Omogućuje određivanje optimalnog redoslijeda proučavanja predmeta uključenih u nastavni plan i program. Svaki predmet u nastavnom planu i programu ima svoj broj.

Neka plan i program uključuje 19 predmeta. Gradimo kvadratnu matricu s bazom koja je jednaka broju predmeta u kurikulumu (19).

Metodom stručnog ocjenjivanja iskusnih nastavnika utvrđuju se najznačajniji odnosi između nastavnih predmeta. Stupci matrice smatraju se potrošačima, a redovi nositeljima informacija. Na primjer, za stupac 10, redovi 7, 9, 11 važni su nositelji informacija, odnosno znanja o predmetima s ovim brojevima. Ovi redovi u stupcu odražavaju se jedinicama (1), nepostojanje gotovinske veze - nulama (0). Kao rezultat analize formirana je matrica devetnaestog reda.Analiza matrice sastoji se u sekvencijalnom uklanjanju stupaca i redaka. Stupci ispunjeni nulama ne primaju informacije od drugih predmeta, odnosno njihovo proučavanje nije utemeljeno na logičnom odnosu s drugim predmetima, iako oni, pak, mogu biti nositelji primarnih informacija. To znači da se prvo mogu proučavati predmeti koji imaju brojeve u tim stupcima. Crte ispunjene nulama ne smatraju se nositeljima informacija i neće biti osnova za učenje drugih predmeta, što znači da se mogu proučavati na kraju.

Prvo se prekrižu stupci 7,8, 9,18 i njihovi odgovarajući reci. Dobivamo prvu reduciranu matricu petnaestog reda, koja pak ima nulte stupce 4, 16, 17. Rješavajući ih se, dobivamo drugu reduciranu matricu. Nakon što smo izvršili sve sljedeće redukcije, dobivamo matricu u kojoj nema stupaca bez jedinica, ali ima nula redaka, koji su također prekriženi zajedno sa svojim odgovarajućim stupcima. Uzastopnim izvođenjem sličnih radnji, dolazimo do matrice ovog oblika, kao što je prikazano na dijagramu.

Formirana matrica odgovara grafu prikazanom na slici 3.2. Ovaj graf sadrži tri zatvorene dvostruke konture (13-15), (5-6), (11-10). S određenom aproksimacijom možemo pretpostaviti da se predmeti koji su ušli u te krugove trebaju učiti paralelno, te da se prvo uče predmeti pod brojevima 13 i 15, a tek onda predmeti 5, 6, 10, 11.

Kao rezultat provedene matrične analize, moguće je izraditi shematski (blok) model učenja predmeta u kurikulumu:

Na dijagramu je prikazan kombinirani sustav povezivanja nastavnih predmeta. Ćelije sadrže brojeve ispitanika koji paralelno studiraju. Obrazovani sustav povezivanja treba shvatiti ne kao obavezan slijed povezivanja jedne grupe predmeta tek nakon završetka prethodne, već samo kao potrebu za napredovanjem u njihovom učenju. Ona samo ukazuje na opći trend u povezivanju predmeta.

Program za matričnu analizu

Omogućuje procjenu logičkog slijeda lokacije obrazovni materijal unutar predmeta i u skladu s tim ga poboljšati.

Neka predmet uključuje 6 tema. Matrica A! sastavljena prema tematskom planu ovog nastavnog predmeta. Brojevi tema koje se pri sastavljanju matrice razmatraju u smislu njihove upotrebe u proučavanju drugih tema raspoređeni su okomito, vodoravni brojevi odgovaraju temama koje se razmatraju u smislu njihove upotrebe informacija iz drugih tema.

Da bismo identificirali zatvorene petlje, čija prisutnost ukazuje na nemogućnost utvrđivanja prolaza slijeda prolaza pojedinih tema, provodimo transformacije (skraćivanje) matrice Au. Brišemo redak 5 koji se sastoji od nula i stupac koji mu odgovara, kao i stupac nule 3 s odgovarajućim retkom. Formirana je matrica A2.

Matrica A2 ima nedostajuće retke i stupce koji se sastoje samo od nula. Da bismo uspostavili zatvorene konture, prikazujemo graf koji odgovara matrici A2 (vidi sl. 3.3, a).

Iz proučavanja grafikona proizlazi da je prisutnost zatvorenih kontura uzrokovana odnosom sadržaja nastavnog materijala tema 1 i 6, kao i tema 4 i 6. Razlog navedenog odnosa je neuspješan preraspodjela sadržaja obrazovnog materijala između ovih tema. Nakon pregleda sadržaja ovih tema, postaje moguće eliminirati postojeće zatvorene konture grafa. Tako se formira novi graf (slika 3.3, b) i odgovarajuća matrica A3.

Redukcija ove matrice daje novu matricu A4.

