Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalarni yechish usuli ko'rib chiqiladi. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differensial tenglamaning batafsil yechimiga misol keltirilgan.

Tarkib

Ta'rif

Keling, s (x), q (x)- x o'zgaruvchining funktsiyalari;
p (y), r (y)- y o'zgaruvchining funktsiyalari.

Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama shaklning tenglamasidir

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglamani yechish usuli

Tenglamani ko'rib chiqing:
(i) .
y hosilasini differentsiallar yordamida ifodalaymiz.
;
.
dx ga ko'paytiring.
(ii)
Tenglamani s ga bo'ling (x)r(y). Bu, agar s amalga oshirilishi mumkin (x) r(y) ≠ 0. s uchun (x) r(y) ≠ 0 bizda ... bor
.
Integrallash orqali biz kvadratlarda umumiy integralni olamiz
(iii) .

Biz s ga bo'linganimiz uchun (x)r(y), keyin s uchun tenglamaning integralini olamiz (x) ≠ 0 va r (y) ≠ 0. Keyinchalik, siz tenglamani hal qilishingiz kerak
r (y) = 0.
Agar bu tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular ham (i) tenglamaning yechimlaridir. Tenglama r bo'lsin (y) = 0. n ta ildizga ega a i , r (a i ) = 0, i = 1, 2, ... , n. U holda y = a i konstantalar (i) tenglamaning yechimlaridir. Ushbu yechimlarning ba'zilari allaqachon umumiy integralda (iii) mavjud bo'lishi mumkin.

E'tibor bering, agar dastlabki tenglama (ii) ko'rinishda berilgan bo'lsa, u holda tenglamani ham yechish kerak
s (x) = 0.
Uning ildizlari b j , s (b j ) = 0, j = 1, 2, ... , m. yechimlarni bering x = b j .

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglamani yechish misoli

tenglamani yeching

Biz hosilani differentsiallar bilan ifodalaymiz:


dx ga ko'paytiring va ga bo'ling. y ≠ 0 uchun bizda:

Keling, integratsiya qilaylik.

Formuladan foydalanib integrallarni hisoblaymiz.



O‘rniga qo‘yib, tenglamaning umumiy integralini olamiz
.

Endi vaziyatni ko'rib chiqing, y = 0 .
Ko'rinib turibdiki, y = 0 asl tenglamaning yechimidir. U umumiy integralga kiritilmagan.
Shunday qilib, keling, uni yakuniy natijaga qo'shamiz.

; y= 0 .

Adabiyotlar:
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, Lan, 2003 yil.

Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan tenglamalarga qisqartiruvchi differentsial tenglamalarni yechish usuli ko'rib chiqiladi. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan tenglamaga keltiruvchi differentsial tenglamaning batafsil yechimiga misol keltirilgan.

Tarkib

Muammoni shakllantirish

Differensial tenglamani ko'rib chiqing
(i) ,
f - funksiya, a, b, c - doimiylar, b ≠ 0 .
Bu tenglama ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi.

Yechim usuli

Biz almashtirishni amalga oshiramiz:
u = ax + by + c
Bu yerda y x ning funksiyasi. Demak, u ham x ning funksiyasidir.
X ga nisbatan farqlang
u' = (ax + by + c)' = a + by'
O'rinbosar (i)
u′ = a + by′ = a + b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Yoki:
(ii)
Alohida o'zgaruvchilar. dx ga ko'paytiring va a + b f ga bo'ling (u). Agar a + b f (u) ≠ 0, keyin

Integrallash orqali biz asl tenglamaning umumiy integralini olamiz (i) kvadratlarda:
(iii) .

Nihoyat, ishni ko'rib chiqing
(iv) a + b f (u) = 0.
Faraz qilaylik, bu tenglamaning n ta ildizi u = r i, a + b f (r i ) = 0, i = 1, 2, ...n. u = r i funksiya doimiy bo'lgani uchun uning x ga nisbatan hosilasi nolga teng. Demak, u = r i tenglamaning yechimidir (ii).
Biroq, tenglama (ii) asl tenglamaga mos kelmaydi (i) va, ehtimol, x va y o‘zgaruvchilari bilan ifodalangan u = r i yechimlarning hammasi ham dastlabki tenglamani qanoatlantirmaydi. (i).

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning yechimi umumiy integraldir (iii) va tenglamaning ba'zi ildizlari (iv).

Ajraladigan o'zgaruvchilari bo'lgan tenglamaga keltiruvchi differentsial tenglamani yechish misoli

tenglamani yeching
(1)

Biz almashtirishni amalga oshiramiz:
u = x - y
X ga nisbatan farqlang va o'zgartirishlarni bajaring:
;

dx ga ko'paytiring va u ga bo'linadi 2 .

