קוביות בחלל. Tesseract וקוביות נ-ממדיות באופן כללי. היפרקוב באמנות

אם אתם חובבי סרטי הנוקמים, הדבר הראשון שעשוי לעלות בראשכם כשאתם שומעים את המילה "Tesseract" הוא הכלי השקוף בצורת קובייה של אבן האינסוף שמכיל כוח בלתי מוגבל.

עבור מעריצי יקום מארוול, ה-Tesseract הוא קובייה כחולה זוהרת, שממנה משתגעים אנשים לא רק מכדור הארץ, אלא גם מכוכבי לכת אחרים. זו הסיבה שכל הנוקמים התאגדו כדי להגן על הגרונדרים מפני הכוחות ההרסניים ביותר של הטסרקט.

מה שצריך לומר הוא זה: טסרקט הוא מושג גיאומטרי ממשי, ליתר דיוק, צורה שקיימת ב-4D. זו לא רק קובייה כחולה מהנוקמים... זה קונספט אמיתי.

טסרקט הוא חפץ ב-4 מימדים. אבל לפני שנסביר את זה בפירוט, בואו נתחיל מההתחלה.

מהי "מדידה"?

כולם שמעו את המונחים דו-ממדיים ותלת-ממדיים, המייצגים אובייקטים דו-מימדיים או תלת-ממדיים בהתאמה. אבל מה אלה?

מימד הוא רק כיוון שאתה יכול ללכת אליו. לדוגמה, אם אתה מצייר קו על פיסת נייר, אתה יכול ללכת שמאלה/ימינה (ציר x) או למעלה/מטה (ציר y). אז אנחנו אומרים שהנייר הוא דו מימדי מכיוון שאתה יכול ללכת רק בשני כיוונים.

יש תחושת עומק בתלת מימד.

כעת, בעולם האמיתי, בנוסף לשני הכיוונים שהוזכרו לעיל (שמאל/ימינה ולמעלה/מטה), אפשר גם להיכנס/לצאת. כתוצאה מכך, תחושת עומק מתווספת בחלל התלת מימד. לכן אנחנו אומרים את זה החיים האמיתייםתלת מימד.

נקודה יכולה לייצג 0 ממדים (מכיוון שהיא לא זזה לשום כיוון), קו מייצג מימד אחד (אורך), ריבוע מייצג 2 ממדים (אורך ורוחב), וקוביה מייצגת 3 ממדים (אורך, רוחב וגובה ).

קח קובייה תלת מימדית והחלף כל פנים (שכיום הוא ריבוע) בקובייה. וכך! הצורה שאתה מקבל היא הטסרקט.

מה זה טסרקט?

במילים פשוטות, tesseract הוא קובייה במרחב 4 מימדי. אפשר גם לומר שזו המקבילה התלת-ממדית של קובייה. זוהי צורה 4D שבה כל פנים הוא קובייה.

הקרנת תלת מימד של טסרקט המבצע סיבוב כפול סביב שני מישורים אורתוגונליים.
תמונה: ג'ייסון היס

הנה דרך פשוטה להמשיג ממדים: ריבוע הוא דו מימדי; כך שלכל אחת מהפינות שלה יש 2 קווים הנמשכים ממנה ב-90 מעלות זה לזה. הקובייה היא תלת מימדית, כך שלכל פינות שלה יש 3 קווים שיורדים ממנה. כמו כן, ה-tesseract הוא צורה 4D, כך שלכל פינה יש 4 קווים הנמשכים ממנה.

למה קשה לדמיין טסרקט?

מכיוון שאנו כבני אדם התפתחנו לדמיין אובייקטים בתלת מימד, כל דבר שנכנס למימדים נוספים כמו 4D, 5D, 6D וכו' לא נשמע לנו הגיוני במיוחד כי אנחנו לא יכולים לדמיין אותם בכלל. המוח שלנו לא יכול להבין את הממד הרביעי בחלל. אנחנו פשוט לא יכולים לחשוב על זה.

ברגע שהצלחתי להרצות לאחר הניתוח, השאלה הראשונה ששאלו התלמידים הייתה:

מתי תציירו לנו קובייה 4 מימדית? איליאס עבדולכאיביץ' הבטיח לנו!

אני זוכר שחבריי היקרים אוהבים לפעמים דקה של תוכנית חינוכית מתמטית. לכן, אכתוב כאן חלק מההרצאה שלי למתמטיקאים. ואני אשתדל לא להתבייש. בכמה נקודות קראתי את ההרצאה בצורה קפדנית יותר, כמובן.

בוא נסכים קודם. מרחב 4-ממדי, ועוד יותר 5-6-7- ובאופן כללי ק-ממדי לא ניתן לנו בתחושות חושיות.
"אנחנו עניים כי אנחנו רק תלת מימדיים", אמרה המורה שלי בבית ספר יום ראשון, שסיפרה לי לראשונה מהי קוביית 4 מימד. בית הספר של יום ראשון היה, כמובן, דתי ביותר - מתמטי. באותה תקופה, למדנו היפר-קוביות. שבוע לפני זה, אינדוקציה מתמטית, שבוע אחרי זה, המילטון מחזור בגרפים - בהתאמה, זו כיתה ז'.

אנחנו לא יכולים לגעת, להריח, לשמוע או לראות קובייה 4 מימדית. מה אנחנו יכולים לעשות עם זה? אנחנו יכולים לדמיין את זה! כי המוח שלנו הרבה יותר מורכב מהעיניים והידיים שלנו.

אז, כדי להבין מהי קובייה 4 מימדית, בואו נבין קודם כל מה עומד לרשותנו. מהי קובייה תלת מימדית?

בסדר בסדר! אני לא מבקש ממך הגדרה מתמטית ברורה. רק דמיינו את הקובייה התלת מימדית הפשוטה והנפוצה ביותר. מיוצג?

טוֹב.
על מנת להבין כיצד להכליל קובייה תלת מימדית למרחב תלת מימדי, בואו נבין מהי קובייה דו מימדית. זה כל כך פשוט - זה ריבוע!