Nakon uklanjanja lukova (6, 4), (6, 1) i (1, 6) dobivamo novu početnu matricu B1, čiji graf nema zatvorenih kontura.

Sada kada su petlje prekinute, počnimo prilagođavati redoslijed tema. Da bismo to učinili, uzastopno ćemo izbrisati stupce koji se sastoje od nula i redaka istog imena s njima. Teme u ovim stupcima ne koriste informacije iz drugih tema i stoga se mogu prve istražiti.

U matricu! stupci 1 i 3 su nulti, tako da tema 1 može zauzeti svoje mjesto u tematskom planu. Kada se ispitaju razlozi za stavljanje Teme 3 ispred Teme 2, ispada da se neke informacije o Temi 2 nalaze u Temi 3. Međutim, logičnije je i korisnije ostaviti ih u Temi 3.

Nakon preuređivanja obrazovnog materijala, umjesto luka (3, 2) dobivamo luk (2, 3); brisati stupac 1 - dobivamo matricu B2.

Prethodni broj 2 dodijelimo temi 2. Izbrišemo stupac 2, red 2. Dobivamo matricu B3.

Teme 3 i 4 ostaju pod istim brojevima. Izbrisati stupce 3, 4 s odgovarajućim redcima; dobivamo matricu B4

Temi 6 dodijeljen je broj 5, a temi 5 je broj 6.

Sastavljamo matricu C1 prema novoj distribuciji tema.

Izvršimo transformacije matrice, uzastopno brišući nula redaka i stupaca s istim imenom. Teme koje im odgovaraju premještamo na kraj retka, jer se informacije tih tema ne koriste u proučavanju drugih tema. Temi 5 dodijeljen je broj 6.

Izbrišite redak i stupac 6. Dodijelite temi 6 broj 5.

Brišemo retke 4 i 3 i temama koje na njih odgovaraju, dodijelimo dosadašnje brojeve 4 i 3.

Za teme 1 i 2 ostaju isti brojevi u tematskom planu. Kao rezultat obrade matrica dobiva se sljedeći konačni raspored tema u strukturi predmeta:

Iz gornjeg slijeda vidljivo je da su nakon matrične obrade struktura tematskog plana zamijenjene teme 5 i 6. Osim toga, postalo je potrebno premjestiti nastavno gradivo iz teme 5 u temu 1, kao i iz teme 2 na temu 3.

Kao što je vidljivo iz gornjeg primjera, matrična analiza strukture nastavnog materijala omogućuje u određenoj mjeri njegovu racionalizaciju i poboljšanje međusobnog rasporeda tema nastavnog plana i programa.

Treba uzeti u obzir da matrična analiza nastavnih planova i programa zahtijeva od izvođača veliko praktično iskustvo i duboko poznavanje sadržaja izobrazbe. Prije svega, to se odnosi na sastavljanje polazne matrice, točnije na definiranje poveznica između nastavnih predmeta odn. teme učenja unutar subjekta. Postoji mnogo poveznica između tako velikih elemenata kao što su programske teme, ali izvođači matrične analize moraju znati „čitati između redaka“ (pronaći skrivene, ali stvarne veze), utvrditi značaj različitih veza u odnosu na ciljeve matrične analize i ponekad biti kritičan prema sadržaju tema obrazovnih predmeta.

Tijek predavanja o disciplini

"Matrična analiza"

za studente 2. godine

Specijalnost Matematičkog fakulteta

"Ekonomska kibernetika"

(predavač Dmitruk Marija Aleksandrovna)

1. Definicija funkcije.

Df. Neka

je funkcija skalarnog argumenta. Potrebno je definirati što se podrazumijeva pod f(A), tj. trebamo proširiti funkciju f(x) na vrijednost matrice argumenta.

Rješenje ovog problema je poznato kada je f(x) polinom:

, zatim .

Definicija f(A) u općem slučaju.

Neka je m(x) minimalni polinom A i neka ima kanonsku dekompoziciju

, , su svojstvene vrijednosti A. Neka polinomi g(x) i h(x) imaju iste vrijednosti.

Neka je g(A)=h(A) (1), tada je polinom d(x)=g(x)-h(x) poništavajući polinom za A, budući da je d(A)=0, dakle d(x ) djeljiv je linearnim polinomom, tj. d(x)=m(x)*q(x) (2).

, tj. (3), , , .

Dogovorimo se o m brojeva za f(x) takav

nazovimo vrijednosti funkcije f(x) na spektru matrice A, a skup tih vrijednosti označit ćemo s .

Ako je skup f(Sp A) definiran za f(x), tada je funkcija definirana na spektru matrice A.

Iz (3) slijedi da polinomi h(x) i g(x) imaju iste vrijednosti na spektru matrice A.

