), um DE erfolgreich zu lösen. Und wenn ja dieser Moment Sie haben keine Zeit, sich mit der Lösung von Differentialgleichungen zu befassen, das Cauchy-Problem ist Ihnen wie ein Knochen im Hals stecken geblieben oder Sie wissen nicht, wie man eine Präsentation richtig formatiert, wenden Sie sich an unsere Autoren. Wir liefern Ihnen in kurzer Zeit eine fertige und detaillierte Lösung, deren Einzelheiten Sie jederzeit nachvollziehen können. In der Zwischenzeit empfehlen wir Ihnen, sich ein Video zum Thema „So lösen Sie Differentialgleichungen“ anzusehen:

Differentialgleichungen erster Ordnung. Lösungsbeispiele.
Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen

Differentialgleichungen (DE). Diese beiden Worte erschrecken den durchschnittlichen Laien normalerweise. Differentialgleichungen scheinen für viele Schüler etwas Unverschämtes und schwer zu Beherrschendes zu sein. Uuuuuu… Differentialgleichungen, wie soll ich das alles überleben?!

Eine solche Meinung und eine solche Einstellung ist grundsätzlich falsch, denn tatsächlich Differentialgleichungen sind einfach und machen sogar Spaß. Was müssen Sie wissen und lernen können, um Differentialgleichungen zu lösen? Um Unterschiede erfolgreich zu studieren, müssen Sie gut darin sein, zu integrieren und zu differenzieren. Je besser die Themen studiert werden Ableitung einer Funktion einer Variablen Und Unbestimmtes Integral, desto einfacher wird es, Differentialgleichungen zu verstehen. Ich sage noch mehr: Wenn Sie über mehr oder weniger gute Integrationsfähigkeiten verfügen, ist das Thema praktisch gemeistert! Je mehr Integrale unterschiedlicher Art Sie lösen können, desto besser. Warum? Man muss viel integrieren. Und differenzieren. Auch sehr empfehlenswert lernen zu finden.

In 95 % der Fälle Kontrollarbeit Es gibt 3 Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen, die wir in dieser Lektion behandeln werden; homogene Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen. Für Anfänger im Studium von Diffusoren empfehle ich Ihnen, die Lektionen in dieser Reihenfolge zu lesen, und nach dem Studium der ersten beiden Artikel wird es nicht schaden, Ihre Fähigkeiten in einem zusätzlichen Workshop zu festigen - Gleichungen, die auf homogen reduziert werden.

Es gibt noch seltenere Arten von Differentialgleichungen: Gleichungen in totalen Differentialgleichungen, Bernoulli-Gleichungen und einige andere. Von den letzten beiden Typen sind die Gleichungen in totalen Differentialgleichungen die wichtigsten, da ich zusätzlich zu dieser DE neues Material in Betracht ziehe – Teilintegration.

Wenn Sie nur noch ein oder zwei Tage Zeit haben, Das für ultraschnelle Zubereitung Es gibt Blitzkurs im PDF-Format.

Die Weichen sind also gestellt – los geht’s:

Erinnern wir uns zunächst an die üblichen algebraischen Gleichungen. Sie enthalten Variablen und Zahlen. Das einfachste Beispiel: . Was bedeutet es, eine gewöhnliche Gleichung zu lösen? Das bedeutet finden Reihe von Zahlen die diese Gleichung erfüllen. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kindergleichung eine einzige Wurzel hat: . Lassen Sie uns zum Spaß eine Überprüfung durchführen und die gefundene Wurzel in unsere Gleichung einsetzen:

- Die richtige Gleichheit wird erreicht, was bedeutet, dass die Lösung richtig gefunden wird.

Diffusoren sind auf die gleiche Weise angeordnet!

Differentialgleichung erste Bestellung Im Algemeinen enthält:
1) unabhängige Variable;
2) abhängige Variable (Funktion);
3) die erste Ableitung der Funktion: .

