opseg je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od jedne zadane točke, tzv središte kruga. Udaljenost od središta kruga do bilo koje točke na krugu se zove . polumjer kruga.

- kanonska jednadžba kružnice (16) - središte kružnice.

Ako središte kruga leži u ishodištu, tada je jednadžba kruga (16 .)

Elipsa naziva se skup svih točaka ravnine čiji je zbroj udaljenosti od dvije zadane točke te ravnine (tzv. trikovi ova elipsa) je konstantna veličina.

U (0;b)M(x,y)

r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a

(-a; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (a; 0) X

Označimo radi kratkoće a 2 -b 2 \u003d c 2 (*), a zatim jednadžbu elipse: (17)

Ako stavimo y=0, tada dobivamo , a ako stavimo x=0, dobivamo ; dakle, i su duljine poluosi elipse - velik() i mali(). Osim toga, svaki od članova na lijevoj strani ne može biti veći od jedan, dakle , , pa se cijela elipsa nalazi unutar pravokutnika. Točke A,B,C,D, u kojima elipsa siječe svoje osi simetrije, nazivaju se vrhovi elipse.

Stav naziva se ekscentricitet elipse.

Hiperbola je skup svih točaka ravnine čiji je modul razlike udaljenosti od dvije zadane točke ove ravnine (tzv. trikovi ova hiperbola) je konstantna veličina. Sredina udaljenosti između žarišta naziva se središte hiperbole.

r 2 r 1 –r 2 =2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

Označite a 2 -c 2 \u003d-b 2 (**), jednadžbu hiperbole: (18)

Iz ove jednadžbe se vidi da hiperbola također ima dvije osi simetrije (glavne osi), kao i centar simetrije (središte hiperbole).

Stav naziva se ekscentricitet hiperbole.

Ako stavimo y=0, tada dobivamo , a ako stavimo x=0, dobivamo .

Dakle, Ox os siječe hiperbolu u dvije točke (vrhovi hiperbole), to je - realna os; Os Oy ne siječe hiperbolu - to je " imaginarna os. » Svaki segment koji povezuje dvije točke hiperbole, ako prolazi kroz središte, naziva se promjer hiperbole.

Ravna linija kojoj se zakrivljena linija približava proizvoljno blizu, ali je nikad ne siječe, naziva se asimptota krivulje. Hiperbola ima dvije asimptote. Njihove jednadžbe su: (19)

parabola naziva se skup svih točaka ravnine, udaljenost od svake od njih do dane točke (tzv usredotočenost) jednaka je udaljenosti do zadane linije (tzv ravnateljica).

- parametar parabole.

Parabola ima jednu os simetrije. Točka presjeka parabole s osi simetrije naziva se vrh parabole.

Kanonska jednadžba parabole s vrhom u ishodištu, čija je os simetrije Ox os, a grane usmjerene udesno, ima oblik (20)

Njegova direktrisna jednadžba je:

Kanonska jednadžba parabole s vrhom u ishodištu, čija je os simetrije Ox os, a grane usmjerene ulijevo, ima oblik (20 ,)

Njegova direktrisna jednadžba je:

Kanonska jednadžba parabole s vrhom u ishodištu, čija je os simetrije os Oy i čiji su grane usmjerene prema gore, ima oblik (20 ,)

Njegova direktrisna jednadžba je:

Kanonska jednadžba parabole s vrhom u ishodištu, čija je os simetrije os Oy i čiji su krakovi usmjereni prema dolje, ima oblik (20 ,)

Njegova direktrisna jednadžba je:

y y

F 0 p/2 x -p/2 0 x

Y y

p/2

-p/2
Tema 2.1. Predavanje 7. Lekcija 10

Tema: Funkcije jedne nezavisne varijable, njihovi grafovi.

Koncept funkcije

Jedan od osnovnih matematičkih pojmova je pojam funkcije. Pojam funkcije povezuje se s uspostavljanjem ovisnosti (veze) između elemenata dvaju skupova.

Neka su dana dva neprazna skupa X i Y. Korespondencija ƒ, koja svakom elementu xÎ X pridružuje jedan i samo jedan element yÎ Y, naziva se funkcija i piše y=ƒ(x), xÎ X ili ƒ : X→Y. Također se kaže da funkcija ƒ preslikava skup X na skup Y.

Na primjer, korespondencije ƒ i g prikazane na slici 98 a i b su funkcije, dok one na slici 98 c i d nisu. U slučaju in - ne odgovara svaki element xÎX elementu yÎY. U slučaju r, uvjet jedinstvenosti nije zadovoljen.

Skup X nazivamo područjem funkcije ƒ i označavamo ga s D(f). Skup svih unY naziva se skup vrijednosti funkcije ƒ i označava se s E(ƒ).

Numeričke funkcije. Grafikon funkcije. Načini postavljanja funkcija

Neka je dana funkcija ƒ : X→Y.

Ako su elementi skupova X i Y realni brojevi (odnosno XÌ R i YÌ R), tada se funkcija ƒ naziva brojevnom funkcijom. Ubuduće ćemo proučavati (u pravilu) numeričke funkcije, zbog kratkoće ćemo ih zvati jednostavno funkcije i pisati y=ƒ(x).

Varijabla x se naziva argument ili nezavisna varijabla, a y se naziva funkcija ili ovisna varijabla (od x). Za same vrijednosti x i y kažu da su u funkcionalnom odnosu. Ponekad se funkcionalna ovisnost y o x piše kao y=y(x), bez uvođenja novog slova (ƒ) za označavanje ovisnosti.

privatna vrijednost funkcije ƒ(x) pri x=a zapisuju se na sljedeći način: ƒ(a). Na primjer, ako je ƒ(x)=2x 2 -3, tada je ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5.

Grafikon funkcije y \u003d (x) je skup svih točaka Oxy ravnine, za svaku od kojih je x vrijednost argumenta, a y je odgovarajuća vrijednost funkcije.

Na primjer, graf funkcije y \u003d √ (1-x 2) je gornji polukrug polumjera R \u003d 1 sa središtem u O ​​(0; 0) (vidi sliku 99).

Da bi se postavila funkcija y=ƒ(x), potrebno je specificirati pravilo koje omogućuje, poznavajući x, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti y.

Postoje tri najčešća načina definiranja funkcije: analitički, tablični, grafički.

Analitička metoda: Funkcija je određena kao jedna ili više formula ili jednadžbi.

Ako domena funkcije y = ƒ(x) nije navedena, tada se pretpostavlja da se podudara sa skupom svih vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća formula ima smisla. Dakle, domena funkcije y \u003d √ (1-x2) je segment [-1; jedan].

Analitička metoda postavljanja funkcije je najsavršenija, jer je popraćena metodama matematičke analize koje vam omogućuju potpuno istraživanje funkcije y=ƒ(x).

Grafička metoda: postavlja se graf funkcije.

Grafikone često automatski crtaju snimači ili se prikazuju na zaslonu. Vrijednosti funkcije y, koje odgovaraju određenim vrijednostima argumenta x, izravno se nalaze iz ovog grafikona.

Prednost grafičkog zadatka je njegova preglednost, nedostatak je nepreciznost.

Tablični način: funkcija je određena tablicom niza vrijednosti argumenata i odgovarajućih vrijednosti funkcije. Na primjer, dobro poznate tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, logaritamske tablice.

