기계적 균형. 일반화된 좌표계에서 기계 시스템의 평형 조건 좌표계에서 기계 시스템의 안정적인 평형 위치
물질점의 진동운동을 연구하는 예를 보면 다음과 같이 시스템의 고유운동은 탄성력에 의해 일어난다. 이전에는 탄성력이 잠재적 힘장에 속한다는 것이 밝혀졌습니다. 결과적으로, 기계 시스템의 고유한 진동 운동에 대한 연구로 넘어가면, 그러한 운동은 잠재적인 장의 힘에 의해 발생한다고 가정해야 합니다. 따라서 시스템의 자유도가 s인 경우 일반화된 힘은 힘 함수 U 또는 위치 에너지 P를 통해 다음 형식으로 작성됩니다.
점의 움직임을 연구하면 다음과 같이 평형 위치를 중심으로 진동이 발생합니다. 시스템의 진동 운동은 조건에 의해 특징지어지는 평형 위치 근처에서도 발생합니다.
이러한 조건은 시스템의 진동 운동이 시스템의 힘 함수 또는 위치 에너지의 상대적 극값을 특징으로 하는 위치 근처에서 발생할 수 있음을 나타냅니다. 그러나 시스템의 진동 운동은 모든 평형 위치 근처에서 가능하지 않습니다.
기계 시스템의 안정적인 평형 위치 결정
기계 시스템은 적용된 힘의 작용 하에서 평형 상태에 있는 재료 지점으로 구성됩니다. 이 시스템의 포인트에 평형 위치로부터의 작은 편차와 작은 초기 속도를 부여해 보겠습니다. 그러면 시스템이 움직이기 시작합니다. 불균형 이후 전체 시간 동안 시스템의 지점이 평형 위치에 가깝게 유지되면 이 위치를 안정이라고 합니다. 그렇지 않으면 시스템의 평형이 불안정하다고 합니다. 우리는 이러한 진동이 안정된 평형 위치 근처에서 발생할 때만 시스템의 진동에 대해 이야기할 수 있습니다. 시스템의 위치가 불안정한 경우, 즉 평형 위치에서 약간의 편차가 있고 속도가 느린 경우 시스템이 시스템에서 더 멀리 이동하면 이 위치 근처에서 시스템의 진동에 대해 말할 수 없습니다. 결과적으로, 시스템 진동에 대한 연구는 평형 안정성에 대한 기준을 확립하는 것부터 시작되어야 합니다. 기계 시스템.
보수적 기계 시스템의 평형 안정성에 대한 기준
보수적 시스템의 평형 안정성에 대한 기준은 다음과 같은 Lagrange-Dirichlet 정리에 의해 확립됩니다. 기계 시스템이 고정 연결을 갖고 보수적이라면 이 시스템의 평형 위치에 있을 때 위치 에너지는 다음과 같습니다. 최소(즉, 힘 함수가 최대값을 가짐)이면 시스템의 평형이 지속 가능합니다.
이 정리를 증명해 봅시다. 기계 시스템의 위치는 평형 위치에서 측정된 일반 좌표에 의해 결정됩니다. 그러면 이 위치에서 우리는 다음을 갖게 될 것입니다:
수량은 차원 공간에서 한 점의 좌표로 간주될 수 있습니다. 그러면 시스템의 각 위치는 이 공간의 특정 지점에 해당합니다. 특히 평형 위치는 좌표 O의 원점에 해당합니다.
위치 에너지는 임의의 상수까지 결정되므로 추론의 일반성을 위반하지 않는 이 위치에서 가정하고 평형 위치에서 위치 에너지 P를 계산합니다.
양수를 설정하고 점 O에서 반경의 구를 묘사해 봅시다. 이 구에 의해 제한되는 영역은 숫자로 표시되며 임의적인 것으로 간주되지만 충분히 작습니다. 그런 다음 영역 D 경계의 모든 지점에 대해 다음 불평등이 유지됩니다.