In einigen Gleichungen 1. Ordnung darf es kein „x“ oder (und) „y“ geben, dies ist jedoch nicht unbedingt erforderlich – wichtig so dass in DU War erste Ableitung und hatte nicht Derivate höherer Ordnung - usw.

Was heißt ? Eine Differentialgleichung lösen heißt finden Menge aller Funktionen die diese Gleichung erfüllen. Eine solche Menge von Funktionen hat oft die Form ( ist eine beliebige Konstante), die aufgerufen wird allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Beispiel 1

Differentialgleichung lösen

Volle Munition. Wo soll ich anfangen? Lösung?

Zunächst müssen Sie die Ableitung in einer etwas anderen Form umschreiben. Wir erinnern uns an die umständliche Notation, die viele von Ihnen wahrscheinlich für lächerlich und unnötig hielten. Es ist das, was bei Diffusoren herrscht!

Im zweiten Schritt schauen wir, ob es möglich ist Variablen teilen? Was bedeutet es, Variablen zu trennen? Grob gesagt, auf der linken Seite wir müssen gehen nur „Spiele“, A auf der rechten Seite organisieren nur x. Die Trennung der Variablen erfolgt mit Hilfe „schulischer“ Manipulationen: Klammern, Übertragung von Begriffen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Übertragung von Faktoren von Teil zu Teil nach der Proportionsregel usw.

Differentiale und sind vollwertige Multiplikatoren und aktive Teilnehmer an Feindseligkeiten. In diesem Beispiel lassen sich die Variablen leicht durch Umkehrfaktoren gemäß der Proportionsregel trennen:

Variablen werden getrennt. Auf der linken Seite nur „Spiel“, auf der rechten Seite nur „X“.

Nächste Stufe - Differentialgleichungsintegration. Es ist ganz einfach, wir hängen Integrale an beide Teile:

Natürlich müssen Integrale gebildet werden. In diesem Fall sind sie tabellarisch:

Wie wir uns erinnern, wird jeder Stammfunktion eine Konstante zugewiesen. Hier gibt es zwei Integrale, aber es reicht aus, die Konstante einmal zu schreiben (weil eine Konstante + eine Konstante immer noch gleich einer anderen Konstante ist). In den meisten Fällen wird es auf der rechten Seite platziert.

Streng genommen gilt die Differentialgleichung nach der Bildung der Integrale als gelöst. Das Einzige ist, dass unser „y“ nicht durch „x“ ausgedrückt wird, das heißt, die Lösung wird präsentiert implizit form. Die implizite Lösung einer Differentialgleichung heißt allgemeines Integral der Differentialgleichung. Das heißt, ist das allgemeine Integral.

Eine Antwort in dieser Form ist durchaus akzeptabel, aber gibt es eine bessere Option? Versuchen wir es zu bekommen gemeinsame Entscheidung.

Bitte, Erinnern Sie sich an die erste Technik, es ist sehr verbreitet und wird oft in praktischen Aufgaben verwendet: Wenn nach der Integration auf der rechten Seite ein Logarithmus erscheint, dann ist es in vielen Fällen (aber keineswegs immer!) ratsam, die Konstante auch unter den Logarithmus zu schreiben. Und schreiben Sie IMMER, wenn nur Logarithmen erhalten werden (wie im betrachteten Beispiel)..

Also, ANSTATT Aufzeichnungen werden in der Regel geschrieben .

Warum ist das nötig? Und um es einfacher zu machen, „y“ auszudrücken. Wir nutzen die Eigenschaft des Logarithmus . In diesem Fall:

Jetzt können Logarithmen und Module entfernt werden:

Die Funktion wird explizit dargestellt. Dies ist die allgemeine Lösung.

Antworten: gemeinsame Entscheidung: .

Die Antworten auf viele Differentialgleichungen sind relativ einfach zu überprüfen. In unserem Fall geht das ganz einfach, wir nehmen die gefundene Lösung und differenzieren sie:

Dann setzen wir die Ableitung in die ursprüngliche Gleichung ein:

- Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass die allgemeine Lösung die Gleichung erfüllt, die überprüft werden musste.