U praksi se često moraju koristiti tablice vrijednosti funkcija dobivene empirijski ili kao rezultat promatranja.

prijepis

1 Poglavlje PRAVICE DRUGOG REDA NA RAVNINI.1. Elipsa, hiperbola, parabola Definicija. Elipsa je skup svih točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dviju danih točaka F 1 i F konstantna vrijednost a, veća od udaljenosti između F 1 i. M(, x) F 1 O F x Točke F 1 i F nazivamo žarištima elipse, a udaljenost FF 1 između njih je žarišna duljina koja se označava s c. Neka točka M pripada elipsi. Odsječke F1 M i F M nazivamo žarišnim radijusima točke M. Neka je F1F = c. Po definiciji, a > c. Promotrimo pravokutni Kartezijev koordinatni sustav Ox, u kojem su žarišta F 1 i F smještena na x-osi simetrično u odnosu na ishodište. U ovom koordinatnom sustavu elipsa je opisana kanonskom jednadžbom: x + = 1, a b 1

2. gdje je b= a c Parametri a i b nazivaju se, redom, velikom i malom poluosom elipse. Ekscentricitet elipse je broj ε, jednak omjeru polovice žarišne udaljenosti c prema velikoj poluosi, tj. ε =. Ekscentricitet elipse a zadovoljava nejednakosti 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik x a = b 1,. gdje je b= c a Brojeve a i b nazivamo redom realnom i imaginarnom poluosi hiperbole. Unutar područja definiranog nejednakošću nema točaka hiperbole. x a b Definicija. Asimptote hiperbole su ravne linije b b zadane jednadžbama = x, = x. a a Žarišni polumjeri točke M(x,) hiperbole mogu se pronaći po formulama r 1 = ε x a, r = ε x+ a. Ekscentricitet hiperbole, kao i za elipsu, određuje se formulom ε =. Lako je provjeriti da za ekscentricitet hiperbole vrijedi nejednakost ε a >1. Definicija. Parabola je skup svih točaka u ravnini za koje je udaljenost do zadane točke F jednaka udaljenosti do zadanog pravca d koji ne prolazi kroz točku F. Točku F nazivamo žarištem parabole, a pravac d naziva se direktrisa. Udaljenost od fokusa do direktrise naziva se parametar parabole i označava se s p. d M (x,) F x 4 3

4 Odaberimo ishodište O kartezijevog koordinatnog sustava u sredini odsječka FD, okomice spuštene iz točke F na pravac d. U ovom koordinatnom sustavu žarište F ima koordinate F p p ;0, a direktrisa d dana je jednadžbom x + = 0. Kanonska jednadžba parabole je: = px. Parabola je simetrična u odnosu na os OF, koja se naziva os parabole. Točka O presjeka ove osi s parabolom naziva se vrhom parabole. Žarišni radijus točke M (x,) tj. njegova p udaljenost od žarišta nalazi se formulom r = x+. 10B.. Opća jednadžba pravca drugog reda Pravac drugog reda je skup točaka u ravnini čije su koordinate x i koje zadovoljavaju jednadžbu a x + a x+ a + a x+ a + a =0, ​​​​11 1 gdje je a11 , a1, a, a10, a0, a00 neki realni brojevi, a a, a, a nisu istodobno jednaki nuli. Ova se jednadžba naziva općom jednadžbom krivulje drugog reda i također se može napisati u vektorskom obliku rr r r (Ax, x) + (b, x) + a = 0, gdje je 00 a11 a1 r r A =, a1 a b = (a10 ; a0), x = (x;). T Budući da je A = A, tada je A kvadratna matrica r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x+ a Elipsa, hiperbola i parabola su primjeri krivulja drugog reda u ravnini. Osim navedenih krivulja postoje i druge vrste krivulja drugog reda, koje su s x spojene ravnim crtama. Tako je, na primjer, jednadžba = 0, gdje je a 0, b 0, a b 4

5 definira par linija koje se sijeku na ravnini. Koordinatni sustavi u kojima jednadžba krivulje ima najjednostavniji oblik nazivaju se kanonskim. Kompozicijom transformacija: zakretom osi za kut α, paralelnim prijenosom ishodišta u točku (x0; 0) i refleksijom oko apscisne osi, jednadžba krivulje drugog reda svodi se na jednu od kanonskih jednadžbe, od kojih su glavne gore navedene. 11BPrimjeri 1. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse sa središtem u ishodištu i žarištem na apscisnoj osi, ako je poznato da njezin ekscentricitet ε = i točka N(3;) leži na 3. elipsi. x a b Jednadžba elipse: + = 1. Imamo da je =. a b a 3 9 Stoga računamo da je a = b. Zamjenom koordinata točke N(3;) u jednadžbu dobivamo + = 1 pa b = 9 i a b 81 a = = 16,. Stoga je kanonska jednadžba elipse 5 x + = 1. 16, 9. Sastavite kanonsku jednadžbu hiperbole sa središtem u ishodištu i žarištem na apscisnoj osi, ako je točka M 1 (5; 3) hiperbole i dani su ekscentricitet ε =. x Kanonska jednadžba hiperbole = 1. Iz jednakosti a b a + b = imamo b = a 5 9. Odatle = 1 i a =16. Stoga je kanonska jednadžba elipse = a a a x 16 5

6 3. Nađite točke na paraboli = 10x čiji je polumjer žarišta 1,5. Imajte na umu da se parabola nalazi u desnoj poluravnini. Ako M (x; leži na paraboli, tada je x 0. Parametar p = 5. Neka je (;)) M x željena točka, F je fokus, () direktrisa parabole. Zatim F,5; 0, d: x=,5. Kako je FM = ρ(M, d), onda je x +,5 = 1,5, 10 Odgovor: () 1 10;10 x =, = 100, =± 10. Dakle, dobili smo dvije točke. M10; 10 M, () 4. Na desnom ogranku hiperbole zadane jednadžbom x = 1 pronađite točku čija je udaljenost od desnog žarišta 16 9 dva puta manja od njezine udaljenosti od lijevog žarišta. Za desnu granu hiperbole žarišni polumjeri definirani su formulama r 1 = ε x a i r = ε x + a. Stoga dobivamo jednadžbu ε x + a = (ε x a). Za zadanu hiperbolu vrijedi a = 4, 5 c = 5 i ε =. Stoga je x = 9,6. Odavde imamo = ± x 16 = ± d Odgovor: dvije točke M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Nađite jednadžbu pravca, za bilo koju točku čija je udaljenost omjer prema točka F (3;0) na udaljenost do pravca 1 x 8= 0 jednaka je ε =. Navedite naziv retka i njegove parametre. Mx; željeni pravac vrijedi jednakost: Za proizvoljnu točku () FM (x 3) + 1 = =. ρ(Ml,) x 8 6

7 Stoga imamo [(x 3) + ] = (x 8). Otvaranjem zagrada i preslagivanjem članova dobivamo (x+) + = 50, tj. (x+) + = Odgovor: željeni pravac je elipsa sa središtem u točki i poluosima a = 5 i b = Nađi jednadžbu hiperbole Stare koordinate koordinate O () x ; 0; ;, ;. C(;0) = 8 u novom sustavu (x ;) i novi (zt ;) povezani su matričnom jednakošću 1 1 x z 1 z+ t = 1 1 t = z t. Dakle, jednadžba x = 8 z+ t z t = 8, zt = 4. Odgovor: zt = 4. γ:4x 4x+ 8x+ 4+ 3= 0 u kanonski oblik. u novim koordinatama ima oblik. Razmotrimo kvadratni oblik () q x, = 4x 4x+. Matrica 4 oblika q ima svojstvene vrijednosti 5 i 0 i odgovarajuće ortonormirane vektore i

