روشی برای حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک در نظر گرفته شده است. مثالی از حل تفصیلی یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک داده شده است.

محتوا

تعریف

اجازه دهید s (ایکس)، ق (ایکس)- توابع متغیر x.
پ (y)، ر (y)- توابع متغیر y.

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، معادله ای از فرم است

روش حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله را در نظر بگیرید:
(من) .
اجازه دهید مشتق y را بر حسب دیفرانسیل بیان کنیم.
;
.
بیایید در dx ضرب کنیم.
(II)
معادله را بر s تقسیم کنید (x)r(y). این می تواند انجام شود اگر s (x) r(y) ≠ 0. وقتی اس (x) r(y) ≠ 0ما داریم
.
با یکپارچه سازی، انتگرال کلی را در ربع به دست می آوریم
(iii) .

از آنجایی که بر s تقسیم کردیم (x)r(y)، سپس انتگرال معادله s را به دست آوردیم (x) ≠ 0و ر (y) ≠ 0. بعد باید معادله را حل کنید
r (y) = 0.
اگر این معادله دارای ریشه باشد، آنها نیز راه حل معادله (i) هستند. اجازه دهید معادله r (y) = 0. دارای n ریشه a i, r (a i) = 0، من = 1، 2، ...، n. سپس ثابت های y = a i راه حل های معادله (i) هستند. برخی از این راه حل ها ممکن است قبلاً در انتگرال عمومی (iii) موجود باشد.

توجه داشته باشید که اگر معادله اصلی به صورت (ii) آورده شده باشد، باید معادله را نیز حل کنیم
س (x) = 0.
ریشه های آن b j, s (b j ) = 0 j = 1، 2، ...، م. جواب های x = b j را بدهید.

مثالی از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله را حل کنید

بیایید مشتق را از طریق دیفرانسیل بیان کنیم:


ضرب در dx و تقسیم بر. برای y ≠ 0 داریم:

بیایید ادغام کنیم.

انتگرال ها را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم.



با جایگزینی، انتگرال کلی معادله را به دست می آوریم
.

حال مورد را در نظر بگیرید، y = 0 .
بدیهی است y = 0 راه حلی برای معادله اصلی است. در انتگرال کلی گنجانده نشده است.
بنابراین، ما آن را به نتیجه نهایی اضافه می کنیم.

; y = 0 .

منابع:
N.M. گانتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

روشی برای حل معادلات دیفرانسیل که می تواند به معادلات با متغیرهای قابل تفکیک تقلیل یابد در نظر گرفته شده است. مثالی از حل تفصیلی یک معادله دیفرانسیل که به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد آورده شده است.

محتوا

فرمول بندی مسئله

معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید
(من) ,
در جایی که f یک تابع است، a، b، c ثابت هستند، b ≠ 0 .
این معادله به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد.

روش حل

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
u = تبر + توسط + c
در اینجا y تابعی از متغیر x است. بنابراین u نیز تابعی از متغیر x است.
با توجه به x افتراق دهید
u = (تبر + توسط + ج)" = a + با"
جایگزین کنیم (من)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f (u)
یا:
(II)
بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم. ضرب در dx و تقسیم بر a + b f (u). اگر a + b f (u) ≠ 0، آن

با ادغام، انتگرال کلی معادله اصلی را بدست می آوریم (من)در مربعات:
(iii) .

در نتیجه، مورد را در نظر بگیرید
(IV) a + b f (u) = 0.
فرض کنید این معادله دارای n ریشه u = r i، a + b f است (ri) = 0، من = 1، 2، ... n. از آنجایی که تابع u = r i ثابت است، مشتق آن نسبت به x برابر با صفر است. بنابراین u = r i یک راه حل برای معادله است (II).
با این حال، معادله (II)با معادله اصلی منطبق نیست (من)و شاید همه راه حل های u = r i بیان شده بر حسب متغیرهای x و y معادله اصلی را برآورده نکنند. (من).