Eine Konstante geben verschiedene Bedeutungen, man kann unendlich viele bekommen private Entscheidungen Differentialgleichung. Es ist klar, dass alle Funktionen , usw. erfüllt die Differentialgleichung.

Manchmal wird die allgemeine Lösung aufgerufen Familie von Funktionen. In diesem Beispiel die allgemeine Lösung ist eine Familie linearer Funktionen bzw. eine Familie direkter Proportionalitäten.

Nach einer ausführlichen Diskussion des ersten Beispiels ist es angebracht, einige naive Fragen zu Differentialgleichungen zu beantworten:

1)In diesem Beispiel ist es uns gelungen, die Variablen zu trennen. Ist das immer möglich? Nein nicht immer. Und noch häufiger lassen sich die Variablen nicht trennen. Zum Beispiel in homogene Gleichungen erster Ordnung muss zuerst ausgetauscht werden. Bei anderen Gleichungstypen, beispielsweise bei einer linearen inhomogenen Gleichung erster Ordnung, müssen Sie verschiedene Tricks und Methoden anwenden, um eine allgemeine Lösung zu finden. Die Gleichungen mit separierbaren Variablen, die wir in der ersten Lektion betrachten, sind die einfachste Art von Differentialgleichungen.

2) Ist es immer möglich, eine Differentialgleichung zu integrieren? Nein nicht immer. Es ist sehr einfach, eine „ausgefallene“ Gleichung aufzustellen, die nicht integriert werden kann, außerdem gibt es Integrale, die nicht genommen werden können. Solche DEs können jedoch mit speziellen Methoden näherungsweise gelöst werden. D'Alembert und Cauchy garantieren... ...ugh, lurkmore.to Ich habe gerade viel gelesen, ich hätte fast "aus der anderen Welt" hinzugefügt.

3) In diesem Beispiel haben wir eine Lösung in Form eines allgemeinen Integrals erhalten . Ist es immer möglich, eine allgemeine Lösung aus dem allgemeinen Integral zu finden, also „y“ in einer expliziten Form auszudrücken? Nein nicht immer. Zum Beispiel: . Nun, wie kann ich hier „y“ ausdrücken?! In solchen Fällen sollte die Antwort als allgemeines Integral geschrieben werden. Darüber hinaus kann manchmal eine allgemeine Lösung gefunden werden, die jedoch so umständlich und ungeschickt geschrieben ist, dass es besser ist, die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen

4) ...vielleicht genug für den Moment. Im ersten Beispiel trafen wir uns noch eins wichtiger Punkt , aber um die „Dummies“ nicht mit einer Lawine neuer Informationen zu überschütten, werde ich es bis zur nächsten Lektion aufschieben.

Beeilen wir uns nicht. Eine weitere einfache Fernbedienung und eine weitere typische Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt

Lösung: entsprechend der Bedingung, die gefunden werden muss private Lösung DE, das eine gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Diese Art der Befragung nennt man auch Cauchy-Problem.

Zunächst finden wir eine allgemeine Lösung. Es gibt keine „x“-Variable in der Gleichung, aber das sollte nicht peinlich sein, Hauptsache, sie hat die erste Ableitung.

Wir schreiben die Ableitung in die erforderliche Form um:

Offensichtlich können die Variablen unterteilt werden, Jungen auf der linken Seite, Mädchen auf der rechten Seite:

Wir integrieren die Gleichung:

Man erhält das allgemeine Integral. Hier habe ich eine Konstante mit einem Akzentstern gezeichnet, Tatsache ist, dass sie sich sehr bald in eine andere Konstante verwandeln wird.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral in eine allgemeine Lösung umzuwandeln (explizit „y“ ausdrücken). Wir erinnern uns an die alte, gute Schule: . In diesem Fall:

Die Konstante im Indikator sieht irgendwie nicht koscher aus, daher wird sie normalerweise vom Himmel auf die Erde gesenkt. Im Detail passiert es so. Unter Verwendung der Gradeigenschaft schreiben wir die Funktion wie folgt um:

Wenn es eine Konstante ist, dann gibt es auch eine Konstante, benennen Sie sie mit dem Buchstaben um:
- Gleichzeitig entfernen wir das Modul, woraufhin die Konstante „ce“ sowohl positiv als auch annehmen kann negative Werte

Denken Sie daran, dass der „Abriss“ einer Konstante ist zweite Technik, das häufig im Zuge der Lösung von Differentialgleichungen verwendet wird. Auf einer sauberen Kopie können Sie sofort weitermachen zu , aber seien Sie immer bereit, diesen Übergang zu erklären.

