Как да представим 10 като десетичен знак. Как да представим дроб като десетичен знак. Какви дроби съществуват

В тази статия ще анализираме как превръщане на обикновени дроби в десетични знаци , а също така разгледайте обратния процес - преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на обикновени дроби в десетични.

Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните дроби по същество са компактна форма на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....

След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. При това преобразуване на обикновени дроби се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетични дроби

Някои редовни дроби се нуждаят от "предварителна подготовка", преди да се превърнат в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не е необходимо да се подготвя.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

• запишете 0;
• поставете десетична точка след него;
• записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Обмислете приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули в своя запис. Числителят съдържа числото 37, в неговия запис има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя, докато получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да консолидираме уменията за превод на редовни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме .

Остава да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, първо, записваме 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107 , като резултат имаме десетична дроб 0,0000107 .

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните обикновени дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:

• запишете числото от числителя;
• разделяме с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на първоначалната дроб.

Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилна обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична.

Решение.

Първо записваме числото от числителя 56888038009 и второ отделяме 5 цифри отдясно с десетична запетая, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

• ако е необходимо, извършваме „предварителна подготовка“ на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули отляво в числителя;
• запишете цялата част от първоначалното смесено число;
• поставете десетична точка;
• записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека разгледаме пример, при решаването на който ще извършим всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.

Пример.

Преобразувайте смесено число в десетично.

Решение.

Има 4 нули в знаменателя на дробната част и числото 17 в числителя, състоящ се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на знаците там да стане равен на брой нули в знаменателя. Като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, докато получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Несъмнено беше възможно смесеното число първо да се представи като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби

В десетична дроб могат да се преобразуват не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ..., но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (виж редуцирането на обикновена дроб до нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат преобразувани в десетична дроб 0, четири .

В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, което сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а десетичната запетая се поставя в частното, когато делението на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична.

Решение.

Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. Като начало ще добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от деленето на колона от естествени числа, след което стигаме до следната картина:

Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента и остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението по колона, като игнорираме запетаите:

Това деление е завършено и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, нека разделим десетичната дроб 21 000 ... на 800 с колона. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, с това преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетичната дроб е завършено и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб никога да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи колкото желаете. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично, докато цифрите в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната обикновена дроб се превръща в безкраен периодичен десетичен знак. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете обикновената дроб 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, извършваме деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното числата 1 и 8 се повтарят. Така оригиналната обикновена дроб 19/44 се превежда в периодична десетична дроб 0,43181818…=0,43(18) .

Отговор:

0,43(18) .

В заключение на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме нередуцируема обикновена дроб пред нас (ако дробта е редуцируема, тогава първо извършваме редукцията на дробта) и трябва да разберем в каква десетична дроб може да бъде преобразувана - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да бъде преобразувана в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... А кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, … ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . От това следва, че делителите на 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито разложения на прости множители съдържат само числата 2 и (или) 5 .

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични дроби:

• ако само числата 2 и (или) 5 присъстват в разлагането на знаменателя на прости множители, тогава тази дроб може да бъде преобразувана в последна десетична дроб;
• ако освен две и петици има и други в разширението на знаменателя прости числа, тогава тази дроб се превежда в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя може да се преобразува само в периодична.

Решение.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 47/20 има формата 20=2 2 5 . В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 7/12 има формата 12=2 2 3 . Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.

Фракция 21/56 - свиваем, след редукция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и дробта, равна на нея 21/56, могат да бъдат преведени в крайна десетична дроб.

И накрая, разширението на знаменателя на дробта 31/17 само по себе си е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в краен десетичен знак, докато 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен десетичен знак.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни неповтарящи се десетични знаци

Информацията от предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя“?

Отговор: не. При превод на обикновена дроб може да се получи или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, т.е. ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава само едно от числата 0, 1, 2, ..., q −1 може да бъде остатъкът. От това следва, че след приключване на делението на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, след не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:

• или получаваме остатъка 0, това ще приключи делението и ще получим последната десетична дроб;
• или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби

Получаването на обикновена дроб, която се записва като последна десетична дроб, е доста проста. Правилото за преобразуване на крайна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

• първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
• второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме примери.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в обикновена дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3025. Няма нули отляво, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на търсената дроб записваме 3025.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.