Naše razmišljanje je reverzibilno, tj. od (3) Þ (3) Þ (1). Dakle, ako je dana matrica A, tada je vrijednost polinoma f(x) u potpunosti određena vrijednostima tog polinoma na spektru matrice A, tj. svi polinomi g i (x) koji poprimaju iste vrijednosti na spektru matrice imaju iste vrijednosti matrice g i (A). Zahtijevamo da definicija vrijednosti f(A) u općem slučaju slijedi isti princip.

Vrijednosti funkcije f(x) na spektru matrice A moraju u potpunosti odrediti f(A), tj. funkcije koje imaju iste vrijednosti na spektru moraju imati istu vrijednost matrice f(A). Očito, za određivanje f(A) u općem slučaju, dovoljno je pronaći polinom g(x) koji bi imao iste vrijednosti na spektru A kao funkcija f(A)=g(A).

Df. Ako je f(x) definiran na spektru matrice A, tada je f(A)=g(A), gdje je g(A) polinom koji poprima iste vrijednosti na spektru kao f(A),

Df.Vrijednost funkcije iz matrice A zovemo vrijednost polinoma u ovoj matrici za

.

Među polinomima iz S[x], koji poprimaju iste vrijednosti na spektru matrice A, kao f(x), stupnja ne višeg od (m-1), koji poprima iste vrijednosti na spektar A, jer je f(x) ostatak dijeljenja bilo kojeg polinoma g(x) koji ima iste vrijednosti na spektru matrice A kao f(x) na minimalni polinom m(x)=g(x )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Ovaj polinom r(x) naziva se Lagrange-Sylvesterov interpolacijski polinom za funkciju f(x) na spektru matrice A.

Komentar. Ako minimalni polinom m(x) matrice A nema višestruke korijene, tj.

, zatim vrijednost funkcije na spektru .

Primjer:

Nađite r(x) za proizvoljni f(x) ako je matrica

. Konstruirajmo f(H 1). Nađi minimalni polinom H 1 - posljednji invarijantni faktor :

, d n-1 = x 2 ; d n-1 =1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – n-struki korijen od m(x), tj. n-struke svojstvene vrijednosti H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .

2. Svojstva funkcija iz matrica.

Svojstvo #1. Ako matrica

ima svojstvene vrijednosti (među njima mogu biti višekratnici), a , tada su svojstvene vrijednosti matrice f(A) svojstvene vrijednosti polinoma f(x): .

Dokaz:

Neka karakteristični polinom matrice A ima oblik:

, , . Ajmo računati. Prijeđimo s jednakosti na determinante:

Napravimo promjenu u jednakosti:

(*)

Jednakost (*) vrijedi za svaki skup f(x), pa polinom f(x) zamijenimo s

, dobivamo: .

S lijeve strane dobili smo karakteristični polinom za matricu f(A), rastavljen s desne strane na linearne faktore, što implicira da

su svojstvene vrijednosti matrice f(A).

CHTD.

Svojstvo #2. Neka matrica

i su svojstvene vrijednosti matrice A, f(x) je proizvoljna funkcija definirana na spektru matrice A, tada su svojstvene vrijednosti matrice f(A) .

Dokaz:

Jer funkcija f(x) definirana na spektru matrice A, tada postoji interpolacijski polinom matrice r(x) takve da

, i tada je f(A)=r(A), a matrica r(A) će imati svojstvene vrijednosti prema svojstvu br. 1 koje će biti redom jednake .

UDK 681.51.011

MATRIČNA ANALIZA U SUSTAVU UPRAVLJANJA PODUZEĆEM

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belashevsky2

LLC "Samara - AviaGaz"

Samara State Aerospace University

Rad analizira razne načine primjena matrica u upravljanju poduzećem. Odnos (veza) između elemenata dva ili više skupova može se prikazati u matričnom obliku. Kompozicija odnosa omogućuje vam pojednostavljenje analize odnosa između elemenata skupova. Dan je primjer korištenja matrica prioriteta u sustavu upravljanja poduzećem.

Matrice, kao alat za analizu, već se dugo koriste u sustavu upravljanja poduzećem. Dovoljno je navesti takve alate za kvalitetu kao što su matrični grafikoni, matrice prioriteta, matrična analiza u implementaciji funkcije kvalitete.

1. Korištenje matrica u upravljanju je zbog činjenice da gotovo svako poduzeće karakterizira veliki skup objekata (razna oprema, odjeljenja, dobavljači, potrošači) i teško je opisati odnose između njih ovisnostima poput y \u003d f (x) . Stvarne veze su višedimenzionalne i implicitne. Matrice, s druge strane, omogućuju identificiranje takvih odnosa u prilično vizualnom obliku i njihovu analizu. U zadatku formiranja proizvodne strukture poduzeća može se koristiti matrica odnosa između grupa dijelova B = ], gdje je ^ broj jedinica.

glavna oprema koja se koristi u obradi 1. i] -tog dijela, matrica tehničke razine u = \u^] koristi se u marketinškom istraživanju, gdje

i y - tehnička razina 1. poduzeća na ] -tom tržištu i matrica cijena.