بنابراین، راه حل معادله اصلی، انتگرال کلی است (iii)و برخی از ریشه های معادله (IV).

مثالی از حل معادله دیفرانسیل که به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد

معادله را حل کنید
(1)

بیایید یک جایگزین انجام دهیم:
u = x - y
ما با توجه به x متمایز می کنیم و تبدیل ها را انجام می دهیم:
;

ضرب در dx و تقسیم بر u 2 .

اگر شما ≠ 0، سپس دریافت می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

ما فرمول جدول انتگرال ها را اعمال می کنیم:

انتگرال را محاسبه کنید

سپس
;
، یا

تصمیم مشترک:
.

حال مورد u = را در نظر بگیرید 0 ، یا u = x - y = 0 ، یا
y = x.
از آنجایی که y = (x)′ = 1، سپس y = x یک راه حل برای معادله اصلی است (1) .

;
.

منابع:
N.M. گانتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.

اغلب صرف ذکر معادلات دیفرانسیل احساس ناخوشایندی به دانش آموزان می دهد. چرا این اتفاق می افتد؟ بیشتر اوقات ، زیرا هنگام مطالعه اصول اولیه مواد ، شکاف دانشی ایجاد می شود که به همین دلیل مطالعه بیشتر پخش کننده ها به سادگی به شکنجه تبدیل می شود. معلوم نیست چه باید کرد، چگونه تصمیم گرفت، از کجا شروع کرد؟

با این حال، ما سعی خواهیم کرد به شما نشان دهیم که دیفیوزرها آنقدرها هم که به نظر می رسد دشوار نیستند.

مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل

از مدرسه ما ساده ترین معادلات را می دانیم که در آنها باید مجهول x را پیدا کنیم. در حقیقت معادلات دیفرانسیلفقط کمی متفاوت از آنها - به جای یک متغیر ایکس باید یک تابع در آنها پیدا کنید y(x) ، که معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

معادلات دیفرانسیلاهمیت عملی زیادی دارند. این ریاضیات انتزاعی نیست که هیچ ارتباطی با دنیای اطراف ما ندارد. بسیاری از فرآیندهای طبیعی واقعی با استفاده از معادلات دیفرانسیل توصیف می شوند. به عنوان مثال، ارتعاشات یک رشته، حرکت یک نوسانگر هارمونیک، با استفاده از معادلات دیفرانسیل در مسائل مکانیک، سرعت و شتاب یک جسم را پیدا می کند. همچنین DUبه طور گسترده در زیست شناسی، شیمی، اقتصاد و بسیاری از علوم دیگر استفاده می شود.

معادله دیفرانسیل (DU) معادله ای است شامل مشتقات تابع y(x)، خود تابع، متغیرهای مستقل و سایر پارامترها در ترکیبات مختلف.

معادلات دیفرانسیل انواع مختلفی دارند: معادلات دیفرانسیل معمولی، خطی و غیرخطی، همگن و ناهمگن، معادلات دیفرانسیل درجه یک و بالاتر، معادلات دیفرانسیل جزئی و غیره.

حل معادله دیفرانسیل تابعی است که آن را به یک هویت تبدیل می کند. راه حل های کلی و خاص کنترل از راه دور وجود دارد.

یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل مجموعه ای کلی از راه حل ها است که معادله را به یک هویت تبدیل می کند. حل جزئی یک معادله دیفرانسیل راه حلی است که شرایط اضافی مشخص شده در ابتدا را برآورده می کند.

ترتیب یک معادله دیفرانسیل با بالاترین مرتبه مشتقات آن تعیین می شود.

معادلات دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل معمولیمعادلات حاوی یک متغیر مستقل هستند.

بیایید ساده ترین معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را در نظر بگیریم. به نظر می رسد:

چنین معادله ای را می توان به سادگی با ادغام سمت راست آن حل کرد.

