Pronađite Lagrangeov interpolacijski polinom. Lagrangeova interpolacijska formula. Aproksimacija funkcija danih u tablici

n je broj čvorova.

Zadatak interpolacije je pronaći funkciju koja u točkama uzima iste vrijednosti.

Pretpostavlja se da niti jedna vrijednost nije ista. Točke se nazivaju interpolacijski čvorovi. Interpolacijski čvorovi ne moraju biti ravnomjerno raspoređeni na segmentu [ .

Funkcija se naziva interpolant funkcije.

Ako se vrijednost traži na intervalu [ , tada se ovaj zadatak obično naziva zadatak interpolacije, a ako je izvan tog intervala, onda je to zadatak ekstrapolacije.

Problem ima mnogo rješenja, jer kroz zadane točke, i=0, 1,..., n, može se povući beskonačno mnogo krivulja od kojih će svaka biti graf funkcije za koju su zadovoljeni svi uvjeti (1.2).

Ovisno o svrsi aproksimacije, koristi se ili interpolacija (točkasta aproksimacija) ili aproksimacija. Aproksimacija je zamjena tablične funkcije funkcijom koja ima ograničeno odstupanje od funkcije na segmentu koji se razmatra.

Uvjet interpolacije:

(1.2)

Gdje je a vektor nepoznatih koeficijenata.

Obično je vrsta unaprijed poznata. Za rješavanje problema interpolacije potreban je koeficijent.

Rješavanje problema interpolacije znači pronalaženje za zadane i .

U opći pogled sustav predstavlja sustav nelinearne jednadžbe i često nema rješenja za veliki n.

Prva metoda za rješavanje problema interpolacije je Lagrangeova metoda.

Najjednostavnija i najčešće korištena funkcija je polinom:

(1.3)

gdje je , , , …, koeficijent polinoma,

m je stupanj aproksimativnog polinoma.

Interpolacija se sastoji u približnoj zamjeni funkcije dane u tablici funkcijom koja ima iste vrijednosti kao funkcija.

Sve metode interpolacije mogu se podijeliti na lokalne i globalne. U slučaju globalne interpolacije, jedan polinom se nalazi u cijelom intervalu [ . Metode globalne interpolacije obično se koriste za funkcije definirane malim brojem točaka, jer s povećanjem broja točaka raste redoslijed interpolirajućeg polinoma, što negativno utječe na glatkoću rezultirajuće funkcije. Polinomska aproksimacija koja koristi sve čvorove tablice odjednom (globalna interpolacija) ima značajan nedostatak - mogućnost pojave velikih ekstrema u intervalima između čvorova mreže. Oni. interpolacijski polinom može imati fluktuacije koje nisu karakteristične za izvorne podatke. Osim toga, kako se stupanj polinoma povećava, dolazi do brzog nakupljanja pogrešaka zaokruživanja. Kako bi se izbjegli ti neželjeni učinci, u praksi se koristi lokalna interpolacija. . U slučaju lokalne interpolacije, na svakom se intervalu gradi poseban polinom. Za lokalnu interpolaciju, broj čvorova od velike važnosti nema.

Razmotrimo neke vrste lokalne i globalne interpolacije.

Lokalna interpolacija:

1. Podjelno linearna interpolacija

2. Interpolacija splineovima

Globalna interpolacija:

1. Lagrangeov polinom

2. Newtonov polinom

GLOBALNA INTERPOLACIJA

Interpolacija Lagrangeovim polinomom

S globalnom interpolacijom, jedan polinom se gradi preko cijelog intervala. Jedan od oblika pisanja interpolacijskog polinoma za globalnu interpolaciju je Lagrangeov polinom:

Lagrangeov interpolacijski polinom n-tog stupnja je linearna kombinacija osnovnih Lagrangeovih polinoma:

To jest, Lagrangeov polinom:

(2.3)

Polinom zadovoljava uvjet

Ovaj uvjet znači da je polinom jednak nuli za svaki osim , tj. , , … , korijeni ovog polinoma. Dakle, stupanj polinoma je jednak n, a na , svi članovi u zbroju nestaju, osim člana s brojem i=j, jednak .

Uzima vrijednost 1 u točki i 0 u drugim čvorovima interpolacije. Stoga, u točki, izvorni polinom poprima vrijednost

(2.4)

Izraz (2.1) je primjenjiv i za jednako razmaknute i nejednako razmaknute čvorove.