לריבוע יש 2 קואורדינטות. בקובייה יש שלושה. הנקודות של ריבוע הן נקודות בעלות שתי קואורדינטות. הראשון הוא מ-0 עד 1. והשני הוא מ-0 עד 1. לנקודות הקובייה שלוש קואורדינטות. וכל אחד הוא כל מספר בין 0 ל-1.

זה הגיוני לדמיין שקוביה 4 מימדית היא דבר כזה שיש לו 4 קואורדינטות והכל מ-0 עד 1.

/* זה גם הגיוני לדמיין קובייה חד-ממדית, שהיא לא יותר מקטע פשוט מ-0 ל-1. */

אז רגע, איך מציירים קובייה 4 מימדית? אחרי הכל, אנחנו לא יכולים לצייר חלל 4 מימדי במישור!
אבל אחרי הכל, אנחנו גם לא מציירים מרחב תלת מימדי במישור, אנחנו מציירים אותו הַקרָנָהבמישור הציור הדו-ממדי. אנו מניחים את הקואורדינטה השלישית (z) בזווית, ומדמיינים שהציר ממישור הציור הולך "לקראנו".

עכשיו זה די ברור איך לצייר קובייה 4 מימדית. באותו אופן שהצבנו את הציר השלישי בזווית כלשהי, ניקח את הציר הרביעי ונמקם גם אותו בזווית כלשהי.
ו- וואלה! - הקרנה של קובייה 4 מימדית על מישור.

מה? מה זה בכלל? אני תמיד שומע לחישות מהשולחנות האחוריים. תן לי להסביר ביתר פירוט מה זה שלל השורות הזה.
תסתכל תחילה על הקובייה התלת מימדית. מה עשינו? לקחנו ריבוע וגררנו אותו לאורך הציר השלישי (z). זה כמו הרבה ריבועי נייר המודבקים יחד בערימה.
זה אותו דבר עם קובייה 4 מימדית. בואו נקרא לציר הרביעי מטעמי נוחות ולמטרות מדע בדיוני "ציר הזמן". אנחנו צריכים לקחת קובייה תלת מימדית רגילה ולגרור אותה בזמן מהזמן "עכשיו" לזמן "בעוד שעה".

יש לנו קוביית "עכשיו". זה ורוד בתמונה.

ועכשיו אנחנו גוררים אותו לאורך הציר הרביעי - לאורך ציר הזמן (הראיתי אותו בירוק). ואנחנו מקבלים את קוביית העתיד - כחולה.

כל קודקוד של "קוביית עכשיו" משאיר עקבות בזמן - קטע. מחבר את ההווה שלה עם העתיד שלה.

בקיצור, בלי מילים: ציירנו שתי קוביות תלת מימד זהות וחיברנו את הקודקודים המתאימים.
בדיוק כמו שעשינו עם קוביית תלת מימד (צייר 2 קוביות דו מימד זהות וחבר את הקודקודים).

כדי לצייר קוביית 5D, תצייר שני עותקים של קוביית 4D (קוביית 4D עם קואורדינטה 5 0 וקוביה 4D עם קואורדינטה 5 1) ותחבר את הקודקודים המתאימים עם קצוות. נכון, במטוס ייצא שלל קצוות כזה שכמעט בלתי אפשרי יהיה להבין כלום.

ברגע שדמיינו קובייה 4 מימדית ואפילו הצלחנו לצייר אותה, נוכל לחקור אותה בכל דרך. לא לשכוח לחקור את זה גם במוח וגם בתמונה.
לדוגמה. קובייה דו מימדית מוגבלת מ-4 צדדים על ידי קוביות דו מימדיות. זה הגיוני: לכל אחת משתי הקואורדינטות יש לה גם התחלה וגם סוף.
קובייה תלת מימדית תחומה מ-6 צדדים על ידי קוביות דו מימדיות. לכל אחת משלוש הקואורדינטות יש לה התחלה וסוף.
אז קובייה תלת מימדית חייבת להיות מוגבלת לשמונה קוביות תלת מימדיות. לכל אחת מ-4 הקואורדינטות - משני צדדים. באיור שלמעלה, אנו רואים בבירור 2 פרצופים המגבילים אותו לאורך קואורדינטת ה"זמן".

הנה שתי קוביות (הן מעט אלכסוניות כי יש להן 2 מימדים המוקרנים על המטוס בזווית), המגבילים את ההיפר-קובייה שלנו לשמאל ולימין.

קל להבחין גם ב"עליון" ו"תחתון".

הדבר הקשה ביותר הוא להבין ויזואלית היכן נמצאים "הקדמי" וה"אחורי". החזית מתחילה מהחזית הקדמית של "קוביית עכשיו" ולפנים הקדמית של "קוביית העתיד" - היא אדומה. אחורי, בהתאמה, סגול.

הכי קשה לזהות אותן, כי קוביות אחרות מתבלבלות מתחת לרגליים, מה שמגביל את ההיפר-קוביה לקואורדינטה מוקרנת אחרת. אבל שימו לב שהקוביות עדיין שונות! הנה שוב התמונה, שבה מודגשות ה"קובייה עכשיו" ו"קוביית העתיד".

כמובן שאפשר להקרין קובייה תלת מימדית לתוך חלל תלת מימדי.
המודל המרחבי האפשרי הראשון ברור איך הוא נראה: אתה צריך לקחת 2 מסגרות קובייה ולחבר את הקודקודים המתאימים להם עם קצה חדש.
אין לי את הדגם הזה כרגע. בהרצאה אני מראה לסטודנטים דגם תלת מימדי קצת שונה של קובייה תלת מימדית.

אתה יודע איך קובייה מוקרנת על מטוס כזה.
כאילו אנחנו מסתכלים על הקובייה מלמעלה.

הקצה הקרוב, כמובן, גדול. והצד הרחוק נראה קטן יותר, אנחנו רואים אותו דרך הצד הקרוב.