점 O에서 함수 P는 0과 같고 최소값을 갖기 때문입니다.
허락하다 가장 작은 값영역 D의 경계에 있는 P는 P와 같습니다. 그러면 이 경계에 속하는 모든 점에 대해 우리는 다음을 갖게 됩니다.
이제 부등식이 충족되는 작은 초기 편차와 작은 초기 속도를 해당 지점에 전달하여 시스템을 평형 위치에서 제거해 보겠습니다.
위치 에너지와 운동 에너지의 초기 값은 어디에 있습니까? 그러면 우리는 다음을 갖게 될 것입니다:
그러나 시스템이 추가로 이동하면 고정 연결이 있는 보수 시스템에 유효한 기계 에너지 보존 법칙으로 인해 평등이 충족됩니다.
정의
안정적인 균형- 이것은 평형 위치에서 벗어나 그 자체로 방치된 신체가 이전 위치로 돌아가는 평형입니다.
이는 원래 위치에서 어느 방향으로든 몸체가 약간 변위되면 몸체에 작용하는 힘의 합력이 0이 아니고 평형 위치를 향하는 경우에 발생합니다. 예를 들어, 구형 함몰 바닥에 공이 놓여 있습니다(그림 1a).
정의
불안정한 평형-이것은 평형 위치에서 벗어나 그 자체로 방치된 신체가 평형 위치에서 훨씬 더 벗어나는 평형입니다.
이 경우 평형 위치에서 몸체가 약간 변위되면 몸체에 가해지는 힘의 합력은 0이 아니며 평형 위치에서 향하게 됩니다. 예를 들어 볼록한 구면의 상단 지점에 위치한 공이 있습니다(그림 1b).
정의
무관심한 균형- 이것은 평형 위치에서 벗어나 자체 장치에 맡겨진 물체가 위치(상태)를 변경하지 않는 평형입니다.
이 경우 원래 위치에서 몸체가 약간 변위되면 몸체에 가해지는 힘의 합력은 0으로 유지됩니다. 예를 들어, 평평한 표면에 공이 놓여 있습니다(그림 1c).
그림 1. 지지대 위의 다양한 유형의 신체 균형: a) 안정적인 균형; b) 불안정한 평형; c) 무관심한 균형.
신체의 정적 및 동적 균형
힘의 작용으로 인해 신체가 가속도를 받지 못하면 정지 상태에 있거나 직선으로 균일하게 움직일 수 있습니다. 그러므로 우리는 정적 평형과 동적 평형에 관해 이야기할 수 있습니다.
정의
정적 균형- 이것은 가해진 힘의 영향으로 신체가 정지할 때의 평형 상태입니다.
동적 균형-힘의 작용으로 인해 신체가 움직임을 바꾸지 않을 때 이것은 평형입니다.
케이블이나 건물 구조에 매달린 랜턴은 정적 평형 상태에 있습니다. 동적 평형의 예로 마찰력이 없을 때 평평한 표면에서 구르는 바퀴를 생각해 보십시오.
기계 시스템의 평형은 고려 중인 시스템의 모든 지점이 선택한 기준 시스템에 대해 정지되어 있는 상태입니다.
평형 조건을 알아내는 가장 쉬운 방법은 가장 간단한 기계 시스템, 즉 재료 지점의 예를 사용하는 것입니다. 역학 제1법칙(역학 참조)에 따르면 휴식(또는 균일) 상태는 직선 운동) 관성 좌표계의 재료 점은 여기에 적용된 모든 힘의 벡터 합계가 0과 동일합니다.
보다 복잡한 기계 시스템으로 이동할 때 이 조건만으로는 평형을 유지하기에 충분하지 않습니다. 보상되지 않은 외부 힘으로 인해 발생하는 병진 운동 외에도 복잡한 기계 시스템은 회전 운동이나 변형을 겪을 수 있습니다. 절대균형조건을 알아보자 단단한- 입자들의 집합으로 구성된 기계 시스템으로, 상호 거리가 변하지 않습니다.