نمونه هایی از این معادلات:

معادلات قابل تفکیک

که در نمای کلیاین نوع معادله به شکل زیر است:

در اینجا یک مثال است:

هنگام حل چنین معادله ای، باید متغیرها را جدا کنید و آن را به شکل زیر بیاورید:

پس از این، باقی مانده است که هر دو قسمت را یکپارچه کنیم و راه حلی به دست آوریم.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

چنین معادلاتی به نظر می رسد:

در اینجا p(x) و q(x) برخی از توابع متغیر مستقل هستند و y=y(x) تابع مورد نظر است. در اینجا نمونه ای از چنین معادله ای آورده شده است:

هنگام حل چنین معادله ای، اغلب از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنند یا تابع مورد نظر را به عنوان حاصلضرب دو تابع دیگر y(x)=u(x)v(x) نشان می دهند.

برای حل چنین معادلاتی، آماده سازی خاصی لازم است و گرفتن آنها "در یک نگاه" بسیار دشوار خواهد بود.

مثالی از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

بنابراین ما ساده ترین انواع کنترل از راه دور را بررسی کردیم. حال بیایید راه حل یکی از آنها را بررسی کنیم. اجازه دهید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک باشد.

ابتدا، بیایید مشتق را به شکلی آشناتر بازنویسی کنیم:

سپس متغیرها را تقسیم می کنیم ، یعنی در یک قسمت از معادله همه "I" ها را جمع می کنیم و در قسمت دیگر - "X" ها:

اکنون باید هر دو بخش را ادغام کنیم:

ما ادغام می کنیم و یک راه حل کلی برای این معادله به دست می آوریم:

البته حل معادلات دیفرانسیل نوعی هنر است. شما باید بتوانید بفهمید که چه نوع معادله ای است، و همچنین بیاموزید که ببینید چه تحولاتی باید با آن انجام شود تا به یک شکل یا شکل دیگر منجر شود، نه تنها به توانایی تمایز و یکپارچه سازی اشاره کنیم. و برای موفقیت در حل DE، به تمرین نیاز دارید (مانند همه چیز). و اگر دارید این لحظهشما وقت ندارید که بفهمید معادلات دیفرانسیل چگونه حل می شوند، یا مشکل کوشی مانند استخوان در گلوی شما گیر کرده است، یا نمی دانید چگونه یک ارائه را به درستی آماده کنید، با نویسندگان ما تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی راه حل آماده و دقیقی را در اختیار شما قرار خواهیم داد که جزئیات آن را در هر زمانی که برای شما راحت باشد می توانید درک کنید. در ضمن، پیشنهاد می کنیم ویدیویی با موضوع "نحوه حل معادلات دیفرانسیل" تماشا کنید:

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازد. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان امری بازدارنده و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور میتونم از این همه جان سالم به در ببرم؟!

این نظر و این نگرش اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل - ساده و حتی سرگرم کننده است. برای یادگیری نحوه حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی باید بدانید و بتوانید انجام دهید؟ برای مطالعه موفقیت آمیز دیفیوزها، باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. من بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع تقریباً مسلط شده است! هرچه انتگرال های بیشتری از انواع مختلف را بتوانید حل کنید، بهتر است. چرا؟ شما باید خیلی ادغام کنید. و متمایز کند. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر

در 95 درصد موارد در تست ها 3 نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد: معادلات قابل تفکیککه در این درس به آن خواهیم پرداخت؛ معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای کسانی که شروع به مطالعه دیفیوزرها می کنند، به شما توصیه می کنم که درس ها را دقیقاً به این ترتیب بخوانید و پس از مطالعه دو مقاله اول، تثبیت مهارت های خود در یک کارگاه اضافی ضرری ندارد - معادلات کاهش به همگن.

حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات دیفرانسیل کل، معادلات برنولی و برخی دیگر. مهمترین دو نوع آخر معادلات در مجموع دیفرانسیل هستند، زیرا علاوه بر این معادله دیفرانسیل، مواد جدیدی را نیز در نظر دارم - ادغام جزئی.