כך ניתן להקרין קובייה 4 מימדית. הקובייה גדולה יותר עכשיו, קוביית העתיד אנחנו רואים מרחוק, אז היא נראית קטנה יותר.

מצד שני. מהצד של החלק העליון.

ישירות בדיוק מהצד של הקצה:

מצד הצלעות:

והזווית האחרונה, אסימטרית. מהקטע "אתה עדיין אומר שהסתכלתי לו בין הצלעות".

ובכן, אז אתה יכול לחשוב על כל דבר. לדוגמה, כפי שקורה כאשר קובייה תלת מימדית נפרשת על מישור (זה כמו לגזור דף נייר כדי לקבל קובייה כשהיא מקופלת), כך גם קובייה תלת מימדית נפרשת לחלל. זה כמו לחתוך חתיכת עץ כך שבקיפולו בחלל 4 מימדי נקבל טסרקט.

אתה יכול ללמוד לא רק קובייה 4-ממדית, אלא קוביות n-ממדיות באופן כללי. לדוגמה, האם זה נכון שהרדיוס של כדור המוקף סביב קובייה בעלת n מימד קטן מאורך קצה של קובייה זו? או הנה שאלה פשוטה יותר: כמה קודקודים יש לקובייה בת n-ממד? וכמה קצוות (פנים חד מימדיות)?

בגיאומטריה היפרקוב- זה נאנלוגיה מימדית של ריבוע ( נ= 2) וקוביה ( נ= 3). זוהי דמות קמורה סגורה, המורכבת מקבוצות של קווים מקבילים הממוקמים בקצוות מנוגדים של הדמות, ומחוברים זה לזה בזוויות ישרות.

נתון זה ידוע גם בשם tesseract(טסרקט). ה-tesseract הוא לקובייה כמו הקוביה לריבוע. באופן רשמי יותר, ניתן לתאר טסרקט כפוליטופ רגיל ארבע-ממדי קמור (פוליטופ) שגבולו מורכב משמונה תאים מעוקבים.

על פי מילון אוקספורד האנגלי, המילה "טסרקט" נטבעה בשנת 1888 על ידי צ'ארלס הווארד הינטון והשתמשה בה בספרו A New Era of Thought. המילה נוצרה מהיוונית "τεσσερες ακτινες" ("ארבע קרניים"), היא בצורת ארבעה צירי קואורדינטות. בנוסף, בחלק מהמקורות נקראה אותה דמות טטרקובה(טטרקובה).

נהיפרקוביה מימדית נקראת גם n-קוביה.

נקודה היא היפרקוביה של ממד 0. אם תזיז נקודה ביחידת אורך, תקבל קטע של יחידת אורך - היפרקוביה של ממד 1. יתרה מכך, אם תזיז קטע ביחידת אורך בכיוון מאונך לכיוון הקטע מקבלים קובייה - היפרקוביה מממד 2. הסטת הריבוע ביחידת אורך בכיוון הניצב למישור הריבוע מתקבלת קובייה - היפרקוביה ממידה 3. תהליך זה ניתן להכליל לכל מספר ממדים. לדוגמה, אם אתה מעביר קובייה ביחידת אורך בממד הרביעי, אתה מקבל טסרקט.

משפחת ההיפרקוביות היא אחת מהפוליהדרות הרגילות הבודדות שניתן לייצג בכל מימד.

אלמנטים היפרקוביים

מימד היפרקוב ניש 2 נ"צדדים" (קו חד מימדי בעל 2 נקודות; ריבוע דו מימדי - 4 צלעות; קובייה תלת מימדית - 6 פרצופים; טסרקט ארבע ממדי - 8 תאים). מספר הקודקודים (נקודות) של ההיפרקוביה הוא 2 נ(לדוגמה, לקובייה - 2 3 קודקודים).

כַּמוּת Mהיפרקוביות ממדיות על הגבול נ-קוביה שווה

לדוגמה, על גבול היפרקוביה יש 8 קוביות, 24 ריבועים, 32 קצוות ו-16 קודקודים.

אלמנטים של היפרקוביות

n-קוביה	שֵׁם	קָדקוֹד (פני 0)	קָצֶה (פרצוף אחד)	קָצֶה (2 פנים)	תָא (3 פרצופים)	(4 פרצופים)	(5 פרצופים)	(6 פרצוף)	(7 פרצופים)	(8 פרצופים)
0-קוביה	נְקוּדָה	1
1-קוביה	קטע קו	2	1
2 קוביות	כיכר	4	4	1
3 קוביות	קוּבִּיָה	8	12	6	1
4 קוביות	tesseract	16	32	24	8	1
5 קוביות	Penteract	32	80	80	40	10	1
6 קוביות	הקסרקט	64	192	240	160	60	12	1
7 קוביות	הפטראקט	128	448	672	560	280	84	14	1
8 קוביות	אוקטרקט	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 קוביות	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

הקרנת מטוס

היווצרות של היפרקוביה יכולה להיות מיוצגת בצורה הבאה:

• ניתן לחבר שתי נקודות A ו-B ליצירת קטע קו AB.
• ניתן לחבר שני מקטעים מקבילים AB ו-CD ליצירת ABCD ריבועי.
• ניתן לחבר שני ריבועים מקבילים ABCD ו-EFGH ליצירת הקובייה ABCDEFGH.
• ניתן לחבר שתי קוביות מקבילות ABCDEFGH ו-IJKLMNOP ליצירת hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

את המבנה האחרון לא קל לדמיין, אבל אפשר לתאר את ההקרנה שלו על דו או תלת מימד. יתר על כן, הקרנות על מישור דו-ממדיות יכולות להיות שימושיות יותר על ידי סידור מחדש של מיקומי הקודקודים המוקרנים. במקרה זה, ניתן לקבל תמונות שאינן משקפות עוד את היחסים המרחביים של האלמנטים בתוך ה-tesseract, אלא ממחישות את מבנה חיבורי הקודקוד, כמו בדוגמאות להלן.