Agar u ≠ 0 bo'lsa, keyin biz olamiz:

Biz birlashtiramiz:

Biz integrallar jadvalidagi formulani qo'llaymiz:

Biz integralni hisoblaymiz

Keyin
;
, yoki

Umumiy qaror:
.

Endi u = holatini ko'rib chiqing 0 , yoki u = x - y = 0 , yoki
y=x.
y' = bo'lgani uchun (x)′ = 1, u holda y = x asl tenglamaning yechimidir (1) .

;
.

Adabiyotlar:
N.M. Gyunter, R.O. Kuzmin, Oliy matematika bo'yicha muammolar to'plami, Lan, 2003 yil.

Ko'pincha, differensial tenglamalarni eslatish o'quvchilarni noqulay his qiladi. Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? Ko'pincha, chunki materialning asoslarini o'rganishda bilimda bo'shliq paydo bo'ladi, buning natijasida diffurlarni keyingi o'rganish shunchaki qiynoqlarga aylanadi. Hech narsa aniq emas, nima qilish kerak, qaerdan boshlashni qanday hal qilish kerak?

Biroq, biz sizga diffuzlar ular ko'rinadigan darajada qiyin emasligini ko'rsatishga harakat qilamiz.

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari

Maktabdan biz noma'lum x ni topishimiz kerak bo'lgan eng oddiy tenglamalarni bilamiz. Aslini olib qaraganda differensial tenglamalar faqat ulardan bir oz farq qiladi - o'zgaruvchi o'rniga X funktsiyani topishlari kerak y(x) , bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi.

Differensial tenglamalar katta amaliy ahamiyatga ega. Bu atrofimizdagi dunyoga hech qanday aloqasi bo'lmagan mavhum matematika emas. Differensial tenglamalar yordamida ko'plab haqiqiy tabiiy jarayonlar tasvirlangan. Masalan, simli tebranishlar, garmonik osilator harakati, mexanika masalalarida differensial tenglamalar yordamida jismning tezligi va tezlanishi topiladi. Shuningdek DU biologiya, kimyo, iqtisod va boshqa ko‘plab fanlarda keng qo‘llaniladi.

Differensial tenglama (DU) y(x) funksiyaning hosilalari, funksiyaning o‘zi, mustaqil o‘zgaruvchilar va boshqa parametrlarni turli kombinatsiyalarda o‘z ichiga olgan tenglamadir.

Differensial tenglamalarning ko'p turlari mavjud: oddiy differensial tenglamalar, chiziqli va chiziqli bo'lmagan, bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan, birinchi va yuqori tartibli differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar va boshqalar.

Differensial tenglamaning yechimi uni o'ziga xoslikka aylantiruvchi funksiyadir. Masofadan boshqarishning umumiy va maxsus echimlari mavjud.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi umumiy yechimlar to'plamidir. Differensial tenglamaning alohida yechimi dastlab belgilangan qo'shimcha shartlarni qanoatlantiradigan yechimdir.

Differensial tenglamaning tartibi unga kiritilgan hosilalarning eng yuqori tartibi bilan aniqlanadi.

Oddiy differensial tenglamalar

Oddiy differensial tenglamalar bitta mustaqil o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar.

Birinchi tartibli eng oddiy oddiy differensial tenglamani ko'rib chiqing. Bu shunday ko'rinadi:

Bu tenglamani oddiygina o'ng tomonini integrallash orqali yechish mumkin.

Bunday tenglamalarga misollar:

Ajraladigan o'zgaruvchan tenglamalar

DA umumiy ko'rinish bu turdagi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Mana bir misol:

Bunday tenglamani echishda siz o'zgaruvchilarni ajratib, uni quyidagi shaklga keltirishingiz kerak:

Shundan so'ng, ikkala qismni birlashtirish va yechim topish qoladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Bunday tenglamalar quyidagi shaklda bo'ladi:

Bu yerda p(x) va q(x) mustaqil o‘zgaruvchining ba’zi funksiyalari, y=y(x) esa kerakli funksiyadir. Mana shunday tenglamaga misol:

Bunday tenglamani yechishda ko'pincha ular ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan foydalanadilar yoki kerakli funktsiyani boshqa ikkita y(x)=u(x)v(x) funksiyalarning ko'paytmasi sifatida ifodalaydilar.

Bunday tenglamalarni echish uchun ma'lum tayyorgarlik talab etiladi va ularni "ixtiyoriy ravishda" qabul qilish juda qiyin bo'ladi.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan DEni echishga misol

Shunday qilib, biz masofadan boshqarishning eng oddiy turlarini ko'rib chiqdik. Endi ulardan birini ko'rib chiqamiz. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama bo'lsin.