Така че имаме обикновена дроб 3 025/1 000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в обикновена дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

В знаменателя записваме единица с четири нули, тъй като в оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част от оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на последен десетичен знак в смесено число:

• числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
• в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво в нея;
• в знаменателя на дробната част трябва да напишете числото 1, към което отдясно добавете толкова нули, колкото има цифри в записа на първоначалната десетична дроб след десетичната точка;
• ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Помислете за пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната запетая 152,06005 като смесено число

Да се рационално число m / n се записва като десетична дроб, трябва да разделите числителя на знаменателя. В този случай частното се записва като крайна или безкрайна десетична дроб.

Запишете даденото число като десетичен знак.

Решение. Разделете числителя на всяка дроб на знаменателя: а)разделете 6 на 25; б)разделяне на 2 на 3; в)разделете 1 на 2 и след това добавете получената дроб към единица - цялата част от това смесено число.

Несъкратими обикновени дроби, чиито знаменатели не съдържат прости делители, различни от 2 и 5 , се записват като последна десетична дроб.

AT пример 1кога а)знаменател 25=5 5; кога в)знаменателят е 2, така че получихме крайните десетични знаци 0,24 и 1,5. Кога б)знаменателят е 3, така че резултатът не може да бъде записан като краен десетичен знак.

Възможно ли е, без да се разделя на колона, да се преобразува такава обикновена дроб в десетична дроб, чийто знаменател не съдържа други делители, освен 2 и 5? Нека да го разберем! Каква дроб се нарича десетична и се записва без дробна черта? Отговор: дроб със знаменател 10; сто; 1000 и т.н. И всяко от тези числа е продукт равенброй двойки и петици. Действително: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 и т.н.

Следователно знаменателят на несъкратима обикновена дроб ще трябва да бъде представен като произведение от две и пет и след това да бъде умножен по 2 и (или) 5, така че двойките и петиците да станат равни. Тогава знаменателят на дробта ще бъде равен на 10 или 100 или 1000 и т.н. За да не се промени стойността на дробта, умножаваме числителя на дробта по същото число, с което е умножен знаменателят.

Изразете следните дроби като десетична дроб:

Решение. Всяка от тези дроби е несъкратима. Нека разложим знаменателя на всяка дроб на прости множители.

20=2 2 5. Извод: липсва една "петица".

8=2 2 2. Заключение: няма достатъчно три "петици".

25=5 5. Извод: липсват две "двойки".

Коментирайте.На практика те често не използват факторизацията на знаменателя, а просто задават въпроса: по колко трябва да се умножи знаменателят, така че резултатът да е единица с нули (10 или 100 или 1000 и т.н.). И след това числителят се умножава по същото число.

Така че, в случай а)(пример 2) от числото 20 можете да получите 100, като умножите по 5, следователно трябва да умножите числителя и знаменателя по 5.

Кога б)(пример 2) от числото 8, числото 100 няма да работи, но числото 1000 ще се получи чрез умножаване по 125. Както числителят (3), така и знаменателят (8) на дробта се умножават по 125.

Кога в)(пример 2) от 25 получавате 100, когато се умножи по 4. Това означава, че числителят 8 също трябва да се умножи по 4.

Нарича се безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност периодично изданиедесетична дроб. Наборът от повтарящи се цифри се нарича период на тази дроб. За краткост периодът на дроб се изписва веднъж, ограждайки го в скоби.

Кога б)(пример 1 ) повтарящата се цифра е единица и е равна на 6. Следователно нашият резултат 0,66... ​​ще бъде записан така: 0,(6) . Те гласят: нула цели числа, шест в периода.

Ако между запетаята и първата точка има една или повече неповтарящи се цифри, тогава такава периодична дроб се нарича смесена периодична дроб.

Несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател заедно с другимножител съдържа множител 2 или 5 , става смесенпериодична дроб.

Запишете числото като десетичен знак.

десетична фракция- разнообразие дроби, което има "кръгло" число в знаменателя: 10, 100, 1000 и т.н., напр. фракция 5/10 има десетичен запис 0,5. Въз основа на този принцип, фракцияможе да се представи в формадесетичен знак дроби.