Sa stajališta matematike, dodjeljivanje matrice može se tumačiti kao specifikacija odnosa (veze) između objekata dvaju skupova. Element matrice u ovom slučaju može značiti i povezanost objekata (kao što su "da" ili "ne") i snagu veze, izraženu brojem. U slučaju tri ili više skupova mogu se graditi višedimenzionalne relacije, a time i višedimenzionalne matrice. Međutim, ovaj pristup gubi jasnoću i lakoću tumačenja. Složenost analize višedimenzionalnih odnosa

ioni se mogu prevladati uz pomoć kompozicije odnosa.

2. Pretpostavimo da tvrtka ima dobavljače P1 P2, ... P5, koji isporučuju materijale (dijelove, sklopove, komponente) Mí, M2, M3. Od ovih materijala poduzeće proizvodi proizvode Ib I2, ... I, za kupce (potrošače) Zi, Z2, ... Z5. Za te skupove možete sastaviti matrice veza. Neka se, na primjer, uspostave odnosi između dobavljača i materijala koje isporučuju (Tablica 1), proizvoda i potrebne materijale(tablica 2), kupaca i proizvoda (tablica 3). Znak "x" označava povezanost objekata dvaju skupova.

Tablica 1. Matrica odnosa s dobavljačima

i isporučeni materijal (PM)

PM Pí P2 Pz P4 P5

Tablica 2. Matrica odnosa proizvoda i materijala (IM)

IM Mí M2 Mz

Tablica 3. Matrica odnosa između kupaca i proizvoda (PI)

ZI II I2 Od Od

Koristeći sastav omjera danih matricama PM, MI i ZI, nije teško sastaviti matricu omjera PP. PZ matrica (tablica 4) prikazuje veze koje je poduzeće uspostavilo između dobavljača P i kupaca Z^ Tako se, na primjer, interakcija kupca Z3 s poduzećem odvija na proizvodu I3, za koji su potrebni materijali M! i M3 napajan od Pn P3 i P5.

Tablica 4. Matrica odnosa između dobavljača-

Detaljno planiranje tehnoloških procesa (proizvodnih linija) uz pomoć matrica odnosa pojednostavljuje određivanje dodane vrijednosti za kupca, dobiti poduzeća i njegovih gubitaka.

3. Izgradnja sustava upravljanja kvalitetom poduzeća povezana je s raspodjelom mreže procesa. Distribucija procesa po poslovnim jedinicama, implementacija zahtjeva norme, npr. ISO 9001-2000, može se provesti pomoću matrica. Istaknuti su recimo procesi: ugovaranje, upravljanje dokumentacijom QMS-a, interna revizija, nabava, proizvodnja, praćenje zadovoljstva kupaca, a tvrtka ima odjele: odjel marketinga, odjel nabave, odjel glavnog projektanta, odjel glavnog tehnologa, proizvodnja, odjel jamstvene podrške. Na temelju rezultata razgovora s predstavnicima odjela može se sastaviti PP matrica (tablica 5). S druge strane, namjenski procesi trebaju pokrivati ​​zahtjeve standarda, kao što je ISO 9001-2000. Povezivanje procesa s ISO 9001-2000 rezultira TP matricom (Tablica 6).

Korištenjem kompozicije relacija dobivamo ISO matricu (tablica 7).

mi i kupci (PP)

PZ Zí 32 Zz 34 35

Tablica 5. Matrica veza između procesa i odjela (SP)

PP matrica Odjel marketinga Odjel nabave Odjel glavnog projektanta Odjel glavnog tehnologa Odjel proizvodnje Odjel jamstvene podrške

Ugovaranje X X

Interna revizija X

Nabava X

Proizvodnja X

Tablica 6. Odnos procesa prema ISO 9001-2000

TP matrica Sustavi upravljanja kvalitetom Odgovornost menadžmenta Procesi upravljanja resursima životni ciklus proizvodi Mjerite, analizirajte i poboljšavajte

Ugovaranje X

Upravljanje dokumentacijom QMS X X

Interna revizija X X

Nabava X

Proizvodnja X X X

Praćenje zadovoljstva kupaca X

ISO Matrix Odjel marketinga Odjel nabave Chap. dizajnerski odjel kap. tehnolog Odjel jamstvene podrške proizvodnje

Sustavi upravljanja kvalitetom X X

Odgovornost uprave X X X

Upravljanje resursima X

Procesi životnog ciklusa proizvoda X X X

Mjerenje, analiza i poboljšanje X X

Očito se kod ovakve raspodjele ISO zahtjeva mogu očekivati ​​nedosljednosti u odjeljku 5 „Odgovornost menadžmenta“, budući da je politika kvalitete odgovornost najvišeg menadžmenta.