8 z 1 1 x. t = 5 1 Izrazimo stare koordinate (x;) kroz nove (zt) ; : 1 1 z+ t x 1 z = 1 t =, 1 z t znači x = z+ t, = z+ t ) () ()() = 5z 4 5z+ 3= z 5 4 z 5 + 3= z 5 1 z 5 3 Stoga je u novim koordinatama krivulja γ dana jednadžbom 1 3 γ: z z =. Postavivši = z, x = t, dobivamo γ: =, 1 odakle nalazimo kanoničku jednadžbu krivulje γ: = 0 u kanonskim koordinatama = 5 x 1 1 x Uočimo da je krivulja γ par paralelnih pravaca. 1BDodaci ekonomskim i financijskim problemima 8. Neka Anya, Boris i Dmitry imaju svaki po 150 rubalja da kupe voće. Poznato je da 1 kg krušaka košta 15 novčanih jedinica, a 1 kg jabuka 10 novčanih jedinica. Istovremeno, svaki od trojice

9 ima funkciju korisnosti za koju želi maksimizirati svoju kupnju. Neka je kupljeno x1 kg krušaka i x kg jabuka. Ove funkcije korisnosti su sljedeće: u = x + x za Anju, 1 A 1 x u B = +x za Borisa i ud = x1 x za Dmitrija. Potrebno je pronaći plan kupnje (x1, x) za Anju, Borisa i Dmitrija prema kojem oni pružaju maksimum svoje funkcije korisnosti. x sl. 5 Problem koji razmatramo može se riješiti geometrijski. Da bi se riješio ovaj problem, treba uvesti koncept linije razine. x x 1 Sl. 6 Pravac razine funkcije z = f(x,) je skup svih točaka na ravnini na kojima funkcija zadržava konstantnu vrijednost jednaku h. x9

10 U ovom slučaju, rješenje će također koristiti početne ideje o geometrijskim područjima na ravnini, dane linearnim nejednadžbama (vidi pododjeljak 1.4). x x 1 Sl. 7 Pravci razine funkcija ua, u B i u D su ravne linije, elipse i hiperbole za Anju, Borisa i Dmitrija. Po smislu zadatka pretpostavljamo da je x1 0, x 0. S druge strane, proračunsko ograničenje je zapisano kao nejednadžba 15x1+ 10x 150. Podijelimo li posljednju nejednadžbu s 10, dobivamo 3x1+ x 30, odnosno + 1. Lako je vidjeti da je x1 x područje rješenja ove nejednadžbe zajedno s uvjetima nenegativnosti trokut omeđen linijama x1 = 0, x = 0 i 3x1+ x =

11 X * X * Sl. 8 sl. 9 Na temelju geometrijskih likova sada je lako ustanoviti da je uamax = ua(0,15) = 15, ubmax = ub(0,15) = 5 i udmax = ud(Q). Koordinate točke Q tangente hiperbole razine stranice proračunskog trokuta moraju se već analitički izračunati. Da biste to učinili, primijetite da točka Q zadovoljava tri jednadžbe: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x " = =. x1 X * Sl.

12 Eliminirajući h iz jednadžbi, dobivamo koordinate točke Q= (x, x) = (5;7.5). 1 Odgovor: Q= (x1, x) = (5;7,5). 9. Nelinearni model troškova i dobiti poduzeća. Neka tvrtka proizvodi višenamjensku opremu dva tipa A i B u količini x i jedinica proizvodnje, redom. Istovremeno, prihod poduzeća za godinu izražava se funkcijom prihoda Rx (,) = 4x+, a troškovi proizvodnje iskazuju se funkcijom troškova 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 gdje poduzeće prima maksimalan profit Odrediti plan proizvodnje (x, ) na 3

13 Funkcija dobiti sastavlja se kao razlika između funkcije prihoda i funkcije troškova: 1 1 Π (x,) = R(x,) C(x,) = 4x+ 7,5 x. 4 Nakon izvršenih transformacija posljednji izraz dovodimo u oblik 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Linije razine za funkciju profita izgledaju kao (x 8) (1) = h. 4 Svaka linija razine 0 h 9 je elipsa sa središtem u ishodištu. Iz dobivenog izraza lako je vidjeti da je maksimum profitne funkcije 9 i da se postiže pri x= 8, = 1. Odgovor: x = 8, = 1. 13BZadaci za vježbe i test pitanja.1. Napiši normalnu jednadžbu za kružnicu. Odredi koordinate središta i polumjer kruga: a) x + + 8x 6=0; b) x x = 0... Napiši jednadžbu kružnice koja prolazi točkama M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0)..3. Definirajte elipsu i napišite njezinu kanoničku jednadžbu. Napišite kanonsku jednadžbu elipse ako je 1 njezin ekscentricitet jednak ε =, a velika poluos jednaka Sastavite jednadžbu elipse čiji fokusi leže na ordinatnoj osi simetrično u odnosu na ishodište, znajući, osim toga, da udaljenost između njegovih žarišta c = 4 i ekscentricitet ε = Dajte određivanje ekscentriciteta elipse. Odredite ekscentricitet elipse ako je njezina velika os četiri puta veća od male osi. 33

14.6. Definirajte hiperbolu i napišite njezinu kanoničku jednadžbu. Kroz točku M (0; 0,5) i desni vrh hiperbole zadane jednadžbom x = 1 povučena je ravna crta. Odredite koordinate druge sjecišne točke pravca i hiperbole. Definirajte ekscentricitet hiperbole. Napiši njezinu kanoničku jednadžbu ako je a = 1, b = 5. Koliki je ekscentricitet te hiperbole?.8. Napišite jednadžbe za asimptote hiperbole dane njezinom kanonskom jednadžbom. Napiši jednadžbu hiperbole 3 ako su njezine asimptote zadane jednadžbama =± x i hiperbola 5 prolazi točkom M (10; 3 3)..9. Definirajte parabolu i napišite njezinu kanoničku jednadžbu. Napišite kanoničku jednadžbu parabole ako je x-os njezina os simetrije, njen vrh leži u ishodištu i duljina tetive parabole okomite na os Ox je 8, a udaljenost te tetive od vrha je Na paraboli = 1x nađite točku čiji je žarišni radijus Rečenica i potražnja za nekim dobrom dani su funkcijama p = 4q 1, p = +. Pronađite točku tržišne ravnoteže. 1 q Generirajte grafove..1. Andrej, Katja i Nikolaj idu kupiti naranče i banane. Kupite x1 kg naranči i x kg banana. Svaki od njih troje ima svoju uporabnu funkciju, što pokazuje koliko korisnom smatra svoju kupnju. Ove funkcije korisnosti su sljedeće: u = x + x za Andreja, 1 4 A 4 1 u K = x + x za Katju i un = x1 x za Nikolaja. a) Nacrtajte linije razine funkcije korisnosti za vrijednosti razine h=1, 3. b) Za svaku, rasporedite redoslijed preferencija za kupnju r = (4.1), s = (3.8), t = (1.1 ). 34

Modul analitičke geometrije. Analitička geometrija u ravnini i prostoru Predavanje 7 Sažetak Pravci drugog reda na ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Definicija, opće karakteristike.