기계 시스템의 병진 운동(가속도 포함) 가능성은 시스템의 모든 지점에 적용되는 힘의 합이 0이 되도록 요구함으로써 재료 지점의 경우와 동일한 방식으로 제거될 수 있습니다. 이것이 기계 시스템의 평형을 위한 첫 번째 조건입니다.
우리의 경우, 점 사이의 상호 거리가 변하지 않는다는 데 동의했기 때문에 솔리드 본체는 변형될 수 없습니다. 그러나 재료 지점과 달리 한 쌍의 동일하고 반대 방향의 힘이 서로 다른 지점에서 완전히 강체에 적용될 수 있습니다. 더욱이 이 두 힘의 합은 0이므로 고려 중인 기계 시스템은 병진 운동을 수행하지 않습니다. 그러나 이러한 한 쌍의 힘의 영향으로 신체가 계속 증가하는 각속도로 특정 축을 기준으로 회전하기 시작한다는 것은 분명합니다.
고려 중인 시스템에서 회전 운동이 발생하는 것은 보상되지 않은 힘의 모멘트가 존재하기 때문입니다. 임의의 축에 대한 힘의 모멘트는 팔 d에 의한 이 힘 F의 크기, 즉 축이 통과하는 점 O(그림 참조)에서 내려온 수직선의 길이와 축의 방향을 곱한 것입니다. 힘. 이 정의에 따른 힘의 순간은 대수적 양입니다. 힘이 시계 반대 방향 회전으로 이어지면 양수로 간주되고 그렇지 않으면 음수로 간주됩니다. 따라서 강체의 평형을 위한 두 번째 조건은 회전축에 대한 모든 힘의 모멘트의 합이 0과 같아야 한다는 요구 사항입니다.
발견된 두 가지 평형 조건이 모두 충족되는 경우, 힘이 작용하기 시작하는 순간 모든 지점의 속도가 0이면 고체는 정지 상태가 됩니다.
그렇지 않으면 관성에 의해 등속 운동을 수행하게 됩니다.
기계 시스템의 평형에 대한 고려된 정의는 시스템이 평형 위치에서 약간 벗어나면 어떤 일이 일어날지에 대해 아무 말도 하지 않습니다. 이 경우 세 가지 가능성이 있습니다. 시스템이 이전 평형 상태로 돌아갈 것입니다. 편차에도 불구하고 시스템은 평형 상태를 변경하지 않습니다. 시스템은 평형 상태를 벗어날 것입니다. 첫 번째 경우는 안정된 평형 상태, 두 번째는 무관심, 세 번째는 불안정한 상태라고 합니다. 평형 위치의 특성은 좌표에 대한 시스템의 위치 에너지 의존성에 의해 결정됩니다. 그림은 움푹 들어간 곳(안정된 평형), 부드러운 수평 테이블(무관심), 결절 꼭대기(불안정)에 위치한 무거운 공의 예를 사용하여 세 가지 유형의 평형을 모두 보여줍니다(220페이지 그림 참조). .
기계 시스템의 평형 문제에 대한 위의 접근 방식은 고대 과학자들에 의해 고려되었습니다. 따라서 지렛대(즉, 회전축이 고정된 강체)의 평형 법칙은 3세기에 아르키메데스에 의해 발견되었습니다. 기원전 이자형.
1717년 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 기계 시스템의 평형 조건을 찾기 위한 완전히 다른 접근 방식, 즉 가상 변위 방법을 개발했습니다. 이는 에너지 보존 법칙에서 발생하는 결합 반력의 특성에 기초합니다. 평형 위치에서 시스템의 작은 편차로 결합 반력의 총 작업은 0입니다.
