Е валидни, но не и рационални примери. Рационални числа: определения, примери. Рационални числа. Определения

10 - Математическа логика и) xy → x ∨ x (y ∨ z) ; а) * xy ∨ xz ; j) (x | y) → (x | z) ; б) х ~ у; k) (x ∨ y)(x ∨ z) ∨ xy; в) *xy; l) (x ∨ y) x ∨ z ; г) xyz; д) x (y ∨ z) → (xy ∨ z) ; m) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y) ; o) (x ~ y) ~ (x ~ z) ; g) (x ⊕ y → c) ↓ c ; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z) ; з) * x → (y → x) ; p) (x ∨ y)(x ∨ z) (x ∨ w). 17. Вземете SDNF и след това отидете на SKNF: b) * (x → y) → (y → x); 18.* Нека е дадена функция f (комплексен оператор) от три аргумента (елементарни оператори) x , y , z и f (x , y , z)= x. Конструирайте SDNF за дадената функция. 19. Вземете SKNF и след това отидете на SDNF: d) * (x | y) xy ; 20. Вземете MDNF за формули: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x ; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); в) * (x ⊕ y) → z ∨ y ; d) * ((A → B) ~ (C ~ D)) ∨ B → A ⋅ (C ~ D) ; д) * (A ∨ B ∨ C ∨ D)(A ∨ B ∨ C ∨ D); е) * x ∨ yz ∨ xz ; g) * (x → y) → z ∨ x ; з) * xy ∨ xy ∨ xz ; 22.* От контактите x, y, z направете верига така, че да е затворена тогава и само ако всеки два от трите контакта x, y, z са затворени. 24. * Опростете диаграмите на фиг. 1, a и b. а) б) Фиг. 1 - 11 - Математическа логика 25. * Запишете на езика на предикатите: а) всички ученици учат; б) някои ученици са отличници; в) за всяко число можете да намерите по-голямо число; г) x + y = z; д) всеки обект притежава свойството А; е) нещо има свойство А; ж) всеки обект не притежава свойството А; з) нещо не притежава свойството А; и) всяко рационално число е реално число; й) някои реални числа са рационални; к) нито едно рационално число не е реално; л) някои рационални числа не са реални. 26.* Опитайте се да обясните защо упражнения 25a и 25i използват импликация, докато упражнения 25b и 25k използват връзка. 27.* Напишете на езика на предикатите: а) деца под 16 години (D(x)) и робот (R(x)) нямат право да влизат (B(x)); б) всички деца под 16 години (D(x)) и робот (R(x)) трябва да получат сертификати (C(x)). 28.* Запишете на езика на предикатите: а) всяко N, делящо се на 12, се дели на 2, 4 и 6; б) всеки студент е изпълнил поне една лабораторна работа; в) има само една права, минаваща през две различни точки. 29. Напишете на езика на предикатите: e) * всеки ученик (C(x)) - спортист (S(x)) има някакъв идол (y) (B(x,y)) сред филмовите артисти (K(y) ) ; f)* ако някои мейнфрейми (B(x)) са свързани (C(x,y)) към друг мейнфрейм (B(y)), тогава няма миникомпютри (M(x)), имащи интерфейси (S(x) ); тридесет. * При какви условия: а) ∀x P (x) ≡ ∃x P(x) ; b) ∃x P(x) ≡ O, a ∀x P(x) ≡ 1 ; 33.* Това вече е класически пример, който илюстрира допълнителните сложности на отричането: изречението „Сегашният крал на Франция е плешив“ е известно, че е невярно. Как да го напиша на езика на предикатите. РЕШЕНИЯ И ОТГОВОРИ. - 12 - Математическа логика 1а. Да изберем елементарни твърдения по официален път: А – ученикът е отличник; Б - ученикът се занимава със социална работа; В - ученикът има нарушения; D - студентът получава стипендия. Тогава символната форма на съставния израз ще изглежда като A ⋅B⋅C → D . 1б. Символната нотация може да изглежда така: П⋅З → С⋅Р → П.() 3. В пропозиционалната логика твърдения като „Не е вярно, че Петя е ходила в колеж“ трябва да се считат за правилни, тъй като твърденията не са делими. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B , A & B ≡ A → B . 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC или същото, но в по-проста форма AB ∨ AC ∨ BC. 11б. A B ∨ BC ∨ AC. 13а. xyz. 13 век Формулата вече е в DNF. Защо? 14а. (x ∨ z)(y ∨ z) . 14б. Формулата вече е в CNF. Защо? 15а. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz . 15б. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz . 15г. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1) . 16а. () ()() xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z)≠ x ∨ x x ∨ y (x ∨ z)(y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz)(x ∨ z ∨ y y)( y ∨ z ∨ x x) ≡ (x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) . 16 век (x ∨ y) (x ∨ z)(x ∨ y) . 16z. SKNF отсъства, т.к това е тавтология. - 13 - Математическа логика 17б. Това е тавтология, така че няма SKNF за нея. 18. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz . 19g. Това е противоречие, така че няма SKNF за него. 20а. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y)z ∨ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ () (x ⊕ y)z ⋅ (x ⊕ y)z ∨ x ≡ (x ⊕ y) ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ x y ∨ z)(xy ∨ x y ∨ z)∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ x y z ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x z ∨ y y - SKDNF и MDNF. 20б. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz)∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ ()() xyz ∨ x ∨ y x ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ y z ∨ yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20-ти век xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20гр. A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SKNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20г. A∨C∨ D. 20e. x∨z. 20ж. x∨z. 20z. xy ∨ x y ∨ xz или xy ∨ x y ∨ yz . 21-ви век xy ∨ xz . 21g. 1. 22. Вижте фиг. 2. - 14 - Математическа логика 2 23а. Вижте фиг. 3. а) б) Фиг. 3 23. Опростените схеми ще имат формата, показана на фиг. 4. а) б) Фиг. 4 25а. ∀x (C(x)→Y(x)) , където C(x) е „х е ученик“, а Y(x) е „х е ученик“. 25б. ∃x (C(x) & O(x)) . 25 век Нека запишем двуместния предикат като обикновена релация: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следните решения: a) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , което е еквивалентно на ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) би било грешка да се напише ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , тъй като D(x) & R(x) е празно. Правилното решение е ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28а. ∀x (A(x) → D(x) & P(x) & W(x)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28 век ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) 29e . ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) .29f. ∃x B(x) & ∀y (C(x,y) → B (y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) 30a Когато x е дефиниран в домейн от един елемент 30b Когато домейнът е празен (но тук може да се спори) 31. Отрицания ще има изречения c и d. Отговорът може да бъде получен формално, ако за предиката ∀x ∃y B(x,y) вземем отрицанието и извършим еквивалентна трансформация: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃ y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Самото оригинално изречение на езика на предикатите ще бъде написано като: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→ L(x)) , В литературата обикновено не се обсъжда опцията за „неоснователно“ отричане, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→L(x)), тъй като тук трябва да се изясни какво е все още се отрича: фактът, че кралят е плешив или съществуването на крал във Франция Във връзка с това се предлагат два варианта на отрицание: - 16 - Математическа логика ∃x K(x) & ∀x (K(x) → ¬ L(x));∀x (K(x) → A(x)) ЛИТЕРАТУРА 1. Kleene В. Математическа логика. - М.: Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Stoll R. Комплекти. Логики. аксиоматични теории. - М.: Просвещение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Въведение в математическата логика. - М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гилбърг Д., Бернайс П. Основи на математиката. Логическо смятане и формализиране на аритметиката. - М .: Наука, том 1, стр. 23 - 45, 74 - 141. 5. Новиков П.С. Елементи на математическата логика. - М. : Наука, 1973, стр. 36 - 65, 123 - 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра на логиката в задачи. - М.: Наука, 1972.