PREDAVANJE N15. Krivulje drugog reda. 1. Kružnica... 1. Elipsa... 1 3. Hiperbola.... 4. Parabola.... 4 1. Kružnica

8 Krivulje drugog reda 81 Kružnica Skup točaka ravnine jednako udaljenih od jedne točke, koja se naziva središte, na udaljenosti koja se naziva radijus, naziva se kružnica. Neka je središte kružnice

Predavanje 13 Tema: Krivulje drugog reda Krivulje drugog reda na ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Izvođenje jednadžbi krivulja drugog reda na temelju njihovih geometrijskih svojstava. Proučavanje oblika elipse,

PREDAVANJE Pravci hiperbole drugog reda Kao primjer nalazimo jednadžbe koje definiraju kružnicu, parabolu, elipsu i kružnicu Kružnica je skup točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane

Krivulje drugog reda Kružnica Elipsa Hiperbola Parabola Neka je na ravnini zadan pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Krivulja drugog reda je skup točaka čije koordinate zadovoljavaju

Pravac i ravnina u prostoru Linearna algebra (predavanje 11) 24.11.2012. 2 / 37 Pravac i ravnina u prostoru Udaljenost između dviju točaka M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2) , z2)

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruska Federacija Jaroslavsko državno sveučilište P. G. Demidova Katedra za algebru i matematičku logiku Krivulje drugog reda I. dio Smjernice

3. Hiperbola i njezina svojstva Definicija 3.. Hiperbola je krivulja definirana u nekom pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu jednadžbom 0. (3.) i Jednakost (3.) naziva se kanoničkom jednadžbom

Vježba 1 Tema: Hiperbola Pregled 1 Definicija i kanonička jednadžba hiperbole Geometrijska svojstva hiperbole Međusobni položaj hiperbole i pravca koji prolazi njezinim središtem Asimptote

Sažetak predavanja 13 ELIPSA, HIPERBOLA I PARABOLA 0. Plan predavanja Predavanje Elipsa, hiperbola i parabola. 1. Elipsa. 1.1. Definicija elipse; 1.2. Definicija kanonskog koordinatnog sustava; 1.3. Derivacija jednadžbe

MODUL ELIPSE HIPERBOLE PARABOLE Vježbena nastava Tema: Plan elipse Definicija i kanonska jednadžba elipse Geometrijska svojstva elipse Ekscentričnost Ovisnost oblika elipse o ekscentričnosti

DRUGI ZADATAK 1. Pravac na ravnini. 1. Dva su pravca zadana vektorskim jednadžbama (, rn) = D i r= r + a, gdje je (an,) 0. Nađite radijus vektor točke presjeka pravaca. 0 t. Zadana je točka M 0 s radijus vektorom

Krivulje drugog reda. Definicija: Pravac krivulje) drugog reda je skup (M) točaka ravnine, čije kartezijeve koordinate X, Y) zadovoljavaju algebarsku jednadžbu drugog stupnja:,

ALGEBARSKI PRAVCI NA RAVNINI.

Elipsa i njezina svojstva Definicija.. Elipsa je krivulja drugog reda definirana u nekom pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu jednadžbom b, b 0. (.) Jednakost (.) naziva se kanonskom

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Predavanje 9 ELIPSA, HIPERBOLA I PARABOLA 1. Kanonička jednadžba elipse Definicija

ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE ZAPISANJE RAVNINE U TRODIMENZIONALNOM PROSTORU Napišite vektorsku jednadžbu ravnine i objasnite značenje veličina koje u njoj ulaze.

Lekcija 12 Elipsa, hiperbola i parabola. Kanonske jednadžbe. Elipsa je geometrijsko mjesto točaka M u ravnini za koje je zbroj udaljenosti od dviju fiksnih točaka F 1 i F 2, tzv.

LINEARNA ALGEBRA Predavanje Jednadžbe krivulja drugog reda Kružnica Definicija Kružnica je geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od jedne točke, koja se naziva središte kružnice, na udaljenosti r

Uralsko federalno sveučilište, Institut za matematiku i računarstvo, Odjel za algebru i diskretnu matematiku Uvodne napomene U ovom predavanju proučavamo treću krivulju parabole drugog reda.

Predavanje 9.30 Poglavlje Analitička geometrija na ravnini Koordinatni sustavi na ravnini Pravokutni i polarni koordinatni sustavi Koordinatni sustav na ravnini je metoda koja vam omogućuje određivanje

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije Yaroslavl State University P. G. Demidova Zavod za algebru i matematičku logiku S. I. Yablokova Krivulje drugog reda Dio Praktikum

Tema ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE NA RAVNINI I U PROSTORU Predavanje.. Ravnice na ravnini Plan. Metoda koordinata u ravnini. Pravac u Kartezijevim koordinatama. Uvjet paralelnosti i okomitosti.

Linearna algebra i analitička geometrija Tema: Krivulje drugog reda Predavač Rozhkova S.V. 01 15. Krivulje drugog reda Krivulje drugog reda dijele se na 1) degenerirane i) nedegenerirane Degenerirane

Predavanje 11 1. KONIČNI PRESJECI 1.1. Definicija. Promotrimo presjek pravilnog kružnog stošca ravninom okomitom na generatrisu tog stošca. Na različite vrijednosti kut α na vrhu u aksij

Predavanje 9 1. KONUŠNI PRESJECI 1.1. Definicija. Promotrimo presjek pravilnog kružnog stošca ravninom okomitom na generatrisu tog stošca. Za različite vrijednosti kuta α na vrhu u aksij

Uralsko federalno sveučilište, Institut za matematiku i računarstvo, Odjel za algebru i diskretnu matematiku Uvodne napomene U ovom predavanju proučavamo drugu krivulju drugog reda, hiperbolu.

Vježba 14 Tema: Parabola Okvirni sadržaj 1. Definicija i kanonska jednadžba parabole.Geometrijska svojstva parabole. Relativni položaj parabole i pravca koji prolazi kroz njezino središte. Glavni

A N A L I T I C E S K I G O M E T R I I krivulje drugog reda SHIMANCHUK Dmitry Viktorovich [e-mail zaštićen] Državno sveučilište St. Petersburg Fakultet primijenjene matematike procesa

Matrice 1 Zadane matrice i Nađi: a) A + B; b) 2B; c) B T ; d) AB T ; e) B T A Rješenje a) Po definiciji zbroja matrica b) Po definiciji umnoška matrice s brojem c) Po definiciji transponirane matrice

OPCIJA 1 1 Odredite nagib k pravca koji prolazi kroz točke M 1 (18) i M (1); napiši jednadžbu pravca u parametarskom obliku Sastavi jednadžbe stranica i medijana trokuta s vrhovima A ()

Test. Zadane su matrice A, B i D. Nađite AB 9D ako je: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Pomnožite matrice A 3 i B 3. Dobiveni bit će C veličine 3 3, koji se sastoji od elemenata

Poglavlje 9 Krivulje na ravnini. Krivulje drugog reda 9. Osnovni pojmovi Kažu da krivulja Γ u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxy ima jednadžbu F (,) \u003d 0 ako točka M (x, y) pripada krivulji u kojoj

Linearna algebra i analitička geometrija Tema: Krivulje drugog reda Predavač Pakhomova E.G. 01 15. Krivulje drugog reda Krivulje drugog reda dijele se na 1) degenerirane i) nedegenerirane Degenerirane

Uralsko savezno sveučilište, Institut za matematiku i računarstvo, Odjel za algebru i diskretnu matematiku

Poglavlje 1. Krivulje i površine drugog reda U svim odjeljcima osim u 1.9, koordinatni sustav je pravokutan. 1.1. Sastavljanje jednadžbi krivulja drugog reda i ostalih krivulja 1. p) Dokažite da skup

Moskovsko državno sveučilište Tehničko sveučilište nazvan po N.E. Odsjek "Fundamentalne znanosti" Fakulteta Bauman Matematičko modeliranje» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

POGLAVLJE 5. ANALITIČKA GEOMETRIJA 5.. Jednadžba pravca na ravnini Jednadžba oblika F(x, y) 0 naziva se jednadžba pravca ako je ta jednadžba zadovoljena koordinatama bilo koje točke koja leži na danoj ravnini