Lagrangeov polinom eksplicitno sadrži vrijednosti funkcija u interpolacijskim čvorovima, pa je koristan kada se vrijednosti funkcija mijenjaju, a interpolacijski čvorovi ostaju nepromijenjeni. Broj aritmetičkih operacija potrebnih za konstrukciju Lagrangeovog polinoma proporcionalan je i najmanji je za sve oblike zapisa. Nedostaci ovog oblika notacije uključuju činjenicu da se s promjenom broja čvorova cijeli izračun mora ponovno provesti.

2.2. Newtonov polinom

Neka je funkcija g(x) dana s proizvoljnim korakom, a točke tablice vrijednosti numerirane proizvoljnim redoslijedom.

Newtonov polinom uvelike se oslanja na koncept podijeljenih razlika.

Podijeljene razlike nultog reda podudaraju se s vrijednostima funkcije u čvorovima. Podijeljene razlike prvog reda definirane su u smislu podijeljenih razlika nultog reda:

Dijeljene razlike k-tog reda definirane su u smislu podijeljene razlike reda:

Kako bi se poboljšala točnost interpolacije, zbroju se mogu dodati novi članovi, što zahtijeva povezivanje dodatnih čvorova. Pritom, za Newtonovu formulu nije bitno kojim redoslijedom se spajaju novi čvorovi, dok za Lagrangeov polinom, kada se dodaju novi čvorovi, svi izračuni moraju se ponoviti.

Pretpostavimo da je potrebno povećati stupanj polinoma za jedan dodavanjem još jednog čvora u tablicu. Za izračunavanje dovoljno je dodati samo jednom članu

LOKALNA INTERPOLACIJA

3.1. Linearna interpolacija po komadima.

Jedan od najčešće korištenih i najjednostavnijih tipova lokalne interpolacije je komadno-linearna interpolacija, u kojoj su svake dvije točke i tablična funkcija povezani ravnim segmentima (tj. crta se polinom prvog stupnja)

	(3.3)
	(3.4)

Linearna interpolacija po komadima je najjednostavnija i stoga se često koristi za izračunavanje vrijednosti između čvorova interpolacije. Za konstruiranje interpolacijskog odnosa koji se koristi u daljnjim znanstvenim i inženjerskim izračunima obično se koriste složenije metode interpolacije.

3.2. Spline interpolacija

Ponekad je potrebno osigurati kontinuitet ne samo interpolirajuće funkcije, već i potrebnog broja njezinih izvedenica; za to se pribjegava interpolaciji spline.

Spline je funkcija čija je domena definicije podijeljena na konačan broj segmenata, na svakom od kojih se spline podudara s algebarskim polinomom. Maksimalni stupanj korištenih polinoma naziva se stupanj splajna.

Prednosti spline interpolacije u odnosu na konvencionalne metode interpolacije su u konvergenciji i stabilnosti računskog procesa. U praksi se najčešće koriste kubični splinovi - splinovi trećeg stupnja s kontinuiranom, barem prvom derivacijom. U ovom slučaju, vrijednost se naziva nagibom splinea u točki (čvoru).

Podijelimo segment na N jednakih segmenta [ , ], gdje je , i=0,1,…,N-1.

Ako su čvorovi , , postavljeni na vrijednosti koje ima kubični spline, tada na djelomičnom segmentu [ , ] on poprima oblik:

(3.3)

Doista, to je lako provjeriti izračunavanjem i u točkama,

Može se dokazati da ako polinom trećeg stupnja poprima vrijednosti, u točkama , i ima derivacije, odnosno, u tim točkama, tada se podudara s polinomom (3.3).

Dakle, da bi se postavio kubni spline na segmentu, potrebno je postaviti vrijednosti, i=0,1…,N u N+1 na čvoru.

POGREŠKA INTERPOLACIJE

Kod interpolacije funkcije uvijek dobivaju grešku koja se sastoji od greške same metode i grešaka zaokruživanja.

Pogreška u aproksimaciji funkcije interpolacijskim polinomom n-ti stupanj u točki x određena je razlikom.

Ovdje je derivacija (n+1) reda funkcije u nekoj točki, a funkcija je definirana kao

onda slijedi procjena za grešku interpolacije.