4. Proširenje svakog elementa matrice odnosa, na primjer, "Odgovornost uprave - Odjel marketinga" može se koristiti matricom prioriteta koja je temelj metode analize hijerarhije. Zahtjevi serije ISO 9000-2000 utvrđuju opseg i dubinu regulatorne i tehničke dokumentacije potrebne za funkcioniranje QMS-a poduzeća. Jedan od obveznih dokumenata SUK-a poduzeća je politika i ciljevi u području kvalitete. Ciljevi poduzeća formulirani su u različitim područjima: financije, tržište, konkurencija

(benchmarking), zadovoljstvo korisnika, poboljšanje performansi proizvoda i procesa. Ciljeve cijele organizacije treba projicirati (razmjestiti, raščlaniti) na njezine dijelove, kako bi osoblje bilo svjesno svoje uključenosti i odgovornosti za postizanje pojedinog cilja cijele organizacije.

Planiranje, odabir ciljeva, optimizacija ponašanja u konkurentskom okruženju uvijek zahtijevaju odluku u određenoj fazi. Postalo je praktički očito da su društveni procesi, posebice procesi upravljanja, slabo formalizirani unutar klasičnog okvira.

temama. U ovom slučaju, metoda analize hijerarhija može biti vrlo učinkovita.

Metoda analize hijerarhija temelji se na tzv. matrici prioriteta. Pretpostavimo da je zadatak usporediti čimbenike koji utječu na odabrani objekt. U pravilu je broj utjecajnih faktora prilično velik, točne ovisnosti su nepoznate, te je praktički nemoguće izvršiti matematičku formalizaciju problema. Stručnjak također ima poteškoća u procjeni utjecaja čimbenika na objekt. Začudo, problem se lakše rješava ako se provede parna usporedba utjecaja čimbenika na objekt. (Suština je da je teško odgovoriti na pitanje koliko A teži, puno je lakše odlučiti što je teže: A ili B)

Za analitičko planiranje razvoja poduzeća potrebno je opisati početno stanje (položaj "kakav jest"), ciljno stanje (ciljeve) i načine povezivanja tih stanja. U nastavku je prikazan primjer primjene metode hijerarhijske analize, kao objekt odabran je cilj iz politike kvalitete „Održivi rast dobiti poduzeća“ te su istaknuti neki čimbenici koji utječu na cilj (Tablica 8).

Stručnjaci - stručnjaci poduzeća sastavili su matrice prioriteta prema odabranim kriterijima (primjer je dan u tablici 9).

Upravljačka logistika

Planiranje, nabava,

Ulaganja, odnosi s dobavljačima,

Oglašavanje, kontrola ulaza,

Prodajne cijene, kontrola resursa.

Marketinška strategija. Osoblje i razvoj

proizvodna kvalifikacija,

Poštivanje rokova, obuka osoblja,

Tehnologija, motivacija osoblja,

Kvaliteta, kreativnost,

Organizacija proizvodnje, kontrola troškova. planiranje novih razvoja

Tablica 9. Primjer matrice "Proizvodnja"

Proizvodnja Poštivanje uvjeta isporuke proizvoda Tehnologija Kvaliteta Organizacija proizvodnje Kontrola troškova

Usklađenost s rokovima isporuke proizvoda 1 5 1 3 3

Tehnologija 1/5 1 3 1 3

Kvaliteta 1 1/3 1 3 1

Organizacija proizvodnje 1/3 1 1/3 1 1

Kontrola troškova 1/3 1/3 1 1 1

Ljestvica odnosa i popunjavanje tablica 1 - ekvivalentnost faktora, 3 - dominacija jednog faktora nad drugim faktorom,

5 - snažna dominacija jednog faktora nad drugim faktorom, 2,4 - moguće srednje vrijednosti.

Matematička obrada matrica sastojala se u pronalaženju vektora prioriteta kao svojstvenog vektora koji odgovara maksimalnoj svojstvenoj vrijednosti. Kao primjer, u nastavku su rezultati obrade procjena stručnjaka N (tablica 10). Stupci označavaju komponente vektora prioriteta prema različitim čimbenicima, na primjer, prema kriteriju "Upravljanje"

Prioritet se daje investicijama.

Na sl. 1. Prikazani su rezultati izračuna prioriteta stručnjaka prema gore navedenim kriterijima. Postizanje cilja povezano je s ulaganjem, kvalitetom,

planiranje novih razvoja i kontrola resursa.

Tablica 10. Rezultati obrade procjena vještaka N

Cilj - Održivi rast dobiti poduzeća

Upravljanje Proizvodnja Mat - tehnička opskrba Osoblje i razvoj

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Upravljanje

Proizvodnja

S&I^TO o i_CO

Osoblje i razvoj

Riža. 1. Rezultati izračuna prioriteta stručnjaka

Poznavanje raspodjele prioriteta prema odabranim kriterijima omogućuje najvišem menadžmentu poduzeća da provodi razumnu politiku za postizanje cilja.