Institut za inženjerstvo i tehnologiju Balakovo - podružnica savezne državne autonomne obrazovne ustanove više obrazovanje"Nacionalno istraživačko nuklearno sveučilište "MEPhI"

Pravci drugog reda Yu. L. Kalinovsky Department of Higher Mathematics University "Dubna" Plan 2 3 4 5 6 7 Pravci drugog reda: geometrijsko mjesto točaka čije kartezijeve koordinate zadovoljavaju jednadžbu

44. Hiperbola Definicija. Hiperbola je skup svih točaka na ravnini čije koordinate u odgovarajućem koordinatnom sustavu zadovoljavaju jednadžbu 2 2 y2 = 1, (1) b2 gdje je b > 0. Ova jednadžba je

Linearna algebra i analitička geometrija Tema: Krivulje drugog reda (nastavak) Predavač Pakhomova E.G. 01 4. Opća definicija elipsa, hiperbola i parabola DEFINICIJA. Izravni a m nazivaju se izravni-

1 Predavanje 1.4. Krivulje i plohe drugog reda Sažetak: Kanonske jednadžbe krivulja izvode se iz definicija: elipse, hiperbole i parabole. Dane su parametarske jednadžbe elipse i hiperbole.

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije Savezni državni proračun obrazovna ustanova viši strukovno obrazovanje"Sibirsko državno industrijsko sveučilište"

Praktični rad Sastavljanje jednadžbi pravaca i krivulja drugog reda Svrha rada: učvrstiti sposobnost crtanja jednadžbi pravaca i krivulja drugog reda Sadržaj rada. Osnovni koncepti. B C 0 vektor

Zadaci za nadoknadu propuštenih sati Sadržaj Tema: Matrice, akcije na njima. Izračunavanje determinanti.... 2 Tema: Inverzna matrica. Rješavanje sustava jednadžbi korištenjem inverzna matrica. Formule

Analitička geometrija 5.. Pravac na ravnini Razni načini zadavanje pravca na ravnini. Opća jednadžba pravca na ravnini. Položaj linije u odnosu na koordinatni sustav. geometrijski smisao

OPCIJA 11 1 Točka M() je osnovica okomice spuštene iz točke N(1-1) na pravac l. Napišite jednadžbu pravca l; pronaći udaljenost od točke N do pravca l Sastaviti jednadžbe pravaca koji mimoilaze

49. Cilindrične i konusne plohe 1. Cilindrične plohe Definicija. Neka su u prostoru zadani pravac l i vektor a različit od nule. Površina koju čine ravne linije koje prolaze kroz različite

Analitička geometrija Analitička geometrija na ravnini. Analitičko geometrijsko rješavanje geometrijskih problema uz pomoć algebre, za što se koristi metoda koordinata. Pod koordinatnim sustavom na ravnini

Opcija 1. Zadatak 1. Dajte geometrijsku definiciju elipse. Zadatak 2. Pomoću maslačkovih kuglica dokažite da elipsa nastaje kao stožasti presjek. Zadatak 3. Dokažite da je skup točaka P, od kojih

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALITIČKA GEOMETRIJA NA RAVNINI Kazan 008 0 Državno sveučilište Kazan Odjel za opću matematiku Sekaeva LR, Tyuleneva ON. ANALITIČKA GEOMETRIJA NA RAVNINI

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije Kazan Državno sveučilište za arhitekturu i građevinarstvo Katedra za višu matematiku Elementi vektorske i linearne algebre. Analitička geometrija.

Analitička geometrija na ravnini Jednadžba pravca je najvažniji pojam analitičke geometrije. y M(x, y) 0 x Definicija. Jednadžba pravca (krivulje) na Oxy ravnini je jednadžba kojoj

Primjeri osnovnih problema LA Sustavi linearnih jednadžbi definirani Gaussovom metodom Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 6

OPCIJA 16 1 Kroz točke M 1 (3 4) i M (6) povučena je ravna crta Nađite sjecišne točke te linije s koordinatnim osima Sastavite jednadžbe stranica trokuta za koje su točke A (1 ) B (3 1) C (0 4) su

Test 3 OPCIJA 1 Napišite jednadžbu pravca koji je okomit i prolazi točkom sjecišta pravaca i .. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke i i pronađite udaljenost od točke

ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE NA RAVNINI. Pravac 1. Izračunaj opseg trokuta čiji su vrhovi točke A(6; 7), B(3; 3), C(1; 5). 2. Nađi točku jednako udaljenu od točaka A(7;

Analitička geometrija Modul 1 Matrična algebra Vektorska algebra Tekst 5 ( samostalno proučavanje) Napomena Kartezijev koordinatni sustav u ravnini i prostoru Formule za udaljenost

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije Rostov Državno sveučilište Fakultet mehanike i matematike Katedra za geometriju Kazak V.V. Radionica iz analitičke geometrije za studente I

ANALITIČKA GEOETRIJA OPĆA JEDNADŽBA RAVNINE. OPD Ravnina je ploha koja ima svojstvo da ako dvije točke pravca pripadaju ravnini, onda sve točke pravca pripadaju datoj.

PREDAVANJE 5 ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE. 1 1. Jednadžba ploha i jednadžba pravaca u prostoru. Geometrijsko značenje jednadžbi U analitičkoj geometriji svaka površina se smatra skupom

Poglavlje 1 PRAVCI I RAVNINE n R. 1.1. Prostori točaka Prethodno se razmatrao aritmetički prostor nizova. U matematici se konačni uređeni skup koordinata može interpretirati ne samo

Testni zadatak iz analitičke geometrije. Semestar 2. Opcija 1 1. Nađite jednadžbe tangenti na kružnicu (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, paralelnu s pravcem 5x 12y + 1 = 0. 2. Napišite jednadžbu tangente

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije Savezna državna autonomna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Federalno sveučilište Kazan (Regija Volga)

Diferencijali visokog reda. Ispitna karta. Matrice, osnovni pojmovi i definicije.. Napišite jednadžbu kružnice ako su točke A (;) i B (-; 6) krajevi jednog od promjera.. Zadani su vrhovi

Moskovsko državno tehničko sveučilište nazvano po N.E. Bauman Fakultet temeljnih znanosti Zavod za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov,

Plohe drugog reda. Površina u trodimenzionalnom prostoru opisuje se jednadžbom oblika F(x; y; z) = 0 ili z = f(x; y). Sjecište dviju ploha određuje liniju u prostoru, tj. linija u prostoru

1. Pravci drugog reda na euklidskoj ravnini.

2. Invarijante jednadžbi pravaca drugog reda.

3. Određivanje vrste pravaca drugog reda iz invarijanti njegove jednadžbe.

4. Pravci drugog reda na afinoj ravnini. Teorem o jedinstvenosti.

5. Središta pravaca drugog reda.

6. Asimptote i promjeri pravaca drugog reda.

7. Svođenje jednadžbi pravaca drugog reda na najjednostavnije.

8. Glavni pravci i promjeri pravaca drugog reda.

BIBLIOGRAFIJA

1. Pravci drugog reda u euklidskoj ravnini.

Definicija:

Euklidska ravnina je prostor dimenzije 2,

(dvodimenzionalni realni prostor).

Pravci drugog reda su pravci presjeka kružnog stošca s ravninama koje ne prolaze kroz njegov vrh.

Ovi se stihovi često nalaze u raznim pitanjima prirodnih znanosti. Na primjer, kretanje materijalne točke pod utjecajem središnjeg polja gravitacije događa se duž jedne od ovih linija.