(4.4)

Specifična vrijednost pogreške u točki x očito ovisi o vrijednosti funkcije u ovoj točki. Kvalitativna priroda ovisnosti prikazana je na slici 2.

Sa slike je vidljivo da je pogreška interpolacije to veća što je točka x bliže krajevima segmenta. Izvan segmenta interpolacije (tj.

kada se ekstrapolira) brzo raste, pa se pogreška značajno povećava.

Slika 2

Zbog opisanog ponašanja pogreške, globalna interpolacija u nekim slučajevima može dati potpuno nezadovoljavajući rezultat.

5. PRIMJER INTERPOLACIJE FUNKCIJE LAGRANGEOVIM I NEWTONOVIM POLINOMIMA

Za pronalaženje polinoma koji uzima željene vrijednosti u određenim točkama, može se koristiti Mathcad paket. Kao primjer, razmotrite problem pronalaženja Lagrangeovog polinoma koji zadovoljava zadane početne podatke.

Izgradimo Lagrangeov polinom u Mathcad paketu:

Početni podaci:

U računskoj praksi često se moramo baviti funkcijama definiranim tablicama njihovih vrijednosti za neki konačni skup vrijednosti x : .

U procesu rješavanja problema potrebno je koristiti vrijednosti
za međuvrijednosti argumenta. U ovom slučaju se gradi funkcija F(x) koja je dovoljno jednostavna za izračune, koji u zadanim točkama x 0 , x 1 ,...,x n , koji se nazivaju čvorovi interpolacije, uzima vrijednosti, i na drugim točkama segmenta (x 0 ,x n) koje pripadaju domeni definicije
, približno predstavlja funkciju
s određenim stupnjem točnosti.

Prilikom rješavanja problema u ovom slučaju, umjesto funkcije
operirati s funkcijom F(x). Zadatak konstruiranja takve funkcije F(x) naziva se problem interpolacije. Najčešće se interpolirajuća funkcija F(x) nalazi u obliku algebarskog polinoma.

1. Interpolacijski polinom

Za svaku funkciju
definirano na [ a,b], i bilo koji skup čvorova x 0 , x 1 ,...,x n (x ja
[a,b], x ja x j za ja j) među algebarskim polinomima najvišeg stupnja n postoji jedinstven interpolacijski polinom F(x), koji se može napisati u obliku:

, (3.1)

Gdje
je polinom n-tog stupnja koji ima sljedeće svojstvo:

Za interpolacijski polinom, polinom
izgleda kao:

Ovaj polinom (3.1) rješava problem interpolacije i naziva se Lagrangeov interpolacijski polinom.

Kao primjer, razmotrite funkciju forme
na intervalu
dati tabelarno.

Potrebno je odrediti vrijednost funkcije u točki x-2.5. Za to koristimo Lagrangeov polinom. Na temelju formula (3.1 i 3.3) eksplicitno zapisujemo ovaj polinom:

(3.4).

Zatim zamjenjujući u formulu (3.4) početne vrijednosti iz naše tablice, dobivamo

Dobiveni rezultat odgovara teoriji tj. .

1. Lagrangeova interpolacijska formula

Lagrangeov interpolacijski polinom može se napisati u drugom obliku:

(3.5)

Pisanje polinoma u obliku (3.5) pogodnije je za programiranje.

Pri rješavanju problema interpolacije vrijednost n naziva se redom interpolirajućeg polinoma. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz formula (3.1) i (3.5), broj interpolacijskih čvorova uvijek će biti jednak n+1 i značenje x, za koje se utvrđuje vrijednost
, mora ležati unutar domene interpolacijskih čvorova oni.

. (3.6)

U nekim praktičnim slučajevima, ukupni poznati broj interpolacijskih čvorova m može biti veći od reda interpolirajućeg polinoma n.

U tom slučaju prije provedbe postupka interpolacije prema formuli (3.5) potrebno je odrediti one interpolacijske čvorove za koje vrijedi uvjet (3.6). Treba imati na umu da se najmanja pogreška postiže pri pronalaženju vrijednosti x u središtu područja interpolacije. Kako bi se to osiguralo, predlaže se sljedeći postupak:

Glavna svrha interpolacije je izračunati tablične vrijednosti funkcije za ne-čvorne (srednje) vrijednosti argumenata, zbog čega se interpolacija često naziva "umjetnošću čitanja tablica između redaka".