Практически задачи към раздел 3

Понятието предикат и операции върху тях.

3.1. Кои от следните изрази са предикати:

а) " хсе дели на 5" ( х Î н);

б) „Река хвлива се в езерото Байкал" ( хминава през много имена на различни реки);

в) " x2 + 2х+ 4" ( хÎ Р) ;

G) "( х + при)2 = x2 + 2хг + г 2" ( х, гÎ Р);

д) " химам брат при» ( x, yтичай през множеството от всички хора);

д) " хи при» ( х, припреминете през набора от всички ученици от тази група);

и) " хи прилежи на противоположните страни на z» ( х, припреминете през множеството от всички точки и z - всички прави от една и съща равнина);

з) "ctg 45° = 1";

и) " хперпендикулярен при» ( х, припреминете през множеството от всички прави в една и съща равнина).

3.2. За всяко от следните твърдения намерете предикат (едноместен или многоместен), който се превръща в този израз, когато субектните променливи се заменят с подходящи стойности от съответните области:

а) "3 + 4 = 7";

б) „Вяра и Надежда са сестри”;

в) „Днес е вторник”;

г) „Град Саратов е разположен на брега на река Волга;

д) "sin 30° = 1/2";

е) "- велик руски поет";

g) „32 + 42 = 52;

з) "Река Индигирка се влива в Байкал";

След като конструирате такъв предикат, опитайте се или да посочите точно неговата област на истината, или по някакъв начин да я очертаете.

Решение. i) Можете да посочите три предиката, всеки от които се превръща в дадено твърдение с подходящото заместване. Първият предикат е унарен:

"https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" width="181" height="48">. Става даденото предложение при заместване. Полученото предложение е вярно. Посочената стойност не изчерпва множеството истинността на конструирания предикат. Както е лесно да се установи, това множество е следното: . Вторият предикат също е унарен: "" (гÎ R). Става това твърдение при заместване y= 1. Ясно е, че тази стойност изчерпва набора за истинност на този предикат..png" width="240" height="48">. Превръща се в това изявление при заместване, при= 1. Неговата истинска област е набор от подредени двойки, чиято съвкупност е графично представена като безкрайно семейство от криви, наречени тангенцоиди.

3.3. Прочетете следните твърдения и определете кои от тях са верни и кои са грешни, като приемем, че всички променливи варират в набора от реални числа:

а) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png" width="135" height="21 src=">

в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png" width="136" height="21 src=">

д) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png" width="232" height="24 src=">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png" width="204" height="24 src=">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png" width="201" height="24 src=">

k) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png" width="101 height=21" height="21">" спрямо променливата х, който преминава през множеството R. Казва се, че в приемащия израз променливата приобвързан и променливата хБезплатно. Вместо променлива привече не можем да заменим нищо, докато вместо хреални числа могат да бъдат заменени; в резултат на това единичен предикат ще се превърне в предложения. Например твърдението " “ може да се прочете така: „Има реално число при, така че х)($y)( х+ при= 7)" е вярно. Може да се прочете по следния начин: „За всяко реално число има реално число, чиято сума с първото е 7.“ В израза "(" х)($y)( х+ при= 7)" няма повече свободни променливи. И двете променливи хи пристоят под знаците на квантори и следователно са свързани. Самият израз вече не е предикат, той е предложение, вярно, както установихме. Въпреки това, ако искаме, тогава, развивайки концепцията за предикат, можем да считаме, че едно изявление е предикат от 0 места, т.е. предикат без променливи. Но трябва да сме наясно, че количественият преход от предикат с едно място към предикат с нулево място води до качествен скок, така че предикатът с нулево място е обект, който е качествено различен от предиката с едно място, въпреки че условно внасяме то под понятието "предикат".

b) Изявлението "($y)(" х)(х+ при= 7)" може да се прочете по следния начин: „Има реално число, което, когато се добави към което и да е реално число, дава 7." Не е трудно да се види, че това твърдение е невярно. Наистина, помислете за едноместния предикат "(" х)(х+ при= 7)" по отношение на променливата y,прилагайки към които екзистенциалният квантор произвежда даденото предложение. Ясно е, че без значение какво реално число е заменено с обектната променлива y,например "(" х)(х+ 4 = 7)”, предикатът ще се превърне в невярно твърдение. (Изявлението "(" х)(х+ 4 = 7)" е невярно, тъй като унарният предикат "( х+ 4 = 7)" се превръща в невярно твърдение, например при заместване на променлива хномер 5.) Следователно изразът "($y)(" х)(х+ при= 7)“, произтичащ от едноместния предикат „(" х)(х+ при= 7)" чрез прилагане на операцията за вземане на екзистенциалния квантор по y,невярно.

i) Това твърдение може да се прочете по следния начин: "Всяко реално число е равно на себе си тогава и само ако е по-голямо от 1 или по-малко от 2." За да разберем дали това твърдение е вярно или не, ще се опитаме да потърсим такова реално число x0,което би превърнало унарния предикат

в невярно твърдение. Ако успеем да намерим такова число, тогава даденото твърдение, което се получава от този предикат чрез "окачване" (т.е. прилагане на операцията вземане) на общия квантор, е невярно. Ако стигнем до противоречие, ако приемем, че такова x0съществува, тогава твърдението е вярно.