Birinchidan, biz hosilani ko'proq tanish shaklda qayta yozamiz:

Keyin biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni tenglamaning bir qismida barcha "o'yinlar" ni, ikkinchisida esa "xes" ni to'playmiz:

Endi ikkala qismni birlashtirish qoladi:

Ushbu tenglamaning umumiy yechimini integrallaymiz va olamiz:

Albatta, differensial tenglamalarni yechish o‘ziga xos san’atdir. Siz tenglamaning qaysi turiga tegishli ekanligini tushunishingiz kerak, shuningdek, uni u yoki bu shaklga keltirish uchun u bilan qanday o'zgarishlarni amalga oshirish kerakligini ko'rishni o'rganishingiz kerak, shunchaki farqlash va integrasiya qilish qobiliyati haqida gapirmang. Va DE ni hal qilishda muvaffaqiyatga erishish uchun (hamma narsada bo'lgani kabi) amaliyot kerak. Va agar sizda bo'lsa bu daqiqa differensial tenglamalar qanday hal qilinishi bilan shug'ullanish uchun vaqt yo'q yoki Koshi muammosi tomoqdagi suyak kabi ko'tarildi yoki siz taqdimotni qanday qilib to'g'ri formatlashni bilmayapsiz, bizning mualliflarimizga murojaat qiling. Qisqa vaqt ichida biz sizga tayyor va batafsil yechimni taqdim etamiz, uning tafsilotlarini siz uchun qulay bo'lgan istalgan vaqtda tushunishingiz mumkin. Shu bilan birga, biz "Differensial tenglamalarni qanday echish kerak" mavzusidagi videoni tomosha qilishni taklif qilamiz:

Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim misollari.
Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Differensial tenglamalar (DE). Bu ikki so'z odatda oddiy oddiy odamni dahshatga soladi. Differensial tenglamalar ko'p talabalar uchun g'ayritabiiy va o'zlashtirish qiyin narsa bo'lib tuyuladi. Uuuuuu... differensial tenglamalar, men bularning barchasidan qanday omon qolgan bo'lardim?!

Bunday fikr va bunday munosabat tubdan noto'g'ri, chunki aslida DIFFERENTIAL TENGLAMALAR ODDIY VA HATTO QIZIQARLI. Differensial tenglamalarni yechish uchun nimani bilishingiz va o'rganishingiz kerak? Diffurlarni muvaffaqiyatli o'rganish uchun siz integratsiya va farqlashni yaxshi bilishingiz kerak. Mavzular qanchalik yaxshi o'rganilsa Bitta o‘zgaruvchili funktsiyaning hosilasi va Noaniq integral, differensial tenglamalarni tushunish osonroq bo'ladi. Ko'proq aytaman, agar sizda ko'proq yoki kamroq munosib integratsiya qobiliyatlari bo'lsa, unda mavzu amalda o'zlashtirilgan! Har xil turdagi integrallar qancha ko'p bo'lsa, shuncha yaxshi bo'ladi. Nega? Siz juda ko'p integratsiya qilishingiz kerak. Va farqlang. Shuningdek juda tavsiya eting topishni o'rganing.

95% hollarda nazorat ishlari Birinchi tartibli differensial tenglamalarning 3 turi mavjud: ajraladigan tenglamalar, biz ushbu darsda ko'rib chiqamiz; bir jinsli tenglamalar va chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Yangi boshlanuvchilar uchun diffuzerlarni o'rganish uchun men sizga darslarni ushbu ketma-ketlikda o'qishni maslahat beraman va dastlabki ikkita maqolani o'rganib chiqqandan so'ng, qo'shimcha seminarda o'z mahoratingizni mustahkamlash zarar qilmaydi - bir jinsli holga keltiruvchi tenglamalar.

Differensial tenglamalarning bundan ham kam uchraydigan turlari mavjud: umumiy differentsiallardagi tenglamalar, Bernulli tenglamalari va boshqalar. Oxirgi ikki turdan eng muhimi umumiy differentsiallardagi tenglamalardir, chunki men ushbu DEga qo'shimcha ravishda yangi materialni ko'rib chiqyapman - qisman integratsiya.

Agar sizda bir yoki ikki kun qolsa, keyin juda tez tayyorlash uchun u yerda blits kursi pdf formatida.

Shunday qilib, diqqatga sazovor joylar o'rnatildi - keling:

Avval odatiy algebraik tenglamalarni eslaylik. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Eng oddiy misol: . Oddiy tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu topishni anglatadi raqamlar to'plami bu tenglamani qanoatlantiradi. Bolalar tenglamasi bitta ildizga ega ekanligini ko'rish oson: . O'yin-kulgi uchun keling, tekshirib ko'raylik, topilgan ildizni tenglamamizga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi, bu yechim to'g'ri topilganligini bildiradi.