Ako rezna ravnina siječe sve pravocrtne generatrise jedne šupljine stošca, tada će se u presjeku dobiti pravac tzv. elipsa(Slika 1.1, a). Ako rezna ravnina siječe generatore obiju šupljina konusa, tada će se u presjeku dobiti pravac tzv. hiperbola(slika 1.1.6). I konačno, ako je sekantna ravnina paralelna s jednom od generatora stošca (po 1.1, u- ovo je generator AB), onda u odjeljku dobijete liniju tzv parabola. Riža. 1.1 daje vizualni prikaz o obliku linija koje se razmatraju.

Slika 1.1

Opća jednadžba linije drugog reda ima sljedeći oblik:

(1)

(1*)

Elipsa je skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do dvafiksne točkeF 1 iF 2 ova ravnina, nazvana žarištem, konstantna je vrijednost.

To ne isključuje slučajnost žarišta elipse. Očito ako su fokusi isti, onda je elipsa krug.

Za izvođenje kanonske jednadžbe elipse odabiremo ishodište O kartezijevog koordinatnog sustava u sredini segmenta F 1 F 2 , sjekire Oh i OU izravno kao što je prikazano na sl. 1.2 (ako su trikovi F 1 i F 2 podudaraju, tada se O podudara s F 1 i F 2, i za os Oh može se uzeti bilo koja os koja prolazi O).

Neka duljina segmenta F 1 F 2 F 1 i F 2 redom imaju koordinate (-c, 0) i (c, 0). Označimo sa 2a konstanta navedena u definiciji elipse. Očito je 2a > 2c, tj. a > c ( Ako a M- točka elipse (vidi sl. 1.2), zatim | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a, a budući da je zbroj dviju strana MF 1 i MF 2 trokut MF 1 F 2 više od treće strane F 1 F 2 = 2c, tada je 2a > 2c. Prirodno je isključiti slučaj 2a = 2c, jer je tada točka M koji se nalazi na segmentu F 1 F 2 a elipsa degenerira u segment. ).

Neka M (x, y)(Slika 1.2). Označimo s r 1 i r 2 udaljenosti od točke M na bodove F 1 i F 2 odnosno. Prema definiciji elipse jednakost

r 1 + r 2 = 2a(1.1)

je nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M(x, y) na zadanoj elipsi.

Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo

(1.2)

Iz (1.1) i (1.2) slijedi da omjer

(1.3)

predstavlja nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M s koordinatama x i y na zadanoj elipsi. Stoga se relacija (1.3) može smatrati kao jednadžba elipse. Standardnom metodom "uništavanja radikala" ova se jednadžba svodi na oblik

(1.4) (1.5)

Budući da je jednadžba (1.4). algebarska posljedica jednadžba elipse (1.3), zatim koordinate x i y bilo koja točka M elipsa će također zadovoljiti jednadžbu (1.4). Budući da se "dodatni korijeni" mogu pojaviti tijekom algebarskih transformacija povezanih s uklanjanjem radikala, moramo biti sigurni da bilo koja točka M,čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (1.4) nalazi se na zadanoj elipsi. Za to je očito dovoljno dokazati da su veličine r 1 i r 2 za svaku točku vrijedi relacija (1.1). Pa neka koordinate x i na bodova M zadovoljavaju jednadžbu (1.4). Zamjena vrijednosti u 2 iz (1.4) na desnu stranu izraza (1.2) za r 1 nakon jednostavnih transformacija nalazimo da Na potpuno isti način nalazimo da (1.6)

tj. r 1 + r 2 = 2a, pa se stoga točka M nalazi na elipsi. Jednadžba (1.4) naziva se kanonska jednadžba elipse. Količine a i b nazivaju se redom velike i male poluosi elipse(Naziv "veliki" i "mali" objašnjava se činjenicom da a > b).

Komentar. Ako poluosi elipse a i b jednaki, tada je elipsa krug čiji je radijus jednak R = a = b, a središte se poklapa s ishodištem.

Hiperbola je skup točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dviju fiksnih točaka,F 1 iF 2 ova ravnina, nazvana žarištem, je konstantna vrijednost ( Fokusira F 1 i F 2 prirodno je smatrati hiperbole različitima, jer ako konstanta navedena u definiciji hiperbole nije jednaka nuli, tada ne postoji niti jedna točka ravnine kada F 1 i F 2 , koji bi zadovoljio zahtjeve definicije hiperbole. Ako je ova konstanta nula i F 1 poklapa se s F 2 , tada bilo koja točka ravnine zadovoljava zahtjeve definicije hiperbole. ).

Za izvođenje kanonske jednadžbe hiperbole odabiremo ishodište koordinata u sredini segmenta F 1 F 2 , sjekire Oh i OU izravno kao što je prikazano na sl. 1.2. Neka duljina segmenta F 1 F 2 je jednako 2s. Zatim u odabranom koordinatnom sustavu točke F 1 i F 2 redom imaju koordinate (-s, 0) i (s, 0) Označimo s 2 a konstanta na koju se odnosi definicija hiperbole. Očito 2a< 2с, т. е. a< с.

Neka M- točka ravnine s koordinatama (x, y)(Slika 1.2). Označimo s r 1 i r 2 udaljenosti MF 1 i MF 2 . Prema definiciji hiperbole jednakost

(1.7)

je nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M na zadanoj hiperboli.

Koristeći izraze (1.2) za r 1 i r 2 i relaciju (1.7), dobivamo sljedeće nužan i dovoljan uvjet za položaj točke M s koordinatama x i y na zadanoj hiperboli:

. (1.8)

Standardnom metodom "uništavanja radikala" jednadžbu (1.8) svodimo na oblik

(1.9) (1.10)

Moramo paziti da jednadžba (1.9), dobivena algebarskim transformacijama jednadžbe (1.8), nije dobila nove korijene. Da bismo to učinili, dovoljno je dokazati da za svaku točku M, koordinate x i na koje zadovoljavaju jednadžbu (1.9), veličine r 1 i r 2 zadovoljavaju relaciju (1.7). Provodeći argumente slične onima koji su izneseni pri izvođenju formula (1.6), nalazimo sljedeće izraze za količine r 1 i r 2 koji nas zanimaju:

(1.11)

Dakle, za razmatranu točku M imamo

, te se stoga nalazi na hiperboli.

Jednadžba (1.9) naziva se kanonska jednadžba hiperbole. Količine a i b nazivaju se stvarnim, odnosno imaginarnim. poluosi hiperbole.

parabola je skup točaka u ravnini za koje je udaljenost do neke fiksne točkeFta je ravnina jednaka udaljenosti do neke fiksne linije, koja se također nalazi u razmatranoj ravnini.

(MIF-2, br. 3, 2005.)

Pravci drugog reda na ravnini

P. 1. Definicija pravca drugog reda

Razmotrimo ravninu na kojoj je određen pravokutni Kartezijev koordinatni sustav (XOY). Tada je svaka točka M jednoznačno određena svojim koordinatama (x, y). Osim toga, bilo koji par brojeva (x, y) definira neku točku na ravnini. Koordinate točaka mogu zadovoljiti neke uvjete, na primjer, neku jednadžbu f(x, y)=0 u odnosu na nepoznanice (x, y). U ovom slučaju se kaže da jednadžba f(x, y)=0 definira neki lik na ravnini. Razmotrite primjere.

Primjer 1 Razmotrite funkciju g= f( x). Koordinate točaka grafa ove funkcije zadovoljavaju jednadžbu g– f( x) = 0.

Primjer 2 Jednadžba (*), gdje je a, b, c su neki brojevi koji određuju određenu ravnu liniju na ravnini. (Jednadžbe oblika (*) nazivaju se linearni).