Uzorak eksperimentalnih podataka niz je podataka koji karakteriziraju proces promjene mjerenog signala tijekom određenog vremena (ili u odnosu na drugu varijablu). Za teorijsku analizu mjerenog signala potrebno je pronaći aproksimirajuću funkciju koja će povezati diskretni skup eksperimentalnih podataka s kontinuiranom funkcijom - interpolacijski polinom n -stupnjevi. Jedan od načina predstavljanja zadanog interpolacijskog polinoma n-stupnjeva je korištenje polinoma u Lagrangeovom obliku.

Interpolacijski polinom u oblikuLagrangeje matematička funkcija koja vam omogućuje pisanje polinoma n -stupnjevi koji će povezati sve zadane točke iz skupa vrijednosti dobivenih empirijski ili metodom nasumični uzorak u različitim vremenskim točkama s nekonstantnim vremenskim korakom mjerenja.

1. Lagrangeova interpolacijska formula

Općenito, interpolacijski polinomu Lagrangeovom obliku zapisuje se na sljedeći način:

Gdje ˗ stupanj polinoma;

˗ vrijednost vrijednosti interpolirajuće funkcije u točki;

˗ osnovni polinomi (Lagrangeov množitelj), koji se određuju formulom:

Na primjer, interpolacijski polinomu Lagrangeovoj formi koja prolazi kroz tri zadane točke, bit će napisan u sljedećem obliku:

Lagrangeov polinom eksplicitno sadrži vrijednosti funkcije u čvorovima interpolacije, pa je koristan kada se vrijednosti funkcije mijenjaju, ali čvorovi interpolacije ostaju nepromijenjeni. Broj aritmetičkih operacija potrebnih za konstrukciju Lagrangeovog polinoma proporcionalan jea najmanji je za sve oblike zapisa. Nedostaci ovog oblika zapisa uključuju činjenicu da se prilikom konstruiranja polinoma stupnja n + 1 potpuno gubi informacija o prethodnom polinomu stupnja n, tj. s promjenom broja čvorova, cijeli izračun mora se izvesti iznova.

2. Pogreška interpolacijskog polinoma u Lagrangeovom obliku

Razmotrite funkciju f(x ), koja je kontinuirana i diferencijabilna na razmatranom segmentu . Interpolacijski polinom L (x) u Lagrangeovom obliku uzima u točkamazadane vrijednosti funkcije. U ostalim točkama interpolacijski polinom L(x) različita od vrijednosti funkcije f(x) po iznosu preostali član , koja određuje apsolutnu pogrešku Lagrangeove interpolacijske formule:

A Apsolutna pogreška Lagrangeove interpolacijske formule određena je na sljedeći način:

gdje je n ˗ stupanj polinoma

Varijabilna predstavlja gornju granicu vrijednosti modula (n+1)-ta derivacija funkcije f(x) na zadanom intervalu

Pogreška interpolacije Lagrangeovom metodom ovisi o svojstvima funkcije f(x) i također od mjesta interpolacijskih čvorova i točke x. Ako pogreška ne dostigne potrebnu točnost, potrebno je segment razdvojiti na dijelove i svaki dio posebno interpolirati – interpolacija po komadima.

Odabir interpolacijskih čvorova

Uz pomoć pravilnog izbora čvorova, vrijednost se može minimiziratiu procjeni pogreške, čime se poboljšava točnost interpolacije. Ovaj problem se može riješiti pomoću Čebiševljevog polinoma:

Kao čvorove, trebali biste uzeti korijene ovog polinoma, odnosno točke:

3. Tehnika izračuna polinoma u Lagrangeovom obliku

Algoritam za izračunavanje polinoma u Lagrangeovom obliku omogućuje nam da odvojimo zadatke određivanja koeficijenata i izračunavanja vrijednosti polinoma za različite vrijednosti argument:

1. Uzorak iz n -bodova, koji uključuje vrijednosti funkcije i vrijednosti argumenta funkcije.

2. Polinom n-stupnja izračunava se u Lagrangeovom obliku pomoću sljedeće formule:

Algoritam za izračunavanje polinoma u obliku Lagrange prikazano na slici 1.