Diffuzlar xuddi shunday tarzda joylashtirilgan!

Differensial tenglama birinchi buyurtma umuman o'z ichiga oladi:
1) mustaqil o'zgaruvchi;
2) bog‘liq o‘zgaruvchi (funksiya);
3) funksiyaning birinchi hosilasi: .

1-tartibdagi ba'zi tenglamalarda "x" yoki (va) "y" bo'lmasligi mumkin, ammo bu muhim emas - muhim shuning uchun DUda edi birinchi hosila, va yo'q edi yuqori tartibli hosilalar - va boshqalar.

Nimani anglatadi ? Differensial tenglamani yechish topishni anglatadi barcha funktsiyalar to'plami bu tenglamani qanoatlantiradi. Bunday funktsiyalar to'plami ko'pincha shaklga ega bo'ladi ( ixtiyoriy doimiydir), bu deyiladi differensial tenglamaning umumiy yechimi.

1-misol

Differensial tenglamani yeching

To'liq o'q-dorilar. Qayerdan boshlash kerak yechim?

Avvalo, lotinni biroz boshqacha shaklda qayta yozishingiz kerak. Ko'pchiligingiz bema'ni va keraksiz deb o'ylagan bo'lsangiz kerak, noqulay belgini eslaymiz. Bu diffuzerlarda hukmronlik qiladi!

Ikkinchi bosqichda, keling, bu mumkinmi yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik ajratilgan o'zgaruvchilar? O'zgaruvchilarni ajratish nimani anglatadi? Qo'pol qilib aytganda, chap tomonda ketishimiz kerak faqat "o'yinlar", a o'ng tomonda tashkil qilish faqat x. O'zgaruvchilarni ajratish "maktab" manipulyatsiyasi yordamida amalga oshiriladi: qavslar, belgi o'zgarishi bilan atamalarni qismdan qismga o'tkazish, nisbat qoidasiga ko'ra omillarni qismdan qismga o'tkazish va boshqalar.

Differensiallar va to'liq ko'paytiruvchilar va jangovar harakatlarda faol ishtirokchilar. Ushbu misolda o'zgaruvchilar mutanosiblik qoidasiga ko'ra aylantiruvchi omillar bilan osongina ajratiladi:

O'zgaruvchilar ajratilgan. Chap tomonda - faqat "O'yin", o'ng tomonda - faqat "X".

Keyingi bosqich - differensial tenglamalar integrasiyasi. Bu oddiy, biz ikkala qismga integrallarni osib qo'yamiz:

Albatta, integrallarni olish kerak. Bunday holda, ular jadval shaklida bo'ladi:

Esda tutganimizdek, konstanta har qanday antiderivativga beriladi. Bu yerda ikkita integral bor, lekin doimiyni bir marta yozish kifoya (chunki doimiy + doimiy boshqa doimiyga teng). Ko'pgina hollarda, u o'ng tomonga joylashtiriladi.

To'g'ri aytganda, integrallar olingandan so'ng, differensial tenglama echilgan deb hisoblanadi. Bitta narsa shundaki, bizning "y" "x" orqali ifodalanmaydi, ya'ni yechim taqdim etiladi yashirin holda shakl. Differensial tenglamaning yashirin yechimi deyiladi differensial tenglamaning bosh integrali. Ya'ni, umumiy integral.

Ushbu shakldagi javob juda maqbul, ammo yaxshiroq variant bormi? Keling, olishga harakat qilaylik umumiy qaror.

Iltimos, birinchi texnikani eslang, u juda keng tarqalgan va ko'pincha amaliy vazifalarda qo'llaniladi: agar integrallashdan keyin o‘ng tomonda logarifm paydo bo‘lsa, u holda ko‘p hollarda (lekin har doim ham emas!) doimiyni logarifm ostida ham yozish maqsadga muvofiqdir. Va agar faqat logarifmlar olingan bo'lsa (ko'rib chiqilayotgan misolda bo'lgani kabi) DOIMO yozing.

Ya'ni, O'RNIGA yozuvlar odatda yoziladi .

Bu nima uchun kerak? Va "y" ni ifodalashni osonlashtirish uchun. Biz logarifmlar xossasidan foydalanamiz . Ushbu holatda:

Endi logarifmlar va modullarni olib tashlash mumkin:

Funktsiya aniq ko'rsatilgan. Bu umumiy yechim.

Javob: umumiy qaror: .

Ko'pgina differentsial tenglamalarning javoblarini tekshirish juda oson. Bizning holatda, bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi, biz topilgan yechimni olamiz va uni farqlaymiz:

Keyin hosilani asl tenglamaga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi, ya'ni umumiy yechim tekshirilishi kerak bo'lgan tenglamani qondiradi.