Die allgemeine Lösung lautet also: So eine schöne Familie von Exponentialfunktionen.

Im letzten Schritt müssen Sie eine bestimmte Lösung finden, die die gegebene Anfangsbedingung erfüllt. Es ist auch einfach.

Was ist die Aufgabe? Muss abgeholt werden solch der Wert der Konstante, um die Bedingung zu erfüllen.

Sie können es auf unterschiedliche Weise arrangieren, aber die verständlichste wird vielleicht so sein. In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „x“ Null und anstelle von „y“ zwei:



Also,

Standardausführung:

Nun setzen wir den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein:
– Das ist genau die Lösung, die wir brauchen.

Antworten: private Lösung:

Machen wir einen Check. Die Überprüfung einer bestimmten Lösung umfasst zwei Phasen:

Zunächst muss geprüft werden, ob die gefundene konkrete Lösung die Anfangsbedingung wirklich erfüllt? Anstelle von „x“ ersetzen wir Null und sehen, was passiert:
- Ja, tatsächlich wurde eine Zwei erhalten, was bedeutet, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist.

Die zweite Stufe ist bereits bekannt. Wir nehmen die resultierende spezielle Lösung und finden die Ableitung:

Ersetzen Sie in der ursprünglichen Gleichung:

- die richtige Gleichheit erreicht wird.

Fazit: Die jeweilige Lösung ist richtig gefunden.

Kommen wir zu aussagekräftigeren Beispielen.

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Lösung: Wir schreiben die Ableitung in der Form um, die wir brauchen:

Beurteilen, ob Variablen getrennt werden können? Dürfen. Den zweiten Term übertragen wir mit Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite:

Und wir drehen die Faktoren nach der Proportionsregel um:

Die Variablen sind getrennt, integrieren wir beide Teile:

Ich muss Sie warnen, der Tag des Jüngsten Gerichts steht vor der Tür. Wenn Sie nicht gut gelernt haben unbestimmte Integrale, ein paar Beispiele gelöst, dann gibt es keinen Weg mehr – man muss sie jetzt beherrschen.

Das Integral der linken Seite ist leicht zu finden, mit dem Integral des Kotangens befassen wir uns mit der Standardtechnik, die wir in der Lektion betrachtet haben Integration trigonometrischer Funktionen letztes Jahr:

Als Ergebnis haben wir nur Logarithmen erhalten, und gemäß meiner ersten technischen Empfehlung definieren wir auch die Konstante unter dem Logarithmus.

Jetzt versuchen wir, das allgemeine Integral zu vereinfachen. Da wir nur Logarithmen haben, ist es durchaus möglich (und notwendig), sie loszuwerden. Mit Hilfe bekannte Eigenschaften die Logarithmen maximal „packen“. Ich werde ausführlich schreiben:

Die Verpackung ist komplett, um barbarisch zerfetzt zu sein:
, und sofort-sofort geben gemeinsames Integral in den Geist, so schnell wie möglich:

Im Allgemeinen ist es nicht notwendig, dies zu tun, aber es ist immer von Vorteil, den Professor zufrieden zu stellen ;-)

Im Prinzip kann dieses Meisterwerk als Antwort geschrieben werden, aber hier ist es immer noch angebracht, beide Teile zu quadrieren und die Konstante neu zu definieren:

Antworten: allgemeines Integral:

! Notiz: Das allgemeine Integral kann oft auf mehr als eine Weise geschrieben werden. Wenn Ihr Ergebnis also nicht mit einer zuvor bekannten Antwort übereinstimmt, bedeutet dies nicht, dass Sie die Gleichung falsch gelöst haben.