Ясно е, че предикатът х = х» се превръща в вярно твърдение, когато се замести хвсяко реално число, т.е. е идентично вярно. Въпросът е: възможно ли е да се посочи реално число, което да превърне предиката " » в невярно твърдение? Не, защото каквото и реално число да вземем, то е или по-голямо от 1, или по-малко от 2 (или едновременно по-голямо от 1 и по-малко от 2, което в нашия случай изобщо не е забранено). Следователно предикатът “ е идентично вярно. Тогава предикатът ще бъде идентично верен

И така това твърдение

по дефиниция операцията за вземане на общ квантор е вярна.

3.4. Нека P (x) и Q (x) са едноместни предикати, дадени в множеството M, така че твърдението https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png" width="63 height =23 "height="23">false.

3.5. Определете дали един от предикатите, дадени на множеството от реални числа, е следствие от друг:


а) „| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

б) "x4 = 16", "x2 = - 2";

в) "x - 1 > 0", "(x - 2) (x + 5) = 0";

г) "sin x = 3", "x2 + 5 = 0";

д) “x2 + 5x - 6 > 0”, “x + 1 = 1 + x”;

f) "x2 £ 0", "x = sin p";

g) "x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0", "| х - 2| = 1".

Решение. g) Вторият предикат се превръща в вярно твърдение само с две замествания: x = 1 и x = 3. Лесно е да се провери, че тези замествания също превръщат първия предикат в вярно твърдение (те са корените на това кубично уравнение) . Следователно първият предикат е следствие от втория.

3.6. Посочете набора M от стойности на обектната променлива, така че в този набор вторият предикат да бъде следствие от първия:

а) " хкратно на 3", " хдори";

б) " х 2 = 1", " х-1 = 0";

в) " хстранно", " х- квадрат естествено число»;

G) " х- ромб", " х- успоредник";

д) " х- успоредник, х- ромб";

д) " х- руски учен, х- математик;

и) " х- квадрат", " х- успоредник.

Решение. g) Тъй като всеки квадрат е успоредник, множеството, на което вторият предикат е следствие от първия, може да се приеме като множество от всички четириъгълници.

3.7. Докажете, че връзката на идентично верен предикат с всеки друг предикат, зависещ от същите променливи, е еквивалентна на последния.

3.8. Докажете, че импликацията на два предиката, зависещи от едни и същи променливи с еднакво невярно следствие, е равносилно на отричане на неговата предпоставка.

ЗАПИСВАНЕ НА ЕЗИКА НА ПРЕДИКАТНАТА АЛГЕБРА

и Анализ на разсъждението чрез предикатна алгебра

Пример 1. Какво означава твърдението „Правите a и b не са успоредни“?

За да разкрием значението на формулата Ø(a || b), трябва да намерим отрицанието на формулата $a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Имаме Ø(a || b) = Ø($a(a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø$a(a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Но формулата Ø$a(a Ì a & b Ì a), което означава на руски „Няма равнина, съдържаща двете прави a и b“, предава връзката на пресичащите се прави, а формулата a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, преведено на руски с изречението „Правите a и b имат общи точки, но не съвпадат“, изразява съотношението на пресечната точка на линиите.

По този начин непаралелността на линиите означава тяхното пресичане или пресичане. Пример 2. Напишете на езика на алгебрата на предикатите така наречените „аристотелови категорични твърдения“, често използвани в разсъжденията: „Всичко Ссъщност Р“, „Някои Ссъщност Р", "Нито един Сне е смисълът Р“, „Някои Сне е смисълът Р».

Записът е даден в табл. 1.1. Първата колона на тази таблица показва вида на преценката, която възниква при класифициране на категорични преценки според сложен признак, който отчита количеството (общи и частни преценки), изразено във формулировката чрез кванторните думи „всички“, „някои“, и качеството (утвърдителни и отрицателни съждения), което се предава от сноповете "същност", "не е същността", "е".

Втората колона дава стандартната вербална формулировка на предложенията в традиционната логика, а петата колона дава техния запис на езика на предикатната алгебра, докато S(x)трябва да се разбира като "x има свойството С“, а P(x)- как "x има свойството Р».

Четвъртата колона показва връзката между обемите Vs и VP на понятията Си Рако преценките се разбират в най-много общ изгледкогато дават изчерпателна информация само за предмета. Например от предложението „Всички Ссъщност Р» ясно е, че говорим за всички С, обхватът на предиката не е дефиниран: дали говорим за всички обекти, които имат свойството П, или само за някои; само ако Ссъщност П, или други обекти също са Р. Понякога тази несигурност относно обхвата на предиката Релиминира контекста, понякога това елиминиране не се изисква. За да се подчертае съотношението на обема VP към обема Vs, по-конкретната формулировка „Всички Си не само Ссъщност Р" или всички Си само те са Р". Втората формулировка се нарича разпределяне утвърдително съждение. Диаграмата на Venn, показана на фиг. 1, съответства на първото решение. 1, а, втората - на фиг. 1б. С оглед на казаното присъдата „Някои Ссъщност Р” обикновено се разбира като „Някои Си не само те са Р”, което съответства на диаграмата на фиг. 2, а, но може да означава и „Някои Си само те са С» (фиг. 2, b). Присъдата „Всички Сне е смисълът Р”, разбирано най-общо, съответства на диаграмата на фиг. 3, а. Същата присъда в подчертаващата форма „Всички Си само те не са Р” отговаря на диаграмата на фиг. 3б. Тази формулировка съответства на описанието на връзката между противоречиви понятия , т.е. тези, чиито обеми не се пресичат и изчерпват обема на по-общо родово понятие. И накрая, присъдата „Някои СДа не се яде Р» като цяло съответства на диаграмата на фиг. 4, а, но във формата за подчертаване „Някои Си само те не са Р» - диаграма на фиг. 4б. Таблица 3.1

Един вид присъда

Писане в традиционната логика на словесните формулировки

Писане на езика на предикатната алгебра

Връзка между обеми Vs и VP

общо утвърдително

всичко Ссъщност П

Фиг. 1

частноутвърдителен

някои Ссъщност Р

Ориз. 2

общо отрицателно

нито един Сне е смисълът Р

частно отрицателно

някои Сне е смисълът Р

Фиг.4

Пример 3. Анализирайте разсъждението „Всички хора са смъртни; Сократ е човек; следователно Сократ е смъртен.” Първата предпоставка на аргумента е общо положително съждение (вижте пример 2). Нека въведем обозначението: H(x): x - човек; C (x): x - смъртен; в - Сократ.