Tehnika izračunavanja polinoma u obliku Lagrange

Neka je funkcija dana na segmentu u nekom nizu čvorova sa svojim vrijednostima, gdje je. Problem algebarske interpolacije je konstruirati polinom stupnja koji zadovoljava uvjet interpolacije:.

Poznato je da postoji jedinstveni polinom stupnja ne višeg od , koji uzima zadane vrijednosti u početnim točkama. Koeficijenti polinoma mogu se odrediti iz sustava jednadžbi:

Determinanta ovog sustava je Vandermondeova determinanta, pa stoga sustav ima jedinstveno rješenje.

Primjer. Konstruirajte interpolacijski polinom koji koincidira s funkcijom u točkama.

Riješenje. Neka , pa imamo

Stoga na.

Lagrangeov polinom

Polinom ćemo tražiti u obliku linearne kombinacije skupova stupnja :.

U ovom slučaju zahtijevamo da svaki polinom na svim interpolacijskim čvorovima, osim u jednom, bude jednak 1. Lako je provjeriti ispunjava li te uvjete polinom oblika

.

Stvarno,. Akumulator izraza je 0. Analogno dobivamo:

,

Zamjenom ovih formula u izvorni polinom dobivamo:

Ova formula se naziva Lagrangeov interpolacijski polinom.

Primjer. Konstruirajte Lagrangeov interpolacijski polinom koji koincidira s funkcijom u točkama

.

Riješenje. Napravimo stol

Zamjenom ovih vrijednosti u Lagrangeovu formulu dobivamo:

Ako je funkcija kontinuirano diferencijabilna do uključivo ti reda, tada preostali član interpolacijskog polinoma u Lagrangeovom obliku ima oblik

gdje je unutarnja točka minimalnog segmenta koji sadrži interpolacijske čvorove i točku.

Newtonov polinom s konačnim razlikama

Razmotrimo slučaj ekvidistantnih čvorova interpolacije, tj. naziva se korak.

Uvedimo pojam konačnih razlika. Neka su poznate vrijednosti funkcije u čvorovima. Sastavite razliku između vrijednosti funkcije:

Te se razlike nazivaju razlikama prvog reda.

Možemo napraviti razlike drugog reda:

Razlike k-tog reda sastavljaju se na sličan način:

Konačne razlike izražavamo izravno u smislu vrijednosti funkcije:

Dakle, za bilo koji k, možemo napisati:

Napišimo ovu formulu za vrijednosti razlike u čvoru:

Pomoću konačnih razlika može se odrediti

Prijeđimo na konstrukciju Newtonovog interpolacijskog polinoma. Ovaj polinom ćemo tražiti u obliku

Polinomski graf mora prolaziti kroz zadane čvorove, tj. Koristimo ove uvjete da pronađemo koeficijente polinoma:

Nađimo koeficijente odavde:

Dakle, za bilo koji -ti koeficijent, formula ima oblik

.

Zamjenom ovih formula u izraz Newtonovog polinoma dobivamo njegov sljedeći oblik:

Dobivena formula može se napisati u drugom obliku. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu.

U ovom slučaju

Uzimajući u obzir te odnose, formula Newtonovog polinoma može se napisati kao

Rezultirajući izraz može aproksimirati zadanu funkciju na cijelom segmentu promjene argumenta. Međutim, svrhovitije je (sa stajališta povećanja točnosti izračuna i smanjenja broja članova u dobivenoj formuli) ograničiti se na slučaj, odnosno koristiti ovu formulu za sve. Za druge slučajeve, umjesto prihvatiti ako na. U ovom slučaju, interpolacijski polinom može se napisati kao

Rezultirajuća formula naziva se prvi Newtonov interpolacijski polinom za interpolaciju naprijed. Ova interpolacijska formula obično se koristi za izračunavanje vrijednosti funkcije u točkama lijeve polovice razmatranog segmenta. To se objašnjava sljedećim: razlike se izračunavaju kroz vrijednosti funkcije, štoviše. Zbog toga, za velike vrijednosti x, ne možemo izračunati više redove.

Za desnu polovicu segmenta koji se razmatra, bolje je izračunati razlike s desna na lijevo. U ovom slučaju, tj. i Newtonov interpolacijski polinom može se dobiti u obliku:

Rezultirajuća formula naziva se drugi polinom interpolacije unatrag.