Kann man „y“ ausdrücken? Dürfen. Lassen Sie uns die allgemeine Lösung ausdrücken:

Natürlich ist das erhaltene Ergebnis für eine Antwort geeignet, aber beachten Sie, dass das allgemeine Integral kompakter aussieht und die Lösung kürzer ausfällt.

Dritter Techniktipp:Wenn eine erhebliche Anzahl von Aktionen durchgeführt werden muss, um eine allgemeine Lösung zu erhalten, ist es in den meisten Fällen besser, auf diese Aktionen zu verzichten und die Antwort in Form eines allgemeinen Integrals zu belassen. Gleiches gilt für „schlechte“ Handlungen, wenn es darum geht, eine Umkehrfunktion auszudrücken, zu potenzieren, eine Wurzel zu ziehen usw. Tatsache ist, dass die allgemeine Lösung anmaßend und umständlich aussehen wird – mit großen Wurzeln, Zeichen und anderem mathematischen Müll.

Wie zu überprüfen? Die Überprüfung kann auf zwei Arten erfolgen. Methode eins: Nehmen Sie die allgemeine Lösung , finden wir die Ableitung und setze sie in die ursprüngliche Gleichung ein. Versuch es selber!

Die zweite Möglichkeit besteht darin, das allgemeine Integral zu differenzieren. Es ist ziemlich einfach, die Hauptsache ist, es finden zu können Ableitung einer implizit definierten Funktion:

Teilen Sie jeden Begriff durch:

und weiter:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde exakt erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 4

Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Ich erinnere Sie daran, dass der Algorithmus aus zwei Phasen besteht:
1) eine allgemeine Lösung finden;
2) Finden der erforderlichen Einzellösung.

Die Prüfung erfolgt ebenfalls in zwei Schritten (siehe Beispiel in Beispiel Nr. 2), Sie benötigen:
1) Stellen Sie sicher, dass die jeweilige gefundene Lösung die Anfangsbedingung erfüllt;
2) Überprüfen Sie, ob eine bestimmte Lösung im Allgemeinen die Differentialgleichung erfüllt.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung , was die Anfangsbedingung erfüllt. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Lösung: Finden wir zunächst eine allgemeine Lösung. Diese Gleichung enthält bereits vorgefertigte Differentiale und , was bedeutet, dass die Lösung vereinfacht ist. Trennende Variablen:

Wir integrieren die Gleichung:

Das Integral links ist tabellarisch, das Integral rechts wird genommen die Methode zum Summieren der Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials:

Das allgemeine Integral wurde erhalten. Ist es möglich, die allgemeine Lösung erfolgreich auszudrücken? Dürfen. Wir hängen auf beiden Seiten Logarithmen auf. Da sie positiv sind, sind die Modulo-Vorzeichen überflüssig:

(Ich hoffe, jeder versteht die Transformation, solche Dinge sollten bereits bekannt sein)

Die allgemeine Lösung lautet also:

Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
In der allgemeinen Lösung ersetzen wir anstelle von „x“ Null und anstelle von „y“ den Logarithmus von zwei:

Bekannteres Design:

Wir setzen den gefundenen Wert der Konstante in die allgemeine Lösung ein.

Antworten: private Lösung:

Prüfen: Prüfen Sie zunächst, ob die Ausgangsbedingung erfüllt ist:
- Alles ist gut.

Prüfen wir nun, ob die gefundene spezielle Lösung die Differentialgleichung überhaupt erfüllt. Wir finden die Ableitung:

Schauen wir uns die ursprüngliche Gleichung an: – es wird in Differentialen dargestellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu überprüfen. Es ist möglich, das Differential aus der gefundenen Ableitung auszudrücken:

Wir setzen die gefundene spezielle Lösung und das resultierende Differential in die ursprüngliche Gleichung ein :

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität:

Man erhält die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die jeweilige Lösung richtig gefunden wird.