האיור הראשון מראה כיצד נוצר טסרקט באופן עקרוני על ידי חיבור שתי קוביות. סכימה זו דומה לתוכנית ליצירת קובייה משני ריבועים. התרשים השני מראה שלכל הקצוות של הטסרקט יש אותו אורך. תכנית זו נאלצת גם לחפש קוביות המחוברות זו לזו. בדיאגרמה השלישית, קודקודי ה-tesseract ממוקמים בהתאם למרחקים לאורך הפרצופים ביחס לנקודה התחתונה. סכימה זו מעניינת מכיוון שהיא משמשת כסכמה בסיסית לטופולוגיית הרשת של חיבור מעבדים בארגון מחשוב מקבילי: המרחק בין שני צמתים אינו עולה על 4 אורכי קצוות, וישנן דרכים רבות ושונות לאזן את העומס.

היפרקוב באמנות

ההיפרקוביה הופיעה במדע הבדיוני מאז 1940, כאשר רוברט היינליין, בסיפור "הבית שבנה צהבהב" ("והוא בנה בית עקום"), תיאר בית שנבנה בצורת טסרקט שנפרש. בסיפור, This Further, הבית הזה מקופל, הופך ל-tesseract ארבע-מימדי. לאחר מכן, ההיפרקוביה מופיעה בספרים וברומנים רבים.

קובייה 2: Hypercube היא כשמונה אנשים לכודים ברשת של היפרקוביות.

הציור צליבה (Corpus Hypercubus), 1954 מאת סלבדור דאלי מתאר את ישו נצלב בסריקת טסרקט. ניתן לראות את הציור הזה במוזיאון לאמנות (מוזיאון המטרופוליטן לאמנות) בניו יורק.

סיכום

ה-Hypercube הוא אחד מהאובייקטים הארבע-ממדיים הפשוטים ביותר, שעל הדוגמה שלו ניתן לראות את כל המורכבות והחריגות של הממד הרביעי. ומה שנראה בלתי אפשרי בתלת מימד אפשרי בארבע, למשל, דמויות בלתי אפשריות. כך, למשל, הסורגים של משולש בלתי אפשרי בארבעה ממדים יחוברו בזוויות ישרות. והדמות הזו תיראה כך מכל נקודות המבט, ולא תהיה מעוותת, בניגוד למימושים של המשולש הבלתי אפשרי במרחב התלת מימדי (ראה איור.

Bacalier Maria

אנו לומדים דרכים להציג את הרעיון של קובייה ארבע ממדית (טסרקט), המבנה שלה וכמה תכונות. אובייקטים תלת מימדייםמתקבלים על ידי חיתוך קובייה ארבע-ממדית עם היפר-מטוסים מקבילים לפנים התלת-ממדיים שלה, כמו גם היפר-מטוסים מאונכים לאלכסון הראשי שלה. המנגנון של גיאומטריה אנליטית רב מימדית המשמש למחקר נחשב.

הורד:

תצוגה מקדימה:

מבוא ………………………………………………………………………………………….2

החלק העיקרי………………………………………………………………………..4

מסקנות………….. …………………………………………………………………..12

הפניות………………………………………………………………………..13

מבוא

המרחב הארבע-ממדי משך זמן רב את תשומת הלב הן של מתמטיקאים מקצועיים והן של אנשים שרחוקים מלעסוק במדע זה. ההתעניינות בממד הרביעי עשויה לנבוע מההנחה שעולמנו התלת מימדי "שקוע" במרחב ארבע ממדי, כשם שמישור "שקוע" במרחב התלת מימדי, קו ישר "שקוע" במרחב התלת מימדי. מישור, ונקודה היא בקו ישר. בנוסף, למרחב הארבע מימדי תפקיד חשוב ב תיאוריה מודרניתתורת היחסות (מה שנקרא מרחב-זמן או מרחב מינקובסקי), ויכול להיחשב גם כמקרה מיוחדמרחב אוקלידי ממדי (עבור).

קובייה ארבע-ממדית (טסרקט) היא אובייקט של מרחב ארבע-ממדי בעל הממד המקסימלי האפשרי (בדיוק כמו שקוביה רגילה היא אובייקט של מרחב תלת-ממדי). שים לב שזה גם עניין ישיר, כלומר, זה יכול להופיע בבעיות אופטימיזציה תכנות לינארי(כאזור שבו נמצא המינימום או המקסימום של פונקציה לינארית של ארבעה משתנים), והוא משמש גם במיקרו-אלקטרוניקה דיגיטלית (בעת תכנות תצוגה של שעון אלקטרוני). בנוסף, עצם תהליך לימוד קובייה ארבע ממדית תורם לפיתוח החשיבה והדמיון המרחביים.

לכן, חקר המבנה והמאפיינים הספציפיים של קובייה ארבע-ממדית הוא די רלוונטי. יש לציין שמבחינת המבנה, הקובייה הארבע מימדית נחקרה די טוב. עניין רב בהרבה הוא אופי המקטעים שלו לפי מישורי היפר שונים. לפיכך, המטרה העיקרית של עבודה זו היא ללמוד את המבנה של טסרקט, כמו גם להבהיר את השאלה אילו אובייקטים תלת-ממדיים יתקבלו אם קובייה ארבע-ממדית נחתכת על ידי היפר-מטוסים מקבילים לאחד התלת-ממדיים שלה. פרצופים ממדיים, או על ידי היפר-מטוסים מאונכים לאלכסון הראשי שלו. מישור היפר במרחב ארבע ממדי הוא תת מרחב תלת מימדי. אנו יכולים לומר שקו ישר במישור הוא היפר-מישור חד-ממדי, מישור במרחב תלת-ממדי הוא מישור דו-ממדי.