Konstanta berish turli ma'nolar, siz cheksiz ko'p narsalarni olishingiz mumkin shaxsiy qarorlar differensial tenglama. Ko'rinib turibdiki, har qanday funktsiyalar, va hokazo. differensial tenglamani qanoatlantiradi.

Ba'zan umumiy yechim chaqiriladi funktsiyalar oilasi. Ushbu misolda umumiy yechim chiziqli funksiyalar turkumi, toʻgʻrirogʻi, toʻgʻri proporsionalliklar oilasi.

Birinchi misolni batafsil muhokama qilgandan so'ng, differentsial tenglamalar bo'yicha bir nechta sodda savollarga javob berish o'rinlidir:

1)Ushbu misolda biz o'zgaruvchilarni ajratishga muvaffaq bo'ldik. Buni har doim qilish mumkinmi? Yo'q har doim emas. Va ko'pincha o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi. Masalan, in bir hil birinchi tartibli tenglamalar avval almashtirilishi kerak. Boshqa turdagi tenglamalarda, masalan, birinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamada umumiy yechim topish uchun turli xil hiyla va usullardan foydalanish kerak. Birinchi darsda ko'rib chiqiladigan ajratiladigan o'zgaruvchan tenglamalar differensial tenglamalarning eng oddiy turidir.

2) Differensial tenglamani har doim integrallash mumkinmi? Yo'q har doim emas. Integrallash mumkin bo'lmagan "xushbichim" tenglamani topish juda oson, qo'shimcha ravishda qabul qilib bo'lmaydigan integrallar mavjud. Ammo bunday DElarni taxminan maxsus usullar yordamida hal qilish mumkin. Dalember va Koshi kafolat beradi...

3) Ushbu misolda biz umumiy integral ko'rinishidagi yechimni oldik . Har doim umumiy integraldan umumiy yechim topish, ya'ni "y" ni aniq ko'rinishda ifodalash mumkinmi? Yo'q har doim emas. Masalan: . Xo'sh, bu erda "y" ni qanday ifodalashim mumkin ?! Bunday hollarda javob umumiy integral sifatida yozilishi kerak. Bundan tashqari, ba'zida umumiy yechim topish mumkin, lekin u shunchalik og'ir va noqulay yozilganki, javobni umumiy integral shaklida qoldirish yaxshiroqdir.

4) ...hozircha yetarlidir. Birinchi misolda biz uchrashdik yana bitta muhim nuqta , lekin "qo'g'irchoqlar" ni yangi ma'lumotlarning ko'chkisi bilan qoplamaslik uchun men uni keyingi darsga qoldiraman.

Shoshmaylik. Boshqa oddiy masofadan boshqarish pulti va yana bir tipik yechim:

2-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimini toping

Yechim: shartga ko'ra topish talab qilinadi shaxsiy qaror Berilgan dastlabki shartni qondiradigan DE. Bunday so'roq ham deyiladi Cauchy muammosi.

Birinchidan, biz umumiy yechim topamiz. Tenglamada "x" o'zgaruvchisi yo'q, lekin bu noqulay bo'lmasligi kerak, asosiysi uning birinchi hosilasi bor.

Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

Shubhasiz, o'zgaruvchilar bo'linishi mumkin, o'g'il bolalar chapga, qizlar o'ngga:

Biz tenglamani integrallaymiz:

Umumiy integral olinadi. Bu erda men urg'u yulduzi bilan doimiyni chizdim, haqiqat shundaki, u tez orada boshqa konstantaga aylanadi.

Endi biz umumiy integralni umumiy yechimga aylantirishga harakat qilamiz (“y” ni aniq ifodalang). Biz eski, yaxshi maktabni eslaymiz: . Ushbu holatda:

Ko'rsatkichdagi doimiylik qandaydir tarzda kosherga o'xshamaydi, shuning uchun u odatda osmondan erga tushiriladi. Batafsil, bu shunday sodir bo'ladi. Darajalar xususiyatidan foydalanib, funktsiyani quyidagicha qayta yozamiz:

Agar doimiy bo'lsa, u holda ham ba'zi doimiy bo'lsa, uni harf bilan qayta belgilang:
- shu bilan birga, biz modulni olib tashlaymiz, shundan so'ng doimiy "ce" ham ijobiy, ham qabul qila oladi salbiy qiymatlar

Esda tutingki, doimiyning "buzilishi" ikkinchi texnika, bu ko'pincha differensial tenglamalarni yechish jarayonida qo'llaniladi. Toza nusxada siz darhol o'tishingiz mumkin ga, lekin har doim bu o'tishni tushuntirishga tayyor bo'ling.

Shunday qilib, umumiy yechim: Eksponensial funktsiyalarning bunday yaxshi oilasi.