Die zweite Art der Überprüfung ist gespiegelt und bekannter: anhand der Gleichung Drücken Sie die Ableitung aus, dazu dividieren wir alle Stücke durch:

Und im transformierten DE ersetzen wir die erhaltene bestimmte Lösung und die gefundene Ableitung. Durch Vereinfachungen soll auch die richtige Gleichheit erreicht werden.

Beispiel 6

Finden Sie das allgemeine Integral der Gleichung und geben Sie die Antwort als an.

Dies ist ein Beispiel für die Selbstlösung, vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Welche Schwierigkeiten erwarten Sie bei der Lösung von Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen?

1) Es ist nicht immer offensichtlich (insbesondere bei einer Teekanne), dass Variablen getrennt werden können. Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel: . Hier müssen Sie die Faktoren aus Klammern herausnehmen: und die Wurzeln trennen:. Wie es weitergeht, ist klar.

2) Schwierigkeiten bei der Integration selbst. Integrale entstehen oft nicht einfach, und wenn es Mängel in den Findungskompetenzen gibt unbestimmtes Integral, dann wird es bei vielen Diffusoren schwierig. Darüber hinaus ist die Logik bei den Verfassern von Sammlungen und Handbüchern beliebt: „Da die Differentialgleichung einfach ist, werden zumindest die Integrale komplizierter.“

3) Transformationen mit einer Konstante. Wie jeder bemerkt hat, lässt sich eine Konstante in Differentialgleichungen recht frei handhaben und einige Transformationen sind für einen Anfänger nicht immer klar. Schauen wir uns ein weiteres hypothetisches Beispiel an: . Darin empfiehlt es sich, alle Terme mit 2 zu multiplizieren: . Die resultierende Konstante ist ebenfalls eine Art Konstante, die wie folgt bezeichnet werden kann: . Ja, und da wir die gleichen Logarithmen haben, empfiehlt es sich, die Konstante in eine andere Konstante umzuschreiben: .

Das Problem ist, dass sie sich oft nicht um Indizes kümmern und denselben Buchstaben verwenden. Als Ergebnis hat der Entscheidungsdatensatz die folgende Form:

Was zum Teufel?! Hier sind die Fehler! Streng genommen ja. Aus inhaltlicher Sicht liegen jedoch keine Fehler vor, da durch die Transformation einer Variablenkonstante eine äquivalente Variablenkonstante erhalten wird.

Oder ein anderes Beispiel: Nehmen wir an, dass im Zuge der Lösung der Gleichung ein allgemeines Integral erhalten wird. Diese Antwort sieht hässlich aus, daher ist es ratsam, das Vorzeichen jedes Begriffs zu ändern: . Formal liegt wieder ein Fehler vor – rechts müsste geschrieben werden. Aber es wird informell impliziert, dass „minus ce“ immer noch eine Konstante ist, die genauso gut die gleichen Werte annehmen kann, und daher macht die Angabe „minus“ keinen Sinn.

Ich werde versuchen, eine nachlässige Vorgehensweise zu vermeiden und bei der Konvertierung dennoch unterschiedliche Indizes für Konstanten anzugeben. Das ist es, was ich Ihnen rate.

Beispiel 7

Lösen Sie die Differentialgleichung. Führen Sie eine Überprüfung durch.

Lösung: Diese Gleichung erlaubt die Trennung von Variablen. Trennende Variablen:

Wir integrieren:

Die Konstante muss hier nicht logarithmisch definiert werden, da daraus nichts Gutes wird.

Antworten: allgemeines Integral:

Und natürlich ist es hier NICHT ERFORDERLICH, „y“ explizit auszudrücken, da es sich sonst als Müll herausstellt (denken Sie an den dritten technischen Tipp).

Untersuchung: Differenzieren Sie die Antwort (implizite Funktion):

Wir verzichten auf Brüche, dafür multiplizieren wir beide Terme mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass das allgemeine Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 8

Finden Sie eine bestimmte Lösung von DE.
,

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