היעד שנקבע קבע את מטרות המחקר:

1) למד את העובדות הבסיסיות של גיאומטריה אנליטית רב-ממדית;

2) ללמוד את התכונות של בניית קוביות במידות מ-0 עד 3;

3) למד את המבנה של קובייה ארבע ממדית;

4) תאר אנליטית וגיאומטרית קובייה ארבע ממדית;

5) הכינו מודלים של סוויפים והקרנות מרכזיות של קוביות תלת מימד וארבע מימדיות.

6) באמצעות המנגנון של גיאומטריה אנליטית רב-ממדית, תאר אובייקטים תלת-ממדיים המתקבלים על-ידי חציית קובייה ארבע-ממדית על-ידי היפר-מטוסים מקבילים לאחת מהפנים התלת-ממדיות שלה, או על-ידי היפר-מישורים מאונכים לאלכסון הראשי שלה.

המידע המתקבל בדרך זו יאפשר להבין טוב יותר את מבנה הטסרקט, וכן לחשוף אנלוגיה עמוקה במבנה ובתכונות של קוביות במידות שונות.

חלק ראשי

ראשית, אנו מתארים את המנגנון המתמטי בו נשתמש במהלך מחקר זה.

1) קואורדינטות וקטוריות: אם, לאחר מכן

2) משוואה של מישור היפר עם וקטור נורמלינראה כמו כאן

3) מטוסים ו מקבילים אם ורק אם

4) המרחק בין שתי נקודות נקבע באופן הבא: אם, לאחר מכן

5) מצב האורתוגונליות של וקטורים:

קודם כל, בואו נגלה כיצד ניתן לתאר קובייה ארבע ממדית. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים - גיאומטרית ואנליטית.

אם אנחנו מדברים על שיטת ההגדרה הגיאומטרית, אז רצוי לעקוב אחר תהליך בניית הקוביות, החל מממד אפס. קובייה אפס מימדית היא נקודה (שימו לב, אגב, שנקודה יכולה לשחק גם את התפקיד של כדור אפסי). לאחר מכן, נציג את הממד הראשון (ציר האבססיס) ועל הציר המתאים נסמן שתי נקודות (שתי קוביות אפסי מימד) הממוקמות במרחק של 1 זו מזו. התוצאה היא קטע - קובייה חד מימדית. מיד נציין תכונה בולטת: הגבול (קצוות) של קובייה חד-ממדית (קטע) הן שתי קוביות אפס-ממדיות (שתי נקודות). לאחר מכן, אנו מציגים את הממד השני (ציר y) ועל המישורבואו נבנה שתי קוביות חד-ממדיות (שני קטעים), שקצוותיהן נמצאים במרחק של 1 אחד מהשני (למעשה, אחד הקטעים הוא השלכה אורתוגונלית של השני). חיבור הקצוות המתאימים של הקטעים, נקבל ריבוע - קובייה דו-ממדית. שוב, נציין שהגבול של קובייה דו-ממדית (ריבוע) הוא ארבע קוביות חד-ממדיות (ארבעה מקטעים). לבסוף, אנו מציגים את הממד השלישי (ציר היישום) ובונים במרחבשני ריבועים בצורה כזו שאחד מהם הוא היטל אורתוגונלי של השני (במקרה זה, הקודקודים המתאימים של הריבועים נמצאים במרחק של 1 זה מזה). חבר את הקודקודים המתאימים עם קטעים - נקבל קובייה תלת מימדית. אנו רואים שהגבול של הקובייה התלת מימדית הוא שש קוביות דו מימדיות (שישה ריבועים). הקונסטרוקציות המתוארות מאפשרות לחשוף את הקביעות הבאה: בכל שלבהקובייה הממדית "זזה, משאירה שובל" פנימהזוהי מדידה במרחק של 1, בעוד שכיוון התנועה מאונך לקובייה. ההמשך הפורמלי של תהליך זה הוא שמאפשר לנו להגיע למושג של קובייה ארבע ממדית. כלומר, בואו נכריח את הקובייה התלת מימדית לנוע לכיוון הממד הרביעי (מאונך לקובייה) במרחק 1. פועלים בדומה לקודמתה, כלומר מחברים את הקודקודים המתאימים של הקוביות. קבל קובייה ארבע מימדית. יש לציין שמבחינה גיאומטרית בנייה כזו במרחב שלנו היא בלתי אפשרית (כי היא תלת מימדית), אבל כאן אנחנו לא נתקלים בסתירות מנקודת מבט לוגית. כעת נעבור לתיאור האנליטי של הקובייה הארבע-ממדית. הוא מתקבל גם באופן רשמי, בעזרת אנלוגיה. אז, למשימה האנליטית של קוביית יחידה אפס-ממדית יש את הצורה:

למשימה האנליטית של קוביית יחידה חד-ממדית יש את הצורה:

למשימה האנליטית של קוביית יחידה דו-ממדית יש את הצורה:

למשימה האנליטית של קוביית יחידה תלת מימדית יש את הצורה:

עכשיו קל מאוד לתת ייצוג אנליטי של קובייה ארבע ממדית, כלומר:

כפי שניתן לראות, הן השיטות הגיאומטריות והן השיטות האנליטיות של ציון קובייה ארבע ממדית השתמשו בשיטת האנלוגיה.