Yakuniy bosqichda siz berilgan dastlabki shartni qondiradigan ma'lum bir yechim topishingiz kerak. Bu ham oddiy.

Vazifa nima? Olib olish kerak shunday shartni qondirish uchun doimiyning qiymati.

Siz uni turli yo'llar bilan tartibga solishingiz mumkin, lekin eng tushunarli, ehtimol, shunday bo'ladi. Umumiy yechimda "x" o'rniga nolni, "y" o'rniga ikkitani qo'yamiz:



Ya'ni,

Standart dizayn versiyasi:

Endi biz doimiyning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz:
- bu bizga kerak bo'lgan maxsus yechim.

Javob: shaxsiy yechim:

Keling, tekshirib ko'raylik. Muayyan yechimni tekshirish ikki bosqichni o'z ichiga oladi:

Birinchidan, aniqlangan yechim haqiqatan ham dastlabki shartni qondiradimi yoki yo'qligini tekshirish kerak? "X" o'rniga biz nolni almashtiramiz va nima bo'lishini ko'ramiz:
- ha, haqiqatan ham deuce olindi, demak, boshlang'ich shart qondirilgan.

Ikkinchi bosqich allaqachon tanish. Olingan maxsus yechimni olamiz va hosilani topamiz:

Dastlabki tenglamaga almashtiring:

- to'g'ri tenglik olinadi.

Xulosa: muayyan yechim to'g'ri topilgan.

Keling, yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

3-misol

Differensial tenglamani yeching

Yechim: Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

O'zgaruvchilarni ajratish mumkinmi yoki yo'qligini baholash? mumkin. Ikkinchi atamani belgi o'zgarishi bilan o'ng tomonga o'tkazamiz:

Va biz omillarni mutanosiblik qoidasiga ko'ra aylantiramiz:

O'zgaruvchilar ajratilgan, keling, ikkala qismni birlashtiramiz:

Sizni ogohlantirishim kerak, qiyomat kuni keladi. Agar yaxshi o'rganmagan bo'lsangiz noaniq integrallar, bir nechta misollarni hal qildi, keyin boradigan joy yo'q - ularni hozir o'zlashtirish kerak.

Chap tomonning integralini topish oson, kotangentning integrali bilan biz darsda ko'rib chiqqan standart texnika bilan ishlaymiz. Trigonometrik funksiyalarning integrasiyasi o `tgan yili:

Natijada, biz faqat logarifmlarni oldik va mening birinchi texnik tavsiyamga ko'ra, logarifm ostidagi doimiyni ham aniqlaymiz.

Endi biz umumiy integralni soddalashtirishga harakat qilamiz. Bizda faqat logarifmlar borligi sababli, ulardan qutulish juda mumkin (va zarur). Yordamida ma'lum xususiyatlar logarifmlarni maksimal darajada "paketlash". Men batafsil yozaman:

Qadoqlash vahshiyona yirtilib ketish uchun to'liq:
, va darhol - darhol bering umumiy integral imkon qadar tezroq aqlga:

Umuman olganda, buni qilish shart emas, lekin professorni xursand qilish har doim foydalidir ;-)

Asosan, ushbu durdona javob sifatida yozilishi mumkin, ammo bu erda ikkala qismni kvadratga solish va doimiyni qayta belgilash o'rinli:

Javob: umumiy integral:

! Eslatma: umumiy integral ko'pincha bir necha usulda yozilishi mumkin. Shunday qilib, agar sizning natijangiz ilgari ma'lum bo'lgan javob bilan mos kelmasa, bu siz tenglamani noto'g'ri hal qilganingizni anglatmaydi.

"y" ni ifodalash mumkinmi? mumkin. Umumiy yechimni ifodalaymiz:

Albatta, olingan natija javob uchun mos keladi, lekin e'tibor bering, umumiy integral yanada ixchamroq ko'rinadi va yechim qisqaroq bo'lib chiqdi.

Uchinchi texnik maslahat:agar umumiy yechimni olish uchun sezilarli miqdordagi harakatlar bajarilishi kerak bo'lsa, unda ko'p hollarda bu harakatlardan voz kechish va javobni umumiy integral shaklida qoldirish yaxshiroqdir. Xuddi shu narsa teskari funktsiyani ifodalash, kuchga ko'tarish, ildiz otish va hokazolarni talab qilganda "yomon" harakatlarga ham tegishli. Gap shundaki, umumiy yechim talabchan va noqulay ko'rinadi - katta ildizlar, belgilar va boshqa matematik axlat bilan.

Qanday tekshirish kerak? Tasdiqlash ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul: umumiy yechimni oling , hosilasini topamiz va ularni asl tenglamaga almashtiring. O'zingiz sinab ko'ring!