اگر فقط یک یا دو روز فرصت دارید، آن برای آماده سازی فوق العاده سریعوجود دارد دوره رعد اسادر قالب pdf

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند - بیایید برویم:

ابتدا معادلات جبری معمول را به خاطر می آوریم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه اعداد، که این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان متوجه شد که معادله کودکان یک ریشه دارد: . فقط برای سرگرمی، بیایید ریشه پیدا شده را بررسی کرده و در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفیوزرها تقریباً به همین شکل طراحی شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اولبه طور کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی معادلات مرتبه اول ممکن است "x" و/یا "y" وجود نداشته باشد، اما این مهم نیست - مهمبرای رفتن به اتاق کنترل بودمشتق اول، و نداشتمشتقات مرتبه بالاتر – و غیره

یعنی چی؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن مجموعه ای از تمام توابع، که این معادله را برآورده می کند. چنین مجموعه ای از توابع اغلب دارای شکل (- یک ثابت دلخواه) است که نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل از کجا شروع کنیم راه حل?

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. ما نام دست و پا گیر را به یاد می آوریم، که احتمالاً بسیاری از شما مضحک و غیر ضروری به نظر می رسید. این چیزی است که در دیفیوزرها حاکم است!

در مرحله دوم، ببینیم آیا امکان پذیر است یا خیر متغیرهای جداگانه؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "یونانی ها"، آ در سمت راستسازمان دادن فقط "X". تقسیم بندی متغیرها با استفاده از دستکاری های "مدرسه" انجام می شود: قرار دادن آنها در داخل پرانتز، انتقال اصطلاحات از قسمتی به قسمت دیگر با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده تناسب و غیره.

دیفرانسیل و ضریب کامل و شرکت کننده فعال در خصومت ها هستند. در مثال مورد بررسی، متغیرها به راحتی با کنار زدن عوامل بر اساس قاعده تناسب از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ فقط "Y" وجود دارد، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعد - ادغام معادله دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو طرف قرار می دهیم:

البته باید انتگرال بگیریم. در این مورد آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم (از آنجایی که ثابت + ثابت همچنان با یک ثابت دیگر برابر است). در بیشتر موارد در سمت راست قرار می گیرد.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی این یک انتگرال کلی است.

پاسخ در این فرم کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه بهتری وجود دارد؟ بیایید برای بدست آوردن تلاش کنیم تصمیم مشترک.

لطفا، تکنیک اول را به خاطر بسپار، بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود: اگر لگاریتمی پس از ادغام در سمت راست ظاهر شود، در بسیاری از موارد (اما نه همیشه!) توصیه می شود که ثابت را نیز زیر لگاریتم بنویسید. و اگر نتیجه فقط لگاریتمی باشد، مطمئناً یادداشت کنید (مانند مثال مورد بررسی).

به این معنا که، بجایمدخل ها معمولا نوشته می شوند .

چرا این لازم است؟ و به منظور سهولت در بیان "بازی". استفاده از خاصیت لگاریتم . در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

پاسخ: تصمیم مشترک: .

بررسی پاسخ به بسیاری از معادلات دیفرانسیل نسبتاً آسان است. در مورد ما، این به سادگی انجام می شود، ما راه حل پیدا شده را می گیریم و آن را متمایز می کنیم:

سپس مشتق را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل کلی معادله را برآورده می کند، این همان چیزی است که باید بررسی شود.

ثابت دادن معانی مختلف، می توانید بی نهایت تعداد زیادی بدست آورید راه حل های خصوصیمعادله دیفرانسیل. واضح است که هر یک از توابع، و غیره. معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. که در در این مثالتصمیم مشترک خانواده ای از توابع خطی یا به طور دقیق تر، خانواده ای از تناسب مستقیم است.