כעת, באמצעות המנגנון של גיאומטריה אנליטית, נגלה איזה מבנה יש לקובייה ארבע-ממדית. ראשית, בואו נגלה אילו אלמנטים היא כוללת. כאן שוב, אתה יכול להשתמש באנלוגיה (כדי להעלות השערה). הגבולות של קובייה חד מימדית הם נקודות (אפס קוביות), של קובייה דו מימדית - קטעים (קוביות חד מימדיות), של קובייה תלת מימדית - ריבועים (פנים דו מימדיות). ניתן לשער שגבולות הטסרקט הם קוביות תלת מימדיות. על מנת להוכיח זאת, הבה נבהיר מה הכוונה בקודקודים, קצוות ופנים. קודקודי הקוביה הם נקודות הפינה שלה. כלומר, הקואורדינטות של הקודקודים יכולות להיות אפסים או אחדים. לפיכך, נמצא קשר בין מימד הקוביה למספר הקודקודים שלה. אנו מיישמים את כלל המוצר הקומבינטורי - מאז הקודקודלקובייה יש בדיוקקואורדינטות, שכל אחת מהן שווה לאפס או לאחת (ללא קשר לכל השאר), אז ישפסגות. לפיכך, בכל קודקוד, כל הקואורדינטות קבועות ויכולות להיות שוות לאוֹ . אם נתקן את כל הקואורדינטות (נקבע שכל אחת מהן שווה לאוֹ , ללא תלות באחרים), למעט אחד, אז נקבל קווים ישרים המכילים את קצוות הקוביה. בדומה לקודם, אנו יכולים לספור שיש בדיוקדברים. ואם נתקן כעת את כל הקואורדינטות (הגדר כל אחת מהן שווה לאוֹ , ללא תלות באחרים), למעט כמה שניים, אנו מקבלים מישורים המכילים פרצופים דו מימדיים של הקובייה. באמצעות כלל הקומבינטוריקה, אנו מגלים שיש בדיוקדברים. בהמשך, באופן דומה - תיקון כל הקואורדינטות (הגדרת כל אחת מהן שווה לאוֹ , ללא קשר לאחרים), פרט לשלושה, אנו מקבלים היפר-מטוסים המכילים פנים תלת-ממדיות של הקובייה. באמצעות אותו כלל, אנו מחשבים את מספרם - בדיוקוכו ' זה יספיק למחקר שלנו. הבה נחיל את התוצאות שהתקבלו על המבנה של קובייה ארבע ממדית, כלומר, בכל הנוסחאות הנגזרות שקבענו. לכן, לקובייה ארבע ממדית יש: 16 קודקודים, 32 קצוות, 24 פנים דו מימדיים ו-8 פנים תלת מימדיות. למען הבהירות, אנו מגדירים בצורה אנליטית את כל המרכיבים שלו.

קודקודים של קובייה ארבע ממדית:

קצוות של קובייה ארבע מימדית ():

פנים דו מימדיים של קובייה ארבע מימדית (הגבלות דומות):

פנים תלת מימדיות של קובייה ארבע מימדית (הגבלות דומות):

כעת, לאחר שתוארו בשלמות מספקת מבנה קובייה ארבע-ממדית והשיטות להגדרתה, נמשיך להגשמת המטרה העיקרית – להבהיר את טיבם של חלקי הקוביה השונים. נתחיל במקרה האלמנטרי כאשר הקטעים של קובייה מקבילים לאחת מהפנים התלת מימדיות שלה. לדוגמה, שקול את החתכים שלו לפי מטוסים היפר-פלסים מקבילים לפניםידוע מהגיאומטריה האנליטית שכל קטע כזה יינתן על ידי המשוואההבה נגדיר את הסעיפים המתאימים בצורה אנליטית:

כפי שאתה יכול לראות, השגנו משימה אנליטית עבור קוביית יחידה תלת מימדית המונחת במישור היפר

כדי לבסס אנלוגיה, אנו כותבים קטע של קובייה תלת מימדית על ידי מישוראנחנו מקבלים:

זהו ריבוע ששוכב במטוס. האנלוגיה ברורה.

קטעים של קובייה ארבע-ממדית לפי היפר-מטוסיםלתת בדיוק את אותן תוצאות. אלו יהיו גם קוביות תלת מימדיות בודדות המונחות במטוסי היפרבהתאמה.

כעת הבה נבחן קטעים של קובייה ארבע-ממדית לפי מישורי היפר הניצבים לאלכסון הראשי שלה. תחילה נפתור את הבעיה הזו עבור קובייה תלת מימדית. באמצעות השיטה המתוארת לעיל של ציון קובייה תלת מימדית של יחידה, הוא מסיק כי, למשל, ניתן לקחת קטע עם קצוות כאלכסון הראשי.ו . זה אומר שלווקטור של האלכסון הראשי יהיו קואורדינטות. לכן, המשוואה של כל מישור המאונך לאלכסון הראשי תהיה:

בואו נגדיר את גבולות שינוי הפרמטרים. כי , אם כן, הוספת אי השוויון מונח אחר מונח, נקבל:

או .

אם, אז (בשל הגבלות). באופן דומה, אם, לאחר מכן . אז, ב ובשעה למישור החיתוך ולקוביה יש בדיוק נקודה משותפת אחת (ו בהתאמה). עכשיו בואו נשים לב לדברים הבאים. אם(שוב, בשל מגבלות המשתנים). המישורים המקבילים חותכים שלושה פנים בבת אחת, כי אחרת, מישור החיתוך יהיה מקביל לאחד מהם, מה שאין כן בתנאי. אם, ואז המטוס חוצה את כל פני הקובייה. אם, ואז המטוס חוצה את הפרצופים. הבה נציג את החישובים המתאימים.

תן ואז המטוסחוצה את הגבוליתר על כן, בקו ישר. גבול, יתר על כן. קָצֶה מישור מצטלב בקו ישר, יתר על כך

תן ואז המטוסחוצה את הקצה:

יתר על כן, קצה בקו ישר.

יתר על כן, קצה בקו ישר.

יתר על כן, קצה בקו ישר.

יתר על כן, קצה בקו ישר.

יתר על כן, קצה בקו ישר.

יתר על כן, קצה בקו ישר.

הפעם, מתקבלים שישה קטעים, בעלי קצוות משותפים ברציפות:

תן ואז המטוסחוצה את הגבוליתר על כן, בקו ישר. קָצֶה מישור מצטלב בקו ישר, ו . קָצֶה מישור מצטלב בקו ישר, יתר על כך . כלומר, מתקבלים שלושה מקטעים שיש להם קצוות משותפים בזוגות:לפיכך, עבור הערכים שצוינו של הפרמטרהמטוס יחצה את הקובייה במשולש רגיל עם קודקודים

אז הנה תיאור ממצה של דמויות המישור המתקבלות על ידי חציית הקובייה עם מישור מאונך לאלכסון הראשי שלה. הרעיון המרכזי היה הבא. יש להבין באילו פרצופים המטוס חוצה, באילו קבוצות הוא חוצה אותם, כיצד הקבוצות הללו קשורות זו בזו. לדוגמא, אם התברר שהמישור חוצה בדיוק שלוש פנים לאורך קטעים שיש להם קצוות משותפים בזוגות, אז החתך היה משולש שווה צלעות (דבר שמוכח בספירה ישירה של אורכי הקטעים), שקודקודיו הם קצוות אלו של הקטעים.