Ikkinchi yo'l - umumiy integralni farqlash. Bu juda oson, asosiysi topa olish aniq belgilangan funktsiyaning hosilasi:

Har bir atamani quyidagilarga bo'ling:

va:

Dastlabki differensial tenglama aniq olingan, demak, umumiy integral to‘g‘ri topilgan.

4-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimini toping. Tekshirishni o'tkazing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Sizga eslatib o'tamanki, algoritm ikki bosqichdan iborat:
1) umumiy yechim topish;
2) kerakli aniq yechimni topish.

Tekshirish ham ikki bosqichda amalga oshiriladi (2-misoldagi namunaga qarang), sizga kerak:
1) aniqlangan yechim dastlabki shartga javob berishiga ishonch hosil qiling;
2) muayyan yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshiring.

To'liq yechim va javob dars oxirida.

5-misol

Differensial tenglamaning muayyan yechimini toping , dastlabki shartni qondirish. Tekshirishni o'tkazing.

Yechim: Avval umumiy yechim topamiz.Bu tenglamada allaqachon tayyor differensiallar mavjud va bu yechim soddalashtirilganligini bildiradi. O'zgaruvchilarni ajratish:

Biz tenglamani integrallaymiz:

Chapdagi integral jadvalli, o'ngdagi integral olinadi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli:

Bosh integral olindi, umumiy yechimni muvaffaqiyatli ifodalash mumkinmi? mumkin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz. Ular ijobiy bo'lgani uchun modul belgilari ortiqcha:

(Umid qilamanki, hamma transformatsiyani tushunadi, bunday narsalar allaqachon ma'lum bo'lishi kerak)

Shunday qilib, umumiy yechim:

Keling, berilgan boshlang'ich shartga mos keladigan ma'lum bir yechim topamiz.
Umumiy yechimda "x" o'rniga nolni, "y" o'rniga ikkita logarifmini qo'yamiz:

Ko'proq tanish dizayn:

Konstantaning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim:

Tekshiring: Birinchidan, dastlabki shart bajarilganligini tekshiring:
- hammasi yaxshi.

Endi topilgan xususiy yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz. Biz hosilani topamiz:

Keling, asl tenglamani ko'rib chiqaylik: - u differentsiallarda taqdim etilgan. Tekshirishning ikki yo'li mavjud. Topilgan hosiladan farqni ifodalash mumkin:

Topilgan xususiy yechim va natijada olingan differentsialni dastlabki tenglamaga almashtiramiz :

Biz asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalanamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni muayyan yechim to'g'ri topilgan.

Tekshirishning ikkinchi usuli aks ettirilgan va ko'proq tanish: tenglamadan hosilani ifodalang, buning uchun biz barcha qismlarga ajratamiz:

Va o'zgartirilgan DEda biz olingan maxsus eritma va topilgan hosilani almashtiramiz. Soddalashtirish natijasida to'g'ri tenglik ham olinishi kerak.

6-misol

Tenglamaning bosh integralini toping, javobni quyidagicha ko'rsating.

Bu o'z-o'zidan hal qilish, to'liq hal qilish va dars oxirida javob berishga misoldir.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalarni yechishda qanday qiyinchiliklar kutmoqda?

1) O'zgaruvchilarni ajratish mumkinligi har doim ham aniq emas (ayniqsa choynak uchun). Shartli misolni ko'rib chiqing: . Bu erda siz qavs ichidan omillarni olib tashlashingiz kerak: va ildizlarni ajratish:. Keyinchalik qanday davom etish kerakligi aniq.

2) Integratsiyaning o'zidagi qiyinchiliklar. Integrallar ko'pincha oddiy emas va agar topish qobiliyatlarida kamchiliklar mavjud bo'lsa, paydo bo'ladi noaniq integral, keyin ko'p diffuzerlar bilan qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, "differensial tenglama oddiy bo'lgani uchun, integrallar murakkabroq bo'lsin" mantiqi to'plamlar va qo'llanmalarni tuzuvchilar orasida mashhur.

3) Konstanta bilan o'zgartirishlar. Hamma payqaganidek, differensial tenglamalardagi konstanta juda erkin ishlov berilishi mumkin va ba'zi o'zgarishlar har doim ham yangi boshlanuvchilar uchun tushunarli emas. Keling, yana bir taxminiy misolni ko'rib chiqaylik: . Unda barcha shartlarni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: . Olingan konstanta ham qandaydir konstanta bo'lib, uni quyidagicha belgilash mumkin: . Ha, va bizda bir xil logarifmlar mavjud bo'lganligi sababli, doimiyni boshqa doimiy sifatida qayta yozish tavsiya etiladi: .