Bibliografija

1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Totalno upravljanje kvalitetom. - M.: Radio i komunikacije, 1999.

2. Kuzin B., Yuriev V., Shakhdinarov G. Metode i modeli upravljanja poduzećem. - St. Petersburg: Peter, 2001.

3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Moderna matematika. - M.: Mir, 1966.

4. Saati T. Odlučivanje. Metoda analize hijerarhije. / per. s engleskog. - M.: Radio i komunikacije, 1993.

MATRIČNA ANALIZA U IZVRŠNOM SUSTAVU PODUZEĆA

© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2

\cSamara - Aviagas»

Samara State Aerospace University

U radu se analiziraju različiti načini primjene matrica u poslovanju. Relacije (veze) između elemenata dvaju i više skupova mogu se predati u matričnom obliku. Kompozicija relacija omogućuje pojednostavljenje analize veza između elemenata skupova. Rezultat je primjer korištenja matrica prioriteta u sustavu upravljanja poduzećem.

Vježba 1

Izračunajte zbroj matrica kA+mB ako

Elementi matrice zbroja određeni su formulom:

cij=kaij+mbij.

Izračunajte elemente prvog retka matrice zbroja:

C11=-4*2+5*3=7

C12=-4 * (-1)+5 * 7=39

C13=-4*4+5*(-2)=-26

C21=-4*6+5*9=21

C22=-4*3+5*1=-7

C23=-4*0+5*6=30

S31=-4 * (-7)+5 * (-4)=8

C32=-4*5+5*8=20

C33=-4*9+5*5=-11

Dakle, matrica sume će imati oblik:

Zadatak 2

Izračunajte inverznu matricu i provjerite.

Koristimo algoritam za pronalaženje inverzne matrice:

• 1. Matrica je kvadratna (broj redaka je jednak broju stupaca), dakle, matrica inverzna njoj postoji.
• 2. Odredite determinantu izvorne matrice:

• ?A=-3 * 3 * 3+1 * (-5) * 1+0 * (-4) * 3-1 * 3 * 3-(-4) * 1 * 3-0 * (-5) * (-3)=-29 ? 0
• 3. Nađite matricu koja se sastoji od algebarskih komplemenata elemenata izvorne matrice:

A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9

A12=(-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5)=7

A13=(-1) 4 * -4 * 0-1 * 3=-3

A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3

A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12

A23=(-1) 5 * -3 * 0-1 * 1=1

A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14

A32=(-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3=-27

A33=(-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1=-5

Dakle, dobivamo matricu:

4. Transponirajte dobivenu matricu:

5. Posljednju matricu podijelimo s determinantom izvorne matrice i dobijemo inverznu matricu:

6. Provjeravamo rezultat. Da bismo to učinili, pronalazimo proizvod dobivene matrice prema izvornoj:

A -1 .* A=A * A -1 =*= ==

Tako smo kao rezultat dobili matricu identiteta. Posljedično, inverzna matrica pronađeno, točno.

Zadatak 3

Riješite sustav linearnih jednadžbi Cramer-Gaussovom metodom.

Riješenje:

1) Riješite sustav Cramerovom metodom.

Sastavljamo matricu sustava:

Izračunavamo determinantu ove matrice:

0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0

Pronalaženje odrednica? 1 , ?2, ?3, dobivene iz izvorne determinante zamjenom prvog, drugog i trećeg stupca, redom, sa stupcem slobodnih članova:

1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276

2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40

3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64

Sada koristeći Cramerove formule

x1=, x2=, x3= ,

pronaći rješenje sustava:

X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18

2) Sustav rješavamo Gaussovom metodom.

Sastavljamo proširenu matricu sustava koja uključuje koeficijente za varijable i slobodne članove:

Pomnožite 2. red s (5). Pomnožite 3. red sa (7). Dodajmo 3. redak 2.:

Pomnožite 1. red s (26). Drugi red pomnožite s (3). Dodajmo 2. redak 1.:

Iz 1. retka izražavamo x 3

Iz 2. retka izražavamo x 2

26x 2 \u003d - + 4 \u003d 0,11

Iz 3. retka izražavamo x 1

5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 \u003d 0,79

Zadatak 4

matrična determinanta linearna Cramer Gauss

Izračunajte determinantu 4. reda

Proširenje determinante pišemo u četvrtom redu:

A \u003d\u003d 0 * A 41 +3 * A 42 +0 * A 43 +1 * A 44

gdje je Aij algebarski komplement elementa ij a .

Pronađimo algebarske dodatke prema formuli A ij =(-1) i+j , gdje je m ij minor elementa ij a, koji se dobiva iz izvorne determinante brisanjem retka i stupca u čijem je sjecištu ovaj element postolja.