위에서 설명한 평형 조건을 기반으로 정적 문제(역학 참조)를 해결할 때 시스템에 존재하는 연결(지지대, 나사산, 막대)은 그 안에서 발생하는 반력으로 특징지어집니다. 여러 몸체로 구성된 시스템의 경우 평형 조건을 결정할 때 이러한 힘을 고려해야 하기 때문에 계산이 번거로워집니다. 그러나 결합 반력의 일은 평형 위치로부터 작은 편차에 대해 0과 동일하다는 사실로 인해 이러한 힘을 모두 고려하지 않는 것이 가능합니다.
반력 외에도 외부 힘도 기계 시스템의 지점에 작용합니다. 평형 위치에서 약간 벗어나는 작업은 무엇입니까? 시스템은 초기에 정지 상태이므로 어떤 움직임이든지 긍정적인 작업을 수행하는 것이 필요합니다. 원칙적으로 이 작업은 외부 힘과 결합 반력 모두에 의해 수행될 수 있습니다. 그러나 우리가 이미 알고 있듯이 반력이 한 일은 모두 0이다. 따라서 시스템이 평형 상태를 벗어나려면 가능한 모든 변위에 대한 외부 힘의 전체 작업이 양수여야 합니다. 결과적으로, 운동 불가능 조건, 즉 평형 조건은 외부 힘의 총 작업이 모든 가능한 운동에 대해 양수가 아니라는 요구 사항으로 공식화될 수 있습니다.
시스템의 점이 움직일 때 외부 힘이 한 일의 합은 와 같다고 가정합니다. 시스템이 움직이면 어떻게 될까요? 이러한 움직임은 첫 번째 움직임과 동일한 방식으로 가능합니다. 그러나 외부 힘의 작용은 이제 부호를 변경합니다: . 이전 사례와 유사하게 추론하면 이제 시스템의 평형 조건이 다음과 같은 형식을 갖는다는 결론에 도달하게 됩니다. 즉, 외부 힘의 작업은 음수가 아니어야 합니다. 거의 모순에 가까운 이 두 가지 조건을 "조정"하는 유일한 방법은 평형 위치에서 시스템의 가능한 (가상) 이동에 대해 외부 힘의 전체 작업이 0과 완전히 동일하도록 요구하는 것입니다. 여기서 가능한 (가상) 움직임이란 시스템에 부과된 연결과 모순되지 않는 시스템의 극미한 정신적 움직임을 의미합니다.
따라서 가상 변위 원리의 형태로 기계 시스템의 평형 조건은 다음과 같이 공식화됩니다.
"이상적인 연결을 갖춘 모든 기계 시스템의 평형을 위해서는 가능한 모든 변위에 대해 시스템에 작용하는 기본 힘 작용의 합이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다."
가상 변위의 원리를 이용하여 정역학뿐만 아니라 정수역학, 정전기학의 문제도 해결합니다.
기계적 균형
기계적 균형- 각 입자에 작용하는 모든 힘의 합이 0이고 임의의 회전축을 기준으로 몸체에 적용되는 모든 힘의 모멘트의 합도 0인 기계 시스템의 상태입니다.
평형 상태에서 몸체는 선택한 기준 좌표계에서 정지 상태에 있으며(속도 벡터는 0임) 직선으로 균일하게 움직이거나 접선 가속도 없이 회전합니다.
시스템 에너지를 통한 정의
에너지와 힘은 근본적인 관계로 연관되어 있으므로 이 정의는 첫 번째 정의와 동일합니다. 그러나 에너지 측면의 정의는 평형 위치의 안정성에 대한 정보를 제공하기 위해 확장될 수 있습니다.
잔액의 종류
자유도가 1인 시스템의 예를 들어보겠습니다. 이 경우, 평형 위치에 대한 충분 조건은 연구 중인 지점에 국부 극단이 존재하는 것입니다. 알려진 바와 같이, 미분 가능 함수의 국소 극값에 대한 조건은 해당 함수의 1차 도함수가 0과 같다는 것입니다. 이 점이 최소값인지 최대값인지 확인하려면 2차 도함수를 분석해야 합니다. 평형 위치의 안정성은 다음 옵션이 특징입니다.