Инструкция

Да предположим, че трябва да си представим формадесетичен знак фракция 18/25.
Първо трябва да се уверите, че едно от "кръглите" числа се появява в знаменателя: 100, 1000 и т.н. За да направите това, трябва да умножите знаменателя по 4. Но по 4 ще трябва да умножите както числителя, така и знаменателя.

Умножение на числителя и знаменателя дроби 18/25 по 4 е 72/100. Това се записва фракцияв десетичен знак форматака че: 0,72.

Дроб в математиката е рационално число, равно на една или повече части, на които е разделена единица. В този случай записът на дробта трябва да съдържа индикация за две числа: едното от тях показва точно на колко дяла е разделена единицата при създаването на тази дроб, а другото - колко от тези дялове включват дробно число. Ако тези две числа са записани като числител и знаменател, разделени с черта, тогава този формат на запис се нарича „обикновена“ дроб. Има обаче друг формат за запис на дроби, наречен "десетичен".

Триетажната форма на писане на числа, при която знаменателят е разположен над числителя, а между тях има и разделителна линия, не винаги е удобна. Особено това неудобство започна да се проявява с масовото разпространение на персонални компютри. Десетичната форма на представяне на дроби е лишена от този недостатък - не е необходимо да се посочва числителят в нея, тъй като по дефиниция той винаги е равен на десет на отрицателна степен. Следователно едно дробно число може да бъде написано в един ред, въпреки че дължината му в повечето случаи ще бъде много по-голяма от дължината на съответната обикновена дроб.

Друго предимство на записването на числа в десетичен формат е, че те са много по-лесни за сравнение. Тъй като знаменателят на всяка цифра от две такива числа е еднакъв, достатъчно е да се сравнят само две цифри от съответните цифри, докато при сравняване на обикновени дроби трябва да се вземат предвид както числителят, така и знаменателят на всяка от тях. Това предимство е важно не само за хората, но и за компютрите - сравняването на числа в десетичен формат е достатъчно лесно за програмиране.

Има вековни правила за събиране, умножение и други математически операции, които ви позволяват да извършвате изчисления на хартия или наум с числа в десетичен формат. Това е още едно предимство на този формат пред обикновените дроби. Въпреки че с развитието на компютърните технологии, когато калкулаторът дори е в часовника, той става все по-малко забележим.

Описаните предимства на десетичния формат за запис на дробни числа показват, че основната му цел е да опрости работата с математически величини. Този формат има и недостатъци - например, за да запишете периодични дроби в десетична дроб, трябва да добавите и число в скоби, а ирационалните числа в десетичен формат винаги имат приблизителна стойност. Въпреки това, при сегашното ниво на развитие на хората и техните технологии, той е много по-удобен за използване от обичайния формат за запис на дроби.

Десетична дроб е дроб, в която знаменателят е естествена степен на 10. Такава например е дроб. Тази дроб може да се запише в следния вид: изпишете числата на числителя в един ред и ги разделете с запетая отдясно толкова от тях, колкото нули има в знаменателя, а именно:

В такъв запис числата отляво на десетичната запетая образуват цялата част, а числата отдясно на десетичната запетая - дробната част на тази десетична дроб.

Нека p/q е някакво положително рационално число. От аритметиката процесът на деление е добре известен, което ви позволява да представите число като десетична дроб. Същността на процеса на разделяне е, че първо се намира кое е най-голямото цяло число пъти, когато q се съдържа в p; ако p е кратно на q, това е мястото, където процесът на деление завършва. В противен случай се появява остатък. След това те намират колко десети от q се съдържат в този остатък и на тази стъпка процесът може да приключи или ще се появи нов остатък. В последния случай намерете колко стотни от q съдържа и т.н.

Ако знаменателят q няма други прости делители освен 2 или 5, тогава след краен брой стъпки остатъкът ще бъде равен на нула, процесът на деление ще приключи и дадената обикновена дроб ще се превърне в последна десетична дроб. Всъщност в този случай винаги можете да изберете такова цяло число, че след като умножите по него числителя и знаменателя на дадената дроб, да получите равна на нея дроб, в която знаменателят ще бъде естествена степен на десет. Такава например е дроб

което може да бъде представено по следния начин:

Въпреки това, без да прави тези трансформации, разделяйки числителя на знаменателя, читателят ще получи същия резултат:

Ако знаменателят на несъкратима дроб има поне един прост делител, различен от 2 или 5, тогава процесът на деление на q никога няма да приключи (нито един от следващите остатъци няма да се превърне в нула).