A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217

A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3 ) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9

Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u proširenje determinante:

3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660

Zadatak 5

inverzna determinantna matrica linear Cramer Gauss

Samostalno, analogno primjeru, izraditi problem ekonomskog sadržaja, izgraditi matematički model ekonomskog procesa i riješiti problem.

Zadatak.

Troškovi tri vrste sirovina A, B, C za proizvodnju jedinice svake od tri vrste proizvoda I, II, III i zalihe svake vrste sirovina dani su u tablici (tablica 1). :

stol 1

Proizvodi Vrsta sirovine				Zalihe sirovina

Potrebno je utvrditi plan proizvodnje koji osigurava korištenje svih sirovina.

Napišimo sustav linearnih jednadžbi koristeći podatke dane u tablici:

gdje je - obujam proizvodnje svake vrste.

Za rješavanje koristimo Gaussovu metodu. Napišimo proširenu matricu sustava:

Sustav pišemo u obliku proširene matrice:

Pomnožite 2. red s (-2). Dodajmo 2. redak 1.:

Drugi red pomnožite s (3). Pomnožite 3. red s (-1). Dodajmo 3. redak 2.:

Pomnožite 1. red s (2). Dodajmo 2. redak 1.:

Sada se izvorni sustav može napisati kao:

x2 = /2

x 1 = /3

Iz 1. retka izražavamo x 3

Iz 2. retka izražavamo x 2

Iz 3. retka izražavamo x 1

metoda znanstveno istraživanje svojstva objekata temeljena na korištenju pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata. Koristi se u slučajevima kada je glavni predmet proučavanja ravnotežni omjer troškova i rezultata proizvodnih i gospodarskih aktivnosti te standarda troškova i rezultata.

• - pseudomost, matrični most

  Molekularna biologija i genetike. Rječnik

• - Engleski. matrična analiza; njemački Matrična analiza. U sociologiji – metoda proučavanja svojstava društvenog. objekti temeljeni na korištenju pravila teorije matrice...

  Enciklopedija sociologije

• - u grafičkoj industriji - preša za utiskivanje stereotipnih matrica ili nemetala. stereotipi su obično hidraulički...

  Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

• - Uređaj za prešanje kartonskih ili vinil plastičnih matrica, kao i plastičnih stereotipa ...

  Kratki objašnjavajući rječnik poligrafije

• - Vidi: matrični pisač...

  Rječnik poslovnih pojmova

• - metoda znanstvenog proučavanja svojstava objekata koja se temelji na korištenju pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata ...

  Veliki ekonomski rječnik

• - u ekonomiji, metoda znanstvenog proučavanja svojstava objekata koja se temelji na korištenju pravila teorije matrica, koja određuju vrijednost elemenata modela, odražavajući odnos ekonomskih objekata ...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - metoda za proučavanje odnosa između ekonomskih objekata korištenjem njihovog matričnog modeliranja ...

  Velik enciklopedijski rječnik

• - ...

  Pravopisni rječnik ruskog jezika

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Objašnjavajući rječnik Ozhegova

• - MATRICA, matrica, matrica. pril. matrica. Matrix karton...

  Objašnjavajući rječnik Ušakova

• - matrica I prid. rel. s imenicom. matrica I povezan s njom II prid. 1. omjer s imenicom. matrica II, povezana s njim 2. Omogućuje ispis pomoću matrice. III prid. omjer...

  Objašnjavajući rječnik Efremove

• - m "...

  Ruski pravopisni rječnik

• - ...

  Oblici riječi

• - prid., broj sinonima: 1 matrica-vektor ...

  Rječnik sinonima

• - prid., broj sinonima: 1 četiri ...

  Rječnik sinonima

"MATRICA ANALIZE" u knjigama

T. N. Panchenko. Strawson i Wittgenstein. Analiza kao otkrivanje formalne strukture neformalnog jezika i analiza kao terapija

Iz knjige Filozofske ideje Ludwig Wittgenstein Autor Gryaznov Alexander Feodosievich

T. N. Panchenko. Strawson i Wittgenstein. Analiza kao otkrivanje formalne strukture neformalnog jezika i analiza kao terapija *** Ludwig Wittgenstein i Peter Strawson na neki način definiraju granice filozofije analize, njezin početak i kraj. Jedan od njih pripada

§ 34. Temeljni razvoj fenomenološke metode. Transcendentalna analiza kao ejdetska analiza

Iz knjige Kartezijanska razmišljanja Autor Husserl Edmund

§ 34. Temeljni razvoj fenomenološke metode. Transcendentalna analiza kao ejdetska analiza

2.6. Biosinteza proteina i nukleinskih kiselina. Matrična priroda biosintetskih reakcija. Genetske informacije u stanici. Geni, genetski kod i njegova svojstva

Iz knjige Biologija [ Kompletna referenca pripremiti se za ispit] Autor Lerner Georgij Isaakovič