- 불안정한 평형;
- 안정적인 균형;
- 무관심한 균형.
불안정한 평형
2차 도함수가 음수인 경우, 계의 위치 에너지는 국소 최대치 상태에 있습니다. 이는 평형 위치를 의미한다. 불안정한. 시스템이 약간 이동하면 시스템에 작용하는 힘으로 인해 계속해서 움직입니다.
안정적인 균형
2차 도함수 > 0: 국소 최소, 평형 위치에서의 위치 에너지 지속 가능한(평형 안정성에 관한 라그랑주의 정리 참조) 시스템이 약간 이동하면 평형 상태로 돌아갑니다. 신체의 무게 중심이 가능한 모든 주변 위치에 비해 가장 낮은 위치를 차지하면 균형이 안정적입니다.
무관심한 균형
2차 도함수 = 0: 이 영역에서 에너지는 변하지 않으며 평형 위치는 다음과 같습니다. 무관심한. 시스템을 조금 이동해도 새 위치에 그대로 유지됩니다.
자유도가 큰 시스템의 안정성
시스템에 여러 자유도가 있는 경우 어떤 방향으로의 이동에서는 평형이 안정적이지만 다른 방향에서는 불안정할 수 있습니다. 이러한 상황의 가장 간단한 예는 "안장"또는 "패스"입니다(이 곳에 그림을 배치하는 것이 좋을 것입니다).
여러 자유도를 갖는 시스템의 평형은 안정적이어야 안정됩니다. 모든 방향으로.
위키미디어 재단. 2010.
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절대적으로 강체의 평형 조건을 찾으려면 정신적으로 이를 매우 작은 여러 요소로 분해해야 하며, 각 요소는 물질적 점으로 표현될 수 있습니다. 이러한 모든 요소는 서로 상호 작용합니다. 이러한 상호 작용 힘을 내부. 또한 외력은 신체의 여러 지점에 작용할 수 있습니다.
뉴턴의 제2법칙에 따르면, 한 점의 가속도가 0이 되려면(그리고 정지한 점의 가속도가 0이 되려면) 해당 점에 작용하는 힘의 기하학적 합이 0이어야 합니다. 몸체가 정지해 있으면 모든 점(요소)도 정지해 있습니다. 그러므로 신체의 어떤 지점에 대해서도 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
작용하는 모든 외부 및 내부 힘의 기하학적 합은 어디에 있습니까? 나신체의 번째 요소.
이 방정식은 물체가 평형 상태에 있으려면 이 물체의 모든 요소에 작용하는 모든 힘의 기하학적 합이 0이 되어야 한다는 것을 의미합니다.
이것으로부터 신체의 평형(신체 시스템)에 대한 첫 번째 조건을 얻는 것은 쉽습니다. 이렇게 하려면 신체의 모든 요소에 대한 방정식을 요약하면 충분합니다.
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두 번째 합은 뉴턴의 세 번째 법칙에 따라 0과 같습니다. 모든 내부 힘은 크기가 같고 방향이 반대인 힘에 해당하기 때문에 시스템의 모든 내부 힘의 벡터 합은 0과 같습니다.
따라서,
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강체의 평형을 위한 첫 번째 조건(신체 시스템)신체에 가해지는 모든 외부 힘의 기하학적 합이 0과 동일합니다.
이 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. 이는 기하학적 합도 0인 한 쌍의 힘의 회전 동작을 기억하면 쉽게 확인할 수 있습니다.
강체의 평형을 위한 두 번째 조건모든 축을 기준으로 신체에 작용하는 모든 외부 힘의 모멘트 합계가 0과 동일합니다.
따라서 임의의 수의 외부 힘이 작용하는 경우 강체의 평형 조건은 다음과 같습니다.
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