След разделянето намираме

За да запишете резултата, получен в този пример, периодично повтарящите се числа 0 и 6 се ограждат в скоби и се записват:

В този пример и в други подобни случаи операцията деление не води до краен десетичен резултат. Възможно е, обобщавайки концепцията за десетична дроб, все пак да кажем, че частното 965/132 е представено от безкрайна периодична дроб.Повтарящите се числа 06 се наричат ​​период на тази дроб, а техният брой, равен в нашия пример, е продължителността на периода.

За да разберем причината за явлението периодичност на дроб, нека анализираме например процеса на деление на 7. Ако разделянето не е извършено напълно, тогава се появява остатък, който може да има само една от следните стойности: : 1, 2, 3, 4, 5, 6. И на всяка от следващите стъпки остатъкът отново ще има една от тези шест стойности. Следователно, не по-късно от седмата стъпка, ние неизбежно ще се срещнем с една от стойностите на остатъците, които вече са се появили преди.Започвайки от тази точка, процесът на разделяне ще стане периодичен. Периодично ще се повтарят както стойностите на остатъците, така и числата на частното. Това разсъждение е приложимо в случай на всеки друг делител.

Така всяка обикновена дроб е представена от крайна или безкрайна периодична десетична дроб. Забележително е, че обратно, всяка периодична десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Нека покажем как се изпълнява това действие. В този случай се използва формулата за сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия (параграф 92).

може да се разбере така:

тук членовете на дясната страна, започвайки от втората, образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменателя и първия член

Използвайки формула (92.2):

Ясно е, че същият процес ще позволи всяка дадена безкрайна периодична дроб да бъде представена под формата на обикновена дроб (и, както може да се покаже, точно тази, от която дадената безкрайна периодична дроб на свой ред се получава в процеса на деление). Тук обаче има едно изключение. Помислете за дроб

и приложете към него процеса на преобразуване в обикновена дроб:

Стигнахме до числото 1/2, което е представено от последната десетична дроб

Подобен резултат ще се получи винаги, когато периодът на дадена безкрайна дроб има формата (9). Следователно ние идентифицираме такива двойки числа, като например

Понякога също е полезно да разрешите записи на формуляра

представящи формално крайни десетични дроби като безкрайни с период (0).

Всичко казано за преобразуването на обикновена дроб в десетична периодична дроб и обратно, приложено към положителните рационални числа. В случай на отрицателно число можете да направите две неща.

1) Вземете положително число срещу дадено отрицателно число, превърнете го в десетична дроб и след това поставете знак минус пред него. Например за - 5/3 получаваме

2) Представете това отрицателно рационално число като сбор от неговата цяла част (отрицателна) и неговата дробна част (неотрицателна) и след това преобразувайте само тази дробна част от числото в десетична дроб. Например:

За записване на числа, представени като сбор от тяхната отрицателна цяла част и крайна или безкрайна десетична дроб, се приема следното означение (изкуствена форма на записване на отрицателно число):

Тук знакът минус се поставя не пред цялата дроб, а над цялата й част, за да се подчертае, че само цялата част е отрицателна, а дробната част след запетаята е положителна.

Такава нотация създава еднаквост в нотацията на положителните и отрицателните десетични дроби и ще се използва в бъдеще в теорията на десетичните логаритми (раздел 28). Предлагаме на читателя за практика да провери прехода от един запис към друг в примерите:

Сега вече е възможно да се формулира окончателното заключение: всяко рационално число може да бъде представено от безкрайна десетична периодична дроб и, обратно, всяка такава дроб определя рационално число. Крайната десетична дроб също позволява две форми на запис под формата на безкрайна десетична дроб: с точка (0) и с точка (9).

вече в начално училищеучениците се занимават с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневиетопостоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял ​​брой резени шоколад.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.

Какво представляват дробите?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, тъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.

Десетичните числа имат само два подвида:

окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетични числа в обикновени?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.

Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.

Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат ​​периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.

Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?

Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.

За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общи правиламоже да се сведе до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.

Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.



Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичната запетая на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.



Ами ако в един пример има и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.