پس از بررسی کامل مثال اول، مناسب است به چندین سوال ساده در مورد معادلات دیفرانسیل پاسخ دهیم:

1)در این مثال توانستیم متغیرها را از هم جدا کنیم. آیا می توان این کار را همیشه انجام داد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات، متغیرها قابل تفکیک نیستند. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگن، ابتدا باید آن را تعویض کنید. در انواع دیگر معادلات، برای مثال، در یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول، باید از تکنیک ها و روش های مختلفی برای یافتن یک راه حل کلی استفاده کنید. معادلات با متغیرهای قابل تفکیک که در درس اول بررسی می کنیم، ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه بدست آوردن یک معادله "فانتزی" که قابل ادغام نباشد بسیار آسان است؛ علاوه بر این، انتگرال هایی وجود دارند که نمی توان آنها را گرفت. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. دالامبر و کوشی ضمانت می کنند... ...اوه، لورکمور. برای اینکه الان زیاد بخوانم، تقریباً «از دنیای دیگر» را اضافه کردم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آوردیم . آیا همیشه می توان از یک انتگرال کلی یک راه حل کلی پیدا کرد، یعنی «y» را به صراحت بیان کرد؟نه همیشه نه مثلا: . خوب، چگونه می توان "یونانی" را در اینجا بیان کرد؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

4) ... شاید فعلا همین کافی باشد. در اولین مثالی که با آن مواجه شدیم یکی دیگه نکته مهم ، اما برای اینکه "دومیک ها" را با بهمنی از اطلاعات جدید پوشش ندهم، آن را تا درس بعدی می گذارم.

ما عجله نخواهیم کرد یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر:

مثال 2

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

راه حل: با توجه به شرایط، باید پیدا کنید راه حل خصوصی DE که یک شرط اولیه معین را برآورده می کند. به این صورت بندی سوال نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید گیج شود، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان از هم جدا کرد، پسران به چپ، دختران به راست:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا من یک ثابت را با یک ستاره رسم کرده ام، واقعیت این است که خیلی زود به ثابت دیگری تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (y را به صراحت بیان کنید). بیایید چیزهای خوب قدیمی مدرسه را به یاد بیاوریم: . در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نوعی نامطلوب به نظر می رسد، بنابراین معمولاً به زمین منتقل می شود. در جزئیات، این نحوه اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، پس مقداری هم ثابت است، بیایید آن را با حرف دوباره طراحی کنیم:
- در این مورد ماژول را حذف می کنیم، پس از آن ثابت "ce" می تواند هم مثبت و هم مثبت باشد مقادیر منفی

به یاد داشته باشید "تخریب" یک ثابت است تکنیک دومکه اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود. در نسخه تمیز می توانید بلافاصله از آن بروید به، اما همیشه برای توضیح این انتقال آماده باشید.

بنابراین، راه حل کلی این است: . این یک خانواده خوب از توابع نمایی است.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار ثابت به طوری که شرط برآورده شود.

می توان آن را به روش های مختلف قالب بندی کرد، اما این احتمالا واضح ترین راه خواهد بود. در جواب کلی، به جای «X» یک صفر و به جای «Y» دو را جایگزین می کنیم:



به این معنا که،

نسخه طراحی استاندارد:

اکنون مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

پاسخ: راه حل خصوصی:

بیایید بررسی کنیم. بررسی راه حل خصوصی شامل دو مرحله است:

ابتدا باید بررسی کنید که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "X" یک صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، در واقع یک دو دریافت شد، یعنی شرط اولیه برقرار است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

معادله اصلی را جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شد.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ما ارزیابی می کنیم که آیا امکان جداسازی متغیرها وجود دارد؟ می توان. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و ضرایب را طبق قاعده تناسب انتقال می دهیم:

متغیرها از هم جدا هستند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز قیامت نزدیک است. اگر خوب درس نخوانده اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرده اند، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ به راحتی پیدا می شود؛ ما با استفاده از تکنیک استانداردی که در درس به آن نگاه کردیم با انتگرال کوتانژانت سروکار داریم. ادغام توابع مثلثاتیسال گذشته:

در نتیجه ما فقط لگاریتم گرفتیم و طبق اولین توصیه فنی من، ثابت را نیز به عنوان لگاریتم تعریف می کنیم.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. با استفاده از خواص شناخته شدهلگاریتم ها را تا حد امکان "بسته بندی" می کنیم. من آن را با جزئیات کامل می نویسم:

بسته بندی تمام شده است تا به طرز وحشیانه ای پاره شود:
، و بلافاصله ارائه می دهیم انتگرال کلیبه هر حال، تا زمانی که این امکان وجود داشته باشد:

به طور کلی، انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

در اصل، این شاهکار را می توان به عنوان یک پاسخ نوشت، اما در اینجا همچنان مناسب است که هر دو قسمت را مربع کنیم و ثابت را دوباره طراحی کنیم:

پاسخ:انتگرال عمومی:

! توجه داشته باشید: انتگرال عمومی اغلب می تواند به بیش از یک روش نوشته شود. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشته باشد، به این معنی نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

آیا می توان "بازی" را بیان کرد؟ می توان. بیایید راه حل کلی را بیان کنیم:

البته، نتیجه به دست آمده برای پاسخ مناسب است، اما توجه داشته باشید که انتگرال کلی فشرده تر به نظر می رسد و راه حل کوتاه تر است.

نکته فنی سوم:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی نیاز به انجام تعداد قابل توجهی از اقدامات دارید، در بیشتر موارد بهتر است از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. همین امر در مورد اقدامات "بد" صدق می کند، زمانی که شما نیاز به بیان تابع معکوس، افزایش تا توان، استخراج ریشه و غیره دارید.واقعیت این است که راه حل کلی پرمدعا و دست و پا گیر به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم و سایر زباله های ریاضی.

چگونه بررسی کنیم؟ چک را می توان به دو صورت انجام داد. روش اول: راه حل کلی را بگیرید ، مشتق را پیدا می کنیم و آنها را در معادله اصلی جایگزین کنید. خودت آن را امتحان کن!

راه دوم تمایز انتگرال کلی است. این بسیار آسان است، نکته اصلی این است که بتوانید پیدا کنید مشتق تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است:

تقسیم هر عبارت بر:

و در:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقا به دست آمده است، یعنی انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی؛
2) یافتن راه حل خاص مورد نیاز.

بررسی نیز در دو مرحله انجام می شود (به مثال در مثال شماره 2 مراجعه کنید)، شما باید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که یک راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرایط اولیه. بررسی را انجام دهید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم، این معادله قبلاً شامل دیفرانسیل های آماده است و بنابراین، راه حل ساده شده است. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید معادله را یکپارچه کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است؛ آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می توان. لگاریتم ها را از دو طرف آویزان می کنیم. از آنجایی که آنها مثبت هستند، علائم مدول غیر ضروری هستند:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین، راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم.
در جواب کلی به جای «X» صفر و به جای «Y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا، بیایید بررسی کنیم که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز خوب است.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. یافتن مشتق:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

اجازه دهید راه حل خاص یافت شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

روش دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله بیایید مشتق را بیان کنیم، برای انجام این کار، تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و به DE تبدیل شده، راه حل جزئی به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

انتگرال کلی معادله را بیابید، پاسخ را در فرم ارائه دهید.

این مثالی است برای حل خودتان، راه حل کامل و در پایان درس پاسخ دهید.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک چه مشکلاتی در کمین است؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای "قوری") که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. بیایید یک مثال شرطی را در نظر بگیریم: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید: . مشخص است که در ادامه چه باید کرد.

2) مشکلات با خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین نیستند و در صورت وجود نقص در مهارت های یافتن انتگرال نامعین، سپس با بسیاری از دیفیوزرها دشوار خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس حداقل بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و کتابچه های آموزشی رایج است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده اند، ثابت در معادلات دیفرانسیل را می توان کاملا آزادانه مدیریت کرد، و برخی از تبدیل ها همیشه برای یک مبتدی واضح نیست. بیایید به مثال شرطی دیگری نگاه کنیم: . توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که ما فقط لگاریم داریم، توصیه می شود ثابت را به شکل ثابت دیگری بازنویسی کنیم: .