באמצעות אותו מנגנון ובאותו רעיון של לימוד חתכים, ניתן להסיק את העובדות הבאות בדיוק באותו אופן:

1) לווקטור של אחד האלכסונים הראשיים של קוביית היחידה הארבע-ממדית יש קואורדינטות

2) כל מישור מאונך לאלכסון הראשי של קובייה ארבע ממדית יכול להיכתב כ.

3) במשוואת ההיפר-מישור הסקנטי, הפרמטריכול להשתנות בין 0 ל-4;

4) בשעה ו למישור הססקנטי ולקובייה הארבע-ממדית יש נקודה משותפת אחת (ו בהתאמה);

5) מתי בקטע יתקבל טטרהדרון רגיל;

6) מתי בקטע יתקבל אוקטהדרון;

7) מתי יתקבל טטרהדרון רגיל במדור.

בהתאם לכך, כאן חוצה המישור את ה-tesseract לאורך המישור, שעליו, בשל מגבלות המשתנים, מוקצה אזור משולש (אנלוגיה - המישור חצה את הקובייה לאורך קו ישר, שעליו, בשל מגבלות של המשתנים, הוקצה פלח). במקרה 5), ההיפר-מישור חותך בדיוק ארבעה פרצופים תלת מימדיים, כלומר מתקבלים ארבעה משולשים בעלי צלעות משותפות בזוגיות, במילים אחרות, יוצרים טטרהדרון (כפי שניתן לחישוב - נכון). במקרה 6), המישור חותך בדיוק שמונה פרצופים תלת מימדיים, כלומר מתקבלים שמונה משולשים שיש להם צלעות משותפות ברציפות, במילים אחרות, יוצרים אוקטהדרון. מקרה 7) דומה לחלוטין למקרה 5).

בואו נמחיש את מה שנאמר דוגמה קונקרטית. כלומר, אנו לומדים את הקטע של הקובייה הארבע-ממדית לפי המישור ההיפרבשל אילוצי המשתנים, היפר-מישור זה חוצה את הפרצופים התלת-ממדיים הבאים:קָצֶה מצטלבת במטוסבשל מגבלות המשתנים, יש לנו:קבל שטח משולש עם קודקודיםנוסף,נקבל משולשבהצטלבות של מטוס היפר עם פניםנקבל משולשבהצטלבות של מטוס היפר עם פניםנקבל משולשלפיכך, לקודקודים של הטטרהדרון יש את הקואורדינטות הבאות. קל לחישוב, הטטרהדרון הזה אכן נכון.

מסקנות

אז במהלך מחקר זה, נחקרו העובדות העיקריות של גיאומטריה אנליטית רב-ממדית, נלמדו התכונות של בניית קוביות במידות מ-0 עד 3, נחקר המבנה של קובייה ארבע-ממדית, קובייה ארבע-ממדית. מתוארים בצורה אנליטית וגיאומטרית, נוצרו מודלים של פיתוחים והקרנות מרכזיות של קוביות תלת-ממדיות וארבע-ממדיות, קוביות תלת-ממדיות תוארו בצורה אנליטית אובייקטים הנובעים מהצטלבות של קובייה ארבע-ממדית על ידי היפר-מטוסים מקבילים לאחד התלת-ממדיים שלה. פרצופים ממדיים, או על ידי היפר-מטוסים מאונכים לאלכסון הראשי שלו.

המחקר איפשר לחשוף אנלוגיה עמוקה במבנה ובתכונות של קוביות במידות שונות. ניתן ליישם את טכניקת האנלוגיה בה נעשה שימוש במחקר, למשל,כדור ממדי אוסימפלקס ממדי. כלומר,ניתן להגדיר כדור ממדי כקבוצה של נקודותמרחב ממדי, במרחק שווה מנקודה נתונה, הנקראת מרכז הכדור. נוסף,ניתן להגדיר את הסימפלקס הממדיים כחלקמרחב ממדי, מוגבל במספר המינימליהיפר-מטוסים ממדיים. לדוגמה, סימפלקס חד מימדי הוא קטע (חלק ממרחב חד מימדי התחום בשתי נקודות), סימפלקס דו מימדי הוא משולש (חלק ממרחב דו מימדי התחום בשלושה קווים ישרים), תלת מימדי סימפלקס הוא טטרהדרון (חלק מהמרחב התלת מימדי התחום על ידי ארבעה מישורים). סוף כל סוף,הסימפלקס הממדיים מוגדר כחלקמרחב ממדי, מוגבלמישור היפר של מימד.

שים לב שלמרות היישומים הרבים של הטסרקט בחלק מתחומי המדע, מחקר זה הוא עדיין בעיקרו מחקר מתמטי.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1) בוגרוב יא.ש., ניקולסקי ש.מ.מתמטיקה גבוהה יותר, כרך א' - מ': דרופה, 2005 - 284 עמ'.

2) קוונטים. קובייה ארבע מימדית / דוז'ין ש', רובצוב ה', מס' 6, 1986.

3) קוונטים. איך לצייר קוביית ממדים / דמידוביץ' נ.ב., מס' 8, 1974.