Primjer. Koristeći Newtonov interpolacijski polinom, izračunajte , gdje je funkcija dana tablicom

Riješenje. Sastavite tablicu konačnih razlika.

Da bismo izračunali, iznijeli smo Newtonov interpolacijski polinom tada i

Primjer. Tablica je dana. Pronaći .

Prilikom izračunavanja stavljamo

.

Prilikom izračunavanja stavljamo

.

Procijenimo pogreške Newtonovih formula unaprijed i unatrag:

Formule približne diferencijacije temelje se na prvoj Newtonovoj interpolacijskoj formuli. Newtonov interpolacijski polinom ima oblik

Množenjem binoma dobivamo

jer , To

Slično se mogu izračunati derivacije funkcija bilo kojeg reda.

U nekim slučajevima potrebno je pronaći izvode funkcija na glavnim točkama tablice. Budući da se tablična vrijednost može smatrati početnom vrijednošću, tada, pod pretpostavkom, imamo

Za derivaciju Newtonovog polinoma prvog reda pogreška se može izračunati po formuli ,

gdje je broj konačnih razlika u Newtonovom polinomu.

Primjer. Pronađite funkciju zadanu u tablici.

Riješenje.

Računajući grešku, dobivamo:

.

Stvarno,.

Dakle, rezultati se podudaraju do četvrte znamenke.

Konstruirat ćemo interpolacijski polinom u obliku

gdje su polinomi najvišeg stupnja P, ima sljedeće svojstvo:

Doista, u ovom slučaju polinom (4.9) u svakom čvoru xj, j=0,1,…n, jednaka je odgovarajućoj vrijednosti funkcije y j, tj. je interpolacija.

Konstruirajmo takve polinome. Budući da se za x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , može faktorizirati na sljedeći način

gdje je c konstanta. Iz stanja dobivamo to

Interpolacijski polinom (4.1) zapisan u obliku

naziva se Lagrangeov interpolacijski polinom.

Približna vrijednost funkcije u točki x *, izračunat pomoću Lagrangeovog polinoma, imat će rezidualnu pogrešku (4.8). Ako vrijednosti funkcije y i u čvorovima interpolacije x i daju se približno s istom apsolutnom pogreškom, a zatim umjesto točna vrijednost izračunat će se približna vrijednost i

gdje je računska apsolutna pogreška Lagrangeovog interpolacijskog polinoma. Konačno, imamo sljedeću procjenu ukupne pogreške približne vrijednosti .

Konkretno, Lagrangeovi polinomi prvog i drugog stupnja imat će oblik

i njihove ukupne pogreške u točki x *

Postoje i drugi oblici pisanja istog interpolacijskog polinoma (4.1), na primjer, Newtonova interpolacijska formula podijeljene razlike koja se razmatra u nastavku i njezine varijante. Uz točne izračune, vrijednosti Pn(x *), dobivene različitim interpolacijskim formulama konstruiranim iz istih čvorova, podudaraju se. Prisutnost računske pogreške dovodi do razlike u vrijednostima dobivenim ovim formulama. Zapisivanje polinoma u Lagrangeovom obliku dovodi u pravilu do manje računske pogreške.

Korištenje formula za procjenu pogrešaka koje nastaju tijekom interpolacije ovisi o postavci problema. Na primjer, ako je poznat broj čvorova, a funkcija je dana s dovoljno velikim brojem valjanih predznaka, tada možemo postaviti zadatak izračunavanja f(x*) s najvećom mogućom točnošću. Ako je, naprotiv, broj točnih znakova mali, a broj čvorova velik, tada možemo postaviti problem izračunavanja f(x*) s točnošću koju tablična vrijednost funkcije dopušta, a za rješavanje ovog problema može biti potrebno i razrjeđivanje i zbijanje tablice.

§4.3. Odvojene razlike i njihova svojstva.

Koncept podijeljene razlike je generalizirani koncept derivacije. Neka su u točkama x 0 , x 1 ,…x n vrijednosti funkcija f(x 0), f(x 1),…,f(x n). Dijeljene razlike prvog reda definirane su jednakostima

podijeljene razlike drugog reda - jednakosti,

i podijeljene razlike k reda određuju sljedeća rekurzivna formula:

Podijeljene razlike obično se stavljaju u ovakvu tablicu:

x i	f(x i)	Podijeljene razlike
1. red	II red	III reda	IV reda
x 0	y 0
		f
x 1	y 1		f
		f		f
x 2	y2		f		f
		f		f
x 3	y 3		f
		f
x 4	y 4

Razmotrite sljedeća svojstva podijeljenih razlika.