2.6. Biosinteza proteina i nukleinskih kiselina. Matrična priroda biosintetskih reakcija. Genetske informacije u stanici. Geni, genetski kod i njegova svojstva Pojmovi koji se ispituju u ispitnom radu: antikodon, biosinteza, gen, genetske informacije,

Matrična analiza

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (MA) autora TSB

2.4. ANALIZA ZAHTJEVA ZA SUSTAV (ANALIZA SUSTAVA) I FORMULACIJA CILJEVA

Iz knjige Tehnologije programiranja autor Kamaev V A

2.4. ANALIZA ZAHTJEVA PREMA SUSTAVU (ANALIZA SUSTAVA) I FORMULACIJA CILJEVA Zadaća optimizacije razvoja programa je postizanje ciljeva uz što manji utrošak resursa.

Matrično mjerenje

Iz knjige Digitalna fotografija od A do Ž Autor Gazarov Artur Jurijevič

Matrično mjerenje Matrično mjerenje (Pattern Evaluative, E) također se naziva višezonsko, višezonsko, višesegmentno, evaluativno. U automatskom načinu rada fotoaparat postavlja standardno matrično mjerenje koje se koristi češće od ostalih. Ovo je najinteligentnije mjerenje

Pitanje 47 Činjenična i pravna osnova. Analiza dokaza.

Iz knjige Autorski pravnički ispit

Pitanje 47 Činjenična i pravna osnova. Analiza dokaza. Pošteno, razumno i savjesno pružanje pravne pomoći u bilo kojem obliku, bilo da se radi o savjetovanju, izradi raznih dokumenata, zastupanju interesa ili obrani

9. Znanost u službi toksikologije. Spektralna analiza. Kristali i tališta. Strukturna analiza rendgenom. Kromatografija

Iz knjige Sto godina forenzike autor Thorvald Jürgen

9. Znanost u službi toksikologije. Spektralna analiza. Kristali i tališta. Strukturna analiza rendgenom. Kromatografija U međuvremenu, događaji koji su se zbili u procesu protiv Buchanana postali su poznati u cijelom svijetu. Uz svo nepoštivanje američke znanosti tih godina, ovih

12.9. Metoda razvoja matričnog rješenja

Iz knjige Sustavno rješavanje problema Autor Lapigin Jurij Nikolajevič

12.9. Matrična metoda donošenja odluka Odlučivanje na temelju matrične metode svodi se na donošenje izbora, uzimajući u obzir interese svih zainteresiranih strana. Shematski, proces odlučivanja u ovom slučaju izgleda kao što je prikazano na Sl. 12.7. Kao što vidimo, postoji

4. Istraživanje i analiza tržišta (analiza poslovnog okruženja organizacije)

Iz knjige Poslovno planiranje: Bilješke s predavanja autorica Beketova Olga

4. Istraživanje i analiza tržišta (analiza poslovnog okruženja organizacije) Istraživanje i analiza prodajnog tržišta jedna je od najvažnijih faza u izradi poslovnih planova, koji trebaju odgovoriti na pitanja tko, zašto i u što količine kupuje ili će kupiti proizvode

5.1. Analiza vanjskog i unutarnjeg okruženja organizacije, SWOT analiza

Autor Lapigin Jurij Nikolajevič

5.1. Analiza vanjskog i unutarnjeg okruženja organizacije, SWOT analiza

8.11. Matrična metoda RUR

Iz knjige Upravljačke odluke Autor Lapigin Jurij Nikolajevič

8.11. Matrična metoda RSD Donošenje odluka temeljeno na matričnoj metodi svodi se na donošenje izbora, uzimajući u obzir interese svih dionika. Shematski, RUR proces u ovom slučaju izgleda kao što je prikazano na sl. 8.13. Riža. 8.13. RUR model matričnom metodom

4. Analiza snaga i slabosti projekta, njegovih izgleda i prijetnji (SWOT analiza)

Autor Filonenko Igor

4. Analiza snaga i slabostima projekt, njegove perspektive i prijetnje (SWOT-analiza) Pri procjeni izvedivosti pokretanja novog projekta igra ulogu kombinacija čimbenika, a nije uvijek financijski rezultat od najveće važnosti. Na primjer, za izložbenu tvrtku

5. Politička, ekonomska, socijalna i tehnološka analiza (PEST-analiza)

Iz knjige Upravljanje sajmovima: strategije upravljanja i tržišne komunikacije Autor Filonenko Igor

5. Politička, ekonomska, društvena i tehnološka analiza (PEST analiza)

11.3. Metoda razvoja matrične strategije

Iz knjige Strateški menadžment: tutorial Autor Lapigin Jurij Nikolajevič

11.3. Metoda matrice za razvoj strategija Razvoj vizije organizacije Različita stanja vanjske i unutarnje okoline organizacija objašnjavaju različitost samih organizacija i njihovo stvarno stanje Multifaktornost parametara koji određuju položaj svake