Tesseract - היפרקוביה ארבע מימדית - קובייה במרחב ארבע ממדי.
לפי מילון אוקספורד, המילה tesseract נטבעה והשתמשה ב-1888 על ידי צ'ארלס הווארד הינטון (1853-1907) בספרו A New Age of Thought. מאוחר יותר, כמה אנשים קראו לאותה דמות טטרקובה (מיוונית τετρα - ארבע) - קובייה ארבע ממדית.
טסרקט רגיל במרחב ארבע-ממדי אוקלידי מוגדר כגוף הקמור של נקודות (±1, ±1, ±1, ±1). במילים אחרות, זה יכול להיות מיוצג כקבוצה הבאה:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = טסרקט תחום על ידי שמונה היפר-מטוסים x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , שההצטלבות שלהם עם tesseract עצמו מגדיר לו פרצופים תלת-ממדיים (שהן קוביות רגילות) כל זוג של פרצופים תלת-ממדיים שאינם מקבילים מצטלבים ויוצרים פרצופים דו-ממדיים (ריבועים), וכו'. לבסוף, ל-tesseract יש 8 פרצופים תלת-ממדיים, 24 דו-ממדיים, 32 קצוות ו-16 קודקודים.
תיאור פופולרי
בואו ננסה לדמיין איך תיראה ההיפרקוביה מבלי לצאת מהחלל התלת מימדי.
ב"מרחב" חד מימדי - על קו - נבחר קטע AB באורך L. במישור דו מימדי במרחק L מ-AB נצייר קטע DC במקביל אליו ונחבר את הקצוות שלהם. תקבל CDBA מרובע. כשחוזרים על הפעולה הזו עם מישור, נקבל קובייה תלת מימדית CDBAGHFE. ועל ידי הזזת הקובייה בממד הרביעי (מאונך לשלושה הראשונים) במרחק L, נקבל את ההיפרקוביה CDBAGHFEKLJIOPNM.
הקטע החד-ממדי AB משמש כצד של הריבוע הדו-ממדי CDBA, הריבוע הוא הצלע של הקובייה CDBAGHFE, אשר, בתורה, תהיה הצלע של ההיפרקוביה הארבע-ממדית. לקטע קו ישר יש שתי נקודות גבול, לריבוע יש ארבעה קודקודים ולקוביה יש שמונה. בהיפר-קוביה ארבע-ממדית, אפוא, יהיו 16 קודקודים: 8 קודקודים של הקובייה המקורית ו-8 קודקודים מוזזים בממד הרביעי. יש לו 32 קצוות - 12 כל אחד נותנים את המיקום הראשוני והסופי של הקובייה המקורית, ו-8 קצוות נוספים "מציירים" שמונה מהקודקודים שלה שעברו למימד הרביעי. אותו נימוק יכול להיעשות עבור הפנים של ההיפרקוב. במרחב הדו-ממדי, הוא אחד (הריבוע עצמו), לקובייה יש 6 מהם (שתי פנים מהריבוע שהועבר ועוד ארבעה יתארו את צלעותיו). להיפרקובייה ארבע-ממדית יש 24 פרצופים מרובעים - 12 ריבועים של הקובייה המקורית בשני מצבים ו-12 ריבועים משנים-עשר מהקצוות שלה.
כפי שצלעות הריבוע הן 4 קטעים חד-ממדיים, והצלעות (הפנים) של קובייה הן 6 ריבועים דו-ממדיים, כך של "קוביית ארבע-ממד" (טסרקט) הצלעות הן 8 קוביות תלת-ממדיות. המרחבים של זוגות מנוגדים של קוביות טסרקט (כלומר, החללים התלת מימדיים שאליהם משתייכות הקוביות הללו) מקבילים. באיור מדובר בקוביות: CDBAGHFE ו-KLJIOPNM, CDBAKLJI ו-GHEOPNM, EFBAMNJI ו-GHDCOPLK, CKIAGOME ו-DLJBHPNF.
באופן דומה, אנחנו יכולים להמשיך את ההיגיון להיפרקוביות של מספר גדול יותר של מימדים, אבל הרבה יותר מעניין לראות איך תיראה היפרקובית ארבע-ממדית עבורנו, תושבי המרחב התלת-ממדי. הבה נשתמש לשם כך בשיטת האנלוגיות המוכרת כבר.
ניקח את קוביית החוט ABCDHEFG ונסתכל עליה בעין אחת מהצד של הפנים. נראה ונוכל לצייר שני ריבועים במישור (פניו הקרובים והרחוקים), המחוברים בארבעה קווים - קצוות צדדיים. באופן דומה, היפרקוביה ארבע מימדית במרחב תלת מימדית תיראה כמו שתי "קופסאות" מעוקבות המוכנסות זו לזו ומחוברות בשמונה קצוות. במקרה זה, ה"קופסאות" עצמן - פרצופים תלת מימדיים - יוקרנו על המרחב "שלנו", והקווים המחברים ביניהן יימתחו לכיוון הציר הרביעי. אתה יכול גם לנסות לדמיין קובייה לא בהקרנה, אלא בתמונה מרחבית.
כשם שקוביה תלת מימדית נוצרת על ידי ריבוע המוזז באורך הפנים, קובייה המוזזת למימד הרביעי תיצור היפרקוביה. היא מוגבלת בשמונה קוביות, שבעתיד תיראה כמו איזו דמות מורכבת למדי. ההיפרקוביה ארבע-ממדית עצמה מורכבת ממספר אינסופי של קוביות, בדיוק כפי שניתן "לחתוך" קובייה תלת-ממדית למספר אינסופי של ריבועים שטוחים.
על ידי חיתוך שישה פרצופים של קובייה תלת מימדית, אפשר לפרק אותה לתוך דמות שטוחה- סוויפ. יהיה לו ריבוע בכל צד של הפנים המקוריות, ועוד אחד נוסף - הפנים שממול לו. פיתוח תלת מימדי של היפרקוביה ארבע מימדית יורכב מהקובייה המקורית, שש קוביות ש"צומחות" ממנה ועוד אחת - ה"היפרפייס" הסופי.
המאפיינים של הטסרקט הם הרחבה של המאפיינים צורות גיאומטריותמימד נמוך יותר לחלל ארבע ממדי.