Структура на мотивите:

"x(H(x)JS(x)), H(s) ├ C(s). (3.1)

Нека следното (3.1) се провали. Тогава в някаква област Do трябва да съществува набор (a, li(x), lj(x)) за (c, x(x), C(x)), при който ще бъдат изпълнени следните условия:

"x(li(x) Þ lj (x)) = I; li(a) = I; lj(a) = L.

Но тогава импликацията li(a) z lj (a) има стойността A и следователно, по дефиницията на общия квантор, "x(li(x) z lj (x)) = A, което противоречи на първото условие Следователно следствието от 2.8 е вярно и първоначалният аргумент е правилен.

Пример 4. Анализирайте мотивите: „Всеки хокеен отбор, който може да победи ЦСКА, е отбор от висшата лига. Никой отбор от висшата лига не може да победи ЦСКА. Така че ЦСКА е непобедим."

O обозначения: P(x): отбор x може да победи ЦСКА; B (x): отбор x от големите лиги.

Структура на мотивите:

"x(P(x) Þ B(x)), "x(B(x) Þ ØP(x)) ├ Ø$xP(x).

Установяваме дали полученото следствие е правилно по метода на еквивалентните преобразувания. Използвайки следствие b) от обобщението на предложение 1.10, трансформираме формулата "x(P(x) z B(x))&"x(B(x) z ØP(x)) z Ø$xP(x).

Имаме: "x(P(x) Þ B(x)) & "x(B(x) Þ ØP(x)) Þ Ø$xP(x) = "x((P(x) Þ B(x) ) ) & (B(x) Þ ØP(x))) Þ Ø$xP(x) = Ø("x((ØP(x) Ú B(x)) & (ØB(x) Ú ØP(x) ) ) & $xP(x)) =

= Ø("x(ØP(x) Ú (B(x) & ØB(x)))) & $xP(x) = ØL = I.

В тези еквивалентни образувания свойството на конюнкция A & ØA= L е използвано два пъти и свойството на дизюнкция A Ú L = A веднъж.

По този начин първоначалната формула е общовалидна, което означава, че разсъждението е правилно.

Пример 5. Анализирайте мотивите: „Ако някой отбор може да победи ЦСКА, то някой отбор от висшата лига може. Динамо (Минск) е отбор от висшата лига и не може да победи ЦСКА. Така че ЦСКА е непобедим."

Легенда: P(x): отбор x може да победи ЦСКА; B(x): отбор x от висшата лига; e - "Динамо" (Минск).

Структура на мотивите:

"х P( х) Þ $ х(AT( х)& P( х)), V(d) & ØP(d) ├ Ø$ х P( х). (3.2)

Коментирайте.При формализиране на разсъжденията трябва да се има предвид, че в естествения език, за да се избегнат чести повторения на едни и същи думи или фрази, широко се използват синонимни изрази. Ясно е, че при превод те трябва да се предават по една и съща формула. В нашия пример такива синоними са предикатите „команда хможе да победи ЦСКА” и “отбор хможе да спечели ЦСКА", като и двете се предават по формулата P( х).

Следното (3.2) не е правилно. За да се докаже това, е достатъчно да се посочи поне една интерпретация на формулите, изразяващи предпоставките и заключението, в която предпоставките ще приемат стойността И, а заключението - стойността L. Такава интерпретация например е следното: D = (1, 2, 3, 4) . В тази интерпретация имаме, след изчисления,

И Þ И, И &ØL ├ ØI, или И, И ├ L.

И така, в тази интерпретация и двете предпоставки имат стойност I, а заключението има стойност L. Следователно следното (3.2) е невярно и разсъжденията са неправилни.

3.9. След като сте въвели подходящи предикати от едно място в съответните домейни, преведете следните твърдения на езика на алгебрата на предикатите:

а) Всички рационални числа са реални.

б) Никое рационално число не е реално.

в) Някои рационални числа са реални.

г) Някои рационални числа не са реални.

Решение.Въвеждаме следните едноместни предикати

Q(x): « х- рационално число";

R(x): « хе реално число.

Тогава преводът на горните твърдения на езика на предикатната алгебра ще бъде както следва:

а) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png" width="144" height="21 src=">

в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png" width="137" height="21 src=">

3.10. Въведете едноместни предикати в съответните домейни и ги използвайте, за да запишете следните твърдения под формата на формули за предикатна алгебра:

а) Всяко естествено число, делящо се на 12, се дели на 2, 4 и 6.

б) Жителите на Швейцария задължително знаят или френски, или италиански, или немски.

в) Функция, която е непрекъсната на интервала, запазва знака си или приема нулева стойност.

г) Някои змии са отровни.

д) Всички кучета имат добро обоняние.

3.11. В следващите примери направете същото като в предишния проблем, без непременно ограничение до едноместни предикати:


а) Ако a е корен на полином в една променлива с реални коефициенти, то такъв е и коренът на този полином.

б) Между всеки две различни точки на правата има поне една точка, която не съвпада с тях.

в) Една права минава през две различни точки.

г) Всеки студент завърши поне една лабораторна работа.

д) Ако произведението на естествените числа се дели на просто число, то поне един от множителите се дели на него.

д) Има само една равнина през три точки, които не лежат на една права.

g) Най-голям общ делител на числата аи bсе дели на всеки общ делител.

з) За всяко реално число хима такова при, които за всеки zако сумата zи 1 по-малко при, след това сумата хи 2 е по-малко от 4.

и) х- Просто число.

й) Всяко четно число, по-голямо от четири, е сбор от две прости числа (хипотезата на Голдбах).

3.12. Напишете следните твърдения на езика на предикатната алгебра:

а) Има точно един х, така че R(x).