Muammo shundaki, ular ko'pincha indekslar bilan bezovta qilmaydi va bir xil harfdan foydalanadi. Natijada qaror bayonnomasi quyidagi shaklni oladi:

Nima bo'ldi?! Mana xatolar! Qattiq aytganda, ha. Biroq, substantiv nuqtai nazardan, hech qanday xatolik yo'q, chunki o'zgaruvchan konstantani o'zgartirish natijasida ekvivalent o'zgaruvchan konstanta olinadi.

Yoki boshqa misol, deylik, tenglamani yechish jarayonida umumiy integral olindi. Bu javob xunuk ko'rinadi, shuning uchun har bir atamaning belgisini o'zgartirish tavsiya etiladi: . Rasmiy ravishda, yana xatolik bor - o'ngda, yozilishi kerak . Ammo norasmiy ravishda aytilishicha, "minus ce" hali ham bir xil qiymatlar to'plamini qabul qiladigan doimiy qiymatdir va shuning uchun "minus" qo'yish mantiqiy emas.

Men beparvo yondashuvdan qochishga harakat qilaman va ularni konvertatsiya qilishda hali ham doimiylar uchun turli indekslarni qo'yaman. Sizga shuni maslahat beraman.

7-misol

Differensial tenglamani yeching. Tekshirishni o'tkazing.

Yechim: Ushbu tenglama o'zgaruvchilarni ajratishni qabul qiladi. O'zgaruvchilarni ajratish:

Biz birlashtiramiz:

Bu erda doimiy logarifm ostida aniqlanishi shart emas, chunki undan hech qanday yaxshi narsa bo'lmaydi.

Javob: umumiy integral:

Va, albatta, bu erda "y" ni aniq ifodalash KERAK EMAS, chunki u axlatga aylanadi (uchinchi texnik maslahatni eslang).

Imtihon: Javobni farqlang (ko'rinmas funktsiya):

Biz kasrlardan qutulamiz, buning uchun ikkala shartni ham ko'paytiramiz:

Asl differensial tenglama olindi, bu umumiy integral to'g'ri topilganligini bildiradi.

8-misol

DE ning maxsus yechimini toping.
,

Ingliz tili: Vikipediya saytni yanada xavfsizroq qiladi. Siz kelajakda Vikipediyaga ulana olmaydigan eski veb-brauzerdan foydalanyapsiz. Qurilmangizni yangilang yoki AT administratoringizga murojaat qiling.

中文: ① ② ③ ④ shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng shǒuwàng Salom).

Espanol: Vikipediya oʻz joyida. Usted está un utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse for Vikipedia in Futuro. Ma'muriyatga tegishli ma'lumotlarga murojaat qiling. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Vikipediya va uning xavfsizligini oshirish uchun sayt. Qadimgi veb-navigatordan foydalanasiz, u Vikipediyaga qo'shimcha ravishda ulagich sifatida ishlatiladi. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Ma'lumotlar qo'shimchalari va texnikalar va ingliz tilini o'z ichiga oladi.

日本語: ① ② ③ ③ ④ niè shǒuwàn níng, 今後, 今後 する する する する 接続 でき でき ます ↑, ↑ 管理 面 面 更新 ↑ líííííííííííííííííííííííííííííííííííí HIPííííí

nemis tili: Vikipediya Sicherheit der Webseite deb nomlanadi. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Vikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-administrator va. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise englischer Sprache-da Du unten topdi.

Italiano: Vikipediya sta rendendo il sito più sicuro. Vikipediyani futuro bilan bog'lash uchun brauzerdan foydalanmang. Eng afzal ko'rganingizda, ma'lumotni boshqarish yoki boshqarish imkoniyati mavjud. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ingliz tilida.

magyar: Biz Vikipediyadan foydalanamiz. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Shvetsiya: Vikipediyani ko'r sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Vikipediya va framtiden. Yangilash IT-administrator bilan aloqada bo'ladi. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på Engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Biz ishonchsiz TLS protokoli versiyalari, xususan, saytlarimizga ulanish uchun brauzeringiz dasturiy taʼminotiga tayanadigan TLSv1.0 va TLSv1.1 uchun qoʻllab-quvvatlashni olib tashlaymiz. Bunga odatda eskirgan brauzerlar yoki eski Android smartfonlari sabab bo'ladi. Yoki bu korporativ yoki shaxsiy "Veb xavfsizligi" dasturiy ta'minotining aralashuvi bo'lishi mumkin, bu aslida ulanish xavfsizligini pasaytiradi.

Saytlarimizga kirish uchun veb-brauzeringizni yangilashingiz yoki boshqa yo'l bilan bu muammoni hal qilishingiz kerak. Bu xabar 2020-yil 1-yanvargacha qoladi. Shu sanadan keyin brauzeringiz serverlarimiz bilan aloqa o‘rnatolmaydi.