مشکل این است که آنها اغلب با ایندکس ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. در نتیجه، رکورد تصمیم به شکل زیر است:

چه لعنتی؟! اشتباهاتی در آنجا وجود دارد! به طور دقیق، بله. اما از نظر ماهوی، هیچ خطایی وجود ندارد، زیرا در نتیجه تبدیل یک ثابت متغیر، یک ثابت متغیر معادل به دست می آید.

یا مثال دیگر، فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علامت هر عبارت را تغییر دهید: . به طور رسمی، اشتباه دیگری در اینجا وجود دارد - باید در سمت راست نوشته شود. اما به طور غیررسمی درک می شود که "منهای ce" هنوز یک ثابت است، که به همان خوبی مجموعه ای از مقادیر را به خود می گیرد، و بنابراین قرار دادن "منهای" معنی ندارد.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم، و همچنان هنگام تبدیل آنها، شاخص های مختلفی را به ثابت ها اختصاص می دهم. چیزی که من به شما توصیه می کنم انجام دهید.

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل بررسی را انجام دهید.

راه حل:این معادله امکان جداسازی متغیرها را فراهم می کند. متغیرها را از هم جدا می کنیم:

بیایید ادغام کنیم:

لازم نیست ثابت را در اینجا به عنوان لگاریتم تعریف کنیم، زیرا هیچ چیز مفیدی از این کار حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

و البته، در اینجا نیازی به بیان صریح "y" نیست، زیرا معلوم می شود که زباله است (سومین نکته فنی را به خاطر بسپارید).

معاینه: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

ما از شر کسرها با ضرب هر دو جمله در:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

انگلیسی:ویکی پدیا سایت را امن تر می کند. شما از یک مرورگر وب قدیمی استفاده می کنید که در آینده نمی تواند به ویکی پدیا متصل شود. لطفاً دستگاه خود را به روز کنید یا با سرپرست فناوری اطلاعات خود تماس بگیرید.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

اسپانیایی:ویکی‌پدیا این موقعیت مکانی است. استفاده از وب‌سایت ناوبری است که در ویکی‌پدیا در آینده ایجاد نمی‌شود. در واقع با یک مدیر اطلاعات تماس بگیرید. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

فرانسه:ویکی‌پدیا و بینتوت تقویت کننده امنیت سایت پسر. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à lorsque ce sera fait ویکی پدیا. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. اطلاعات تکمیلی به علاوه تکنیک ها و زبان انگلیسی موجود در دسترس است.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

آلمانی: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten مرورگر وب، der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

ایتالیایی:ویکی‌پدیا از rendendo il sito più sicuro است. در یک ویکی‌پدیا در آینده، در مرورگر وب باقی بمانید. به نفع خود، اطلاعاتی را در اختیار شما قرار دهید. Più in basso è موجود در aggiornamento più dettagliato e tecnico به زبان انگلیسی.

مجاری: Biztonságosabb lesz یک ویکی پدیا. A böngésző، amit használsz، nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska:ویکی پدیا گور سیدان mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. به روز رسانی در مورد مدیریت فناوری اطلاعات است. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ما در حال حذف پشتیبانی از نسخه های پروتکل ناامن TLS، به ویژه TLSv1.0 و TLSv1.1 هستیم، که نرم افزار مرورگر شما برای اتصال به سایت های ما به آن متکی است. این معمولاً به دلیل مرورگرهای قدیمی یا تلفن های هوشمند اندرویدی قدیمی ایجاد می شود. یا ممکن است تداخل نرم افزار "Web Security" شرکتی یا شخصی باشد که در واقع امنیت اتصال را کاهش می دهد.

برای دسترسی به سایت های ما باید مرورگر وب خود را ارتقا دهید یا این مشکل را برطرف کنید. این پیام تا 1 ژانویه 2020 باقی خواهد ماند. پس از آن تاریخ، مرورگر شما نمی‌تواند با سرورهای ما ارتباط برقرار کند.