б) Има поне две различни х, така че R(x).

в) Има най-много две х, така че P(x).

г) Има точно две различни х, така че P(x).

3.13. Какво може да се каже за множеството M ако за всеки предикат B(x)на множеството M е твърдението ?

3.14. Позволявам R(x)означава " х- Просто число", E(x)означава " х- четен брой", О) - « х- нечетно число", D ( х,г) - « хразделя при" или " приразделена на х". Преведете на руски следната символна нотация на езика на предикатната алгебра, като вземете предвид, че променливите хи припреминете през множеството от естествени числа:

а) P( 7) ;

б) E ( 2) & P( 2) ;

в) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png" width="136" height="21 src=">;

д) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png" width="237" height="23 src=">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png" width="248" height="23 src=">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png" width="109" height="21 src=">.png" width="127" height="23">. png" width="108" height="23"> ├ ?

Проверката на коректността на следното може да се извърши и с помощта на диаграми на Вен, ако предпоставките и заключенията са едноместни предикати, които зависят от една променлива. За категоричните съждения, които са предпоставки и заключения в нашия пример, отношенията между обемите на понятията Си Рса описани в Пример 2. Ще използваме това описание.

Методът на диаграмите на Вен за случай с една предпоставка е следният. Ние изобразяваме с диаграми всички възможни случаи на отношения между обемите на понятията Си Рсъответстваща на пратката.

Ако на всяка от получените диаграми заключението се окаже вярно, то следното е вярно. Ако на поне една от диаграмите заключението е грешно, тогава следното е неправилно..

(a) Тъй като предпоставката е отрицателно твърдение, диаграмите, показани на фиг. 5.

В нито една от тези диаграми преценката https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png" width="108" height="23"> не е конкретна утвърдителна преценка, тогава диаграмите са възможни за нея са показани на фиг. .6.

Тази статия е посветена на изучаването на темата "Рационални числа". Следват дефиниции на рационални числа, дадени са примери и как да се определи дали едно число е рационално или не.

Рационални числа. Определения

Преди да дадем дефиниция на рационални числа, нека си припомним какво представляват другите набори от числа и как са свързани помежду си.

Естествените числа, заедно с техните противоположности и числото нула, образуват набор от цели числа. От своя страна множеството от цели дробни числа образува множеството от рационални числа.

Определение 1. Рационални числа

Рационалните числа са числа, които могат да бъдат представени като положителна обикновена дроб a b , отрицателна обикновена дроб a b или числото нула.

По този начин можем да оставим редица свойства на рационалните числа:

  1. Всяко естествено число е рационално число. Очевидно всяко естествено число n може да бъде представено като дроб 1 n .
  2. Всяко цяло число, включително числото 0, е рационално число. Наистина всяко положително цяло число и отрицателно цяло число могат лесно да бъдат представени съответно като положителна или отрицателна обикновена дроб. Например 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
  3. Всяка положителна или отрицателна обикновена дроб a b е рационално число. Това следва пряко от горното определение.
  4. Всяко смесено число е рационално. Всъщност, в края на краищата едно смесено число може да бъде представено като обикновена неправилна дроб.
  5. Всяка крайна или периодична десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. Следователно всеки периодичен или краен десетичен знаке рационално число.
  6. Безкрайните и неповтарящите се десетични знаци не са рационални числа. Те не могат да бъдат представени под формата на обикновени дроби.

Нека дадем примери за рационални числа. Числата 5 , 105 , 358 , 1100055 са естествени, положителни и цели. Все пак това са рационални числа. Числата - 2 , - 358 , - 936 са цели отрицателни числа и също са рационални по дефиниция. Обикновените дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 също са примери за рационални числа.

Горната дефиниция на рационалните числа може да бъде формулирана по-кратко. Нека отново отговорим на въпроса какво е рационално число.

Определение 2. Рационални числа

Рационалните числа са онези числа, които могат да бъдат представени като дроб ± z n, където z е цяло число, n е естествено число.

Може да се покаже, че това определение е еквивалентно на предишното определение на рационални числа. За да направите това, не забравяйте, че лентата на дроб е същата като знака за деление. Като вземем предвид правилата и свойствата на разделянето на цели числа, можем да напишем следните справедливи неравенства:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Така може да се напише:

z n = z n, p p и z > 0 0, p p и z = 0 - z n, p p и z< 0

Всъщност този запис е доказателство. Даваме примери за рационални числа въз основа на второто определение. Помислете за числата - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 и - 1 3 5 . Всички тези числа са рационални, тъй като могат да бъдат записани като дроб с цял числител и естествен знаменател: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Представяме още една еквивалентна форма на дефиницията на рационални числа.

Определение 3. Рационални числа

Рационалното число е число, което може да бъде записано като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Това определение следва пряко от първото определение на този параграф.

За да обобщим и формулираме резюме по този елемент:

  1. Положителните и отрицателните дробни и цели числа съставляват множеството от рационални числа.
  2. Всяко рационално число може да се представи като дроб, чийто числител е цяло число, а знаменателят е естествено число.
  3. Всяко рационално число може да бъде представено и като десетична дроб: крайна или безкрайна периодична.

Кое число е рационално?

Както вече разбрахме, всяко естествено число, цяло число, правилна и неправилна обикновена дроб, периодична и крайна десетична дроб са рационални числа. Въоръжени с тези знания, можете лесно да определите дали едно число е рационално.

На практика обаче често трябва да се работи не с числа, а с числови изрази, които съдържат корени, степени и логаритми. В някои случаи отговорът на въпроса "Рационално ли е едно число?" далеч не е очевидно. Нека да разгледаме как да отговорим на този въпрос.

Ако едно число е дадено като израз, съдържащ само рационални числа и аритметични операции между тях, тогава резултатът от израза е рационално число.

Например стойността на израза 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) е рационално число и е равно на 18 .

По този начин опростяването на сложен числов израз ви позволява да определите дали даденото от него число е рационално.

Сега нека се заемем със знака на корена.

Оказва се, че числото m n, дадено като корен от степен n на числото m, е рационално само когато m е n-та степен на някое естествено число.

Нека разгледаме един пример. Числото 2 не е рационално. Докато 9, 81 са рационални числа. 9 и 81 са перфектните квадрати съответно на числата 3 и 9. Числата 199 , 28 , 15 1 не са рационални числа, тъй като числата под знака за корен не са перфектни квадрати на никакви естествени числа.