1. Podijeljene razlike svih redova su linearne kombinacije vrijednosti f(x i), tj. vrijedi sljedeća formula:

Dokažimo valjanost ove formule indukcijom na redu razlika. Za razlike prvog reda

Vrijedi formula (4.12). Pretpostavimo sada da vrijedi za sve razlike reda.

Zatim, prema (4.11) i (4.12), za razlike reda k=n+1 imamo

Pojmovi koji sadrže f(x0) I f(x n +1), imaju traženi obrazac. Razmotrite pojmove koji sadrže f(x i), i=1, 2, …,n. Postoje dva takva člana - iz prvog i drugog zbroja:

oni. formula (4.12) vrijedi za razliku reda k=n+1, dokaz je završen.

2. Podijeljena razlika je simetrična funkcija svojih argumenata x 0 , x 1 ,…x n (tj. ne mijenja se s bilo kojom permutacijom):

Ovo svojstvo izravno slijedi iz jednakosti (4.12).

3. Jednostavna veza podijeljene razlike f i izvedenica f(n)(x) daje sljedeću teoremu.

Neka čvorovi x 0 , x 1 ,…x n pripadaju segmentu i funkcija f(x) ima kontinuiranu derivaciju reda P. Onda postoji takva točka xO, Što

Dokažimo prvo valjanost relacije

Prema (4.12) izraz u uglatim zagradama je

f.

Iz usporedbe (4.14) s izrazom (4.7) za preostali član R n (x)=f(x)-L n (x) dobivamo (4.13), teorem je dokazan.

Jednostavan korolar slijedi iz ovog teorema. Za polinom P ti stupanj

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

poredak izvedenica P očito postoji

a relacija (4.13) daje vrijednost za podijeljenu razliku

Dakle, za bilo koji polinom stupnja P podijeljene razlike reda P jednaki su konstantnoj vrijednosti – koeficijentu na najvišem stupnju polinoma. Odvojene razlike višeg reda
(više P) su očito jednaki nuli. Međutim, ovaj zaključak vrijedi samo ako ne postoji računska pogreška za podijeljene razlike.

§4.4. Newtonov interpolacijski polinom s podijeljenim razlikama

Lagrangeov interpolacijski polinom zapisujemo u sljedećem obliku:

Gdje L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0, A L k (x) je Lagrangeov interpolacijski polinom stupnja k, izgrađen od čvorova x 0 , x 1 , …, x k. Zatim postoji polinom stupnja k, čiji su korijeni točke x 0 , x 1 , …, x k -1. Stoga se može faktorizirati

gdje je Ak konstanta.

U skladu s (4.14) dobivamo

Uspoređujući (4.16) i (4.17) dobivamo da (4.15) također ima oblik

koji se naziva Newtonov interpolacijski polinom s podijeljenim razlikama.

Ova vrsta snimanja polinoma interpolacije više je vizualna (dodatak jednog čvora odgovara pojavi jednog člana) i omogućuje vam da bolje pratite analogiju konstrukcija koje se provode s glavnim konstrukcijama matematičke analize.

Rezidualna pogreška Newtonovog interpolacijskog polinoma izražava se formulom (4.8), ali se, uzimajući u obzir (4.13), može napisati i u drugom obliku

oni. rezidualna pogreška može se procijeniti modulom prvog odbačenog člana u polinomu N n (x *).

Računska pogreška Nn(x*) određena pogreškama podijeljenih razlika. Interpolacijski čvorovi najbliži interpoliranoj vrijednosti x *, imat će veći učinak na interpolacijski polinom, ležeći dalje - manje. Stoga je preporučljivo, ako je moguće, za x0 I x 1 uzeti doći do x * interpolacijske čvorove i prvo izvršiti linearnu interpolaciju nad tim čvorovima. Zatim postupno privucite sljedeće čvorove tako da budu što simetričniji u odnosu na x *, sve dok sljedeći modulo član ne bude manji od apsolutne pogreške podijeljene razlike koja je u njemu uključena.