Primjer 3 Grafikon hiperbole sastoji se od točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu https://pandia.ru/text/80/134/images/image004_92.gif" width="161" height="25">.

Definicija 1. Jednadžba oblika (**), gdje je barem jedan od koeficijenata DIV_ADBLOCK75">

Razmotrit ćemo geometrijske i fizička svojstva gore spomenute linije. Počnimo s elipsom.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image008_54.gif" width="79" height="44 src="> (1).

Jednadžba (1) naziva se kanonski jednadžba elipse.

O obliku elipse može se suditi prema slici 1.

Neka . Bodovi se zovu trikovi elipsa. Brojna zanimljiva svojstva povezana su s trikovima, o kojima ćemo govoriti u nastavku.

Definicija 4. Hiperbola naziva se lik na ravnini čije koordinate svih točaka zadovoljavaju jednadžbu

(2).

Jednadžba (2) naziva se kanonski hiperbolična jednadžba. O obliku hiperbole može se suditi prema slici 2.

Neka . Bodovi se zovu trikovi hiperbola. Parametar a nazvao važeći, i parametar b- zamišljena poluos hiperbola, odnosno. vol je stvaran, i oy je zamišljena os hiperbole.

https://pandia.ru/text/80/134/images/image016_34.gif" width="61" height="41"> nazivaju se asimptote. Na velike vrijednosti parametar x točke asimptota se beskonačno približavaju granama hiperbole. Na slici 2 asimptote su prikazane isprekidanim linijama.

Definicija 5. Parabola je lik u ravnini čije koordinate svih točaka zadovoljavaju jednadžbu

https://pandia.ru/text/80/134/images/image018_28.gif" width="47" height="45 src=">.

Odjeljak 3. Svojstva LCS žarišta

Za svaki LVP u odjeljku 2. posebne točke bile su trikovi. Ove točke igraju veliku ulogu u objašnjavanju važnih svojstava elipse, hiperbole i parabole. Ova svojstva formuliramo u obliku teorema.

Teorema. jedan. Elipsa je skup točakaM, tako da je zbroj udaljenosti od tih točaka do žarišta 2a:

https://pandia.ru/text/80/134/images/image020_26.gif" width="115" height="23 src="> (5).

Kako bismo formulirali slično svojstvo za parabolu, definiramo ravnateljice. Ravno je d, dana jednadžbom https://pandia.ru/text/80/134/images/image022_23.gif" width="103" height="21 src="> (6).

Točka 4. Fokusi i tangente

https://pandia.ru/text/80/134/images/image024_24.gif" align="right" width="322" height="386 src=">.gif" width="52" height="24 src="> pripada odgovarajućem HDL-u. Ispod su jednadžbe tangenti koje prolaze kroz ovu točku:

– za elipsu, (7)

– za hiperbolu, (8)

za parabolu. (9)

Ako povučemo segmente iz oba žarišta (nazivaju se žarišni radijusi točkice), onda izvanredan vlasništvo(vidi sl. 5 i 6): žarišni polumjeri čine jednake kutove s tangentom povučenom u toj točki.

Ovo svojstvo ima zanimljivu fizičku interpretaciju. Na primjer, ako konturu elipse smatramo zrcalnom, tada, zrake svjetlosti iz točkastog izvora smještene u jednom od njegovih žarišta, nakon refleksije od stijenki konture, nužno će proći kroz drugi fokus.

velik praktičnu upotrebu dobio je slično svojstvo za parabolu. Činjenica je da žarišni radijus bilo koje točke parabole čini kut s tangentom povučenom na tu točku jednak kutu između tangente i osi parabole.

Fizički, to se tumači na sljedeći način: zrake točke smještene u žarištu parabole, nakon refleksije od njezinih stijenki, šire se paralelno s osi simetrije parabole. Zato zrcala lampiona i reflektora imaju parabolični oblik. Usput, ako u nju uđe struja svjetlosti (radiovalovi) paralelna s osi parabole, tada će, nakon refleksije od zidova, sve njegove zrake proći kroz fokus. Svemirske komunikacijske postaje i radari rade na tom principu.

P. 5. Još malo fizike

HDL su pronašli široku primjenu u fizici i astronomiji. Tako je utvrđeno da se jedno relativno lagano tijelo (primjerice satelit) giba u gravitacijskom polju masivnijeg tijela (planete ili zvijezde) po putanji koja je jedna od LCS. U ovom slučaju, masivnije tijelo je u fokusu ove putanje.

Ta su svojstva najprije detaljno proučavana Johannes Kepler a nazvani su Keplerovi zakoni.

Kontrolni zadatak br.1 za učenike 10. razreda

Pitanja za samotestiranje (5 bodova po zadatku)

M.10.1.1. Definirajte HDL. Navedite neke primjere jednadžbi koje definiraju LTL.

M.10.1.2. Izračunajte koordinate žarišta a) elipse, b) hiperbole, ako a=13, b=5.

M.10.1.3. Sastavite kanonsku jednadžbu a) elipse, b) hiperbole, ako je poznato da taj pravac prolazi točkama s koordinatama (5, 6) i (-8, 7).

M.10.1.4. Provjerite da se pravac zadan jednadžbom (9) stvarno siječe s parabolom zadanom jednadžbom (3) samo u točki s koordinatama . ( indikacija: prvo spojite jednadžbu tangente u jednadžbu parabole, a zatim provjerite je li diskriminant dobivene kvadratne jednadžbe nula.)

M.10.1.5. Napišite jednadžbu tangente na hiperbolu s realnom poluosi 8 i imaginarnom - 4 u točki s koordinatom x=11 ako je druga koordinata točke negativna.

Praktični rad (10 bodova)

M.10.1.6. Nacrtajte neke elipse sljedeća metoda: pričvrstite list papira za šperploču i zalijepite par gumba u papir (ali ne do kraja). Uzmite komad konca i zavežite krajeve. Dobivenu petlju bacite na oba gumba (trikovi buduće elipse), oštrim krajem olovke povucite konac i pažljivo povucite crtu, pazeći da konac bude zategnut. Promjenom veličine petlje možete izgraditi više konfokalnih elipsa. Pokušajte uz pomoć teorema 1 objasniti da su dobivene crte zapravo elipse i objasnite kako, znajući udaljenost između gumba i duljinu niti, možete izračunati poluosi elipse.

U kartezijevim koordinatama jednadžba prvog stupnja definira neku ravnu liniju.

Pravci koji su definirani u kartezijevim koordinatama jednadžbom prvog stupnja nazivaju se pravcima prvog reda. Stoga je svaki red red prvog reda.

Opća jednadžba pravca(kao opća jednadžba prvog stupnja) određena je jednadžbom oblika:

Oh + Wu + IZ = 0.

Razmotrimo nepotpune jednadžbe pravca.

1. IZ= 0. Jednadžba pravca ima oblik: Ah + Wu = 0; linija prolazi kroz ishodište.

2. NA = 0 (ALI¹ 0). Jednadžba izgleda ovako Oh + IZ= 0 ili x =a, gdje a= Pravac prolazi točkom ALI(a; 0), paralelna je s osi OU. Broj a Oh(Sl. 1).

Riža. jedan

Ako a a= 0, tada se pravac poklapa s osi OU. Jednadžba osi y ima oblik: x = 0.

3. ALI = 0 (NA¹ 0). Jednadžba izgleda ovako: Wu + IZ= 0 ili na = b, gdje b= . Pravac prolazi točkom NA(0; b), paralelna je s osi Oh. Broj b je vrijednost segmenta koji odsijeca ravnu liniju na osi OU(slika 2).