Сега да вземем повече труден случай. Рационално ли е числото 243 5? Ако повдигнете 3 на пета степен, получавате 243, така че оригиналният израз може да се пренапише по следния начин: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Следователно това число е рационално. Сега нека вземем числото 121 5 . Това число не е рационално, тъй като няма естествено число, чието повдигане на пета степен ще даде 121.

За да разберете дали логаритъмът на дадено число a при основа b е рационално число, е необходимо да приложите метода на противоречието. Например, нека разберем дали числото log 2 5 е рационално. Да приемем, че това число е рационално. Ако е така, тогава може да се запише като обикновен дроб log 2 5 \u003d m n. Чрез свойствата на логаритъма и свойствата на степента са верни следните равенства:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно последното равенство е невъзможно, тъй като лявата и дясната страна съдържат съответно нечетни и четни числа. Следователно, направеното предположение е грешно и числото log 2 5 не е рационално число.

Струва си да се отбележи, че при определяне на рационалността и ирационалността на числата не трябва да се вземат внезапни решения. Например резултатът от произведението на ирационални числа не винаги е ирационално число. Илюстративен пример: 2 · 2 = 2 .

Има и ирационални числа, чието повдигане на ирационална степен дава рационално число. В степен от формата 2 log 2 3 основата и степента са ирационални числа. Самото число обаче е рационално: 2 log 2 3 = 3 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Задача 2. 1

Изразете следните символни изрази с думи, ако P(x) е едноместен предикат, дефиниран в множеството M:

Задача 2. 2

Какво се случва с разширението на предиката A(x), което се дефинира като неравенството x*x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Задача 2. 3

Нека R(x) е "x е реално число",

Q(x) - "x е рационално число". Използвайки тези символи, напишете формулно:

1. всички рационални числа са реални

2. нито едно рационално число не е реално

3. някои рационални числа са реални

4. някои рационални числа не са реални

Задача 2.4

Въведени са следните предикати:

J(x)- "x е съдията",

L(x)- "x - адвокат",

S(x)- "x е мошеник",

Q(x)- "x е старец",

V(x)- "x - весел",

P(x)- "x - политик",

C(x)- "x е MP",

W(x)- "x е жена",

U(x)- "x - домакиня",

A(x, y) - "x се възхищава на y",

j - Джоунс.

Намерете съответствие между словесно описание и формули:

    Всички съдии са юристи

    Някои адвокати са мошеници

    Никой съдия не е мошеник

    Някои от съдиите са стари, но весели

    Съдия Джоунс не е нито стар, нито енергичен

    Не всички адвокати са съдии

    Едни юристи, които са политици, депутати

    Нито един депутат не е буден

    Всички стари депутати са юристи

    Някои жени са адвокати и депутати едновременно

    Никоя жена не е едновременно политик и домакиня

    Някои жени адвокати са и домакини

    Всички жени са адвокати, възхищавам се на всеки съдия

    Някои адвокати се възхищават само на съдиите

    Някои адвокати се възхищават на жените

    Някои мошеници не се възхищават на нито един адвокат

    Съдия Джоунс не се възхищава на нито един мошеник

    Има както адвокати, така и мошеници, които се възхищават на съдия Джоунс.

Само съдиите се възхищават на съдиите

а. $x $y (L(x)/\S(y)/\A(x, j)/\A(y, j)/\J(j))

b. "x (J(x)® "y (A(x, y) ®J(y)))

° С. "x (C(x) ® ù "(x))

д. "x (C(x)/\Q(x) ®L(x))

д. $x (W(x)/\L(x)/\C(x))

f. $x (W(x)/\L(x)/\U(x))

ж. "x (W(x) ® ù (P(x)/\U(x)))

ч. "x (W(x)/\L(x) ®$y (J(y)/\A(x, y)))

й. "x (J(x) ®L(x))

к. $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

л. $x (L(x)/\S(x))

м. $x (S(x)/\ "y (L(y)/\ ù A(x, y)))

н. "x (J(x) ® ù S(x))

о. "x (J(j)/\ ù A(j, x)/\S(x))

стр. $x (J(x)/\Q(x)/\"(x))

q . $x (L(x)/\ $y (W(y)/\A(x, y)))

r. J(i)/\ ù Q(j)/\ ù "(j)

с. ù "x (L(x) ®J(x))

T. $x (L(x)/\P(x)/\C(x))

Задача 2.5

Преведете следните фрази на езика на формулите:

    ако някое число се дели на произволно число, то е четно

    за всяко реално число x има y такова, че за всяко k, ако сборът от k и 1 е по-малък от y, тогава сборът от x и 2 е по-малък от 4

    има четно число, което се дели на всяко число, ако някое число е просто

    най-големият общ делител на a и b се дели на всеки общ делител

    За да бъде просто число, то не трябва да се дели на нечетно число.

    за всяко реално число има по-голямо реално число

    има реални числа x, y, k, така че сумата на числата x и y е по-голяма от произведението на числата x и k.

    ако произведението на краен брой фактори е 0, тогава поне един от факторите е 0

Задача 2.6

Въведени са следните предикати:

P(x) - "x е просто число"

E(x) - "x е четно число"

O(x) - "x е нечетно число"

D(x, y) - "y се дели на x"

Преведете формулите на руски:

3. "x (D(2, x) ®E(x))

4. $x (E(x)/\D(x, 6))

5. "x (ù E(x) ® ù D(2, x))

6. "x (E(x)/\"y (D(x, y) ®E(y)))

7. "x (P(x) ®$y (E(y)/\D(x, y)))

8. "x (O(x) ®*y (P(y) ® ù D(x, y)))

Задача 2. 7

Докажете следните еквивалентности:

1. = $x (A(x) ®B(x))¬®"x (A(x) ®$x B(x))

2. = $x (A(x) ¬®B(x)) ¬®"x (A(x)\/B(x)) ® $x (A(x)/\B(x))

Задача 2.8

Докажете следните тавтологии:

1. = "x A(x)® $x A(x)

2. = ù "x A(x)¬® $x ù A(x)

3. = $x A(x) ¬® ù "x ù A(x)

Задача 2. 9

Вземете предикатни изрази в правилна нормална форма:

1. "x(("y F(x, y)/\ "y G(x, y, z))\/ "y$z H(x, y, z))

2. $x(ù ($y P(x, y) ®$z Q(z) ®R(x)))

Задача 2. 10

Преобразувайте израза в конюнктивна нормална форма:

"x (P(x) ®("y (P(y) ®P(f(x, y)))) /\

/\ ù (""y (Q(x, y) ®P(y))))

Задача 2. 11

Конструирайте таблици на истината за следните формули (предикатите са дефинирани върху набор от два елемента):

1. "x(P(x)®Q)\/(Q/\P(y))

2. "x(S(x) ®L)¬® $x(S(x) ®L)

3. "x $y((B(x)/\D(y))\/(B(x) ®C))

4. "x P(x) ¨S)/\(P(y)\/S)

5. ($x D(x)/\A) ¨($x E(x)\/A)

6. ("x A(x) ®Q) \/ (Q®$x A(x))

7. (A(y)\/Q)¨($x A(x)/\Q)

Задача 2. 12

Дадено е: D=(a, b), P(a, a)=u, P(a, b)=l, P(b, a)=l, P(b, b)=u Определете истинните стойности на формулите:

1. "x $y P(x, y)

2. $x "y P(x, y)

3. "x "y (P(x, y) ®P(y, x))

4. "x" y P(x, y)

5. $y ù P(a, y)

7. "x $y (P(x, y)/\P(y, x))

8. $x "y (P(x, y) ®P(y, x))\/P(x, y)

Задача 2. 13

Проверете логиката на следните аргументи:

    Всеки ученик е честен. Джон не е честен. Така че Джон не е студент.

    Свети Франциск е обичан от всеки, който обича някого. Всеки обича някого. Затова всички обичат Свети Франциск.

    Никое животно не е безсмъртно. Котките са животни. Така че някои котки не са безсмъртни.

    Само птиците имат пера. Никой бозайник не е птица. Това означава, че всички бозайници са лишени от пера.

    Всички политици са лицемери. Някои лицемери са лицемери. Така че някои политици са лицемери.

    Един глупак би бил способен на това. Не съм способен на това. Значи не съм глупава.

    Ако някой може да реши тази задача, то и един математик може. Саша е математик, но не може. Така че проблемът е неразрешим.

    Всеки математик може да реши този проблем, ако някой може да го реши. Саша е математик и не може да решава. Така че проблемът е неразрешим.

    Всеки, който може да реши тази задача, е математик. Саша не може да го реши. Следователно Саша не е математик.

    Всеки, който може да реши тази задача, е математик. Никой математик не може да реши този проблем. Следователно е нерешимо.

    Ако всяко число строго между 1 и 101 дели 101, тогава просто число, по-малко от 11, дели 101. Никое просто число, по-малко от 11, не дели 101. Следователно никое число между 1 и 101 не дели 101.

    Ако всеки предшественик на предшественик на даден индивид също е предшественик на този индивид и нито един индивид не е предшественик на себе си, тогава трябва да има някой, който няма предци.

    За всеки човек има човек, който е по-възрастен от него. Ако - x е потомък на y, тогава x не е по-стар от y. Всички хора са потомци на Адам. Следователно Адам не е човек.

    За всяко множество x съществува множество y такова, че мощността на y е по-голяма от мощността на x. Ако x е включено в y, тогава степента на x е най-много степента на y. Всяко множество е включено във V. Следователно V не е множество.

    Всички влечуги имат 4 крака или изобщо нямат крака. Жабата има 4 крака. Значи тя е влечуго.

    Всеки студент, издържал навреме сесията, получава стипендия. Петров не получава стипендия. Следователно той не е ученик.

    Всички птици снасят яйца. Нито един крокодил не е птица. Следователно крокодилите не снасят яйца.

    Учителят е доволен, ако всичките му ученици издържат изпита от първия опит. Никой не може да предаде логиката от първия опит. Следователно учителят по логика винаги е недоволен.

    Всеки петокурсник получава диплома, ако е положил всички изпити. Не всички получиха диплома. Това означава, че някой не е издържал всички изпити.

    Никой човек не обича насекоми. Паяците не са насекоми. Това означава, че някой ги обича.

    Всички учители по рисуване са мъже. Всички уроци в по-долните класове се водят от жени. Затова в по-ниските класове не преподават рисуване.

    Всеки, който е завършил гимназия, може да говори английски. Никой в ​​семейството на Мюлер не говори английски. В института не се приемат хора без средно образование. Следователно никой от Мюлер не учи в института.

    Всички бензиностанции са на печалба. Всички пунктове за приемане на ястия са нерентабилни. Една компания не може да бъде едновременно печеливша и нерентабилна. Затова нито една бензиностанция не приема бутилки.

    Който има здрав ум, може да разбере математиката. Никой от синовете на Том не може да разбира математика. Луди хора нямат право да гласуват. Следователно никой от синовете на Том няма право да гласува.

    Всеки бръснар в N бръсне всички и само тези, които не се бръснат сами. Следователно в Н. няма нито един фризьор.

    Всеки спортист е силен. Всеки, който е силен и умен, постига успех в живота. Петър е спортист. Питър е умен. Следователно той ще бъде успешен в живота.

Задача 2. 14

Възстановете липсващите предпоставки или заключение, така че следното разсъждение да е логично:

    Само смелите са достойни за любов. Има късмет в любовта. Той не е смел.

    Възрастни се допускаха само с деца. Допуснаха ме да вляза. Така че или съм дете, или съм дошъл с дете.

Задача 2. 15

Следните твърдения са верни:

    познаването на структурата на данните е необходимо за усъвършенстване на дисциплината на ума;

    само опитът в програмирането може да създаде дисциплиниран ум;

    за да се напише компилатор, човек трябва да може да анализира задачи;

    недисциплинираният ум не може да анализира задачите;

    всеки, който е писал структурирани програми, може да се счита за опитен програмист.

Възможно ли е да се определи валидността на следните твърдения от тези предположения:

6. опитът в писането на структурирани програми е необходим, за да можете да напишете компилатор;

7. познаването на структурите от данни е част от програмния опит;

8. анализът на задачите не е възможен от тези, които игнорират структурите от данни;

9. Опитен програмист, който е написал структурирани програми, умее да анализира задачи и има дисциплиниран ум, е програмист, който може да напише компилатор.

Задача 2. 16

Запишете предпоставките под формата на формули и приложете всички известни методи, за да докажете верността на изводите.

Предпоставки: 1. драконът е щастлив, ако всичките му деца могат да летят;

2. зеленият дракон може да лети;

3. Драконът е зелен, ако поне един от родителите му е зелен, в противен случай е ярко розов.

Изводи: 1. Зелените дракони са щастливи.

2. Бездетните дракони са щастливи (може да се нуждаете от някои очевидно липсващи пакети тук).

3. Какво трябва да направи яркорозовият дракон, за да бъде щастлив?

Задача 2. 17

Използване на въведените символи за предикати и аритметични знаци (например "+" и "<"), перевести на язык формул:

1. Ако произведението на краен брой фактори е равно на нула, тогава поне един от факторите е равен на нула (Px означава "x е произведение на краен брой фактори", а Fxy - "x е едно на множителите на числото y").

2. Най-големият общ делител на числата a и b се дели на който и да е от общите им делители (Fxy означава „x е един от делителите на числото y“, а Gxyz – „z е най-големият общ делител на числата x и y").

3. За всяко реално число x има по-голямо реално число y(Rx).

4. Съществуват реални числа x, y, z, при които сборът на числата x и y е по-голям от произведението на числата x и z.

5. За всяко реално число x има y такова, че за всяко z, ако сборът от z и 1 е по-малък от y, тогава сборът от x и 2 е по-малък от 4.

Задача 2. 18

Нека A0, A1, ..., An, ... е поредица от реални числа. Използвайки ограничени квантори, преведете в символна форма:

1. Твърдението, че a е границата на тази редица; 2. Твърдението, че тази последователност има граница; 3. Твърдението, че тази последователност е последователност на Коши (т.е. при e>0, тогава съществува положително число k, такова че úAn - Amú следва от n, m>k< e).

Напишете отрицанието на всяка от формулите.

Задача 2. 19

Изградете заключения, съответстващи на следното разсъждение:

    Нито един републиканец или демократ не е социалист. Норман Томас е социалист. Следователно той не е републиканец.

    Всяко рационално число е реално число. Има рационално число. Следователно има реално число.

    Никой първокурсник не харесва второкурсниците. Всеки, който живее в Дъскомб, е второкурсник. Следователно никой първокурсник не харесва някой, който живее в Dascombe.

    Някои първокурсници обичат всички второкурсници. Никой първокурсник не харесва някой от предпоследните. Следователно никой второкурсник не е студент предпоследна година.

    Някои хора харесват Елвис. Някои хора не харесват никой, който харесва Елвис. Следователно някои хора не са обичани от всички.

    Никой наркодилър не е наркоман. Някои наркозависими са преследвани. Следователно част от подсъдимите не са наркодилъри.

    Всички първокурсници се срещат с всички второкурсници. Нито един първокурсник не излиза с нито един студент от предпоследната година. Има второкурсници. Следователно никой второкурсник не е студент предпоследна година.

    Всички рационални числа са реални числа. Някои рационални числа са цели числа. Следователно някои реални числа са цели числа.

16. Кое от следните изречения е твърдение:

а) желязото е по-тежко от оловото

б) каша - вкусно ястие;

в) математиката е интересен предмет;

г) днес времето е лошо.

17. Кое от следните изречения е невярно твърдение:

а) желязото е по-тежко от оловото

б) кислород - газ;

в) информатиката е интересен предмет;

г) желязото е по-леко от оловото.

18. Кое от следните твърдения е отрицание на твърдението: „Всичко прости числастранно":

а) „Има четно просто число“;

б) „Има нечетно просто число“;

в) „Всички прости числа са четни“;

г) "Всички нечетни числа са прости"?

19. Коя логическа операция отговаря на следната таблица на истинност:

а) съюзи;

б) дизюнкции;

в) последици;

г) еквивалентност.

20. Коя логическа операция отговаря на следната таблица на истинност:

а) еквивалентност;

б) съюзи;

в) последици;

г) дизюнкции.

21. Нека A означава твърдението „Този ​​триъгълник е равнобедрен“ и нека

B - твърдението "Този триъгълник е равностранен." Посочете вярното твърдение:

22. Ако има набор от твърдения A 1 , A 2 , … A n, които преобразуват формулата на алгебрата на твърденията F(X 1 , X 2 , …, X n) в истинско твърдение, тогава тази формула се нарича:

а) изпълним;

б) тавтология;

в) противоречие;

г) оборими.

23. Тавтологията е формула на пропозиционалната алгебра F(X 1 , X 2 , …, X n):

а) което се превръща в вярно твърдение за всички набори от променливи;

б) за които има набор от предложения, които превръщат формулата в истинско твърдение;

в) което се превръща в невярно твърдение за всички набори от променливи;

г) за които има набор от предложения, които превръщат формулата в невярно предложение.

24. Коя от формулите е опровержима:

25. Коя от формулите е изпълнима:

26. Кое твърдение отговаря на твърдението: „За всяко число има такова число, че“:

27. Кое твърдение отговаря на твърдението:

а) „Има числа и такива, че ;

б) „Равенството е вярно за всички;

в) „Има такова число, че за всички числа“;

г) „За всяко число има такова число, че“.

28. Кое от твърденията е грешно:

29. Посочете истинността на предиката " хкратно на 3", дадено върху множеството M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

а) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

г) TP=(3, 6, 9, 12).

30. Посочете истинността на предиката " хкратно на 3", дадено върху множеството M=(3, 6, 9, 12):

а) TP=(3, 6, 9, 12); b) TP=(3, 6, 9);

c) TP=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); г) TP=Æ.

31. Посочете истинността на предиката " x2 +x+6=0”, дефиниран върху набор от реални числа:

а) TP=Æ; b) TP=(1, 6); в) TP=(–2, 3); г) TP=(–3, 2).

32. Посочете набора за истинност на предиката:

33. Посочете набора за истинност на предиката:

38. Нека въведем следните едноместни предикати:

Q(x): « хе рационално число;

R(x): « хе реално число.

Тогава предикатът може да се разглежда като превод на езика на алгебрата на предикатите на следното твърдение:

а) някои рационални числа са реални;

б) някои рационални числа не са реални;

в) нито едно рационално число не е реално;

г) всички рационални числа са реални.