Riža. 2

Ako je b = 0, tada se pravac poklapa s osi apscisa Ox. Jednadžba x-osi Ox ima oblik: y \u003d 0.

Jednadžba pravca u segmentima na osi određuje se jednadžbom:

Gdje su brojke a i b su vrijednosti segmenata odsječenih ravnom linijom na koordinatnim osima (slika 3).

(x 0 ;na 0)okomito na vektor normale = {A; B), određuje se formulom:

ALI(x – x 0) + NA(na – na 0) = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M(x 0 ; na 0) paralelno s vektorom smjera = {l; m), ima oblik:

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke M 1 (x 1 ; na 1) i M 2 (x 2 ; na 2) određena je jednadžbom:

Nagib pravca k naziva se tangens kuta nagiba pravca na os Oh, koji se mjeri od pozitivnog smjera osi do ravne crte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, k= tanα.

Jednadžba pravca s nagibom k izgleda kao:

y = kx + b,

gdje k= tanα, b- vrijednost segmenta odsječenog ravnom linijom na osi OU(slika 4).

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M(x 0 ;na 0)u ovom smjeru(nagib k poznat), određuje se formulom:

y - y 0 = k(x –x 0).

Jednadžba niza pravaca koji prolaze kroz zadanu točku M(x 0 ;na 0) (nagib k nepoznat), određuje se formulom:

y - y 0 = k(x –x 0).

Jednadžba niza pravaca koji prolaze kroz točku sjecišta pravaca

ALI 1 x + NA 1 na + IZ 1 = 0 i ALI 2 x + NA 2 na + IZ 2 = 0, određeno formulom:

α( ALI 1 x + NA 1 na + IZ 1) + β( ALI 2 x + NA 2 na + IZ 2) = 0.

Kutak j, računajući u smjeru suprotnom od kazaljke na satu od ravne linije y = k 1 x + b 1 na ravno y = k 2 x + b 2 određuje se formulom (slika 5):

Za pravce zadane općim jednadžbama ALI 1 x + NA 1 na + IZ 1 = 0 i ALI 2 x + NA 2 na + IZ 2 = 0, kut između dviju ravnih linija određen je formulom:

Uvjet paralelnosti za dva pravca ima oblik: k 1 = k 2 ili .

Uvjet okomitosti dvaju pravaca ima oblik: ili ALI 1 ALI 2 + NA 1 NA 2 = 0.

Normalna jednadžba pravca ima oblik:

x cos + g grijeh- str = 0,

gdje p- duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu, α je kut nagiba okomice na pozitivan smjer osi Oh(slika 6).

Dati opću jednadžbu ravne linije Oh + Wu + IZ= 0 u normalan oblik, trebate pomnožiti sve njegove članove s normalizirajući faktor μ= , uzeto sa suprotnim predznakom slobodnog člana IZ.

Udaljenost od točke M(x 0 ;na 0)uspravno ah + Wu + IZ= 0 određuje se formulom:

Jednadžbe simetrala kutova između ravnih A 1 x + NA 1 na + IZ 1 = 0 i ALI 2 x + NA 2 na + IZ 2 = 0 imaju oblik:

Primjer 4. S obzirom na vrhove trokuta ABC: ALI (–5; –7), NA (7; 2), IZ(–6; 8). Nađi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe strana AB i AC i njihove padine; 3) unutarnji kut NA; 4) jednadžba medijana AE; 5) jednadžba i visinska dužina CD; 6) jednadžba simetrale AK; 7) jednadžba pravca koji prolazi točkom E paralelno sa stranom AB; 8) koordinate točke M smještena simetrično u odnosu na točku ALI relativno ravno CD.

1. Udaljenost d između dvije točke ALI(x 1 ; na 1) i NA(x 2 ; na 2) određuje se formulom:

Nađi duljinu stranice AB kao udaljenost između dvije točke ALI(-7; -8) i NA(8; –3):

2. Jednadžba pravca koji prolazi točkama ALI(x 1 ; na 1) i NA(x 2 ;g 2) ima oblik:

Zamjena koordinata točke ALI i NA, dobivamo jednadžbu strane AB:

3(x+ 5) = 4(na+ 7); 3x– 4na– 13 = 0 (AB).

Da pronađem nagib k AB ravno ( AB) rješavamo dobivenu jednadžbu s obzirom na na:

4g= 3x– 13;

je jednadžba ravne linije ( AB) s kutnim koeficijentom,

Slično, zamjena koordinata točaka NA i IZ, dobivamo jednadžbu ravne linije ( Sunce):

6x– 42 = –13na+ 26; 6x + 13g– 68 = 0 (PRIJE KRISTA).

Riješimo jednadžbu ravne linije ( Sunce)relativno na: .

3. Tangens kuta j između dviju ravnih linija čiji su nagibi jednaki k 1 i k 2 određuje se formulom:

Unutarnji kut NA formirana od ravnih linija ( AB) i ( Sunce), a to je šiljasti kut za koji se pravac mora zarotirati Sunce u pozitivnom smjeru (suprotno od kazaljke na satu) dok se ne poklopi s ravnom linijom ( AB). Stoga zamjenjujemo u formulu k 1 = , k 2 = :

Ð NA= arctan = arctan 1,575 » 57,59°.

4. Da biste pronašli medijanu jednadžbu ( AE), prvo odredimo koordinate točke E, koja je središte stranice Sunce. Da bismo to učinili, primjenjujemo formule za dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela:

Otuda i točka E ima koordinate: E(0,5; 5).

Zamjena koordinata točaka u jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke ALI i E, nalazimo srednju jednadžbu ( AE):

24x – 11na + 43 = 0 (AE).

5. Jer visina CD okomito na stranu AB, zatim ravna linija ( AB) je okomit na pravac ( CD). Da bismo pronašli nagib visine CD, koristimo uvjet okomitosti dviju linija:

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M(x 0 ; na 0) u datom smjeru (nagib k poznato), izgleda ovako:

g 0 = k (x-x 0).

Zamjena koordinata točke u posljednju jednadžbu IZ(–6; 8) i , dobivamo jednadžbu visine CD:

na – 8 = (X -(–6)), 3na – 24 = – 4x– 24, 4x + 3na = 0 (CD).

Udaljenost od točke M(x 0 ; na 0) na ravno Sjekira + By + C = 0 se određuje formulom:

Duljina visine CD nađi kao udaljenost od točke IZ(–6; 8) na ravnu liniju ( AB): 3x – 4na– 13. Zamjenom potrebnih vrijednosti u formulu, nalazimo duljinu CD:

6. Jednadžbe simetrala kutova između ravnih pravaca Sjekira + Po + C= 0 i
ALI 1 x+B 1 g + C 1 = 0 određuju se formulom:

Jednadžba simetrale AK nalazimo kao jednu od jednadžbi simetrala kutova između pravaca ( AB)i ( AC).

Napišimo jednadžbu ravne linije ( AC) kao jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke ALI(-5; -7) i IZ (–6; 8):

Transformirajmo posljednju jednadžbu:

15(x+ 5) = – (na+ 7); 15x + y + 82 = 0 (KAO).

Zamjenom koeficijenata iz opće jednadžbe direktno ( AB)i ( AC), dobivamo jednadžbe simetrala kutova:

Transformirajmo posljednju jednadžbu:

; (3x – 4na– 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 X - 4 na– 13 = ± (75 x +5na + 410).

Razmotrimo dva slučaja:

1) 3 X - 4 na – 13 = 75x +5na+ 410.y l AB.

Trokut ABC, visina CD, medijan AE, simetrala AK, ravno l i točka M izgrađen u koordinatnom sustavu Ohu(slika 7).